Der Radius eines eingeschriebenen Kreises in einer Raute. Gleichseitiges Dreieck

Befindet sich ein Kreis innerhalb eines Winkels und berührt dessen Seiten, so heißt er in diesem Winkel eingeschrieben. Der Mittelpunkt eines solchen eingeschriebenen Kreises liegt bei Halbierende dieses Winkels.

Wenn es innerhalb eines konvexen Polygons liegt und mit allen seinen Seiten Kontakt hat, wird es als in ein konvexes Polygon eingeschrieben bezeichnet.

In ein Dreieck eingeschriebener Kreis

Ein in ein Dreieck eingeschriebener Kreis berührt jede Seite dieser Figur nur an einem Punkt. In ein Dreieck kann nur ein Kreis eingeschrieben werden.

Der Radius eines solchen Kreises hängt von den folgenden Parametern des Dreiecks ab:

1. Die Länge der Seiten eines Dreiecks.
2. Sein Gebiet.
3. Sein Umfang.
4. Die Winkel eines Dreiecks.

Um den Radius des eingeschriebenen Kreises in einem Dreieck zu berechnen, ist es nicht immer notwendig, alle oben aufgeführten Parameter zu kennen, da sie durch trigonometrische Funktionen miteinander verbunden sind.

Berechnung anhand des Halbumfangs

1. Wenn die Längen aller Seiten einer geometrischen Figur bekannt sind (wir bezeichnen sie mit den Buchstaben a, b und c), muss der Radius durch Ziehen der Quadratwurzel berechnet werden.
2. Zu Beginn der Berechnungen muss den Ausgangsdaten eine weitere Variable hinzugefügt werden – der Halbumfang (p). Sie kann berechnet werden, indem alle Längen addiert und der resultierende Betrag durch 2 geteilt wird. p = (a+b+c)/2. Dadurch kann die Formel zur Bestimmung des Radius deutlich vereinfacht werden.
3. Im Allgemeinen sollte die Formel das Vorzeichen des Radikals enthalten, unter dem der Bruch steht. Der Nenner dieses Bruchs ist der Wert des Halbumfangs p.
4. Der Zähler dieses Bruchs ist das Produkt der Differenzen (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Somit wird die vollständige Form der Formel wie folgt dargestellt: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Berechnung unter Berücksichtigung der Fläche eines Dreiecks

Wenn wir es wissen Fläche eines Dreiecks und die Längen aller seiner Seiten, so können wir den Radius des für uns interessanten Kreises ermitteln, ohne auf das Ziehen von Wurzeln zurückgreifen zu müssen.

1. Zuerst müssen Sie die Fläche verdoppeln.
2. Das Ergebnis wird durch die Summe der Längen aller Seiten dividiert. Dann sieht die Formel so aus: r = 2*S/(a+b+c).
3. Wenn Sie den Wert des Halbumfangs verwenden, erhalten Sie eine sehr einfache Formel: r \u003d S / p.

Berechnung mit trigonometrischen Funktionen

Wenn die Bedingung des Problems die Länge einer der Seiten, den Wert des gegenüberliegenden Winkels und den Umfang enthält, können Sie die trigonometrische Funktion – den Tangens – verwenden. In diesem Fall sieht die Berechnungsformel folgendermaßen aus:

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), wobei r der gewünschte Radius ist, P der Umfang ist, a die Länge einer der Seiten ist, α der Wert der gegenüberliegenden Seite ist und der Winkel.

Der Radius des Kreises, der in ein regelmäßiges Dreieck eingeschrieben werden muss, kann durch die Formel r = a*√3/6 ermittelt werden.

In ein rechtwinkliges Dreieck eingeschriebener Kreis

Sie können ein rechtwinkliges Dreieck einschreiben nur ein Kreis. Der Mittelpunkt eines solchen Kreises dient gleichzeitig als Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden. Diese geometrische Figur weist einige Besonderheiten auf, die bei der Berechnung des Radius des eingeschriebenen Kreises berücksichtigt werden müssen.

