Teorema Gauss dalam ruang hampa. Penerapan teorema Gauss untuk menghitung medan listrik
Sebagaimana disebutkan di atas, disepakati untuk menggambar garis-garis gaya dengan kepadatan sedemikian rupa sehingga jumlah garis yang menembus suatu satuan permukaan yang tegak lurus terhadap garis-garis situs tersebut akan sama dengan modulus vektor. Kemudian, dari pola garis tegangan, seseorang tidak hanya dapat menilai arahnya, tetapi juga besarnya vektor di berbagai titik dalam ruang.
Mari kita perhatikan garis-garis medan muatan titik positif yang stasioner. Mereka adalah garis radial yang memanjang dari muatan dan berakhir di tak terhingga. Mari kita lakukan N garis seperti itu. Lalu dari kejauhan R dari muatan, jumlah garis gaya yang memotong satu satuan permukaan bola berjari-jari R, akan sama. Nilai ini sebanding dengan kuat medan muatan titik pada jarak tertentu R. Nomor N Anda selalu dapat memilih sedemikian rupa sehingga kesetaraan tetap berlaku
Di mana . Karena garis-garis gaya tersebut kontinu, maka jumlah garis-garis gaya yang sama akan memotong permukaan tertutup dalam bentuk apa pun yang melingkupi muatan. Q. Bergantung pada tanda muatannya, garis-garis gaya memasuki permukaan tertutup ini atau keluar. Jika jumlah saluran keluar dianggap positif dan jumlah saluran masuk negatif, maka tanda modulusnya dapat dihilangkan dan dituliskan:
| . | (1.4) |
Aliran vektor tegangan. Mari kita tempatkan alas dasar dengan luas . Luasnya harus sangat kecil sehingga kuat medan listrik di semua titiknya dianggap sama. Mari kita menggambar garis normal pada situs tersebut (Gbr. 1.17). Arah normal ini dipilih secara sewenang-wenang. Garis normal membentuk sudut dengan vektor. Aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan yang dipilih adalah hasil kali luas permukaan dan proyeksi vektor kuat medan listrik ke garis normal luas:
 |
dimana adalah proyeksi vektor pada garis normal situs.
Karena jumlah garis medan yang menembus suatu area sama dengan modulus vektor intensitas di sekitar area yang dipilih, maka aliran vektor intensitas yang melalui permukaan sebanding dengan jumlah garis medan yang melintasi permukaan tersebut. Oleh karena itu, secara umum, aliran vektor kuat medan yang melalui suatu luas dapat diartikan secara visual sebagai nilai yang sama dengan jumlah garis medan yang menembus luas tersebut:
| . | (1.5) |
Perhatikan bahwa pilihan arah garis normal bersifat kondisional, dapat diarahkan ke arah lain. Oleh karena itu, aliran merupakan besaran aljabar: tanda aliran tidak hanya bergantung pada konfigurasi medan, tetapi juga pada orientasi relatif vektor normal dan vektor intensitas. Jika kedua vektor membentuk sudut lancip maka fluksnya positif, dan jika tumpul maka fluksnya negatif. Dalam kasus permukaan tertutup, biasanya mengambil garis normal di luar area yang dicakup oleh permukaan tersebut, yaitu memilih normal terluar.
Jika medannya tidak homogen dan permukaannya berubah-ubah, maka alirannya didefinisikan sebagai berikut. Seluruh permukaan harus dibagi menjadi elemen-elemen kecil dengan luas , hitung fluks tegangan yang melalui masing-masing elemen ini, dan kemudian jumlahkan fluks yang melalui semua elemen:
Jadi, kuat medan mencirikan medan listrik pada suatu titik di ruang angkasa. Intensitas aliran tidak bergantung pada nilai kuat medan pada suatu titik tertentu, tetapi pada distribusi medan pada permukaan suatu daerah tertentu.
Garis medan listrik hanya dapat dimulai pada muatan positif dan berakhir pada muatan negatif. Mereka tidak bisa memulai atau mengakhiri di luar angkasa. Oleh karena itu, jika tidak ada muatan listrik di dalam suatu volume tertutup tertentu, maka jumlah garis yang masuk dan keluar dari volume tersebut harus sama dengan nol. Jika lebih banyak garis yang keluar dari volume daripada yang masuk, maka ada muatan positif di dalam volume; jika lebih banyak garis yang masuk daripada yang keluar, maka pasti ada muatan negatif di dalamnya. Ketika muatan total di dalam volume sama dengan nol atau ketika tidak ada muatan listrik di dalamnya, garis-garis medan menembusnya, dan fluks totalnya adalah nol.
Pertimbangan sederhana ini tidak bergantung pada bagaimana muatan listrik didistribusikan dalam volume. Letaknya bisa di tengah volume atau di dekat permukaan yang membatasi volume. Suatu volume dapat berisi beberapa muatan positif dan negatif yang didistribusikan dalam volume tersebut dengan cara apa pun. Hanya total muatan yang menentukan jumlah total saluran tegangan masuk atau keluar.
