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Calcolatrice della derivata della funzione trigonometrica inversa. Regole per il calcolo delle derivate

Calcolo della derivataè una delle operazioni più importanti nel calcolo differenziale. Di seguito è riportata una tabella per trovare le derivate di funzioni semplici. Per regole di differenziazione più complesse, vedere altre lezioni:

Tabella delle derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche

Utilizzare le formule fornite come valori di riferimento. Aiuteranno a risolvere equazioni differenziali e problemi. Nell'immagine, nella tabella delle derivate di funzioni semplici, c'è un "cheat sheet" dei principali casi di ricerca della derivata in una forma comprensibile per l'uso, accanto ci sono le spiegazioni per ogni caso.

Derivate di funzioni semplici

1. La derivata di un numero è zero
ñ´ = 0
Esempio:
5' = 0

Spiegazione:
La derivata mostra la velocità con cui il valore della funzione cambia quando cambia l'argomento. Poiché il numero non cambia in alcun modo in nessuna condizione, il tasso del suo cambiamento è sempre zero.

2. Derivata di una variabile uguale a uno
x' = 1

Spiegazione:
Con ogni incremento dell'argomento (x) di uno, il valore della funzione (risultato del calcolo) aumenta della stessa quantità. Pertanto, il tasso di variazione del valore della funzione y = x è esattamente uguale al tasso di variazione del valore dell'argomento.

3. La derivata di una variabile e di un fattore è uguale a questo fattore
ñx´ = ñ
Esempio:
(3x)' = 3
(2x)´ = 2
Spiegazione:
In questo caso, ogni volta che l'argomento della funzione ( X) il suo valore (y) cresce Con una volta. Pertanto, il tasso di variazione del valore della funzione rispetto al tasso di variazione dell'argomento è esattamente uguale al valore Con.

Donde ne consegue
(cx + b)" = c
cioè il differenziale della funzione lineare y=kx+b è uguale alla pendenza della retta (k).

4. Derivata modulo di una variabileè uguale al quoziente di questa variabile rispetto al suo modulo
|x|"=x / |x| ammesso che x ≠ 0
Spiegazione:
Poiché la derivata della variabile (vedi formula 2) è uguale a uno, la derivata del modulo differisce solo per il fatto che il valore del tasso di variazione della funzione cambia al contrario quando attraversa il punto di origine (prova a disegnare un grafico della funzione y = |x| e verifica tu stesso. Questo è esattamente il valore e restituisce l'espressione x / |x| Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - uno. Cioè, con valori negativi della variabile x, ad ogni aumento del cambiamento nell'argomento, il valore della funzione diminuisce esattamente dello stesso valore, e con valori positivi, al contrario, aumenta, ma esattamente di lo stesso valore.

5. Derivata di potenza di una variabileè uguale al prodotto del numero di questa potenza e della variabile nella potenza, ridotto di uno
(x c)"= cx c-1, a condizione che x c e cx c-1 siano definiti e c ≠ 0
Esempio:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Per memorizzare la formula:
Prendi l'esponente della variabile "giù" come moltiplicatore, quindi diminuisci l'esponente stesso di uno. Ad esempio, per x 2 - due era davanti a x, quindi la potenza ridotta (2-1 = 1) ci ha dato solo 2x. La stessa cosa è successa per x 3: abbassiamo il triplo, lo riduciamo di uno e invece di un cubo abbiamo un quadrato, cioè 3x 2 . Un po' "antiscientifico", ma molto facile da ricordare.

6.Derivata frazionaria 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esempio:
Poiché una frazione può essere rappresentata come elevazione a una potenza negativa
(1/x)" = (x -1)" , allora puoi applicare la formula della regola 5 della tabella delle derivate
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Derivata frazionaria con una variabile di grado arbitrario al denominatore
(1/x c)" = - c / x c+1
Esempio:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivato radicale(derivata di variabile sotto radice quadrata)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Esempio:
(√x)" = (x 1/2)" quindi puoi applicare la formula della regola 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivata di una variabile sotto una radice di grado arbitrario
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Applicazione

