Kalkulator izvoda inverzne trigonometrijske funkcije. Pravila za izračunavanje izvedenica
Izračun derivacija je jedna od najvažnijih operacija u diferencijalnom računu. Ispod je tablica za pronalaženje izvedenica jednostavnih funkcija. Za složenija pravila razlikovanja pogledajte druge lekcije:- Tablica derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije
Izvodi jednostavnih funkcija
1. Izvodnica broja je nulas´ = 0
Primjer:
5' = 0
Obrazloženje:
Derivacija pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se mijenja argument. Budući da se broj ne mijenja ni na koji način ni pod kojim uvjetima, stopa njegove promjene uvijek je nula.
2. Derivacija varijable jednako jedan
x' = 1
Obrazloženje:
Sa svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat izračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x točno je jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.
3. Derivacija varijable i faktora jednaka je ovom faktoru
sx´ = s
Primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Obrazloženje:
U ovom slučaju, svaki put kada argument funkcije ( x) njegova vrijednost (y) raste S jednom. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta točno je jednaka vrijednosti S.
Odakle slijedi da
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu pravca (k).
4. Modulo derivacija varijable jednaka je kvocijentu ove varijable i njenog modula
|x|"= x / |x| uz uvjet da je x ≠ 0
Obrazloženje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedinici, derivacija modula razlikuje se samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotnu pri prelasku ishodišta (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se sami. Ovo je točno vrijednost i vraća izraz x / |x| Kada x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. Odnosno, s negativnim vrijednostima varijable x, sa svakim povećanjem promjene argumenta, vrijednost funkcije opada za točno istu vrijednost, a s pozitivnim vrijednostima, naprotiv, povećava se, ali točno za ista vrijednost.
5. Derivacija potencije varijable jednak je umnošku broja ove potencije i varijable u potenciji, umanjen za jedan
(x c)"= cx c-1, uz uvjet da su x c i cx c-1 definirani i c ≠ 0
Primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Uzmite eksponent varijable "dolje" kao množitelj, a zatim smanjite sam eksponent za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - spustimo trojku, smanjimo je za jedan i umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2 . Malo "neznanstveno", ali vrlo lako za pamćenje.
6.Derivat razlomka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Primjer:
Budući da se razlomak može prikazati kao podizanje na negativnu potenciju
(1/x)" = (x -1)" , tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tablice izvedenica
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivat razlomka s varijablom proizvoljnog stupnja u nazivniku
(1/x c)" = - c / x c+1
Primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. korijenska izvedenica(derivacija varijable pod kvadratnim korijenom)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
Primjer:
(√x)" = (x 1/2)" tako da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Derivacija varijable ispod korijena proizvoljnog stupnja
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Definicija. Neka je funkcija \(y = f(x) \) definirana u nekom intervalu koji sadrži točku \(x_0 \) unutar. Povećajmo \(\Delta x \) na argument kako ne bismo napustili ovaj interval. Pronađite odgovarajući priraštaj funkcije \(\Delta y \) (prilikom prijelaza iz točke \(x_0 \) u točku \(x_0 + \Delta x \)) i sastavite relaciju \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Ako postoji granica ove relacije na \(\Delta x \rightarrow 0 \), tada se navedena granica naziva izvodna funkcija\(y=f(x) \) u točki \(x_0 \) i označava \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbol y često se koristi za označavanje derivacije. Imajte na umu da je y" = f(x) nova funkcija, ali prirodno povezana s funkcijom y = f(x), definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: izvod funkcije y \u003d f (x).
Geometrijsko značenje derivacije sastoji se od sljedećeg. Ako se tangenta koja nije paralelna s osi y može povući na graf funkcije y \u003d f (x) u točki s apscisom x \u003d a, tada f (a) izražava nagib tangente:
\(k = f"(a)\)
Budući da \(k = tg(a) \), jednakost \(f"(a) = tg(a) \) je istinita.
A sada interpretiramo definiciju derivacije u smislu približnih jednakosti. Neka funkcija \(y = f(x) \) ima derivaciju u određenoj točki \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da u blizini točke x, aproksimativna jednakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Smisao dobivene aproksimativne jednakosti je sljedeći: prirast funkcije je “skoro proporcionalan” prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost derivacije u zadanoj točki x. Na primjer, za funkciju \(y = x^2 \) vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, ustanovit ćemo da ona sadrži algoritam za njezino pronalaženje.
Idemo to formulirati.
Kako pronaći derivaciju funkcije y \u003d f (x)?
1. Fiksirajte vrijednost \(x \), pronađite \(f(x) \)
2. Povećajte \(x \) argument \(\Delta x \), pomaknite se na novu točku \(x+ \Delta x \), pronađite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pronađite inkrement funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sastavite relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije na x.
Ako funkcija y = f(x) ima derivaciju u točki x, tada se naziva diferencijabilnom u točki x. Poziva se postupak za pronalaženje izvoda funkcije y \u003d f (x). diferencijacija funkcije y = f(x).
Raspravimo sljedeće pitanje: kako su povezani neprekidnost i diferencijabilnost funkcije u točki?
Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u točki x. Tada se može povući tangenta na graf funkcije u točki M (x; f (x)) i, podsjetimo, nagib tangente je jednak f"(x). Takav graf se ne može "slomiti" na točka M, tj. funkcija mora biti kontinuirana u x.
Bilo je to rezoniranje “na prste”. Predstavimo rigorozniji argument. Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u točki x, tada vrijedi aproksimativna jednakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). nula, tada \(\Delta y \ ) također će težiti nuli, a to je uvjet za neprekidnost funkcije u točki.
Tako, ako je funkcija diferencijabilna u točki x, onda je i kontinuirana u toj točki.
Obrnuto nije točno. Na primjer: funkcija y = |x| kontinuirana je posvuda, posebice u točki x = 0, ali tangenta na graf funkcije u “spojnoj točki” (0; 0) ne postoji. Ako je u nekoj točki nemoguće povući tangentu na graf funkcije, tada u ovoj točki ne postoji derivacija.
Još jedan primjer. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) je kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu, uključujući točku x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj točki, uključujući i točku x = 0 , Ali u ovoj točki tangenta se poklapa s osi y, to jest, okomita je na os apscise, njezina jednadžba ima oblik x \u003d 0. Za takvu ravnu liniju nema nagiba, što znači da \ ( f "(0) \) također ne postoji
Dakle, upoznali smo se s novim svojstvom funkcije - diferencijabilnošću. Kako možete znati je li funkcija diferencijabilna od grafa funkcije?
Odgovor je zapravo dat gore. Ako se u nekoj točki može povući tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-os, tada je u toj točki funkcija diferencijabilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na x-os, tada u tom trenutku funkcija nije diferencijabilna.
Pravila razlikovanja
Operacija nalaženja derivacije naziva se diferencijacija. Pri izvođenju ove operacije često morate raditi s kvocijentima, zbrojevima, produktima funkcija, kao i s "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na temelju definicije derivacije možemo izvesti pravila diferenciranja koja olakšavaju ovaj posao. Ako je C konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencijabilne funkcije, tada vrijedi sljedeće pravila razlikovanja:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tablica izvodnica nekih funkcija
$$ \lijevo(\frac(1)(x) \desno) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \lijevo(x^a \desno) " = a x^(a-1) $$ $$ \lijevo(a^x \desno) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \lijevo(e^x \desno) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Prva razina
Derivacija funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019.)
Zamislite ravnu cestu koja prolazi kroz brdovito područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:
Os je određena razina nulte visine, u životu kao nju koristimo razinu mora.
Krećući se naprijed takvim putem, također se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se mijenja argument (pomiče se po apscisnoj osi), mijenja se i vrijednost funkcije (pomiče se po ordinatnoj osi). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" naše ceste? Koja bi to vrijednost mogla biti? Vrlo jednostavno: koliko će se promijeniti visina kada se pomakne naprijed određenu udaljenost. Doista, na različitim dionicama puta, pomičući se naprijed (po apscisi) jedan kilometar, dignut ćemo se ili spustiti za različit broj metara u odnosu na razinu mora (po ordinati).
Označavamo napredak naprijed (čitaj "delta x").
Grčko slovo (delta) obično se koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena u veličini, - promjena; što je onda? Tako je, promjena veličine.
Važno: izraz je jedan entitet, jedna varijabla. Nikada ne smijete otkidati "deltu" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer,.
Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, dalje. Uspoređujemo li liniju ceste s grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Sigurno, . Odnosno, kada se krećemo naprijed, dižemo se više.
Lako je izračunati vrijednost: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja bili smo na visini, onda. Ako se krajnja točka pokazala nižom od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već silazimo.
Natrag na "strmost": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) se visina povećava kada se kreće naprijed po jedinici udaljenosti:
Pretpostavimo da se na nekom odsječku staze, pri napredovanju za km, cesta uzdiže za km. Tada je strmina na ovom mjestu jednaka. A ako je cesta pri napredovanju za m potonula za km? Tada je nagib jednak.
Sada razmislite o vrhu brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra do vrha, a kraj - pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.
To jest, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije točno. Mnogo toga se može promijeniti samo nekoliko kilometara dalje. Za adekvatniju i točniju procjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manje površine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine pri pomicanju za jedan metar, rezultat će biti puno točniji. Ali čak ni ova točnost možda nam neće biti dovoljna - uostalom, ako je stup nasred ceste, jednostavno se možemo provući kroz njega. Koju udaljenost trebamo odabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!
U stvarnom životu, mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra više je nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept bio infinitezimalnog, to jest, modulo vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilijunti dio! Koliko manje? I ovaj broj podijelite s - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo napisati da je vrijednost beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo “x teži nuli”). Vrlo je važno razumjeti da taj broj nije jednak nuli! Ali vrlo blizu toga. To znači da se može podijeliti na.
Koncept suprotan beskonačno malom je beskonačno veliko (). Vjerojatno ste se već susreli s njim dok ste radili na nejednakostima: ovaj broj je veći po modulu od bilo kojeg broja koji vam pada na pamet. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite s dva i dobit ćete još više. A beskonačnost je čak i više od onoga što se događa. Zapravo, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedni drugima, to jest at, i obrnuto: at.
Vratimo se sada našem putu. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment staze, to jest:
Napominjem da će kod beskonačno malog pomaka i promjena visine biti beskonačno mala. Ali dopustite mi da vas podsjetim da beskonačno malo ne znači jednako nuli. Podijelite li beskonačno male brojeve jedan s drugim, možete dobiti sasvim običan broj, npr. To jest, jedna mala vrijednost može biti točno dvostruko veća od druge.
Čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na reli, ali učimo matematiku. I u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.
Pojam derivata
Derivacija funkcije je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta pri infinitezimalnom prirastu argumenta.
Povećanje u matematici se zove promjena. Poziva se koliko se argument () promijenio pri kretanju duž osi povećanje argumenta a označava se sa Koliko se promijenila funkcija (visina) pri pomicanju naprijed duž osi za udaljenost naziva se prirast funkcije i označena je.
Dakle, izvod funkcije je odnos prema kada. Derivaciju označavamo istim slovom kao i funkciju, samo crtom gore desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu izvedenice koristeći ove oznake:
Kao i u analogiji s cestom, i ovdje je pri rastu funkcije derivacija pozitivna, a pri opadanju negativna.
Ali je li derivacija jednaka nuli? Sigurno. Na primjer, ako se vozimo ravnom vodoravnom cestom, strmina je nula. Doista, visina se uopće ne mijenja. Dakle s derivacijom: derivacija konstantne funkcije (konstante) jednaka je nuli:
budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koji.
Uzmimo primjer s vrha brda. Ispostavilo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:
Ali veliki segmenti znak su netočnog mjerenja. Podići ćemo naš segment gore paralelno sa samim sobom, tada će se njegova duljina smanjiti.
Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrhu, duljina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osi, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle izvedenica
To se može shvatiti na sljedeći način: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.
Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo već ranije ustanovili, kada funkcija raste, izvod je pozitivan, a kada opada negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (jer cesta nigdje ne mijenja oštro nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. Bit će tamo gdje funkcija niti raste niti opada - u točki vrha.
Isto vrijedi i za dolinu (područje gdje funkcija opada s lijeve strane, a raste s desne):
Još malo o inkrementima.
Dakle, mijenjamo argument u vrijednost. Od koje vrijednosti mijenjamo? Što je on (argument) sada postao? Možemo odabrati bilo koju točku, a sada ćemo plesati iz nje.
Promotrimo točku s koordinatom. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isto povećanje: povećavamo koordinatu za. Koji je sad argument? Vrlo jednostavno: . Kolika je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Što je s povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je i dalje iznos za koji se funkcija promijenila:
Vježbajte pronalaženje povećanja:
- Pronađite prirast funkcije u točki s prirastom argumenta jednakim.
- Isto za funkciju u točki.
rješenja:
U različitim točkama, s istim prirastom argumenta, prirast funkcije bit će različit. To znači da izvodnica u svakoj točki ima svoju vlastitu (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina ceste na različitim točkama je različita). Stoga, kada pišemo izvedenicu, moramo navesti u kojoj točki:
Funkcija snage.
Funkcijom snage naziva se funkcija čiji je argument do neke mjere (logičan, zar ne?).
I – u bilo kojoj mjeri: .
Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:
Nađimo njegovu derivaciju u točki. Zapamtite definiciju derivata:
Dakle, argument se mijenja iz u. Što je prirast funkcije?
Prirast je. Ali funkcija je u bilo kojoj točki jednaka svom argumentu. Zato:
Derivat je:
Derivat od je:
b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .
Prisjetimo se sada toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, budući da je beskonačno mala, pa stoga beznačajna u odnosu na drugi član:
Dakle, imamo još jedno pravilo:
c) Nastavljamo logički niz: .
Ovaj se izraz može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu pomoću formule za skraćeno množenje kuba zbroja ili rastaviti cijeli izraz na faktore pomoću formule za razliku kubova. Pokušajte to učiniti sami na neki od predloženih načina.
Dakle, dobio sam sljedeće:
I sjetimo se toga još jednom. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:
Dobivamo: .
d) Slična pravila mogu se dobiti za velike snage:
e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za potencnu funkciju s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:
| (2) |
Pravilo možete formulirati riječima: "stupanj se pomiče naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za".
To ćemo pravilo dokazati kasnije (gotovo na samom kraju). Sada pogledajmo nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:
- (na dva načina: formulom i pomoću definicije izvoda - računanjem prirasta funkcije);
- . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija moći. Ako imate pitanja poput „Kako je? A gdje je diploma? ”, Zapamtite temu„ ”!
Da, da, korijen je također stupanj, samo razlomak:.
Dakle, naš kvadratni korijen je samo potencija s eksponentom:
.
Tražimo izvedenicu koristeći nedavno naučenu formulu:Ako u ovom trenutku opet postane nejasno, ponovite temu "" !!! (o diplomi s negativnim pokazateljem)
- . Sada eksponent:
A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
;
.
Sada, kao i obično, zanemarujemo termin koji sadrži:
. - . Kombinacija prethodnih slučajeva: .
trigonometrijske funkcije.
Ovdje ćemo se poslužiti jednom činjenicom iz više matematike:
Kada izraz.
Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo došli, morate dobro položiti ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:
Vidimo da kada funkcija ne postoji - točka na grafu je probušena. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža. To je sama "težnja".
Dodatno, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne sramite se, uzmite kalkulator, nismo još na ispitu.
Pa pokušajmo: ;
Ne zaboravite prebaciti kalkulator u radijanski način rada!
itd. Vidimo da što je manji, to je vrijednost omjera bliža.
a) Razmotrimo funkciju. Kao i obično, nalazimo njegov prirast:
Pretvorimo razliku sinusa u produkt. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu ""):.
Sada izvedenica:
Napravimo zamjenu: . Tada je za beskonačno malo također beskonačno malo: . Izraz za ima oblik:
I sada se toga sjećamo izrazom. I također, što ako se beskonačno mala vrijednost može zanemariti u zbroju (tj. at).
Tako dobivamo sljedeće pravilo: derivacija sinusa jednaka je kosinusu:
To su osnovne (“tablične”) izvedenice. Evo ih na jednom popisu:
Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovi su najvažniji jer se najčešće koriste.
Praksa:
- Naći derivaciju funkcije u točki;
- Pronađite izvod funkcije.
rješenja:
- Prvo nalazimo derivat u općem obliku, a zatim umjesto njega zamijenimo njegovu vrijednost:
;
. - Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je osvijestiti
normalan pogled:
.
U redu, sada možete koristiti formulu:
.
. - . Eeeeeee….. Što je????
Dobro, u pravu ste, još uvijek ne znamo pronaći takve izvedenice. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:
Eksponent i prirodni logaritam.
U matematici postoji takva funkcija, čija je derivacija za bilo koju jednaka vrijednosti same funkcije za istu. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija
Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačni decimalni razlomak, odnosno iracionalan broj (kao npr.). Naziva se "Eulerovim brojem", zbog čega se označava slovom.
Dakle, pravilo je:
Vrlo je lako zapamtiti.
Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzna eksponencijalna funkcija? Logaritam:
U našem slučaju baza je broj:
Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo “prirodnim” i za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.
Čemu je jednako? Naravno, .
Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:
Primjeri:
- Pronađite izvod funkcije.
- Što je derivacija funkcije?
odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.
Pravila razlikovanja
Koja pravila? Opet novi mandat?!...
Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.
Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.
Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:
Postoji ukupno 5 pravila.
Konstanta se uzima iz predznaka izvoda.
Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.
Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .
Dokažimo to. Neka, ili lakše.
Primjeri.
Pronađite izvode funkcija:
- u točki;
- u točki;
- u točki;
- u točki.
rješenja:
- (derivacija je ista u svim točkama, jer je to linearna funkcija, sjećate se?);
Derivat proizvoda
Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin inkrement:
izvedenica:
Primjeri:
- Naći izvode funkcija i;
- Pronađite izvod funkcije u točki.
rješenja:
Derivacija eksponencijalne funkcije
Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili što je to?).
Pa gdje je neki broj.
Već znamo izvedenicu funkcije, pa pokušajmo dovesti našu funkciju na novu bazu:
Da bismo to učinili, koristimo se jednostavnim pravilom: . Zatim:
Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.
Dogodilo se?
Evo, provjerite sami:
Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kako je bilo, tako i ostaje, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.
Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:
odgovori:
Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljen u ovom obliku.
Derivacija logaritamske funkcije
Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:
Stoga, za pronalaženje proizvoljnog iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :
Moramo dovesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:
Samo što ćemo sada umjesto napisati:
Pokazalo se da je nazivnik samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:
Izvodnice eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikad ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.
Derivacija složene funkcije.
Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "kompleksno" ne znači "teško".
Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi ga veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti suprotne korake obrnutim redoslijedom.
Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati dobiveni broj. Dakle, oni nam daju broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda ti kvadriraš ono što sam ja dobio (vežeš vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.
Možemo učiniti iste radnje obrnutim redoslijedom: prvo kvadrirate, a zatim tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.
Drugim riječima, Složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .
Za prvi primjer,.
Drugi primjer: (isto). .
Pozvat će se zadnja akcija koju napravimo "vanjsku" funkciju, a prva izvršena radnja - respektivno "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).
Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:
odgovori: Razdvajanje unutarnje i vanjske funkcije vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji
- Što ćemo prvo poduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kub. Dakle, to je unutarnja funkcija, a ne vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.
Pa, sad ćemo izdvojiti našu čokoladu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. Za izvorni primjer to izgleda ovako:
Još jedan primjer:
Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
Čini se da je sve jednostavno, zar ne?
Provjerimo na primjerima:
rješenja:
1) Interno: ;
Vanjski: ;
2) Interno: ;
(samo nemojte pokušavati reducirati do sada! Ništa nije izvađeno ispod kosinusa, sjećate se?)
3) Interno: ;
Vanjski: ;
Odmah je jasno da se ovdje radi o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje još izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: svejedno, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.
Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.
U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:
Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:
Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.
1. Radikalni izraz. .
2. Korijen. .
3. Sinus. .
4. Trg. .
5. Sve zajedno:
DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM
Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s infinitezimalnim prirastom argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila razlikovanja:
Konstanta se uzima iz predznaka izvoda:
Derivacija zbroja:
Izvedeni proizvod:
Derivacija kvocijenta:
Derivacija složene funkcije:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
- Definiramo "unutarnju" funkciju, nalazimo njen izvod.
- Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njen izvod.
- Množimo rezultate prve i druge točke.
