확률 이론, 정의 및 확률의 속성에 대한 기본 개념입니다. 확률의 직접 계산

“사고는 우연이 아니다”... 철학자의 말처럼 들리지만 사실 무작위성을 연구하는 것은 위대한 수학과학의 운명이다. 수학에서는 확률론을 통해 기회를 다룹니다. 이 과학의 기본 정의뿐만 아니라 작업의 공식과 예도 기사에 나와 있습니다.

확률 이론이란 무엇입니까?

확률 이론은 무작위 사건을 연구하는 수학적 학문 중 하나입니다.

좀 더 명확하게 하기 위해 작은 예를 들어보겠습니다. 동전을 위로 던지면 앞면이나 뒷면이 나올 수 있습니다. 동전이 공중에 있는 동안에는 이 두 가지 확률이 모두 가능합니다. 즉, 가능한 결과의 확률은 1:1입니다. 36장의 카드 덱에서 한 장을 뽑는 경우 확률은 1:36으로 표시됩니다. 특히 수학 공식의 도움으로 여기에서는 탐색하고 예측할 것이 아무것도 없는 것처럼 보입니다. 그러나 특정 동작을 여러 번 반복하면 특정 패턴을 식별하고 이를 기반으로 다른 조건에서 이벤트의 결과를 예측할 수 있습니다.

위의 모든 내용을 요약하면 고전적 의미의 확률 이론은 가능한 사건 중 하나가 수치 값으로 발생할 가능성을 연구합니다.

역사의 페이지에서

첫 번째 작업의 확률 이론, 공식 및 예는 카드 게임의 결과를 예측하려는 시도가 처음 발생한 먼 중세 시대에 나타났습니다.

처음에 확률 이론은 수학과 아무 관련이 없었습니다. 그것은 실제로 재현될 수 있는 경험적 사실이나 사건의 속성에 의해 정당화되었습니다. 수학 분야로서 이 분야의 첫 작품은 17세기에 등장했습니다. 창립자는 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)과 피에르 페르마(Pierre Fermat)였습니다. 그들은 오랫동안 도박을 연구하고 특정 패턴을 관찰했으며 이를 대중에게 알리기로 결정했습니다.

Christiaan Huygens도 동일한 기술을 발명했지만 Pascal과 Fermat의 연구 결과에 익숙하지 않았습니다. 그는 학문 역사상 처음으로 간주되는 "확률 이론"의 개념, 공식 및 예를 소개했습니다.

Jacob Bernoulli의 연구, Laplace 및 Poisson의 정리도 그다지 중요하지 않습니다. 그들은 확률 이론을 수학적 학문처럼 만들었습니다. Kolmogorov의 공리 덕분에 기본 작업의 확률 이론, 공식 및 예가 현재 형태를 얻었습니다. 모든 변화의 결과로 확률 이론은 수학적 분야 중 하나가 되었습니다.

확률 이론의 기본 개념. 이벤트

이 분야의 주요 개념은 "이벤트"입니다. 이벤트에는 세 가지 유형이 있습니다.

• 믿을 수 있는.어차피 일어날 일들(동전은 떨어질 것이다).
• 불가능한.어떤 상황에서도 발생하지 않는 이벤트(코인은 공중에 계속 매달려 있습니다).
• 무작위의.일어날 일과 일어나지 않을 일. 예측하기 매우 어려운 다양한 요인의 영향을 받을 수 있습니다. 동전에 대해 이야기하면 동전의 물리적 특성, 모양, 원래 위치, 던지는 힘 등 결과에 영향을 미칠 수 있는 무작위 요소가 있습니다.

예제의 모든 이벤트는 역할이 다른 P를 제외하고 라틴 대문자로 표시됩니다. 예를 들어:

• A = “학생들이 강의를 하러 왔습니다.”
• Ā = “학생들이 강의에 오지 않았습니다.”

실제 작업에서 이벤트는 일반적으로 단어로 기록됩니다.

사건의 가장 중요한 특징 중 하나는 동등한 가능성이다. 즉, 동전을 던지면 떨어질 때까지 초기 하락의 모든 변형이 가능합니다. 그러나 이벤트도 똑같이 가능하지는 않습니다. 이는 누군가 의도적으로 결과에 영향을 미칠 때 발생합니다. 예를 들어, 무게 중심이 이동하는 "표시된" 카드 놀이나 주사위가 있습니다.

이벤트는 호환 가능하거나 호환되지 않을 수도 있습니다. 호환 가능한 이벤트는 서로의 발생을 배제하지 않습니다. 예를 들어:

• A = “학생이 강의를 들으러 왔습니다.”
• B = “학생이 강의를 들으러 왔습니다.”