Seperti dapat dilihat dari (1.4) dan (1.5), aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup sembarang yang melingkupi muatan Q, sama dengan . Kalau di dalam permukaannya ada N muatan, maka menurut prinsip superposisi medan, fluks total adalah jumlah fluks kuat medan semua muatan dan akan sama dengan , dimana dalam hal ini yang kami maksud adalah jumlah aljabar semua muatan yang dicakup oleh muatan tertutup. permukaan.
teorema Gauss. Gauss adalah orang pertama yang menemukan fakta sederhana bahwa aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup yang berubah-ubah harus dikaitkan dengan muatan total yang terletak di dalam volume ini:
 |
Gauss Karl Friedrich (1777–1855)
Matematikawan, fisikawan, dan astronom Jerman yang hebat, pencipta sistem satuan absolut dalam fisika. Ia mengembangkan teori potensial elektrostatik dan membuktikan teorema elektrostatika yang paling penting (teorema Gauss). Menciptakan teori untuk membangun gambar dalam sistem optik yang kompleks. Dia adalah salah satu orang pertama yang mengemukakan gagasan tentang kemungkinan adanya geometri non-Euclidean. Selain itu, Gauss memberikan kontribusi luar biasa pada hampir setiap cabang matematika.
Hubungan terakhir adalah teorema Gauss untuk medan listrik: fluks vektor intensitas melalui permukaan tertutup yang berubah-ubah sebanding dengan jumlah aljabar muatan yang terletak di dalam permukaan tersebut.Koefisien proporsionalitas bergantung pada pilihan sistem satuan.
Perlu dicatat bahwa teorema Gauss diperoleh sebagai konsekuensi dari hukum Coulomb dan prinsip superposisi. Jika kuat medan listrik tidak berubah berbanding terbalik dengan kuadrat jarak, maka teorema tersebut tidak valid. Oleh karena itu, teorema Gauss dapat diterapkan pada bidang apa pun yang hukum kuadrat terbalik dan prinsip superposisi dipenuhi secara ketat, misalnya pada bidang gravitasi. Dalam kasus medan gravitasi, peran muatan yang menciptakan medan dimainkan oleh massa benda. Aliran garis medan gravitasi melalui permukaan tertutup sebanding dengan massa total yang terkandung di dalam permukaan tersebut.
Kekuatan medan bidang bermuatan. Mari kita terapkan teorema Gauss untuk menentukan kuat medan listrik pada bidang bermuatan tak terhingga. Jika bidang tersebut bermuatan tak terhingga dan seragam, yaitu kerapatan muatan permukaan di setiap lokasi sama, maka garis kuat medan listrik di setiap titik tegak lurus terhadap bidang tersebut. Untuk menunjukkan hal ini, kita akan menggunakan prinsip superposisi untuk vektor tegangan. Mari kita pilih dua bagian dasar pada bidang, yang dapat dianggap sebagai titik demi titik A, di mana perlu untuk menentukan kekuatan medan. Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 1.18, vektor tegangan yang dihasilkan akan diarahkan tegak lurus bidang. Karena bidang dapat dibagi menjadi pasangan bagian yang tak terhingga jumlahnya untuk setiap titik pengamatan, jelaslah bahwa garis-garis medan bidang bermuatan tegak lurus terhadap bidang, dan medannya seragam (Gbr. 1.19). Jika tidak demikian, maka ketika bidang bergerak sepanjang dirinya sendiri, medan di setiap titik dalam ruang akan berubah, tetapi hal ini bertentangan dengan simetri sistem bermuatan (bidang tersebut tidak terbatas). Pada bidang bermuatan positif, garis-garis gaya dimulai dari bidang tersebut dan berakhir di tak terhingga, sedangkan untuk bidang bermuatan negatif, garis-garis gaya dimulai dari tak terhingga dan masuk ke bidang tersebut.
 |  |
| Beras. 1.18 | Beras. 1.19 |
Untuk menentukan kuat medan listrik suatu bidang bermuatan positif tak terhingga, kita secara mental memilih sebuah silinder di ruang angkasa, yang sumbunya tegak lurus terhadap bidang bermuatan, dan alasnya sejajar dengannya, dan salah satu alasnya melewati titik medan. menarik bagi kami (Gbr. 1.19). Silinder memotong luas suatu bidang dari bidang bermuatan, dan alas silinder, yang terletak di sisi bidang yang berbeda, memiliki luas yang sama.
Menurut teorema Gauss, aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan silinder berhubungan dengan muatan listrik di dalam silinder dengan persamaan:
.
Karena garis tegangan hanya memotong bagian dasar silinder, maka aliran yang melalui permukaan samping silinder adalah nol. Oleh karena itu, fluks vektor tegangan yang melalui permukaan silinder hanya akan terdiri dari fluks yang melalui alas silinder, oleh karena itu,
Membandingkan dua ekspresi terakhir untuk fluks vektor intensitas, kita peroleh
Kuat medan listrik antara pelat-pelat yang bermuatan berlawanan. Jika dimensi pelat secara signifikan melebihi jarak di antara keduanya, maka medan listrik masing-masing pelat dapat dianggap mendekati bidang bidang bermuatan seragam tak terhingga. Karena garis kuat medan listrik pelat bermuatan berlawanan antar pelat diarahkan dalam satu arah (Gbr. 1.20), kuat medan antar pelat adalah sama dengan
.
Di ruang luar, garis-garis kuat medan listrik pelat-pelat yang bermuatan berlawanan mempunyai arah yang berlawanan, oleh karena itu, di luar pelat-pelat tersebut, kuat medan listrik yang dihasilkan adalah nol. Persamaan intensitas yang diperoleh berlaku untuk pelat bermuatan besar, bila intensitas ditentukan pada titik yang terletak jauh dari tepinya.
