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डायोफैंटस परियोजना और इसकी खोजें। सार: डायोफैंटस

ऐसे गुणांक जिनका समाधान पूर्णांकों के बीच पाया जाना चाहिए।

अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς

जन्म की तारीख	न पहले और न बाद मेंया
जन्म स्थान	सिकंदरिया, मिस्र
मृत्यु तिथि	न पहले और न बाद में
एक देश	प्राचीन रोम
वैज्ञानिक क्षेत्र	संख्या सिद्धांत
जाना जाता है	"बीजगणित के जनक"
विकिमीडिया कॉमन्स पर अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस

जीवनी

उनके जीवन के विवरण के बारे में लगभग कुछ भी ज्ञात नहीं है। एक ओर, डायोफैंटस हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व) को उद्धृत करता है; दूसरी ओर, अलेक्जेंड्रिया के थियोन (लगभग 350 ई.) ने डायोफैंटस के बारे में लिखा है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उसका जीवन इसी काल की सीमाओं के भीतर हुआ था। डायोफैंटस के जीवन काल का संभावित स्पष्टीकरण इस तथ्य पर आधारित है कि वह अंकगणित"सबसे आदरणीय डायोनिसियस" को समर्पित। ऐसा माना जाता है कि यह डायोनिसियस कोई और नहीं बल्कि अलेक्जेंड्रिया के बिशप डायोनिसियस हैं, जो तीसरी शताब्दी के मध्य में रहते थे। एन। इ।

यह निम्नलिखित समीकरण को हल करने के बराबर है:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

यह समीकरण देता है x = 84 (\displaystyle x=84)यानी डायोफैंटस की उम्र 84 साल के बराबर है. हालाँकि, जानकारी की सटीकता की पुष्टि नहीं की जा सकती है।

अंकगणितडायोफैंटा

डायोफैंटस का मुख्य कार्य - अंकगणित 13 पुस्तकों में. दुर्भाग्य से, पहली 13 पुस्तकों में से केवल 6 (या 10, नीचे देखें) ही बची हैं।

पहली पुस्तक एक व्यापक परिचय से पहले है, जो डायोफैंटस द्वारा प्रयुक्त नोटेशन का वर्णन करती है। डायोफैंटस अज्ञात को "नंबर" कहता है ( ἀριθμός ) और अक्षर द्वारा दर्शाया गया है ς , वर्ग अज्ञात - प्रतीक Δ Υ (कम के लिए δύναμις - "डिग्री"), अज्ञात का घन - प्रतीक Κ Υ (कम के लिए κύβος - "घन")। अज्ञात की निम्नलिखित डिग्री के लिए विशेष चिह्न प्रदान किए जाते हैं, छठे तक, जिसे क्यूब-क्यूब कहा जाता है, और उनके विपरीत डिग्री के लिए, माइनस छठे तक, विशेष संकेत प्रदान किए जाते हैं।

डायोफैंटस के पास कोई अतिरिक्त चिह्न नहीं है: वह बस डिग्री के अवरोही क्रम में एक दूसरे के आगे सकारात्मक शब्द लिखता है, और प्रत्येक पद में पहले अज्ञात की डिग्री लिखी जाती है, और फिर संख्यात्मक गुणांक। घटाए गए पद भी साथ-साथ लिखे जाते हैं और उनके पूरे समूह के सामने उल्टे अक्षर Ψ के रूप में एक विशेष चिह्न लगाया जाता है। समान चिह्न को दो अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है ἴσ (कम के लिए ἴσος - "बराबर")।

समान पद लाने के लिए एक नियम और समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या या अभिव्यक्ति को जोड़ने या घटाने के लिए एक नियम तैयार किया गया: जिसे अल-खोरज़मी ने बाद में "बीजगणित और अलमुकाबाला" कहना शुरू कर दिया। संकेतों का नियम पेश किया गया है: "माइनस बाय प्लस देता है माइनस", "माइनस बाय माइनस देता है प्लस"; इस नियम का उपयोग दो भावों को घटाए गए पदों से गुणा करते समय किया जाता है। यह सब ज्यामितीय व्याख्याओं के संदर्भ के बिना, सामान्य शब्दों में तैयार किया गया है।

अधिकांश कार्य समाधान के साथ समस्याओं का एक संग्रह है (छह जीवित पुस्तकों में कुल 189 हैं, अरबी भाग से चार सहित - 290), सामान्य तरीकों को चित्रित करने के लिए कुशलतापूर्वक चुना गया है। मुख्य मुद्दे अंकगणित- अनिश्चित समीकरणों के लिए सकारात्मक तर्कसंगत समाधान खोजना। डायोफैंटस द्वारा परिमेय संख्याओं का व्यवहार प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही किया जाता है, जो प्राचीन गणितज्ञों के लिए विशिष्ट नहीं है।

सबसे पहले, डायोफैंटस दो अज्ञात में दूसरे क्रम के समीकरणों की प्रणालियों की जांच करता है; यदि कोई समाधान पहले से ही ज्ञात है तो यह अन्य समाधान खोजने के लिए एक विधि निर्दिष्ट करता है। फिर वह उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए समान तरीकों को लागू करता है। पुस्तक VI तर्कसंगत भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों से संबंधित समस्याओं की जाँच करती है।

प्रभाव अंकगणितगणित के विकास के लिए

10वीं सदी में अंकगणितइसका अरबी में अनुवाद किया गया (कुस्ता इब्न लुका देखें), जिसके बाद इस्लामिक देशों (अबू कामिल और अन्य) के गणितज्ञों ने डायोफैंटस के कुछ शोध को जारी रखा। यूरोप में, रुचि अंकगणितराफेल बोम्बेली द्वारा इस कार्य का लैटिन में अनुवाद और प्रकाशन करने और इसमें से 143 समस्याओं को प्रकाशित करने के बाद इसमें वृद्धि हुई बीजगणित(1572) 1621 में, एक उत्कृष्ट, गहन टिप्पणी वाला लैटिन अनुवाद सामने आया अंकगणित, बैचेट डी मेज़िरियाक द्वारा निष्पादित।