이러한 이벤트는 서로 독립적이며 둘 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생에 영향을 주지 않습니다. 호환되지 않는 사건은 하나의 발생이 다른 사건의 발생을 배제한다는 사실로 정의됩니다. 동일한 동전에 대해 이야기하면 "꼬리"가 없어지므로 동일한 실험에서 "머리"가 나타나는 것이 불가능해집니다.

이벤트에 대한 작업

이벤트는 곱해지고 추가될 수 있으며 이에 따라 논리적 연결 "AND" 및 "OR"이 분야에 도입됩니다.

그 금액은 사건 A나 B, 또는 두 가지가 동시에 발생할 수 있다는 사실에 따라 결정됩니다. 호환되지 않는 경우 마지막 옵션은 A 또는 B가 굴러갑니다.

사건의 곱셈은 A와 B가 동시에 나타나는 것으로 구성됩니다.

이제 우리는 기본, 확률 이론 및 공식을 더 잘 기억하기 위해 몇 가지 예를 제공할 수 있습니다. 아래 문제 해결 예시.

연습 1: 회사는 세 가지 유형의 업무에 대한 계약을 받기 위해 경쟁에 참여합니다. 발생할 수 있는 가능한 이벤트:

• A = “회사가 첫 번째 계약을 받게 됩니다.”
• A 1 = "회사는 첫 번째 계약을 받지 못할 것입니다."
• B = “회사는 두 번째 계약을 받게 될 것입니다.”
• B 1 = “회사는 두 번째 계약을 받지 않을 것입니다”
• C = "회사는 세 번째 계약을 받게 됩니다."
• C 1 = "회사는 세 번째 계약을 받지 않을 것입니다."

이벤트에 대한 액션을 사용하여 다음과 같은 상황을 표현해 보겠습니다.

• K = “회사가 모든 계약을 받을 것이다.”

수학적 형식에서 방정식의 형식은 K = ABC입니다.

• M = “회사는 단 한 건의 계약도 받지 않을 것입니다.”

남 = A 1 B 1 C 1.

작업을 복잡하게 만들어 보겠습니다. H = "회사는 하나의 계약을 받게 됩니다." 회사가 어떤 계약(첫 번째, 두 번째 또는 세 번째)을 받을지 알 수 없으므로 가능한 일련의 전체 이벤트를 기록해야 합니다.

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

그리고 1BC 1은 회사가 첫 번째와 세 번째 계약을 받지 않고 두 번째 계약을 받는 일련의 사건이다. 다른 가능한 사건은 적절한 방법을 사용하여 기록되었습니다. 분야에서 기호 υ는 연결 "OR"을 나타냅니다. 위의 예를 인간의 언어로 번역하면 회사는 세 번째 계약, 두 번째 계약, 첫 번째 계약을 받게 됩니다. 비슷한 방식으로 "확률 이론" 분야의 다른 조건도 적어볼 수 있습니다. 위에 제시된 문제 해결의 공식과 예는 이 문제를 스스로 해결하는 데 도움이 될 것입니다.

실제로 확률은

아마도 이 수학적 분야에서는 사건의 확률이 핵심 개념일 것입니다. 확률에는 3가지 정의가 있습니다.

• 권위 있는;
• 통계적;
• 기하학적.

각각은 확률 연구에서 그 자리를 차지합니다. 확률 이론, 공식 및 예(9학년)에서는 주로 다음과 같은 고전적인 정의를 사용합니다.

• 상황 A의 확률은 가능한 모든 결과의 수에 대한 발생을 선호하는 결과의 수의 비율과 같습니다.

공식은 다음과 같습니다: P(A)=m/n.

A는 실제로 이벤트입니다. A와 반대되는 경우가 나타나면 Ā 또는 A 1 로 쓸 수 있습니다.

m은 가능한 유리한 경우의 수입니다.

n - 일어날 수 있는 모든 사건.

예를 들어, A = “하트 모양의 카드를 뽑습니다.” 표준 덱에는 36장의 카드가 있으며 그 중 9장은 하트 카드입니다. 따라서 문제를 해결하는 공식은 다음과 같습니다.

P(A)=9/36=0.25.

결과적으로 하트 슈트 카드가 덱에서 뽑힐 확률은 0.25가 됩니다.

더 높은 수학을 향해

이제 확률 이론이 무엇인지, 학교 커리큘럼에서 발생하는 문제 해결의 공식 및 예가 무엇인지 조금 알려졌습니다. 그러나 확률 이론은 대학에서 가르치는 고등 수학에서도 발견됩니다. 대부분 그들은 이론과 복잡한 공식의 기하학적, 통계적 정의를 사용하여 작동합니다.

