Akar pangkat dua. Teori terperinci dengan contoh-contoh

Konsep akar kuadrat dari bilangan non-negatif

Pertimbangkan persamaan x2 = 4. Mari selesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat buat parabola y = x2 dan garis lurus y = 4 (Gbr. 74). Mereka berpotongan di dua titik A (- 2; 4) dan B (2; 4). Absis titik A dan B adalah akar dari persamaan x2 = 4. Jadi, x1 = - 2, x2 = 2.

Berdebat dengan cara yang sama, kami menemukan akar persamaan x2 \u003d 9 (lihat Gambar 74): x1 \u003d - 3, x2 \u003d 3.

Dan sekarang mari kita coba selesaikan persamaan x2 = 5; ilustrasi geometris ditunjukkan pada gambar. 75. Jelas bahwa persamaan ini memiliki dua akar x1 dan x2, dan angka-angka ini, seperti dalam dua kasus sebelumnya, sama dalam nilai absolut dan berlawanan tanda (x1 - - x2) - Tetapi tidak seperti kasus sebelumnya, di mana akar persamaan ditemukan tanpa kesulitan (dan juga dapat ditemukan tanpa menggunakan grafik), tidak demikian halnya dengan persamaan x2 \u003d 5: menurut gambar, kami tidak dapat menunjukkan nilai akar , kami hanya dapat menetapkan yang itu akar letaknya agak ke kiri titik - 2, dan yang kedua - agak ke kanan titik 2.

Tapi di sini kita berada dalam kejutan yang tidak menyenangkan. Ternyata tidak ada seperti itu pecahan DIV_ADBLOCK32">

Misalkan ada fraksi yang tidak dapat direduksi yang persamaannya https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, yaitu m2 = 5n2. Kesetaraan terakhir artinya bilangan asli m2 habis dibagi 5 tanpa sisa (dalam hasil bagi kita mendapatkan n2).

Akibatnya, bilangan m2 diakhiri dengan bilangan 5 atau bilangan 0. Tetapi bilangan asli m juga diakhiri dengan bilangan 5 atau bilangan 0, yaitu bilangan m habis dibagi 5 tanpa sisa. Dengan kata lain, jika bilangan m dibagi dengan 5, maka hasil bagi akan diperoleh bilangan asli k. Ini berarti bahwa m = 5k.

Dan sekarang lihat:

Ganti 5k untuk m dalam persamaan pertama:

(5k)2 = 5n2, yaitu 25k2 = 5n2 atau n2 = 5k2.

Kesetaraan terakhir berarti angka. 5n2 habis dibagi 5 tanpa sisa. Berdebat seperti di atas, kita sampai pada kesimpulan bahwa bilangan n juga habis dibagi 5 tanpa sisa.

Jadi, m habis dibagi 5, n habis dibagi 5, jadi pecahannya bisa dikurangi (5). Tetapi kami berasumsi bahwa fraksi tidak dapat direduksi. Apa masalahnya? Mengapa, dengan bernalar dengan benar, kita sampai pada absurditas atau, seperti yang sering dikatakan ahli matematika, mendapat kontradiksi "! Ya, karena premis aslinya salah, seolah-olah ada pecahan yang tidak dapat direduksi, yang persamaannya ).

Jika sebagai akibat dari penalaran yang benar, kita sampai pada kontradiksi dengan kondisi tersebut, maka kita menyimpulkan: asumsi kita salah, artinya apa yang harus dibuktikan itu benar.

Jadi, hanya memiliki angka rasional(dan kami belum mengetahui angka lainnya), kami tidak akan dapat menyelesaikan persamaan x2 \u003d 5.

Setelah menghadapi situasi seperti itu untuk pertama kalinya, ahli matematika menyadari bahwa mereka harus menemukan cara untuk mendeskripsikannya dalam bahasa matematika. Mereka memperkenalkan simbol baru, yang mereka sebut akar kuadrat, dan dengan bantuan simbol ini, akar persamaan x2 = 5 ditulis sebagai berikut: ). Sekarang untuk persamaan apa pun dalam bentuk x2 \u003d a, di mana a\u003e O, Anda dapat menemukan akarnya - itu adalah bilanganhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} bukan keseluruhan atau pecahan.
Artinya, ini bukan bilangan rasional, melainkan bilangan yang sifatnya baru, kita akan membicarakan bilangan tersebut secara khusus nanti, di Bab 5.
Untuk saat ini, perhatikan saja bahwa angka yang baru adalah antara 2 dan 3, karena 22 = 4, yang kurang dari 5; Z2 \u003d 9, yang lebih dari 5. Anda dapat mengklarifikasi:

Sekali lagi, perhatikan bahwa hanya angka positif yang muncul di tabel, karena ini ditentukan dalam definisi akar kuadrat. Dan meskipun, misalnya, \u003d 25 adalah persamaan yang benar, lanjutkan dari itu ke notasi menggunakan akar kuadrat (yaitu, tulis itu. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} adalah bilangan positif, jadi https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Yang jelas lebih besar dari 4 tetapi kurang dari 5, karena 42 = 16 (kurang dari 17) dan 52 = 25 (lebih dari 17).
Namun, nilai perkiraan angka tersebut dapat ditemukan menggunakan Kalkulator, yang berisi operasi akar kuadrat; nilai ini adalah 4,123.

