확률 이론, 정의 및 확률의 속성에 대한 기본 개념입니다. 확률의 직접 계산
수학 과정은 학생들에게 많은 놀라움을 선사하며, 그 중 하나는 확률 이론에 관한 문제입니다. 학생들은 거의 100%의 경우에 이러한 과제를 해결하는 데 문제가 있습니다. 이 문제를 이해하고 이해하려면 기본 규칙, 공리 및 정의를 알아야 합니다. 책의 내용을 이해하려면 모든 약어를 알아야 합니다. 우리는 이 모든 것을 배우겠다고 제안합니다.
과학과 그 응용
우리는 '인형을 위한 확률론' 집중 강좌를 제공하기 때문에 먼저 기본 개념과 문자 약어를 소개해야 합니다. 우선 "확률 이론"의 개념을 정의해 보겠습니다. 이것은 어떤 종류의 과학이며 왜 필요한가? 확률 이론은 무작위 현상과 양을 연구하는 수학 분야 중 하나입니다. 그녀는 또한 이러한 무작위 변수를 사용하여 수행되는 패턴, 속성 및 작업을 고려합니다. 그것은 무엇을 위한 것입니까? 자연 현상 연구에서 과학이 널리 보급되었습니다. 어떤 자연적, 물리적 과정도 우연 없이는 이루어질 수 없습니다. 실험 중에 결과를 최대한 정확하게 기록했더라도 동일한 테스트가 반복되면 결과가 동일하지 않을 가능성이 높습니다.
우리는 작업의 예를 확실히 살펴볼 것이며 직접 확인할 수 있습니다. 결과는 고려하거나 등록하기가 거의 불가능한 다양한 요인에 따라 달라지지만 그럼에도 불구하고 실험 결과에 큰 영향을 미칩니다. 생생한 예로는 행성의 궤적을 결정하거나 일기예보를 결정하는 작업, 출근길에 아는 사람을 만날 확률, 운동선수의 점프 높이를 결정하는 작업 등이 있습니다. 확률 이론은 또한 증권 거래소의 중개인에게 큰 도움을 제공합니다. 이전에 해결 방법에 많은 문제가 있었던 확률 이론의 문제는 아래에 제시된 서너 가지 예를 보면 단순한 사소한 문제가 될 것입니다.
이벤트
앞서 언급했듯이 과학은 사건을 연구합니다. 확률 이론은 나중에 문제 해결의 예를 살펴보고 무작위라는 한 가지 유형만 연구합니다. 그럼에도 불구하고 이벤트에는 세 가지 유형이 있을 수 있다는 점을 알아야 합니다.
- 불가능한.
- 믿을 수 있는.
- 무작위의.
우리는 그들 각각에 대해 조금 논의할 것을 제안합니다. 불가능한 일은 어떤 경우에도 일어나지 않습니다. 예를 들면 영하의 온도에서 물을 얼리는 것, 공 봉지에서 큐브를 꺼내는 것 등이 있습니다.
모든 조건이 충족되면 항상 100% 보장되는 신뢰할 수 있는 이벤트가 발생합니다. 예를 들어, 수행한 작업에 대해 급여를 받고, 성실하게 공부하고, 시험에 합격하고 졸업장을 방어한 경우 고등 전문 교육 졸업장을 받습니다.
모든 것이 조금 더 복잡합니다. 실험 중에 발생 여부는 예를 들어 세 번 이하로 시도한 후 카드 데크에서 에이스를 뽑는 등의 일이 발생할 수 있습니다. 첫 번째 시도에서 결과를 얻을 수도 있고 전혀 얻지 못할 수도 있습니다. 과학이 연구하는 사건이 발생할 확률입니다.
개연성
이는 일반적으로 사건이 발생하는 경험의 성공적인 결과 가능성에 대한 평가입니다. 확률은 정성적 수준에서 평가되며, 특히 정량적 평가가 불가능하거나 어려운 경우 더욱 그렇습니다. 솔루션이 있는 확률 이론의 문제, 더 정확하게는 추정값이 있는 문제에는 성공적인 결과의 가능한 비율을 찾는 것이 포함됩니다. 수학에서 확률은 사건의 수치적 특성입니다. 문자 P로 표시되는 0에서 1까지의 값을 취합니다. P가 0이면 이벤트가 발생할 수 없으며 1이면 이벤트가 100% 확률로 발생합니다. P가 1에 가까울수록 성공적인 결과의 확률이 높아지고, 그 반대의 경우도 0에 가까우면 낮은 확률로 이벤트가 발생합니다.
약어
곧 직면하게 될 확률 문제에는 다음과 같은 약어가 포함될 수 있습니다.
- P와 P(X);
- A, B, C 등;
다른 것들도 가능합니다. 필요에 따라 추가 설명이 이루어질 것입니다. 먼저 위에 제시된 약어를 명확히 할 것을 제안합니다. 목록의 첫 번째 항목은 계승입니다. 명확하게 하기 위해 예를 들어보겠습니다: 5!=1*2*3*4*5 또는 3!=1*2*3. 다음으로, 주어진 세트는 중괄호 안에 작성됩니다(예: (1;2;3;4;...;n) 또는 (10;140;400;562)). 다음 표기법은 확률 이론 작업에서 자주 발견되는 자연수 집합입니다. 앞서 언급했듯이 P는 확률이고 P(X)는 사건 X가 발생할 확률입니다. 사건은 라틴 알파벳의 대문자로 표시됩니다. 예를 들어 A - 흰색 공이 잡혔고 B - 파란색입니다. , C - 빨간색 또는 각각 . 소문자 n은 가능한 모든 결과의 수이고, m은 성공한 결과의 수입니다. 여기에서 우리는 기본 문제에서 고전적 확률을 찾는 규칙을 얻습니다: P = m/n. "인형에 대한" 확률 이론은 아마도 이 지식으로 제한될 것입니다. 이제 통합을 위해 솔루션으로 넘어가겠습니다.
문제 1. 조합론
학생 그룹은 30명으로 구성되며, 이들 중에서 교장, 대리인 및 노동 조합 지도자를 선택해야 합니다. 이 작업을 수행하는 방법의 수를 찾는 것이 필요합니다. 통합 상태 시험에도 유사한 작업이 나타날 수 있습니다. 우리가 현재 고려하고 있는 문제의 해결책인 확률 이론에는 조합론 과정의 문제, 고전 확률 찾기, 기하학적 확률 및 기본 공식 문제가 포함될 수 있습니다. 이 예에서는 조합론 과정의 과제를 해결하고 있습니다. 솔루션으로 넘어 갑시다. 이 작업은 가장 간단합니다.
- n1=30 - 학생 그룹의 가능한 반장;
- n2=29 - 대리인직을 맡을 수 있는 사람;
- n3=28명이 노동조합원 자리에 지원합니다.
우리가 해야 할 일은 가능한 옵션 수를 찾는 것, 즉 모든 지표를 곱하는 것입니다. 결과적으로 30*29*28=24360을 얻습니다.
이것이 제기 된 질문에 대한 답변이 될 것입니다.
문제 2. 재배치
컨퍼런스에는 6명의 참가자가 발언하며, 추첨을 통해 순서가 결정됩니다. 가능한 그리기 옵션의 수를 찾아야 합니다. 이 예에서는 6개 요소의 순열을 고려하고 있습니다. 즉, 6개를 찾아야 합니다!
약어 단락에서 우리는 그것이 무엇인지, 어떻게 계산되는지 이미 언급했습니다. 전체적으로 720개의 그리기 옵션이 있는 것으로 나타났습니다. 언뜻보기에 어려운 작업에는 매우 짧고 간단한 해결책이 있습니다. 확률 이론이 고려하는 작업은 다음과 같습니다. 다음 예에서는 더 높은 수준의 문제를 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.
문제 3
25명의 학생으로 구성된 그룹은 6명, 9명, 10명으로 구성된 세 개의 하위 그룹으로 나누어져야 합니다. n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10이 있습니다. 값을 필요한 공식으로 대체하는 것이 남아 있습니다. N25(6,9,10)을 얻습니다. 간단한 계산 후에 우리는 16,360,143,800이라는 답을 얻습니다. 작업에서 수치 솔루션을 얻을 필요가 없다고 말하지 않으면 계승 형식으로 제공될 수 있습니다.
