त्रिभुज की ऊँचाईयाँ कहाँ प्रतिच्छेद करती हैं? त्रिभुज के बारे में वह सब कुछ जो आपको जानना आवश्यक है

समकोण त्रिभुज ऊंचाई प्रमेय

यदि लंबाई के एक समकोण त्रिभुज ABC में ऊंचाई, समकोण के शीर्ष से खींची गई, लंबाई के कर्ण को और पैरों के अनुरूप खंडों में विभाजित करती है, तो निम्नलिखित समानताएं सत्य हैं:

·

·

एक त्रिभुज की ऊंचाई के आधारों के गुण

· कारणऊंचाइयां एक तथाकथित ऑर्थोट्राएंगल बनाती हैं, जिसके अपने गुण होते हैं।

· लंबकोण के चारों ओर परिचालित वृत्त यूलर वृत्त है. इस वृत्त में त्रिभुज की भुजाओं के तीन मध्यबिंदु और लंबकेंद्र को त्रिभुज के शीर्षों से जोड़ने वाले तीन खंडों के तीन मध्यबिंदु भी शामिल हैं।

अंतिम संपत्ति का एक और सूत्रीकरण:

· नौ-बिंदु वृत्त के लिए यूलर का प्रमेय.

कारणतीन ऊंचाइयोंमनमाना त्रिभुज, इसकी तीन भुजाओं के मध्यबिंदु ( इसके आंतरिक की नींवमाध्यिकाएँ) और इसके शीर्षों को लंबकेंद्र से जोड़ने वाले तीन खंडों के मध्यबिंदु, सभी एक ही वृत्त पर स्थित हैं (पर) नौ बिंदु वृत्त).

· प्रमेय. किसी भी त्रिभुज में जोड़ने वाला खंड मैदानदो ऊंचाइयोंत्रिभुज, दिए गए त्रिभुज के समान एक त्रिभुज काटता है।

· प्रमेय. एक त्रिभुज में, जोड़ने वाला खंड मैदानदो ऊंचाइयोंदो भुजाओं पर स्थित त्रिभुज antiparallelकिसी तीसरे पक्ष के साथ जिसके साथ उसका कोई साझा आधार नहीं है। एक वृत्त हमेशा इसके दोनों सिरों के माध्यम से, साथ ही उल्लिखित तीसरी भुजा के दो शीर्षों के माध्यम से भी खींचा जा सकता है।

त्रिभुज ऊंचाई के अन्य गुण

· यदि त्रिभुज बहुमुखी (विषम भुज तथ कोण वाला), तो यह आंतरिककिसी शीर्ष से खींचा गया समद्विभाजक किसके बीच स्थित होता है? आंतरिकमाध्यिका और ऊँचाई एक ही शीर्ष से खींची गई।

एक त्रिभुज की ऊंचाई समकोणीय रूप से व्यास (त्रिज्या) से संयुग्मित होती है परिवृत्त, एक ही शीर्ष से खींचा गया।

· एक न्यूनकोण त्रिभुज में दो होते हैं ऊंचाइयोंइसमें से समरूप त्रिभुजों को काट लें।

· एक समकोण त्रिभुज में ऊंचाईएक समकोण के शीर्ष से खींचा गया, इसे मूल के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

त्रिभुज की न्यूनतम ऊँचाई के गुण

किसी त्रिभुज की न्यूनतम ऊँचाई में कई चरम गुण होते हैं। उदाहरण के लिए:

· त्रिभुज के तल में स्थित रेखाओं पर त्रिभुज के न्यूनतम ओर्थोगोनल प्रक्षेपण की लंबाई इसकी सबसे छोटी ऊंचाई के बराबर होती है।

· समतल में न्यूनतम सीधा कट जिसके माध्यम से एक कठोर त्रिकोणीय प्लेट को खींचा जा सकता है, उसकी लंबाई इस प्लेट की सबसे छोटी ऊंचाई के बराबर होनी चाहिए।

· जब दो बिंदु किसी त्रिभुज की परिधि के अनुदिश एक-दूसरे की ओर लगातार गति करते हैं, तो पहली मुलाकात से दूसरी मुलाकात तक गति के दौरान उनके बीच की अधिकतम दूरी त्रिभुज की सबसे छोटी ऊंचाई की लंबाई से कम नहीं हो सकती।

· किसी त्रिभुज की न्यूनतम ऊंचाई हमेशा उस त्रिभुज के अंदर होती है.