Angka , seperti angka yang dipertimbangkan di atas, tidak rasional.
e) Tidak dapat dihitung karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak ada; masuknya tidak ada artinya. Tugas yang diusulkan salah.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Tugas" width="80" height="33 id=">!}, karena 75 > 0 dan 752 = 5625.

Dalam kasus paling sederhana, nilai akar kuadrat langsung dihitung:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Tugas" width="65" height="42 id=">!}
Larutan.
Tahap pertama. Tidak sulit menebak bahwa jawabannya adalah 50 dengan "ekor". Memang, 502 = 2500 dan 602 = 3600, sedangkan 2809 antara 2500 dan 3600.

Pertimbangkan persamaan x 2 = 4. Mari selesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat, kami membuat parabola y \u003d x 2 dan garis lurus y \u003d 4 (Gbr. 74). Mereka berpotongan di dua titik A (- 2; 4) dan B (2; 4). Absis titik A dan B adalah akar dari persamaan x 2 \u003d 4. Jadi, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Berdebat dengan cara yang sama, kita menemukan akar persamaan x 2 \u003d 9 (lihat Gambar 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

Dan sekarang mari kita coba selesaikan persamaan x 2 \u003d 5; ilustrasi geometris ditunjukkan pada gambar. 75. Jelas bahwa persamaan ini memiliki dua akar x 1 dan x 2, dan angka-angka ini, seperti dalam dua kasus sebelumnya, memiliki nilai absolut yang sama dan bertanda berlawanan (x 1 - - x 2) - Tetapi tidak seperti yang sebelumnya kasus , di mana akar persamaan ditemukan tanpa kesulitan (dan mereka juga dapat ditemukan tanpa menggunakan grafik), tidak demikian halnya dengan persamaan x 2 \u003d 5: menurut gambar, kami tidak dapat menunjukkan nilainya \u200b\u200bdari akarnya, kita hanya dapat menetapkan bahwa satu akar terletak sedikit ke kiri - 2, dan yang kedua - sedikit ke kanan

poin 2.

Berapa angka (titik) ini, yang terletak tepat di sebelah kanan titik 2 dan menghasilkan 5 kuadrat? Jelas bahwa ini bukan 3, karena Z 2 \u003d 9, yaitu ternyata lebih dari yang diperlukan (9\u003e 5).

Artinya angka yang kita minati terletak di antara angka 2 dan 3. Tetapi di antara angka 2 dan 3 terdapat himpunan bilangan rasional yang tak terhingga, misalnya dll. Mungkin di antara mereka ada pecahan seperti itu? Maka kita tidak akan memiliki masalah dengan persamaan x 2 - 5, kita dapat menulisnya

Tapi di sini kita berada dalam kejutan yang tidak menyenangkan. Ternyata tidak ada pecahan yang persamaannya
Bukti dari pernyataan yang disebutkan agak sulit. Namun demikian, kami memberikannya karena indah dan instruktif, sangat berguna untuk mencoba memahaminya.

Misalkan ada pecahan yang tidak dapat direduksi , yang persamaannya berlaku. Maka , yaitu m 2 = 5n 2 . Kesetaraan terakhir berarti bahwa bilangan asli m 2 habis dibagi 5 tanpa sisa (khususnya, n2 akan berubah).

Akibatnya, bilangan m 2 diakhiri dengan bilangan 5 atau dengan bilangan 0. Tetapi bilangan asli m juga diakhiri dengan bilangan 5 atau bilangan 0, mis. bilangan m habis dibagi 5 tanpa sisa. Dengan kata lain, jika bilangan m dibagi dengan 5, maka hasil bagi akan diperoleh bilangan asli k. Ini berarti,
bahwa m = 5k.
Dan sekarang lihat:
m 2 \u003d 5n 2;
Ganti 5k untuk m dalam persamaan pertama:

(5k) 2 = 5n 2 , yaitu 25k 2 = 5n 2 atau n 2 = 5k 2 .
Kesetaraan terakhir berarti angka. 5n 2 habis dibagi 5 tanpa sisa. Berdebat seperti di atas, kita sampai pada kesimpulan bahwa bilangan n juga habis dibagi 5 tanpa sisa.
Jadi, m habis dibagi 5, n habis dibagi 5, jadi pecahannya bisa dikurangi (5). Tetapi kami berasumsi bahwa fraksi tidak dapat direduksi. Apa masalahnya? Mengapa, dengan bernalar dengan benar, kita sampai pada absurditas atau, seperti yang sering dikatakan ahli matematika, mendapat kontradiksi "! Ya, karena premis aslinya salah, seolah-olah ada pecahan yang tidak dapat direduksi, yang persamaannya
Dari sini kami menyimpulkan: tidak ada fraksi seperti itu.
Metode pembuktian yang baru saja kita terapkan dalam matematika disebut metode pembuktian dengan kontradiksi. Esensinya adalah sebagai berikut. Kita perlu membuktikan pernyataan tertentu, dan kita berasumsi bahwa itu tidak berlaku (ahli matematika berkata: "anggap sebaliknya" - bukan dalam arti "tidak menyenangkan", tetapi dalam arti "kebalikan dari apa yang diminta").
Jika sebagai akibat dari penalaran yang benar, kita sampai pada kontradiksi dengan kondisi tersebut, maka kita menyimpulkan: asumsi kita salah, artinya apa yang harus dibuktikan itu benar.

