Quella che viene chiamata la tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo. Triangolo rettangolo

Penso che tu meriti di più. Ecco la mia chiave per la trigonometria:

• Disegna la cupola, il muro e il soffitto
• Le funzioni trigonometriche non sono altro che percentuali di queste tre forme.

Metafora per seno e coseno: cupola

Invece di guardare solo i triangoli stessi, immaginali in azione trovando qualche particolare esempio di vita reale.

Immagina di essere nel mezzo di una cupola e di voler appendere uno schermo per proiettore cinematografico. Punti il ​​dito verso la cupola con un angolo "x" e uno schermo dovrebbe essere appeso da quel punto.

L'angolo che punti determina:

• sine(x) = sin(x) = altezza dello schermo (dal pavimento al punto di montaggio della cupola)
• coseno(x) = cos(x) = distanza da te allo schermo (per piano)
• ipotenusa, la distanza da te alla cima dello schermo, sempre la stessa, uguale al raggio della cupola

Vuoi che lo schermo sia il più grande possibile? Appendilo proprio sopra di te.

Vuoi che lo schermo sia appeso il più lontano possibile da te? Appendilo dritto perpendicolare. Lo schermo avrà un'altezza zero in questa posizione e si bloccherà quanto richiesto.

L'altezza e la distanza dallo schermo sono inversamente proporzionali: più lo schermo è vicino, maggiore sarà la sua altezza.

Seno e coseno sono percentuali

Nessuno nei miei anni di studio, ahimè, mi ha spiegato che le funzioni trigonometriche seno e coseno non sono altro che percentuali. I loro valori vanno da +100% a 0 a -100%, o da un massimo positivo a zero a un massimo negativo.

Diciamo che ho pagato una tassa di 14 rubli. Non sai quanto costa. Ma se dici che ho pagato il 95% di tasse, capirai che sono stato semplicemente scorticato come un appiccicoso.

L'altezza assoluta non significa nulla. Ma se il valore del seno è 0,95, capisco che la TV è appesa quasi sopra la tua cupola. Molto presto raggiungerà la sua massima altezza al centro della cupola, per poi ricominciare a declinare.

Come possiamo calcolare questa percentuale? Molto semplice: dividi l'altezza corrente dello schermo per il massimo possibile (il raggio della cupola, chiamato anche ipotenusa).

Ecco perché ci viene detto che “coseno = cateto opposto/ipotenusa”. Questo è tutto per ottenere una percentuale! Il modo migliore per definire il seno è "la percentuale dell'altezza attuale dal massimo possibile". (Il seno diventa negativo se il tuo angolo punta "sottoterra". Il coseno diventa negativo se l'angolo punta al punto della cupola dietro di te.)

Semplifichiamo i calcoli supponendo di essere al centro della circonferenza unitaria (raggio = 1). Possiamo saltare la divisione e prendere solo il seno uguale all'altezza.

Ogni cerchio è essenzialmente un singolo cerchio, ingrandito o ridotto a misura giusta. Quindi determina le relazioni sulla circonferenza unitaria e applica i risultati alla tua particolare dimensione del cerchio.

Esperimento: prendi qualsiasi angolo e guarda quale percentuale di altezza rispetto alla larghezza mostra:

Il grafico della crescita del valore del seno non è solo una linea retta. I primi 45 gradi coprono il 70% dell'altezza e gli ultimi 10 gradi (da 80° a 90°) coprono solo il 2%.

Questo ti renderà più chiaro: se vai in cerchio, a 0° sali quasi verticalmente, ma man mano che ti avvicini alla cima della cupola, l'altezza cambia sempre meno.

Tangente e secante. Parete

Un giorno un vicino ha costruito un muro schiena contro schiena alla tua cupola. Pianse la tua vista dalla finestra e buon prezzo per la rivendita!

Ma è possibile in qualche modo vincere in questa situazione?

Certo che si. E se appendiamo uno schermo cinematografico proprio sul muro del vicino? Miri all'angolo (x) e ottieni:

• tan(x) = tan(x) = altezza dello schermo sulla parete
• distanza da te al muro: 1 (questo è il raggio della tua cupola, il muro non si muove da nessuna parte da te, giusto?)
• secant(x) = sec(x) = "lunghezza della scala" da te in piedi al centro della cupola fino alla sommità dello schermo sospeso

Chiariamo un paio di cose sulla tangente, o altezza dello schermo.