Kuat medan listrik dari kawat tipis bermuatan seragam dengan panjang tak terhingga. Mari kita cari ketergantungan kuat medan listrik kawat tipis bermuatan seragam dengan panjang tak terhingga pada jarak ke sumbu kawat menggunakan teorema Gauss. Mari kita pilih bagian kawat yang panjangnya terbatas. Jika kerapatan muatan linier pada kawat adalah , maka muatan pada area yang dipilih adalah sama dengan .
Mari kita perhatikan medan muatan titik $q$ dan temukan aliran vektor intensitas ($\overrightarrow(E)$) melalui permukaan tertutup $S$. Kita asumsikan bahwa muatan terletak di dalam permukaan. Fluks vektor tegangan yang melalui suatu permukaan sama dengan jumlah garis vektor tegangan yang keluar (mulai dari muatan, jika $q>0$) atau jumlah garis $\overrightarrow(E)$ yang masuk , jika $q \[Ф_E=\frac( q)((\varepsilon )_0)\ \kiri(1\kanan),\]
dimana tanda fluks bertepatan dengan tanda muatan.
Teorema Ostrogradsky-Gauss dalam bentuk integral
Mari kita asumsikan bahwa di dalam permukaan S terdapat N muatan titik, bernilai $q_1,q_2,\dots q_N.$ Dari prinsip superposisi kita mengetahui bahwa kuat medan yang dihasilkan dari semua N muatan dapat dicari sebagai jumlah dari kuat medan yang ditimbulkan oleh masing-masing muatan, maka Ada:
Oleh karena itu, untuk aliran sistem muatan titik kita dapat menulis:
Dengan menggunakan rumus (1), kita memperoleh bahwa:
\[Ф_E=\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )\ kiri(4\kanan).\]
Persamaan (4) berarti aliran vektor kuat medan listrik melalui suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan-muatan yang ada di dalam permukaan tersebut dibagi dengan konstanta listrik. Ini adalah teorema Ostrogradsky-Gauss dalam bentuk integral. Teorema ini merupakan konsekuensi dari hukum Coulomb. Arti penting dari teorema ini adalah memungkinkan seseorang menghitung medan listrik untuk berbagai distribusi muatan dengan cukup sederhana.
Sebagai konsekuensi dari teorema Ostrogradsky-Gauss, harus dikatakan bahwa fluks vektor intensitas ($Ф_E$) melalui permukaan tertutup jika muatan berada di luar permukaan tersebut sama dengan nol.
Dalam kasus di mana keleluasaan muatan dapat diabaikan, konsep kerapatan muatan volumetrik ($\rho $) digunakan jika muatan didistribusikan ke seluruh volume. Ini didefinisikan sebagai:
\[\rho =\frac(dq)(dV)\kiri(5\kanan),\]
dimana $dq$ adalah muatan yang dapat dianggap seperti titik, $dV$ adalah volume kecil. (Mengenai $dV$, pernyataan berikut harus dibuat. Volume ini cukup kecil sehingga kepadatan muatan di dalamnya dapat dianggap konstan, namun cukup besar sehingga keleluasaan muatan tidak mulai terlihat). Total muatan yang ada di dalam rongga dapat dicari sebagai:
\[\jumlah\batas^N_(i=1)(q_i\ )=\int\limits_V(\rho dV)\kiri(6\kanan).\]
Dalam hal ini, kita menulis ulang rumus (4) menjadi:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV)\left(7\right).\ ]
Teorema Ostrogradsky-Gauss dalam bentuk diferensial
Menggunakan rumus Ostrogradsky-Gauss untuk bidang apa pun yang bersifat vektor, yang dengannya transisi dari integrasi pada permukaan tertutup ke integrasi pada volume dilakukan:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(a)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(a)dV\ \kiri(8\kanan),\]
dimana $\overrightarrow(a)-$bidang vektor (dalam kasus kita adalah $\overrightarrow(E)$), $div\overrightarrow(a)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(a)=\frac(\ parsial a_x)(\partial x)+\frac(\partial a_y)(\partial y)+\frac(\partial a_z)(\partial z)$ -- divergensi vektor $\overrightarrow(a)$ pada titik dengan koordinat ( x,y,z), yang memetakan bidang vektor ke bidang skalar. $\overrightarrow(\nabla )=\frac(\partial )(\partial x)\overrightarrow(i)+\frac(\partial )(\partial y)\overrightarrow(j)+\frac(\partial )(\ parsial z)\overrightarrow(k)$ - operator yang dapat diamati. (Dalam kasus kita, ini akan menjadi $div\overrightarrow(E)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(E)=\frac(\partial E_x)(\partial x)+\frac(\partial E_y)(\partial y) +\frac(\partial E_z)(\partial z)$) -- divergensi vektor tegangan. Mengikuti rumus di atas, kita menulis ulang rumus (6) menjadi:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(E)dV=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V( \rho dV)\kiri(9\kanan).\]
Persamaan dalam persamaan (9) dipenuhi untuk volume apa pun, dan ini hanya dapat dilakukan jika fungsi-fungsi yang ada dalam integran adalah sama di setiap arus ruang, yaitu, kita dapat menulis bahwa:
Ekspresi (10) adalah teorema Ostrogradsky-Gauss dalam bentuk diferensial. Interpretasinya adalah sebagai berikut: muatan adalah sumber medan listrik. Jika $div\overrightarrow(E)>0$, maka pada titik-titik medan ini (muatan positif) kita mempunyai sumber medan, jika $div\overrightarrow(E)
Tugas: Muatan tersebar merata di seluruh volume; permukaan kubik dengan sisi b dipilih dalam volume ini. Itu tertulis di dalam bola. Temukan rasio fluks vektor tegangan yang melalui permukaan ini.