बुनियादी रिश्ते

· त्रिभुज का क्षेत्रफल कहां है, त्रिभुज की उस भुजा की लंबाई है जिससे ऊंचाई कम की गई है।

· भुजाओं का गुणनफल कहाँ है, परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या

· ,

अंकित वृत्त की त्रिज्या कहाँ है?

त्रिभुज का क्षेत्रफल कहाँ है.

त्रिभुज की वह भुजा कहाँ है जिस तक ऊँचाई उतरती है।

· समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई आधार से कम:

आधार कहां है.

· - समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई।

एक समबाहु त्रिभुज में माध्यिकाएँ और ऊँचाईयाँ

एक त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्रत्रिकोण. और समबाहु त्रिभुजों में, माध्यिकाएँ और ऊँचाईयाँ एक ही चीज़ हैं।

एक मनमाना त्रिभुज ABC पर विचार करें। आइए हम इसकी माध्यिकाओं AA1 और BB1 के प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर O से निरूपित करें और इस त्रिभुज की मध्य रेखा A1B1 खींचें। त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। खंड A1B1 भुजा AB के समानांतर है, इसलिए कोण 1 और 2 हैं , साथ ही कोण 3 और 4 छेदक AA1 और BB1 द्वारा समानांतर रेखाओं AB और A1B1 के प्रतिच्छेदन पर क्रॉसस्वाइज़ कोण के बराबर हैं। इसलिए, त्रिभुज AOB और A1OB1 दो कोणों में समान हैं, और इसलिए उनकी भुजाएँ आनुपातिक हैं: AOA1O=BOB1O=ABA1B1। लेकिन AB=2⋅A1B1, इसलिए AO=2⋅A1O और BO=2⋅B1O। इस प्रकार, माध्यिका AA1 और BB1 का प्रतिच्छेदन बिंदु O उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसी प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि माध्यिकाएँ BB1 और CC1 का प्रतिच्छेद बिंदु उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, और इसलिए बिंदु O के साथ संपाती होता है। इस प्रकार, त्रिभुज ABC की सभी तीन माध्यिकाएँ पर प्रतिच्छेद करती हैं बिंदु O को ऊपर से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए कल्पना करें कि कोण m₁=1 के शीर्षों पर, फिर बिंदुओं A₁,B₁,C₁, m₂=2 पर, क्योंकि वे भुजाओं के मध्यबिंदु हैं। और यहां आप देख सकते हैं कि खंड AA₁,BB₁,CC₁, जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक आधार O वाले लीवर के समान हैं, जहां AO-l₁, और OA₁-l₂ (कंधे)। और भौतिक सूत्र F₁/F₂=l₁/l₂ के अनुसार, जहां F=m*g, जहां g-const, और इसे तदनुसार कम किया जाता है, यह m₁/m₂=l₁/l₂ यानी निकलता है। ½=1/2.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

ऑर्थोत्रिकोण

गुण:

· किसी त्रिभुज की तीन ऊँचाईयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, इस बिंदु को लंबकेन्द्र कहा जाता है

· एक लम्ब त्रिभुज की दो आसन्न भुजाएँ मूल त्रिभुज की संगत भुजा के साथ समान कोण बनाती हैं

एक त्रिभुज की ऊंचाई एक लम्ब त्रिभुज के समद्विभाजक हैं

· ऑर्थोत्रिभुज सबसे छोटी परिधि वाला त्रिभुज है जिसे किसी दिए गए त्रिभुज के भीतर अंकित किया जा सकता है (फैग्नानो समस्या)

· एक लंबकोण का परिमाप त्रिभुज की ऊंचाई और जिस कोण से यह निकलता है उसकी ज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है।