1. Zuerst müssen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den angegebenen Parametern erstellen. Sie können eine solche Figur anhand der Größe einer Seite und der Werte zweier Winkel oder anhand zweier Seiten und dem Winkel zwischen diesen Seiten erstellen. Alle diese Parameter müssen in der Task-Anweisung angegeben werden. Ein Dreieck wird als ABC bezeichnet, wobei C der Scheitelpunkt des rechten Winkels ist. Die Beine werden durch Variablen bezeichnet, A Und B, und die Hypotenuse ist eine Variable Mit.
2. Um eine klassische Formel zu konstruieren und den Radius eines Kreises zu berechnen, ist es notwendig, die Abmessungen aller Seiten der in der Problemstellung beschriebenen Figur zu ermitteln und daraus den Halbumfang zu berechnen. Wenn die Bedingungen die Abmessungen zweier Beine angeben, können sie verwendet werden, um den Wert der Hypotenuse basierend auf dem Satz des Pythagoras zu berechnen.
3. Wenn in der Bedingung die Größe eines Beins und eines Winkels angegeben ist, ist es notwendig zu verstehen, ob dieser Winkel benachbart oder entgegengesetzt ist. Im ersten Fall wird die Hypotenuse mit dem Sinussatz ermittelt: с=a/sinСАВ Im zweiten Fall wird der Kosinussatz angewendet с=a/cosCBA.
4. Wenn alle Berechnungen abgeschlossen sind und die Abmessungen aller Seiten bekannt sind, wird der Halbumfang mithilfe der oben beschriebenen Formel ermittelt.
5. Wenn Sie den Wert des Halbumfangs kennen, können Sie den Radius ermitteln. Die Formel ist ein Bruch. Sein Zähler ist das Produkt der Differenzen des Halbumfangs und jeder der Seiten, und der Nenner ist der Wert des Halbumfangs.

Es ist zu beachten, dass der Zähler dieser Formel ein Indikator für die Fläche ist. In diesem Fall ist die Formel zum Ermitteln des Radius viel einfacher – es reicht aus, die Fläche durch einen halben Umfang zu teilen.

Es ist auch möglich, die Fläche einer geometrischen Figur zu bestimmen, wenn beide Beine bekannt sind. Die Summe der Quadrate dieser Schenkel ist die Hypotenuse, dann wird der Halbumfang berechnet. Sie können die Fläche berechnen, indem Sie die Werte der Beine miteinander multiplizieren und das Ergebnis durch 2 dividieren.

Sind in den Bedingungen die Längen beider Schenkel und der Hypotenuse angegeben, lässt sich der Radius mit einer ganz einfachen Formel ermitteln: Dazu werden die Längen der Schenkel addiert, von der resultierenden Zahl die Länge der Hypotenuse abgezogen. Das Ergebnis muss in zwei Hälften geteilt werden.

Video

In diesem Video erfahren Sie, wie Sie den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ermitteln.

In ein Dreieck eingeschriebener Kreis

Existenz eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist

Erinnern Sie sich an die Definition Winkelhalbierende .

Definition 1 .Winkelhalbierende nennt man einen Strahl, der einen Winkel in zwei gleiche Teile teilt.

Satz 1 (Grundeigenschaft der Winkelhalbierenden) . Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels (Abb. 1).

Reis. 1

Nachweisen D auf der Winkelhalbierenden liegenBAC , Und DE Und D.F. an den Seiten der Ecke (Abb. 1).rechtwinklige Dreiecke ADF Und ADE gleich weil sie die gleichen spitzen Winkel habenDAF Und DAE , und die Hypotenuse ANZEIGE - allgemein. Somit,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Satz 2 (Umkehrsatz zu Satz 1) . Wenn einige , dann liegt es auf der Winkelhalbierenden (Abb. 2).

Reis. 2

Nachweisen . Betrachten Sie einen beliebigen PunktD in der Ecke liegenBAC und im gleichen Abstand von den Seiten der Ecke angeordnet. Vom Punkt fallen lassenD Senkrechte DE Und D.F. an den Seiten der Ecke (Abb. 2).rechtwinklige Dreiecke ADF Und ADE gleich , da sie gleiche Beine habenD.F. Und DE , und die Hypotenuse ANZEIGE - allgemein. Somit,

Q.E.D.

Definition 2 . Der Kreis heißt In einem Winkel eingeschriebener Kreis wenn es die Seiten dieses Winkels sind.

Satz 3 . Wenn ein Kreis in einen Winkel eingeschrieben ist, sind die Abstände vom Scheitelpunkt des Winkels zu den Berührungspunkten des Kreises mit den Seiten des Winkels gleich.

Nachweisen . Lassen Sie den Punkt D ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in einem Winkel eingeschrieben istBAC , und die Punkte E Und F - Berührungspunkte des Kreises mit den Seiten der Ecke (Abb. 3).

Abb. 3

A , B , C - Seiten eines Dreiecks
 S -Quadrat,

R – Radius des eingeschriebenen Kreises,
 P - Halbumfang

.