Menurut teorema Gauss, fluks ($Ф_E$) vektor intensitas $\overrightarrow(E)$ melalui permukaan tertutup dengan distribusi muatan seragam pada volume sama dengan:
\[Ф_E=\frac(1)((\varepsilon )_0)Q=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV=\frac(\rho )((\varepsilon ) _0)\int\limits_V(dV)=\frac(\rho V)((\varepsilon )_0))\left(1.1\right).\]
Oleh karena itu, kita perlu menentukan volume kubus dan bola jika bola dibatasi di sekitar kubus tersebut. Pertama, volume kubus ($V_k$) jika sisinya b sama dengan:
Mari kita cari volume bola ($V_(sh)$) menggunakan rumus:
dimana $D$ adalah diameter bola dan (karena bola dibatasi mengelilingi kubus), diagonal utama kubus. Oleh karena itu, kita perlu menyatakan diagonal kubus dalam bentuk sisinya. Hal ini mudah dilakukan jika Anda menggunakan teorema Pythagoras. Untuk menghitung diagonal kubus, misalnya (1.5), pertama-tama kita perlu mencari diagonal persegi (alas bawah kubus) (1.6). Panjang diagonal (1,6) sama dengan:
Dalam hal ini, panjang diagonal (1,5) sama dengan:
\[(D=D)_(15)=\sqrt(b^2+((\sqrt(b^2+b^2\ \ \ )))^2)=b\sqrt(3)\ \kiri (1,5\kanan).\]
Mengganti diameter bola yang ditemukan ke (1.3), kita memperoleh:
Sekarang kita dapat mencari fluks vektor tegangan yang melalui permukaan kubus, sama dengan:
\[Ф_(Ek)=\frac(\rho V_k)((\varepsilon )_0)=\frac(\rho b^3)((\varepsilon )_0)\left(1.7\right),\]
melalui permukaan bola:
\[Ф_(Esh)=\frac(\rho V_(sh))((\varepsilon )_0)=\frac(\rho )((\varepsilon )_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3\ \kiri(1,8\kanan).\]
Mari kita cari rasio $\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))$:
\[\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))=\frac(\frac(с)(\varepsilon_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3)(\frac (сb^3)(\varepsilon_0))=\frac(\pi)(2)\sqrt(3)\ \kira-kira 2,7\kiri(1,9\kanan).\]
Jawaban: Fluks yang melalui permukaan bola 2,7 kali lebih besar.
Tugas: Buktikan bahwa muatan suatu konduktor terletak pada permukaannya.
Kami menggunakan teorema Gauss untuk membuktikannya. Mari kita pilih permukaan tertutup dengan bentuk sewenang-wenang di konduktor dekat permukaan konduktor (Gbr. 2).
Misalkan ada muatan di dalam konduktor, kita tuliskan teorema Ostrogradsky-Gauss untuk divergensi medan untuk setiap titik di permukaan S:
dimana $\rho adalah kepadatan\ $muatan internal. Namun, tidak ada bidang di dalam konduktor, yaitu $\overrightarrow(E)=0$, oleh karena itu, $div\overrightarrow(E)=0\to \rho =0$. Teorema Ostrogradsky-Gauss dalam bentuk diferensial bersifat lokal, yaitu ditulis untuk titik medan, kami tidak memilih titik tersebut dengan cara khusus, oleh karena itu, kerapatan muatan adalah nol di setiap titik medan di dalam konduktor.
Prinsip superposisi yang dikombinasikan dengan hukum Coulomb memberikan kunci untuk menghitung medan listrik suatu sistem muatan yang berubah-ubah, tetapi penjumlahan langsung medan menggunakan rumus (4.2) biasanya memerlukan perhitungan yang rumit. Namun, dengan adanya satu atau beberapa simetri sistem muatan, perhitungan menjadi lebih sederhana jika kita memperkenalkan konsep aliran medan listrik dan menggunakan teorema Gauss.
Konsep aliran medan listrik diperkenalkan ke dalam elektrodinamika dari hidrodinamika. Dalam hidrodinamika, aliran fluida melalui pipa, yaitu volume fluida N yang melewati suatu penampang pipa per satuan waktu, sama dengan v ⋅ S, dimana v adalah kecepatan fluida dan S adalah luas penampang pipa. Jika kecepatan fluida bervariasi pada penampang melintang, Anda perlu menggunakan rumus integral N = ∫ S v → ⋅ d S → . Memang, mari kita soroti area kecil d S di bidang kecepatan, tegak lurus terhadap vektor kecepatan (Gbr. ).
|
Volume zat cair yang mengalir melalui area ini dalam waktu d t sama dengan v d S d t . Jika platform miring terhadap aliran, maka volume yang sesuai adalah v d S cos θ d t , di mana θ adalah sudut antara vektor kecepatan v → dan garis normal n → terhadap platform d S . Volume zat cair yang mengalir melalui luas d S per satuan waktu diperoleh dengan membagi nilai ini dengan d t. Itu sama dengan v d S cos θ d t , yaitu. hasil kali skalar v → ⋅ d S → vektor kecepatan v → dengan vektor elemen luas d S → = n → d S . Vektor satuan n → normal terhadap luas d S dapat digambarkan dalam dua arah yang berlawanan. salah satunya diterima secara kondisional sebagai positif. N → normal digambar ke arah ini. Sisi tempat munculnya n → normal disebut eksternal, dan sisi tempat masuknya n → normal disebut internal. Vektor elemen luas d S → diarahkan sepanjang garis normal luar n → ke permukaan, dan besarnya sama dengan luas elemen d S = ∣ d S → ∣ . Saat menghitung volume fluida yang mengalir melalui suatu luas S berdimensi berhingga, volume tersebut harus dikembangkan menjadi luas yang sangat kecil d S , lalu hitung integral ∫ S v → ⋅ d S → pada seluruh permukaan S .