La soluzione del derivato al sito per consolidare il materiale coperto da studenti e scolari. Calcolare la derivata di una funzione in pochi secondi non è difficile se utilizzi il nostro servizio di problem solving online. Ogni terzo studente sarà in grado di fornire un'analisi dettagliata per uno studio approfondito in una lezione pratica. Spesso veniamo contattati dal dipartimento del dipartimento competente per la promozione della matematica nelle istituzioni educative del paese. Come, in questo caso, per non parlare della soluzione della derivata in linea per uno spazio chiuso di successioni numeriche. Molte persone facoltose possono esprimere il loro stupore. Ma nel frattempo, i matematici non stanno fermi e lavorano sodo. La modifica dei parametri di input in base alle caratteristiche lineari sarà accettata dal calcolatore delle derivate principalmente a causa della supremazia delle posizioni discendenti dei cubi. Il risultato è inevitabile come superficie. Come dati iniziali, il derivato online elimina la necessità di eseguire passaggi non necessari. A parte i compiti fittizi. Oltre al fatto che risolvere le derivate online è un aspetto necessario e importante dell'apprendimento della matematica, gli studenti spesso non ricordano i problemi del passato. Lo studente, come una creatura pigra, lo capisce. Ma gli studenti sono persone divertenti! O fallo secondo le regole, oppure la derivata della funzione in un piano inclinato può dare accelerazione a un punto materiale. Dirigiamo il vettore del raggio spaziale discendente da qualche parte. Nella risposta desiderata, trovare la derivata sembra essere una direzione teorica astratta a causa dell'instabilità del sistema matematico. Pensa a un rapporto di numeri come a una sequenza di opzioni inutilizzate. Il canale di comunicazione è stato riempito con la quinta linea lungo il vettore discendente dal punto della biforcazione chiusa del cubo. Sul piano degli spazi curvi, risolvere la derivata in linea ci porta a una conclusione che ha fatto riflettere le più grandi menti del pianeta nel secolo scorso. Nel corso degli eventi dal campo della matematica, sono stati portati alla discussione pubblica cinque fattori di fondamentale importanza che contribuiscono al miglioramento della posizione della scelta di una variabile. Quindi la legge per i punti dice che la derivata online non viene calcolata in dettaglio in ogni caso, solo un momento che progredisce lealmente può essere un'eccezione. Le previsioni ci hanno portato a un nuovo ciclo di sviluppo. Abbiamo bisogno di un risultato. Nella linea della pendenza matematica passata sotto la superficie, il calcolatore delle derivate modali si trova nell'area dell'intersezione dei prodotti sul set di flessione. Resta da analizzare la differenziazione della funzione nel suo punto indipendente vicino all'intorno di epsilon. Questo può essere visto da tutti in pratica. Di conseguenza, ci sarà qualcosa da decidere nella fase successiva della programmazione. Lo studente ha bisogno del derivato online come sempre, indipendentemente dagli studi immaginari praticati. Si scopre che la soluzione in linea della funzione derivata moltiplicata per una costante non cambia la direzione generale del movimento del punto materiale, ma caratterizza l'aumento della velocità in linea retta. In questo senso sarà utile applicare il nostro calcolatore di derivate e calcolare tutti i valori di una funzione sull'intero insieme della sua definizione. Non c'è proprio bisogno di studiare le onde di forza del campo gravitazionale. In nessun caso la soluzione derivata in linea mostrerà l'inclinazione del raggio in uscita, ma solo in rari casi, quando è veramente necessario, gli studenti universitari possono immaginarlo. Indaghiamo sul preside. Il valore del rotore più piccolo è prevedibile. Applica al risultato le linee che guardano a destra, lungo le quali è descritta la palla, ma il calcolatore di derivate online è la base per figure di forza speciale e dipendenza non lineare. Il rapporto del progetto di matematica è pronto. Caratteristiche personali la differenza dei numeri più piccoli e la derivata della funzione lungo l'asse y porterà la concavità della stessa funzione all'altezza. C'è una direzione - c'è una conclusione. È più facile mettere in pratica la teoria. C'è una proposta da parte degli studenti sui tempi di inizio dello studio. Serve la risposta di un insegnante. Anche in questo caso, come nella posizione precedente, il sistema matematico non è regolato sulla base di un'azione che aiuti a trovare la derivata.Come la versione semilineare inferiore, la derivata in linea indicherà in dettaglio l'identificazione della soluzione secondo la diritto condizionale degenere. Ho appena avanzato l'idea di calcolare le formule. La differenziazione lineare di una funzione rifiuta la verità della soluzione semplicemente esponendo variazioni positive irrilevanti. L'importanza dei segni di confronto sarà considerata come una continua interruzione della funzione lungo l'asse. Questa è l'importanza della conclusione più consapevole, secondo lo studente, in cui la derivata online è qualcosa di diverso da un fedele esempio di analisi matematica. Il raggio di un cerchio curvo nello spazio euclideo, al contrario, dava al calcolatore delle derivate una rappresentazione naturale dello scambio di problemi decisivi per la stabilità. Il metodo migliore è stato trovato. È stato più facile aumentare di livello l'attività. Lascia che l'applicabilità della proporzione della differenza indipendente porti alla soluzione delle derivate in linea. La soluzione ruota attorno all'asse x, descrivendo la figura di un cerchio. Una via d'uscita c'è, e si basa su ricerche teoricamente sostenute da studenti universitari, da cui tutti imparano, e anche in quei momenti c'è un derivato della funzione. Abbiamo trovato un modo per progredire e gli studenti lo hanno confermato. Possiamo permetterci di trovare la derivata senza andare oltre un approccio innaturale alla trasformazione del sistema matematico. Il segno proporzionale sinistro cresce in modo esponenziale come rappresentazione matematica del calcolatore derivato online a causa della circostanza