· यदि न्यूनकोण त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, AC और AB पर क्रमशः बिंदु A 1 , B 1 और C 1 ऐसे हैं कि

तो यह त्रिभुज ABC का एक लम्ब त्रिभुज है।

ऑर्थोट्राएंगल इसके समान त्रिभुजों को काटता है

एक ऑर्थोट्राइंगल के समद्विभाजक की संपत्ति पर प्रमेय

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-द्विभाजक ∟B₁C₁A

AA₁-द्विभाजक ∟B₁A₁C₁

BB₁-द्विभाजक ∟A₁B₁C₁

त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज है, या तीन कड़ियों वाली एक बंद टूटी हुई रेखा है, या तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों से बनी एक आकृति है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं (चित्र 1 देखें)।

त्रिभुज एबीसी के मूल तत्व

चोटियों - बिंदु ए, बी, और सी;

दलों - शीर्षों को जोड़ने वाले खंड a = BC, b = AC और c = AB;

एंगल्स - α, β, γ तीन जोड़ी भुजाओं से बनते हैं। कोणों को अक्सर शीर्षों की तरह ही ए, बी और सी अक्षरों से निर्दिष्ट किया जाता है।

किसी त्रिभुज की भुजाओं से बना और उसके आंतरिक क्षेत्र में पड़ने वाले कोण को आंतरिक कोण कहा जाता है, और उससे सटे कोण को त्रिभुज का आसन्न कोण कहा जाता है (2, पृष्ठ 534)।

त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ

त्रिभुज में मुख्य तत्वों के अलावा, दिलचस्प गुणों वाले अन्य खंडों पर भी विचार किया जाता है: ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ।

ऊंचाई

त्रिभुज की ऊँचाई- ये त्रिभुज के शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर डाले गए लम्ब हैं।

ऊँचाई आलेखित करने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) त्रिभुज की एक भुजा वाली एक सीधी रेखा खींचिए (यदि ऊँचाई एक अधिक त्रिभुज में न्यून कोण के शीर्ष से खींची गई हो);

2) खींची गई रेखा के विपरीत स्थित शीर्ष से इस रेखा तक 90 डिग्री का कोण बनाते हुए एक खंड बनाएं।

वह बिंदु जहाँ ऊँचाई त्रिभुज की भुजा को काटती है, कहलाता है ऊंचाई का आधार (चित्र 2 देखें)।

त्रिभुज ऊंचाई के गुण

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसके दो शीर्षलंब समरूप त्रिभुजों को इससे काट देते हैं।

यदि त्रिभुज तीव्र है, तो ऊँचाई के सभी आधार त्रिभुज की भुजाओं से संबंधित होते हैं, और एक अधिक त्रिभुज में, दो ऊँचाइयाँ भुजाओं की निरंतरता पर पड़ती हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन शीर्षलंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु को कहा जाता है ऑर्थोसेंटर त्रिकोण.

मंझला

माध्यिकाओं(लैटिन मेडियाना से - "मध्य") - ये त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड हैं (चित्र 3 देखें)।

माध्यिका बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) भुजा के मध्य का पता लगाएं;

2) उस बिंदु को जो त्रिभुज की भुजा के मध्य में विपरीत शीर्ष के साथ है, एक खंड से जोड़ें।

त्रिभुज माध्यिकाओं के गुण

माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्र त्रिकोण.

सम्पूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।

द्विभाजक

समद्विभाजक(लैटिन बीआईएस से - दो बार और सेको - कट) एक त्रिभुज के अंदर घिरे सीधी रेखा खंड हैं जो इसके कोणों को समद्विभाजित करते हैं (चित्र 4 देखें)।

समद्विभाजक बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कदम उठाने होंगे:

1) कोण के शीर्ष से निकलने वाली एक किरण बनाएं और इसे दो बराबर भागों (कोण का समद्विभाजक) में विभाजित करें;

2) विपरीत भुजा वाले त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें;

3) त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले एक खंड का चयन करें।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस बिंदु को अंकित वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

आंतरिक और बाह्य कोणों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा के विस्तार को काटता है, तो ADBD=ACBC.