• inizia da 0 e può salire infinitamente. Puoi allungare lo schermo sempre più in alto sul muro per ottenere solo una tela infinita per guardare il tuo film preferito! (Per uno così grande, ovviamente, dovrai spendere un sacco di soldi).
• la tangente è solo una versione ingrandita del seno! E mentre la crescita del seno rallenta man mano che ci si sposta verso la sommità della cupola, la tangente continua a crescere!

Sekansu ha anche qualcosa di cui vantarsi:

• la secante inizia a 1 (la scala è sul pavimento, lontano da te verso il muro) e inizia a salire da lì
• La secante è sempre più lunga della tangente. La scala inclinata con cui appendi lo schermo deve essere più lunga dello schermo stesso, giusto? (In dimensioni non realistiche, quando lo schermo è lunghissimo e la scala deve essere posizionata quasi verticalmente, le loro dimensioni sono quasi le stesse. Ma anche in questo caso la secante sarà un po' più lunga).

Ricorda che i valori sono per cento. Se decidi di appendere lo schermo a un angolo di 50 gradi, tan(50)=1.19. Lo schermo è più grande del 19% rispetto alla distanza dal muro (raggio della cupola).

(Inserisci x=0 e metti alla prova il tuo intuito - tan(0) = 0 e sec(0) = 1.)

Cotangente e cosecante. Soffitto

Incredibilmente, il tuo vicino ha ora deciso di costruire un soffitto sopra la tua cupola. (Qual è il problema con lui? Apparentemente non vuole che tu lo guardi mentre cammina nudo per il cortile...)

Bene, è ora di costruire un'uscita sul tetto e parlare con il vicino. Scegli l'angolo di inclinazione e inizia a costruire:

• la distanza verticale tra l'uscita del tetto e il pavimento è sempre 1 (raggio della cupola)
• cotangent(x) = cot(x) = distanza tra la sommità della cupola e il punto di uscita
• cosecante(x) = csc(x) = lunghezza del percorso verso il tetto

La tangente e la secante descrivono il muro, mentre la cotangente e la cosecante descrivono il pavimento.

Le nostre conclusioni intuitive questa volta sono simili alle precedenti:

• Se prendi un angolo di 0°, la tua uscita sul tetto impiegherà un'eternità poiché non raggiungerà mai il soffitto. Problema.
• La "scala" più corta per il tetto si otterrà se la si costruisce con un angolo di 90 gradi rispetto al pavimento. La cotangente sarà uguale a 0 (non ci muoviamo affatto lungo il tetto, usciamo rigorosamente perpendicolarmente) e la cosecante sarà uguale a 1 ("la lunghezza della scala" sarà minima).

Visualizza le connessioni

Disegnando tutti e tre i casi in una combinazione cupola-parete-pavimento si otterrà:

Beh, wow, è tutto lo stesso triangolo, ingrandito per raggiungere il muro e il soffitto. Abbiamo lati verticali (seno, tangente), lati orizzontali (coseno, cotangente) e “ipotenuse” (secante, cosecante). (Puoi vedere dalle frecce quanto lontano arriva ogni elemento. La cosecante è la distanza totale da te al tetto).

Un po' di magia. Tutti i triangoli condividono le stesse uguaglianze:

Dal teorema di Pitagora (a 2 + b 2 = c 2) vediamo come sono collegati i lati di ciascun triangolo. Inoltre, anche i rapporti altezza-larghezza devono essere gli stessi per tutti i triangoli. (Basta fare un passo indietro dal triangolo più grande a quello più piccolo. Sì, la dimensione è cambiata, ma le proporzioni dei lati rimarranno le stesse).

Sapendo quale lato di ogni triangolo è 1 (il raggio della cupola), possiamo facilmente calcolare che "sin/cos = tan/1".

Ho sempre cercato di ricordare questi fatti attraverso una semplice visualizzazione. Nell'immagine puoi vedere chiaramente queste dipendenze e capire da dove provengono. Questa tecnica è molto meglio che memorizzare formule secche.

Non dimenticare altri angoli

Shh... Non c'è bisogno di rimanere bloccati su un grafico, pensando che la tangente sia sempre minore di 1. Se aumenti l'angolo, puoi raggiungere il soffitto senza raggiungere il muro:

Le connessioni pitagoriche funzionano sempre, ma le dimensioni relative possono essere diverse.

(Probabilmente avrai notato che il rapporto tra seno e coseno è sempre il più piccolo perché sono racchiusi all'interno di una cupola.)

Riassumendo: cosa dobbiamo ricordare?