डायोफैंटस के तरीकों ने फ्रांकोइस विएते और पियरे फ़र्मेट को बहुत प्रभावित किया; हालाँकि, आधुनिक समय में, अनिश्चित समीकरणों को आमतौर पर पूर्णांकों में हल किया जाता है, न कि तर्कसंगत संख्याओं में, जैसा कि डायोफैंटस ने किया था। जब पियरे फ़र्मेट ने बैचेट डी मेज़िरियाक द्वारा संपादित डायोफ़ैंटस के अंकगणित को पढ़ा, तो वह इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि डायोफ़ैंटस द्वारा विचार किए गए समीकरणों में से एक का पूर्णांक में कोई समाधान नहीं था, और हाशिये में नोट किया कि उन्हें "वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण मिला था" यह प्रमेय... हालाँकि, पुस्तक का मार्जिन इसे शामिल करने के लिए बहुत संकीर्ण है। यह कथन अब फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

20वीं सदी में डायोफैंटस के नाम से चार और पुस्तकों का अरबी पाठ खोजा गया। अंकगणित. आई. जी. बश्माकोवा और ई. आई. स्लावुतिन ने इस पाठ का विश्लेषण करते हुए एक परिकल्पना प्रस्तुत की कि इसका लेखक डायोफैंटस नहीं था, बल्कि एक टिप्पणीकार था जो डायोफैंटस के तरीकों से अच्छी तरह वाकिफ था, संभवतः हाइपेटिया। हालाँकि, पहली तीन और आखिरी तीन पुस्तकों में समस्याओं को हल करने की पद्धति में महत्वपूर्ण अंतर अरबी अनुवाद की चार पुस्तकों द्वारा अच्छी तरह से भरा गया है। यह हमें पिछले अध्ययनों के परिणामों पर पुनर्विचार करने के लिए मजबूर करता है। . [ ]

डायोफैंटस के अन्य कार्य

डायोफैंटस का ग्रंथ बहुभुज संख्याओं के बारे में (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) पूरी तरह से संरक्षित नहीं; संरक्षित भाग में, ज्यामितीय बीजगणित विधियों का उपयोग करके कई सहायक प्रमेय प्राप्त किए गए हैं।

डायोफैंटस के कार्यों से सतहों को मापने के बारे में (ἐπιπεδομετρικά ) और गुणन के बारे में (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) भी केवल टुकड़े ही बचे हैं।

डायोफैंटस की पुस्तक पोरिज़्ममें प्रयुक्त कुछ प्रमेयों से ही ज्ञात होता है अंकगणित.

यह सभी देखें

संग्रह बुडे" (2 खंड प्रकाशित: पुस्तकें 4 - 7)।

अनुसंधान:

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नगर शिक्षण संस्थान

"लिसेयुम नंबर 10" पर्म

डायोफैंटस। डायोफैंटाइन समीकरण

काम पूरा हो गया

इलिना याना,

11वीं कक्षा का छात्र

पर्यवेक्षक

ज़ोलोटुखिना एल.वी.

गणित शिक्षक

पर्म, 2010

परिचय…………………………………………………………………….3

1. डायोफैंटस……………………………………………………………………..4

2. संख्याएं और प्रतीक………………………………………………6

3. डायोफैंटाइन समीकरण…………………………………………..8

4. समाधान………………………………………………..12

निष्कर्ष…………………………………………………………………………15

सन्दर्भ………………………………………………16

परिचय

आज के स्कूली बच्चे विभिन्न समीकरणों को हल करते हैं। एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों के भाग सी में एक दिलचस्प समीकरण है जिसे डायोफैंटाइन समीकरण कहा जाता है। डायोफैंटस ने अपने कार्यों में न केवल परिमेय संख्याओं में अनिश्चित समीकरणों को हल करने की समस्या प्रस्तुत की, बल्कि उन्हें हल करने के लिए कुछ सामान्य तरीके भी दिए। ये विधियाँ आज के ग्यारहवीं कक्षा के विद्यार्थियों के लिए बहुत उपयोगी होंगी जो गणित की परीक्षा देने वाले हैं।

डायोफैंटस ने गणित के विकास में आर्किमिडीज़ जितना ही महान योगदान दिया। उदाहरण के लिए, आर्किमिडीज़ ने यही किया: एक दीर्घवृत्त, एक परवलय के एक खंड, एक गोले की सतह, एक गोले के आयतन और अन्य पिंडों के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय, उन्होंने अभिन्न योग की विधि और पारित होने की विधि का उपयोग किया सीमा तक, लेकिन उन्होंने कहीं भी इन तरीकों का सामान्य सार विवरण नहीं दिया। 16वीं और 17वीं शताब्दी के वैज्ञानिकों को आर्किमिडीज़ के तरीकों को अलग करने के लिए उनके कार्यों का सावधानीपूर्वक अध्ययन और नए तरीके से पुनर्व्यवस्थित करना पड़ा। डायोफैंटस के साथ भी स्थिति ऐसी ही है। उनके तरीकों को विएथे और फ़र्मेट द्वारा समझा गया और नई समस्याओं पर लागू किया गया, अर्थात्। उसी समय जब आर्किमिडीज़ का समाधान हुआ।

1. डायोफैंटस

डायोफैंटस विज्ञान के इतिहास में सबसे कठिन रहस्यों में से एक प्रस्तुत करता है। हम उस समय को नहीं जानते जब वह रहते थे, न ही उनके पूर्ववर्तियों को, जिन्होंने उसी क्षेत्र में काम किया होगा। उनके कार्य पूर्ण अभेद्य अंधकार के बीच चमकती आग की तरह हैं। वह समयावधि जब डायोफैंटस जीवित रह सकता था वह आधी सहस्राब्दी है! इस अंतराल की निचली सीमा बिना किसी कठिनाई के निर्धारित की जाती है: बहुभुज संख्याओं पर अपनी पुस्तक में, डायोफैंटस ने बार-बार अलेक्जेंड्रिया के गणितज्ञ हाइप्सिकल्स का उल्लेख किया है, जो दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व के मध्य में रहते थे। इ। दूसरी ओर, प्रसिद्ध खगोलशास्त्री टॉलेमी के "अल्मागेस्ट" पर अलेक्जेंड्रिया के थियोन की टिप्पणियों में, डायोफैंटस के काम का एक अंश रखा गया है। थियोन चौथी शताब्दी ईस्वी के मध्य में रहते थे। इ। यह इस अंतराल की ऊपरी सीमा निर्धारित करता है। तो, 500 वर्ष!