त्रिभुज के एक आंतरिक और दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु इस त्रिभुज के तीन बाह्यवृत्तों में से एक का केंद्र है।

किसी त्रिभुज के दो आंतरिक और एक बाह्य कोण के समद्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं यदि बाह्य कोण का समद्विभाजक त्रिभुज की विपरीत भुजा के समानांतर नहीं होता है।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोणों के समद्विभाजक विपरीत भुजाओं के समानांतर नहीं हैं, तो उनके आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करते समय, विशुद्ध रूप से गणितीय और व्यावहारिक प्रकृति (विशेष रूप से निर्माण में) दोनों में, एक निश्चित ज्यामितीय आकृति की ऊंचाई का मूल्य निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है। त्रिभुज में इस मान (ऊंचाई) की गणना कैसे करें?

यदि हम 3 बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं जो एक रेखा पर स्थित नहीं हैं, तो परिणामी आकृति एक त्रिभुज होगी। ऊँचाई किसी आकृति के किसी शीर्ष से सीधी रेखा का वह भाग है, जो विपरीत भुजा से प्रतिच्छेद करते समय 90° का कोण बनाती है।

एक विषमबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

आइए उस स्थिति में त्रिभुज की ऊंचाई का मान निर्धारित करें जब आकृति में मनमाना कोण और भुजाएँ हों।

बगुला का सूत्र

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, जहां

पी - आकृति का आधा परिमाप, एच(ए) - भुजा ए का एक खंड, जो इसके समकोण पर खींचा गया है,

p=(a+b+c)/2 - अर्ध-परिधि की गणना।

यदि आकृति का कोई क्षेत्र है, तो आप इसकी ऊंचाई निर्धारित करने के लिए संबंध h(a)=2S/a का उपयोग कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय कार्य

एक खंड की लंबाई निर्धारित करने के लिए जो पक्ष ए के साथ प्रतिच्छेद करते समय समकोण बनाता है, आप निम्नलिखित संबंधों का उपयोग कर सकते हैं: यदि पक्ष बी और कोण γ या पक्ष सी और कोण β ज्ञात हैं, तो h(a)=b*sinγ या h(a)=c *sinβ.
कहाँ:
γ - भुजा b और a के बीच का कोण,
β भुजा c और a के बीच का कोण है।

त्रिज्या से संबंध

यदि मूल त्रिभुज किसी वृत्त में अंकित है, तो आप ऊंचाई निर्धारित करने के लिए ऐसे वृत्त की त्रिज्या का उपयोग कर सकते हैं। इसका केंद्र उस बिंदु पर स्थित है जहां सभी 3 ऊंचाइयां (प्रत्येक शीर्ष से) प्रतिच्छेद करती हैं - ऑर्थोसेंटर, और इससे शीर्ष (कोई भी) की दूरी त्रिज्या है।

फिर h(a)=bc/2R, जहां:
b, c - त्रिभुज की 2 अन्य भुजाएँ,
R त्रिभुज के परितः परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई ज्ञात कीजिए

इस प्रकार की ज्यामितीय आकृति में, 2 भुजाएँ, प्रतिच्छेद करते समय, एक समकोण बनाती हैं - 90°। इसलिए, यदि आप इसमें ऊंचाई का मान निर्धारित करना चाहते हैं, तो आपको या तो किसी एक पैर के आकार की गणना करने की आवश्यकता है, या कर्ण के साथ 90° बनाने वाले खंड के आकार की गणना करने की आवश्यकता है। नामित करते समय:
ए, बी - पैर,
सी - कर्ण,
h(c) - कर्ण के लंबवत।
आप निम्नलिखित संबंधों का उपयोग करके आवश्यक गणना कर सकते हैं:

• पाइथागोरस प्रमेय:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, क्योंकि S=ab/2, फिर h(c)=ab/c।

• त्रिकोणमितीय कार्य:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* synβ* cosβ।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