Jadi, hanya memiliki bilangan rasional (dan kami belum mengetahui bilangan lain), kami tidak akan dapat menyelesaikan persamaan x 2 \u003d 5.
Setelah menghadapi situasi seperti itu untuk pertama kalinya, ahli matematika menyadari bahwa mereka harus menemukan cara untuk mendeskripsikannya dalam bahasa matematika. Mereka memperkenalkan simbol baru, yang mereka sebut akar kuadrat, dan menggunakan simbol ini, akar persamaan x 2 \u003d 5 ditulis sebagai berikut:

berbunyi: "akar kuadrat dari 5"). Sekarang untuk persamaan apa pun dalam bentuk x 2 \u003d a, di mana a\u003e O, Anda dapat menemukan akarnya - itu adalah angka , (Gbr. 76).

Sekali lagi, kami menekankan bahwa angka tersebut bukan bilangan bulat dan bukan pecahan.
Artinya, ini bukan bilangan rasional, melainkan bilangan yang sifatnya baru, kita akan membicarakan bilangan tersebut secara khusus nanti, di Bab 5.
Untuk saat ini, perhatikan saja bahwa angka yang baru adalah antara 2 dan 3, karena 2 2 = 4, yang kurang dari 5; Z 2 \u003d 9, dan ini lebih dari 5. Anda dapat mengklarifikasi:

Memang, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Anda masih bisa
menentukan:

memang, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Dalam praktiknya, biasanya diyakini bahwa angkanya sama dengan 2,23 atau sama dengan 2,24, hanya saja ini bukan persamaan biasa, tetapi perkiraan persamaan, yang simbolnya digunakan.
Jadi,

Membahas solusi persamaan x 2 = a, kami dihadapkan pada keadaan yang agak khas untuk matematika. Masuk ke situasi yang tidak standar, abnormal (seperti yang sering dikatakan kosmonot) dan tidak menemukan jalan keluarnya dengan bantuan cara yang diketahui, ahli matematika datang dengan istilah baru dan penunjukan baru (simbol baru) untuk matematika model yang mereka temui untuk pertama kalinya; dengan kata lain, mereka memperkenalkan konsep baru dan kemudian mempelajari sifat-sifatnya
konsep. Dengan demikian, konsep baru dan penunjukannya menjadi milik bahasa matematika. Kami bertindak dengan cara yang sama: kami memperkenalkan istilah "akar kuadrat dari angka a", memperkenalkan simbol untuk menunjukkannya, dan beberapa saat kemudian kami akan mempelajari properti dari konsep baru tersebut. Sejauh ini kita hanya mengetahui satu hal: jika a > 0,
maka adalah bilangan positif yang memenuhi persamaan x 2 = a. Dengan kata lain, apakah bilangan positif tersebut, jika dikuadratkan, diperoleh bilangan a.
Karena persamaan x 2 \u003d 0 memiliki akar x \u003d 0, kami sepakat untuk berasumsi bahwa
Kami sekarang siap untuk memberikan definisi yang ketat.
Definisi. Akar kuadrat dari bilangan tak negatif a adalah bilangan tak negatif yang kuadratnya adalah a.

Nomor ini dilambangkan, nomor dan pada saat yang sama disebut nomor root.
Jadi, jika a adalah bilangan non-negatif, maka:

Jika sebuah< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Dengan demikian, ekspresi masuk akal hanya ketika a > 0.
Mereka mengatakan itu - model matematika yang sama (hubungan yang sama antara bilangan non-negatif
(a dan b), tetapi hanya yang kedua dijelaskan dalam bahasa yang lebih sederhana daripada yang pertama (menggunakan karakter yang lebih sederhana).

Operasi mencari akar kuadrat dari bilangan non-negatif disebut mengambil akar kuadrat. Operasi ini adalah kebalikan dari mengkuadratkan. Membandingkan:

Sekali lagi, perhatikan bahwa hanya angka positif yang muncul di tabel, karena ini ditentukan dalam definisi akar kuadrat. Dan meskipun, misalnya, (- 5) 2 \u003d 25 adalah persamaan yang benar, lanjutkan dari itu ke notasi menggunakan akar kuadrat (mis. tulis itu.)
itu dilarang. A-priori, . adalah bilangan positif, jadi .
Seringkali mereka mengatakan bukan "akar kuadrat", tetapi "akar kuadrat aritmatika". Kami menghilangkan istilah "aritmatika" untuk singkatnya.

D) Berbeda dengan contoh sebelumnya, kami tidak dapat menentukan nilai angka yang tepat. Hanya jelas bahwa lebih besar dari 4 tetapi kurang dari 5, karena

4 2 = 16 (kurang dari 17) dan 5 2 = 25 (lebih dari 17).
Namun, nilai perkiraan angka tersebut dapat ditemukan dengan menggunakan mikrokalkulator, yang berisi operasi mengekstraksi akar kuadrat; nilai ini adalah 4,123.
Jadi,
Angka , seperti angka yang dipertimbangkan di atas, tidak rasional.
e) Tidak dapat dihitung karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak ada; masuknya tidak ada artinya. Tugas yang diusulkan salah.
e), karena 31 > 0 dan 31 2 = 961. Dalam kasus seperti itu, Anda harus menggunakan tabel kuadrat bilangan asli atau kalkulator mikro.
g) sejak 75 > 0 dan 75 2 = 5625.
Dalam kasus paling sederhana, nilai akar kuadrat dihitung segera: dll. Dalam kasus yang lebih kompleks, Anda harus menggunakan tabel kuadrat angka atau melakukan perhitungan menggunakan mikrokalkulator. Tetapi bagaimana jika tidak ada spreadsheet atau kalkulator? Mari kita jawab pertanyaan ini dengan menyelesaikan contoh berikut.

Contoh 2 Menghitung
Larutan.
Tahap pertama. Tidak sulit menebak bahwa jawabannya adalah 50 dengan "ekor". Memang, 50 2 = 2500, dan 60 2 = 3600, sedangkan angka 2809 berada di antara angka 2500 dan 3600.

Fase kedua. Mari kita temukan "ekor", mis. digit terakhir dari angka yang diinginkan. Selama ini kita tahu kalau diambil akarnya, maka jawabannya bisa 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, atau 59. Hanya dua bilangan yang perlu diperiksa: 53 dan 57, karena hanya mereka , jika dikuadratkan, hasilnya adalah angka empat digit yang diakhiri dengan 9, digit yang sama dengan 2809.
Kami memiliki 532 = 2809 - inilah yang kami butuhkan (kami beruntung, kami langsung tepat sasaran). Jadi = 53.
Menjawab:

53
Contoh 3 Panjang kaki sebuah segitiga siku-siku adalah 1 cm dan 2 cm Berapa sisi miring segitiga tersebut? (gbr.77)

Larutan.

Mari kita gunakan teorema Pythagoras yang diketahui dari geometri: jumlah kuadrat panjang kaki-kaki segitiga siku-siku sama dengan kuadrat panjang sisi miringnya, yaitu a 2 + b 2 \u003d c 2, di mana a, b adalah kaki-kakinya, c adalah sisi miring dari segitiga siku-siku.

Cara,

Contoh ini menunjukkan bahwa pengenalan akar kuadrat bukanlah keinginan matematikawan, tetapi kebutuhan objektif: dalam kehidupan nyata, ada situasi yang model matematikanya mengandung operasi ekstraksi akar kuadrat. Mungkin yang paling penting dari situasi ini adalah
memecahkan persamaan kuadrat. Hingga saat ini, ketika bertemu dengan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0, kami memfaktorkan sisi kiri (yang tidak selalu berhasil), atau menggunakan metode grafis (yang juga tidak terlalu andal, meskipun indah). Bahkan, untuk menemukan
akar x 1 dan x 2 dari persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0 dalam matematika, digunakan rumus

mengandung, rupanya, tanda akar kuadrat Rumus-rumus ini diterapkan dalam praktik sebagai berikut. Misalnya, persamaan 2x 2 + bx - 7 \u003d 0 harus diselesaikan. Di sini a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Oleh karena itu,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Kemudian kita temukan . Cara,

Kami mencatat di atas bahwa bukan bilangan rasional.
Matematikawan menyebut angka seperti itu tidak rasional. Bilangan apa pun dari bentuk itu tidak rasional jika akar kuadratnya tidak diambil. Misalnya, dll. adalah bilangan irasional. Di Bab 5, kita akan berbicara lebih banyak tentang bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional dan irasional bersama-sama membentuk himpunan bilangan real, yaitu himpunan semua angka yang kita operasikan dalam kehidupan nyata (sebenarnya,
ness). Misalnya, - semua ini adalah bilangan real.
Sama seperti kita mendefinisikan konsep akar kuadrat di atas, kita juga dapat mendefinisikan konsep akar pangkat tiga: akar pangkat tiga dari bilangan tak negatif a adalah bilangan tak negatif yang pangkat tiganya sama dengan a. Dengan kata lain, kesetaraan berarti bahwa b 3 = a.

Kami akan mempelajari semua ini di kursus aljabar kelas 11.

Pada artikel ini, kami akan memperkenalkan konsep akar bilangan. Kami akan bertindak secara berurutan: kami akan mulai dengan akar kuadrat, dari situ kami akan beralih ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kami akan menggeneralisasi konsep akar dengan mendefinisikan akar derajat ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar dari sebuah bilangan, dan akar kuadrat khususnya, kita harus memiliki . Pada titik ini, kita akan sering menemukan kekuatan kedua dari sebuah angka - kuadrat dari sebuah angka.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari a adalah bilangan yang kuadratnya adalah a .

Untuk membawa contoh akar kuadrat, ambil beberapa angka, misalnya, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , dan kuadratkan, kita mendapatkan angka 25 , 0.09 , 0.09 dan 0 masing-masing (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 dan 0 2 =0 0=0 ). Kemudian dengan definisi di atas, 5 adalah akar kuadrat dari 25, −0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak ada angka a yang kuadratnya sama dengan a . Yaitu, untuk bilangan negatif a, tidak ada bilangan real b yang kuadratnya sama dengan a. Memang, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk a negatif apa pun, karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk b apa pun. Dengan demikian, pada himpunan bilangan real tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak memiliki arti.

Ini mengarah pada pertanyaan logis: "Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a non-negatif"? Jawabannya iya. Alasan fakta ini dapat dianggap sebagai metode konstruktif yang digunakan untuk mencari nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikut: "Berapa jumlah semua akar kuadrat dari bilangan non-negatif tertentu a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih"? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a adalah bilangan positif, maka jumlah akar kuadrat dari bilangan a sama dengan dua, dan akarnya adalah . Mari kita buktikan ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Pertama-tama mari kita tunjukkan bahwa nol memang akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti dari persamaan yang jelas 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari gunakan metode sebaliknya. Mari kita asumsikan bahwa ada bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk b bukan nol nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kita telah sampai pada suatu kontradiksi. Ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Di atas kami mengatakan bahwa selalu ada akar kuadrat dari bilangan non-negatif apa pun, misalkan b menjadi akar kuadrat dari a. Katakanlah ada angka c , yang juga merupakan akar kuadrat dari a . Kemudian, dengan definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah valid, yang darinya b 2 −c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , lalu (b−c) (b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan berlaku sifat-sifat aksi dengan bilangan real hanya mungkin bila b−c=0 atau b+c=0 . Jadi bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita mengasumsikan bahwa ada bilangan d, yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan penalaran yang mirip dengan yang telah diberikan, dibuktikan bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, jumlah akar kuadrat dari bilangan positif adalah dua, dan akar kuadratnya adalah bilangan yang berlawanan.

Demi kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat, akar negatif "dipisahkan" dari akar positif. Untuk tujuan ini, ini memperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan tak negatif a adalah bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan a .

Untuk akar kuadrat aritmatika dari bilangan a, notasi diterima. Tanda itu disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Itu juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, Anda dapat mendengar sebagian "root" dan "radikal", yang berarti objek yang sama.

Angka di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut nomor akar, dan ekspresi di bawah tanda root - ekspresi radikal, sedangkan istilah "bilangan akar" sering diganti dengan "ekspresi akar". Misalnya, dalam notasi, angka 151 adalah bilangan radikal, dan dalam notasi, ekspresi a adalah ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya entri dibaca sebagai "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan ratus". Kata "aritmatika" diucapkan hanya jika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara tentang akar kuadrat positif dari suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, ini mengikuti dari definisi akar kuadrat aritmatika bahwa untuk bilangan non-negatif apa pun a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmetika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk angka negatif a, kami tidak akan melampirkan makna pada entri sampai kami mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya, ekspresi dan tidak ada artinya.

Berdasarkan definisi akar kuadrat, sifat-sifat akar kuadrat terbukti, yang sering digunakan dalam praktik.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan adalah solusi dari bentuk x 2 =a terhadap variabel x .

akar pangkat tiga dari

Definisi akar pangkat tiga dari angka a diberikan dengan cara yang mirip dengan definisi akar kuadrat. Hanya itu yang didasarkan pada konsep bilangan kubik, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari a bilangan yang pangkat tiganya sama dengan a disebut.

Ayo bawa contoh akar pangkat tiga. Untuk melakukan ini, ambil beberapa angka, misalnya, 7 , 0 , −2/3 , dan pangkat tiga: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa angka 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan −2/3 adalah akar pangkat tiga dari −8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan a, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, dan tidak hanya untuk non-negatif a, tetapi juga untuk bilangan real a. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan metode yang sama seperti yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari bilangan tertentu a. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, perhatikan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0 dan a adalah bilangan negatif.

Mudah ditunjukkan bahwa untuk a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a , maka menurut definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a . Jelas bahwa persamaan ini tidak mungkin benar untuk negatif b dan untuk b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan menjadi bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain angka b ada satu lagi akar pangkat tiga dari angka a, mari kita nyatakan c. Maka c3 =a. Oleh karena itu, b 3 −c 3 =a−a=0 , tetapi b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ini adalah rumus perkalian yang disingkat selisih kubus), di mana (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Persamaan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b c+c 2 =0 . Dari persamaan pertama kita memiliki b=c, dan persamaan kedua tidak memiliki penyelesaian, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c sebagai jumlah dari tiga suku positif b 2 , b c dan c 2 . Ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Untuk a=0, satu-satunya akar pangkat tiga dari a adalah nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada angka b , yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin jika b=0 .

Untuk negatif a , seseorang dapat berargumentasi serupa dengan kasus positif a . Pertama, kami menunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan negatif tidak boleh sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kami berasumsi bahwa ada akar pangkat dua kedua dari bilangan negatif dan menunjukkan bahwa itu pasti akan bertepatan dengan yang pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari sembarang bilangan real a, dan hanya satu.

Mari kita memberi pengertian akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan tak negatif a bilangan tak negatif yang pangkat tiganya sama dengan a disebut.

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a dilambangkan sebagai , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga aritmatika, angka 3 dalam notasi ini disebut indikator akar. Angka di bawah tanda root adalah nomor akar, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika ditentukan hanya untuk bilangan non-negatif a, akan lebih baik jika menggunakan entri yang bilangan negatifnya berada di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kami akan memahaminya sebagai berikut: , di mana a adalah bilangan positif. Misalnya, .

Kami akan berbicara tentang sifat-sifat akar pangkat tiga di artikel umum tentang sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstraksi akar pangkat tiga, tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstraksi akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita katakan bahwa akar pangkat tiga dari a adalah solusi dari bentuk x 3 =a.

Akar ke-n, akar aritmetika dari n

Kami menggeneralisasi konsep root dari angka - kami perkenalkan penentuan akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-nnya sama dengan a.

Dari definisi tersebut jelaslah bahwa akar derajat pertama dari bilangan a adalah bilangan a itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan indikator natural kita mengambil 1 = a.

Di atas, kami mempertimbangkan kasus-kasus khusus dari akar derajat ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar derajat ketiga. Untuk mempelajari akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar dari derajat genap (yaitu, untuk n=4, 6 , 8, ...), kelompok kedua - akar pangkat ganjil (yaitu, untuk n=5, 7, 9, ... ). Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa akar derajat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar derajat ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Mari kita berurusan dengan mereka secara bergiliran.

Mari kita mulai dengan akar, yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kami katakan, mereka mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar derajat genap dari bilangan a hanya ada untuk a tak-negatif. Selain itu, jika a=0, maka akar dari a unik dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar derajat genap dari bilangan a, dan merupakan bilangan yang berlawanan.

Mari kita membenarkan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar derajat genap (dinotasikan sebagai 2·m, di mana m adalah bilangan asli) dari a. Misalkan ada angka c - akar 2 m lainnya dari a . Kemudian b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Tapi kita tahu bentuk b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), lalu (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa b−c=0 , atau b+c=0 , atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bilangan b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0 , karena sisi kirinya berisi ekspresi non-negatif untuk b dan c apa pun sebagai jumlah bilangan non-negatif.

Adapun akar derajat ke-n untuk n ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar derajat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a unik.

Keunikan akar berderajat ganjil 2·m+1 dari bilangan a dibuktikan secara analogi dengan bukti keunikan akar pangkat tiga dari a . Hanya di sini bukan kesetaraan a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m + b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… + c 2 m). Ekspresi dalam tanda kurung terakhir dapat ditulis ulang sebagai b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Misalnya, untuk m=2 kita punya b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Ketika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, produk mereka adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c , yang berada di dalam tanda kurung dengan derajat tertinggi, adalah positif sebagai jumlah dari positif angka. Sekarang, secara berturut-turut beralih ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat pengelompokan sebelumnya, kami memastikan bahwa ekspresi tersebut juga positif sebagai jumlah dari bilangan positif. Sebagai hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 hanya mungkin bila b−c=0 , yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c .

Saatnya berurusan dengan notasi akar derajat ke-n. Untuk ini, itu diberikan penentuan akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika dari derajat ke-n dari bilangan non-negatif a disebut bilangan non-negatif, yang pangkat ke-nnya sama dengan a.

Saya melihat lagi ke piring ... Dan, ayo pergi!

Mari kita mulai dengan yang sederhana:

Tunggu sebentar. ini, yang berarti kita dapat menulisnya seperti ini:

Mengerti? Inilah yang berikutnya untuk Anda:

Akar dari angka yang dihasilkan tidak diekstraksi dengan tepat? Jangan khawatir, berikut beberapa contohnya:

Tetapi bagaimana jika tidak ada dua pengganda, tetapi lebih? Sama! Rumus perkalian akar bekerja dengan sejumlah faktor:

Sekarang sepenuhnya independen:

Jawaban: Bagus sekali! Setuju, semuanya sangat mudah, yang utama adalah mengetahui tabel perkalian!

Pembagian akar

Kami menemukan perkalian akarnya, sekarang mari kita lanjutkan ke sifat pembagian.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa rumus secara umum terlihat seperti ini:

Dan itu artinya akar hasil bagi sama dengan hasil bagi akar.

Baiklah, mari kita lihat contohnya:

Itu semua ilmu. Dan inilah contohnya:

Semuanya tidak semulus pada contoh pertama, tetapi seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Bagaimana jika ekspresinya terlihat seperti ini:

Anda hanya perlu menerapkan rumus secara terbalik:

Dan inilah contohnya:

Anda juga dapat melihat ungkapan ini:

Semuanya sama, hanya di sini Anda perlu mengingat cara menerjemahkan pecahan (jika Anda tidak ingat, lihat topiknya dan kembali!). Ingat? Sekarang kita putuskan!

Saya yakin Anda telah mengatasi segalanya, semuanya, sekarang mari kita coba membangun akar sampai taraf tertentu.

Eksponensial

Apa yang terjadi jika akar kuadrat dikuadratkan? Sederhana saja, ingat arti akar kuadrat dari suatu bilangan - ini adalah bilangan yang akar kuadratnya sama dengan.

Jadi, jika kita mengkuadratkan suatu bilangan yang akar kuadratnya sama, lalu apa yang kita dapatkan?

Yah, tentu saja!

Mari kita lihat contoh:

Semuanya sederhana, bukan? Dan jika root berada pada derajat yang berbeda? Tidak apa-apa!

Tetap berpegang pada logika yang sama dan ingat properti dan kemungkinan tindakan dengan derajat.

Baca teori tentang topik "" dan semuanya akan menjadi sangat jelas bagi Anda.

Misalnya, inilah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan properti daya dan faktorkan semuanya:

Dengan ini, semuanya tampak jelas, tetapi bagaimana cara mengekstrak root dari angka dalam derajat tertentu? Di sini, misalnya, adalah ini:

Cukup sederhana, bukan? Bagaimana jika derajat lebih besar dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan properti derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Kemudian selesaikan contoh Anda sendiri:

Dan inilah jawabannya:

Pendahuluan di bawah tanda root

Apa yang belum kita pelajari dengan akarnya! Tetap hanya berlatih memasukkan nomor di bawah tanda root!

Ini cukup mudah!

Katakanlah kita punya nomor

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Yah, tentu saja, sembunyikan triple di bawah akar, sambil mengingat bahwa triple adalah akar kuadrat dari!

Mengapa kita membutuhkannya? Ya, hanya untuk memperluas kemampuan kami saat memecahkan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Membuat hidup lebih mudah? Bagi saya, itu benar! Hanya kita harus ingat bahwa kita hanya dapat memasukkan angka positif di bawah tanda akar kuadrat.

Coba contoh ini sendiri:
Apakah Anda berhasil? Mari kita lihat apa yang harus Anda dapatkan:

Bagus sekali! Anda berhasil memasukkan nomor di bawah tanda root! Mari beralih ke hal yang sama pentingnya - pertimbangkan cara membandingkan angka yang mengandung akar kuadrat!

Perbandingan Akar

Mengapa kita harus belajar membandingkan angka yang mengandung akar kuadrat?

Sangat sederhana. Seringkali, dalam ekspresi besar dan panjang yang ditemui dalam ujian, kami mendapatkan jawaban yang tidak rasional (apakah Anda ingat apa itu? Kami sudah membicarakannya hari ini!)

Kita perlu menempatkan jawaban yang diterima pada garis koordinat, misalnya untuk menentukan interval mana yang cocok untuk menyelesaikan persamaan. Dan di sinilah hambatan muncul: tidak ada kalkulator pada ujian, dan tanpanya, bagaimana membayangkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil? Itu dia!

Misalnya, tentukan mana yang lebih besar: atau?

Anda tidak akan langsung mengatakannya. Nah, mari kita gunakan properti parsing untuk menambahkan angka di bawah tanda root?

Kemudian maju:

Jelas, semakin besar angka di bawah tanda root, semakin besar root itu sendiri!

Itu. jika berarti.

Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Mengekstraksi akar dari jumlah besar

Sebelumnya, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda root, tetapi bagaimana cara menghapusnya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstraksi!

Dimungkinkan untuk pergi ke arah lain dan terurai menjadi faktor lain:

Tidak buruk, kan? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan bagaimana Anda merasa nyaman.

Pemfaktoran sangat berguna saat menyelesaikan tugas non-standar seperti ini:

Kami tidak takut, kami bertindak! Kami menguraikan setiap faktor di bawah root menjadi faktor-faktor terpisah:

Dan sekarang coba sendiri (tanpa kalkulator! Tidak akan ada ujian):

Apakah ini akhirnya? Kami tidak berhenti di tengah jalan!

Itu saja, tidak terlalu menakutkan, bukan?

Telah terjadi? Bagus sekali, Anda benar!

Sekarang coba contoh ini:

Dan contohnya adalah kacang yang sulit dipecahkan, jadi Anda tidak bisa langsung mengetahui cara mendekatinya. Tapi kami, tentu saja, berada di gigi.

Baiklah, mari kita mulai memfaktorkan, oke? Segera, kami perhatikan bahwa Anda dapat membagi angka dengan (ingat tanda-tanda keterbagian):

Dan sekarang, coba sendiri (sekali lagi, tanpa kalkulator!):

Nah, apakah itu berhasil? Bagus sekali, Anda benar!

Menyimpulkan

1. Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama.
   .
2. Jika kita hanya mengambil akar kuadrat dari sesuatu, kita selalu mendapatkan satu hasil non-negatif.
3. Properti akar aritmatika:
4. Saat membandingkan akar kuadrat, harus diingat bahwa semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar pula akar itu sendiri.

Bagaimana Anda menyukai akar kuadrat? Semua jelas?

Kami mencoba menjelaskan kepada Anda tanpa air semua yang perlu Anda ketahui dalam ujian tentang akar kuadrat.

Sekarang giliranmu. Tulis kepada kami apakah topik ini sulit bagi Anda atau tidak.

Apakah Anda mempelajari sesuatu yang baru atau semuanya sudah begitu jelas.

Tulis di komentar dan semoga sukses di ujian!

Luas sebidang tanah berbentuk persegi adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas plotnya adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisi luas ini adalah 81 dm², maka X² = 81. Panjang sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan soal, diharuskan mencari bilangan x yang kuadratnya adalah 81, yaitu. X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: X 1 = 9 dan X 2 \u003d - 9, karena 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Angka 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari angka 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dilambangkan dengan √81, jadi √81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan A adalah bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan A.

Misalnya, angka 6 dan -6 adalah akar kuadrat dari 36. Angka 6 adalah akar kuadrat aritmetika dari 36, karena 6 adalah angka non-negatif dan 6² = 36. Angka -6 bukan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan A dilambangkan sebagai berikut: √ A.

Tanda itu disebut tanda akar kuadrat aritmatika; A disebut ekspresi akar. Ekspresi √ A membaca seperti ini: akar kuadrat aritmatika dari sebuah angka A. Misalnya, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Dalam kasus di mana jelas kita berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: "akar kuadrat dari A«.

Tindakan mencari akar kuadrat dari suatu bilangan disebut mengambil akar kuadrat. Tindakan ini adalah kebalikan dari mengkuadratkan.

Angka apa pun bisa dikuadratkan, tetapi tidak semua angka bisa menjadi akar kuadrat. Misalnya, tidak mungkin mengekstrak akar kuadrat dari angka - 4. Jika akar seperti itu ada, maka, menunjukkannya dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan yang salah x² \u003d - 4, karena ada bilangan non-negatif di sebelah kiri, dan bilangan negatif di sebelah kanan.

Ekspresi √ A hanya masuk akal ketika a ≥ 0. Pengertian akar kuadrat secara singkat dapat ditulis sebagai: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Persamaan (√ A)² = A berlaku untuk a ≥ 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif A sama B, yaitu, bahwa √ A =B, Anda perlu memeriksa bahwa dua kondisi berikut terpenuhi: b ≥ 0, B² = A.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari menghitung. Perhatikan bahwa √25 = 5, √36 = 6, dan periksa apakah persamaannya berlaku.

Karena dan , maka persamaannya benar. Jadi, .

Dalil: Jika A≥ 0 dan B> 0, yaitu akar pecahan sama dengan akar pembilangnya dibagi dengan akar penyebutnya. Diperlukan untuk membuktikan bahwa: dan .

Sejak √ A≥0 dan √ B> 0, lalu .

Dengan sifat menaikkan pecahan menjadi pangkat dan menentukan akar kuadrat teorema terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung , menurut teorema terbukti .

Contoh kedua: Buktikan itu , Jika A ≤ 0, B < 0. .

Contoh lain: Menghitung .

.

Transformasi akar kuadrat

Keluarkan pengganda dari bawah tanda root. Biarkan ekspresi diberikan. Jika A≥ 0 dan B≥ 0, maka dengan teorema akar hasil kali, kita dapat menulis:

Transformasi seperti itu disebut memfaktorkan tanda akar. Pertimbangkan sebuah contoh;

Hitung pada X= 2. Pergantian langsung X= 2 dalam ekspresi radikal menyebabkan perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika kita terlebih dahulu menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang mengganti x = 2, kita mendapatkan :.

Jadi, saat mengeluarkan faktor dari bawah tanda akar, ekspresi akar direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Teorema perkalian akar kemudian diterapkan dan akar dari setiap faktor diambil. Perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan pernyataan A = √8 + √18 - 4√2 dengan mengeluarkan faktor dari bawah tanda akar pada dua suku pertama, kita mendapatkan :. Kami menekankan bahwa kesetaraan hanya berlaku bila A≥ 0 dan B≥ 0. jika A < 0, то .