लेकिन डायोफैंटस का निवास स्थान सर्वविदित है - यह प्रसिद्ध अलेक्जेंड्रिया है, जो हेलेनिस्टिक दुनिया के वैज्ञानिक विचार का केंद्र है।

डायोफैंटस के व्यक्तित्व के बारे में ज्ञात सभी बातों को जानने के लिए, हम एक पहेली कविता प्रस्तुत करते हैं जो हमारे पास आई है:

डायोफैंटस की राख कब्र में पड़ी है; उस पर आश्चर्य करो - और पत्थर
मृतक की उम्र उसकी बुद्धिमान कला से पता चलेगी।
देवताओं की इच्छा से, उन्होंने अपने जीवन का छठा हिस्सा एक बच्चे के रूप में जीया।
और मैं साढ़े पांच बजे अपने गालों पर फुंसी के साथ मिला।
यह केवल सातवां दिन था जब उसकी अपनी प्रेमिका से सगाई हो गई।
उसके साथ पाँच साल बिताने के बाद, ऋषि ने अपने बेटे की प्रतीक्षा की;
उनके पिता का प्रिय पुत्र केवल आधा जीवन ही जी सका।
उन्हें उनके पिता से उनकी प्रारंभिक कब्र द्वारा छीन लिया गया था।
दो वर्ष में दो बार माता-पिता ने भारी दुःख मनाया,
यहाँ मैंने अपने दुःखी जीवन की सीमा देखी।

यहां से यह गणना करना आसान है कि डायोफैंटस 84 वर्ष जीवित रहे। हालाँकि, इसके लिए आपको डायोफैंटस की कला में महारत हासिल करने की आवश्यकता नहीं है! यह एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण को हल करने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त है, और मिस्र के शास्त्री 2 हजार साल ईसा पूर्व ऐसा करने में सक्षम थे। इ।

लेकिन सबसे रहस्यमय है डायोफैंटस का काम। 13 में से छह पुस्तकें हम तक पहुंच चुकी हैं, जिन्हें मिलाकर "अंकगणित" बनाया गया है। इन पुस्तकों की शैली और सामग्री संख्या सिद्धांत और बीजगणित पर शास्त्रीय प्राचीन कार्यों से बिल्कुल अलग है, जिसके उदाहरण हम यूक्लिड के तत्वों, उनके डेटा और आर्किमिडीज़ और अपोलोनियस के कार्यों से लेम्मास से जानते हैं। "अंकगणित" निस्संदेह कई अध्ययनों का परिणाम था जो हमारे लिए पूरी तरह से अज्ञात रहे। हम केवल इसकी जड़ों के बारे में अनुमान लगा सकते हैं और इसके तरीकों और परिणामों की समृद्धि और सुंदरता पर आश्चर्य कर सकते हैं।

डायोफैंटस द्वारा "अंकगणित" समस्याओं का एक संग्रह है (कुल 189 हैं), जिनमें से प्रत्येक एक समाधान (या समाधान के कई तरीकों) और आवश्यक स्पष्टीकरण से सुसज्जित है। अतः प्रथम दृष्टया ऐसा लगता है कि यह कोई सैद्धान्तिक कार्य नहीं है। हालाँकि, सावधानीपूर्वक पढ़ने से पता चलता है कि समस्याओं को सावधानीपूर्वक चुना गया है और वे बहुत विशिष्ट, सख्ती से सोचे-समझे तरीकों को चित्रित करने का काम करती हैं। जैसा कि प्राचीन काल में प्रथागत था, विधियों को सामान्य रूप में तैयार नहीं किया जाता है, बल्कि समान समस्याओं को हल करने के लिए दोहराया जाता है।

2. संख्याएँ और प्रतीक

डायोफैंटस की शुरुआत बुनियादी परिभाषाओं और उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले अक्षर प्रतीकों के विवरण से होती है।

शास्त्रीय यूनानी गणित में, जिसे यूक्लिड के तत्वों में संख्या άριJμός के तहत पूर्णता मिली - " अतालता" या " अंकगणित"; इसलिए संख्याओं के विज्ञान के लिए "अंकगणित" नाम) को इकाइयों के एक समूह के रूप में समझा गया, अर्थात। पूर्णांक. न तो भिन्न और न ही अपरिमेयता को संख्याएँ कहा जाता था। कड़ाई से कहें तो, प्रिंसिपिया में कोई अंश नहीं हैं। इकाई को अविभाज्य माना जाता है और इकाई के भिन्नों के स्थान पर पूर्णांकों के अनुपात पर विचार किया जाता है; अतार्किकताएँ असंगत खंडों के अनुपात के रूप में प्रकट होती हैं, उदाहरण के लिए, जिस संख्या को अब हम √2 दर्शाते हैं वह शास्त्रीय यूनानियों के लिए एक वर्ग के विकर्ण और उसकी भुजा का अनुपात था। नकारात्मक संख्याओं की कोई बात नहीं हुई। उनके लिए कोई समकक्ष भी नहीं थे. डायोफैंटस में हमें एक बिल्कुल अलग तस्वीर मिलती है।

डायोफैंटस इकाइयों के एक समूह के रूप में संख्या की पारंपरिक परिभाषा देता है, लेकिन बाद में अपनी समस्याओं की तलाश करता है सकारात्मक तर्कसंगतसमाधान, और ऐसे प्रत्येक समाधान को एक संख्या कहते हैं (άριJμός - " अतालता »).