Ekspresi seperti ∫ S v → ⋅ d S → ditemukan di banyak cabang fisika dan matematika. Mereka disebut aliran vektor v → melalui permukaan S, terlepas dari sifat vektor v →. Dalam elektrodinamika integral
| N = ∫ S E → ⋅ d S → | (5.1) |
Mari kita asumsikan bahwa vektor E → diwakili oleh jumlah geometri
E → = ∑ j E → j .
Mengalikan persamaan ini secara skalar dengan d S → dan mengintegrasikannya, kita mendapatkan
N = ∑ j N j .
dimana N j adalah aliran vektor E → j melalui permukaan yang sama. Jadi, berdasarkan prinsip superposisi kuat medan listrik, fluks yang melalui permukaan yang sama dijumlahkan secara aljabar.
Teorema Gauss menyatakan bahwa fluks vektor E → melalui permukaan tertutup sembarang sama dengan muatan total Q semua partikel yang terletak di dalam permukaan ini dikalikan 4 π:
Kami akan melakukan pembuktian teorema dalam tiga tahap.
1. Mari kita mulai dengan menghitung fluks medan listrik dari muatan satu titik q (Gbr. ). Dalam kasus paling sederhana, ketika permukaan integrasi S berbentuk bola dan muatan berada di pusatnya, validitas teorema Gauss hampir jelas. Pada permukaan bola kuat medan listriknya adalah
E → = q r → ∕ r 3
besarnya konstan dan selalu berarah normal terhadap permukaan, sehingga fluks medan listrik sama dengan hasil kali E = q ∕ r 2 dan luas bola S = 4 π r 2 . Oleh karena itu, N = 4 π q. Hasil ini tidak bergantung pada bentuk permukaan di sekitar muatan. Untuk membuktikannya, kita memilih luas permukaan sembarang dengan ukuran yang cukup kecil dengan arah normal luar n → yang ditetapkan di atasnya. Pada Gambar. salah satu segmen tersebut ditampilkan dalam ukuran yang terlalu besar (untuk kejelasan).
Fluks vektor E → yang melalui luas ini sama dengan d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S ,
dimana θ adalah sudut antara arah E → dan garis normal luar n → terhadap luas d S . Karena E = q ∕ r 2 , dan d S cos θ ∕ r 2 dalam nilai absolut adalah elemen sudut padat d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 , dari mana luas d S terlihat titik dimana muatan berada,
DN = ± q d Ω .
dimana tanda plus dan minus bersesuaian dengan tanda cos θ, yaitu: tanda plus harus diambil jika vektor E → membentuk sudut lancip dengan arah normal luar n →, dan tanda minus sebaliknya.
2. Sekarang perhatikan permukaan berhingga S, yang meliputi beberapa volume yang dipilih V. Sehubungan dengan volume ini, selalu mungkin untuk menentukan yang mana dari dua arah berlawanan dari garis normal suatu elemen permukaan S yang harus dianggap eksternal. Normal luar diarahkan dari volume V ke luar. Menyimpulkan segmen-segmen tersebut, hingga tandanya kita mempunyai N = q Ω, di mana Ω adalah sudut padat di mana permukaan S terlihat dari titik di mana muatan q berada. Jika permukaan S tertutup, maka Ω = 4 π, asalkan muatan q ada di dalam S. Jika tidak, Ω = 0. Untuk memperjelas pernyataan terakhir, kita dapat kembali merujuk pada Gambar. .
Jelaslah bahwa aliran-aliran yang melalui segmen-segmen suatu permukaan tertutup, berdasarkan pada sudut-sudut padat yang sama besar, tetapi menghadap ke arah yang berlawanan, saling menghilangkan. Jelas juga bahwa jika muatan berada di luar permukaan tertutup, maka untuk setiap segmen yang menghadap ke luar, terdapat segmen yang menghadap ke dalam.
3. Terakhir, dengan menggunakan prinsip superposisi, kita sampai pada rumusan akhir teorema Gauss (). Memang benar, luas medan suatu sistem muatan sama dengan jumlah medan masing-masing muatan secara terpisah, tetapi hanya muatan yang terletak di dalam permukaan tertutup yang memberikan kontribusi bukan nol pada ruas kanan teorema (). Ini melengkapi buktinya.
