Najmanji zajednički višekratnik brojeva 3 i 2. Zajednički djelitelj i višekratnik

Drugi broj: b=

Razdjelnik znamenki Nema razdjelnika razmaka " ´

Proizlaziti:

Najveći zajednički djelitelj gcd( a,b)=6

Najmanji zajednički višekratnik LCM( a,b)=468

Najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj(gcd) ovih brojeva. Označava se kao gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ili hcf(a,b).

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) dva cijela broja a i b je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s a i b bez ostatka. Označava se kao LCM(a,b) ili lcm(a,b).

Pozivaju se cijeli brojevi a i b istoprostorni ako nemaju zajedničkih djelitelja osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

Neka se daju dva pozitivni brojevi a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, tj. naći takav broj λ , koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vrijeme. Opišimo algoritam.

1) U ovom će članku riječ broj značiti cijeli broj.

Neka a 1 ≥ a 2 i neka

Gdje m 1 , a 3 su neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak od dijeljenja a 1 uključeno a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Hajdemo to pretvarati λ dijeli a 1 i a 2, dakle λ dijeli m 1 a 2 i λ dijeli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. tvrdnja članka "Djeljivost brojeva. Znak djeljivosti"). Slijedi da svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3 . Vrijedi i obrnuto ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3, dakle m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 se također dijele na λ . Odatle zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1 , onda možemo reći da je rješenje problema nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveo na jednostavniji problem nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a 3 ≠0, onda možemo podijeliti a 2 uključeno a 3 . Zatim

,

Gdje m 1 i a 4 su neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak dijeljenja a 2 uključeno a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim razmišljanjem dolazimo do zaključka da zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 je isto što i uobičajeni djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a također i sa zajedničkim djeliteljima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... brojevi koji se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim na nekom koraku n, ostatak dijeljenja a n na a n+1 će biti jednako nuli ( a n+2=0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevima a 1 i a 2 je također djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1. Vrijedi i obrnuto, zajednički djelitelji brojeva a n i a n+1 su također djelitelji brojeva a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj a n i a n+1 je broj a n+1, jer a n i a n+1 su djeljivi sa a n+1 (sjetite se toga a n+2=0). Stoga a n+1 je također djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da broj a n+1 je najveći djelitelj broja a n i a n+1 , budući da je najveći djelitelj a n+1 je sam a n+1. Ako a n + 1 može se predstaviti kao umnožak cijelih brojeva, tada su ti brojevi također uobičajeni djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n+1 se nazivaju najveći zajednički djelitelj brojevima a 1 i a 2 .

Brojke a 1 i a 2 mogu biti i pozitivni i negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva jednak nuli, tada će najveći zajednički djelitelj tih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj brojeva nula nije definiran.

Gornji algoritam se zove Euklidov algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju cijelih brojeva.

Primjer nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva

Odredi najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj brojeva 630 i 434 14. Primijetite da su brojevi 2 i 7 također djelitelji brojeva 630 i 434.

Koprosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Zatim se pozivaju ti brojevi međusobno prosti brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Teorema 1. Ako a 1 i a 2 relativno prosta broja, i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uvjeta teorema proizlazi da najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, i stoga a n i a n+1 je 1. tj. a n+1=1.

Pomnožimo sve te jednakosti s λ , Zatim

.

Neka zajednički djelitelj a 1 λ I a 2 je δ . Zatim δ ulazi kao faktor u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Vidi "Djeljivost brojeva", izjava 2). Unaprijediti δ ulazi kao faktor u a 2 λ I m 2 a 3 λ , pa stoga ulazi kao faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ovakvim razmišljanjem uvjerili smo se da δ ulazi kao faktor u a n−1 λ I m n−1 a n λ , a samim tim i u a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jer a n+1 =1, tada δ ulazi kao faktor u λ . Otuda broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teorema 1.

Posljedica 1. Neka a I c prosti brojevi su relativni b. Zatim njihov proizvod ak je prost broj u odnosu na b.

Stvarno. Iz teorema 1 ak I b imaju iste zajedničke djelitelje kao c I b. Ali brojke c I b koprime, tj. imaju jedan jedini zajednički djelitelj 1. Zatim ak I b također imaju jedan zajednički djelitelj 1. Dakle ak I b međusobno jednostavni.

Posljedica 2. Neka a I b međusobno prosti brojevi i neka b dijeli ak. Zatim b dijeli i k.

Stvarno. Iz uvjeta tvrdnje ak I b imaju zajednički djelitelj b. Na temelju teorema 1, b mora biti zajednički djelitelj b I k. Stoga b dijeli k.

Korolar 1 može se generalizirati.