लेकिन बात यहीं नहीं रुकती. डायोफैंटस ने ऋणात्मक संख्याओं का परिचय दिया: वह उन्हें विशेष शब्द λει̃ψις कहता है - " लीप्सिस" - क्रिया λει̃πω से व्युत्पन्न - " लीपो”, जिसका अर्थ है अभाव, अभाव, ताकि इस शब्द का अनुवाद “कमी” शब्द से किया जा सके। वैसे, विज्ञान के प्रसिद्ध रूसी इतिहासकार आई. टिमचेंको यही करते हैं। डायोफैंटस एक धनात्मक संख्या को ΰπαρξις शब्द कहता है - " iparxis”, जिसका अर्थ है अस्तित्व, अस्तित्व और बहुवचन में इस शब्द का अर्थ संपत्ति या संपत्ति हो सकता है। इस प्रकार, सापेक्ष संख्याओं के लिए डायोफैंटस की शब्दावली पूर्व और यूरोप में मध्य युग में उपयोग की जाने वाली शब्दावली के करीब है। सबसे अधिक संभावना है, यह ग्रीक से अरबी, संस्कृत, लैटिन और फिर यूरोप की विभिन्न भाषाओं में अनुवाद मात्र था।

ध्यान दें कि शब्द λει̃ψις है " लीप्सिस" - का अनुवाद "घटा" के रूप में नहीं किया जा सकता है, जैसा कि डायोफैंटस के कई अनुवादक करते हैं, क्योंकि घटाव के संचालन के लिए डायोफैंटस पूरी तरह से अलग शब्दों का उपयोग करता है, अर्थात् άφελει̃ν - " afelein"या άφαιρει̃ν - " afirerain", जो क्रिया άφαιρεω - से व्युत्पन्न हैं afireo"- ले लेना। समीकरणों को परिवर्तित करते समय, डायोफैंटस स्वयं अक्सर मानक अभिव्यक्ति का उपयोग करता है "दोनों पक्षों में λει̃ψις जोड़ें।"

हमने पाठक को यह समझाने के लिए डायोफैंटस के पाठ के भाषाशास्त्रीय विश्लेषण पर इतने विस्तार से ध्यान दिया है कि यदि हम डायोफैंटस के शब्दों को "सकारात्मक" और "नकारात्मक" के रूप में अनुवादित करते हैं तो हम सच्चाई से विचलित नहीं होंगे।

डायोफैंटस सापेक्ष संख्याओं के लिए चिह्नों का नियम बनाता है:

"एक नकारात्मक को एक नकारात्मक से गुणा करने पर एक सकारात्मक परिणाम मिलता है, जबकि एक नकारात्मक को एक सकारात्मक से गुणा करने पर एक नकारात्मक परिणाम मिलता है, और एक नकारात्मक के लिए विशिष्ट चिह्न एक उलटा और छोटा (अक्षर) ψ है।"

“जब मैंने तुम्हें गुणन समझाया, तो प्रस्तावित पदों का विभाजन भी स्पष्ट हो गया; अब ऐसे पदों के जोड़, घटाव और गुणा का अभ्यास शुरू करना अच्छा रहेगा। अलग-अलग गुणांक वाले सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों को अन्य शब्दों में जोड़ें जो या तो सकारात्मक हैं या समान रूप से सकारात्मक और नकारात्मक हैं, और सकारात्मक और अन्य नकारात्मक शब्दों से अन्य सकारात्मक और समान रूप से सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों को घटाएं।

ध्यान दें कि यद्यपि डायोफैंटस केवल तर्कसंगत सकारात्मक समाधान चाहता है, मध्यवर्ती गणनाओं में वह स्वेच्छा से नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करता है।

इस प्रकार हम देख सकते हैं कि डायोफैंटस ने संख्या क्षेत्र को तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र में विस्तारित किया जिसमें अंकगणित के सभी चार संचालन बिना किसी बाधा के किए जा सकते हैं।

3. डायोफैंटाइन समीकरण

परिभाषा - बीजगणितीय समीकरण या पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली, जिसमें समीकरणों की संख्या से अधिक अज्ञात संख्या होती है, और जिसके लिए पूर्णांक या तर्कसंगत समाधान मांगे जाते हैं।

कुल्हाड़ी + द्वारा = 1

कहाँ एऔर बी- सहअभाज्य पूर्णांक

सहअभाज्य संख्याएँकई पूर्णांक ऐसे हैं कि इन सभी संख्याओं के लिए सामान्य विभाजक केवल + 1 और - 1 हैं। अभाज्य संख्याओं की एक जोड़ी का सबसे छोटा गुणज उनके उत्पाद के बराबर है।

इसके अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं:

अगर X 0और य0- एक समाधान, फिर संख्याएँ

एक्स = X 0 + अरब

पर = य0 -एक

(एन- कोई भी पूर्णांक) भी समाधान होगा।

डी. यू का एक और उदाहरण.

x2 + y2 = z2

इस समीकरण के सकारात्मक पूर्णांक समाधान पैरों की लंबाई दर्शाते हैं एक्स , परऔर कर्ण जेडपूर्णांक भुजाओं की लंबाई वाले समकोण त्रिभुजों को पायथागॉरियन संख्याएँ कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं के त्रिक इस प्रकार होते हैं कि एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई इन संख्याओं के समानुपाती (या बराबर) होती है, आयताकार होता है।

सहअभाज्य पायथागॉरियन संख्याओं के सभी त्रिक सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं

एक्स = एम2 - एन 2

पर = 2एम.एन.

जेड = एम2 + एन 2

कहाँ एमऔर एन- पूर्ण संख्याएं ( एम > एन > 0).

यह समीकरण समतल पर परिभाषित होता है आर 2 बीजगणितीय वक्रΓ. हम तर्कसंगत समाधान कहेंगे (2) तर्कसंगत बिंदुवक्र Γ. निम्नलिखित में, हम अक्सर ज्यामिति की भाषा का सहारा लेंगे, हालाँकि डायोफैंटस स्वयं कहीं भी इसका उपयोग नहीं करता है। हालाँकि, ज्यामितीय भाषा अब गणितीय सोच का इतना अभिन्न अंग बन गई है कि इसकी मदद से कई तथ्यों को समझना और समझाना आसान हो जाएगा।

सबसे पहले, समीकरणों (2) या, जो समान है, बीजगणितीय वक्रों का कुछ वर्गीकरण देना आवश्यक है। क्रमानुसार उनका वर्गीकरण सबसे स्वाभाविक और शीघ्र उत्पन्न होने वाला है।