Formelausgabe anzeigen

A – seitliche Seite eines gleichschenkligen Dreiecks , 
 B - Basis, R – eingeschriebener Kreisradius

A R – eingeschriebener Kreisradius

Formelausgabe anzeigen

,

Wo

,

dann, im Fall eines gleichschenkligen Dreiecks, wann

wir bekommen

Das war es, was erforderlich war.

Satz 7 . Für die Gleichberechtigung

Wo A - Seite eines gleichseitigen DreiecksR – Radius des eingeschriebenen Kreises (Abb. 8).

Reis. 8

Nachweisen .

,

dann, im Fall eines gleichseitigen Dreiecks, wann

b=a,

wir bekommen

Das war es, was erforderlich war.

Kommentar . Als Übung empfehle ich, die Formel für den Radius eines in ein gleichseitiges Dreieck eingeschriebenen Kreises direkt herzuleiten, d.h. ohne allgemeine Formeln für die Radien von Kreisen zu verwenden, die in ein beliebiges Dreieck oder in ein gleichschenkliges Dreieck eingeschrieben sind.

Satz 8 . Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt die Gleichheit

Wo A , B - Beine eines rechtwinkligen Dreiecks, C – Hypotenuse , R – Radius des eingeschriebenen Kreises.

Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 9.

Reis. 9

Da das ViereckCDOF Ist , das benachbarte Seiten hatTUN Und VON gleich sind, dann ist dieses Rechteck . Somit,

CB = CF = r,

Aufgrund von Satz 3 sind die Gleichheiten

Wenn wir also auch berücksichtigen, erhalten wir

Das war es, was erforderlich war.

Eine Auswahl an Aufgaben zum Thema „Ein in ein Dreieck eingeschriebener Kreis“.

1.

Ein in ein gleichschenkliges Dreieck eingeschriebener Kreis teilt am Berührungspunkt eine der Seiten in zwei Segmente, deren Längen 5 und 3 sind, gerechnet vom Scheitelpunkt gegenüber der Basis. Finden Sie den Umfang des Dreiecks.

2.

3

Im Dreieck ABC AC=4, BC=3 beträgt der Winkel C 90°. Finden Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises.

4.

Die Schenkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks sind 2+. Finden Sie den Radius des Kreises, der in dieses Dreieck eingeschrieben ist.

5.

Der Radius eines Kreises, der in ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, beträgt 2. Finden Sie die Hypotenuse c dieses Dreiecks. Schreiben Sie c(-1) in Ihre Antwort.

Hier finden Sie einige Aufgaben aus der Prüfung mit Lösungen.

Der Radius eines Kreises, der in ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, beträgt . Finden Sie die Hypotenuse c dieses Dreiecks. Bitte geben Sie in Ihrer Antwort an.

Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig. Seine Beine sind also die gleichen. Lassen Sie jedes Bein gleich sein. Dann ist die Hypotenuse.

Wir schreiben die Fläche des Dreiecks ABC auf zwei Arten:

Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir das. Weil das, das verstehen wir. Dann.

Schreiben Sie als Antwort.

Antwort:.

Aufgabe 2.

1. Auf zwei beliebigen Seiten 10 cm und 6 cm (AB und BC). Finden Sie die Radien der umschriebenen und eingeschriebenen Kreise
Das Problem wird selbstständig durch Kommentieren gelöst.

Lösung:

IN.

1) Finden:
2) Beweisen Sie:und finde CK
3) Finden Sie: die Radien der umschriebenen und eingeschriebenen Kreise

Lösung:

Aufgabe 6.

R Der Radius eines in ein Quadrat eingeschriebenen Kreises ist. Finden Sie den Radius des Kreises, der dieses Quadrat umschreibt.Gegeben :

Finden: OS=?
Lösung: In diesem Fall kann das Problem entweder mit dem Satz des Pythagoras oder mit der Formel für R gelöst werden. Der zweite Fall wird einfacher sein, da die Formel für R aus dem Satz abgeleitet wird.

Aufgabe 7.

Der Radius eines Kreises, der in ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, beträgt 2. Finden Sie die HypotenuseMit dieses Dreieck. Bitte geben Sie in Ihrer Antwort an.

S ist die Fläche des Dreiecks

Wir kennen weder die Seiten des Dreiecks noch seine Fläche. Bezeichnen wir die Beine als x, dann ist die Hypotenuse gleich:

Die Fläche des Dreiecks beträgt 0,5x 2 .

Bedeutet

Die Hypotenuse ist also:

Die Antwort muss geschrieben werden:

Antwort: 4

Aufgabe 8.

Im Dreieck ABC ist AC = 4, BC = 3, Winkel C ist gleich 90 0 . Finden Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises.