확률 이론은 매우 흥미롭습니다. 확률의 통계적(또는 빈도) 정의를 사용하여 공식과 예(고등 수학)를 작게 연구하는 것이 좋습니다.

통계적 접근 방식은 고전적인 접근 방식과 모순되지 않지만 약간 확장됩니다. 첫 번째 경우에 이벤트가 발생할 확률을 결정해야 하는 경우 이 방법에서는 이벤트가 얼마나 자주 발생하는지 표시해야 합니다. 여기서는 Wn(A)로 표시할 수 있는 "상대 주파수"라는 새로운 개념이 도입되었습니다. 공식은 고전적인 공식과 다르지 않습니다.

예측을 위해 고전 공식을 계산하면 실험 결과에 따라 통계 공식이 계산됩니다. 작은 작업을 예로 들어보겠습니다.

기술 관리 부서에서는 제품의 품질을 확인합니다. 100개 제품 중 품질이 좋지 않은 제품이 3개 발견됐다. 고품질 제품의 빈도 확률을 찾는 방법은 무엇입니까?

A = “고급제품의 외관”

승n(A)=97/100=0.97

따라서 고품질 제품의 빈도는 0.97입니다. 97은 어디서 구하셨나요? 100개 제품을 점검한 결과 3개 제품이 품질이 좋지 않은 것으로 나타났습니다. 100에서 3을 빼면 97이 나옵니다. 이것이 바로 품질이 좋은 제품의 양입니다.

조합론에 대해 조금

확률 이론의 또 다른 방법은 조합론이라고 합니다. 기본 원리는 어떤 선택 A가 m개의 다른 방식으로 이루어질 수 있고 선택 B가 n개의 다른 방식으로 이루어질 수 있다면 A와 B의 선택은 곱셈으로 이루어질 수 있다는 것입니다.

예를 들어, A 도시에서 B 도시로 이어지는 5개의 도로가 있습니다. B도시에서 C도시로 가는 경로는 4가지가 있습니다. A 도시에서 C 도시까지 몇 가지 방법으로 갈 수 있나요?

그것은 간단합니다: 5x4=20, 즉 A 지점에서 C 지점까지 20가지 다른 방법으로 이동할 수 있습니다.

작업을 복잡하게 만들어 봅시다. 솔리테어에서 카드를 배치하는 방법은 몇 가지입니까? 덱에는 36장의 카드가 있습니다. 이것이 시작점입니다. 방법의 수를 알아내려면 시작점에서 한 번에 한 장의 카드를 "빼고" 곱해야 합니다.

즉, 36x35x34x33x32...x2x1= 결과가 계산기 화면에 맞지 않아 간단히 36!으로 지정하면 됩니다. 징후 "!" 숫자 옆에 있는 는 일련의 전체 숫자가 함께 곱해진다는 것을 나타냅니다.

조합론에는 순열, 배치 및 조합과 같은 개념이 있습니다. 그들 각각은 자신의 공식을 가지고 있습니다.

집합의 요소들이 순서대로 배열된 집합을 배열이라고 합니다. 배치는 반복될 수 있습니다. 즉, 하나의 요소를 여러 번 사용할 수 있습니다. 그리고 반복이 없으면 요소가 반복되지 않습니다. n은 모든 요소이고, m은 배치에 참여하는 요소입니다. 반복 없이 배치하는 공식은 다음과 같습니다.

An m =n!/(n-m)!

배치 순서만 다른 n개 요소의 연결을 순열이라고 합니다. 수학에서는 다음과 같습니다: P n = n!

m의 n개 요소의 조합은 해당 요소가 무엇인지, 총 개수가 무엇인지가 중요한 화합물입니다. 수식은 다음과 같습니다.

An m =n!/m!(n-m)!

베르누이의 공식

모든 학문 분야와 마찬가지로 확률 이론에도 해당 분야를 새로운 수준으로 끌어올린 뛰어난 연구자들의 연구가 있습니다. 이러한 연구 중 하나는 베르누이 공식으로, 이를 통해 독립적인 조건에서 특정 사건이 발생할 확률을 결정할 수 있습니다. 이는 실험에서 A의 발생이 이전 또는 후속 실험에서 동일한 사건의 발생 여부에 좌우되지 않음을 시사합니다.

베르누이 방정식:

Pn(m) = Cnm ×pm ×qn-m.