Dalam benda makroskopis, jumlah pembawa muatan sangat besar sehingga mudah untuk merepresentasikan kumpulan partikel yang terpisah dalam bentuk distribusi kontinu, memperkenalkan konsep kerapatan muatan. Menurut definisi, kerapatan muatan ρ adalah rasio Δ Q ∕ Δ V dalam batas ketika volume Δ V cenderung ke nilai fisik yang sangat kecil:
dimana integrasi pada sisi kanan dilakukan pada volume V yang ditutup oleh permukaan S.Teorema Gauss memberikan satu persamaan skalar untuk tiga komponen vektor E →, sehingga teorema ini saja tidak cukup untuk menghitung medan listrik. Kesimetrian distribusi kerapatan muatan diperlukan agar permasalahan dapat direduksi menjadi persamaan skalar tunggal. Teorema Gauss memungkinkan untuk menemukan medan jika permukaan integrasi di () dapat dipilih sehingga kuat medan listrik E konstan di seluruh permukaan. Mari kita lihat contoh yang paling instruktif.
▸ Soal 5.1
Temukan bidang bola yang volumenya bermuatan seragam atau permukaan.
Larutan: Medan listrik muatan titik E → = q r → ∕ r 3 cenderung tak terhingga di r → 0 . Fakta ini menunjukkan ketidakkonsistenan gagasan tersebut partikel elementer dengan muatan titik. Jika biayanya Q terdistribusi secara merata pada volume bola yang berjari-jari berhingga a, lalu medan listrik tidak memiliki singularitas.
Dari soal simetri terlihat jelas bahwa medan listrik E → di mana-mana diarahkan secara radial, dan ketegangannya E = E(r) hanya bergantung pada jarak r ke tengah bola. Kemudian medan listrik mengalir melalui bola berjari-jari r sama dengan 4 π r 2 E (Gbr. ).
Sebaliknya, muatan di dalam bola yang sama sama dengan muatan total bola Q jika r ≥ a. Menyamakan 4 π r 2 E dengan muatan q bola dikalikan 4 π, kita memperoleh: E (r) = q ∕ r 2 .Jadi, di ruang luar, bola bermuatan tercipta bidang seperti itu seolah-olah semua muatan terkonsentrasi di pusatnya. Hasil ini berlaku untuk semua bola simetris distribusi biaya.
Bidang di dalam bola adalah E (r) = Q ∕ r 2, dimana Q adalah muatan di dalam belerang berjari-jari r. Jika muatan tersebar merata ke seluruh volume bola, maka Q = q (r ∕ a) 3 . Pada kasus ini
E (r) = q r ∕ a 3 = (4 π ∕ 3) ρ r ,
dimana ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) — kepadatan muatan. Di dalam bola, medan berkurang secara linier dari maksimumnya nilai pada permukaan bola menjadi nol di pusatnya (Gbr. ).
Fungsi E(r) pada saat yang sama, ia terbatas dan kontinu di mana pun.Jika muatan didistribusikan ke seluruh permukaan bola, maka Q = 0, dan karena itu juga E = 0. Hasil ini juga berlaku ketika berada di dalam bola tidak ada rongga muatan, dan muatan luar didistribusikan secara bola secara simetris. ▸ Soal 5.2
Temukan bidang benang tak terbatas yang bermuatan seragam; radius benang a, muatan per satuan panjang ϰ.
▸ Soal 5.3
Temukan bidang benang lurus yang tak terhingga dan panjangnya tak terhingga silinder bermuatan seragam.
▸ Soal 5.4
Temukan bidang bidang bermuatan tak terhingga dan seragam lapisan datar tak terhingga bermuatan.
Larutan: Karena kesimetrisan soal, bidang diarahkan normal pada lapisan dan hanya bergantung pada jarak x dari bidang simetri pelat. Untuk menghitung bidang menggunakan Teorema Gauss, akan lebih mudah untuk memilih permukaan integrasi masuk dalam bentuk paralelipiped, seperti ditunjukkan pada Gambar. .
Hasil terakhir diperoleh dengan melewati batas sebuah → 0 sekaligus meningkatkan kepadatan muatanρ sehingga nilai σ = ρ a tetap tidak berubah. Di sisi berlawanan dari pesawat kuat medan listriknya sama besarnya, tetapi berlawanan arah. Oleh karena itu, ketika melewati bidang bermuatan, bidang berubah secara tiba-tiba sebesar jumlahnya 4 π σ . Perhatikan bahwa pelat dapat dianggap tak terhingga jika jaraknya dapat diabaikan dibandingkan dengan ukurannya. Pada jaraknya sangat jauh dibandingkan dengan dimensi pelatnya bertindak seperti muatan titik, dan medannya berkurang kembali sebanding dengan kuadrat jaraknya.Medan elektrostatik dapat digambarkan dengan jelas menggunakan garis-garis gaya (garis tegangan). Saluran listrik disebut kurva yang garis singgungnya pada setiap titik berimpit dengan vektor tegangan E.
Garis gaya merupakan konsep konvensional dan sebenarnya tidak ada. Garis-garis medan muatan negatif dan positif tunggal ditunjukkan pada Gambar. 5 adalah garis lurus radial yang datang dari muatan positif atau menuju muatan negatif.
Jika kerapatan dan arah garis-garis medan di seluruh volume medan tetap tidak berubah, medan elektrostatis tersebut dianggap homogen (jumlah garis harus secara numerik sama dengan kuat medan E).
Jumlah garis medan bertanda ">dS, yang tegak lurus terhadapnya, menentukan aliran vektor kuat medan elektrostatis:
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- proyeksi vektor E ke arah n normal ke situs dS (Gbr. 6).
