Polumjer upisane kružnice u romb. Jednakostraničan trokut

Ako se kružnica nalazi unutar kuta i dodiruje njegove stranice, naziva se upisana u taj kut. Središte tako upisane kružnice nalazi se na simetrala ovog kuta.

Ako leži unutar konveksnog mnogokuta i dodiruje se svim njegovim stranicama, naziva se upisanim u konveksni mnogokut.

Kružnica upisana u trokut

Kružnica upisana u trokut dodiruje svaku stranu ovog lika samo u jednoj točki. U jedan trokut može biti upisana samo jedna kružnica.

Polumjer takvog kruga ovisit će o sljedećim parametrima trokuta:

1. Duljine stranica trokuta.
2. Njegovo područje.
3. Njegov opseg.
4. Kutovi trokuta.

Da bi se izračunao polumjer upisane kružnice u trokut, nije uvijek potrebno poznavati sve gore navedene parametre, jer su oni međusobno povezani preko trigonometrijskih funkcija.

Izračun pomoću poluperimetra

1. Ako su poznate duljine svih stranica geometrijskog lika (označavamo ih slovima a, b i c), tada će se polumjer morati izračunati vađenjem kvadratnog korijena.
2. Započinjući izračune, potrebno je dodati još jednu varijablu početnim podacima - poluperimetar (p). Može se izračunati zbrajanjem svih duljina i dijeljenjem dobivenog iznosa s 2. p = (a+b+c)/2. Dakle, formula za pronalaženje polumjera može se značajno pojednostaviti.
3. Općenito, formula treba sadržavati znak radikala pod kojim se nalazi frakcija, nazivnik ove frakcije bit će vrijednost poluperimetra p.
4. Brojnik ovog razlomka bit će umnožak razlika (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Dakle, puni oblik formule bit će prikazan na sljedeći način: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Izračun s obzirom na površinu trokuta

Ako znamo površina trokuta i duljine svih njegovih stranica, to će nam omogućiti da pronađemo polumjer kruga koji nas zanima bez pribjegavanja vađenju korijena.

1. Prvo morate udvostručiti površinu.
2. Rezultat se dijeli sa zbrojem duljina svih stranica. Tada će formula izgledati ovako: r = 2*S/(a+b+c).
3. Ako koristite vrijednost poluperimetra, možete dobiti vrlo jednostavnu formulu: r \u003d S / p.

Računanje pomoću trigonometrijskih funkcija

Ako uvjet zadatka sadrži duljinu jedne od stranica, vrijednost suprotnog kuta i opseg, možete koristiti trigonometrijsku funkciju - tangentu. U ovom slučaju formula za izračun izgledat će ovako:

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), gdje je r željeni radijus, P je opseg, a je duljina jedne od strana, α je vrijednost suprotne strane i kut.

Polumjer kružnice, koju treba upisati u pravilan trokut, može se pronaći pomoću formule r = a*√3/6.

Kružnica upisana u pravokutni trokut

Možete upisati u pravokutni trokut samo jedan krug. Središte takve kružnice istovremeno služi i kao sjecište svih simetrala. Ova geometrijska figura ima neke karakteristične značajke koje se moraju uzeti u obzir pri izračunavanju polumjera upisanog kruga.

1. Prvo morate sastaviti pravokutni trokut sa zadanim parametrima. Takvu figuru možete izgraditi prema veličini jedne strane i vrijednostima dvaju kutova ili prema dvjema stranama i kutu između tih strana. Svi ti parametri moraju biti navedeni u izjavi zadatka. Trokut se označava kao ABC, gdje je C vrh pravog kuta. Noge su označene varijablama, A I b, a hipotenuza je varijabla S.
2. Da biste izgradili klasičnu formulu i izračunali polumjer kruga, potrebno je pronaći dimenzije svih strana figure opisane u uvjetu problema i iz njih izračunati poluperimetar. Ako uvjeti daju dimenzije dvaju kateta, oni se mogu koristiti za izračunavanje vrijednosti hipotenuze, na temelju Pitagorinog teorema.
3. Ako je u uvjetu navedena veličina jednog kraka i jednog kuta, potrebno je razumjeti je li taj kut susjedan ili suprotan. U prvom slučaju, hipotenuza se nalazi pomoću sinusnog teorema: s=a/sinSAV, u drugom slučaju primjenjuje se kosinusni teorem s=a/cosCBA.
4. Kada su svi izračuni dovršeni i kada su poznate dimenzije svih strana, poluopseg se pronalazi pomoću gore opisane formule.
5. Znajući vrijednost poluperimetra, možete pronaći polumjer. Formula je razlomak. Njegov brojnik je umnožak razlika poluopsega i svake od stranica, a nazivnik je vrijednost poluopsega.