sconosciuta dei fattori lineari sull'asse y infinito. I matematici di tutto il mondo hanno dimostrato l'esclusività del processo di produzione. C'è un quadrato più piccolo all'interno di un cerchio secondo la descrizione della teoria. Ancora una volta, il derivato online elaborerà la nostra ipotesi su ciò che potrebbe aver influenzato in primo luogo l'opinione teoricamente raffinata. C'erano opinioni di natura diversa rispetto al rapporto che abbiamo analizzato. L'attenzione separata potrebbe non capitare agli studenti delle nostre facoltà, ma solo non ai matematici intelligenti e avanzati in cui la differenziazione di una funzione è solo una scusa. Il significato meccanico del derivato è molto semplice. La forza di sollevamento è calcolata come una derivata in linea per gli spazi costanti inclinati verso il basso nel tempo. Ovviamente, il calcolatore delle derivate è un rigoroso processo di descrizione del problema della degenerazione di una trasformazione artificiale come corpo amorfo. La derivata prima parla di un cambiamento nel moto di un punto materiale. Lo spazio tridimensionale è ovviamente osservato nel contesto di tecnologie appositamente addestrate per la risoluzione di derivate online, infatti è in ogni colloquio sul tema della disciplina matematica. La derivata seconda caratterizza la variazione della velocità di un punto materiale e ne determina l'accelerazione. L'approccio dei meridiani basato sull'uso di una trasformazione affine porta la derivata di una funzione in un punto dal dominio di definizione di questa funzione a un nuovo livello. Un calcolatore online di derivati non può essere privo di numeri e notazione simbolica in alcuni casi dal giusto momento eseguibile, ad eccezione della disposizione trasformabile delle cose del compito. Sorprendentemente, c'è una seconda accelerazione di un punto materiale, questo caratterizza il cambiamento di accelerazione. In breve tempo inizieremo a studiare la soluzione della derivata online, ma non appena verrà raggiunto un certo traguardo nella conoscenza, il nostro studente interromperà questo processo. Il modo migliore per fare networking è chattare dal vivo su un argomento matematico. Ci sono principi che non devono essere violati in nessuna circostanza, non importa quanto sia difficile il compito. È utile trovare il derivato online in tempo e senza errori. Ciò porterà a una nuova posizione dell'espressione matematica. Il sistema è stabile. Il significato fisico del derivato non è così popolare come quello meccanico. È improbabile che qualcuno ricordi come la derivata in linea abbia dedotto in dettaglio sul piano il contorno delle linee della funzione alla normale dal triangolo adiacente all'asse x. L'uomo merita un ruolo importante nella ricerca del secolo scorso. Eseguiamo in tre stadi elementari la differenziazione della funzione in punti, sia dal dominio di definizione che all'infinito. Sarà scritto solo nel campo di studio, ma potrebbe prendere il posto del vettore principale in matematica e teoria dei numeri, non appena ciò accadrà collegherà il calcolatore di derivate online al problema. Un motivo ci sarebbe, ma ci sarà un motivo per stilare un'equazione. È molto importante tenere a mente tutti i parametri di input. Il meglio non viene sempre preso di petto, dietro a questo c'è una colossale quantità di lavoro delle migliori menti che sapevano come viene calcolato il derivato online nello spazio. Da allora, la convessità è stata considerata una proprietà di una funzione continua. Tuttavia, è meglio impostare prima il compito di risolvere i derivati \u200b\u200bonline nel più breve tempo possibile. Così la soluzione sarà completa. Oltre alle norme non soddisfatte, questo non è considerato sufficiente. Inizialmente, quasi tutti gli studenti propongono di proporre un metodo semplice su come la derivata di una funzione provochi un controverso algoritmo di crescita. Nella direzione del raggio ascendente. Questo ha senso come posizione generale. In precedenza, segnavano l'inizio del completamento di una specifica azione matematica, ma oggi sarà il contrario. Forse la soluzione del derivato online solleverà nuovamente la questione e accetteremo un parere comune sulla sua conservazione alla discussione dell'assemblea dei docenti. Speriamo nella comprensione da tutti i lati dei partecipanti all'incontro. Il significato logico è contenuto nella descrizione del calcolatore delle derivate nella risonanza dei numeri sulla sequenza di presentazione del pensiero del problema, a cui hanno risposto nel secolo scorso i grandi scienziati del mondo. Aiuterà a estrarre una variabile complessa dall'espressione convertita e trovare la derivata online per eseguire un'azione massiccia dello stesso tipo. La verità è molto meglio delle congetture. Il valore più piccolo nel trend. Il risultato non tarderà ad arrivare quando si utilizza un servizio unico per la localizzazione più precisa, per il quale esiste in dettaglio un derivato online. Indirettamente, ma al punto, come ha detto un saggio, è stato creato un calcolatore di derivati online su richiesta di molti studenti di diverse città del sindacato. Se c'è una differenza, allora perché decidere due volte. Il vettore dato giace sullo stesso lato della normale. A metà del secolo scorso, la differenziazione di una funzione non era affatto percepita come lo è oggi. Grazie allo sviluppo in corso, è apparsa la matematica online. Nel tempo, gli studenti dimenticano di dare credito alle discipline matematiche. La soluzione della derivata online metterà alla prova la nostra tesi, giustamente basata sull'applicazione della teoria, supportata dalla conoscenza pratica. Andrà oltre il valore esistente del fattore di presentazione e scriverà la formula in una forma esplicita per la funzione. Succede che devi trovare il derivato online in questo momento senza utilizzare alcun calcolatore, tuttavia puoi sempre ricorrere al trucco dello studente e utilizzare comunque un servizio come un sito web. Pertanto, lo studente risparmierà molto tempo copiando esempi da una bozza di quaderno in una forma finale. Se non ci sono contraddizioni, utilizza il servizio di soluzione passo-passo per esempi così complessi.