आइए हम उसे याद करें क्रम मेंवक्र (2) बहुपद के पदों का अधिकतम क्रम है एफ (एक्स , य), जहां किसी पद के क्रम को शक्तियों के योग के रूप में समझा जाता है एक्सऔर य. इस अवधारणा का ज्यामितीय अर्थ यह है कि एक सीधी रेखा क्रम के वक्र को काटती है एनबिलकुल पर एनअंक. अंकों की गिनती करते समय, निश्चित रूप से, प्रतिच्छेदन बिंदुओं की बहुलता के साथ-साथ जटिल और "असीम दूर" बिंदुओं को भी ध्यान में रखना चाहिए। तो, उदाहरण के लिए, एक वृत्त एक्स 2 + य 2 = 1 और सीधा एक्स + य= 2 दो सम्मिश्र बिंदुओं और अतिपरवलय पर प्रतिच्छेद करते हैं एक्स 2 – य 2 = 1 और सीधा य =एक्स- अनंत पर दो बिंदुओं पर, एक सीधी रेखा के साथ समान अतिपरवलय एक्स=1 में बहुलता 2 का एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

हालाँकि, प्रयोजनों के लिए डायोफैंटाइन विश्लेषण(यह नाम गणित के उस क्षेत्र को दिया गया था जो अनिश्चित समीकरणों को हल करने की समस्याओं से विकसित हुआ था; हालाँकि, अब इसे अक्सर डायोफैंटाइन ज्यामिति कहा जाता है) क्रम से वर्गीकरण बहुत कठिन निकला।

चावल। 1.

आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं. एक गोला दिया जाए सी : एक्स 2 + य 2 = 1 और तर्कसंगत गुणांक वाली कोई भी सीधी रेखा, उदाहरण के लिए, एल : य=0. आइए हम दिखाएं कि इस वृत्त और रेखा के तर्कसंगत बिंदुओं को एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह: बिंदु को ठीक करें ए(0,-1) वृत्त बनाएं और प्रत्येक परिमेय बिंदु निर्दिष्ट करें बीसीधा एलबिंदु बी"घेरा सी, चौराहे पर पड़ा हुआ सीऔर सीधा अब(चित्र .1)। वह बिंदु के निर्देशांक बी"तर्कसंगत होगा, हम पाठक को इसे स्वयं साबित करने देंगे या डायोफैंटस से एक समान प्रमाण पढ़ने देंगे (इसे अगले पैराग्राफ में प्रस्तुत किया जाएगा)। जाहिर है, किसी भी शंकु खंड के तर्कसंगत बिंदुओं के बीच एक ही पत्राचार स्थापित किया जा सकता है, यदि कम से कम एक तर्कसंगत बिंदु उस पर स्थित है, और एक तर्कसंगत रेखा है। हम देखते हैं कि डायोफैंटाइन के दृष्टिकोण से वृत्त का विश्लेषण किया जाता है सीऔर सीधा एलअप्रभेद्य हैं: उनके तर्कसंगत समाधानों के सेट समतुल्य हैं। और यह इस तथ्य के बावजूद है कि दोनों वक्रों का क्रम अलग-अलग है।

जीनस द्वारा बीजगणितीय वक्रों का वर्गीकरण अधिक सूक्ष्म है, जिसे केवल 19वीं शताब्दी में एबेल और रीमैन द्वारा पेश किया गया था। यह वर्गीकरण वक्र Γ के एकवचन बिंदुओं की संख्या को ध्यान में रखता है।

हम मानते हैं कि वक्र के समीकरण (2) में Γ बहुपद है एफ (एक्स , य) परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में अप्रासंगिक है, अर्थात। यह तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपदों के उत्पाद में विस्तारित नहीं होता है। जैसा कि ज्ञात है, बिंदु पर वक्र Γ की स्पर्शरेखा का समीकरण पी (एक्स 0 , य 0) होगा

य – य 0 = क (एक्स – एक्स 0),

क = –

एफएक्स" (एक्स 0 , य 0)

fy" (एक्स 0 , य 0)

यदि बिंदु पर पीयौगिक एफएक्स"या fy"शून्य से भिन्न है, तो ढलान कस्पर्शरेखा का एक बहुत ही निश्चित अर्थ है (यदि fy" (एक्स 0 , य 0) = 0, ए एफएक्स" (एक्स 0 , य 0) ≠ 0, फिर क=∞ और स्पर्शरेखा पर पीलंबवत होगा)।

यदि बिंदु पर पीदोनों आंशिक व्युत्पन्न लुप्त हो जाते हैं,

एफएक्स" (एक्स 0 , य 0) = 0 और fy" (एक्स 0 , य 0) = 0,

फिर बिंदु पीबुलाया विशेष .

उदाहरण के लिए, वक्र पर य 2 = एक्स 2 + एक्सइसमें 3 अंक (0, 0) विशेष होंगे एफएक्स" = –2एक्स – 3एक्स 2 और fy" = 2यशून्य पर जाओ.

चावल। 2.

सबसे सरल एकवचन बिंदु दोहरे होते हैं, जिन पर कम से कम एक व्युत्पन्न होता है एफ एक्सएक्स "" , एफ एक्सवाई ""और च yy ""शून्य से भिन्न है. चित्र में. चित्र 2 एक दोहरा बिंदु दिखाता है जहां वक्र की दो अलग-अलग स्पर्शरेखाएं हैं। अन्य अधिक जटिल एकवचन बिंदु चित्र में दिखाए गए हैं। 3.

चावल। 3.

4. समाधान

नियम 1. यदि c, d से विभाज्य नहीं है, तो समीकरण ax + vy = c का पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है। एन.ओ.डी.(ए,बी) = डी.

नियम 2. सहअभाज्य ए और बी के साथ समीकरण ax + vy = c का समाधान खोजने के लिए, आपको पहले समीकरण ax + y = 1 का एक समाधान (X o; y o) खोजना होगा; संख्याएँ CX o, Su o समीकरण ax + vy = c का हल बनाती हैं।

पूर्णांकों (x,y) में समीकरण को हल करें

5x - 8y = 19 ... (1)

पहला तरीका. चयन विधि का उपयोग करके एक विशेष समाधान ढूंढना और सामान्य समाधान रिकॉर्ड करना।

हम जानते हैं कि यदि N.O.D.(a;b) =1, अर्थात a और b सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो समीकरण (1)

इसका हल पूर्णांक x और y में है। एन.ओ.डी.(5;8) =1. चयन विधि का उपयोग करके हम एक विशेष समाधान पाते हैं: एक्स ओ = 7; य ओ =2.

तो, संख्याओं की जोड़ी (7;2) समीकरण (1) का एक विशेष समाधान है।

इसका मतलब है कि समानता कायम है: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 ... (2)

प्रश्न: एक समाधान दिए जाने पर अन्य सभी समाधान कैसे लिखें?