사건 (A)가 발생할 확률(p)은 각 시행마다 일정합니다. n번의 실험에서 상황이 정확히 m번 발생할 확률은 위에 제시된 공식에 의해 계산됩니다. 따라서 숫자 q를 찾는 방법에 대한 의문이 생깁니다.

따라서 사건 A가 p번 발생하면 사건이 발생하지 않을 수도 있습니다. 단위는 학문 분야에서 상황의 모든 결과를 지정하는 데 사용되는 숫자입니다. 따라서 q는 사건이 일어나지 않을 가능성을 나타내는 숫자이다.

이제 베르누이의 공식(확률 이론)을 알았습니다. 아래에서 문제 해결(첫 번째 수준)의 예를 살펴보겠습니다.

작업 2:매장 방문객은 0.2의 확률로 구매를 하게 됩니다. 6명의 방문객이 독립적으로 매장에 입장했습니다. 방문자가 구매할 가능성은 얼마나 됩니까?

해결 방법: 방문자 중 한 명 또는 여섯 명 모두 몇 명이 구매해야 하는지 알 수 없으므로 베르누이 공식을 사용하여 가능한 모든 확률을 계산해야 합니다.

A = "방문자가 구매할 것입니다."

이 경우: p = 0.2(작업에 표시된 대로). 따라서 q=1-0.2 = 0.8입니다.

n = 6(상점에 6명의 고객이 있으므로). 숫자 m은 0(단 한 명의 고객도 구매하지 않음)부터 6(상점을 방문하는 모든 방문자가 무언가를 구매함)까지 다양합니다. 결과적으로 우리는 다음과 같은 해결책을 얻습니다.

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

구매자 중 누구도 확률 0.2621로 구매하지 않습니다.

베르누이의 공식(확률론)은 또 어떻게 사용되나요? 아래는 문제 해결 예시(두 번째 수준)입니다.

위의 예 후에 C와 r이 어디로 갔는지에 대한 질문이 생깁니다. p에 대해 0의 거듭제곱은 1과 같습니다. C의 경우 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

C n m = n! /m!(n-m)!

첫 번째 예에서는 각각 m = 0이므로 C = 1이며 이는 원칙적으로 결과에 영향을 미치지 않습니다. 새로운 공식을 사용하여 두 명의 방문자가 상품을 구매할 확률이 얼마인지 알아봅시다.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

확률 이론은 그렇게 복잡하지 않습니다. 위에 제시된 예인 베르누이의 공식은 이에 대한 직접적인 증거입니다.

포아송의 공식

포아송 방정식은 확률이 낮은 무작위 상황을 계산하는 데 사용됩니다.

기본 공식:

P n (m) = λ m /m! × e(-λ) .

이 경우 λ = n x p. 다음은 간단한 포아송 공식(확률 이론)입니다. 아래에서 문제 해결의 예를 고려해 보겠습니다.

작업 3: 공장에서 부품 10만개 생산. 불량부품 발생 = 0.0001. 한 배치에 불량 부품이 5개 있을 확률은 얼마입니까?

보시다시피 결혼은 일어날 가능성이 희박한 사건이므로 계산에는 푸아송 공식(확률 이론)이 사용됩니다. 이러한 종류의 문제를 해결하는 예는 해당 분야의 다른 작업과 다르지 않습니다. 필요한 데이터를 주어진 공식으로 대체합니다.

A = "무작위로 선택한 부품에 결함이 있습니다."

p = 0.0001(작업 조건에 따라).

n = 100000(부품 수).

m = 5(결함 부품). 데이터를 공식에 대체하고 다음을 얻습니다.

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0.0375.

위에 쓰여진 해법의 예인 베르누이 공식(확률 이론)과 마찬가지로 포아송 방정식에는 미지의 e가 있습니다. 실제로 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

e - λ = lim n -> π (1-λ/n) n .

그러나 e의 거의 모든 값을 포함하는 특수 테이블이 있습니다.

드 무아브르-라플라스 정리

Bernoulli 계획에서 시행 횟수가 충분히 크고 모든 계획에서 사건 A가 발생할 확률이 동일하면 일련의 테스트에서 사건 A가 특정 횟수만큼 발생할 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 라플라스의 공식:

Р n (m)= 1/√npq x ф(Xm).

Xm = m-np/√npq.

라플라스의 공식(확률 이론)을 더 잘 기억할 수 있도록 아래에 문제의 예가 나와 있습니다.

먼저 X m을 찾고 데이터(모두 위에 나열되어 있음)를 공식에 대입하여 0.025를 얻습니다. 표를 사용하여 값이 0.3988인 숫자 ф(0.025)를 찾습니다. 이제 모든 데이터를 공식으로 대체할 수 있습니다.