Per la maggior parte di noi, direi che questo sarà sufficiente:

• la trigonometria spiega l'anatomia di oggetti matematici come cerchi e intervalli ripetuti
• l'analogia cupola/parete/tetto mostra la relazione tra diverse funzioni trigonometriche
• il risultato delle funzioni trigonometriche sono le percentuali che applichiamo al nostro scenario.

Non è necessario memorizzare formule come 1 2 + cot 2 = csc 2 . Sono adatti solo per test stupidi in cui la conoscenza di un fatto viene presentata come comprensione di esso. Prenditi un minuto per disegnare un semicerchio a forma di cupola, muro e tetto, firma gli elementi e tutte le formule ti verranno richieste su carta.

Applicazione: funzioni inverse

Qualunque funzione trigonometrica prende un angolo come input e restituisce il risultato come percentuale. sin(30) = 0,5. Ciò significa che un angolo di 30 gradi occupa il 50% dell'altezza massima.

La funzione trigonometrica inversa è scritta come sin -1 o arcsin ("arxine"). Inoltre è spesso scritto asin in vari linguaggi di programmazione.

Se la nostra altezza è il 25% dell'altezza della cupola, qual è il nostro angolo?

Nella nostra tabella delle proporzioni, puoi trovare il rapporto in cui la secante è divisa per 1. Ad esempio, la secante per 1 (l'ipotenusa all'orizzontale) sarà uguale a 1 diviso per il coseno:

Diciamo che la nostra secante è 3,5, cioè 350% del raggio del cerchio unitario. A quale angolo di inclinazione rispetto al muro corrisponde questo valore?

Appendice: alcuni esempi

Compito noioso. Complichiamo il banale "trova il seno" in "Qual è l'altezza come percentuale del massimo (ipotenusa)?".

Innanzitutto, nota che il triangolo è ruotato. Non c'è niente di sbagliato in questo. Il triangolo ha anche un'altezza, è mostrato in verde nella figura.

A quanto è uguale l'ipotenusa? Dal teorema di Pitagora sappiamo che:

3 2 + 4 2 = ipotenusa 2 25 = ipotenusa 2 5 = ipotenusa

Bene! Il seno è la percentuale dell'altezza dal lato più lungo del triangolo, o l'ipotenusa. Nel nostro esempio, il seno è 3/5 o 0,60.

Certo, possiamo andare in diversi modi. Ora sappiamo che il seno è 0,60 e possiamo semplicemente trovare l'arcoseno:

Asin(0.6)=36.9

Ed ecco un altro approccio. Nota che il triangolo è "faccia a faccia con il muro", quindi possiamo usare la tangente invece del seno. L'altezza è 3, la distanza dal muro è 4, quindi la tangente è ¾ o 75%. Possiamo usare l'arcotangente per tornare dalla percentuale all'angolo:

Abbronzatura = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Esempio: nuoterai fino a riva?

Sei su una barca e hai abbastanza carburante per percorrere 2 km. Ora sei a 0,25 km dalla costa. A quale angolo massimo rispetto alla riva puoi nuotare fino ad essa in modo da avere abbastanza carburante? Aggiunta alla condizione del problema: abbiamo solo una tabella di valori di arcocoseno.

Cosa abbiamo? La costa può essere rappresentata come un "muro" nel nostro famoso triangolo, e la "lunghezza delle scale" attaccate al muro può essere rappresentata come la massima distanza possibile in barca dalla riva (2 km). Emerge una secante.

Innanzitutto, devi passare alle percentuali. Abbiamo 2 / 0,25 = 8, il che significa che possiamo nuotare 8 volte la distanza in rettilineo dalla riva (o dal muro).

Sorge la domanda "Cos'è la secante 8?". Ma non possiamo dare una risposta, dato che abbiamo solo arcocoseni.

Usiamo le nostre dipendenze derivate in precedenza per mappare la secante al coseno: "sec/1 = 1/cos"

La secante di 8 è uguale al coseno di ⅛. Un angolo il cui coseno è ⅛ è acos(1/8) = 82,8. E questo è l'angolo più grande che possiamo permetterci su una barca con la quantità specificata di carburante.

Non male, vero? Senza l'analogia cupola-parete-soffitto, sarei confuso in un mucchio di formule e calcoli. La visualizzazione del problema semplifica enormemente la ricerca di una soluzione, inoltre, è interessante vedere quale funzione trigonometrica alla fine aiuterà.

Per ogni attività, pensa in questo modo: mi interessa una cupola (sin/cos), un muro (tan/sec) o un soffitto (lettino/csc)?