문제 4
세 사람이 1부터 10까지의 숫자를 추측했습니다. 누군가의 숫자가 일치할 확률을 찾아보세요. 먼저 우리는 모든 결과의 수를 알아내야 합니다. 우리의 경우에는 1000, 즉 10의 3제곱입니다. 이제 모두가 서로 다른 숫자를 추측했을 때 옵션의 수를 찾아보겠습니다. 이를 위해 10, 9, 8을 곱합니다. 이 숫자는 어디에서 왔습니까? 첫 번째 사람은 숫자를 추측하고 10개의 옵션이 있고 두 번째 사람은 이미 9개가 있고 세 번째 사람은 나머지 8개 중에서 선택해야 하므로 가능한 옵션은 720개입니다. 앞서 이미 계산했듯이 총 1000개의 옵션이 있고 반복하지 않으면 720개가 있으므로 나머지 280개에 관심이 있습니다. 이제 고전적 확률을 찾기 위한 공식이 필요합니다: P = . 우리는 0.28이라는 답변을 받았습니다.
확률의 고전적 정의는 다음 개념에 기초합니다. 확률적 경험,또는 확률 실험. 그 결과는 다음과 같은 여러 가지 가능한 결과 중 하나입니다. 기본 결과, 확률적 실험을 반복할 때 기본 결과가 다른 결과보다 더 자주 나타날 것이라고 기대할 이유가 없습니다. 예를 들어, 주사위를 던지는 확률론적 실험을 생각해 보세요. 이 실험의 결과는 큐브의 측면에 그려진 6개의 점 중 하나가 손실되는 것입니다.
따라서 이 실험에는 6가지 기본 결과가 있습니다.
그리고 그들 각각은 똑같이 기대됩니다.
이벤트고전적인 확률 실험에서 는 기본 결과 집합의 임의의 하위 집합입니다. 주사위를 던지는 예에서 이벤트는 예를 들어 기본 결과로 구성된 짝수의 점수를 잃는 것입니다.
사건의 확률은 숫자입니다:
는 이벤트를 구성하는 기본 결과의 수(때때로 이벤트 발생을 선호하는 기본 결과의 수라고 함)이고 모든 기본 결과의 수입니다.
우리의 예에서는:
조합론의 요소.
많은 확률론적 실험을 설명할 때 기본 결과는 다음과 같은 조합론(유한 집합의 과학) 개체 중 하나로 식별될 수 있습니다.
재배치숫자의 반복 없이 이러한 숫자를 임의로 순서대로 표현한 것입니다. 예를 들어 세 개의 숫자 집합에는 6개의 다른 순열이 있습니다.
, , , , , .
임의의 순열 수는 동일합니다.
(1부터 시작하는 자연수열의 연속된 숫자의 곱)
다음의 조합집합의 요소 중 임의의 순서가 지정되지 않은 집합입니다. 예를 들어, 세 개의 숫자 집합에는 3x2의 3가지 조합이 있습니다.
임의 쌍의 경우 , 의 조합 수는 다음과 같습니다.
예를 들어,
초기하 분포.
다음 확률적 실험을 고려해보세요. 흰색 공과 검은색 공이 들어 있는 검은색 상자가 있습니다. 공의 크기는 같고 촉감이 구별되지 않습니다. 실험은 무작위로 공을 뽑아내는 것으로 구성됩니다. 확률을 구해야 하는 사건은 이 공 중 일부는 흰색이고 나머지는 검은색이라는 것입니다.
1부터 까지의 숫자로 모든 공의 번호를 다시 매겨 봅시다. 숫자 1, ¼은 흰색 공에 해당하고 숫자 ¼은 검은색 공에 해당합니다. 이 실험의 기본 결과는 집합에서 요소의 순서가 지정되지 않은 집합, 즉 by의 조합입니다. 결과적으로 모든 기본 결과가 있습니다.
사건 발생에 유리한 기본 결과의 개수를 구해보자. 해당 세트는 "흰색"과 "검은색" 숫자로 구성됩니다. 세 가지 방법으로 "흰색" 숫자에서 숫자를 선택하고 3/4 방법으로 "검은색" 숫자에서 숫자를 선택할 수 있습니다. 흰색과 검정색 세트는 임의로 연결될 수 있어 이벤트에 유리한 기본 결과만 존재합니다.
사건의 확률은
결과 공식을 초기하 분포라고 합니다.
문제 5.1.상자에는 동일한 유형의 표준 부품 55개와 결함 부품 6개가 들어 있습니다. 무작위로 선택한 세 개의 부품 중 적어도 하나가 불량일 확률은 얼마입니까?
해결책.총 61개의 부분이 있으며, 3개를 취합니다. 기본 결과는 61×3의 조합입니다. 모든 기본 결과의 수는 와 같습니다. 유리한 결과는 세 그룹으로 나뉩니다. 1) 1개 부분이 불량이고 2개 부분이 양호한 결과입니다. 2) 부품 2개에 결함이 있고 1개는 양호합니다. 3) 부품 3개 모두 불량입니다. 첫 번째 유형의 세트 수는 와 같고, 두 번째 유형의 세트 수는 와 같으며, 세 번째 유형의 세트 수는 와 같습니다. 결과적으로 사건의 발생은 기본 결과에 의해 선호됩니다. 사건의 확률은
사건의 대수학
초등행사 공간 주어진 경험과 관련된 모든 기본 결과의 집합입니다.
양두 가지 사건을 사건이나 사건에 속하는 기본 결과로 구성된 사건이라고 합니다.
작품두 사건은 사건에 동시에 속하는 기본 결과로 구성된 사건이라고 합니다.
이벤트 및 는 호환되지 않는 경우 호출됩니다.
이벤트라고 합니다 반대이벤트, 해당 이벤트에 속하지 않는 모든 기본 결과가 해당 이벤트를 선호하는 경우입니다. 특히, , .
합계 정리.
특히, .
조건부 확률이벤트가 발생한 경우 해당 교차점에 속하는 기본 결과 수에 대한 기본 결과 수의 비율을 이라고 합니다. 즉, 사건의 조건부 확률은 새로운 확률 공간이 인 고전 확률 공식에 의해 결정됩니다. 사건의 조건부 확률은 으로 표시됩니다.
제품 이론. .
이벤트가 호출됩니다. 독립적인, 만약에 . 독립 사건의 경우 곱 정리는 관계식을 제공합니다.
합과 곱 정리의 결과는 다음 두 공식입니다.
총 확률 공식. 완전한 가설 그룹은 전체 확률 공간을 함께 구성하는 임의의 호환되지 않는 이벤트 집합 , ¼, 입니다.
이런 상황에서는 임의의 사건에 대해서는 총 확률 공식이라는 공식이 유효하며,
라플라스 함수 , , 는 어디에 있습니까? 라플라스 함수는 표로 작성되었으며 주어진 값에 따른 해당 값은 확률 이론 및 수학 통계에 관한 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다.
문제 5.3.대량의 부품 배치에서 불량률은 11%인 것으로 알려져 있습니다. 테스트를 위해 100개의 부품이 선택되었습니다. 그 중 불량품이 14개 이하일 확률은 얼마입니까? Moivre-Laplace 정리를 사용하여 답을 추정합니다.
해결책.우리는 Bernoulli 테스트를 다루고 있습니다. 여기서 , , . 성공은 결함이 있는 부분을 발견한 것으로 간주되며, 성공 횟수는 부등식을 만족시킵니다. 따라서,
직접 계산하면 다음이 제공됩니다.
, , , , , , , , , , , , , , .
따라서, . 이제 Moivre-Laplace 적분 정리를 적용해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
함수의 홀수를 고려하여 함수 값 테이블을 사용하여 다음을 얻습니다.
대략적인 계산의 오차는 를 초과하지 않습니다.
무작위 변수
확률변수는 확률적 실험의 수치적 특성으로 기본 결과의 함수입니다. , ¼이 기본 결과 집합인 경우 확률 변수는 의 함수입니다. 그러나 가능한 모든 값과 이 값을 사용할 확률을 나열하여 무작위 변수를 특성화하는 것이 더 편리합니다.
이러한 테이블을 확률변수의 분포법칙이라고 합니다. 사건이 완전한 그룹을 형성하므로 확률적 정규화 법칙이 충족됩니다.
확률변수의 수학적 기대값 또는 평균값은 확률변수 값과 해당 확률의 곱의 합과 같은 숫자입니다.
확률변수의 분산(수학적 기대치를 중심으로 값이 확산되는 정도)은 확률변수의 수학적 기대치를 말하며,
다음과 같이 표시될 수 있습니다.
크기
확률변수의 평균 제곱편차라고 합니다.
확률 변수에 대한 분포 함수는 집합에 속할 확률입니다.