Treba napomenuti da je brojnik ove formule pokazatelj površine. U ovom slučaju, formula za pronalaženje radijusa je mnogo jednostavnija - dovoljno je podijeliti područje s poluperimetrom.

Također je moguće odrediti površinu geometrijskog lika ako su poznate obje noge. Zbroj kvadrata ovih kateta je hipotenuza, a zatim se izračunava poluopseg. Površinu možete izračunati tako da pomnožite duljine krakova jednu s drugom i rezultat podijelite s 2.

Ako su duljine i nogu i hipotenuze dane u uvjetima, radijus se može odrediti pomoću vrlo jednostavne formule: za to se dodaju duljine nogu, a duljina hipotenuze oduzima se od dobivenog broja. Rezultat mora biti podijeljen na pola.

Video

Iz ovog videa naučit ćete kako pronaći polumjer kruga upisanog u trokut.

Kružnica upisana u trokut

Postojanje kruga upisanog u trokut

Podsjetimo se definicije simetrala kuta .

Definicija 1 .Simetrala kuta zove se zraka koja dijeli kut na dva jednaka dijela.

Teorema 1 (Osnovno svojstvo simetrale kuta) . Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od stranica kuta (slika 1).

Riža. 1

Dokaz D koji leži na simetrali kutaBAC , I DE I D.F. na stranama ugla (slika 1).pravokutni trokuti ADF I ADE jednak jer imaju iste šiljaste kutoveDAF I DAE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Stoga,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorem 2 (teorem inverzan teoremu 1) . Ako je neki , onda leži na simetrali kuta (slika 2).

Riža. 2

Dokaz . Promotrimo proizvoljnu točkuD leži unutar kutaBAC i nalazi se na istoj udaljenosti od strana ugla. Pad s točkeD okomice DE I D.F. na stranama ugla (slika 2).pravokutni trokuti ADF I ADE jednak , budući da imaju jednake nogeD.F. I DE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Stoga,

Q.E.D.

Definicija 2 . Krug se zove krug upisan u kut ako su to stranice ovog kuta.

Teorem 3 . Ako je kutu upisana kružnica, tada su udaljenosti od vrha kuta do dodirnih točaka kružnice sa stranicama kuta jednake.

Dokaz . Neka točka D je središte kruga upisanog kutuBAC , i bodova E I F - dodirne točke kruga sa stranicama kuta (slika 3).

sl.3

a , b , c - stranice trokuta
 S -kvadrat,

r – polumjer upisane kružnice,
 str - poluperimetar

.

Pregledajte izlaz formule

a – bočna stranica jednakokračnog trokuta , 
 b - baza, r – polumjer upisane kružnice

a r – polumjer upisane kružnice

Pregledajte izlaz formule

,

Gdje

,

zatim, u slučaju jednakokračnog trokuta, kada

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Teorem 7 . Za ravnopravnost

Gdje a - stranica jednakostraničnog trokutar – polumjer upisane kružnice (slika 8).

Riža. 8

Dokaz .

,

tada, u slučaju jednakostraničnog trokuta, kada

b=a,

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Komentar . Preporučam da kao vježbu izvedete formulu za polumjer kružnice upisane u jednakostranični trokut izravno, tj. bez korištenja općih formula za polumjere kružnica upisanih u proizvoljni trokut ili u jednakokračni trokut.

Teorem 8 . Za pravokutni trokut, jednakost

Gdje a , b - noge pravokutnog trokuta, c – hipotenuza , r – polumjer upisane kružnice.

Dokaz . Razmotrite sliku 9.

Riža. 9

Budući da četverokutCDOF je , koji ima susjedne straneČINI I OD su jednaki, onda je ovaj pravokutnik . Stoga,

CB \u003d CF \u003d r,

Na temelju teorema 3, jednakosti

Stoga, uzimajući u obzir i , dobivamo

što je i bilo potrebno.

Izbor zadataka na temu "Krug upisan u trokut."

1.

Kružnica upisana u jednakokračni trokut dijeli u točki dodira jednu od stranica na dva segmenta, čije su duljine jednake 5 i 3, računajući od vrha nasuprot osnovici. Nađi opseg trokuta.

2.

3

U trokutu ABC AC=4, BC=3, kut C je 90º. Nađi polumjer upisane kružnice.

4.