आइए समीकरण (1) से समानता (2) घटाएं और प्राप्त करें: 5(x -7) – 8(y - 2) =0.

अत: x – 7 = . परिणामी समानता से यह स्पष्ट है कि संख्या (x - 7) एक पूर्णांक होगी यदि और केवल यदि (y - 2) 5 से विभाज्य है, अर्थात। y – 2 = 5n, जहाँ n कोई पूर्णांक है। तो, y = 2 + 5n, x = 7 + 8n, जहां n Z.

इस प्रकार, मूल समीकरण के सभी पूर्णांक समाधान निम्नलिखित रूप में लिखे जा सकते हैं:

दूसरा तरीका . एक अज्ञात के लिए समीकरण हल करना।

हम इस समीकरण को अज्ञात के संबंध में हल करते हैं जिसका गुणांक सबसे छोटा (मॉड्यूलो) है। 5x - 8y = 19 एक्स = .

5 से विभाजित करने पर शेषफल: 0,1,2,3,4. आइए इन संख्याओं को y से प्रतिस्थापित करें।

यदि y = 0, तो x = =.

यदि y = 1, तो x = =.

यदि y = 2, तो x = = = 7 Z.

यदि y = 3, तो x = =.

यदि y = 4 है तो x = =.) निष्कर्ष

इस बीच, गणितज्ञों के विपरीत, विज्ञान के अधिकांश इतिहासकारों ने अब तक डायोफैंटस के कार्यों को कम करके आंका है। उनमें से कई का मानना था कि डायोफैंटस केवल एक ही समाधान खोजने तक सीमित था और इसके लिए विभिन्न समस्याओं के लिए अलग-अलग कृत्रिम तकनीकों का उपयोग करता था। लेकिन वास्तव में, अधिकांश डायोफैंटाइन समीकरणों में हम समान समाधान एल्गोरिदम देखते हैं।

आज, जैसा कि हम देखते हैं, कई अलग-अलग समाधान हैं, जिनके एल्गोरिदम याद रखना आसान है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह समीकरण आमतौर पर एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्य C6 में पाया जाता है। डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन इस कार्य को हल करने में मदद कर सकता है, जो महत्वपूर्ण संख्या में अंकों के लायक है।

ग्रन्थसूची

1. अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस। अंकगणित और बहुभुज संख्याओं के बारे में एक पुस्तक (आई.एन. वेसेलोव्स्की द्वारा प्राचीन ग्रीक से अनुवाद; आई.जी. बश्माकोवा द्वारा संपादन और टिप्पणियाँ)। एम., "विज्ञान", 1974.

2. बी. एल. वैन डेर वेर्डन, अवेकनिंग साइंस (आई. एन. वेसेलोव्स्की द्वारा अनुवाद)। एम., फ़िज़मैटगिज़, 1959।

3. जी. जी. त्सेटेन, पुरातनता और मध्य युग में गणित का इतिहास (पी. युशकेविच द्वारा अनुवाद)। एम.-एल., गोस्टेखिज़दत, 1932

4. ए. वी. वासिलिव, पूर्णांक। पीटर्सबर्ग, 1919

5. आई. वी. यशचेंको, एस. ए. शेस्ताकोव, पी. आई. ज़खारोव, गणित, एकीकृत राज्य परीक्षा, एमटीएसएनएमओ, 2010

अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस(प्राचीन यूनान Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; अव्य. डायोफैंटस) एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ है जो संभवतः तीसरी शताब्दी ईस्वी में रहता था। इ। अक्सर इसे "बीजगणित का जनक" कहा जाता है। "अंकगणित" के लेखक - अनिश्चित समीकरणों के सकारात्मक तर्कसंगत समाधान खोजने के लिए समर्पित पुस्तक। आजकल, "डायोफैंटाइन समीकरण" का अर्थ आमतौर पर पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण होते हैं, जिनका समाधान पूर्णांकों के बीच पाया जाना चाहिए।

जीवनी [ | ]

लैटिन अनुवाद अंकगणित (1621)

यह निम्नलिखित समीकरण को हल करने के बराबर है:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

अंकगणितडायोफैंटा[ | ]

प्रभाव अंकगणितगणित के विकास के लिए[ | ]

10वीं सदी में अंकगणितइसका अरबी में अनुवाद किया गया, जिसके बाद इस्लामिक देशों के गणितज्ञों (अबू कामिल और अन्य) ने डायोफैंटस के कुछ शोध को जारी रखा। यूरोप में, रुचि अंकगणितराफेल बोम्बेली द्वारा इस कार्य का लैटिन में अनुवाद और प्रकाशन करने और इसमें से 143 समस्याओं को प्रकाशित करने के बाद इसमें वृद्धि हुई बीजगणित(1572) 1621 में, एक उत्कृष्ट, गहन टिप्पणी वाला लैटिन अनुवाद सामने आया अंकगणित, बैचेट डी मेज़िरियाक द्वारा निष्पादित।

डायोफैंटस के अन्य कार्य[ | ]

डायोफैंटस कहाँ रहता था, इस प्रश्न के अनुभाग में लेखक ने यह प्रश्न पूछा है लैरा...सबसे अच्छा उत्तर है डायोफैंटस - (तीसरी शताब्दी ईस्वी के अंत में) - प्रसिद्ध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ।
उनके जीवन के बारे में लगभग कोई जानकारी नहीं है; यहां तक कि उनके जन्म और मृत्यु की तारीखें भी पूरी तरह विश्वसनीय नहीं हैं।
मिस्र के अलेक्जेंड्रिया शहर में रहते थे।
डायोफैंटस की गतिविधि ग्रीस के पतन के साथ मेल खाती थी, जिस पर रोम ने विजय प्राप्त की - जैसा कि ज्ञात है।
यूनानी वैज्ञानिकों को मिस्र में शरण मिली, मुख्यतः अलेक्जेंड्रिया में, जो उस समय तक विश्व संस्कृति का केंद्र बन चुका था।
अलेक्जेंड्रिया में एक शानदार पुस्तकालय बनाया गया था, जो डायोफैंटस के समय तक विश्व संस्कृति का केंद्र बन गया था और तथाकथित पुस्तकालय अलेक्जेंड्रिया में उत्पन्न हुआ था; म्यूज़ियन (म्यूज़ियन का मंदिर या अभयारण्य), जहां प्राकृतिक और गणितीय विज्ञान के सबसे उत्कृष्ट प्रतिनिधियों की गतिविधियाँ केंद्रित थीं।
इन वैज्ञानिकों में डायोफैंटस भी शामिल था, जो एक गणितज्ञ था, जिसने सीरियाई और भारतीय गणितज्ञों के साथ अपने परिचय के कारण, बीजगणित के क्षेत्र में बेबीलोनियों की उपलब्धियों को ग्रीक विज्ञान में स्थानांतरित कर दिया।

