Misura in gradi degli angoli inscritti e al centro. Circonferenza e angolo inscritto

L'angolo ABC è un angolo inscritto. Poggia sull'arco AC, racchiuso tra i suoi lati (fig. 330).

Teorema. Un angolo inscritto è misurato dalla metà dell'arco che intercetta.

Ciò va inteso come segue: un angolo inscritto contiene tanti gradi angolari, minuti e secondi quanti gradi d'arco, minuti e secondi sono contenuti nella metà dell'arco su cui poggia.

Per dimostrare questo teorema, dobbiamo considerare tre casi.

Primo caso. Il centro del cerchio giace sul lato dell'angolo inscritto (fig. 331).

Sia ∠ABC un angolo inscritto e il centro del cerchio O giaccia sul lato BC. È necessario dimostrare che è misurato dalla metà dell'arco AC.

Collega il punto A al centro del cerchio. Otteniamo l'isoscele \(\Delta\)AOB, in cui AO = OB, come i raggi dello stesso cerchio. Pertanto, ∠A = ∠B.

∠AOC è esterno al triangolo AOB, quindi ∠AOC = ∠A + ∠B, e poiché gli angoli A e B sono uguali, ∠B è 1/2 ∠AOC.

Ma ∠AOC è misurato dall'arco AC, quindi ∠B è misurato dalla metà dell'arco AC.

Ad esempio, se \(\breve(AC)\) contiene 60°18', allora ∠B contiene 30°9'.

Secondo caso. Il centro del cerchio giace tra i lati dell'angolo inscritto (fig. 332).

Sia ∠ABD un angolo inscritto. Il centro del cerchio O si trova tra i suoi lati. È necessario dimostrare che ∠ABD è misurato dalla metà dell'arco AD.

Per dimostrarlo, disegniamo il diametro BC. Angolo ABD diviso in due angoli: ∠1 e ∠2.

∠1 è misurato dalla metà dell'arco AC, e ∠2 è misurato dalla metà dell'arco CD, quindi l'intero ∠ABD è misurato da 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), cioè metà dell'arco d.C.

Ad esempio, se \(\breve(AD)\) contiene 124°, allora ∠B contiene 62°.

Terzo caso. Il centro del cerchio giace al di fuori dell'angolo inscritto (fig. 333).

Sia ∠MAD un angolo inscritto. Il centro del cerchio O è fuori dall'angolo. È necessario dimostrare che ∠MAD è misurato dalla metà dell'arco MD.

Per dimostrarlo, disegniamo il diametro AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ma ∠MAB misura 1/2 \(\breve(MB)\) e ∠DAB misura 1/2 \(\breve(DB)\).

Pertanto, ∠MAD misura 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), cioè 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Ad esempio, se \(\breve(MD)\) contiene 48° 38", allora ∠MAD contiene 24° 19' 8".

Conseguenze
1. Tutti gli angoli inscritti basati sullo stesso arco sono uguali tra loro, poiché sono misurati dalla metà dello stesso arco (figura 334, a).

2. Un angolo inscritto basato su un diametro è un angolo retto perché è basato su un semicerchio. La metà del cerchio contiene 180 gradi d'arco, il che significa che l'angolo basato sul diametro contiene 90 gradi angolari (Fig. 334, b).

Concetto di angolo inscritto e al centro

Introduciamo prima il concetto di angolo al centro.

Osservazione 1

Notare che la misura in gradi di un angolo al centro è uguale alla misura in gradi dell'arco che intercetta.

Introduciamo ora il concetto di angolo inscritto.

Definizione 2

Un angolo il cui vertice giace su una circonferenza ei cui lati intersecano la circonferenza stessa è detto angolo inscritto (Fig. 2).

Figura 2. Angolo inscritto

Teorema dell'angolo inscritto

Teorema 1

La misura di un angolo inscritto è la metà della misura dell'arco che intercetta.

Prova.

Diamo un cerchio centrato nel punto $O$. Indichiamo l'angolo inscritto $ACB$ (Fig. 2). Sono possibili i seguenti tre casi:

• Il raggio $CO$ coincide con qualche lato dell'angolo. Sia questo il lato $CB$ (Fig. 3).