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

따라서 전단지가 정확히 267번 작동할 확률은 0.03입니다.

베이즈 공식

아래에 제공될 문제 해결의 예인 베이즈 공식(확률 이론)은 관련될 수 있는 상황을 기반으로 이벤트의 확률을 설명하는 방정식입니다. 기본 공식은 다음과 같습니다.

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B).

A와 B는 확실한 사건이다.

P(A|B)는 조건부 확률입니다. 즉, 사건 B가 참일 경우 사건 A가 발생할 수 있습니다.

P(B|A) - 사건 B의 조건부 확률.

따라서 단기 강좌 "확률 이론"의 마지막 부분은 베이즈 공식으로, 문제 해결의 예는 아래와 같습니다.

작업 5: 3개 회사의 휴대폰이 창고로 옮겨졌습니다. 동시에 첫 번째 공장에서 제조되는 휴대폰의 비율은 25%, 두 번째 공장은 60%, 세 번째 공장은 15%입니다. 또한 첫 번째 공장의 평균 불량률은 2%, 두 번째 공장은 4%, 세 번째 공장은 1%인 것으로 알려져 있습니다. 무작위로 선택한 휴대폰에 결함이 있을 확률을 찾아야 합니다.

A = “무작위로 고른 휴대폰.”

B 1 - 첫 번째 공장에서 생산된 전화기입니다. 이에 따라 입문용 B2와 B3가 등장하게 된다(두 번째, 세 번째 공장의 경우).

결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

P(B1) = 25%/100% = 0.25; P(B2) = 0.6; P(B 3) = 0.15 - 따라서 각 옵션의 확률을 찾았습니다.

이제 원하는 이벤트의 조건부 확률, 즉 회사에서 제품에 결함이 있을 확률을 찾아야 합니다.

P(A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P(A/B 3) = 0.01.

이제 데이터를 Bayes 공식으로 대체하고 다음을 얻습니다.

P(A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

이 기사는 확률 이론, 공식 및 문제 해결의 예를 제시하지만 이는 광범위한 분야의 빙산의 일각에 불과합니다. 그리고 모든 내용이 작성된 후에는 확률 이론이 삶에 필요한지 여부에 대한 질문을 묻는 것이 논리적입니다. 평범한 사람이 대답하기는 어렵습니다. 한 번 이상 대박을 터뜨린 적이 있는 사람에게 물어보는 것이 좋습니다.

확률 이론은 대량 무작위 현상의 패턴을 연구하는 수학 과학입니다.

일반적으로 받아 들여지는 이론으로 확률 이론이 출현하기 전에는 특정 조건 세트의 구현에 따라 결과가 고유하게 결정되는 결정론이 과학을 지배했습니다. 고전적인 예는 역학입니다. 예를 들어, 천체 역학의 법칙에 기초하여, 일식과 월식은 특정 순간에 태양계에서 알려진 행성의 위치로부터 매우 정확하게 예측될 수 있습니다. 이러한 법칙을 결정론적 법칙이라고 합니다.

그러나 실무에 따르면 이 접근 방식이 항상 적용 가능한 것은 아닙니다. 대우주에 대한 우리의 지식이 지속적으로 정제되고 심화되고 있음에도 불구하고 대우주의 모든 현상을 정확하게 예측할 수 있는 것은 아닙니다. 미시세계의 법칙과 규칙성은 훨씬 덜 결정되어 있습니다.

확률 이론의 수학적 법칙은 질량 무작위 현상에 객관적으로 존재하는 실제 통계 법칙을 반영합니다.

확률 이론은 처음에는 응용 분야로 발전했습니다. 이와 관련하여, 그 개념과 결론은 그것이 획득된 지식 영역에 따라 채색되었습니다.

B.V. 그네덴코, L.E. Maystrova, A.N. Kolmogorov는 확률 이론 개발의 주요 단계를 제시합니다. 간결성을 위해 표 형식으로 제시합니다.

1 번 테이블

확률 이론의 발전 단계

표에 제시된 개발 소스는 확률 이론 개발의 원동력이 된 실무 요구를 반영합니다.

17세기까지 철학은 상당한 양의 자료를 축적했고, 이는 확률론의 기원과 발전의 첫 번째 시기에 영향을 미쳤습니다. 확률 이론 출현의 주요 원인은 실천입니다. 무작위 현상 분석을 위한 수학적 장치를 만들 필요성은 통계 자료의 처리 및 일반화 필요성에서 비롯되었습니다. 그러나 확률 이론은 실제 문제를 바탕으로 형성되었을 뿐만 아니라 이러한 문제가 너무 복잡합니다. 도박은 무작위 현상의 패턴을 연구하는 데 더 간단하고 편리한 자료임이 밝혀졌습니다. 도박을 바탕으로 기본 개념과 함께 확률 이론의 방법도 개발되었습니다.