Definizione. Sia definita la funzione $y = f(x) $ in un intervallo contenente il punto $x_0 $ all'interno. Incrementiamo $\Delta x $ all'argomento in modo da non uscire da questo intervallo. Trovare l'incremento corrispondente della funzione $\Delta y $ (quando si passa dal punto $x_0 $ al punto $x_0 + \Delta x $) e comporre la relazione $\frac(\Delta y )(\Delta x) $. Se c'è un limite di questa relazione in $\Delta x \rightarrow 0 $, allora il limite indicato è chiamato funzione derivata$y=f(x) $ nel punto $x_0 $ e denota $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Il simbolo y è spesso usato per denotare la derivata. Si noti che y" = f(x) è una nuova funzione, ma naturalmente associata alla funzione y = f(x), definita in tutti i punti x in cui esiste il suddetto limite. Questa funzione si chiama così: derivata della funzione y \u003d f (x).

Il significato geometrico della derivataè costituito da quanto segue. Se una tangente che non è parallela all'asse y può essere tracciata sul grafico della funzione y \u003d f (x) in un punto con l'ascissa x \u003d a, allora f (a) esprime la pendenza della tangente:
$k = f"(a) $

Poiché $k = tg(a) $, l'uguaglianza $f"(a) = tg(a) $ è vera.

E ora interpretiamo la definizione della derivata in termini di uguaglianze approssimate. Sia la funzione $y = f(x) $ avere una derivata in un particolare punto $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ciò significa che vicino al punto x, l'uguaglianza approssimativa $\frac(\Delta y)(\Delta x) \circa f"(x) $, cioè $\Delta y \circa f"(x) \cdot \Deltassi$. Il significato significativo dell'uguaglianza approssimativa ottenuta è il seguente: l'incremento della funzione è “quasi proporzionale” all'incremento dell'argomento, e il coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata in un dato punto x. Ad esempio, per la funzione $y = x^2 $ l'uguaglianza approssimativa $\Delta y \circa 2x \cdot \Delta x $ è vera. Se analizziamo attentamente la definizione della derivata, scopriremo che contiene un algoritmo per trovarla.

Formuliamolo.

Come trovare la derivata della funzione y \u003d f (x) ?

1. Fissare il valore $x $, trovare $f(x) $
2. Incrementa $x $ argomento $\Delta x $, passa a un nuovo punto $x+ \Delta x $, trova $f(x+ \Delta x) $
3. Trova l'incremento della funzione: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Componi la relazione $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Calcola $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Questo limite è la derivata della funzione in x.

Se la funzione y = f(x) ha una derivata nel punto x, allora si dice differenziabile nel punto x. Viene chiamata la procedura per trovare la derivata della funzione y \u003d f (x). differenziazione funzioni y = f(x).

Discutiamo la seguente domanda: come sono correlate la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto?

Sia la funzione y = f(x) differenziabile nel punto x. Quindi si può tracciare una tangente al grafico della funzione nel punto M (x; f (x)) e, ricordiamo, la pendenza della tangente è uguale a f "(x). Tale grafico non può "rompersi" in il punto M, cioè la funzione deve essere continua in x.

Stava ragionando "sulle dita". Presentiamo un'argomentazione più rigorosa. Se la funzione y = f(x) è differenziabile nel punto x, allora vale l'uguaglianza approssimativa $\Delta y \circa f"(x) \cdot \Delta x $. zero, quindi \(\Delta y \ ) tenderà anche a zero, e questa è la condizione per la continuità della funzione in un punto.

COSÌ, se una funzione è differenziabile in un punto x, allora è anche continua in quel punto.