Figura 3

In questo caso l'arco $AB$ è minore di $(180)^(()^\circ )$, quindi l'angolo al centro $AOB$ è uguale all'arco $AB$. Poiché $AO=OC=r$, il triangolo $AOC$ è isoscele. Quindi, gli angoli alla base $CAO$ e $ACO$ sono uguali. Per il teorema sull'angolo esterno di un triangolo si ha:

• Raggio $CO$ divide un angolo interno in due angoli. Lascia che intersechi il cerchio nel punto $D$ (Fig. 4).

Figura 4

Noi abbiamo

• La semiretta $CO$ non divide un angolo interno in due angoli e non coincide con nessuno dei suoi lati (Fig. 5).

Figura 5

Consideriamo separatamente gli angoli $ACD$ e $DCB$. Da quanto dimostrato al punto 1, otteniamo

Noi abbiamo

Il teorema è stato dimostrato.

Portiamo conseguenze da questo teorema.

Corollario 1: Gli angoli inscritti che intersecano lo stesso arco sono uguali.

Conseguenza 2: Un angolo inscritto che interseca un diametro è un angolo retto.

Concetto di angolo inscritto e al centro

Introduciamo prima il concetto di angolo al centro.

Osservazione 1

Notare che la misura in gradi di un angolo al centro è uguale alla misura in gradi dell'arco che intercetta.

Introduciamo ora il concetto di angolo inscritto.

Definizione 2

Un angolo il cui vertice giace su una circonferenza ei cui lati intersecano la circonferenza stessa è detto angolo inscritto (Fig. 2).

Figura 2. Angolo inscritto

Teorema dell'angolo inscritto

Teorema 1

La misura di un angolo inscritto è la metà della misura dell'arco che intercetta.

Prova.

Diamo un cerchio centrato nel punto $O$. Indichiamo l'angolo inscritto $ACB$ (Fig. 2). Sono possibili i seguenti tre casi:

• Il raggio $CO$ coincide con qualche lato dell'angolo. Sia questo il lato $CB$ (Fig. 3).

Figura 3

In questo caso l'arco $AB$ è minore di $(180)^(()^\circ )$, quindi l'angolo al centro $AOB$ è uguale all'arco $AB$. Poiché $AO=OC=r$, il triangolo $AOC$ è isoscele. Quindi, gli angoli alla base $CAO$ e $ACO$ sono uguali. Per il teorema sull'angolo esterno di un triangolo si ha:

• Raggio $CO$ divide un angolo interno in due angoli. Lascia che intersechi il cerchio nel punto $D$ (Fig. 4).

Figura 4

Noi abbiamo

• La semiretta $CO$ non divide un angolo interno in due angoli e non coincide con nessuno dei suoi lati (Fig. 5).

Figura 5

Consideriamo separatamente gli angoli $ACD$ e $DCB$. Da quanto dimostrato al punto 1, otteniamo

Noi abbiamo

Il teorema è stato dimostrato.

Portiamo conseguenze da questo teorema.

Corollario 1: Gli angoli inscritti che intersecano lo stesso arco sono uguali.

Conseguenza 2: Un angolo inscritto che interseca un diametro è un angolo retto.

Angolo inscritto, teoria del problema. Amici! In questo articolo parleremo di compiti, per la cui soluzione è necessario conoscere le proprietà di un angolo inscritto. Questo è un intero gruppo di compiti, sono inclusi nell'esame. La maggior parte di essi viene risolta in modo molto semplice, in un solo passaggio.

Ci sono compiti più difficili, ma non ti presenteranno molte difficoltà, devi conoscere le proprietà dell'angolo inscritto. A poco a poco analizzeremo tutti i prototipi delle attività, ti invito al blog!

Ora teoria necessaria. Ricorda quale angolo centrale e inscritto, corda, arco, su cui si basano questi angoli:

L'angolo al centro di una circonferenza si chiama angolo piatto conpinnacolo al suo centro.

La parte di un cerchio che si trova all'interno di un angolo piattodetto arco di cerchio.

La misura in gradi di un arco di cerchio è la misura in gradiangolo centrale corrispondente.

Un angolo si dice inscritto in una circonferenza se il vertice dell'angolo giacesu un cerchio, e i lati dell'angolo intersecano questo cerchio.

Viene chiamato un segmento di linea che collega due punti su un cerchioaccordo. La corda più lunga passa per il centro del cerchio e viene chiamatadiametro.