확률 이론의 기원은 도박꾼이었던 프랑스 왕 슈발리에(Cavalier) 드 메르(1607-1648)의 신하가 프랑스의 물리학자, 수학자, 철학자 블레즈 파스칼(1623-1662)에게 의지했다는 사실에서 시작되었습니다. 안경 문제에 대한 질문입니다. De Mere에서 Pascal까지 두 가지 유명한 질문이 우리에게 도달했습니다. 1) 두 개의 6이 동시에 떨어지는 횟수가 전체 던지기 횟수의 절반 이상이 되려면 두 개의 주사위를 몇 번 던져야합니까? 2) 플레이어가 게임을 조기에 중단한 경우 위태로운 돈을 공정하게 분배하는 방법은 무엇입니까? 파스칼은 수학자 피에르 페르마(1601-1665)에게 가서 이러한 문제에 관해 그와 연락을 취했습니다. 두 사람은 확률론의 초기 원리 중 일부를 확립했으며, 특히 수학적 기대의 개념과 확률의 덧셈과 곱셈의 정리에 이르렀습니다.

확률론적 방법은 우선 보험 문제에 직접적인 실제 적용을 발견했습니다. 그 이후로 확률 이론은 다양한 분야에서 점점 더 많이 응용되고 있습니다.

프랑스 과학자 B. Pascal과 P. Fermat, 네덜란드 과학자 H. Huygens(1629-1695)는 확률 이론의 발견자로 간주됩니다. 새로운 과학이 등장하기 시작했고 정의, 정리, 방법과 같은 세부 사항과 방법론이 나타나기 시작했습니다.

확률 이론 발전의 주요 단계는 Jacob Bernoulli(1654-1705)의 연구와 관련이 있습니다. 그는 확률 이론의 가장 중요한 조항 중 하나에 대한 최초의 증거였습니까? 큰 수의 법칙. Jacob Bernoulli 이전에도 많은 사람들은 "다수의 실험에 따른 주파수 안정성의 특성"이라고 불리는 무작위 현상의 특징을 경험적 사실로 언급했습니다. 각각의 결과가 무작위인 많은 수의 실험을 통해 주어진 결과의 상대적 발생 빈도가 안정화되어 이 결과의 확률이 특정 수치에 가까워지는 경향이 있다는 것이 반복적으로 언급되었습니다. 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)는 이 경험적 사실에 대한 이론적 정당성을 최초로 제시한 사람입니다. 야콥 베르누이의 정리? 가장 간단한 형태의 대수의 법칙? 사건의 확률과 사건의 발생 빈도 사이의 연관성을 설정합니다. 충분히 많은 수의 실험을 통해 실제적인 확실성을 가지고 빈도와 확률 사이에 임의의 긴밀한 일치를 기대할 수 있습니다.

확률 이론 발전의 또 다른 중요한 단계는 Moavr(1667~1754)의 이름과 관련이 있습니다. 이 과학자는 처음으로 무작위 현상에서 매우 자주 관찰되는 법칙, 즉 소위 정상 법칙(가우스의 법칙)을 고려하여 가장 간단한 경우로 정당화했습니다.

정상법칙은 무작위 현상에서 매우 중요한 역할을 합니다. 특정 조건에 대해 이 법칙을 정당화하는 정리는 일반적으로 "중심 극한 정리"라고 불리는 확률 이론에 있습니다.

확률 이론의 기초를 조화롭고 체계적으로 제시한 사람은 유명한 수학자 라플라스(1749~1827)입니다. 그는 중심 극한 정리(Moavre-Laplace 정리)의 형태 중 하나를 증명했으며, 특히 관찰 및 측정 오류 분석과 같은 실제 문제에 대한 확률 이론의 놀라운 적용을 개발했습니다.

확률 이론의 발전에 있어 중요한 진전은 가우스(Gauss, 1777-1855)의 이름과 관련이 있습니다. 그는 정규 법칙에 대한 훨씬 더 일반적인 정당성을 제시하고 "최소 제곱법"으로 알려진 실험 데이터 처리 방법을 개발했습니다. .

야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)보다 대수의 법칙의 더 일반적인 형태를 증명했으며, 확률 이론을 사격 문제에 최초로 적용한 푸아송(1781-1840)의 연구에 주목할 가치가 있습니다. 푸아송이라는 이름은 확률론과 그 응용에서 중요한 역할을 하는 분포 법칙 중 하나와 관련이 있습니다.