उत्तर से सिकंदर[गुरु]
ग्रीस के सभी गणितज्ञ

उत्तर से योगदान देना[नौसिखिया]
इस तथ्य को देखते हुए कि वह अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस है, वह तीसरी शताब्दी ईस्वी में अलेक्जेंड्रिया (आधुनिक मिस्र के क्षेत्र में) में रहता था। संभवतः उनके जीवन की तिथियाँ: जन्म - 325, मृत्यु - 409 ई

उत्तर से छेद करना[नौसिखिया]
अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस?
प्राचीन रोमन गणितज्ञ
एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ जो संभवतः तीसरी शताब्दी ई.पू. में रहता था। इ। अक्सर इसे "बीजगणित का जनक" कहा जाता है। "अंकगणित" के लेखक - अनिश्चित समीकरणों के सकारात्मक तर्कसंगत समाधान खोजने के लिए समर्पित पुस्तक। आजकल, "डायोफैंटाइन समीकरण" का अर्थ आमतौर पर पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण होते हैं, जिनका समाधान पूर्णांकों के बीच पाया जाना चाहिए।

ऑक्टोपस के 8 पैर होते हैं, स्टारफिश के 5 होते हैं।

यदि एक्वेरियम में कुल 39 अंग हैं तो कितने समुद्री जानवर हैं?

अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ हैं जो संभवतः तीसरी शताब्दी ईस्वी में रहते थे।

उनके जीवन के विवरण के बारे में लगभग कुछ भी ज्ञात नहीं है। एक ओर, डायोफैंटस हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व) को उद्धृत करता है; दूसरी ओर, अलेक्जेंड्रिया के थियोन (लगभग 350 ई.) ने डायोफैंटस के बारे में लिखा है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उसका जीवन इसी काल की सीमाओं के भीतर हुआ था। डायोफैंटस के जीवन के समय का संभावित स्पष्टीकरण इस तथ्य पर आधारित है कि उनका "अंकगणित" "सबसे सम्मानित डायोनिसियस" को समर्पित है। ऐसा माना जाता है कि यह डायोनिसियस कोई और नहीं बल्कि अलेक्जेंड्रिया के बिशप डायोनिसियस हैं, जो तीसरी शताब्दी के मध्य में रहते थे। एन। इ।

पैलेटाइन एंथोलॉजी में एक एपिग्राम-कार्य शामिल है जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि डायोफैंटस 84 वर्ष जीवित रहे:

डायोफैंटस की राख कब्र में पड़ी है; उसे और पत्थर को देखकर आश्चर्यचकित हो जाओ

मृतक की उम्र उसकी बुद्धिमान कला से पता चलेगी।

देवताओं की इच्छा से, उन्होंने अपने जीवन का छठा हिस्सा एक बच्चे के रूप में जीया।

और मैं साढ़े पांच बजे अपने गालों पर फुंसी के साथ मिला।

ठीक सातवें दिन उसने अपनी गर्लफ्रेंड से सगाई कर ली।

उसके साथ पाँच वर्ष बिताने के बाद ऋषि को एक पुत्र हुआ;

उनके पिता का प्रिय पुत्र केवल आधा जीवन ही जी सका।

उन्हें उनके पिता से उनकी प्रारंभिक कब्र द्वारा छीन लिया गया था।

दो वर्ष में दो बार माता-पिता ने भारी दुःख मनाया,

यहाँ मैंने अपने दुःखी जीवन की सीमा देखी।

समीकरणों को हल करने के आधुनिक तरीकों का उपयोग करके, यह गणना करना संभव है कि डायोफैंटस कितने वर्षों तक जीवित रहा। आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

इस समीकरण का हल संख्या 84 है। इस प्रकार, डायोफैंटस 84 वर्ष जीवित रहा।

13 पुस्तकों में डायोफैंटस का मुख्य कार्य "अंकगणित" है। दुर्भाग्य से, 13 में से केवल पहली 6 पुस्तकें ही बची हैं।

पहली पुस्तक एक व्यापक परिचय से पहले है, जो डायोफैंटस द्वारा प्रयुक्त नोटेशन का वर्णन करती है। डायोफैंटस अज्ञात को एक "संख्या" (?ριθμ?ς) कहता है और इसे अक्षर ς से दर्शाता है, अज्ञात का वर्ग एक प्रतीक के साथ (δ?ναμις का संक्षिप्त रूप - "डिग्री")। अज्ञात की निम्नलिखित डिग्री के लिए, छठे तक, जिसे घन-घन कहा जाता है, और उनके विपरीत डिग्री के लिए विशेष संकेत प्रदान किए जाते हैं। डायोफैंटस के पास कोई अतिरिक्त चिह्न नहीं है: वह बस एक दूसरे के आगे सकारात्मक शब्द लिखता है, और प्रत्येक पद में पहले अज्ञात की डिग्री लिखी जाती है, और फिर संख्यात्मक गुणांक। घटाए गए पद भी साथ-साथ लिखे जाते हैं और उनके पूरे समूह के सामने उल्टे अक्षर Ψ के रूप में एक विशेष चिह्न लगाया जाता है। समान चिह्न को दो अक्षरों ?σ द्वारा दर्शाया जाता है (?σος का संक्षिप्त रूप - "बराबर")। समान पद लाने का नियम और समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या या अभिव्यक्ति जोड़ने या घटाने का नियम तैयार किया गया: जिसे बाद में अल-ख्वारिज्मी ने "अल-जबर और अल-मुकाबला" कहा। एक साइन नियम पेश किया गया है: माइनस गुणा माइनस प्लस देता है; इस नियम का उपयोग दो भावों को घटाए गए पदों से गुणा करते समय किया जाता है। यह सब ज्यामितीय व्याख्याओं के संदर्भ के बिना, सामान्य शब्दों में तैयार किया गया है।