Non è vero il viceversa. Ad esempio: funzione y = |x| è continua ovunque, in particolare nel punto x = 0, ma la tangente al grafico della funzione nel “punto di unione” (0; 0) non esiste. Se a un certo punto è impossibile tracciare una tangente al grafico della funzione, allora non c'è derivata a questo punto.

Un altro esempio. La funzione $y=\sqrt(x) $ è continua sull'intera retta dei numeri, incluso nel punto x = 0. E la tangente al grafico della funzione esiste in qualsiasi punto, incluso nel punto x = 0 Ma a questo punto la tangente coincide con l'asse y, cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, la sua equazione ha la forma x \u003d 0. Non c'è pendenza per una tale linea retta, il che significa che \ ( f "(0) \) non esiste neanche

Quindi, abbiamo conosciuto una nuova proprietà di una funzione: la differenziabilità. Come si può sapere se una funzione è differenziabile dal grafico di una funzione?

La risposta è effettivamente data sopra. Se a un certo punto si può tracciare una tangente al grafico di una funzione che non è perpendicolare all'asse x, allora a questo punto la funzione è differenziabile. Se a un certo punto la tangente al grafico della funzione non esiste o è perpendicolare all'asse x, allora a questo punto la funzione non è differenziabile.

Regole di differenziazione

Viene chiamata l'operazione per trovare la derivata differenziazione. Quando si esegue questa operazione, è spesso necessario lavorare con quozienti, somme, prodotti di funzioni, nonché con "funzioni di funzioni", ovvero funzioni complesse. Sulla base della definizione della derivata, possiamo derivare regole di differenziazione che facilitano questo lavoro. Se C è un numero costante e f=f(x), g=g(x) sono alcune funzioni differenziabili, allora sono vere le seguenti regole di differenziazione:

$$ DO"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (fa+sol)"=fa"+sol" $$ $$ (fa_sol)"=fa"sol + fa_" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Funzione composta derivata:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabella delle derivate di alcune funzioni

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Primo livello

Derivata di funzioni. Guida completa (2019)

Immagina una strada diritta che attraversa una zona collinare. Cioè, va su e giù, ma non gira a destra oa sinistra. Se l'asse è diretto orizzontalmente lungo la strada e verticalmente, la linea della strada sarà molto simile al grafico di una funzione continua:

L'asse è un certo livello di altezza zero, nella vita usiamo il livello del mare come esso.

Andando avanti lungo una strada del genere, ci stiamo anche muovendo verso l'alto o verso il basso. Possiamo anche dire: quando cambia l'argomento (spostandosi lungo l'asse delle ascisse), cambia il valore della funzione (spostandosi lungo l'asse delle ordinate). Ora pensiamo a come determinare la "ripidezza" della nostra strada? Quale potrebbe essere questo valore? Molto semplice: quanto cambierà l'altezza quando ci si sposta in avanti di una certa distanza. Infatti, su diversi tratti di strada, avanzando (lungo l'ascissa) di un chilometro, saliremo o scenderemo di un diverso numero di metri rispetto al livello del mare (lungo l'ordinata).

Indichiamo progresso in avanti (leggi "delta x").

La lettera greca (delta) è comunemente usata in matematica come prefisso che significa "cambiamento". Cioè - questo è un cambiamento di grandezza, - un cambiamento; allora cos'è? Esatto, un cambiamento di dimensioni.

Importante: l'espressione è una singola entità, una variabile. Non dovresti mai strappare il "delta" dalla "x" o da qualsiasi altra lettera! Cioè, ad esempio, .

Quindi, siamo andati avanti, orizzontalmente, avanti. Se confrontiamo la linea della strada con il grafico di una funzione, allora come denotiamo l'aumento? Certamente, . Cioè, quando andiamo avanti saliamo più in alto.

È facile calcolare il valore: se all'inizio eravamo in quota, e dopo esserci spostati eravamo in quota, allora. Se il punto finale risulta essere inferiore al punto iniziale, sarà negativo: ciò significa che non stiamo salendo, ma scendendo.

Torniamo a "ripidezza": questo è un valore che indica di quanto (ripidamente) aumenta l'altezza quando ci si sposta in avanti per unità di distanza:

Supponiamo che in qualche tratto del sentiero, avanzando di km, la strada salga di km. Quindi la pendenza in questo luogo è uguale. E se la strada, avanzando di m, sprofondasse di km? Allora la pendenza è uguale.

Consideriamo ora la cima di una collina. Se prendi l'inizio della sezione mezzo chilometro verso l'alto e la fine - mezzo chilometro dopo, puoi vedere che l'altezza è quasi la stessa.

