Ono što se zove tangens oštrog kuta pravokutnog trokuta. Pravokutni trokut

Mislim da zaslužuješ više od toga. Evo mog ključa trigonometrije:

• Nacrtajte kupolu, zid i strop
• Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo nego postoci ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih na djelu tako što ćete pronaći neki određeni primjer iz stvarnog života.

Zamislite da se nalazite usred kupole i želite okačiti platno filmskog projektora. Upirete prstom u kupolu pod nekim "x" kutom, a s te točke bi trebao biti obješen ekran.

Kut na koji pokazujete određuje:

• sinus(x) = sin(x) = visina zaslona (točka montaže od poda do kupole)
• kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po podu)
• hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Želite li da ekran bude što veći? Objesite ga točno iznad sebe.

Želite li da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga ravno okomito. Zaslon će imati nultu visinu na ovom položaju i visit će onoliko koliko ste tražili.

Visina i udaljenost od ekrana obrnuto su proporcionalne: što je ekran bliže, to će njegova visina biti veća.

Sinus i kosinus su postoci

Nitko mi u mojim godinama studija, nažalost, nije objasnio da trigonometrijske funkcije sinus i kosinus nisu ništa drugo nego postoci. Njihove vrijednosti se kreću od +100% do 0 do -100%, ili od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je to. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatit ćete da su me jednostavno odrali kao ljepljivu kožu.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je sinusna vrijednost 0,95, onda razumijem da TV visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će dosegnuti svoju maksimalnu visinu u središtu kupole, a zatim ponovno početi opadati.

Kako možemo izračunati ovaj postotak? Vrlo jednostavno: trenutnu visinu zaslona podijelite s najvećom mogućom (polumjer kupole, koji se naziva i hipotenuza).

Zato rečeno nam je da je "kosinus = suprotni krak / hipotenuza". Ovo je sve kako bi se dobio postotak! Najbolji način za definiranje sinusa je "postotak trenutne visine od najveće moguće". (Sinus postaje negativan ako vaš kut pokazuje "ispod zemlje". Kosinus postaje negativan ako kut pokazuje na točku kupole iza vas.)

Pojednostavimo izračune pretpostavkom da smo u središtu jedinične kružnice (polumjer = 1). Možemo preskočiti dijeljenje i jednostavno uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je zapravo jedan, uvećan ili smanjen u mjerilu na željenu veličinu. Dakle, odredite odnose na jediničnom krugu i primijenite rezultate na vašu određenu veličinu kruga.

Eksperimentirajte: uzmite bilo koji kut i pogledajte koliki postotak visine i širine prikazuje:

Grafikon rasta vrijednosti sinusa nije samo ravna linija. Prvih 45 stupnjeva pokriva 70% visine, a zadnjih 10 stupnjeva (od 80° do 90°) pokriva samo 2%.

Tako će vam biti jasnije: ako idete u krug, na 0° dižete se gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangens i sekans. zid

Jednog dana susjed je sagradio zid ravno leđa uz leđa svojoj kupoli. Plakao je vaš pogled s prozora i dobra preprodajna cijena!

Ali je li moguće nekako pobijediti u ovoj situaciji?

Naravno da. Što ako filmsko platno objesimo na susjedov zid? Ciljate u kut (x) i dobivate:

• tan(x) = tan(x) = visina zaslona na zidu
• udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je radijus vaše kupole, zid se ne pomiče nigdje od vas, zar ne?)
• sekans(x) = sek(x) = "duljina ljestava" od vas koji stojite u središtu kupole do vrha visećeg zaslona

Razjasnimo nekoliko stvari o tangenti ili visini zaslona.

• počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete razvući ekran sve više i više na zidu kako biste dobili samo beskrajno platno za gledanje vašeg omiljenog filma! (Za tako golemu, naravno, morat ćete potrošiti puno novca).
• tangens je samo uvećana verzija sinusa! I dok se rast sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

I Sekansu se ima čime pohvaliti:

• sekans počinje od 1 (ljestve su na podu, dalje od vas prema zidu) i počinje ići gore od tamo
• Sekanta je uvijek duža od tangente. Nagnute ljestve na koje objesite paravan moraju biti duže od samog paravana, zar ne? (U nerealnim veličinama, kada je zaslon takoooo dug i ljestve treba postaviti gotovo okomito, njihove su veličine gotovo iste. Ali čak i tada će sekans biti malo duži).

Zapamtite da su vrijednosti postotak. Ako odlučite objesiti zaslon pod kutom od 50 stupnjeva, tan(50)=1,19. Vaš zaslon je 19% veći od udaljenosti do zida (radijus kupole).

(Unesite x=0 i testirajte svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Strop

Nevjerojatno, vaš susjed je sada odlučio izgraditi strop iznad vaše kupole. (Što mu je? Očigledno ne želi da ga buljite dok gol hoda po dvorištu...)

Pa, vrijeme je da izgradimo izlaz na krov i razgovaramo sa susjedom. Vi birate kut nagiba i počinjete graditi:

• okomita udaljenost između krovnog otvora i poda uvijek je 1 (radijus kupole)
• kotangens(x) = cot(x) = udaljenost između vrha kupole i izlazne točke
• kosekans(x) = csc(x) = duljina vašeg puta do krova

Tangens i sekans opisuju zid, dok kotangens i kosekans opisuju pod.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnima:

• Ako uzmete kut od 0°, vaš izlazak na krov trajat će zauvijek jer nikada neće dosegnuti strop. Problem.
• Najkraće "stube" do krova dobit ćete ako ga izgradite pod kutom od 90 stupnjeva u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo strogo okomito), a kosakans će biti jednak 1 ("duljina ljestava" bit će minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako se sva tri slučaja nacrtaju u kombinaciji kupola-zid-pod, dobit će se sljedeće:

Pa, vau, sve je to isti trokut, uvećan da dosegne zid i strop. Imamo okomite stranice (sinus, tangens), vodoravne stranice (kosinus, kotangens) i “hipotenuze” (sekant, kosekans). (Iz strelica možete vidjeti dokle seže svaki element. Kosekant je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trokuti dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorinog poučka (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trokuta povezane. Osim toga, omjeri visine i širine također moraju biti isti za sve trokute. (Samo se odmaknite od najvećeg trokuta prema manjem. Da, veličina se promijenila, ali omjeri stranica ostat će isti).

Znajući koja je strana u svakom trokutu 1 (polumjer kupole), lako možemo izračunati da je "sin/cos = tan/1".

Uvijek sam se pokušavao sjetiti tih činjenica kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici možete jasno vidjeti te ovisnosti i razumjeti odakle dolaze. Ova tehnika je puno bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite druge kutove

Pst... Nema potrebe da se zaglavite na jednom grafikonu, misleći da je tangens uvijek manji od 1. Ako povećate kut, možete dosegnuti strop, a da ne dosegnete zid:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu biti različite.

(Vjerojatno ste primijetili da je omjer sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer su zatvoreni unutar kupole.)

Ukratko: što trebamo zapamtiti?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

• trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i ponavljajući intervali
• analogija kupole/zida/krova pokazuje odnos između različitih trigonometrijskih funkcija
• rezultat trigonometrijskih funkcija su postoci koje primjenjujemo na naš scenarij.

Ne morate pamtiti formule poput 1 2 + cot 2 = csc 2 . Pogodni su samo za glupe testove u kojima se poznavanje neke činjenice predstavlja kao njeno razumijevanje. Odvojite minutu da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, potpišite elemente i sve formule će vam biti tražene na papiru.

Primjena: Inverzne funkcije

Svaka trigonometrijska funkcija uzima kut kao ulaz i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da kut od 30 stupnjeva zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija piše se kao sin -1 ili arcsin ("arxine"). Također se često piše asin u raznim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koji je naš kut?