E la trigonometria diventerà molto più piacevole. Calcoli facili per te!

Il seno è una delle funzioni trigonometriche di base, la cui applicazione non è limitata alla sola geometria. Le tabelle per il calcolo delle funzioni trigonometriche, come le calcolatrici ingegneristiche, non sono sempre a portata di mano e talvolta il calcolo del seno è necessario per risolvere vari problemi. In generale, il calcolo del seno aiuterà a consolidare le capacità di disegno e la conoscenza delle identità trigonometriche.

Giochi con righello e matita

Un compito semplice: come trovare il seno di un angolo disegnato su carta? Per risolvere, hai bisogno di un normale righello, un triangolo (o un compasso) e una matita. Il modo più semplice per calcolare il seno di un angolo è dividere la gamba più lontana di un triangolo con un angolo retto per il lato lungo - l'ipotenusa. Quindi, prima devi completare l'angolo acuto alla figura di un triangolo rettangolo tracciando una linea perpendicolare a uno dei raggi a una distanza arbitraria dal vertice dell'angolo. Sarà necessario osservare un angolo di esattamente 90 °, per il quale abbiamo bisogno di un triangolo clericale.

Usare una bussola è un po' più preciso, ma richiederà più tempo. Su uno dei raggi, devi segnare 2 punti a una certa distanza, impostare un raggio sulla bussola approssimativamente uguale alla distanza tra i punti e tracciare semicerchi con centri in questi punti finché queste linee non si intersecano. Collegando tra loro i punti di intersezione dei nostri cerchi, otterremo una rigorosa perpendicolare al raggio del nostro angolo, non resta che estendere la linea fino a quando non si interseca con un altro raggio.

Nel triangolo risultante, devi misurare il lato opposto all'angolo e il lato lungo su uno dei raggi con un righello. Il rapporto tra la prima dimensione e la seconda sarà il valore desiderato del seno angolo acuto.

Trova il seno per un angolo maggiore di 90°

Per un angolo ottuso, il compito non è molto più difficile. È necessario disegnare un raggio dal vertice nella direzione opposta usando un righello per formare una linea retta con uno dei raggi dell'angolo che ci interessa. Con l'angolo acuto risultante, dovresti procedere come descritto sopra, i seni degli angoli adiacenti, formando insieme un angolo sviluppato di 180 °, sono uguali.

Calcolo del seno da altre funzioni trigonometriche

Inoltre, il calcolo del seno è possibile se sono noti i valori di altre funzioni trigonometriche dell'angolo o almeno la lunghezza dei lati del triangolo. Le identità trigonometriche ci aiuteranno in questo. Diamo un'occhiata a esempi comuni.

Come trovare il seno con un coseno noto di un angolo? La prima identità trigonometrica, proveniente dal teorema di Pitagora, dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale a uno.

Come trovare il seno con una tangente nota di un angolo? La tangente si ottiene dividendo la gamba lontana per quella vicina o dividendo il seno per il coseno. Pertanto, il seno sarà il prodotto del coseno e della tangente, e il quadrato del seno sarà il quadrato di questo prodotto. Sostituiamo il coseno quadrato con la differenza tra l'unità e il seno quadrato secondo la prima identità trigonometrica e, attraverso semplici manipolazioni, portiamo l'equazione per calcolare il seno quadrato attraverso la tangente, rispettivamente, per calcolare il seno, dovrai estrarre la radice dal risultato ottenuto.

Come trovare il seno con una cotangente nota di un angolo? Il valore della cotangente può essere calcolato dividendo la lunghezza del vicino dall'angolo della gamba per la lunghezza del lontano, e dividendo anche il coseno per il seno, cioè la cotangente è la funzione inversa della tangente con rispetto al numero 1. Per calcolare il seno, puoi calcolare la tangente utilizzando la formula tg α \u003d 1 / ctg α e utilizzare la formula nella seconda opzione. Puoi anche derivare una formula diretta per analogia con la tangente, che sarà simile a questa.

Come trovare il seno dei tre lati di un triangolo

Esiste una formula per trovare la lunghezza del lato sconosciuto di qualsiasi triangolo, non solo un triangolo rettangolo, dati due lati noti usando la funzione trigonometrica del coseno dell'angolo opposto. Ha questo aspetto.

Inizialmente, seno e coseno sono nati dalla necessità di calcolare quantità in triangoli rettangoli. Si è notato che se il valore della misura in gradi degli angoli in un triangolo rettangolo non viene modificato, allora le proporzioni, non importa quanto questi lati cambino in lunghezza, rimangono sempre le stesse.