Per risolvere problemi per angoli inscritti in una circonferenza,devi conoscere le seguenti proprietà:

1. L'angolo inscritto è uguale alla metà dell'angolo al centro riferito allo stesso arco.

2. Tutti gli angoli inscritti basati sullo stesso arco sono uguali.

3. Tutti gli angoli inscritti basati sulla stessa corda, i cui vertici giacciono sullo stesso lato di questa corda, sono uguali.

4. Qualsiasi coppia di angoli basati sulla stessa corda, i cui vertici giacciono su lati opposti della corda, si sommano a 180°.

Corollario: la somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza è di 180 gradi.

5. Tutti gli angoli inscritti in base al diametro sono diritti.

In generale, questa proprietà è una conseguenza della proprietà (1), questa è la sua caso speciale. Guarda: l'angolo al centro è uguale a 180 gradi (e questo angolo sviluppato non è altro che un diametro), il che significa che secondo la prima proprietà l'angolo inscritto C è uguale alla sua metà, cioè 90 gradi.

La conoscenza di questa proprietà aiuta a risolvere molti problemi e spesso consente di evitare calcoli inutili. Avendolo padroneggiato bene, sarai in grado di risolvere oralmente più della metà di questo tipo di problemi. Due conseguenze che si possono fare:

Corollario 1: se un triangolo è inscritto in un cerchio e uno dei suoi lati coincide con il diametro di questo cerchio, allora il triangolo è rettangolo (il vertice dell'angolo retto giace sul cerchio).

Corollario 2: il centro del descritto circa triangolo rettangolo cerchio coincide con il punto medio della sua ipotenusa.

Molti prototipi di problemi stereometrici vengono risolti anche utilizzando questa proprietà e questi corollari. Ricorda il fatto stesso: se il diametro di un cerchio è un lato di un triangolo inscritto, allora questo triangolo è rettangolo (l'angolo opposto al diametro è di 90 gradi). Puoi trarre tu stesso tutte le altre conclusioni e conseguenze, non è necessario insegnarle.

Di norma, la metà dei problemi per un angolo inscritto viene data con uno schizzo, ma senza notazione. Per comprendere il processo di ragionamento durante la risoluzione dei problemi (di seguito nell'articolo), vengono introdotte le designazioni dei vertici (angoli). Durante l'esame, non puoi farlo.Considera i compiti:

Cos'è un angolo acuto inscritto che intercetta una corda uguale al raggio della circonferenza? Dai la tua risposta in gradi.

Costruiamo un angolo centrale per un dato angolo inscritto, indichiamo i vertici:

Secondo la proprietà di un angolo inscritto in una circonferenza:

L'angolo AOB è uguale a 60 0, poiché il triangolo AOB è equilatero e in un triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali a 60 0 . I lati del triangolo sono uguali, poiché la condizione dice che la corda è uguale al raggio.

Pertanto, l'angolo inscritto DIA è 30 0 .

Risposta: 30

Trova la corda su cui poggia l'angolo 30 0, inscritto in una circonferenza di raggio 3.

Questo è essenzialmente il problema inverso (del precedente). Costruiamo un angolo centrale.

È grande il doppio di quello inscritto, cioè l'angolo AOB è 60 0 . Da ciò possiamo concludere che il triangolo AOB è equilatero. Pertanto, la corda è uguale al raggio, cioè tre.

Risposta: 3

Il raggio del cerchio è 1. Trova il valore di un angolo ottuso inscritto basato su una corda uguale alla radice di due. Dai la tua risposta in gradi.

Costruiamo l'angolo centrale:

Conoscendo il raggio e la corda, possiamo trovare l'angolo al centro DIA. Questo può essere fatto usando la legge dei coseni. Conoscendo l'angolo al centro, possiamo facilmente trovare l'angolo inscritto ACB.

Teorema del coseno: il quadrato di qualsiasi lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, senza raddoppiare il prodotto di quei lati per il coseno dell'angolo compreso tra loro.

Pertanto, il secondo angolo al centro è 360° – 90 0 = 270 0 .

Secondo la proprietà di un angolo inscritto, l'angolo DIA è uguale alla sua metà, cioè 135 gradi.