Cioè, secondo la nostra logica, risulta che la pendenza qui è quasi uguale a zero, il che chiaramente non è vero. Molte cose possono cambiare a pochi chilometri di distanza. Aree più piccole devono essere considerate per una stima più adeguata e accurata della pendenza. Ad esempio, se misuri la variazione di altezza quando ti sposti di un metro, il risultato sarà molto più preciso. Ma anche questa precisione potrebbe non essere sufficiente per noi: dopotutto, se c'è un palo in mezzo alla strada, possiamo semplicemente attraversarlo. Quale distanza dovremmo scegliere allora? Centimetro? Millimetro? Meno è meglio!

Nella vita reale, misurare la distanza al millimetro più vicino è più che sufficiente. Ma i matematici cercano sempre la perfezione. Pertanto, il concetto era infinitesimale, cioè, il valore del modulo è minore di qualsiasi numero che possiamo nominare. Ad esempio, dici: un trilionesimo! Quanto meno? E dividi questo numero per - e sarà ancora meno. E così via. Se vogliamo scrivere che il valore è infinitamente piccolo, scriviamo così: (si legge “x tende a zero”). È molto importante capire che questo numero non è uguale a zero! Ma molto vicino ad esso. Ciò significa che può essere suddiviso in.

Il concetto opposto a infinitamente piccolo è infinitamente grande (). Probabilmente l'hai già incontrato quando stavi lavorando sulle disuguaglianze: questo numero è maggiore in modulo di qualsiasi numero tu possa pensare. Se trovi il numero più grande possibile, basta moltiplicarlo per due e ottieni ancora di più. E l'infinito è anche più di ciò che accade. Infatti, infinitamente grande e infinitamente piccolo sono l'uno inverso all'altro, cioè at, e viceversa: at.

Ora torniamo alla nostra strada. La pendenza idealmente calcolata è la pendenza calcolata per un segmento infinitamente piccolo del percorso, ovvero:

Noto che con uno spostamento infinitamente piccolo, anche il cambiamento di altezza sarà infinitamente piccolo. Ma lascia che ti ricordi che infinitamente piccolo non significa uguale a zero. Se dividi i numeri infinitesimi l'uno per l'altro, puoi ottenere un numero completamente ordinario, ad esempio. Cioè, un piccolo valore può essere esattamente il doppio di un altro.

Perché tutto questo? La strada, la pendenza... Non andiamo a una manifestazione, ma impariamo la matematica. E in matematica tutto è esattamente uguale, solo chiamato in modo diverso.

Il concetto di derivato

La derivata di una funzione è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento a un incremento infinitesimale dell'argomento.

Incremento in matematica si chiama cambiamento. Quanto è cambiato l'argomento () quando viene chiamato lo spostamento lungo l'asse incremento argomento e indicato da Quanto è cambiata la funzione (altezza) quando si sposta in avanti lungo l'asse di una distanza incremento della funzione ed è segnato.

Quindi, la derivata di una funzione è la relazione con quando. Indichiamo la derivata con la stessa lettera della funzione, solo con un tratto dall'alto a destra: o semplicemente. Quindi, scriviamo la formula derivata usando queste notazioni:

Come nell'analogia con la strada, qui, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva, e quando diminuisce, è negativa.

Ma la derivata è uguale a zero? Certamente. Ad esempio, se stiamo guidando su una strada orizzontale piana, la pendenza è zero. In effetti, l'altezza non cambia affatto. Quindi con la derivata: la derivata di una funzione costante (costante) è uguale a zero:

poiché l'incremento di tale funzione è zero per qualsiasi.

Prendiamo l'esempio della collina. Si è scoperto che era possibile disporre le estremità del segmento sui lati opposti del vertice in modo tale che l'altezza alle estremità fosse la stessa, cioè il segmento fosse parallelo all'asse:

Ma i segmenti di grandi dimensioni sono un segno di misurazione imprecisa. Alzeremo il nostro segmento parallelamente a se stesso, quindi la sua lunghezza diminuirà.

Alla fine, quando saremo infinitamente vicini alla sommità, la lunghezza del segmento diventerà infinitamente piccola. Ma allo stesso tempo è rimasto parallelo all'asse, cioè il dislivello alle sue estremità è uguale a zero (non tende, ma è uguale a). Quindi la derivata

Questo può essere inteso come segue: quando ci troviamo in cima, un piccolo spostamento a sinistra oa destra cambia la nostra altezza in modo trascurabile.

C'è anche una spiegazione puramente algebrica: a sinistra del top la funzione aumenta ea destra diminuisce. Come abbiamo già scoperto in precedenza, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva e quando diminuisce è negativa. Ma cambia dolcemente, senza salti (perché la strada non cambia bruscamente la sua pendenza da nessuna parte). Pertanto, ci deve essere tra valori negativi e positivi. Sarà dove la funzione non aumenta né diminuisce - nel punto del vertice.

Lo stesso vale per la valle (l'area in cui la funzione diminuisce a sinistra e aumenta a destra):

Un po 'di più sugli incrementi.