U našoj tablici proporcija možete pronaći omjer u kojem je sekans podijeljen s 1. Na primjer, sekans s 1 (hipotenuza u odnosu na horizontalu) bit će jednak 1 podijeljenom s kosinusom:

Recimo da je naš sekans 3,5, tj. 350% polumjera jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ta vrijednost?

Dodatak: Nekoliko primjera

Dosadan zadatak. Zakomplicirajmo banalno "pronalaženje sinusa" na "Kolika je visina kao postotak maksimuma (hipotenuze)?".

Prvo primijetite da je trokut rotiran. Nema ništa loše u ovome. Trokut ima i visinu, na slici je prikazana zelenom bojom.

Čemu je jednaka hipotenuza? Po Pitagorinoj teoremi znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Fino! Sinus je postotak visine od najduže stranice trokuta ili hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na više načina. Sada znamo da je sinus 0,60 i možemo jednostavno pronaći arcsinus:

Asin(0,6)=36,9

A evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "licem u lice sa zidom", tako da možemo koristiti tangentu umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost od zida 4, dakle tangenta je ¾ ili 75%. Možemo koristiti arc tangens da se vratimo od postotka do kuta:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati ​​do obale?

Nalazite se u čamcu i imate dovoljno goriva da preplovite 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim najvećim kutom prema obali možete doplivati ​​do njega da imate dovoljno goriva? Dodatak uvjetu zadatka: imamo samo tablicu ark kosinusnih vrijednosti.

Što imamo? Obala se može prikazati kao “zid” u našem poznatom trokutu, a “dužina stepenica” pričvršćenih za zid može se prikazati kao najveća moguća udaljenost čamca do obale (2 km). Pojavljuje se sekans.

Prvo morate prijeći na postotke. Imamo 2 / 0,25 = 8, što znači da možemo plivati ​​8 puta ravno udaljenost do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje "Što je sekans 8?". Ali ne možemo dati odgovor na njega, budući da imamo samo ark kosinuse.

Koristimo naše prethodno izvedene ovisnosti da preslikamo sekans u kosinus: “sec/1 = 1/cos”

Sekans od 8 jednak je kosinusu od ⅛. Kut čiji je kosinus ⅛ je acos(1/8) = 82,8. A to je najveći kut koji si možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-strop, bio bih zbunjen u hrpi formula i izračuna. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje potragu za rješenjem, osim toga, zanimljivo je vidjeti koja će trigonometrijska funkcija na kraju pomoći.

Za svaki zadatak razmislite ovako: zanimam li me kupola (sin/cos), zid (tan/sek) ili strop (cot/csc)?

I trigonometrija će postati mnogo ugodnija. Jednostavni izračuni za vas!

Sinus je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija čija primjena nije ograničena samo na geometriju. Tablice za izračun trigonometrijskih funkcija, poput inženjerskih kalkulatora, nisu uvijek pri ruci, a izračun sinusa ponekad je potreban za rješavanje raznih problema. Općenito, izračun sinusa pomoći će u učvršćivanju vještina crtanja i znanja o trigonometrijskim identitetima.

Igre ravnala i olovke

Jednostavan zadatak: kako pronaći sinus kuta nacrtanog na papiru? Za rješavanje vam je potrebno obično ravnalo, trokut (ili šestar) i olovka. Najjednostavniji način za izračunavanje sinusa kuta je dijeljenje daljnjeg kraka trokuta s pravim kutom s dužom stranom - hipotenuzom. Dakle, prvo morate dovršiti oštar kut na lik pravokutnog trokuta povlačenjem crte okomite na jednu od zraka na proizvoljnoj udaljenosti od vrha kuta. Bit će potrebno promatrati kut od točno 90 °, za koji nam je potreban klerikalni trokut.