18세기와 19세기 초는 확률 이론의 급속한 발전과 그에 대한 광범위한 열광이 특징이었습니다. 확률 이론은 "유행" 과학이 되어가고 있습니다. 그들은 사용이 합법적인 곳뿐만 아니라 어떤 식으로든 정당화되지 않는 곳에서도 사용하기 시작했습니다.

이 기간은 확률 이론을 사회 현상 연구, 소위 "도덕" 또는 "도덕" 과학에 적용하려는 수많은 시도가 특징입니다. 확률 이론의 장치가 사용된 법적 절차, 역사, 정치, 심지어 신학 문제에 관한 수많은 작품이 등장했습니다. 이 모든 사이비과학 연구는 그 안에서 고려되는 사회 현상에 대해 극도로 단순화되고 기계적 접근 방식을 취하는 것이 특징입니다. 추론은 임의로 주어진 확률(예를 들어 법적 절차 문제를 고려할 때 각 사람이 진실을 말하거나 거짓말을 하는 경향은 모든 사람에게 동일한 일정한 확률로 추정됨)을 기반으로 하며, 그런 다음 사회 문제를 해결합니다. 간단한 산술 문제로 해결됩니다.

당연히 그러한 모든 시도는 실패할 운명이었고 과학 발전에 긍정적인 역할을 할 수 없었습니다. 오히려 그들의 간접적인 결과는 20대 전후였다는 걸까요? 1930년대 서유럽에서는 확률 이론에 대한 광범위한 열광이 실망과 회의론으로 바뀌었습니다. 그들은 확률 이론을 모호하고 이류 과학, 일종의 수학적 오락으로 진지하게 연구할 가치가 거의 없는 것으로 보기 시작했습니다.

이때 러시아에서 유명한 상트 페테르부르크 수학 학교가 설립되었으며, 그 작업을 통해 확률 이론이 탄탄한 논리적, 수학적 기반 위에 배치되고 신뢰할 수 있고 정확하며 효과적인 지식 방법이 만들어졌다는 것은 놀라운 일입니다. 이 학파가 등장한 이후 확률 이론의 발전은 이미 러시아인의 연구와 밀접하게 연결되어 있으며 앞으로도? 소련 과학자들.

상트페테르부르크 수학학교의 과학자 중 V. Ya. 러시아어 확률 이론의 첫 번째 과정 저자, 확률 이론의 현대 러시아어 용어 창시자, 통계 및 인구학 분야의 독창적인 연구 저자입니다.

V. Ya. Bunyakovsky의 학생은 러시아의 위대한 수학자 P. L. Chebyshev(1821~1894)였으며, 그는 대수의 법칙을 더욱 확장하고 일반화했습니다. 또한 P. L. Chebyshev는 확률 이론에 매우 강력하고 유익한 순간 방법을 도입했습니다.

P. L. Chebyshev의 학생은 A. A. Markov(1856~1922)였으며, 그는 대수의 법칙과 중심 극한 정리의 적용 범위를 크게 확장하여 독립적인 실험뿐만 아니라 종속 실험에도 적용했습니다. A. A. Markov의 가장 중요한 장점은 완전히 새로운 확률 이론 분야의 토대를 마련했다는 것입니다. 무작위 또는 "확률론적" 프로세스 이론. 이 이론의 발전은 최신의 현대 확률 이론의 주요 내용을 구성합니다.

극도로 일반적인 조건에서 중심 극한 정리의 첫 번째 증명과 관련된 이름을 가진 A. M. Lyapunov(1857-1918)도 P. L. Chebyshev의 학생이었습니다. 그의 정리를 증명하기 위해 A. M. Lyapunov는 현대 확률 이론에서 널리 사용되는 특성 함수의 특별한 방법을 개발했습니다.

상트 페테르부르크 수학 학교 작업의 특징은 문제 공식화의 탁월한 명확성, 사용 된 방법의 완전한 수학적 엄격함, 동시에 이론과 실천의 즉각적인 요구 사항의 긴밀한 연결이었습니다. 상트페테르부르크 수학학교 과학자들의 연구를 통해 확률 이론은 과학의 한계에서 벗어나 정확한 수학 과학의 정회원으로 자리 잡았습니다. 그녀의 방법을 적용하기 위한 조건은 엄격하게 정의되었고, 방법 자체도 높은 완성도에 이르렀습니다.

상트페테르부르크 수학 학교의 전통을 이어받은 소련의 확률 이론 학교는 세계 과학에서 선도적인 위치를 차지하고 있습니다. 현대 확률 이론의 발전과 실제 적용에 결정적인 역할을 한 소련의 가장 큰 과학자 중 일부만 언급하겠습니다.