Posljedica 3. 1. Neka brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m su prosti u odnosu na broj b. Zatim a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , umnožak ovih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom redu prost u odnosu na svaki broj u drugom redu. Zatim proizvod

Potrebno je pronaći takve brojeve koji su djeljivi sa svakim od tih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1, onda izgleda sa 1, gdje s neki broj. Ako q je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, dakle

Gdje s 1 je neki cijeli broj. Zatim

je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 međusobno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog slijedi da svaki višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε I a 3 i obrnuto. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε I a 3 je ε 1 . Nadalje, višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i a 4 . Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 je ε 2. Tako smo saznali da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m podudaraju se s višekratnicima nekog određenog broja ε n , koji se naziva najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva.

U konkretnom slučaju kada brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m međusobno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 kao što je gore prikazano ima oblik (3). Nadalje, budući da a 3 prosti broj u odnosu na brojeve a 1 , a 2, dakle a 3 je prosti relativni broj a 1 · a 2 (Korolar 1). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a 1 · a 2 · a 3 . Raspravljajući na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je jednako njihovom umnošku a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Izjava 2. Svaki broj koji je djeljiv sa svakim od međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv njihovim umnoškom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Višekratnik broja je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svakim brojem u grupi. Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik, trebate pronaći proste faktore zadanih brojeva. Također, LCM se može izračunati korištenjem niza drugih metoda koje su primjenjive na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Broj višekratnika

Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja koja su oba manja od 10. Ako su navedeni veliki brojevi, upotrijebite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa se ova metoda može koristiti.

1. Višekratnik broja je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. U tablici množenja može se naći više brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapiši niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Učinite to ispod višekratnika prvog broja kako biste usporedili dva reda brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika. Možda ćete morati napisati dugačke nizove višekratnika da biste pronašli ukupni iznos. Najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika brojeva 5 i 8 je 40. Stoga je 40 najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8.

   Rastavljanje na proste faktore

   1. Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja koja su oba veća od 10. Ako su dani manji brojevi, upotrijebite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, pa se ova metoda može koristiti.

   2. Faktoriziraj prvi broj. Odnosno, trebate pronaći takve proste brojeve, kada se pomnože, dobivate zadani broj. Nakon što ste pronašli proste faktore, zapišite ih kao jednakost.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) I 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti faktori broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Zapiši ih kao izraz: .

   3. Rastavite drugi broj na proste faktore. Učinite to na isti način kao što ste rastavili prvi broj na faktore, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dobiti ovaj broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) I 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti faktori broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapiši ih kao izraz: .

   4. Zapiši faktore zajedničke obama brojevima. Zapišite takve faktore kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, prekrižite ga u oba izraza (izrazi koji opisuju rastavljanje brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\times ) i prekrižite 2 u oba izraza.
      • Zajednički faktor za oba broja je još jedan faktor od 2, pa napiši 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) a drugo 2 precrtajte u oba izraza.

   5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu prekriženi u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) oba dvojca (2) su prekrižena jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije prekrižen, pa operaciju množenja zapišite na sljedeći način: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) prekrižene su i obje dvojke (2). Čimbenici 7 i 3 nisu prekriženi, pa operaciju množenja zapišite na sljedeći način: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Izračunaj najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u napisanoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84 je 420.

   Pronalaženje zajedničkih djelitelja

   1. Nacrtajte mrežu kao za igru ​​tic-tac-toe. Takva se mreža sastoji od dvije paralelne crte koje se sijeku (pod pravim kutom) s dvije druge paralelne crte. To će rezultirati s tri retka i tri stupca (mreža dosta sliči znaku #). Napišite prvi broj u prvi red i drugi stupac. Napišite drugi broj u prvi red i treći stupac.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30. Napišite 18 u prvi red i drugi stupac, a napišite 30 u prvi red i treći stupac.

   2. Pronađite zajednički djelitelj oba broja. Zapišite to u prvi red i prvi stupac. Bolje je tražiti proste djelitelje, ali to nije preduvjet.

      • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa im je zajednički djelitelj 2. Dakle, napišite 2 u prvi red i prvi stupac.

   3. Svaki broj podijelite prvim djeliteljem. Svaki kvocijent upiši ispod odgovarajućeg broja. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

      • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa ispod 18 napiši 9.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa napišite 15 ispod 30.

   4. Pronađite zajednički djelitelj obama kvocijentima. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, zapišite djelitelj u drugi red i prvi stupac.

      • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi s 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

   5. Svaki kvocijent podijeli s drugim djeliteljem. Svaki rezultat dijeljenja upiši ispod odgovarajućeg kvocijenta.

      • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa ispod 9 napiši 3.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa ispod 15 napiši 5.

   6. Ako je potrebno, dopunite rešetku dodatnim ćelijama. Ponavljajte gornje korake dok količnici ne dobiju zajednički djelitelj.

   7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i zadnjem retku rešetke. Zatim napiši označene brojeve kao operaciju množenja.

      • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u zadnjem redu, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).

   8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.

      • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30 je 90.

   Euklidov algoritam

   1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Djelitelj je broj kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji ostane kada se dva broja podijele.

      • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odmor. 3:
        15 je djeljiv
        6 je djelitelj
        2 je privatno
        3 je ostatak.

Ali mnogi prirodni brojevi ravnomjerno su djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a je prirodni broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b je broj kojim su oba dana djeljiva bez ostatka a I b.

zajednički višekratnik više brojeva naziva se broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjezajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika za LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je najveći zajednički djelitelj poznat, možete koristiti njegov odnos s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k su različiti prosti brojevi, i d 1 ,...,dk I e 1 ,...,ek su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prost broj nije u proširenju).

Zatim LCM ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM proširenje sadrži sve proste faktore koji su uključeni u barem jedno od proširenja brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika više brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- najveće proširenje prenijeti na faktore željenog umnoška (umnožak faktora najvećeg broja zadanih), a zatim dodati faktore iz proširenja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se nalaze u njemu manji broj puta;

- rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Svaka dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su faktorom 3 (broj 21), dobiveni umnožak (84) bit će najmanji broj djeljiv s 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim zadanim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući umnožak (150, 250, 300...) čiji su višekratnici svi navedeni brojevi.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Ispisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Tema "Više brojeva" obrađuje se u 5. razredu opće škole. Cilj mu je poboljšati pismene i usmene vještine matematičkih izračuna. U ovoj lekciji uvode se novi pojmovi - "više brojeva" i "djelitelja", tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja, razrađuje se sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.

Ova tema je vrlo važna. Znanje o njemu može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv s A bez ostatka.

Svaki prirodni broj ima beskonačan broj svojih višekratnika. Smatra se da je najmanje. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.

Potrebno je dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, potrebno je prvi broj podijeliti s drugim. Ako je 125 djeljivo s 5 bez ostatka, tada je odgovor da.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Pri izračunavanju LCM postoje posebni slučajevi.

1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik za 2 broja (na primjer, 80 i 20), pri čemu je jedan od njih (80) djeljiv bez ostatka s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik ova dva broja.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM produkt ta dva broja.

LCM (6, 7) = 42.

Razmotrimo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Dijele višekratnik bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su parovi djelitelja. Njihov umnožak jednak je najvećem višestrukom broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili s 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se nazivaju kompozitni.

U drugom primjeru, morate odrediti je li 9 djelitelj u odnosu na 42.

42:9=4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.

Djelitelj se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a višekratnik je sam po sebi djeljiv tim brojem.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnoženo njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.

Naime: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Zajednički višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.

Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.

Rastavljamo te brojeve na proste faktore, zapisujemo ih kao produkt potencija:

168=2³x3¹x7¹

2⁴h3³h5¹h7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo biste trebali odrediti značenje pojma "višestruko".

Višekratnik A je prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv s A. Stoga se 15, 20, 25 i tako dalje mogu smatrati višekratnicima broja 5.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je s njima djeljiv bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svim tim brojevima.

Da biste pronašli NOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve zgodno je ispisivati ​​u retku sve višekratnike tih brojeva dok se među njima ne pronađe zajednički. Višestruki se u zapisu označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici broja 4 mogu se napisati ovako:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj unos se izvodi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugi način za izračunavanje LCM-a.

Za izvršenje zadatka potrebno je predložene brojeve rastaviti na proste faktore.

Prvo morate napisati proširenje najvećeg broja u retku, a ispod njega - ostatak.

U proširenju svakog broja može postojati različit broj faktora.

Na primjer, rastavimo brojeve 50 i 20 na proste faktore.

U proširivanju manjeg broja treba podcrtati faktore koji nedostaju u proširivanju prvog najvećeg broja, a zatim mu ih dodati. U predstavljenom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možemo izračunati najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dakle, umnožak prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja, koji nisu uključeni u rastavljanje većeg broja, bit će najmanji zajednički višekratnik.

Da bismo pronašli LCM tri ili više brojeva, sve ih treba rastaviti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz rastavljanja šesnaest nisu uvrštene u faktoriziranje većeg broja (jedan je u rastavljanju dvadesetčetiri).

Dakle, potrebno ih je dodati u razgradnju većeg broja.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od tih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, NOC-ovi od dvanaest i dvadeset i četiri bili bi dvadeset i četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva koji nemaju iste djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom umnošku.

Na primjer, LCM(10, 11) = 110.