Risposta: 135

Trova la corda su cui l'angolo di 120 gradi, la radice di tre, è inscritto in un cerchio di raggio.

Collega i punti A e B con il centro del cerchio. Chiamiamolo O:

Conosciamo il raggio e l'angolo inscritto DIA. Possiamo trovare l'angolo al centro AOB (maggiore di 180 gradi), quindi trovare l'angolo AOB nel triangolo AOB. E poi, usando il teorema del coseno, calcola AB.

Per la proprietà di un angolo inscritto, l'angolo al centro AOB (che è maggiore di 180 gradi) sarà uguale al doppio dell'angolo inscritto, cioè 240 gradi. Ciò significa che l'angolo AOB nel triangolo AOB è 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Per la legge dei coseni:

Risposta:3

Trova l'angolo inscritto in base all'arco che è il 20% del cerchio. Dai la tua risposta in gradi.

Per la proprietà di un angolo inscritto, è grande la metà dell'angolo al centro basato sullo stesso arco, in questo caso Stiamo parlando dell'arco AB.

Si dice che l'arco AB sia il 20 per cento della circonferenza. Ciò significa che anche l'angolo al centro AOB è il 20 percento di 360°.* Un cerchio è un angolo di 360 gradi. Significa,

Pertanto, l'angolo inscritto ACB è di 36 gradi.

Risposta: 36

arco di cerchio AC, non contenente punti B, è di 200 gradi. E l'arco del cerchio BC, che non contiene punti UN, è di 80 gradi. Trova l'angolo inscritto ACB. Dai la tua risposta in gradi.

Indichiamo per chiarezza gli archi di cui sono date le misure angolari. Arco corrispondente a 200 gradi - Colore blu, l'arco corrispondente a 80 gradi è rosso, il resto del cerchio è giallo.

Pertanto, la misura in gradi dell'arco AB (giallo), e quindi l'angolo al centro AOB è: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

L'angolo inscritto DAB è la metà dell'angolo al centro AOB, cioè uguale a 40 gradi.

Risposta: 40

Qual è l'angolo inscritto in base al diametro del cerchio? Dai la tua risposta in gradi.

Questo è l'angolo formato da due accordi che ha origine in un punto del cerchio. Si dice che un angolo inscritto sia fa affidamento su un arco racchiuso tra i suoi lati.

Angolo inscritto pari alla metà dell'arco su cui poggia.

In altre parole, angolo inscritto include tanti gradi, minuti e secondi quanti gradi d'arco, minuti e secondi sono racchiusi nella metà dell'arco su cui si appoggia. Per giustificazione, analizziamo tre casi:

Primo caso:

Il centro O si trova sul lato angolo inscritto ADDOMINALI. Disegnando il raggio AO, otteniamo ΔABO, in cui OA = OB (come raggi) e, di conseguenza, ∠ABO = ∠BAO. In relazione a questo triangolo, l'angolo AOC è esterno. E quindi è uguale alla somma degli angoli ABO e BAO, ovvero uguale al doppio angolo ABO. Quindi ∠ABO è la metà angolo centrale COA. Ma questo angolo è misurato dall'arco AC. Cioè, l'angolo inscritto ABC è misurato dalla metà dell'arco AC.

Secondo caso:

Il centro O si trova tra i lati angolo inscritto ABC Tracciato il diametro BD, divideremo l'angolo ABC in due angoli, di cui, secondo quanto stabilito nel primo caso, uno è misurato per metà archi dC, e l'altra metà dell'arco CD. E di conseguenza, l'angolo ABC è misurato da (AD + DC) / 2, cioè 1/2 CA.

Terzo caso:

Il centro O si trova all'esterno angolo inscritto ADDOMINALI. Disegnato il diametro BD, avremo: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Ma gli angoli ABD e CBD vengono misurati, sulla base delle metà precedentemente comprovate archi dC e CD. E poiché ∠ABС è misurato da (AD-CD)/2, cioè metà dell'arco AC.

Conseguenza 1. Qualsiasi , basato sullo stesso arco sono uguali, cioè sono uguali tra loro. Poiché ciascuno di essi è misurato dalla metà dello stesso archi .

Conseguenza 2. Angolo inscritto, in base al diametro - angolo retto. Poiché ciascuno di questi angoli è misurato da mezzo semicerchio e, di conseguenza, contiene 90 °.