0에서 1까지의 값을 취하는 음수가 아닌 비감소 함수입니다. 유한한 값 집합을 갖는 확률 변수의 경우 상태 지점에서 2종의 불연속성을 갖는 조각별 상수 함수입니다. 게다가, 와 는 왼쪽에 연속되어 있습니다.
문제 5.4.주사위 2개를 연속해서 던집니다. 하나의 주사위에 1, 3 또는 5개의 점이 나타나면 플레이어는 5루블을 잃습니다. 2~4개의 포인트가 나오면 플레이어는 7루블을 받습니다. 6점이 나오면 플레이어는 12루블을 잃습니다. 임의의 값 엑스두 개의 주사위 굴림에 대한 플레이어의 보수입니다. 유통 법칙을 찾아보세요 엑스, 분포 함수를 플롯하고 수학적 기대값과 분산을 찾습니다. 엑스.
해결책.먼저 주사위를 던질 때 플레이어의 승리가 무엇인지 생각해 봅시다. 1, 3, 5개의 포인트가 굴러가는 이벤트를 가정해 보겠습니다. 그러면 상금은 루블이 될 것입니다. 2~4개의 포인트가 굴러가는 이벤트를 가정해 보겠습니다. 그러면 상금은 루블이 될 것입니다. 마지막으로 이벤트가 6을 굴리는 것을 의미한다고 가정합니다. 그러면 상금은 루블과 같습니다.
이제 가능한 모든 이벤트 조합과 두 개의 주사위 던지기를 고려하고 각 조합에 대한 승리 값을 결정해 보겠습니다.
이벤트가 발생하면 동시에 발생합니다.
이벤트가 발생하면 동시에 발생합니다.
마찬가지로, 우리가 얻을 때, .
발견된 모든 상태와 이러한 상태의 총 확률을 표에 기록합니다.
우리는 확률적 정규화 법칙의 충족 여부를 확인합니다. 실제 라인에서는 무작위 변수가 이 구간에 속하고 ¼에서 급격히 감소할 확률을 결정할 수 있어야 합니다.
섹션 12. 확률 이론.
1. 소개
2. 확률론의 가장 간단한 개념
3. 사건의 대수학
4. 무작위 사건의 확률
5. 기하학적 확률
6. 고전적 확률. 조합 공식.
7. 조건부 확률. 사건의 독립성.
8. 총 확률 공식과 베이즈 공식
9. 반복 테스트 계획. 베르누이 공식과 점근식
10. 확률변수(RV)
11. DSV 유통 시리즈
12. 누적분포함수
13. NSV 분포 함수
14. NSV의 확률밀도
15. 확률변수의 수치적 특성
16. 중요한 SV 분포의 예
16.1. DSV의 이항 분포.
16.2. 포아송 분포
16.3. NSV의 균일한 분포.
16.4. 정규 분포.
17. 확률 이론의 극한 정리.
소개
다른 많은 수학적 학문과 마찬가지로 확률 이론은 실천의 필요성에서 발전되었습니다. 동시에 실제 프로세스를 연구하는 동시에 실제 프로세스에 대한 추상적인 수학적 모델을 만드는 것이 필요했습니다. 일반적으로 실제 프로세스의 가장 중요한 주요 원동력이 고려되며 무작위라고 불리는 보조 요소는 고려되지 않습니다. 물론, 주된 것으로 간주되는 것과 보조적인 것으로 간주되는 것은 별개의 작업입니다. 이 질문에 대한 해결책은 추상화 수준, 수학적 모델의 단순성 또는 복잡성, 실제 프로세스에 대한 모델의 적합성 수준을 결정합니다. 본질적으로 모든 추상 모델은 단순성과 현실에 대한 적합성이라는 두 가지 상반된 열망의 결과입니다.
예를 들어, 사격 이론에서는 한 지점에 위치한 총에서 발사체의 비행 경로를 결정하기 위해 매우 간단하고 편리한 공식이 개발되었습니다(그림 1).
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예를 들어 대규모 포병 준비 중에는 특정 조건에서 언급된 이론으로 충분합니다.
그러나 동일한 조건에서 하나의 총에서 여러 발의 사격을 가하면 궤도는 가깝지만 여전히 다를 것임이 분명합니다. 그리고 산란 영역에 비해 목표 크기가 작은 경우 제안된 모델 내에서 고려되지 않은 요인의 영향과 관련된 특정 질문이 발생합니다. 동시에 추가 요소를 고려하면 사용이 거의 불가능한 지나치게 복잡한 모델이 생성됩니다. 또한 이러한 무작위 요인이 많이 있으며 그 성격을 알 수 없는 경우가 가장 많습니다.
위의 예에서 결정론적 모델을 넘어서는 특정 질문은 예를 들어 다음과 같습니다. 특정 확실성(예: on)으로 대상을 명중시키기 위해 발사해야 하는 발사 수는 몇 개입니까? 최소한의 포탄을 사용하여 목표물을 명중시키려면 영점 조정을 어떻게 수행해야 합니까? 등등.
나중에 살펴보겠지만 '무작위'와 '확률'이라는 단어는 엄격한 수학 용어가 됩니다. 동시에, 그들은 일반적인 구어체 연설에서 매우 흔합니다. 형용사 "무작위"는 "자연"의 반대라고 믿어집니다. 그러나 자연은 무작위 과정이 패턴을 드러내도록 설계되었지만 특정 조건에서는 그렇지 않습니다.
주요 조건은 다음과 같습니다. 대량 문자.
예를 들어, 동전을 던지면 무엇이 나올지 예측할 수 없고, 문장이나 숫자는 추측만 할 수 있습니다. 그러나 이 동전을 여러 번 던지면 문장이 떨어지는 비율은 0.5에 가까운 특정 숫자와 크게 다르지 않습니다(다음에서는 이 숫자를 확률이라고 부르겠습니다). 또한 던지는 횟수가 증가하면 이 숫자와의 편차는 줄어듭니다. 이 속성은 안정평균 지표 (이 경우 - 문장의 비율). 확률 이론의 첫 번째 단계에서 실제로 안정성의 존재를 검증해야 할 때 위대한 과학자들조차도 자체 검증을 수행하는 것이 어렵다고 생각하지 않았습니다. 따라서 동전을 4040번 던졌고 문장이 2048번 나왔다는 부폰의 유명한 실험이므로 문장이 사라지는 비율(상대빈도)은 0.508로 직관적으로 거의 예상되는 수는 0.5입니다.
따라서 일반적으로 다음과 같이 정의됩니다. 대량 무작위 과정의 패턴을 연구하는 수학의 한 분야인 확률 이론의 주제입니다.
확률 이론의 가장 큰 성취는 지난 세기 초로 거슬러 올라간다는 사실에도 불구하고 특히 A.N. 의 작품에서 이론의 공리적 구성 덕분에 그렇습니다. Kolmogorov(1903-1987), 사고 연구에 대한 관심은 오래 전부터 나타났습니다.
초기 관심은 도박에 수치적 접근 방식을 적용하려는 것이었습니다. 확률 이론의 첫 번째 매우 흥미로운 결과는 일반적으로 L. Pacioli(1494), D. Cardano(1526) 및 N. Tartaglia(1556)의 작업과 관련이 있습니다.
나중에 B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695)는 고전 확률 이론의 토대를 마련했습니다. 18세기 초 J. Bernoulli(1654-1705)는 무작위 사건의 확률 개념을 가능한 모든 기회 수에 대한 유리한 기회 수의 비율로 정의했습니다. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953)는 집합 측정 개념의 사용에 대한 이론을 구축했습니다.
집합이론적 관점은 1933년에 가장 완전한 형태로 제시되었다. A.N. Kolmogorov는 그의 논문 "확률 이론의 기본 개념"에서. 확률론이 엄격한 수학과학이 되는 것은 바로 이 순간부터이다.
러시아 수학자 P.L.은 확률 이론의 발전에 큰 공헌을 했습니다. 체비쇼프 (1821-1894), A.A. 마르코프(1856-1922), S.N. 번스타인(1880-1968) 등.
확률 이론은 현재 빠르게 발전하고 있습니다.
확률 이론의 가장 간단한 개념
다른 수학적 학문과 마찬가지로 확률 이론은 정의되지 않고 설명만 되는 가장 간단한 개념의 도입으로 시작됩니다.
주요 기본 개념 중 하나는 경험.경험은 무제한으로 재현될 수 있는 특정 조건 세트로 이해됩니다. 우리는 이 복합체의 각 구현을 경험 또는 테스트라고 부를 것입니다. 실험 결과는 다를 수 있으며, 여기서 우연의 요소가 나타납니다. 경험의 다양한 결과 또는 결과를 호출합니다. 이벤트(보다 정확하게는 무작위 이벤트). 따라서 실험을 수행하는 동안 하나 또는 다른 이벤트가 발생할 수 있습니다. 즉, 무작위 사건은 실험을 수행하는 동안 발생(나타나거나)되거나 발생하지 않을 수 있는 실험의 결과입니다.
경험치는 문자로 표시되며 무작위 이벤트는 일반적으로 대문자로 표시됩니다.
종종 실험에서는 가장 단순하다고 할 수 있는 결과를 미리 식별할 수 있으며, 이는 더 간단한 결과로 분해될 수 없습니다. 이러한 이벤트를 호출합니다. 초등부 행사(또는 경우).
예시 1.동전을 던져 보자. 실험의 결과는 다음과 같습니다: 문장의 손실(이 사건을 문자로 표시합니다); 숫자 손실( 로 표시). 그런 다음 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 경험 = (동전 던지기), 결과: 이 실험의 기본 이벤트는 분명합니다. 즉, 경험의 모든 기본 사건을 나열하면 경험이 완전히 설명됩니다. 이와 관련하여 경험은 기본 사건의 공간이라고 말할 수 있으며, 우리의 경우 경험은 = (동전 던지기) = (G; C) 형식으로 간략하게 작성할 수 있습니다.
실시예 2. =(동전을 두 번 던집니다)= 
다음은 경험에 대한 구두 설명과 모든 기본 이벤트 목록입니다. 이는 먼저 동전을 처음 던질 때 문장이 떨어지고 두 번째에는 문장도 떨어졌음을 의미합니다. 첫 번째 동전을 던질 때 문장이 나왔고, 두 번째 동전을 던질 때 숫자 등이 나왔다는 뜻입니다.
예시 3.좌표계에서는 점이 사각형에 던져집니다. 이 예에서 기본 사건은 주어진 부등식을 만족하는 좌표를 갖는 점입니다. 간략하게는 다음과 같이 작성됩니다.
중괄호 안의 콜론은 포인트로 구성되지만 아무 것도 아닌 콜론 뒤에 지정된 조건(또는 조건)을 충족하는 포인트로만 구성됨을 의미합니다(이 예에서는 불평등임).
예시 4.첫 번째 문장이 나타날 때까지 동전을 던집니다. 즉, 동전던지기는 머리가 착지될 때까지 계속됩니다. 이 예에서는 기본 이벤트를 나열할 수 있지만 그 수는 무한합니다.
예제 3과 4에서 기본 이벤트의 공간에는 무한한 결과가 있다는 점에 유의하세요. 예제 4에서는 다음과 같이 나열할 수 있습니다. 다시 계산하다 이러한 집합을 셀 수 있는 집합이라고 합니다. 예제 3에서는 공백을 셀 수 없습니다.
모든 경험에 존재하고 이론적으로 매우 중요한 두 가지 사건을 더 살펴보겠습니다.
이벤트를 부르자 불가능한,경험의 결과로 그것이 필연적으로 발생하지 않는 한. 우리는 그것을 빈 집합의 부호로 표시할 것입니다. 반대로, 경험의 결과로 반드시 발생하는 사건을 '사건'이라고 합니다. 믿을 수 있는.신뢰할 수 있는 이벤트는 기본 이벤트 자체의 공간과 동일한 방식으로 문자로 지정됩니다.
예를 들어 주사위를 던질 때 이벤트(9점 미만 굴림)는 신뢰할 수 있지만 이벤트(정확히 9점 굴림)는 불가능합니다.
따라서 기본 사건의 공간은 구두 설명, 모든 기본 사건의 목록, 모든 기본 사건이 획득되는 규칙 또는 조건의 설정으로 지정될 수 있습니다.
사건의 대수학
지금까지 우리는 경험의 직접적인 결과로서 기본적인 사건들에 대해서만 이야기했습니다. 그러나 경험의 틀 내에서 기본 이벤트 외에도 다른 무작위 이벤트에 대해 이야기할 수 있습니다.
실시예 5.주사위를 던질 때 각각 1, 2,..., 6의 기본 이벤트 외에도 (짝수), (홀수), (3의 배수), (4보다 작은 숫자) 등. 이 예에서는 언어 작업 외에도 기본 이벤트를 나열하여 지정된 이벤트를 지정할 수 있습니다.
초등 이벤트와 기타 이벤트의 새로운 이벤트 형성은 이벤트에 대한 작업(또는 동작)을 사용하여 수행됩니다.
정의.두 사건의 곱은 실험의 결과로 발생하는 사건입니다. 그리고이벤트 , 그리고이벤트, 즉 두 이벤트가 동시에(동시에) 발생합니다.
제품 기호(점)는 종종 생략됩니다.
정의.두 사건의 합은 실험의 결과로 일어날 것이라는 사실로 구성된 사건입니다. 또는이벤트 , 또는이벤트 , 또는둘 다 함께 (동시에).
두 정의 모두에서 우리는 의도적으로 접속사를 강조했습니다. 그리고그리고 또는- 문제를 해결할 때 당신의 연설에 독자의 관심을 끌기 위해. 접속사 "and"를 발음하면 이벤트 생성에 대해 이야기하는 것입니다. 접속사 "또는"이 발음되면 이벤트를 추가해야 합니다. 동시에 일상 대화에서 접속사 "또는"은 "only or only"라는 두 가지 중 하나를 제외한다는 의미로 사용되는 경우가 많습니다. 확률 이론에서는 이러한 예외가 가정되지 않습니다. 및 , 및 , 및 이벤트 발생을 의미합니다.
기본 이벤트를 열거하여 제공하면 지정된 연산을 사용하여 복잡한 이벤트를 쉽게 얻을 수 있습니다. 이를 얻으려면 두 이벤트에 속하는 모든 기본 이벤트를 찾아야 합니다. 아무것도 없으면 이벤트 합계도 쉽게 구성할 수 있습니다. 두 이벤트 중 하나를 가져와서 해당 기본 이벤트에 추가해야 합니다. 첫 번째 이벤트에 포함되지 않은 다른 이벤트입니다.
예제 5에서 우리는 특히
도입된 연산을 바이너리라고 부릅니다. 두 가지 이벤트에 대해 정의되었습니다. 단일 이벤트에 대해 정의된 다음 단항 연산은 매우 중요합니다. 반대주어진 경험에서 사건이 발생하지 않았다는 사실로 구성된 경우 사건. 정의에 따르면 모든 사건과 그 반대 사건은 다음과 같은 속성을 갖고 있음이 분명합니다. 도입된 연산은 다음과 같습니다. 덧셈이벤트 가.
기본 이벤트 목록을 제공하면 해당 이벤트의 사양을 알면 해당 이벤트가 속하지 않는 공간의 모든 기본 이벤트로 구성된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
괄호가 없으면 연산 수행 시 덧셈, 곱셈, 덧셈의 우선순위가 설정됩니다.
따라서 도입된 작업의 도움으로 기본 이벤트 공간은 소위를 형성하는 다른 무작위 이벤트로 보충됩니다. 사건의 대수학.
실시예 6.범인은 목표물을 향해 총 3발을 발사했다. 이벤트 = (슈터가 i번째 샷으로 목표물에 명중함), i = 1,2,3을 고려하십시오.
이러한 이벤트에서 몇 가지 이벤트를 구성해 보겠습니다(반대 이벤트도 잊지 마세요). 우리는 긴 의견을 제공하지 않습니다. 우리는 독자가 독립적으로 이를 수행할 것이라고 믿습니다.
사건 B = (세 발 모두 목표물에 명중). 자세한 내용: B = ( 그리고첫 번째, 그리고두번째, 그리고세 번째 샷이 목표물에 맞았습니다.) 중고 유니온 그리고,따라서 이벤트가 곱해집니다. 
비슷하게:
C = (어떤 총알도 목표물에 맞지 않았다) 
E = (한 발이 목표물에 도달했습니다)
D = (두 번째 샷의 목표물 명중) = ;
F = (2발의 총알이 명중한 목표)
N = (적어도 한 번은 목표물에 명중합니다)
알려진 바와 같이, 수학에서는 분석 대상, 개념 및 공식의 기하학적 해석이 매우 중요합니다.
확률 이론에서는 경험, 무작위 사건 및 이에 대한 작업을 소위 형식으로 시각적으로 표현(기하학적 해석)하는 것이 편리합니다. 오일러-벤 다이어그램. 본질은 모든 경험이 특정 사각형에 점을 던지는 것으로 식별(해석)된다는 것입니다. 점은 무작위로 던져지므로 모든 점이 해당 사각형의 어느 곳에나 놓일 확률이 동일합니다. 사각형은 문제의 경험의 틀을 정의합니다. 경험 내의 각 이벤트는 광장의 특정 영역으로 식별됩니다. 즉, 이벤트가 발생한다는 것은 문자가 가리키는 영역 내에 임의의 점이 있다는 것을 의미하며, 그러면 이벤트에 대한 동작은 기하학적으로 쉽게 해석됩니다(그림 2).
| |
ㅏ: A + B: 모두
부화
그림 2 a)에서 명확성을 위해 이벤트 A는 수직 음영으로 강조 표시되고 이벤트 B는 수평 음영으로 강조 표시됩니다. 그런 다음 곱셈 연산은 이중 해치에 해당합니다. 이벤트는 이중 해치로 덮인 사각형 부분에 해당합니다. 또한, 이러한 경우 호환되지 않는 이벤트라고 합니다. 따라서 추가 작업은 모든 해칭에 해당합니다. 이벤트는 수직, 수평 및 이중 해칭에 의해 음영 처리된 사각형의 일부를 의미합니다. 그림 2 b)에서 이벤트는 사각형의 음영 부분에 해당합니다. 소개된 작업은 다음과 같은 기본 속성을 가지며 그 중 일부는 동일한 이름의 작업에 유효합니다. 숫자에 관한 것이지만 구체적인 숫자도 있습니다.
10 . 곱셈의 교환성;
20 . 덧셈의 교환성;
서른 . 곱셈의 연관성;
4 0 . 추가 연관성,
50 . 덧셈에 대한 곱셈의 분포,
6 0 . 곱셈에 대한 덧셈의 분포;
9 0 . 
드 모르간(de Morgan)의 이중성 법칙,
10 0 . 
1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =
실시예 7. Ivan과 Peter는 T시간 간격(예: (0, T))에 만나기로 동의했습니다. 동시에 그들은 각자가 모임에 오면 한 시간 이상은 서로를 기다리지 않기로 합의했습니다.
이 예를 기하학적으로 해석해 보겠습니다. 다음을 표시해 보겠습니다. Ivan이 회의에 도착한 시간; 피터가 회의를 위해 도착할 시간입니다. 합의된 대로: 0 . 그러면 좌표계에서 다음을 얻습니다. = 우리의 예에서 기본 사건의 공간이 정사각형이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 1
0 x는 이 선 위에 위치한 사각형 부분에 해당합니다. 마찬가지로 두 번째 부등식 y≤x+ 및; 모든 요소가 작동하지 않으면 작동하지 않습니다. 즉, 
.따라서 드 모건의 이중성 제2법칙은 요소가 병렬로 연결될 때 구현됩니다.
위의 예는 물리학, 특히 실제 기술 장치의 신뢰성을 계산할 때 확률 이론이 널리 사용되는 이유를 보여줍니다.
현실이나 상상 속에서 일어나는 사건은 3가지 그룹으로 나눌 수 있습니다. 반드시 일어날 특정 사건, 불가능한 사건, 무작위 사건 등이 있습니다. 확률 이론은 무작위 사건을 연구합니다. 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 사건. 이 기사에서는 수학 통합 상태 시험(프로필 수준)의 작업 4에 포함될 확률 공식 이론과 확률 이론 문제 해결의 예를 간략하게 제시합니다.
왜 확률 이론이 필요한가?
역사적으로 이러한 문제에 대한 연구의 필요성은 17세기 도박의 발전과 전문화, 카지노의 출현과 관련하여 발생했습니다. 이것은 자체 연구와 연구가 필요한 실제 현상이었습니다.
카드 놀이, 주사위, 룰렛은 유한한 수의 동일하게 가능한 이벤트가 발생할 수 있는 상황을 만들었습니다. 특정 사건의 발생 가능성에 대한 수치적 추정이 필요했습니다.
20세기에는 이 하찮아 보이는 과학이 소우주에서 일어나는 근본적인 과정을 이해하는 데 중요한 역할을 한다는 것이 분명해졌습니다. 현대 확률 이론이 탄생했습니다.
확률 이론의 기본 개념
확률 이론의 연구 대상은 사건과 그 확률입니다. 사건이 복잡하다면 확률을 쉽게 찾을 수 있는 간단한 구성요소로 나눌 수 있습니다.
사건 A와 B의 합을 사건 C라고 하며, 이는 사건 A, 사건 B, 또는 사건 A와 B가 동시에 발생했다는 사실로 구성됩니다.
사건 A와 사건 B의 곱은 사건 C이며, 이는 사건 A와 사건 B가 모두 발생했음을 의미합니다.
사건 A와 B가 동시에 발생할 수 없으면 양립 불가능하다고 합니다.
사건 A가 일어날 수 없으면 불가능하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.
사건 A가 일어날 것이 확실하다면 사건 A를 확실하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.
각 사건 A를 숫자 P(A)와 연관시키십시오. 이 숫자 P(A)를 다음 조건이 일치하는 경우 사건 A의 확률이라고 합니다.
중요한 특수 사례는 균등하게 확률이 높은 기본 결과가 있고 이러한 결과 중 임의의 결과가 이벤트 A를 형성하는 상황입니다. 이 경우 확률은 공식을 사용하여 입력할 수 있습니다. 이렇게 도입된 확률을 고전적 확률이라고 합니다. 이 경우 속성 1~4가 충족된다는 것이 입증될 수 있습니다.
수학 통합시험에 출제되는 확률론 문제는 주로 고전적 확률과 관련이 있습니다. 이러한 작업은 매우 간단할 수 있습니다. 데모 버전의 확률 이론 문제는 특히 간단합니다. 유리한 결과의 수를 계산하는 것은 쉽습니다. 모든 결과의 수는 조건에 바로 기록됩니다.
우리는 공식을 사용하여 답을 얻습니다.
확률 결정에 관한 수학 통합 상태 시험 문제의 예
테이블 위에는 20개의 파이가 있습니다. 5개는 양배추, 7개는 사과, 8개는 쌀입니다. 마리나는 파이를 갖고 싶어합니다. 그녀가 떡을 가져갈 확률은 얼마인가?
해결책.
동일한 확률로 20개의 기본 결과가 있습니다. 즉, 마리나는 20개의 파이 중 하나를 선택할 수 있습니다. 하지만 마리나가 쌀 파이를 선택할 확률, 즉 A가 쌀 파이를 선택할 확률을 추정해야 합니다. 이는 유리한 결과(쌀을 곁들인 파이 선택)의 수가 8개에 불과하다는 것을 의미합니다. 그러면 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
독립적이고 반대적이며 임의적인 사건
그러나 오픈 태스크 뱅크에서는 좀 더 복잡한 태스크가 발견되기 시작했다. 그러므로 확률 이론에서 연구되는 다른 문제에 독자의 관심을 집중시키겠습니다.
사건 A와 B는 각각의 확률이 다른 사건의 발생 여부에 의존하지 않는 경우 독립이라고 합니다.
사건 B는 사건 A가 일어나지 않았다는 것입니다. 사건 B는 사건 A와 반대입니다. 반대 사건의 확률은 1에서 직접 사건의 확률을 뺀 값과 같습니다. 즉, .
확률 덧셈과 곱셈 정리, 공식
임의의 사건 A와 B의 경우, 이들 사건의 합에 대한 확률은 결합 사건의 확률을 제외한 확률의 합과 같습니다. 즉, .
독립적인 사건 A와 B의 경우, 이러한 사건이 발생할 확률은 확률의 곱과 같습니다. 즉, 이 경우에는 .
마지막 2개의 진술은 확률의 덧셈과 곱셈의 정리라고 불립니다.
결과 수를 계산하는 것이 항상 그렇게 간단한 것은 아닙니다. 어떤 경우에는 조합 공식을 사용해야 합니다. 가장 중요한 것은 특정 조건을 만족하는 사건의 수를 세는 것입니다. 때로는 이러한 종류의 계산이 독립적인 작업이 될 수 있습니다.
6개의 빈 자리에 6명의 학생이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생이 자리를 잡을 수 있는 5가지 방법에 해당합니다. 세 번째 학생에게는 4자리, 네 번째 자리에는 3자리, 다섯 번째 자리에는 2자리가 남아 있으며, 여섯 번째 학생이 남은 자리를 차지하게 됩니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 기호 6으로 표시된 제품을 찾아야 합니다! 그리고 "6팩토리얼"이라고 읽습니다.
일반적인 경우, 이 질문에 대한 답은 n 요소의 순열 수에 대한 공식으로 제공됩니다.
이제 학생들의 또 다른 경우를 고려해 보겠습니다. 빈 자리 6개에 학생 2명이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생이 자리를 잡을 수 있는 5가지 방법에 해당합니다. 모든 옵션의 개수를 찾으려면 해당 제품을 찾아야 합니다.
일반적으로 이 질문에 대한 답은 k개 요소에 대한 n개 요소의 배치 수에 대한 공식으로 제공됩니다.
우리의 경우에는 .
그리고 이 시리즈의 마지막 사례. 6명 중에서 3명의 학생을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6가지 방법으로, 두 번째 학생은 5가지 방법, 세 번째 학생은 네 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 그런데 이 선택지들 중에서 같은 학생 3명이 6번이나 등장합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 값을 계산해야 합니다. 일반적으로 이 질문에 대한 답은 요소별 요소 조합 수에 대한 공식으로 제공됩니다.
우리의 경우에는 .
확률을 결정하기 위해 수학 통합 상태 시험의 문제를 해결하는 예
작업 1. 편집자 컬렉션에서. 야쉬첸코.
접시에는 30개의 파이가 있습니다. 3개는 고기, 18개는 양배추, 9개는 체리입니다. 사샤는 무작위로 파이 하나를 선택합니다. 그가 체리를 갖게 될 확률을 구해보세요.
.
답: 0.3.
작업 2. 편집자 컬렉션에서. 야쉬첸코.
전구 1,000개를 배치할 때마다 평균 20개가 불량입니다. 배치에서 무작위로 가져온 전구가 작동할 확률을 구하십시오.
해결책: 작동하는 전구의 수는 1000-20=980입니다. 그러면 배치에서 무작위로 가져온 전구가 작동할 확률은 다음과 같습니다.
답: 0.98.
학생 U가 수학 시험에서 9개 이상의 문제를 정확하게 풀 확률은 0.67입니다. U가 8개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.73입니다. U가 정확히 9개의 문제를 올바르게 풀 확률을 구하세요.
수직선을 상상하고 그 위에 점 8과 9를 표시하면 “U. 정확히 9개의 문제를 정확하게 푼다'는 조건에 'U. 8개 이상의 문제를 올바르게 푼다'라는 조건은 적용되지 않지만, 'U. 9개 이상의 문제를 정확하게 해결할 것입니다.”
다만, “U. 9개 이상의 문제를 올바르게 해결합니다.”라는 조건이 “U. 8개 이상의 문제를 정확하게 해결할 것입니다.” 따라서 이벤트를 지정하면 “U. 정확히 9개의 문제를 정확하게 해결해 드립니다." - A를 통해, "U. 8개 이상의 문제를 정확하게 풀어드립니다." - B를 통해, "U. C를 통해 9개 이상의 문제를 올바르게 해결할 수 있습니다. 해당 솔루션은 다음과 같습니다.
답: 0.06.
기하학 시험에서 학생은 시험 문제 목록 중 하나의 질문에 답합니다. 이것이 삼각법 문제일 확률은 0.2입니다. 이것이 외부 각도에 대한 질문일 확률은 0.15입니다. 이 두 가지 주제에 동시에 관련된 질문은 없습니다. 학생이 시험에서 이 두 가지 주제 중 하나에 대한 질문을 받을 확률을 구하십시오.
어떤 이벤트가 있는지 생각해 봅시다. 두 가지 호환되지 않는 이벤트가 제공됩니다. 즉, 질문은 "삼각법" 주제 또는 "외각" 주제와 관련됩니다. 확률 정리에 따르면, 호환되지 않는 사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같습니다. 이러한 사건의 확률의 합을 구해야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.
답: 0.35.
방은 세 개의 램프가 달린 랜턴으로 밝혀졌습니다. 1년 안에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.29입니다. 일년 중 적어도 하나의 램프가 꺼지지 않을 확률을 구하십시오.
가능한 이벤트를 고려해 봅시다. 우리에게는 세 개의 전구가 있는데, 각 전구는 다른 전구와 독립적으로 꺼질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 이는 독립적인 사건입니다.
그런 다음 해당 이벤트에 대한 옵션을 표시합니다. 다음 표기법을 사용해 보겠습니다. - 전구가 켜져 있습니다. - 전구가 꺼졌습니다. 그리고 바로 다음에는 사건의 확률을 계산합니다. 예를 들어, "전구가 다 탔습니다", "전구가 켜져 있습니다", "전구가 켜져 있습니다"라는 세 가지 독립적인 이벤트가 발생한 이벤트의 확률은 다음과 같습니다. 켜져 있음”은 “전구가 켜져 있지 않음” 이벤트와 반대되는 이벤트가 발생할 확률로 계산됩니다.
“사고는 우연이 아니다”... 철학자의 말처럼 들리지만 사실 무작위성을 연구하는 것은 위대한 수학과학의 운명이다. 수학에서는 확률론을 통해 기회를 다룹니다. 이 과학의 주요 정의뿐만 아니라 작업의 공식과 예도 기사에 나와 있습니다.
확률 이론이란 무엇입니까?
확률 이론은 무작위 사건을 연구하는 수학적 학문 중 하나입니다.
좀 더 명확하게 하기 위해 작은 예를 들어보겠습니다. 동전을 위로 던지면 앞면이나 뒷면이 나올 수 있습니다. 동전이 공중에 있는 동안에는 이 두 가지 확률이 모두 가능합니다. 즉, 가능한 결과의 확률은 1:1입니다. 36장의 카드 덱에서 한 장을 뽑는 경우 확률은 1:36으로 표시됩니다. 특히 수학 공식의 도움으로 여기에서는 탐색하고 예측할 것이 아무것도 없는 것처럼 보입니다. 그러나 특정 동작을 여러 번 반복하면 특정 패턴을 식별하고 이를 기반으로 다른 조건에서 이벤트의 결과를 예측할 수 있습니다.
위의 모든 내용을 요약하면 고전적 의미의 확률 이론은 가능한 사건 중 하나가 수치 값으로 발생할 가능성을 연구합니다.
역사의 페이지에서
첫 번째 작업의 확률 이론, 공식 및 예는 카드 게임의 결과를 예측하려는 시도가 처음 발생한 먼 중세 시대에 나타났습니다.
처음에 확률 이론은 수학과 아무 관련이 없었습니다. 그것은 실제로 재현될 수 있는 경험적 사실이나 사건의 속성에 의해 정당화되었습니다. 수학 분야로서 이 분야의 첫 작품은 17세기에 등장했습니다. 창립자는 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)과 피에르 페르마(Pierre Fermat)였습니다. 그들은 오랫동안 도박을 연구하고 특정 패턴을 관찰했으며 이를 대중에게 알리기로 결정했습니다.
Christiaan Huygens도 동일한 기술을 발명했지만 Pascal과 Fermat의 연구 결과에 익숙하지 않았습니다. 그는 학문 역사상 처음으로 간주되는 "확률 이론"의 개념, 공식 및 예를 소개했습니다.
Jacob Bernoulli의 연구, Laplace 및 Poisson의 정리도 그다지 중요하지 않습니다. 그들은 확률 이론을 수학적 학문처럼 만들었습니다. Kolmogorov의 공리 덕분에 기본 작업의 확률 이론, 공식 및 예가 현재 형태를 얻었습니다. 모든 변화의 결과로 확률 이론은 수학적 분야 중 하나가 되었습니다.
확률 이론의 기본 개념. 이벤트
이 분야의 주요 개념은 "이벤트"입니다. 이벤트에는 세 가지 유형이 있습니다.
- 믿을 수 있는.어차피 일어날 일들(동전은 떨어질 것이다).
- 불가능한.어떤 상황에서도 발생하지 않는 이벤트(코인은 공중에 계속 매달려 있습니다).
- 무작위의.일어날 일과 일어나지 않을 일. 예측하기 매우 어려운 다양한 요인의 영향을 받을 수 있습니다. 동전에 대해 이야기하면 동전의 물리적 특성, 모양, 원래 위치, 던지는 힘 등 결과에 영향을 미칠 수 있는 무작위 요소가 있습니다.
예제의 모든 이벤트는 역할이 다른 P를 제외하고 라틴 대문자로 표시됩니다. 예를 들어:
- A = “학생들이 강의를 하러 왔습니다.”
- Ā = “학생들이 강의에 오지 않았습니다.”
실제 작업에서 이벤트는 일반적으로 단어로 기록됩니다.
사건의 가장 중요한 특징 중 하나는 동등한 가능성이다. 즉, 동전을 던지면 떨어질 때까지 초기 하락의 모든 변형이 가능합니다. 그러나 이벤트도 똑같이 가능하지는 않습니다. 이는 누군가 의도적으로 결과에 영향을 미칠 때 발생합니다. 예를 들어, 무게 중심이 이동하는 "표시된" 카드 놀이나 주사위가 있습니다.
이벤트는 호환 가능하거나 호환되지 않을 수도 있습니다. 호환 가능한 이벤트는 서로의 발생을 배제하지 않습니다. 예를 들어:
- A = “학생이 강의를 들으러 왔습니다.”
- B = “학생이 강의를 들으러 왔습니다.”
이러한 이벤트는 서로 독립적이며 둘 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생에 영향을 주지 않습니다. 호환되지 않는 사건은 하나의 발생이 다른 사건의 발생을 배제한다는 사실로 정의됩니다. 동일한 동전에 대해 이야기하면 "꼬리"가 없어지므로 동일한 실험에서 "머리"가 나타나는 것이 불가능해집니다.
이벤트에 대한 작업
이벤트는 곱해지고 추가될 수 있으며 이에 따라 논리적 연결 "AND" 및 "OR"이 분야에 도입됩니다.
그 금액은 사건 A나 B, 또는 두 가지가 동시에 발생할 수 있다는 사실에 따라 결정됩니다. 호환되지 않는 경우 마지막 옵션은 A 또는 B가 굴러갑니다.
사건의 곱셈은 A와 B가 동시에 나타나는 것으로 구성됩니다.
이제 우리는 기본, 확률 이론 및 공식을 더 잘 기억하기 위해 몇 가지 예를 제공할 수 있습니다. 아래 문제 해결 예시.
연습 1: 회사는 세 가지 유형의 업무에 대한 계약을 받기 위해 경쟁에 참여합니다. 발생할 수 있는 가능한 이벤트:
- A = “회사가 첫 번째 계약을 받게 됩니다.”
- 그리고 1 = "회사는 첫 번째 계약을 받지 못할 것입니다."
- B = “회사는 두 번째 계약을 받게 될 것입니다.”
- B 1 = “회사는 두 번째 계약을 받지 않을 것입니다”
- C = "회사는 세 번째 계약을 받게 됩니다."
- C 1 = "회사는 세 번째 계약을 받지 않을 것입니다."
이벤트에 대한 액션을 사용하여 다음과 같은 상황을 표현해 보겠습니다.
- K = “회사가 모든 계약을 받을 것이다.”
수학적 형식에서 방정식의 형식은 K = ABC입니다.
- 남 = “회사는 단 한 건의 계약도 받지 않을 것입니다.”
남 = A 1 B 1 C 1.
작업을 복잡하게 만들어 보겠습니다. H = "회사는 하나의 계약을 받게 됩니다." 회사가 어떤 계약(첫 번째, 두 번째 또는 세 번째)을 받을지 알 수 없으므로 가능한 이벤트의 전체 범위를 기록해야 합니다.
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
그리고 1BC 1은 회사가 첫 번째와 세 번째 계약을 받지 않고 두 번째 계약을 받는 일련의 사건이다. 다른 가능한 사건은 적절한 방법을 사용하여 기록되었습니다. 분야에서 기호 υ는 연결 "OR"을 나타냅니다. 위의 예를 인간의 언어로 번역하면 회사는 세 번째 계약, 두 번째 계약, 첫 번째 계약을 받게 됩니다. 비슷한 방식으로 "확률 이론" 분야의 다른 조건도 적어볼 수 있습니다. 위에 제시된 문제 해결의 공식과 예는 이 문제를 스스로 해결하는 데 도움이 될 것입니다.
실제로 확률은
아마도 이 수학적 분야에서는 사건의 확률이 핵심 개념일 것입니다. 확률에는 3가지 정의가 있습니다.
- 권위 있는;
- 통계적;
- 기하학적.
각각은 확률 연구에서 그 자리를 차지합니다. 확률 이론, 공식 및 예(9학년)에서는 주로 다음과 같은 고전적인 정의를 사용합니다.
- 상황 A의 확률은 가능한 모든 결과의 수에 대한 발생을 선호하는 결과의 수의 비율과 같습니다.
공식은 다음과 같습니다: P(A)=m/n.
A는 실제로 이벤트입니다. A와 반대되는 경우가 나타나면 Ā 또는 A 1 로 쓸 수 있다.
m은 가능한 유리한 경우의 수입니다.
n - 일어날 수 있는 모든 사건.
예를 들어, A = “하트 모양의 카드를 뽑습니다.” 표준 덱에는 36장의 카드가 있으며 그 중 9장은 하트 카드입니다. 따라서 문제를 해결하는 공식은 다음과 같습니다.
P(A)=9/36=0.25.
결과적으로 하트 슈트 카드가 덱에서 뽑힐 확률은 0.25가 됩니다.
더 높은 수학을 향해
이제 확률 이론이 무엇인지, 학교 커리큘럼에서 발생하는 문제 해결의 공식 및 예가 조금 알려졌습니다. 그러나 확률 이론은 대학에서 가르치는 고등 수학에서도 발견됩니다. 대부분 그들은 이론과 복잡한 공식의 기하학적, 통계적 정의를 사용하여 작동합니다.
확률 이론은 매우 흥미롭습니다. 확률의 통계적(또는 빈도) 정의를 사용하여 공식과 예(고등 수학)를 작게 연구하는 것이 좋습니다.
통계적 접근 방식은 고전적인 접근 방식과 모순되지 않지만 약간 확장됩니다. 첫 번째 경우에 이벤트가 발생할 확률을 결정해야 하는 경우 이 방법에서는 이벤트가 얼마나 자주 발생하는지 표시해야 합니다. 여기서는 Wn(A)로 표시할 수 있는 "상대 주파수"라는 새로운 개념이 도입되었습니다. 공식은 고전적인 공식과 다르지 않습니다.
예측을 위해 고전 공식을 계산하면 실험 결과에 따라 통계 공식이 계산됩니다. 작은 작업을 예로 들어보겠습니다.
기술 관리 부서에서는 제품의 품질을 확인합니다. 100개 제품 중 품질이 좋지 않은 제품이 3개 발견됐다. 고품질 제품의 빈도 확률을 찾는 방법은 무엇입니까?
A = “고급제품의 외관”
Wn(A)=97/100=0.97
따라서 고품질 제품의 빈도는 0.97입니다. 97은 어디서 구하셨나요? 100개 제품을 점검한 결과 3개 제품이 품질이 좋지 않은 것으로 나타났습니다. 100에서 3을 빼면 97이 되는데, 이것이 바로 품질이 좋은 제품의 양입니다.
조합론에 대해 조금
확률 이론의 또 다른 방법은 조합론이라고 합니다. 기본 원리는 어떤 선택 A가 m개의 다른 방식으로 이루어질 수 있고 선택 B가 n개의 다른 방식으로 이루어질 수 있다면 A와 B의 선택은 곱셈으로 이루어질 수 있다는 것입니다.
예를 들어, A 도시에서 B 도시로 이어지는 5개의 도로가 있습니다. B 도시에서 C 도시로 가는 경로는 4가지가 있습니다. A 도시에서 C 도시까지 몇 가지 방법으로 갈 수 있나요?
그것은 간단합니다: 5x4=20, 즉 A 지점에서 C 지점까지 20가지 다른 방법으로 이동할 수 있습니다.
작업을 복잡하게 만들어 봅시다. 솔리테어에서 카드를 배치하는 방법은 몇 가지입니까? 덱에는 36장의 카드가 있습니다. 이것이 시작점입니다. 방법의 수를 알아내려면 시작점에서 한 번에 한 장의 카드를 "빼고" 곱해야 합니다.
즉, 36x35x34x33x32...x2x1= 결과가 계산기 화면에 맞지 않아 간단히 36!으로 지정하면 됩니다. 징후 "!" 숫자 옆에 있는 는 일련의 전체 숫자가 함께 곱해진다는 것을 나타냅니다.
조합론에는 순열, 배치 및 조합과 같은 개념이 있습니다. 그들 각각은 자신의 공식을 가지고 있습니다.
집합의 요소들이 순서대로 배열된 집합을 배열이라고 합니다. 배치는 반복될 수 있습니다. 즉, 하나의 요소를 여러 번 사용할 수 있습니다. 그리고 반복이 없으면 요소가 반복되지 않습니다. n은 모든 요소이고, m은 배치에 참여하는 요소입니다. 반복 없이 배치하는 공식은 다음과 같습니다.
An m =n!/(n-m)!
배치 순서만 다른 n개 요소의 연결을 순열이라고 합니다. 수학에서는 다음과 같습니다: P n = n!
m의 n개 요소의 조합은 어떤 요소인지, 총 개수가 얼마인지가 중요한 화합물입니다. 수식은 다음과 같습니다.
An m =n!/m!(n-m)!
베르누이의 공식
모든 학문 분야와 마찬가지로 확률 이론에도 해당 분야를 새로운 수준으로 끌어올린 뛰어난 연구자들의 연구가 있습니다. 이러한 연구 중 하나는 베르누이 공식으로, 이를 통해 독립적인 조건에서 특정 사건이 발생할 확률을 결정할 수 있습니다. 이는 실험에서 A의 발생이 이전 또는 후속 실험에서 동일한 사건의 발생 여부에 좌우되지 않음을 시사합니다.
베르누이 방정식:
Pn(m) = Cnm ×pm ×qn-m.
사건 (A)가 발생할 확률(p)은 각 시행마다 일정합니다. n번의 실험에서 상황이 정확히 m번 발생할 확률은 위에 제시된 공식에 의해 계산됩니다. 따라서 숫자 q를 찾는 방법에 대한 의문이 생깁니다.
따라서 사건 A가 p번 발생하면 사건이 발생하지 않을 수도 있습니다. 단위는 학문 분야에서 상황의 모든 결과를 지정하는 데 사용되는 숫자입니다. 따라서 q는 사건이 일어나지 않을 가능성을 나타내는 숫자이다.
이제 베르누이의 공식(확률 이론)을 알았습니다. 아래에서 문제 해결(첫 번째 수준)의 예를 살펴보겠습니다.
작업 2:매장 방문객은 0.2의 확률로 구매를 하게 됩니다. 6명의 방문객이 독립적으로 매장에 입장했습니다. 방문자가 구매할 가능성은 얼마나 됩니까?
해결 방법: 방문자 중 한 명 또는 여섯 명 모두 몇 명이 구매해야 하는지 알 수 없으므로 베르누이 공식을 사용하여 가능한 모든 확률을 계산해야 합니다.
A = "방문자가 구매할 것입니다."
이 경우: p = 0.2(작업에 표시된 대로). 따라서 q=1-0.2 = 0.8입니다.
n = 6(상점에 6명의 고객이 있으므로). 숫자 m은 0(단 한 명의 고객도 구매하지 않음)부터 6(상점을 방문하는 모든 방문자가 무언가를 구매함)까지 다양합니다. 결과적으로 우리는 다음과 같은 해결책을 얻습니다.
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.
구매자 중 누구도 확률 0.2621로 구매하지 않습니다.
베르누이의 공식(확률론)은 또 어떻게 사용되나요? 아래는 문제 해결 예시(두 번째 수준)입니다.
위의 예 후에 C와 r이 어디로 갔는지에 대한 질문이 생깁니다. p에 대해 0의 거듭제곱은 1과 같습니다. C의 경우 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
C n m = n! /m!(n-m)!
첫 번째 예에서는 각각 m = 0이므로 C = 1이며 이는 원칙적으로 결과에 영향을 미치지 않습니다. 새로운 공식을 사용하여 두 명의 방문자가 상품을 구매할 확률이 얼마인지 알아봅시다.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.
확률 이론은 그렇게 복잡하지 않습니다. 위에 제시된 예인 베르누이의 공식은 이에 대한 직접적인 증거입니다.
포아송의 공식
포아송 방정식은 확률이 낮은 무작위 상황을 계산하는 데 사용됩니다.
기본 공식:
Pn(m)=λm/m! × e(-λ) .
이 경우 λ = n x p. 다음은 간단한 포아송 공식(확률 이론)입니다. 아래에서 문제 해결의 예를 고려해 보겠습니다.
작업 3: 공장에서 부품 10만개 생산. 불량부품 발생 = 0.0001. 한 배치에 불량 부품이 5개 있을 확률은 얼마입니까?
보시다시피 결혼은 있을 법하지 않은 사건이므로 계산에는 푸아송 공식(확률 이론)이 사용됩니다. 이러한 종류의 문제를 해결하는 예는 해당 분야의 다른 작업과 다르지 않습니다. 필요한 데이터를 주어진 공식으로 대체합니다.
A = "무작위로 선택한 부품에 결함이 있습니다."
p = 0.0001(작업 조건에 따라).
n = 100000(부품 수).
m = 5(결함 부품). 데이터를 공식에 대체하고 다음을 얻습니다.
R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0.0375.
위에 쓰여진 해법의 예인 베르누이 공식(확률 이론)과 마찬가지로 포아송 방정식에는 미지의 e가 있습니다. 실제로 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
e - λ = lim n -> π (1-λ/n) n .
그러나 e의 거의 모든 값을 포함하는 특수 테이블이 있습니다.
드 무아브르-라플라스 정리
Bernoulli 계획에서 시행 횟수가 충분히 크고 모든 계획에서 사건 A가 발생할 확률이 동일하면 일련의 테스트에서 사건 A가 특정 횟수만큼 발생할 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 라플라스의 공식:
Р n (m)= 1/√npq x ф(Xm).
Xm = m-np/√npq.
라플라스의 공식(확률 이론)을 더 잘 기억할 수 있도록 아래에 문제의 예가 나와 있습니다.
먼저 X m을 찾고 데이터(모두 위에 나열되어 있음)를 공식에 대입하여 0.025를 얻습니다. 표를 사용하여 값이 0.3988인 숫자 ф(0.025)를 찾습니다. 이제 모든 데이터를 공식으로 대체할 수 있습니다.
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.
따라서 전단지가 정확히 267번 작동할 확률은 0.03입니다.
베이즈 공식
아래에 제공될 문제 해결의 예인 베이즈 공식(확률 이론)은 관련될 수 있는 상황을 기반으로 이벤트의 확률을 설명하는 방정식입니다. 기본 공식은 다음과 같습니다.
P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B).
A와 B는 확실한 사건이다.
P(A|B)는 조건부 확률입니다. 즉, 사건 B가 참일 경우 사건 A가 발생할 수 있습니다.
P(B|A) - 사건 B의 조건부 확률.
따라서 단기 강좌 "확률 이론"의 마지막 부분은 베이즈 공식으로, 문제 해결의 예는 아래와 같습니다.
작업 5: 3개 회사의 휴대폰이 창고로 옮겨졌습니다. 동시에 첫 번째 공장에서 제조되는 휴대폰의 비율은 25%, 두 번째 공장은 60%, 세 번째 공장은 15%입니다. 또한 첫 번째 공장의 평균 불량률은 2%, 두 번째 공장은 4%, 세 번째 공장은 1%인 것으로 알려져 있습니다. 무작위로 선택한 휴대폰에 결함이 있을 확률을 찾아야 합니다.
A = "무작위로 고른 휴대폰."
B 1 - 첫 번째 공장에서 생산된 전화기입니다. 이에 따라 입문용 B2와 B3(2,3공장용)이 등장하게 된다.
결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:
P(B1) = 25%/100% = 0.25; P(B2) = 0.6; P(B 3) = 0.15 - 따라서 각 옵션의 확률을 찾았습니다.
이제 원하는 이벤트의 조건부 확률, 즉 회사에서 제품에 결함이 있을 확률을 찾아야 합니다.
P(A/B 1) = 2%/100% = 0.02;
P(A/B 2) = 0.04;
P(A/B 3) = 0.01.
이제 데이터를 Bayes 공식으로 대체하고 다음을 얻습니다.
P(A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.
이 기사는 확률 이론, 공식 및 문제 해결의 예를 제시하지만 이는 광범위한 분야의 빙산의 일각에 불과합니다. 그리고 모든 내용이 작성된 후에는 확률 이론이 삶에 필요한지 여부에 대한 질문을 하는 것이 논리적일 것입니다. 평범한 사람이 대답하기는 어렵습니다. 한 번 이상 대박을 터뜨린 적이 있는 사람에게 물어보는 것이 좋습니다.