Dengan demikian, aliran vektor E melalui permukaan tertutup sembarang S
mark">S tidak hanya besarnya, tetapi juga tanda alirannya dapat berubah:
1) dengan rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
3) saat memilih"> Mari kita cari aliran vektor E melalui permukaan bola S, yang di tengahnya terdapat muatan titik q.
Dalam hal ini, tanda ">E dan n bertepatan di semua titik permukaan bola.
Dengan mempertimbangkan kekuatan medan muatan titik, rumusnya" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle " alt="(! LANG:kita mendapatkan
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- besaran aljabar tergantung pada tanda muatannya. Misalnya, ketika q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="disekitar muatan q mempunyai bentuk yang berubah-ubah. Jelasnya, permukaan tersebut diberi tanda ">E, begitu pula permukaan S. Oleh karena itu, aliran vektor E melalui permukaan sembarang adalah rumusnya" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/ files/Fe.gif" border ="0" align="absmiddle" alt=".
Jika muatan terletak di luar permukaan tertutup, maka jelas berapa banyak garis yang memasuki area tertutup, jumlah yang sama akan meninggalkannya. Akibatnya fluks vektor E akan sama dengan nol.
Jika medan listrik diciptakan oleh sistem muatan titik rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Rumus ini adalah ekspresi matematika dari teorema Gauss: aliran vektor kuat medan listrik E dalam ruang hampa melalui permukaan tertutup sembarang sama dengan jumlah aljabar muatan yang dicakupnya, dibagi dengan rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Untuk melengkapi uraiannya, mari kita sajikan juga teorema Gauss dalam bentuk lokal, yang tidak mengandalkan hubungan integral, tetapi pada parameter medan pada titik tertentu dalam ruang. Untuk melakukan ini, akan lebih mudah menggunakan operator diferensial - divergensi vektor, -
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(“nabla”) -
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Dalam analisis matematis, teorema Gauss-Ostrogradsky diketahui: aliran suatu vektor melalui permukaan tertutup sama dengan integral divergensinya terhadap volume yang dibatasi oleh permukaan tersebut -
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Ungkapan ini merupakan teorema Gauss dalam bentuk lokal (diferensial).
Teorema Gauss (2.2) memungkinkan kita menentukan kekuatan berbagai medan elektrostatis. Mari kita lihat beberapa contoh penerapan teorema Gauss.
1. Mari kita hitung Medan elektrostatis E yang diciptakan oleh permukaan bola bermuatan seragam.
Mari kita asumsikan bahwa permukaan bola berjari-jari R membawa muatan q yang terdistribusi merata, yaitu. kerapatan muatan permukaan adalah tanda yang sama di mana-mana ">r >R dari pusat bola, secara mental kita membuat permukaan bola baru S, simetris dengan bola bermuatan. Sesuai dengan teorema Gauss
rumus" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Untuk titik-titik yang terletak pada permukaan bola bermuatan berjari-jari R, dengan analogi kita dapat menulis:
seleksi">di dalam bola bermuatan, tidak mengandung muatan listrik di dalamnya, sehingga tanda fluks">E = 0.
Tugas menghitung kuat medan suatu sistem muatan listrik menggunakan prinsip superposisi medan elektrostatis dapat disederhanakan jika kita menerapkan teorema yang ditemukan oleh ilmuwan Jerman K. Gauss (1777-1855), yang menentukan aliran muatan listrik. vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup yang berubah-ubah.
Dari definisi fluks vektor intensitas yang melalui suatu permukaan tertutup, maka fluks vektor intensitas yang melalui suatu permukaan bola berjari-jari r, yang meliputi muatan titik Q yang terletak di pusatnya (Gbr. 1), sama dengan
Hasil ini berlaku untuk permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah. Memang, jika Anda memasukkan sebuah bola (Gbr. 1) ke dalam permukaan tertutup yang berubah-ubah, maka setiap garis tegangan yang menembus bola juga akan melewati permukaan tersebut.
Jika suatu permukaan tertutup dalam bentuk apa pun mengandung muatan (Gbr. 2), maka ketika garis tegangan berpotongan dengan permukaan tersebut, ia akan masuk atau keluar. Saat menghitung fluks, jumlah titik potong yang ganjil akan berkurang menjadi satu titik potong, karena fluks diasumsikan positif jika garis tegangan meninggalkan permukaan, dan negatif untuk garis yang masuk ke permukaan.Jika permukaan tertutup tidak mempunyai muatan , maka fluks yang melaluinya adalah nol, jadi banyaknya garis tegangan yang masuk ke permukaan sama dengan jumlah garis tegangan yang keluar.
Artinya untuk permukaan yang bentuknya sembarang, jika tertutup dan mengandung muatan titik Q, aliran vektornya E akan sama dengan Q/ε 0, mis.
Tanda fluks berimpit dengan tanda muatan Q.
Mari kita pelajari kasus umum permukaan sembarang yang mengelilingi n muatan. Menggunakan prinsip superposisi, ketegangan E medan yang ditimbulkan oleh semua muatan sama dengan jumlah intensitasnya E saya bidang yang dibuat oleh setiap tagihan secara terpisah. Itu sebabnya
Berdasarkan (1), setiap integral yang muncul di bawah tanda penjumlahan sama dengan Q i /ε 0 . Cara,
(2)
Rumus (2) menyatakan Teorema Gauss untuk medan elektrostatis dalam ruang hampa: aliran vektor kuat medan elektrostatis dalam ruang hampa melalui permukaan tertutup sembarang sama dengan jumlah aljabar muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut, dibagi dengan ε 0. Teorema ini diperoleh secara matematis untuk bidang vektor yang bersifat sewenang-wenang oleh ahli matematika Rusia MV Ostrogradsky (1801-1862), dan kemudian secara independen darinya dalam kaitannya dengan medan elektrostatis - oleh K. Gauss.
Secara umum, muatan listrik dapat didistribusikan dengan kepadatan volume tertentu ρ=dQ/dV, yang berbeda-beda di berbagai tempat dalam ruang. Maka muatan total yang terdapat di dalam permukaan tertutup S, yang menutupi volume tertentu V,
(3)
Dengan menggunakan rumus (3), teorema Gauss (2) dapat dituliskan sebagai berikut:
Sirkulasi vektor tegangan adalah usaha yang dilakukan gaya-gaya listrik ketika menggerakkan satu muatan positif sepanjang lintasan tertutup L
 | (13.18) |
Karena kerja gaya medan elektrostatik sepanjang loop tertutup adalah nol (kerja gaya medan potensial), maka sirkulasi kuat medan elektrostatis sepanjang loop tertutup adalah nol.
Potensi medan elektrostatik. Medan gaya konservatif tidak hanya dapat dijelaskan dengan fungsi vektor, tetapi deskripsi ekuivalen medan ini dapat diperoleh dengan menentukan besaran skalar yang sesuai pada setiap titiknya. Untuk medan elektrostatis, besarannya adalah potensial medan elektrostatis, didefinisikan sebagai rasio energi potensial muatan uji Q dengan besarnya muatan ini, = W P / Q, yang berarti potensial secara numerik sama dengan energi potensial yang dimiliki oleh satuan muatan positif pada suatu titik tertentu di medan. Satuan ukuran potensial adalah Volt (1 V).
Potensi bidang muatan titik Q dalam media isotropik homogen dengan konstanta dielektrik :
Prinsip superposisi. Potensi adalah fungsi skalar; prinsip superposisi berlaku untuk itu. Jadi untuk potensial medan suatu sistem muatan titik Q 1, Q 2, Qn kita punya
,
Di mana r i- jarak dari titik medan yang berpotensi ke muatan Qi. Jika muatan didistribusikan secara sembarang dalam ruang, maka
,
Di mana R- jarak dari volume dasar d X,D kamu,D z untuk menunjuk ( X, kamu, z), dimana potensinya ditentukan; V- volume ruang tempat muatan didistribusikan.
Potensi dan kerja gaya medan listrik. Berdasarkan pengertian potensial dapat diketahui bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya medan listrik pada saat menggerakkan suatu muatan titik Q dari satu titik medan ke titik lainnya sama dengan hasil kali besar muatan ini dan beda potensial pada titik awal dan akhir lintasan, SEBUAH = q (
Jika, dengan analogi energi potensial, kita berasumsi bahwa pada titik-titik yang jauhnya tak terhingga dari muatan listrik - sumber medan, potensialnya adalah nol, maka kerja gaya medan listrik ketika suatu muatan dipindahkan Q dari titik 1 hingga tak terhingga dapat direpresentasikan sebagai A Q 1 .
Jadi, potensial medan elektrostatis pada suatu titik tertentu adalah besaran fisis yang secara numerik sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya medan listrik ketika memindahkan satuan muatan titik positif dari suatu titik tertentu dalam medan ke titik yang jauhnya tak terhingga: = A / Q.
Dalam beberapa kasus, potensi medan listrik lebih jelas didefinisikan sebagai besaran fisis yang secara numerik sama dengan kerja gaya luar melawan gaya medan listrik ketika memindahkan satuan muatan titik positif dari tak terhingga ke titik tertentu. Lebih mudah untuk menulis definisi terakhir sebagai berikut:
Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi modern, khususnya ketika menggambarkan fenomena yang terjadi di mikrokosmos, satuan kerja dan energi disebut elektron-volt(eV). Ini adalah usaha yang dilakukan ketika memindahkan muatan sebesar muatan elektron antara dua titik yang beda potensial 1 V: 1 eV = 1,6010 C1 V = 1.6010 J
Permukaan ekuipotensial- konsep yang dapat diterapkan pada medan vektor potensial apa pun, misalnya medan listrik statis atau medan gravitasi Newton. Permukaan ekuipotensial adalah permukaan di mana potensial skalar suatu medan potensial tertentu mempunyai nilai konstan (permukaan tingkat potensial). Definisi lain yang setara adalah permukaan yang ortogonal terhadap garis medan di titik mana pun.
Permukaan konduktor dalam elektrostatika adalah permukaan ekuipotensial. Selain itu, menempatkan konduktor pada permukaan ekuipotensial tidak mengubah konfigurasi medan elektrostatis. Fakta ini digunakan dalam metode gambar, yang memungkinkan penghitungan medan elektrostatis untuk konfigurasi kompleks.
Dalam medan gravitasi (stasioner), tingkat fluida stasioner ditentukan di sepanjang permukaan ekuipotensial. Secara khusus, secara kasar dapat dinyatakan bahwa permukaan laut melewati permukaan ekuipotensial medan gravitasi bumi. Bentuk permukaan lautan yang memanjang hingga ke permukaan bumi disebut geoid dan berperan penting dalam geodesi. Geoid dengan demikian merupakan permukaan gravitasi ekuipotensial, yang terdiri dari komponen gravitasi dan sentrifugal.