यह ज्यामितीय आकृति समान आकार की दो भुजाओं और एक तिहाई - आधार की उपस्थिति से भिन्न होती है। तीसरे, विशिष्ट पक्ष की ओर खींची गई ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय बचाव में आता है। अंकन के साथ
ए - पक्ष,
सी - आधार,
h(c) 90° के कोण पर c से एक खंड है, तो h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2)।

पाठ में त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के गुणों और सूत्रों का वर्णन है, साथ ही समस्या समाधान के उदाहरण भी हैं। यदि आपको किसी उपयुक्त समस्या का समाधान नहीं मिला है - इसके बारे में फोरम पर लिखें. निश्चित रूप से पाठ्यक्रम पूरक होगा.

त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज की ऊंचाई- किसी त्रिभुज के शीर्ष से गिराया गया एक लंब, शीर्ष के विपरीत दिशा में या उसकी निरंतरता पर खींचा गया। गुणत्रिकोण ऊंचाई: यदि किसी त्रिभुज में दो ऊँचाईयाँ बराबर हों तो त्रिभुज समद्विबाहु होता है किसी भी त्रिभुज में, त्रिभुज की दो ऊँचाइयों के आधारों को जोड़ने वाला एक खंड दिए गए त्रिभुज के समान एक त्रिभुज को काटता है एक त्रिभुज में, त्रिभुज की दो भुजाओं पर स्थित दो ऊँचाइयों के आधारों को जोड़ने वाला एक खंड तीसरी भुजा के गैर-समानांतर होता है, जिसके साथ इसका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता है। इसके दोनों सिरों के माध्यम से, साथ ही इस तरफ के दो शीर्षों के माध्यम से, आप हमेशा एक वृत्त खींच सकते हैं एक न्यूनकोण त्रिभुज में, उसके दो शीर्षलंब समरूप त्रिभुजों को काट देते हैं किसी त्रिभुज की न्यूनतम ऊंचाई हमेशा उस त्रिभुज के अंदर होती है त्रिभुज का लंबकेन्द्र त्रिभुज की सभी तीन ऊँचाइयाँ (तीन शीर्षों से खींची गई) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो ऑर्थोसेंटर कहा जाता है. ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, दो ऊंचाइयां खींचना पर्याप्त है (दो रेखाएं केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)। लंबकेन्द्र (बिंदु O) का स्थान त्रिभुज के प्रकार से निर्धारित होता है। एक न्यून त्रिभुज के लिए, शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के तल में होता है। (चित्र .1)। एक समकोण त्रिभुज में, ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु समकोण के शीर्ष के साथ मेल खाता है (चित्र 2)। एक अधिक त्रिभुज के लिए, ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के तल के पीछे स्थित होता है (चित्र 3)। एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए, त्रिभुज के आधार पर खींची गई माध्यिका, समद्विभाजक और ऊंचाई समान होती है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी तीन "उल्लेखनीय" रेखाएँ (ऊंचाई, द्विभाजक और माध्यिका) संपाती होती हैं और तीन "उल्लेखनीय" बिंदु (लंबकेन्द्र के बिंदु, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र और अंकित और परिचालित वृत्तों का केंद्र) स्थित होते हैं। "उल्लेखनीय" रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समान है, अर्थात्। भी मेल खाता है.