Krakovi jednakokračnog pravokutnog trokuta su 2+. Odredi polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

5.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je 2. Odredite hipotenuzu c tog trokuta. Upiši c(-1) u svoj odgovor.

Evo niza zadataka s ispita s rješenjima.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je . Nađite hipotenuzu c ovog trokuta. Navedite u svom odgovoru.

Trokut je pravokutan i jednakokračan. Dakle, noge su mu iste. Neka svaka noga bude jednaka. Tada je hipotenuza.

Površinu trokuta ABC pišemo na dva načina:

Izjednačavajući ove izraze, dobivamo to. Jer, shvaćamo to. Zatim.

Kao odgovor, pišite.

Odgovor:.

Zadatak 2.

1. Na bilo koje dvije stranice 10 cm i 6 cm (AB i BC). Odredi polumjere opisane i upisane kružnice
Problem se samostalno rješava uz komentiranje.

Riješenje:

U.

1) Pronađite:
2) Dokažite:i pronađite CK
3) Odredi polumjere opisane i upisane kružnice

Riješenje:

Zadatak 6.

R polumjer kruga upisanog u kvadrat je. Odredi polumjer kruga opisanog oko tog kvadrata.S obzirom :

Pronaći: OS=?
Riješenje: u ovom slučaju, problem se može riješiti korištenjem ili Pitagorinog teorema ili formule za R. Drugi slučaj će biti jednostavniji, budući da je formula za R izvedena iz teorema.

Zadatak 7.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je 2. Nađite hipotenuzuS ovaj trokut. Navedite u svom odgovoru.

S je površina trokuta

Ne znamo ni stranice trokuta ni njegovu površinu. Označimo noge kao x, tada će hipotenuza biti jednaka:

Površina trokuta bit će 0,5x 2 .

Sredstva

Dakle, hipotenuza će biti:

Odgovor mora biti napisan:

Odgovor: 4

Zadatak 8.

U trokutu ABC je AC = 4, BC = 3, kut C jednak je 90 0 . Nađi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S je površina trokuta

Dvije stranice su poznate (to su katete), možemo izračunati treću (hipotenuza), možemo izračunati i površinu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

Pronađimo područje:

Tako:

Odgovor: 1

Zadatak 9.

Stranice jednakokračnog trokuta su 5, osnovica je 6. Odredi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S je površina trokuta

Sve strane su poznate, a površina je izračunata. Možemo ga pronaći pomoću Heronove formule:

Zatim

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Stoga nasljeđuje sva svojstva paralelograma. Naime:

• Dijagonale romba su međusobno okomite.
• Dijagonale romba simetrale su njegovih unutarnjih kutova.

Četverokutu se može upisati kružnica ako i samo ako su zbrojevi suprotnih stranica jednaki.
Dakle, u svaki romb se može upisati kružnica. Središte upisane kružnice poklapa se sa središtem sjecišta dijagonala romba.
Polumjer upisane kružnice u romb može se izraziti na više načina

1 način. Polumjer upisane kružnice u romb kroz visinu

Visina romba jednaka je promjeru upisane kružnice. To proizlazi iz svojstva pravokutnika, kojega čine promjer upisane kružnice i visina romba - suprotne stranice pravokutnika su jednake.

Dakle, formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz visinu:

2 način. Polumjer upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Površina romba može se izraziti polumjerom upisane kružnice
, Gdje R je opseg romba. Znajući da je opseg zbroj svih stranica četverokuta, imamo P= 4×ha. Zatim
Ali površina romba također je pola umnoška njegovih dijagonala
Izjednačavanjem desnih dijelova formule površine dobivamo sljedeću jednakost
Kao rezultat toga dobivamo formulu koja nam omogućuje izračunavanje polumjera upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Primjer izračuna polumjera kružnice upisane u romb ako su poznate dijagonale
Odredi polumjer kružnice upisane u romb ako je poznato da su duljine dijagonala 30 cm i 40 cm.
Neka ABCD- romb, dakle AC I BD njegove dijagonale. AC= 30 cm , BD=40 cm
Neka točka OKO je središte upisanog u romb ABCD krug, tada će to također biti točka sjecišta njegovih dijagonala, dijeleći ih na pola.


budući da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom, onda trokut AOB pravokutan. Zatim po Pitagorinom teoremu
, zamijenimo prethodno dobivene vrijednosti u formulu

AB= 25 cm
Primjenjujući prethodno izvedenu formulu za polumjer opisane kružnice na romb, dobivamo

3 načina. Polumjer kružnice upisane u romb kroz segmente m i n

Točka F- točka kontakta kruga sa stranom romba, koja ga dijeli na segmente AF I bf. Neka AF=m, BF=n.
Točka O- središte sjecišta dijagonala romba i središte u njega upisane kružnice.
Trokut AOB- pravokutni, budući da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom.
, jer je polumjer povučen na tangentu kružnice. Stoga OD- visina trokuta AOB na hipotenuzu. Zatim AF I bf- projekcije kateta na hipotenuzu.
Visina u pravokutnom trokutu spuštena na hipotenuzu je prosječni proporcional između projekcija kateta na hipotenuzu.

Formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz odsječke jednaka je kvadratnom korijenu umnoška tih odsječaka na koje je stranica romba podijeljena tangentnom točkom kružnice

Promotrimo kružnicu upisanu u trokut (slika 302). Podsjetimo se da se njegovo središte O nalazi u sjecištu simetrala unutarnjih kutova trokuta. Segmenti OA, OB, OS, koji spajaju O s vrhovima trokuta ABC, podijelit će trokut na tri trokuta:

AOB, BOS, SOA. Visina svakog od ovih trokuta jednaka je polumjeru, pa su stoga njihove površine izražene kao

Površina cijelog trokuta S jednaka je zbroju ove tri površine:

gdje je poluopseg trokuta. Odavde

Polumjer upisane kružnice jednak je omjeru površine trokuta i njegovog poluperimetra.

Da bismo dobili formulu za polumjer opisane kružnice trokutu, dokažemo sljedeću tvrdnju.

Teorem a: U svakom trokutu stranica je jednaka promjeru opisane kružnice pomnoženoj sa sinusom suprotnog kuta.

Dokaz. Promotrimo proizvoljni trokut ABC i oko njega opisanu kružnicu čiji ćemo polumjer označiti s R (slika 303). Neka je A šiljasti kut trokuta. Nacrtajmo polumjere OB, OS kružnice i spustimo okomicu OK iz njezina središta O na stranicu BC trokuta. Uočimo da se kut a trokuta mjeri polovicom luka BC, kojemu je kut BOC središnji kut. Odavde je jasno da . Dakle, iz pravokutnog trokuta SOK nalazimo , ili , što je bilo potrebno dokazati.

Dati fig. 303 i argument se odnosi na slučaj šiljastog kuta trokuta; ne bi bilo teško provesti dokaz za slučajeve pravog i tupog kuta (čitatelj će to učiniti sam), ali se može koristiti sinusnim teoremom (218.3). Budući da mora biti gdje

Sinusni teorem je također napisan u. oblik

a usporedba s oznakom (218.3) daje za

Polumjer opisane kružnice jednak je omjeru umnoška triju stranica trokuta i njegove četverostruke površine.

Zadatak. Odredite stranice jednakokračnog trokuta ako njegova upisana i opisana kružnica imaju polumjere

Riješenje. Napišimo formule koje izražavaju polumjere upisane i opisane kružnice trokuta:

Za jednakokračni trokut sa stranicom i osnovicom, površina se izražava formulom

ili, smanjujući razlomak za faktor različit od nule, imamo

što dovodi do kvadratne jednadžbe za

Ima dva rješenja:

Zamjenom umjesto njegovog izraza u bilo koju od jednadžbi za ili R, konačno nalazimo dva odgovora na naš problem:

Vježbe

1. Visina pravokutnog trokuta, izvučena iz vrha pravog kuta, dijeli hipotenuzu u odnosu na Nađi omjer svake katete i hipotenuze.

2. Osnovice jednakokračnog trapeza upisanog krugu jednake su a i b. Nađi polumjer kružnice.

3. Dvije se kružnice dodiruju izvana. Njihove zajedničke tangente nagnute su prema središnoj liniji pod kutom od 30°. Duljina tangente između dodirnih točaka je 108 cm.Odredi polumjere kružnica.

4. Krakovi pravokutnog trokuta jednaki su a i b. Odredite površinu trokuta čije su stranice visina i medijan zadanog trokuta, izvučene iz vrha pravog kuta i segmenta hipotenuze između točaka njihova sjecišta s hipotenuzom.

5. Stranice trokuta su 13, 14, 15. Nađite projekciju svake od njih na druge dvije.

6. U trokutu su poznate stranica i visine.Nađite stranice b i c.

7. Poznate su dvije stranice trokuta i središnja.Nađite treću stranicu trokuta.

8. Zadane su dvije stranice trokuta i kut a između njih: Odredi polumjere upisane i opisane kružnice.

9. Poznate su stranice trokuta a, b, c. Na koje ih segmente dijele dodirne točke upisane kružnice sa stranicama trokuta?