Quindi cambiamo l'argomento in un valore. Cambiamo da quale valore? Cosa è diventato lui (argomento) ora? Possiamo scegliere qualsiasi punto e ora balleremo da esso.

Considera un punto con una coordinata. Il valore della funzione in esso è uguale. Quindi facciamo lo stesso incremento: aumentiamo la coordinata di. Qual è l'argomento adesso? Molto facile: . Qual è ora il valore della funzione? Dove va l'argomento, la funzione va lì: . E l'incremento della funzione? Niente di nuovo: questo è ancora l'importo di cui è cambiata la funzione:

Esercitati a trovare gli incrementi:

Trova l'incremento della funzione in un punto con un incremento dell'argomento uguale a.
Lo stesso per una funzione in un punto.

Soluzioni:

In punti diversi, con lo stesso incremento dell'argomento, l'incremento della funzione sarà diverso. Ciò significa che la derivata in ogni punto ha la sua (ne abbiamo discusso all'inizio - la pendenza della strada in punti diversi è diversa). Pertanto, quando scriviamo una derivata, dobbiamo indicare in che punto:

Funzione di potenza.

Una funzione di potenza è chiamata funzione in cui l'argomento è in una certa misura (logico, giusto?).

E - in qualsiasi misura: .

Il caso più semplice è quando l'esponente è:

Troviamo la sua derivata in un punto. Ricorda la definizione di derivato:

Quindi l'argomento cambia da a. Qual è la funzione incremento?

L'incremento è. Ma la funzione in ogni punto è uguale al suo argomento. Ecco perché:

La derivata è:

La derivata di è:

b) Consideriamo ora la funzione quadratica (): .

Ora ricordiamolo. Ciò significa che il valore dell'incremento può essere trascurato, poiché è infinitamente piccolo e quindi insignificante sullo sfondo di un altro termine:

Quindi, abbiamo un'altra regola:

c) Continuiamo la serie logica: .

Questa espressione può essere semplificata in diversi modi: apri la prima parentesi usando la formula per la moltiplicazione abbreviata del cubo della somma, oppure scomponi l'intera espressione in fattori usando la formula per la differenza dei cubi. Prova a farlo da solo in uno dei modi suggeriti.

Quindi, ho ottenuto quanto segue:

E ricordiamocelo ancora. Ciò significa che possiamo trascurare tutti i termini che contengono:

Noi abbiamo: .

d) Regole analoghe si ottengono per le grandi potenze:

e) Risulta che questa regola può essere generalizzata per una funzione di potenza con un esponente arbitrario, nemmeno un numero intero:

(2)

Puoi formulare la regola con le parole: "il grado viene anticipato come coefficiente, quindi diminuisce di".

Dimostreremo questa regola più avanti (quasi alla fine). Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Trova la derivata delle funzioni:

(in due modi: con la formula e usando la definizione della derivata - contando l'incremento della funzione);

. Che tu ci creda o no, questa è una funzione di potere. Se hai domande come “Com'è? E dov'è la laurea? ”, Ricorda l'argomento“ ”!
Sì, sì, anche la radice è un grado, solo frazionario:.
Quindi la nostra radice quadrata è solo una potenza con un esponente:
.
Stiamo cercando la derivata usando la formula appresa di recente:
Se a questo punto diventa di nuovo poco chiaro, ripeti l'argomento "" !!! (circa un grado con indicatore negativo)
. Ora l'esponente:
E ora attraverso la definizione (hai già dimenticato?):
;
.
Ora, come al solito, trascuriamo il termine che contiene:
.
. Combinazione di casi precedenti: .

funzioni trigonometriche.

Qui useremo un fatto della matematica superiore:

Quando l'espressione.

Imparerai la prova al primo anno di istituto (e per arrivarci devi superare bene l'esame). Ora lo mostrerò solo graficamente:

Vediamo che quando la funzione non esiste, il punto sul grafico è perforato. Ma più vicino al valore, più vicina è la funzione: questo è il vero "sforzo".

Inoltre, puoi controllare questa regola con una calcolatrice. Sì, sì, non essere timido, prendi una calcolatrice, non siamo ancora all'esame.

Dunque proviamo: ;

Non dimenticare di impostare la calcolatrice in modalità Radianti!

eccetera. Vediamo che più piccolo è, più vicino è il valore del rapporto a.

a) Consideriamo una funzione. Come al solito, troviamo il suo incremento:

Trasformiamo la differenza dei seni in un prodotto. Per fare ciò, usiamo la formula (ricorda l'argomento ""):.

Ora la derivata:

Facciamo una sostituzione: . Allora, per infinitamente piccolo, è anche infinitamente piccolo: . L'espressione per assume la forma:

E ora lo ricordiamo con l'espressione. E inoltre, cosa succede se un valore infinitamente piccolo può essere trascurato nella somma (cioè at).