È così che sono stati introdotti i concetti di seno e coseno. Il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, e il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

Teoremi di coseni e seni

Ma coseni e seni possono essere usati non solo nei triangoli rettangoli. Per trovare il valore di un angolo ottuso o acuto, il lato di un qualsiasi triangolo, basta applicare il teorema del coseno e del seno.

Il teorema del coseno è abbastanza semplice: "Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo compreso tra loro".

Ci sono due interpretazioni del teorema del seno: piccola ed estesa. Secondo il piccolo: "In un triangolo, gli angoli sono proporzionali ai lati opposti". Questo teorema è spesso esteso a causa della proprietà del cerchio circoscritto a un triangolo: "In un triangolo, gli angoli sono proporzionali ai lati opposti e il loro rapporto è uguale al diametro del cerchio circoscritto".

Derivati

Una derivata è uno strumento matematico che mostra quanto velocemente cambia una funzione rispetto a un cambiamento nel suo argomento. I derivati ​​sono usati in geometria e in un certo numero di discipline tecniche.

Quando si risolvono i problemi, è necessario conoscere i valori tabulari delle derivate delle funzioni trigonometriche: seno e coseno. La derivata del seno è il coseno e la derivata del coseno è il seno, ma con un segno meno.

Applicazione in matematica

Soprattutto spesso, seni e coseni vengono utilizzati per risolvere triangoli rettangoli e problemi ad essi correlati.

La comodità di seno e coseno si riflette anche nella tecnologia. Angoli e lati erano facili da valutare usando i teoremi del coseno e del seno, rottura figure complesse e oggetti in "semplici" triangoli. Ingegneri e, che spesso si occupano di calcoli delle proporzioni e misure di grado, ha speso molto tempo e sforzi per calcolare i coseni e i seni degli angoli non tabellari.

Poi sono venute in soccorso le tavole di Bradis, contenenti migliaia di valori di seno, coseno, tangenti e cotangenti di diversi angoli. IN Tempo sovietico alcuni insegnanti hanno costretto i loro reparti a memorizzare le pagine delle tavole Bradys.

Radiante: il valore angolare dell'arco, lungo la lunghezza pari al raggio o 57,295779513 ° gradi.

Grado (in geometria) - 1/360 di cerchio o 1/90 di angolo retto.

π = 3.141592653589793238462… (valore approssimativo di pi greco).

Tabella coseno per angoli: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Laddove sono stati considerati i compiti per risolvere un triangolo rettangolo, ho promesso di presentare una tecnica per memorizzare le definizioni di seno e coseno. Usandolo, ricorderai sempre rapidamente quale gamba appartiene all'ipotenusa (adiacente o opposta). Ho deciso di non rimandare all'infinito, materiale necessario sotto, vedere

Il fatto è che ho ripetutamente osservato come gli studenti delle classi 10-11 abbiano difficoltà a ricordare queste definizioni. Ricordano molto bene che la gamba si riferisce all'ipotenusa, ma quale- dimentica e confuso. Il prezzo di un errore, come sai nell'esame, è un punteggio perso.

Le informazioni che presenterò direttamente alla matematica non hanno nulla a che fare. È associata a pensiero figurativo, e con i metodi di connessione logico-verbale. Esatto, io stesso, una volta per tutte ricordatodati di definizione. Se li dimentichi ancora, allora con l'aiuto delle tecniche presentate è sempre facile da ricordare.

Lascia che ti ricordi le definizioni di seno e coseno in un triangolo rettangolo:

Coseno angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:

Seno L'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa:

Quindi, quali associazioni evoca in te la parola coseno?

Probabilmente ognuno ha il suoRicorda il link:

Quindi, avrai immediatamente un'espressione nella tua memoria -

«… rapporto tra cateto ADIACENTE e ipotenusa».

Il problema con la definizione di coseno è risolto.

Se devi ricordare la definizione del seno in un triangolo rettangolo, ricordando la definizione del coseno, puoi facilmente stabilire che il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa. Dopotutto, ci sono solo due gambe, se la gamba adiacente è "occupata" dal coseno, per il seno rimane solo il lato opposto.

E la tangente e la cotangente? Stessa confusione. Gli studenti sanno che questo è il rapporto tra le gambe, ma il problema è ricordare a quale si riferisce - o opposto a adiacente o viceversa.

Definizioni:

Tangente un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:

Cotangente l'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:

Come ricordare? Ci sono due modi. Uno usa anche una connessione logico-verbale, l'altro - matematica.

METODO MATEMATICO

Esiste una tale definizione: la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il seno di un angolo e il suo coseno:

* Ricordando la formula, puoi sempre determinare che la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente.

Allo stesso modo.La cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra il coseno di un angolo e il suo seno:

COSÌ! Ricordando queste formule, puoi sempre determinare che:

- la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente

- la cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto adiacente e quello opposto.

METODO VERBALE-LOGICO

A proposito di tangente. Ricorda il link:

Cioè, se hai bisogno di ricordare la definizione della tangente, usando questa connessione logica, puoi facilmente ricordare di cosa si tratta

"... il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente"

Se si tratta di cotangente, ricordando la definizione di tangente, puoi facilmente pronunciare la definizione di cotangente -

"... il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto"

C'è una tecnica interessante per memorizzare tangente e cotangente sul sito " Tandem matematico " , Aspetto.

METODO UNIVERSALE

Puoi solo macinare.Ma come dimostra la pratica, grazie alle connessioni logico-verbali, una persona ricorda a lungo le informazioni, e non solo matematiche.

Spero che il materiale ti sia stato utile.

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

PS: ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.

Il coseno è una ben nota funzione trigonometrica, che è anche una delle funzioni principali della trigonometria. Il coseno di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente del triangolo e l'ipotenusa del triangolo. Molto spesso, la definizione di coseno è associata a un triangolo esattamente di tipo rettangolare. Ma succede anche che l'angolo per il quale è necessario calcolare il coseno in un triangolo di tipo rettangolare non si trovi proprio in questo triangolo di tipo rettangolare. Cosa fare allora? Come trovare il coseno dell'angolo di un triangolo?

Se vuoi calcolare il coseno di un angolo in un triangolo rettangolo, allora tutto è molto semplice. Devi solo ricordare la definizione di coseno, in cui si trova la soluzione a questo problema. Devi solo trovare lo stesso rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa del triangolo. In effetti, qui non è difficile esprimere il coseno di un angolo. La formula è la seguente: - cosα = a/c, dove "a" è la lunghezza del cateto, e il lato "c", rispettivamente, è la lunghezza dell'ipotenusa. Ad esempio, il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo può essere trovato usando questa formula.

Se sei interessato a quanto è uguale il coseno di un angolo in un triangolo arbitrario, allora il teorema del coseno viene in soccorso, che dovrebbe essere usato in questi casi. Il teorema del coseno afferma che il quadrato di un lato di un triangolo è a priori uguale alla somma dei quadrati degli altri lati dello stesso triangolo, ma senza il doppio del prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo che si trova tra loro.

1. Se devi trovare il coseno di un angolo acuto in un triangolo, devi utilizzare la seguente formula: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Se in un triangolo è necessario trovare il coseno di un angolo ottuso, è necessario utilizzare la seguente formula: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Le designazioni nella formula - a e b - sono le lunghezze dei lati adiacenti all'angolo desiderato, c è la lunghezza del lato opposto all'angolo desiderato.

Inoltre, il coseno di un angolo può essere calcolato usando il teorema del seno. Dice che tutti i lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Usando il teorema del seno, puoi calcolare gli elementi rimanenti di un triangolo, conoscendo solo due lati e un angolo opposto a un lato, o due angoli e un lato. Considera un esempio. Condizioni del problema: a=1; b=2; c=3. L'angolo opposto al lato "A", denotiamo - α, quindi, secondo le formule, abbiamo: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Risposta 1.

Se il coseno dell'angolo deve essere calcolato non in un triangolo, ma in qualche altro arbitrario figura geometrica, è qui che le cose si fanno un po' più complicate. Il valore dell'angolo deve essere prima determinato in radianti o gradi e solo successivamente calcolare il coseno da questo valore. Il coseno in base al valore numerico viene determinato utilizzando tabelle Bradis, calcolatrici ingegneristiche o speciali applicazioni matematiche.

Speciali applicazioni matematiche possono avere funzioni come il calcolo automatico dei coseni degli angoli in una data figura. Il bello di tali applicazioni è che danno la risposta giusta e l'utente non perde tempo a risolvere problemi a volte piuttosto complessi. D'altra parte, con l'uso costante di applicazioni esclusivamente per la risoluzione di problemi, si perdono tutte le abilità per lavorare con la risoluzione di problemi matematici per trovare i coseni degli angoli nei triangoli, così come altre figure arbitrarie.