उच्च त्रिकुट्निका ट्राइक्यूबिट्यूल की ऊंचाई ट्राइक्यूबिट्यूल के शीर्ष से लंबवत उतरती हुई, प्रोटिडल शीर्ष पर या उसके विस्तार पर चित्रित होती है। ट्राइक्यूबिटस की सभी तीन ऊंचाइयां (तीन शीर्षों से खींची गई) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है। क्रॉस-हाइट्स का बिंदु खोजने के लिए, आपको दो ऊंचाइयां खींचने की आवश्यकता है (दो सीधी रेखाएं केवल एक बिंदु पर क्रॉस करती हैं)। ऑर्थोसेंटर (बिंदु O) का स्थान ट्राइकुपुटाइड के प्रकार से निर्धारित होता है। गोस्ट्रोकुटनी त्रिकुटनिक में, ऊंचाई पार करने का बिंदु त्रिकुटनिक के तल में स्थित है। (मल.1). स्ट्रेट-कट ट्राइकट में, क्रॉस की ऊंचाई का बिंदु सीधे कट के शीर्ष से मिलता है (मल 2)। एक अधिक कोण वाले ट्राइकुटनिक में, ऊंचाई की क्रॉस-लाइन का बिंदु ट्राइकटनिक की समतलता के पीछे स्थित होता है (Mal.3)। आइसोस्फेमोरल ट्राइकुलस में, ट्राइक्यूटिनम के आधार तक खींची गई माध्यिका, द्विभाजक और ऊंचाई बराबर होती है। एक समबाहु ट्राइक्यूब में, सभी तीन "चिह्नित" रेखाओं (ऊंचाई, द्विभाजक और माध्यिका) से बचा जाता है और तीन "चिह्नित" बिंदु (ऑर्थोसेंटर बिंदु, रेखा का केंद्र और अंकित और वर्णित कील का केंद्र) एक ही स्थान पर स्थित होते हैं। स्थानांतरण का बिंदु "गंदी" लाइनों की कीचड़ है, इसलिए उनसे बचा भी जा सकता है।

त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के सूत्र

त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के सूत्रों को समझना आसान बनाने के लिए यह चित्र दिखाया गया है। सामान्य नियम यह है कि किसी भुजा की लंबाई को संबंधित कोण के विपरीत एक छोटे अक्षर से दर्शाया जाता है। अर्थात्, भुजा a, कोण A के विपरीत स्थित है।
सूत्रों में ऊँचाई को अक्षर h द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसका सबस्क्रिप्ट उस तरफ से मेल खाता है जिस तरफ इसे उतारा गया है।

अन्य पदनाम:
ए, बी, सी- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई
एच ए- विपरीत कोण से भुजा a पर खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई
एच बी- ऊंचाई बी तरफ खींची गई
एच सी- साइड सी की ओर खींची गई ऊँचाई
आर- परिचालित वृत्त की त्रिज्या
आर- अंकित वृत्त की त्रिज्या

सूत्रों के लिए स्पष्टीकरण.
किसी त्रिभुज की ऊँचाई उस कोण से सटे भुजा की लंबाई के गुणनफल के बराबर होती है जिससे यह ऊँचाई हटाई जाती है और इस भुजा और उस भुजा के बीच के कोण की ज्या जिससे यह ऊँचाई हटाई जाती है (सूत्र 1)
एक त्रिभुज की ऊँचाई उस भुजा की लंबाई से विभाजित त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के भागफल के बराबर होती है जिससे यह ऊँचाई कम होती है (सूत्र 2)
एक त्रिभुज की ऊंचाई उस कोण से सटे पक्षों के उत्पाद को विभाजित करने के भागफल के बराबर होती है, जहां से यह ऊंचाई उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या से दोगुनी होती है (फॉर्मूला 4)।
एक त्रिभुज में भुजाओं की ऊँचाइयाँ एक-दूसरे से उसी अनुपात में संबंधित होती हैं जैसे एक ही त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का व्युत्क्रम अनुपात एक-दूसरे से संबंधित होता है, और एक त्रिभुज की भुजाओं के युग्मों के गुणनफल भी उसी अनुपात में संबंधित होते हैं। एक उभयनिष्ठ कोण एक दूसरे से समान अनुपात में संबंधित होते हैं (सूत्र 5)।
किसी त्रिभुज की ऊँचाइयों के व्युत्क्रम मानों का योग ऐसे त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के व्युत्क्रम मान के बराबर होता है (सूत्र 6)
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल इस त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई के माध्यम से पाया जा सकता है (फॉर्मूला 7)
त्रिभुज की उस भुजा की लंबाई जिससे ऊंचाई कम की गई है, सूत्र 7 और 2 का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है।

कार्य चालू.