Quindi otteniamo la seguente regola: la derivata del seno è uguale al coseno:

Questi sono derivati di base ("tabella"). Eccoli in un elenco:

Successivamente ne aggiungeremo altri, ma questi sono i più importanti, poiché vengono utilizzati più spesso.

Pratica:

Trova la derivata di una funzione in un punto;
Trova la derivata della funzione.

Soluzioni:

Innanzitutto, troviamo la derivata in una forma generale, quindi sostituiamo invece il suo valore:
;
.
Qui abbiamo qualcosa di simile a una funzione di potenza. Proviamo a riportarla a
vista normale:
.
Ok, ora puoi usare la formula:
.
.
. Eeeeeee….. Cos'è????

Ok, hai ragione, non sappiamo ancora come trovare tali derivati. Qui abbiamo una combinazione di diversi tipi di funzioni. Per lavorare con loro, devi imparare alcune altre regole:

Esponente e logaritmo naturale.

Esiste una tale funzione in matematica, la cui derivata per qualsiasi è uguale al valore della funzione stessa per lo stesso. Si chiama "esponente", ed è una funzione esponenziale

La base di questa funzione - una costante - è una frazione decimale infinita, cioè un numero irrazionale (come). Si chiama "numero di Eulero", motivo per cui è indicato da una lettera.

Quindi la regola è:

È molto facile da ricordare.

Ebbene, non andremo lontano, considereremo subito la funzione inversa. Qual è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è un numero:

Tale logaritmo (cioè un logaritmo con una base) è chiamato "naturale" e per esso usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

Trova la derivata della funzione.
Qual è la derivata della funzione?

Risposte: L'esponente e il logaritmo naturale sono funzioni che sono unicamente semplici in termini di derivata. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo in seguito, dopo aver esaminato le regole di derivazione.

Regole di differenziazione

Quali regole? Un altro nuovo termine, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

Solo e tutto. Qual è un'altra parola per questo processo? Non proizvodnovanie... Il differenziale della matematica è chiamato l'incremento stesso della funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia - differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, useremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente, questa regola funziona anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia, o più facile.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

al punto;
al punto;
al punto;
al punto.

Soluzioni:

(la derivata è la stessa in tutti i punti, dato che è una funzione lineare, ricordi?);

Derivata di un prodotto

Tutto è simile qui: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

Trova derivate di funzioni e;
Trova la derivata di una funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata della funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo l'esponente (hai già dimenticato cos'è?).

Allora, dov'è un numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a portare la nostra funzione su una nuova base:

Per fare questo, usiamo una semplice regola: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Qui, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata dell'esponente: com'era, rimane, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, nella risposta è lasciato in questa forma.

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un arbitrario dal logaritmo con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo portare questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero ti ricordi questa formula:

Solo ora invece di scriveremo:

Il denominatore si è rivelato essere solo una costante (un numero costante, senza una variabile). La derivata è molto semplice:

Le derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'esame, ma non sarà superfluo conoscerle.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e non un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se se il logaritmo ti sembra difficile, leggi l'argomento "Logaritmi" e tutto funzionerà), ma in termini di matematica, la parola "complesso" non significa "difficile".

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e compiono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Si scopre un oggetto così composito: una barretta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi fare i passaggi opposti in ordine inverso.

Creiamo una pipeline matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi quadratiamo il numero risultante. Quindi, ci danno un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi fai il quadrato di quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, facciamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi un'altra seconda azione con quello che è successo come risultato della prima.

Potremmo benissimo fare le stesse azioni in ordine inverso: prima elevi il quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante:. È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando l'ordine delle azioni cambia, la funzione cambia.

In altre parole, Una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il primo esempio, .

Secondo esempio: (uguale). .

L'ultima azione che faremo sarà chiamata funzione "esterna". e l'azione eseguita per prima, rispettivamente funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale è interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, nella funzione

Quale azione intraprenderemo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo allora lo eleviamo a un cubo. Quindi è una funzione interna, non esterna.
E la funzione originaria è la loro composizione: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .

cambiamo variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estrarremo il nostro cioccolato - cerca il derivato. La procedura è sempre inversa: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. Per l'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Tutto sembra essere semplice, giusto?

Verifichiamo con esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(ma non provare a ridurre ormai! Nulla viene tolto da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che qui esiste una funzione complessa a tre livelli: dopotutto, questa è già una funzione complessa in sé, e ne estraiamo ancora la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettiamo il cioccolato in un involucro e con un nastro in una valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: comunque, "scompacchettamo" questa funzione nello stesso ordine del solito: dalla fine.

Cioè, prima distinguiamo la radice, poi il coseno e solo allora l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo tutto.

In tali casi, è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata a un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più "esterna" sarà la funzione corrispondente. La sequenza di azioni - come prima:

Qui l'annidamento è generalmente a 4 livelli. Determiniamo il corso dell'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme: