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Il paradosso di Monty Hall. La matematica più imprecisa di sempre

La cui decisione, a prima vista, è contraria al buon senso.

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Il problema è formulato come descrizione di un gioco basato sul gioco televisivo americano "Let's Make a Deal", e prende il nome dall'ospite di questo programma. La formulazione più comune di questo problema, pubblicata nel 1990 sulla rivista Rivista di sfilate, suona così:

Immagina di essere diventato un partecipante a un gioco in cui devi scegliere una delle tre porte. Dietro una delle porte c'è un'auto, dietro le altre due ci sono delle capre. Scegli una delle porte, ad esempio la numero 1, dopodiché il presentatore, che sa dov'è l'auto e dove sono le capre, apre una delle restanti porte, ad esempio la numero 3, dietro la quale c'è una capra. Dopodiché, ti chiede: vorresti cambiare la tua scelta e scegliere la porta numero 2? Le tue possibilità di vincere un'auto aumenteranno se accetti l'offerta dell'host e cambi la tua scelta?

Dopo la pubblicazione, è apparso subito chiaro che il problema era stato formulato in modo errato: non tutte le condizioni erano state stabilite. Ad esempio, il facilitatore può seguire la strategia del "Monty infernale": offrire di cambiare la scelta se e solo se il giocatore ha scelto un'auto alla prima mossa. Ovviamente, cambiare la scelta iniziale porterà a una perdita garantita in tale situazione (vedi sotto).

Il più popolare è il problema con una condizione aggiuntiva: il partecipante al gioco conosce in anticipo le seguenti regole:

è ugualmente probabile che l'auto sia posizionata dietro una delle tre porte;
in ogni caso l'ospite è obbligato ad aprire la porta con la capra (ma non quella che ha scelto il giocatore) e proporre al giocatore di cambiare la scelta;
se il leader può scegliere quale delle due porte aprire, sceglie una delle due con la stessa probabilità.

Il testo seguente discute il problema di Monty Hall in questa formulazione.

Analisi

Per la strategia vincente è importante quanto segue: se cambi la scelta della porta dopo le azioni del leader, allora vinci se inizialmente hai scelto la porta perdente. È probabile che accada 2 ⁄ 3 , poiché inizialmente puoi scegliere una porta perdente in 2 modi su 3.

Ma spesso, quando risolvono questo problema, discutono qualcosa del genere: il presentatore alla fine rimuove sempre una porta perdente, e quindi le probabilità che un'auto appaia dietro due non aperte diventano ½, indipendentemente dalla scelta iniziale. Ma questo non è vero: sebbene ci siano davvero due possibilità di scelta, queste possibilità (tenendo conto del background) non sono ugualmente probabili! Questo è vero perché inizialmente tutte le porte avevano la stessa possibilità di vincere, ma poi avevano probabilità diverse di essere eliminate.

Per la maggior parte delle persone, questa conclusione contraddice la percezione intuitiva della situazione e, a causa della conseguente discrepanza tra la conclusione logica e la risposta a cui inclina l'opinione intuitiva, il compito è chiamato Il paradosso di Monty Hall.

La situazione con le porte diventa ancora più ovvia se immaginiamo che non ci siano 3 porte, ma, diciamo, 1000, e dopo la scelta del giocatore, il presentatore ne rimuove 998 in più, lasciando 2 porte: quella che il giocatore ha scelto e ancora uno. Appare più ovvio che le probabilità di trovare un premio dietro queste porte siano diverse, e non pari a ½. Se cambiamo la porta, perdiamo solo se scegliamo prima la porta del premio, la cui probabilità è 1:1000. Vinciamo se la nostra scelta iniziale era Non corretto, e la probabilità di ciò è 999 su 1000. Nel caso di 3 porte, la logica viene preservata, ma la probabilità di vincere quando si cambia la decisione è corrispondentemente inferiore, vale a dire 2 ⁄ 3 .

Un altro modo di ragionare è sostituire la condizione con una equivalente. Immaginiamo che invece che il giocatore faccia la scelta iniziale (sia sempre la porta n.1) e poi apra la porta con la capra tra le rimanenti (cioè sempre tra la n.2 e la n.3), immaginiamo che il giocatore deve indovinare la porta al primo tentativo, ma viene preventivamente informato che può esserci un'auto dietro la porta n. 1 con una probabilità iniziale (33%), e tra le restanti porte viene indicato per quale delle porte la l'auto sicuramente non è dietro (0%). Di conseguenza, l'ultima porta rappresenterà sempre il 67% ed è preferibile la strategia di sceglierla.

Altro comportamento del leader

La versione classica del paradosso di Monty Hall afferma che l'host chiederà al giocatore di cambiare la porta, indipendentemente dal fatto che abbia scelto l'auto o meno. Ma è anche possibile un comportamento più complesso dell'host. Questa tabella descrive brevemente diversi comportamenti.

Possibile comportamento del leader
Comportamento dell'ospite	Risultato
"Infernal Monty": L'host si offre di cambiare se la porta è corretta.	Il cambiamento darà sempre una capra.
"Angelic Monty": L'ospite si offre di cambiarsi se la porta è sbagliata.	Il cambiamento darà sempre una macchina.
"Ignorant Monty" o "Monty Buch": il presentatore cade inavvertitamente, la porta si apre e si scopre che dietro non c'è un'auto. In altre parole, l'ospite stesso non sa cosa c'è dietro le porte, apre la porta in modo del tutto casuale e solo per caso non c'era nessuna macchina dietro.	Un cambio dà una vittoria in ½ dei casi. È così che è organizzato lo spettacolo americano "Deal or No Deal", tuttavia, il giocatore stesso apre una porta a caso e, se dietro non c'è un'auto, il presentatore si offre di cambiarla.
L'host sceglie una delle capre e la apre se il giocatore ha scelto una porta diversa.	Un cambio dà una vittoria in ½ dei casi.
L'ospite apre sempre la capra. Se viene selezionata un'auto, la capra sinistra viene aperta con probabilità P e giusto con probabilità Q=1−P.	Se il leader ha aperto la porta di sinistra, lo spostamento dà una vittoria con probabilità 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Se il diritto 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Tuttavia, il soggetto non può influenzare la probabilità che venga aperta la porta giusta - indipendentemente dalla sua scelta, ciò avverrà con probabilità 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Lo stesso, P=Q= ½ (caso classico).	Un cambiamento dà una vittoria con una probabilità 2 ⁄ 3 .
Lo stesso, P=1, Q=0 ("Monty impotente" - il presentatore stanco si trova alla porta di sinistra e apre la capra più vicina).	Se il presentatore ha aperto la porta giusta, il cambio dà una vittoria garantita. Se lasciato - probabilità ½.
L'host apre sempre la capra se viene scelta un'auto e con probabilità ½ in caso contrario.	Il cambio dà una vittoria con una probabilità di ½.
Caso generale: il gioco si ripete molte volte, la probabilità di nascondere l'auto dietro l'una o l'altra porta, così come l'apertura di questa o quella porta è arbitraria, ma l'ospite sa dov'è l'auto e offre sempre un cambio aprendo una delle le capre.	Equilibrio di Nash: è il paradosso di Monty Hall nella sua forma classica che è più vantaggioso per l'ospite (la probabilità di vincere 2 ⁄ 3 ). L'auto si nasconde dietro una delle porte con probabilità ⅓; se c'è una scelta, apri una capra a caso.
Lo stesso, ma l'host potrebbe non aprire affatto la porta.	Equilibrio di Nash: è vantaggioso per l'ospite non aprire la porta, la probabilità di vincita è ⅓.

Guarda anche

Appunti

Tierney, John (21 luglio 1991), "Behind Monty Hall"s Doors: Puzzle, Dibattito e Risposta? ", Il New York Times, . Estratto il 18 gennaio 2008.

Nel dicembre 1963, il canale televisivo americano NBC mandò in onda per la prima volta il programma Let's Make a Deal ("Facciamo un patto!"), In cui i partecipanti, selezionati dal pubblico in studio, contrattavano tra loro e con il conduttore, suonavano piccoli giochi o semplicemente indovinato la risposta alla domanda. Al termine della trasmissione, i partecipanti hanno potuto giocare “l'affare del giorno”. Davanti a loro c'erano tre porte, di cui si sapeva che dietro una di esse c'era il Gran Premio (ad esempio un'auto), e dietro le altre due c'erano doni meno preziosi o completamente assurdi (ad esempio capre vive) . Dopo che il giocatore ha fatto la sua scelta, Monty Hall, l'ospite del programma, ha aperto una delle due porte rimanenti, mostrando che dietro non c'era nessun Premio e lasciando che il partecipante fosse felice di avere la possibilità di vincere.

Nel 1975, lo scienziato dell'UCLA Steve Selvin chiese cosa sarebbe successo se, in quel momento, dopo aver aperto la porta senza Premio, al partecipante fosse stato chiesto di cambiare la propria scelta. Le possibilità del giocatore di ottenere il Premio cambieranno in questo caso e, in tal caso, in quale direzione? Ha inviato la domanda corrispondente sotto forma di problema a The American Statistician ("American Statistician"), nonché allo stesso Monty Hall, che ha dato una risposta piuttosto curiosa. Nonostante questa risposta (o forse proprio per questo), il problema divenne popolare con il nome di "problema di Monty Hall".

La formulazione più comune di questo problema, pubblicata nel 1990 su Parade Magazine, è la seguente:

“Immagina di essere diventato un partecipante a un gioco in cui devi scegliere una delle tre porte. Dietro una delle porte c'è un'auto, dietro le altre due ci sono delle capre. Scegli una delle porte, ad esempio la numero 1, dopodiché il presentatore, che sa dov'è l'auto e dove sono le capre, apre una delle restanti porte, ad esempio la numero 3, dietro la quale c'è una capra. Dopodiché, ti chiede se desideri cambiare la tua scelta e scegliere la porta numero 2. Le tue possibilità di vincere l'auto aumenteranno se accetti l'offerta del padrone di casa e cambi la tua scelta?

Il più popolare è il problema con una condizione aggiuntiva: il partecipante al gioco conosce in anticipo le seguenti regole:

è ugualmente probabile che l'auto sia posizionata dietro una delle 3 porte;
in ogni caso l'ospite è obbligato ad aprire la porta con la capra (ma non quella che ha scelto il giocatore) e proporre al giocatore di cambiare la scelta;
se il leader può scegliere quale delle due porte aprire, sceglie una delle due con la stessa probabilità.

Traccia

Prova a considerare persone che hanno scelto porte diverse nello stesso caso (ovvero quando il Premio è, ad esempio, dietro la porta numero 1). Chi trarrà vantaggio dal cambiare la propria scelta e chi no?

Soluzione

Come suggerito nel tooltip, considera le persone che hanno fatto scelte diverse. Supponiamo che il Premio sia dietro la porta n. 1 e dietro le porte n. 2 e n. 3 ci siano delle capre. Supponiamo di avere sei persone e ogni porta è stata scelta da due persone, e da ciascuna coppia una ha successivamente cambiato la decisione e l'altra no.

Da notare che l'Host che sceglie la porta n° 1 aprirà una delle due porte a suo piacimento, mentre, indipendentemente da ciò, la Macchina verrà ricevuta da colui che non cambia la sua scelta, ma da colui che ha cambiato la sua scelta iniziale rimarranno senza il Premio. Ora diamo un'occhiata a coloro che hanno scelto le porte 2 e 3. Poiché c'è un'Automobile dietro la porta n. 1, l'Ospite non può aprirla, il che non gli lascia scelta: apre rispettivamente le porte n. 3 e n. 2 per loro. Allo stesso tempo, colui che ha cambiato la decisione in ciascuna coppia sceglierà di conseguenza il Premio, e colui che non ha cambiato non rimarrà senza nulla. Così, su tre persone che cambieranno idea, due riceveranno il Premio e una la capra, mentre delle tre che hanno lasciato invariata la scelta originaria, solo una riceverà il Premio.

Va notato che se l'auto fosse dietro la porta n. 2 o n. 3, il risultato sarebbe lo stesso, cambierebbero solo i vincitori specifici. Quindi, supponendo che inizialmente ogni porta sia scelta con uguale probabilità, otteniamo che chi cambia scelta vince il Premio due volte più spesso, cioè la probabilità di vincita in questo caso è maggiore.

Diamo un'occhiata a questo problema dal punto di vista della teoria matematica della probabilità. Supponiamo che la probabilità della scelta iniziale di ciascuna delle porte sia la stessa, così come la probabilità di trovarsi dietro ciascuna delle porte dell'Automobile. Inoltre, è utile fare una prenotazione che il Leader, quando può aprire due porte, scelga ciascuna di esse con uguale probabilità. Poi si scopre che dopo la prima decisione, la probabilità che il Premio si trovi dietro la porta scelta è 1/3, mentre la probabilità che si trovi dietro una delle altre due porte è 2/3. Allo stesso tempo, dopo che l'Host ha aperto una delle due porte "non selezionate", l'intera probabilità di 2/3 ricade solo su una delle porte rimanenti, creando così le basi per cambiare la decisione, che aumenterà la probabilità di vincita di 2 volte. Il che, ovviamente, non lo garantisce in alcun modo in un caso specifico, ma porterà a risultati più positivi in caso di ripetizione ripetuta dell'esperimento.

Epilogo

Il problema di Monty Hall non è la prima formulazione conosciuta di questo problema. In particolare, nel 1959, Martin Gardner pubblicò su Scientific American un problema simile “circa tre prigionieri” (problema dei tre prigionieri) con la seguente formulazione: “Su tre prigionieri, uno dovrebbe essere graziato e due dovrebbero essere giustiziati. Il prigioniero A convince la guardia a dirgli il nome di uno degli altri due che sarà giustiziato (o se entrambi vengono giustiziati), dopodiché, ricevuto il nome B, ritiene che la probabilità della propria salvezza sia diventata non 1/3, ma 1/2. Allo stesso tempo, il prigioniero C afferma che la probabilità della sua fuga è diventata 2/3, mentre per A non è cambiato nulla. Qual è quello giusto?"

Tuttavia, Gardner non fu il primo, poiché nel lontano 1889, nel suo Calculus of Probabilities, il matematico francese Joseph Bertrand (da non confondere con l'inglese Bertrand Russell!) Offre un problema simile (vedi il paradosso della scatola di Bertrand): “Ci sono tre scatole, ognuna delle quali contiene due monete: due d'oro nella prima, due monete d'argento nella seconda, e due diverse nella terza.Da una scatola scelta a caso, è stata estratta a caso una moneta, che girava essere d'oro Qual è la probabilità che la moneta rimanente nella scatola sia d'oro?

Se comprendi le soluzioni a tutti e tre i problemi, è facile notare la somiglianza delle loro idee; matematicamente, tutti sono accomunati dal concetto di probabilità condizionata, cioè la probabilità dell'evento A, se si sa che l'evento B si è verificato. L'esempio più semplice: la probabilità che un'unità cada su un normale dado è 1/6; tuttavia, se si sa che il numero ottenuto è dispari, allora la probabilità che sia uno è già 1/3. Il problema di Monty Hall, come gli altri due problemi citati, mostra che le probabilità condizionate devono essere maneggiate con cura.

Questi problemi sono spesso chiamati anche paradossi: il paradosso di Monty Hall, il paradosso della scatola di Bertrand (quest'ultimo da non confondere con il vero paradosso di Bertrand riportato nello stesso libro, che provava l'ambiguità del concetto di probabilità allora esistente) - che implica qualche contraddizione (ad esempio, in "paradosso del bugiardo" la frase "questa affermazione è falsa" contraddice la legge del terzo escluso). In questo caso, tuttavia, non c'è contraddizione con affermazioni rigorose. Ma c'è una netta contraddizione con l'"opinione pubblica" o semplicemente con la "ovvia soluzione" del problema. In effetti, la maggior parte delle persone, esaminando il problema, ritiene che dopo aver aperto una delle porte, la probabilità di trovare il Premio dietro una delle due rimanenti chiuse sia 1/2. In tal modo, affermano che non fa differenza se sono d'accordo o in disaccordo nel cambiare idea. Inoltre, molte persone trovano difficile comprendere una risposta diversa da questa, anche dopo aver ricevuto la soluzione dettagliata.

La risposta di Monty Hall a Steve Selwyn

Signor Steve Selvin,
assistente professore di biostatistica,
Università della California, Berkeley.

Caro Steve,

Grazie per avermi inviato il problema da American Statistical.

Anche se non ho studiato statistica all'università, so che i numeri possono sempre essere usati a mio vantaggio se volessi manipolarli. Il tuo ragionamento non tiene conto di una circostanza essenziale: dopo che la prima casella è vuota, il partecipante non può più cambiare la sua scelta. Quindi le probabilità rimangono le stesse: una su tre, giusto? E, naturalmente, dopo che una delle scatole è vuota, le possibilità non diventano 50/50, ma rimangono le stesse: una su tre. Al partecipante sembra solo che liberandosi di una scatola abbia più possibilità. Affatto. Due a uno contro di lui, com'era, e resta. E se vieni improvvisamente alla mia mostra, per te le regole rimarranno le stesse: niente cambio box dopo la selezione.

Immagina che un certo banchiere ti offra di scegliere una delle tre scatole chiuse. In uno di loro 50 centesimi, nell'altro - un dollaro, nel terzo - 10 mila dollari. Qualunque cosa tu scelga, la otterrai come premio.

Scegli a caso, diciamo la casella numero 1. E poi il banchiere (che, ovviamente, sa dov'è tutto) proprio davanti ai tuoi occhi apre una scatola con un dollaro (diciamo che questo è il n. 2), dopodiché ti offre di cambiare la casella n. 1 alla casella n. 3.

Dovresti cambiare idea? Questo aumenterà le tue possibilità di ottenere 10 mila?

Questo è il paradosso di Monty Hall, un problema di teoria della probabilità, la cui soluzione, a prima vista, contraddice il buon senso. Le persone si grattano la testa su questo problema dal 1975.

Il paradosso prende il nome dall'ospite del popolare programma televisivo americano Let's Make a Deal. Questo programma televisivo aveva regole simili, solo i partecipanti sceglievano le porte, due delle quali nascondevano capre e la terza era una Cadillac.

La maggior parte dei giocatori ragionava che dopo che c'erano due porte chiuse e dietro una di esse c'era una Cadillac, allora le possibilità di ottenerla erano del 50 a 50. Ovviamente, quando il conduttore apre una porta e ti invita a cambiare idea, lui inizia un nuovo gioco. Che tu cambi idea o meno, le tue possibilità saranno comunque del 50 percento. Così giusto?

Si scopre che non è così. Infatti, cambiando idea, raddoppi le possibilità di successo. Perché?

La spiegazione più semplice per questa risposta è la seguente considerazione. Per vincere un'auto senza cambiare la scelta, il giocatore deve immediatamente indovinare la porta dietro la quale si trova l'auto. La probabilità di questo è 1/3. Se il giocatore inizialmente colpisce la porta con una capra dietro di essa (e la probabilità di questo evento è 2/3, poiché ci sono due capre e solo una macchina), allora può sicuramente vincere la macchina cambiando idea, poiché la macchina e una capra rimane, e l'oste ha già aperto la porta con la capra.

Pertanto, senza cambiare la scelta, il giocatore rimane con la sua probabilità iniziale di vincere 1/3, e quando cambia la scelta iniziale, il giocatore trasforma a suo vantaggio il doppio della probabilità rimanente che non ha indovinato correttamente all'inizio.

Inoltre, è possibile ottenere una spiegazione intuitiva scambiando i due eventi. Il primo evento è la decisione del giocatore di cambiare la porta, il secondo è l'apertura di una porta in più. Questo è accettabile, dal momento che l'apertura di una porta in più non fornisce al giocatore alcuna nuova informazione (vedi questo articolo per la prova). Allora il problema può essere ridotto alla seguente formulazione. Al primo momento, il giocatore divide le porte in due gruppi: nel primo gruppo c'è una porta (quella che ha scelto), nel secondo gruppo ci sono due porte rimanenti. Al momento successivo, il giocatore fa una scelta tra i gruppi. È ovvio che per il primo gruppo la probabilità di vincita è 1/3, per il secondo gruppo 2/3. Il giocatore sceglie il secondo gruppo. Nel secondo gruppo può aprire entrambe le porte. Uno viene aperto dall'host e il secondo dal giocatore stesso.

Proviamo a dare la spiegazione "più comprensibile". Riformulare il problema: un host onesto annuncia al giocatore che c'è un'auto dietro una delle tre porte, e suggerisce di indicare prima una delle porte, quindi scegliere una delle due azioni: aprire la porta indicata (nel vecchia formulazione, questa si chiama “non cambiare la tua scelta”) o apri le altre due (nella vecchia dicitura, questo sarebbe solo “cambia la scelta”. Pensaci, questa è la chiave di lettura!). È chiaro che il giocatore sceglierà la seconda delle due azioni, poiché la probabilità di ottenere un'auto in questo caso è doppia. E la piccola cosa che l'ospite anche prima di scegliere l'azione “ha mostrato una capra” non aiuta e non interferisce con la scelta, perché dietro una delle due porte c'è sempre una capra e l'ospite la mostrerà sicuramente in qualsiasi momento durante il gioco, quindi il giocatore può su questa capra e non guardare. Il compito del giocatore, se ha scelto la seconda azione, è dire "grazie" al conduttore per avergli risparmiato la fatica di aprire lui stesso una delle due porte e aprire l'altra. Bene, o anche più facile. Immaginiamo questa situazione dal punto di vista dell'host, che sta facendo una procedura simile con decine di giocatori. Siccome sa perfettamente cosa c'è dietro le porte, allora, in media, in due casi su tre, vede in anticipo che il giocatore ha scelto la porta “sbagliata”. Per lui, quindi, non c'è assolutamente paradosso che la strategia corretta sia cambiare la scelta dopo aver aperto la prima porta: del resto, negli stessi due casi su tre, il giocatore lascerà lo studio con una macchina nuova.

Infine, la prova più "ingenua". Colui che sostiene la sua scelta sia chiamato "testardo", e colui che segue le istruzioni del leader, sia chiamato "attento". Quindi vince l'ostinato se inizialmente ha indovinato l'auto (1/3) e l'attento - se prima ha mancato e ha colpito la capra (2/3). Dopotutto, solo in questo caso indicherà la porta con l'auto.

Monty Hall, produttore e conduttore dello spettacolo Facciamo un patto dal 1963 al 1991.

Nel 1990, questo problema e la sua soluzione furono pubblicati sulla rivista americana Parade. La pubblicazione ha provocato una raffica di recensioni indignate da parte dei lettori, molti dei quali avevano titoli scientifici.

La lamentela principale era che non tutte le condizioni del problema erano state specificate e qualsiasi sfumatura poteva influenzare il risultato. Ad esempio, l'host potrebbe offrire di cambiare la decisione solo se il giocatore ha scelto un'auto alla prima mossa. Ovviamente, cambiare la scelta iniziale in una situazione del genere porterà a una perdita garantita.

Tuttavia, nell'intera esistenza dello show televisivo di Monty Hall, le persone che hanno cambiato idea hanno vinto il doppio delle volte:

Su 30 giocatori che hanno cambiato idea, Cadillac ne ha vinti 18, ovvero il 60%

Dei 30 giocatori rimasti con la loro scelta, Cadillac ne ha vinti 11, ovvero circa il 36%

Quindi il ragionamento fornito nella decisione, per quanto illogico possa sembrare, è confermato dalla pratica.

Aumento del numero di porte

Per facilitare la comprensione dell'essenza di ciò che sta accadendo, possiamo considerare il caso in cui il giocatore non vede tre porte davanti a sé, ma, ad esempio, cento. Allo stesso tempo, c'è un'auto dietro una delle porte e capre dietro l'altra 99. Il giocatore sceglie una delle porte, mentre nel 99% dei casi sceglierà la porta con una capra, e le possibilità di scegliere subito la porta con un'auto sono molto ridotte - sono dell'1%. Successivamente, l'host apre 98 porte con le capre e chiede al giocatore di scegliere la porta rimanente. In questo caso, nel 99% dei casi, l'auto si troverà dietro questa porta rimanente, poiché le possibilità che il giocatore scelga immediatamente la porta corretta sono molto ridotte. È chiaro che in questa situazione un giocatore che pensa razionalmente dovrebbe sempre accettare la proposta del leader.

Quando si considera un numero maggiore di porte, spesso sorge la domanda: se nel problema originale il leader apre una porta su tre (ovvero 1/3 del numero totale di porte), allora perché dovremmo presumere che nel caso di 100 porte il leader aprirà 98 porte con le capre, e non 33? Questa considerazione è di solito una delle ragioni significative per cui il paradosso di Monty Hall entra in conflitto con la percezione intuitiva della situazione. Sarebbe corretto ipotizzare l'apertura di 98 porte, perché la condizione essenziale del problema è che ci sia una sola alternativa di scelta per il giocatore, che viene offerta dal conduttore. Pertanto, affinché i compiti siano simili, nel caso di 4 porte, il leader deve aprire 2 porte, nel caso di 5 porte - 3 e così via, in modo che ci sia sempre una porta non aperta diversa da quella che il giocatore ha inizialmente scelto. Se il facilitatore apre meno porte, il compito non sarà più simile al compito originale di Monty Hall.

Va notato che nel caso di molte porte, anche se l'host non lascia una porta chiusa, ma diverse, e offre al giocatore di sceglierne una, quando si cambia la scelta iniziale, le possibilità del giocatore di vincere l'auto diminuiranno continuano ad aumentare, anche se non in modo così significativo. Ad esempio, si consideri una situazione in cui un giocatore sceglie una porta tra cento, e poi il facilitatore apre solo una delle porte rimanenti, invitando il giocatore a cambiare la sua scelta. Allo stesso tempo, le possibilità che l'auto si trovi dietro la porta originariamente scelta dal giocatore rimangono le stesse - 1/100, e per le porte rimanenti le possibilità cambiano: la probabilità totale che l'auto si trovi dietro una delle porte rimanenti ( 99/100) è ora distribuito non su 99 porte, ma su 98. Pertanto, la probabilità di trovare un'auto dietro ciascuna di queste porte non sarà 1/100, ma 99/9800. L'aumento della probabilità sarà di circa l'1%.

Possibile albero decisionale del giocatore e dell'ospite che mostra la probabilità di ogni risultato Più formalmente, uno scenario di gioco può essere descritto utilizzando un albero decisionale. Nei primi due casi, quando il giocatore ha scelto per la prima volta la porta dietro la quale si trova la capra, cambiare la scelta si traduce in una vittoria. Negli ultimi due casi, quando il giocatore ha scelto per la prima volta la porta con l'auto, cambiare la scelta si traduce in una perdita.

Se ancora non capisci, sputa sulle formule e bastacontrolla tutto statisticamente. Altra possibile spiegazione:

Un giocatore la cui strategia sarebbe quella di cambiare ogni volta la porta selezionata perderebbe solo se inizialmente sceglie la porta dietro la quale si trova l'auto.
Poiché la possibilità di scegliere un'auto al primo tentativo è di una su tre (o 33%), anche la possibilità di non scegliere un'auto se il giocatore cambia scelta è di una su tre (o 33%).
Ciò significa che il giocatore che ha utilizzato la strategia per cambiare porta vincerà con una probabilità del 66% o due a tre.
Questo raddoppierà le possibilità di vincere un giocatore la cui strategia non è quella di cambiare la propria scelta ogni volta.

Ancora non credi? Supponiamo che tu scelga la porta n. 1. Ecco tutte le possibili opzioni per ciò che può accadere in questo caso.

L'ho incontrata chiamata Monty Hall Paradox e wow risolto in modo diverso, vale a dire: ha dimostrato che si tratta di uno pseudo-paradosso.

Amici, sarò felice di ascoltare le critiche alla mia confutazione di questo paradosso (pseudo-paradosso, se ho ragione). E poi vedrò con i miei occhi che la mia logica è zoppa, smetterò di pensare a me stesso come un pensatore e penserò a cambiare il tipo di attività in una più lirica: o). Quindi, ecco il contenuto dell'attività. Di seguito sono riportate la soluzione proposta e la mia confutazione.

Immagina di essere diventato un partecipante a un gioco in cui ti trovi davanti a tre porte. Il padrone di casa, noto per essere onesto, ha messo un'auto dietro una delle porte e una capra dietro le altre due porte. Non hai informazioni su cosa c'è dietro quale porta.

Il facilitatore ti dice: “Prima devi scegliere una delle porte. Dopodiché, aprirò una delle porte rimanenti, dietro la quale c'è una capra. Quindi ti suggerirò di cambiare la tua scelta originale e scegliere la porta chiusa rimanente invece di quella che hai scelto all'inizio. Puoi seguire il mio consiglio e scegliere un'altra porta, oppure puoi confermare la tua scelta originale. Dopodiché, aprirò la porta che hai scelto e vincerai ciò che c'è dietro quella porta."

Scegli la porta numero 3. Il facilitatore apre la porta numero 1 e mostra che dietro c'è una capra. L'host ti chiede quindi di scegliere la porta numero 2.

Le tue possibilità di vincere un'auto aumenteranno se seguirai i suoi consigli?
Il paradosso di Monty Hall è uno dei ben noti problemi della teoria della probabilità, la cui soluzione, a prima vista, contraddice il buon senso.
Quando risolvono questo problema, di solito ragionano in questo modo: dopo che l'ospite ha aperto la porta dietro la quale si trova la capra, l'auto può essere solo dietro una delle due porte rimanenti. Poiché il giocatore non può ottenere alcuna informazione aggiuntiva su quale porta si trova dietro l'auto, la probabilità di trovare un'auto dietro ciascuna delle porte è la stessa e cambiare la scelta iniziale della porta non dà alcun vantaggio al giocatore. Tuttavia, questa linea di ragionamento non è corretta.
Se l'host sa sempre quale porta c'è dietro, apre sempre la porta rimanente che contiene la capra e chiede sempre al giocatore di cambiare la sua scelta, allora la probabilità che l'auto sia dietro la porta scelta dal giocatore è 1/3, e , di conseguenza, la probabilità che l'auto sia dietro la porta rimanente è 2/3. Pertanto, la modifica della scelta iniziale raddoppia le possibilità del giocatore di vincere l'auto. Questa conclusione contraddice la percezione intuitiva della situazione da parte della maggior parte delle persone, motivo per cui il problema descritto è chiamato il paradosso di Monty Hall.

Mi sembra che le possibilità non cambieranno; non c'è paradosso.

Ed ecco perché: le scelte di prima e seconda porta sono indipendente eventi. È come lanciare una moneta 2 volte: quello che cade la seconda volta non dipende in alcun modo da quello che cade la prima.

Quindi ecco: dopo aver aperto la porta con una capra, il giocatore si ritrova dentro nuova situazione quando ha 2 porte e la probabilità di scegliere un'auto o una capra è 1/2.

Ancora una volta: dopo aver aperto una portiera su tre, la probabilità che l'auto sia dietro l'ultima portiera, non uguale a 2/3, Perché 2/3 è la probabilità che l'auto si trovi dietro 2 porte qualsiasi. Non è corretto attribuire questa probabilità a una porta non aperta ea una aperta. Prima l'apertura delle porte era un tale allineamento di probabilità, ma Dopo aprendo una porta, tutte queste probabilità diventano nulla, perché la situazione è cambiata e quindi è necessario un nuovo calcolo delle probabilità, che la gente comune esegue correttamente, rispondendo che nulla cambierà da un cambio di scelta.

Addendum: 1) motivazione che:

a) la probabilità di trovare un'auto dietro la porta prescelta è 1/3,

b) la probabilità che l'auto sia dietro altre due porte non selezionate, 2/3,

c) perché l'ospite ha aperto la porta con la capra, quindi la probabilità di 2/3 va interamente a una porta non selezionata (e non aperta),

e quindi è necessario cambiare la scelta in un'altra porta, in modo che la probabilità da 1/3 diventi 2/3, non vero, ma falso, vale a dire: nel paragrafo "c", perché inizialmente la probabilità 2/3 riguarda due porte qualsiasi, comprese le 2 rimaste non aperte, e poiché una porta è stata aperta, allora questa probabilità sarà divisa equamente tra 2 non aperte, cioè la probabilità sarà uguale e la scelta di un'altra porta non la aumenterà.

2) le probabilità condizionali vengono calcolate se ci sono 2 o più eventi casuali e la probabilità viene calcolata separatamente per ciascun evento e solo allora viene calcolata la probabilità del verificarsi congiunto di 2 o più eventi. Qui, all'inizio, la probabilità di indovinare era 1/3, ma per calcolare la probabilità che l'auto non sia dietro la porta scelta, ma dietro l'altra non aperta, non è necessario calcolare il probabilità condizionale, ma devi calcolare la probabilità semplice, che è 1 su 2, quelli. 1/2.

3) Quindi, questo non è un paradosso, ma un errore! (19.11.2009)

Appendice 2: Ieri ho trovato la spiegazione più semplice che la strategia di riselezione è ancora più vantaggiosa(il paradosso è vero!): con la prima scelta salire su una capra è 2 volte più probabile che su un'auto, perché le capre sono due, e quindi, con la seconda scelta, bisogna cambiare scelta. È così ovvio :o)

O in altre parole: bisogna non segnare in macchina, ma scartare le capre, e anche la conduttrice aiuta in questo, aprendo la capra. E all'inizio del gioco, con una probabilità di 2 su 3, anche il giocatore avrà successo, quindi, dopo aver rifiutato le capre, è necessario modificare la scelta. Ed è diventato anche molto ovvio all'improvviso :o)

Quindi tutto ciò che ho scritto finora è stata una pseudo-confutazione. Bene, ecco un'altra illustrazione del fatto che devi essere più modesto, rispettare il punto di vista di qualcun altro e non fidarti delle assicurazioni della tua logica che le sue decisioni sono cristalline.

Il paradosso di Monty Hall è uno dei ben noti problemi della teoria della probabilità, la cui soluzione, a prima vista, contraddice il buon senso. Il problema è formulato come descrizione di un ipotetico gioco basato sul programma televisivo americano Let's Make a Deal e prende il nome dall'ospite di questo programma. La formulazione più comune di questo problema, pubblicata nel 1990 su Parade Magazine, è la seguente:

Immagina di essere diventato un partecipante a un gioco in cui devi scegliere una delle tre porte. Dietro una delle porte c'è un'auto, dietro le altre due ci sono delle capre. Scegli una delle porte, ad esempio la numero 1, dopodiché il presentatore, che sa dov'è l'auto e dove sono le capre, apre una delle restanti porte, ad esempio la numero 3, dietro la quale c'è una capra. Dopodiché, ti chiede se desideri cambiare la tua scelta e scegliere la porta numero 2. Le tue possibilità di vincere l'auto aumenteranno se accetti l'offerta del padrone di casa e cambi la tua scelta?

Sebbene questa formulazione del problema sia la più nota, è alquanto problematica perché lascia indefinite alcune importanti condizioni del problema. Quella che segue è una dichiarazione più completa.

Quando risolvono questo problema, di solito ragionano in questo modo: dopo che l'ospite ha aperto la porta dietro la quale si trova la capra, l'auto può essere solo dietro una delle due porte rimanenti. Poiché il giocatore non può ottenere alcuna informazione aggiuntiva su quale porta si trova dietro l'auto, la probabilità di trovare un'auto dietro ciascuna delle porte è la stessa e cambiare la scelta iniziale della porta non dà alcun vantaggio al giocatore. Tuttavia, questa linea di ragionamento non è corretta. Se l'host sa sempre quale porta c'è dietro, apre sempre la porta rimanente che contiene la capra e chiede sempre al giocatore di cambiare la sua scelta, allora la probabilità che l'auto sia dietro la porta scelta dal giocatore è 1/3, e , di conseguenza, la probabilità che l'auto sia dietro la porta rimanente è 2/3. Pertanto, la modifica della scelta iniziale raddoppia le possibilità del giocatore di vincere l'auto. Questa conclusione contraddice la percezione intuitiva della situazione da parte della maggior parte delle persone, motivo per cui il problema descritto è chiamato il paradosso di Monty Hall.

decisione verbale

La risposta corretta a questo problema è la seguente: sì, le possibilità di vincere un'auto raddoppiano se il giocatore segue il consiglio del conduttore e cambia la sua scelta iniziale.

Allora il problema può essere ridotto alla seguente formulazione. Al primo momento, il giocatore divide le porte in due gruppi: nel primo gruppo c'è una porta (quella che ha scelto), nel secondo gruppo ci sono due porte rimanenti. Al momento successivo, il giocatore fa una scelta tra i gruppi. È ovvio che per il primo gruppo la probabilità di vincita è 1/3, per il secondo gruppo 2/3. Il giocatore sceglie il secondo gruppo. Nel secondo gruppo può aprire entrambe le porte. Uno viene aperto dall'host e il secondo dal giocatore stesso.

Proviamo a dare la spiegazione "più comprensibile". Riformulare il problema: Un host onesto annuncia al giocatore che c'è un'auto dietro una delle tre porte, e lo invita a indicare prima una delle porte, quindi scegliere una delle due azioni: aprire la porta specificata (nel vecchia formulazione, questa si chiama "non cambiare la tua scelta") oppure apri le altre due (nella vecchia formulazione, questo sarebbe solo "cambia la tua scelta". Pensa, questa è la chiave di lettura!). È chiaro che il giocatore sceglierà la seconda delle due azioni, poiché la probabilità di ottenere un'auto in questo caso è doppia. E la piccola cosa che il leader "ha mostrato una capra" anche prima di scegliere l'azione non aiuta e non interferisce con la scelta, perché dietro una delle due porte c'è sempre una capra e il leader lo mostrerà sicuramente ad ogni corso del gioco, quindi il giocatore può su questa capra e non guardare. Il compito del giocatore, se ha scelto la seconda azione, è dire "grazie" all'ospite per avergli risparmiato la fatica di aprire lui stesso una delle due porte e aprire l'altra. Bene, o anche più facile. Immaginiamo questa situazione dal punto di vista dell'host, che sta facendo una procedura simile con decine di giocatori. Siccome sa perfettamente cosa c'è dietro le porte, allora, in media, in due casi su tre, vede in anticipo che il giocatore ha scelto la porta "sbagliata". Per lui, quindi, non c'è assolutamente paradosso che la strategia corretta sia cambiare la scelta dopo aver aperto la prima porta: del resto, negli stessi due casi su tre, il giocatore lascerà lo studio con una macchina nuova.

Chiavi di comprensione

Nonostante la semplicità di spiegare questo fenomeno, molte persone credono intuitivamente che la probabilità di vincita non cambi quando il giocatore cambia la sua scelta. Di solito, l'impossibilità di modificare la probabilità di vincita è motivata dal fatto che nel calcolo della probabilità gli eventi accaduti in passato non contano, come accade, ad esempio, quando si lancia una moneta: la probabilità di ottenere testa o croce fa non dipende da quante volte prima è caduta testa o croce. Pertanto, molti credono che nel momento in cui il giocatore sceglie una porta su due, non importa più che in passato si potesse scegliere una porta su tre, e la probabilità di vincere un'auto è la stessa quando si cambia la scelta e lasciando la scelta originale.

Tuttavia, mentre tali considerazioni sono vere nel caso del lancio di una moneta, non sono vere per tutti i giochi. In questo caso, l'apertura della porta da parte del padrone dovrebbe essere ignorata. Il giocatore sceglie essenzialmente tra una porta che ha scelto per prima e le altre due: aprirne una serve solo a distrarre il giocatore. È noto che c'è una macchina e due capre. La scelta iniziale del giocatore di una delle porte divide i possibili esiti del gioco in due gruppi: o l'auto è dietro la porta scelta dal giocatore (probabilità di questo è 1/3), oppure dietro una delle altre due (probabilità di questo è 2/3). Allo stesso tempo, è già noto che dietro una delle due porte rimanenti c'è comunque una capra e, aprendo questa porta, il conduttore non fornisce al giocatore alcuna informazione aggiuntiva su cosa c'è dietro la porta scelta dal giocatore. giocatore. Quindi, l'apertura della porta con la capra da parte del leader non cambia la probabilità (2/3) che l'auto si trovi dietro una delle restanti porte. E poiché il giocatore non sceglie una porta già aperta, tutta questa probabilità è concentrata nel caso in cui l'auto si trovi dietro la restante porta chiusa.

Ragionamento più intuitivo: lascia che il giocatore agisca secondo la strategia "cambia scelta". Quindi perderà solo se inizialmente sceglie un'auto. E la probabilità di questo è un terzo. Pertanto, la probabilità di vincita: 1-1/3=2/3. Se il giocatore agisce secondo la strategia "non cambiare scelta", allora vincerà se e solo se inizialmente ha scelto l'auto. E la probabilità di questo è un terzo.

Immaginiamo questa situazione dal punto di vista dell'host, che sta facendo una procedura simile con decine di giocatori. Siccome sa perfettamente cosa c'è dietro le porte, allora, in media, in due casi su tre, vede in anticipo che il giocatore ha scelto la porta "sbagliata". Per lui, quindi, non c'è assolutamente paradosso che la strategia corretta sia cambiare la scelta dopo aver aperto la prima porta: del resto, negli stessi due casi su tre, il giocatore lascerà lo studio con una macchina nuova.

Un altro motivo comune per la difficoltà nel comprendere la soluzione a questo problema è che spesso le persone immaginano un gioco leggermente diverso, in cui non si sa in anticipo se il presentatore aprirà la porta con una capra e suggerirà al giocatore di cambiare la sua scelta. In questo caso il giocatore non conosce la tattica del leader (cioè non conosce tutte le regole del gioco) e non può fare la scelta ottimale. Ad esempio, se il facilitatore offrirà un cambio di opzione solo se il giocatore inizialmente ha scelto la porta con l'auto, ovviamente il giocatore dovrebbe sempre lasciare invariata la decisione originale. Ecco perché è importante tenere a mente l'esatta formulazione del problema di Monty Hall. (con questa opzione, il leader con strategie diverse può ottenere qualsiasi probabilità tra le porte, nel caso generale (medio) sarà 1/2 per 1/2).

Aumento del numero di porte

albero decisionale

Possibile albero decisionale del giocatore e dell'host, che mostra la probabilità di ciascun risultato

Più formalmente, uno scenario di gioco può essere descritto utilizzando un albero decisionale.

Nei primi due casi, quando il giocatore ha scelto per la prima volta la porta dietro la quale si trova la capra, cambiare la scelta si traduce in una vittoria. Negli ultimi due casi, quando il giocatore ha scelto per la prima volta la porta con l'auto, cambiare la scelta si traduce in una perdita.

La probabilità totale che un cambio di scelta porti ad una vincita è equivalente alla somma delle probabilità dei primi due esiti, cioè

Di conseguenza, la probabilità che il rifiuto di modificare la scelta porti a una vittoria è pari a

Condurre un esperimento simile

C'è un modo semplice per assicurarsi che la modifica della scelta originale si traduca in una vittoria in media due volte su tre. Per fare ciò, puoi simulare il gioco descritto nel problema di Monty Hall usando le carte da gioco. Una persona (che distribuisce le carte) interpreta il ruolo del principale Monty Hall, e la seconda - il ruolo del giocatore. Per il gioco vengono prese tre carte, di cui una raffigura una porta con un'auto (ad esempio, l'asso di picche), e altre due identiche (ad esempio, due due rossi) sono porte con capre.

L'host dispone tre carte coperte, invitando il giocatore a prendere una delle carte. Dopo che il giocatore ha scelto una carta, il leader guarda le due carte rimanenti e rivela il due rosso. Successivamente, vengono aperte le carte lasciate dal giocatore e dal leader, e se la carta scelta dal giocatore è l'asso di picche, viene registrato un punto a favore dell'opzione quando il giocatore non cambia la sua scelta, e se il giocatore ha un due rosso e il leader ha un asso di picche, quindi viene segnato un punto a favore dell'opzione quando il giocatore cambia la sua scelta. Se giochiamo molti di questi round del gioco, allora il rapporto tra i punti a favore delle due opzioni riflette abbastanza bene il rapporto tra le probabilità di queste opzioni. In questo caso, risulta che il numero di punti a favore della modifica della scelta iniziale è circa il doppio.

Un tale esperimento non solo assicura che la probabilità di vincere quando si cambia la scelta sia doppia, ma illustra anche bene perché ciò accade. Nel momento in cui il giocatore ha scelto una carta per sé, è già determinato se l'asso di picche è nella sua mano o meno. L'ulteriore apertura di una delle carte da parte del leader non cambia la situazione: il giocatore tiene già la carta in mano e rimane lì indipendentemente dalle azioni del leader. La probabilità che il giocatore scelga l'asso di picche tra tre carte è ovviamente 1/3, e quindi la probabilità di non sceglierlo (e quindi il giocatore vincerà se cambia la scelta iniziale) è 2/3.

Citare

Nel film Twenty-one, l'insegnante, Miki Rosa, sfida il protagonista, Ben, a risolvere un enigma: ci sono due scooter e un'auto dietro tre porte; devi indovinare la porta per vincere l'auto. Dopo la prima scelta, Miki si offre di cambiare la scelta. Ben è d'accordo e giustifica matematicamente la sua decisione. Quindi supera involontariamente il test per la squadra di Miki.

Nel romanzo di Sergei Lukyanenko "Nedotepa", i personaggi principali, usando questa tecnica, vincono una carrozza e l'opportunità di continuare il loro viaggio.

Nella serie televisiva 4isla (episodio 13 della stagione 1 di Man Hunt), uno dei personaggi principali, Charlie Epps, spiega il paradosso di Monty Hall in una popolare conferenza sulla matematica, illustrandolo chiaramente usando dei tabelloni con capre e un'auto disegnata su i lati opposti. Charlie trova l'auto cambiando la selezione. Tuttavia, va notato che esegue solo un esperimento, mentre il vantaggio della strategia di passaggio è statistico e una serie di esperimenti dovrebbe essere eseguita per illustrare correttamente.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

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