एक समकोण त्रिभुज ABC (कोण C = 90 0) में ऊँचाई CD खींची गई है। यदि AD = 9 सेमी, BD = 16 सेमी है तो CD निर्धारित करें

समाधान.

त्रिभुज ABC, ACD और CBD एक दूसरे के समान हैं। यह सीधे समानता की दूसरी कसौटी का अनुसरण करता है (इन त्रिभुजों में कोणों की समानता स्पष्ट है)।

समकोण त्रिभुज एकमात्र प्रकार का त्रिभुज है जिसे एक दूसरे और मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में काटा जा सकता है।

शीर्षों के इस क्रम में इन तीन त्रिभुजों के पदनाम: एबीसी, एसीडी, सीबीडी। इस प्रकार, हम एक साथ शीर्षों की संगतता दिखाते हैं। (त्रिभुज ABC का शीर्ष A, त्रिभुज ACD के शीर्ष A और त्रिभुज CBD के शीर्ष C से भी मेल खाता है, आदि)

त्रिभुज ABC और CBD समरूप हैं। मतलब:

एडी/डीसी = डीसी/बीडी, यानी

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने में समस्या।

त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। इस स्थिति में, C एक समकोण है। इससे ऊंचाई CD = 6 सेमी निकाली गई है। खंडों के बीच अंतर BD-AD=5 सेमी.

खोजें: त्रिभुज ABC की भुजाएँ।

समाधान.

1. आइए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं

सीडी 2 +बीडी 2 =बीसी 2

सीडी 2 +एडी 2 =एसी 2

चूँकि CD=6

चूँकि BD-AD=5, तो

BD = AD+5, तब समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेता है

36+(एडी+5) 2 =बीसी 2

आइए पहले और दूसरे समीकरण को जोड़ें। चूँकि बायाँ भाग बाएँ में और दायाँ भाग दाएँ में जोड़ा जाता है, इसलिए समानता का उल्लंघन नहीं होगा। हम पाते हैं:

36+36+(एडी+5) 2 +एडी 2 =एसी 2 +बीसी 2

72+(एडी+5) 2 +एडी 2 =एसी 2 +बीसी 2

2. अब, त्रिभुज के मूल चित्र को देखते हुए, उसी पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, समानता संतुष्ट होनी चाहिए:

एसी 2 +बीसी 2 =एबी 2

चूँकि AB=BD+AD, समीकरण बन जाता है:

एसी 2 +बीसी 2 =(एडी+बीडी) 2

चूँकि BD-AD=5, तो BD = AD+5, तो

एसी 2 + बीसी 2 =(एडी+एडी+5) 2

3. अब आइए समाधान के पहले और दूसरे भाग को हल करते समय प्राप्त परिणामों पर एक नज़र डालें। अर्थात्:

72+(एडी+5) 2 +एडी 2 =एसी 2 +बीसी 2

एसी 2 + बीसी 2 =(एडी+एडी+5) 2

उनमें एक उभयनिष्ठ भाग AC 2 +BC 2 है। इस प्रकार, आइए उन्हें एक-दूसरे के बराबर समझें।

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+एडी 2 +10एडी+25+एडी 2 =4एडी 2 +20एडी+25

2AD 2 -10AD+72=0

परिणामी द्विघात समीकरण में, विभेदक क्रमशः D=676 के बराबर है, समीकरण की जड़ें बराबर हैं:

चूँकि खंड की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम पहले मूल को हटा देते हैं।

क्रमश

एबी = बीडी + एडी = 4 + 9 = 13

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम त्रिभुज की शेष भुजाएँ ज्ञात करते हैं:

एसी = (52) का मूल

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• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
• यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को प्रकट नहीं करते हैं।

अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून, न्यायिक प्रक्रिया के अनुसार, कानूनी कार्यवाही में, और/या सार्वजनिक अनुरोधों या रूसी संघ के क्षेत्र में सरकारी अधिकारियों से अनुरोध के आधार पर - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करने के लिए। यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक महत्व के उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उचित है, तो हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तीसरे पक्ष को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।