Korištenje kompasa malo je preciznije, ali će trajati duže. Na jednoj od zraka morate označiti 2 točke na određenoj udaljenosti, postaviti polumjer na kompasu približno jednak udaljenosti između točaka i nacrtati polukrugove sa središtima u tim točkama dok se te linije ne sijeku. Povezivanjem točaka sjecišta naših krugova jedna s drugom, dobit ćemo strogu okomicu na zraku našeg kuta, ostaje samo produžiti liniju dok se ne siječe s drugom zrakom.

U dobivenom trokutu morate ravnalom izmjeriti stranu nasuprot kutu i dužu stranu na jednoj od zraka. Omjer prvog mjerenja prema drugom bit će željena vrijednost sinusa oštrog kuta.

Nađite sinus za kut veći od 90°

Za tupi kut zadatak nije mnogo teži. Potrebno je ravnalom povući zraku iz vrha u suprotnom smjeru da s jednom od zraka kuta koji nas zanima oblikuje ravnu crtu. S rezultirajućim oštrim kutom, trebali biste postupiti kako je gore opisano, sinusi susjednih kutova, koji zajedno tvore razvijeni kut od 180 °, jednaki su.

Izračunavanje sinusa iz drugih trigonometrijskih funkcija

Također, izračun sinusa je moguć ako su poznate vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija kuta ili barem duljine stranica trokuta. U tome će nam pomoći trigonometrijski identiteti. Pogledajmo uobičajene primjere.

Kako pronaći sinus uz poznati kosinus kuta? Prvi trigonometrijski identitet, koji dolazi iz Pitagorinog poučka, kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak jedan.

Kako pronaći sinus s poznatim tangensom kuta? Tangens se dobiva dijeljenjem daljeg kraka s bližim ili dijeljenjem sinusa s kosinusom. Dakle, sinus će biti umnožak kosinusa i tangensa, a kvadrat sinusa će biti kvadrat ovog umnoška. Kvadrat kosinusa zamjenjujemo razlikom između jedinice i kvadratnog sinusa u skladu s prvim trigonometrijskim identitetom i jednostavnim manipulacijama donosimo jednadžbu za izračun kvadratnog sinusa kroz tangens, odnosno za izračun sinusa morat ćete izvadite korijen iz dobivenog rezultata.

Kako pronaći sinus s poznatim kotangensom kuta? Vrijednost kotangensa može se izračunati tako da se duljina bližeg kuta od kraka podijeli s duljinom udaljenog kuta, te također dijeljenjem kosinusa sa sinusom, odnosno kotangens je inverzna funkcija tangensa s u odnosu na broj 1. Da biste izračunali sinus, možete izračunati tangens pomoću formule tg α \u003d 1 / ctg α i koristiti formulu u drugoj opciji. Također možete izvesti izravnu formulu po analogiji s tangentom, koja će izgledati ovako.

Kako pronaći sinus triju stranica trokuta

Postoji formula za pronalaženje duljine nepoznate stranice bilo kojeg trokuta, ne samo pravokutnog trokuta, s obzirom na dvije poznate strane pomoću trigonometrijske funkcije kosinusa suprotnog kuta. Ona izgleda ovako.

U početku su sinus i kosinus nastali zbog potrebe za izračunavanjem količina u pravokutnim trokutima. Uočeno je da ako se ne mijenja vrijednost stupnjeve mjere kutova u pravokutnom trokutu, tada omjer stranica, bez obzira koliko se te stranice mijenjaju u duljini, uvijek ostaje isti.

Tako su uvedeni pojmovi sinusa i kosinusa. Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze, a kosinus je omjer susjedne katete i hipotenuze.

Teoremi kosinusa i sinusa

Ali kosinusi i sinusi mogu se koristiti ne samo u pravokutnim trokutima. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog kuta, stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teorem kosinusa i sinusa.

Kosinusni teorem je prilično jednostavan: "Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki umnožak tih stranica s kosinusom kuta između njih."