अधिकांश कार्य समाधान के साथ समस्याओं का एक संग्रह है (छह जीवित पुस्तकों में कुल 189 हैं), सामान्य तरीकों को चित्रित करने के लिए कुशलतापूर्वक चुना गया है। "अंकगणित" की मुख्य समस्या अनिश्चित समीकरणों के लिए सकारात्मक तर्कसंगत समाधान ढूंढना है। डायोफैंटस द्वारा परिमेय संख्याओं की व्याख्या प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही की जाती है, जो प्राचीन गणितज्ञों के लिए विशिष्ट नहीं है।

सबसे पहले, डायोफैंटस 2 अज्ञात में दूसरे क्रम के समीकरणों की प्रणालियों की जांच करता है; यदि कोई समाधान पहले से ही ज्ञात है तो यह अन्य समाधान खोजने के लिए एक विधि निर्दिष्ट करता है। फिर वह उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए समान तरीकों को लागू करता है।

10वीं शताब्दी में, "अंकगणित" का अरबी में अनुवाद किया गया, जिसके बाद इस्लामिक देशों (अबू कामिल और अन्य) के गणितज्ञों ने डायोफैंटस के कुछ शोध को जारी रखा। यूरोप में अंकगणित में रुचि तब बढ़ी जब राफेल बोम्बेली ने वेटिकन लाइब्रेरी में इस कार्य की खोज की और अपने बीजगणित (1572) में इसकी 143 समस्याओं को प्रकाशित किया। 1621 में, "अंकगणित" का एक क्लासिक, पूरी तरह से टिप्पणी किया गया लैटिन अनुवाद सामने आया, जिसे बैचेट डी मेज़िरियाक द्वारा किया गया था। डायोफैंटस के तरीकों का फ्रांकोइस विएते और पियरे फ़र्मेट पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ा; गॉस और यूलर के अध्ययन के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया। हालाँकि, आधुनिक समय में, अनिश्चित समीकरणों को आमतौर पर पूर्ण संख्याओं में हल किया जाता है, न कि तर्कसंगत संख्याओं में, जैसा कि डायोफैंटस ने किया था।

20वीं शताब्दी में डायोफैंटस के नाम से अंकगणित की 4 और पुस्तकों के अरबी पाठ की खोज की गई। गणित के कुछ इतिहासकारों ने, इस पाठ का विश्लेषण करने के बाद, यह परिकल्पना सामने रखी कि उनका लेखक डायोफैंटस नहीं था, बल्कि एक टिप्पणीकार था जो डायोफैंटस की पद्धतियों में पारंगत था, संभवतः हाइपेटिया।

डायोफैंटस का ग्रंथ "ऑन पॉलीगोनल नंबर्स" (Περ? πολυγ?νων ?ριθμ?ν) पूरी तरह से संरक्षित नहीं किया गया है; संरक्षित भाग में, ज्यामितीय बीजगणित विधियों का उपयोग करके कई सहायक प्रमेय प्राप्त किए गए हैं।

डायोफैंटस के कार्यों से "सतहों के माप पर" (?πιπεδομετρικ?) और "गुणन पर" (Περ? πολλαπλασιασμο?) के केवल टुकड़े भी संरक्षित किए गए हैं।

डायोफैंटस की पुस्तक "पोरिज्म्स" का ज्ञान अंकगणित में प्रयुक्त कुछ प्रमेयों से ही होता है।

आज समीकरण इस रूप में है

कहाँ पी- एक पूर्णांक फलन (उदाहरण के लिए, पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद), और चर पूर्णांक मान लेते हैं, जिसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ - डायोफैंटाइन के सम्मान में कहा जाता है।

संभवतः सबसे प्रसिद्ध डायोफैंटाइन समीकरण है

इसके समाधान पायथागॉरियन त्रिक हैं: (3; 4; 5), (6; 8; 10), (5; 12; 13), (12; 35; 37)…

डायोफैंटाइन समीकरण के पूर्णांकों में अघुलनशीलता का प्रमाण

पर (फर्मेट्स लास्ट थ्योरम) को अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने 1994 में पूरा किया था।

डायोफैंटाइन समीकरण का एक अन्य उदाहरण पेल समीकरण है

पैरामीटर कहां है एनएक सटीक वर्ग नहीं है.

हिल्बर्ट की दसवीं समस्या उन 23 समस्याओं में से एक है जिसे डेविड हिल्बर्ट ने 8 अगस्त, 1900 को गणितज्ञों की दूसरी अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में प्रस्तावित किया था। हिल्बर्ट की रिपोर्ट में, दसवीं समस्या का सूत्रीकरण सबसे छोटा है:

मान लीजिए कि मनमाना अज्ञात और पूर्णांक तर्कसंगत संख्यात्मक गुणांक वाला एक डायोफैंटाइन समीकरण दिया गया है। उस विधि को इंगित करें जिसके द्वारा यह संभव है, सीमित संख्या में संचालन के बाद, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह समीकरण तर्कसंगत पूर्णांकों में हल करने योग्य है।

इस समस्या की एल्गोरिदमिक अघुलनशीलता को साबित करने में लगभग बीस साल लग गए और इसे 1970 में यूरी मटियासेविच द्वारा पूरा किया गया।

अलेक्जेंड्रिया (तीसरी शताब्दी) के पप्पस की गतिविधियों के लिए धन्यवाद, प्राचीन वैज्ञानिकों और उनके कार्यों के बारे में जानकारी हम तक पहुंची है। अपोलोनियस (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व से) के बाद, प्राचीन विज्ञान में गिरावट शुरू हुई। कोई नये गहरे विचार सामने नहीं आते. 146 ईसा पूर्व में. इ। रोम ने ग्रीस पर कब्ज़ा कर लिया, और 31 ई.पू. में। इ। - अलेक्जेंड्रिया। सामान्य ठहराव और गिरावट की पृष्ठभूमि के खिलाफ, महान प्राचीन गणितज्ञों में से अंतिम, "बीजगणित के जनक" अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस की विशाल आकृति तेजी से सामने आती है।

निम्नलिखित गणितीय वस्तुओं का नाम डायोफैंटस के नाम पर रखा गया है: