Dom › Razno › Što su definicija logaritma. Logaritam - svojstva, formule, graf

Što su definicija logaritma. Logaritam - svojstva, formule, graf

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

4. Gdje .

Primjer 2 Nađi x if

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ova pravila morate znati - nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log2 7. Kako je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam broja b s bazom a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takvu snagu x () pri kojoj je jednakost istinita

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se na temelju njih gotovo svi zadaci i primjeri rješavaju logaritmima. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunavanju formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijal ili dvojka.
Logaritam s bazom deset obično se naziva logaritam s bazom deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika je vidljivo da u zapisniku nisu upisane osnove. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označava se ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam s bazom dva je

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je ovisnošću

Gornji materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Da bih usvojio gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog programa i sa sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama, imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. Gdje .

Naizgled složen izraz koji koristi niz pravila pojednostavljen je do forme

Pronalaženje logaritamskih vrijednosti

Primjer 2 Nađi x if

Riješenje. Za izračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamjena u zapisnik i tugovati

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: uzmite logaritam varijable da biste zapisali logaritam kroz zbroj članova

Ovo je tek početak upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte računanje, obogaćujte svoje praktične vještine – stečeno znanje uskoro će vam trebati za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode rješavanja takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednadžbe ...

Osnovna svojstva logaritama

Ova pravila morate znati - nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

logaritam pozitivan broj N prema bazi(b> 0, b 1 ) naziva se eksponent x , na koje trebate podići b da dobijete N .

Logaritamski zapis:

Ovaj unos je ekvivalentan sljedećem:b x = N .

PRIMJERI: dnevnik 3 81 \u003d 4, budući da je 3 4 \u003d 81;

Dnevnik 1/3 27 = – 3 , budući da je (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

Gornja definicija logaritma može se napisati kao identitet:

Osnovna svojstva logaritama.

1) log b= 1 , jer b 1 = b.

2) trupac 1 = 0 , jer b 0 = 1 .

3) Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora:

log( ab) = log a+log b.

4) Logaritam količnika jednak je razlici logaritama djelitelja i djelitelja:

log( a/b) = log a–log b.

5) Logaritam stupnja jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze:

log (b k ) = k log b.

Posljedica ovog svojstva je sljedeća:korijen dnevnika jednako je logaritmu korijenskog broja podijeljenom potencijom korijena:

6) Ako je baza logaritma potencija, tada je vrijednost recipročna vrijednost eksponenta može se izvući iz predznaka loga rima:

Zadnja dva svojstva mogu se spojiti u jedno:

7) Formula modula prijelaza (tj. e . prijelaz s jedne bazelogaritam na drugu bazu):

U konkretnom slučaju, kada N = a imamo:

Decimalni logaritam nazvao osnovni logaritam 10. Određen je lg, tj. zapisnik 10 N = lg N. Logaritmi brojeva 10, 100, 1000, ... str su redom 1, 2, 3, …,oni. imati toliko pozitivnog

jedinice, koliko je nula u logaritamskom broju iza jedan. Logaritmi brojeva 0,1, 0,01, 0,001, ... str avny odnosno –1, –2, –3, …, tj. imati onoliko negativnih jedinica koliko ima nula u logaritamskom broju prije jedinice ( brojanje i nula cijelih brojeva). Logaritmi ostali brojevi imaju razlomački dio tzv kazaljka. Cijelidio logaritma zove se karakteristika. Za praktičnenajprikladniji su decimalni logaritmi.

prirodni logaritam nazvao osnovni logaritam e. Označava se u , tj. log eN = ul N. Broj eje iracionalan,približna vrijednost je 2,718281828. To je granica prema kojoj broj teži(1 + 1 / n) n s neograničenim povećanjemn(cm. prva divna granica ).
Koliko god se čudno činilo, prirodni logaritmi su se pokazali vrlo prikladnim pri izvođenju raznih operacija povezanih s analizom funkcija.Izračunavanje osnovnih logaritamaemnogo brže od bilo koje druge baze.

Logaritam broja b na bazu a je eksponent na koji trebate povisiti broj a da biste dobili broj b.

Ako tada .

Logaritam je izuzetno važna matematička veličina, budući da logaritamski račun omogućuje ne samo rješavanje eksponencijalnih jednadžbi, već i rad s eksponentima, razlikovanje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija, njihovo integriranje i dovođenje u prihvatljiviju formu za izračunavanje.

U kontaktu s

Sva svojstva logaritama izravno su povezana sa svojstvima eksponencijalnih funkcija. Na primjer, činjenica da znači da:

Treba napomenuti da pri rješavanju specifičnih problema svojstva logaritama mogu biti važnija i korisnija od pravila za rad s ovlastima.

Evo nekoliko identiteta:

Evo glavnih algebarskih izraza:

;

Pažnja! može postojati samo za x>0, x≠1, y>0.

Pokušajmo razumjeti pitanje što su prirodni logaritmi. Odvojeno zanimanje za matematiku predstavljaju dvije vrste- prvi ima u osnovi broj "10", a naziva se "decimalni logaritam". Drugi se naziva prirodnim. Osnovica prirodnog logaritma je broj e. O njemu ćemo detaljno govoriti u ovom članku.

Oznake:

lg x - decimala;
ln x - prirodno.

Koristeći se identitetom, možemo vidjeti da je ln e = 1, kao i da je lg 10=1.

prirodni log graf

Konstruiramo graf prirodnog logaritma na standardni klasičan način po točkama. Ako želite, možete provjeriti gradimo li funkciju ispravno pregledom funkcije. Međutim, ima smisla naučiti kako ga graditi "ručno" kako biste znali ispravno izračunati logaritam.

Funkcija: y = log x. Napišimo tablicu točaka kroz koje će graf prolaziti:

Objasnimo zašto smo odabrali takve vrijednosti argumenta x. Sve je u identitetu: Za prirodni logaritam, ovaj identitet će izgledati ovako:

Radi praktičnosti, možemo uzeti pet referentnih točaka:

;

Dakle, brojanje prirodnih logaritama je prilično jednostavan zadatak, štoviše, pojednostavljuje izračun operacija s ovlastima, pretvarajući ih u normalno množenje.

Izgradnjom grafa po točkama dobivamo približni graf:

Domena prirodnog logaritma (to jest, sve važeće vrijednosti argumenta X) su svi brojevi veći od nule.

Pažnja! Domena prirodnog logaritma uključuje samo pozitivne brojeve! Opseg ne uključuje x=0. To je nemoguće na temelju uvjeta postojanja logaritma.

Raspon vrijednosti (tj. sve važeće vrijednosti funkcije y = ln x) su svi brojevi u intervalu.

granica prirodnog dnevnika

Proučavajući graf, postavlja se pitanje - kako se funkcija ponaša kada y<0.

Očito, graf funkcije teži prijeći y-os, ali to neće moći učiniti, budući da je prirodni logaritam od x<0 не существует.

Prirodna granica log može se napisati ovako:

Formula za promjenu baze logaritma

Rad s prirodnim logaritmom mnogo je lakši nego rad s logaritmom koji ima proizvoljnu bazu. Zato ćemo pokušati naučiti kako svesti bilo koji logaritam na prirodni ili ga izraziti u proizvoljnoj bazi kroz prirodne logaritme.

Počnimo s logaritamskim identitetom:

Tada se bilo koji broj ili varijabla y može predstaviti kao:

gdje je x bilo koji broj (pozitivan prema svojstvima logaritma).

Ovaj izraz se može logaritmirati s obje strane. Učinimo to s proizvoljnom bazom z:

Upotrijebimo svojstvo (samo umjesto "with" imamo izraz):

Odavde dobivamo univerzalnu formulu:

Konkretno, ako je z=e, tada:

Uspjeli smo prikazati logaritam proizvoljnoj bazi kroz omjer dva prirodna logaritma.

Rješavamo probleme

Kako biste se bolje snalazili u prirodnim logaritmima, razmotrite primjere nekoliko problema.

Zadatak 1. Potrebno je riješiti jednadžbu ln x = 3.

Riješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobivamo:

Zadatak 2. Riješite jednadžbu (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Rješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , tada , dobivamo:

Još jednom primjenjujemo definiciju logaritma:

Tako:

Odgovor možete približno izračunati ili ga možete ostaviti u ovom obrascu.

Zadatak 3. Riješite jednadžbu.

Riješenje: Napravimo zamjenu: t = ln x. Tada će jednadžba imati sljedeći oblik:

Imamo kvadratnu jednadžbu. Nađimo njegovu diskriminantu:

U statistici i teoriji vjerojatnosti logaritamske su veličine vrlo česte. To ne čudi, jer broj e - često odražava stopu rasta eksponencijalnih vrijednosti.

U informatici, programiranju i teoriji računala, logaritmi su prilično česti, na primjer, kako bi se u memoriju pohranilo N bitova.

U teorijama fraktala i dimenzija stalno se koriste logaritmi, budući da se jedino pomoću njih određuju dimenzije fraktala.

U mehanici i fizici nema odjeljka gdje se nisu koristili logaritmi. Barometrijska raspodjela, svi principi statističke termodinamike, jednadžba Ciolkovskog i tako dalje su procesi koji se mogu opisati samo matematički koristeći logaritme.

U kemiji se logaritam koristi u Nernstovim jednadžbama, opisima redoks procesa.

Nevjerojatno, čak iu glazbi, kako bi se saznao broj dijelova oktave, koriste se logaritmi.

Prirodni logaritam Funkcija y=ln x njena svojstva

Dokaz glavnog svojstva prirodnog logaritma

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Imajte na umu da logaritam nepozitivnog broja nije definiran. Također, baza logaritma mora biti pozitivan broj, a ne jednaka 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobit ćemo broj 4, ali to ne znači da je baza -2 logaritma od 4 jednaka 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bitno je da su domene definiranja desnog i lijevog dijela ove formule različite. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b, i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi može dovesti do promjene DPV-a.

Dvije očite posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doista, dizanjem broja a na prvu potenciju dobivamo isti broj, a dizanjem na nultu potenciju dobivamo jedinicu.

Logaritam umnoška i logaritma kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti učenike na nepromišljeno korištenje ovih formula pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Kada se koriste "slijeva nadesno", ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbroja ili razlike logaritama na logaritam umnoška ili kvocijenta, ODZ se širi.

Doista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije strogo pozitivne ili kada su f(x) i g(x) obje manje od nule.

Pretvarajući ovaj izraz u zbroj log a f (x) + log a g (x) , prisiljeni smo ograničiti se samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Postoji sužavanje raspona dopuštenih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stupanj se može uzeti iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želio pozvati na točnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti očito je definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Oduzimajući potenciju logaritmu, ponovno sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona dopuštenih vrijednosti. Sve ove napomene vrijede ne samo za potenciju broja 2, već i za svaku parnu potenciju.

Formula za preseljenje u novu bazu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tijekom konverzije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivnu a ne jednaku 1), formula za prelazak na novu bazu savršeno je sigurna.

Odaberemo li broj b kao novu bazu c, dobivamo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1 Izračunaj: lg2 + lg50.
Riješenje. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Koristili smo formulu za zbroj logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2 Izračunajte: lg125/lg5.
Riješenje. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Koristili smo novu formulu prijelaza baze (8).

Tablica formula povezanih s logaritmima

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

izvedeno iz njegove definicije. I tako logaritam broja b razumom A definiran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizlazi da je izračun x=log a b, ekvivalentno je rješavanju jednadžbe sjekira=b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućuje opravdanje da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki S. Također je jasno da je tema logaritma usko povezana s temom potencije broja.

S logaritmima, kao i sa svim brojevima, možete raditi operacije zbrajanja, oduzimanja i transformirati na svaki mogući način. No s obzirom na to da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede svoja posebna pravila, koja se nazivaju osnovna svojstva.