Postoje dvije interpretacije sinusnog teoreme: mala i proširena. Prema malom: "U trokutu su kutovi razmjerni suprotnim stranicama." Ovaj se teorem često proširuje zbog svojstva kružnice opisane oko trokuta: "U trokutu su kutovi proporcionalni suprotnim stranicama, a njihov omjer jednak je promjeru opisane kružnice."

Derivati

Derivacija je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu svog argumenta. Derivacije se koriste u geometriji iu nizu tehničkih disciplina.

Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti derivata trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Izvodnica sinusa je kosinus, a derivacija kosinusa je sinus, ali s predznakom minus.

Primjena u matematici

Osobito često se sinusi i kosinusi koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema povezanih s njima.

Pogodnost sinusa i kosinusa također se odražava u tehnologiji. Kutove i stranice bilo je lako procijeniti pomoću kosinusnog i sinusnog teorema, razbijajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri, koji su se često bavili izračunima omjera stranica i stupnjeva, utrošili su puno vremena i truda izračunavajući kosinuse i sinuse kutova koji nisu u tablici.

Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje su sadržavale tisuće vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata različitih kutova. U sovjetsko doba neki su učitelji prisiljavali svoje štićenike da upamte stranice Bradisovih tablica.

Radijan - kutna vrijednost luka, duž duljine jednake polumjeru ili 57,295779513 ° stupnjeva.

Stupanj (u geometriji) - 1/360 dio kruga ili 1/90 dio pravog kuta.

π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost pi).

Tablica kosinusa za kutove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Tamo gdje su razmatrani zadaci za rješavanje pravokutnog trokuta, obećao sam predstaviti tehniku ​​za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete se brzo sjetiti koja noga pripada hipotenuzi (susjedna ili suprotna). Odlučio sam ne odgađati na neodređeno vrijeme, potreban materijal je ispod, pročitajte ga 😉

Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda imaju poteškoća s pamćenjem ovih definicija. Dobro se sjećaju da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju- zaboraviti i zbunjeno. Cijena greške, kao što znate na ispitu, je izgubljen rezultat.

Informacije koje ću iznijeti izravno s matematikom nemaju nikakve veze. Povezuje se s figurativnim mišljenjem, te s metodama verbalno-logičkog povezivanja. Tako je, i sam sam se jednom zauvijek sjetiopodaci o definiciji. Ako ih još uvijek zaboravite, onda ih je uz pomoć predstavljenih tehnika uvijek lako zapamtiti.

Dopustite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:

Kosinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer susjedne katete i hipotenuze:

Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Dakle, kakve asocijacije kod vas izaziva riječ kosinus?

Vjerojatno svatko ima svojuZapamtite link:

Tako ćete odmah imati izraz u sjećanju -

«… omjer SUSJEDNE katete i hipotenuze».

Problem s definicijom kosinusa je riješen.

Ako se trebate sjetiti definicije sinusa u pravokutnom trokutu, tada se sjećajući se definicije kosinusa, lako možete utvrditi da je sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge i hipotenuze. Uostalom, postoje samo dvije noge, ako je susjedna kateta "zauzeta" kosinusom, tada za sinus ostaje samo suprotna strana.

Što je s tangensom i kotangensom? Ista zabuna. Učenici znaju da je to omjer krakova, ali problem je zapamtiti koji se na koji odnosi - ili nasuprot susjednom, ili obrnuto.

Definicije:

Tangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog:

Kotangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog:

Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedan također koristi verbalno-logičku vezu, drugi - matematičku.

MATEMATIČKA METODA

Postoji takva definicija - tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

* Sjećajući se formule, uvijek možete odrediti da je tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge u odnosu na susjednu.

Također.Kotangens oštrog kuta je omjer kosinusa kuta i njegovog sinusa:

Tako! Zapamtite ove formule, uvijek možete utvrditi da:

- tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog

- kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog.