Verwenden wir die Formel für den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises:

wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind

S ist die Fläche des Dreiecks

Zwei Seiten sind bekannt (das sind Beine), wir können die dritte (Hypotenuse) berechnen, wir können auch die Fläche berechnen.

Nach dem Satz des Pythagoras:

Suchen wir den Bereich:

Auf diese Weise:

Antwort 1

Aufgabe 9.

Die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind 5, die Grundfläche ist 6. Ermitteln Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises.

Verwenden wir die Formel für den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises:

wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind

S ist die Fläche des Dreiecks

Alle Seiten sind bekannt und die Fläche wird berechnet. Wir können es mit der Formel von Heron finden:

Dann

Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind. Daher erbt es alle Eigenschaften eines Parallelogramms. Nämlich:

• Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander.
• Die Diagonalen einer Raute sind die Winkelhalbierenden ihrer Innenwinkel.

Ein Kreis kann genau dann in ein Viereck eingeschrieben werden, wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich sind.
Daher kann in jede Raute ein Kreis eingeschrieben werden. Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Raute zusammen.
Der Radius eines eingeschriebenen Kreises in einer Raute kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden

1 Weg. Der Radius des eingeschriebenen Kreises in einer Raute durch die Höhe

Die Höhe einer Raute entspricht dem Durchmesser des eingeschriebenen Kreises. Dies ergibt sich aus der Eigenschaft eines Rechtecks, das durch den Durchmesser des eingeschriebenen Kreises und die Höhe der Raute gebildet wird – die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks ​​sind gleich.

Daher lautet die Formel für den Radius des eingeschriebenen Kreises in einer Raute durch die Höhe:

2-Wege. Radius eines eingeschriebenen Kreises in einer Raute durch die Diagonalen

Die Fläche einer Raute kann durch den Radius des eingeschriebenen Kreises ausgedrückt werden
, Wo R ist der Umfang der Raute. Da wir wissen, dass der Umfang die Summe aller Seiten eines Vierecks ist, gilt: P= 4×ha. Dann
Die Fläche einer Raute ist aber auch das halbe Produkt ihrer Diagonalen
Wenn wir die rechten Teile der Flächenformeln gleichsetzen, erhalten wir die folgende Gleichheit
Als Ergebnis erhalten wir eine Formel, mit der wir den Radius des eingeschriebenen Kreises in einer Raute durch die Diagonalen berechnen können

Ein Beispiel für die Berechnung des Radius eines in eine Raute eingeschriebenen Kreises, wenn die Diagonalen bekannt sind
Finden Sie den Radius eines in eine Raute eingeschriebenen Kreises, wenn bekannt ist, dass die Länge der Diagonalen 30 cm und 40 cm beträgt
Lassen A B C D- Raute also Wechselstrom Und BD seine Diagonalen. AC= 30 cm , BD=40 cm
Lassen Sie den Punkt UM ist der Mittelpunkt der in die Raute eingeschriebenen Schrift A B C D Kreis, dann ist es auch der Schnittpunkt seiner Diagonalen und teilt sie in zwei Hälften.


da sich die Diagonalen der Raute im rechten Winkel schneiden, dann das Dreieck AOB rechteckig. Dann nach dem Satz des Pythagoras
, ersetzen wir die zuvor erhaltenen Werte in der Formel

AB= 25 cm
Wenn wir die zuvor abgeleitete Formel für den Radius des umschriebenen Kreises auf eine Raute anwenden, erhalten wir:

3-Wege. Der Radius des eingeschriebenen Kreises in der Raute durch die Segmente m und n

Punkt F- der Berührungspunkt des Kreises mit der Seite der Raute, der ihn in Segmente unterteilt AF Und bf. Lassen AF=m, BF=n.
Punkt Ö- der Schnittpunkt der Diagonalen der Raute und der Mittelpunkt des darin eingeschriebenen Kreises.
Dreieck AOB- rechteckig, da sich die Diagonalen der Raute im rechten Winkel schneiden.
, Weil ist der Radius, der zum Tangentenpunkt des Kreises gezogen wird. Somit VON- die Höhe des Dreiecks AOB zur Hypotenuse. Dann AF Und bf- Projektionen der Beine auf die Hypotenuse.
Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck, das zur Hypotenuse hinabfällt, ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen den Projektionen der Schenkel auf die Hypotenuse.

Die Formel für den Radius eines eingeschriebenen Kreises in einer Raute durch die Segmente ist gleich der Quadratwurzel des Produkts dieser Segmente, in die die Seite der Raute durch den Tangentialpunkt des Kreises geteilt wird

Betrachten Sie einen Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist (Abb. 302). Denken Sie daran, dass sein Mittelpunkt O am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks liegt. Die Segmente OA, OB, OS, die O mit den Eckpunkten des Dreiecks ABC verbinden, teilen das Dreieck in drei Dreiecke:

AOB, BOS, SOA. Die Höhe jedes dieser Dreiecke ist gleich dem Radius und daher werden ihre Flächen ausgedrückt als

Die Fläche des gesamten Dreiecks S ist gleich der Summe dieser drei Flächen:

Wo ist der Halbumfang des Dreiecks? Von hier

Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist gleich dem Verhältnis der Fläche des Dreiecks zu seinem halben Umfang.

Um eine Formel für den Radius des umschriebenen Kreises eines Dreiecks zu erhalten, beweisen wir den folgenden Satz.

Satz a: In jedem Dreieck ist die Seite gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises multipliziert mit dem Sinus des entgegengesetzten Winkels.

Nachweisen. Betrachten Sie ein beliebiges Dreieck ABC und einen darum umschriebenen Kreis, dessen Radius mit R bezeichnet wird (Abb. 303). Sei A der spitze Winkel des Dreiecks. Zeichnen wir die Radien OB, OS des Kreises und lassen Sie die Senkrechte OK von seinem Mittelpunkt O auf die Seite BC des Dreiecks fallen. Beachten Sie, dass der Winkel a eines Dreiecks durch die Hälfte des Bogens BC gemessen wird, wobei der Winkel BOC der Mittelpunktswinkel ist. Von hier aus ist es klar, dass . Daher finden wir aus einem rechtwinkligen Dreieck SOK , oder , was bewiesen werden musste.

Die angegebene Abb. 303 und das Argument beziehen sich auf den Fall eines spitzen Winkels eines Dreiecks; Es wäre nicht schwierig, den Beweis für die Fälle rechter und stumpfer Winkel durchzuführen (der Leser wird dies selbst tun), aber man kann den Sinussatz (218.3) verwenden. Da muss es wo sein

Der Sinussatz ist ebenfalls geschrieben. bilden

und ein Vergleich mit der Notation (218.3) ergibt für

Der Radius des umschriebenen Kreises ist gleich dem Verhältnis des Produkts der drei Seiten des Dreiecks zu seiner vierfachen Fläche.

Aufgabe. Finden Sie die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn seine eingeschriebenen und umschriebenen Kreise jeweils Radien haben

Lösung. Schreiben wir Formeln, die die Radien der ein- und umschriebenen Kreise eines Dreiecks ausdrücken:

Für ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Seite und einer Basis wird die Fläche durch die Formel ausgedrückt

oder indem wir den Bruch um einen Faktor ungleich Null reduzieren, haben wir

was zu einer quadratischen Gleichung für führt

Es gibt zwei Lösungen:

Wenn wir statt seines Ausdrucks in eine der Gleichungen für oder R einsetzen, finden wir schließlich zwei Antworten auf unser Problem:

Übungen

1. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, ausgehend vom Scheitelpunkt des rechten Winkels, teilt die Hypotenuse im Verhältnis zu. Finden Sie das Verhältnis jedes Schenkels zur Hypotenuse.

2. Die Grundflächen eines gleichschenkligen Trapezes, das einen Kreis umschreibt, sind gleich a und b. Finden Sie den Radius des Kreises.

3. Zwei Kreise berühren sich äußerlich. Ihre gemeinsame Tangente ist in einem Winkel von 30° zur Mittelpunktslinie geneigt. Die Länge des Tangentensegments zwischen den Berührungspunkten beträgt 108 cm. Finden Sie die Radien der Kreise.

4. Die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind gleich a und b. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, dessen Seiten die Höhe und den Median des gegebenen Dreiecks sind, gezeichnet vom Scheitelpunkt des rechten Winkels, und das Segment der Hypotenuse zwischen den Punkten ihres Schnittpunkts mit der Hypotenuse.

5. Die Seiten des Dreiecks sind 13, 14, 15. Finden Sie die Projektion jeder von ihnen auf die anderen beiden.

6. In einem Dreieck sind die Seiten und Höhen bekannt. Finden Sie die Seiten b und c.

7. Zwei Seiten des Dreiecks und der Median sind bekannt. Finden Sie die dritte Seite des Dreiecks.

8. Gegeben sind zwei Seiten eines Dreiecks und ein Winkel a zwischen ihnen: Bestimmen Sie die Radien der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise.

9. Die Seiten des Dreiecks a, b, c sind bekannt. In welche Segmente werden sie durch die Berührungspunkte des eingeschriebenen Kreises mit den Seiten des Dreiecks unterteilt?