VERBALNO-LOGIČKA METODA

O tangenti. Zapamtite link:

To jest, ako se trebate sjetiti definicije tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti što je to

"... omjer suprotne noge u odnosu na susjednu"

Ako je riječ o kotangensu, onda sjećajući se definicije tangensa, lako možete izgovoriti definiciju kotangensa -

"... omjer susjednog kraka i suprotnog"

Na web mjestu postoji zanimljiva tehnika za pamćenje tangensa i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.

METODA UNIVERZALNA

Možete samo samljeti.Ali kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, a ne samo matematičke.

Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Kosinus je dobro poznata trigonometrijska funkcija, koja je ujedno i jedna od glavnih funkcija trigonometrije. Kosinus kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne krake trokuta i hipotenuze trokuta. Najčešće se definicija kosinusa povezuje s trokutom točno pravokutnog tipa. Ali također se događa da se kut za koji je potrebno izračunati kosinus u trokutu pravokutnog tipa ne nalazi u ovom trokutu pravokutnog tipa. Što onda učiniti? Kako pronaći kosinus kuta trokuta?

Ako želite izračunati kosinus kuta u pravokutnom trokutu, onda je sve vrlo jednostavno. Samo se trebate sjetiti definicije kosinusa, u kojoj leži rješenje ovog problema. Vi samo trebate pronaći isti omjer između susjedne noge, kao i hipotenuze trokuta. Doista, ovdje nije teško izraziti kosinus kuta. Formula izgleda ovako: - cosα = a/c, ovdje je "a" duljina katete, a strana "c" je duljina hipotenuze. Na primjer, kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta može se pronaći pomoću ove formule.

Ako vas zanima čemu je jednak kosinus kuta u proizvoljnom trokutu, tada u pomoć priskače teorem o kosinusu koji bi se trebao koristiti u takvim slučajevima. Kosinusni teorem kaže da je kvadrat stranice trokuta a priori jednak zbroju kvadrata ostalih stranica istog trokuta, ali bez dvostrukog umnoška tih stranica s kosinusom kuta koji se nalazi između ih.

1. Ako trebate pronaći kosinus oštrog kuta u trokutu, tada morate koristiti sljedeću formulu: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Ako je u trokutu potrebno pronaći kosinus tupog kuta, tada morate upotrijebiti sljedeću formulu: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Oznake u formuli - a i b - su duljine stranica koje su susjedne željenom kutu, c je duljina stranice koja je nasuprot željenom kutu.

Također, kosinus kuta može se izračunati pomoću sinusnog teorema. Kaže da su sve stranice trokuta proporcionalne sinusima kutova koji su suprotni. Koristeći sinusni teorem, možete izračunati preostale elemente trokuta, znajući samo dvije strane i kut koji je nasuprot jednoj stranici, ili dva kuta i jednu stranicu. Razmotrite primjer. Uvjeti zadatka: a=1; b=2; c=3. Kut koji je suprotan strani "A", označavamo - α, tada, prema formulama, imamo: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Odgovor: 1.

Ako kosinus kuta treba izračunati ne u trokutu, već u nekoj drugoj proizvoljnoj geometrijskoj slici, onda sve postaje malo kompliciranije. Vrijednost kuta mora se prvo odrediti u radijanima ili stupnjevima, a tek onda iz te vrijednosti izračunati kosinus. Kosinus prema numeričkoj vrijednosti određuje se pomoću Bradisovih tablica, inženjerskih kalkulatora ili posebnih matematičkih aplikacija.

Posebne matematičke aplikacije mogu imati funkcije kao što je automatsko izračunavanje kosinusa kutova na danoj slici. Ljepota ovakvih aplikacija je u tome što daju pravi odgovor, a korisnik ne troši svoje vrijeme na rješavanje ponekad prilično složenih problema. S druge strane, stalnim korištenjem isključivo aplikacija za rješavanje zadataka, gube se sve vještine za rad s rješavanjem matematičkih zadataka za pronalaženje kosinusa kutova u trokutu, kao i drugim proizvoljnim likovima.