S. N. Bernstein은 확률 이론의 최초의 완전한 공리학을 개발했으며 극한 정리의 적용 범위를 크게 확장했습니다.

A. Ya. Khinchin(1894~1959)은 대수의 법칙을 더욱 일반화하고 강화하는 분야에 대한 연구로 유명하지만 주로 고정 무작위 과정 분야에 대한 연구로 유명합니다.

확률 이론 및 수학적 통계의 다양한 분야에서 가장 중요한 기본 작업 중 다수는 A. N. Kolmogorov에 속합니다. 그는 확률 이론의 가장 완벽한 공리적 구성을 제공하여 이를 현대 수학의 가장 중요한 분야 중 하나와 연결했습니다. 함수의 미터법 이론. A. N. Kolmogorov의 작업은 현재 이 분야의 모든 연구의 기초를 형성하는 무작위 함수 이론(확률적 프로세스) 분야에서 특히 중요합니다. 효율성 평가와 관련된 A. N. Kolmogorov의 작업은 사격 이론에서 완전히 새로운 과학적 방향의 기초를 형성했으며, 이는 전투 작전의 효율성에 대한 더 넓은 과학으로 성장했습니다.

V. I. Romanovsky와 N. V. Smirnov는 수학적 통계 분야의 연구로 유명합니다. E. E. Slutsky? 무작위 과정 이론에서 B.V. Gnedenko? 대기열 이론 분야의 E. B. Dynkin? Markov 무작위 프로세스 분야에서 V. S. Pugachev? 자동 제어 문제에 적용되는 무작위 프로세스 분야.

현재 해외확률이론의 발전도 실무상의 긴급한 요구로 인해 빠른 속도로 진행되고 있다. 우리와 마찬가지로 무작위 프로세스와 관련된 질문에 우선적으로 관심을 기울입니다. 이 분야의 중요한 작품은 N. Wiener, V. Feller, D. Doob의 작품입니다. 확률 이론과 수학적 통계에 관한 중요한 연구는 R. Fischer, D. Neumann 및 G. Cramer의 작품입니다.

확률 이론은 수학의 다른 분야와 마찬가지로 실습의 필요에 따라 개발되었으며 추상적으로 대량 무작위 사건의 패턴을 반영합니다. 이러한 패턴은 자연과학, 의학, 기술, 경제, 군사 등 다양한 분야에서 매우 중요한 역할을 합니다. 실습의 필요성으로 인해 확률 이론의 많은 분야가 개발되었습니다.

확률의 고전적 정의는 다음 개념에 기초합니다. 확률적 경험,또는 확률 실험. 그 결과는 다음과 같은 여러 가지 가능한 결과 중 하나입니다. 기본 결과, 그리고 확률적 실험을 반복할 때 기본 결과가 다른 결과보다 더 자주 나타날 것이라고 기대할 이유가 없습니다. 예를 들어, 주사위를 던지는 확률론적 실험을 생각해 보세요. 이 실험의 결과는 큐브의 측면에 그려진 6개의 점 중 하나가 손실되는 것입니다.

따라서 이 실험에는 6가지 기본 결과가 있습니다.

그리고 그들 각각은 똑같이 기대됩니다.

이벤트고전적인 확률 실험에서 는 기본 결과 집합의 임의의 하위 집합입니다. 주사위를 던지는 예에서 이벤트는 예를 들어 기본 결과로 구성된 짝수의 점수를 잃는 것입니다.

사건의 확률은 숫자입니다:

는 이벤트를 구성하는 기본 결과의 수(때때로 이벤트 발생을 선호하는 기본 결과의 수라고 함)이고 모든 기본 결과의 수입니다.

우리의 예에서는:

조합론의 요소.

많은 확률론적 실험을 설명할 때 기본 결과는 다음과 같은 조합론(유한 집합의 과학) 개체 중 하나로 식별될 수 있습니다.

재배치숫자의 반복 없이 이러한 숫자를 임의로 순서대로 표현한 것입니다. 예를 들어 세 개의 숫자 집합에는 6개의 다른 순열이 있습니다.

, , , , , .

임의의 순열 수는 동일합니다.

(1부터 시작하는 자연수열의 연속된 숫자의 곱)

다음의 조합집합의 요소 중 임의의 순서가 지정되지 않은 집합입니다. 예를 들어, 세 개의 숫자 집합에는 3x2의 3가지 조합이 있습니다.

임의 쌍의 경우 , 의 조합 수는 다음과 같습니다.

예를 들어,

초기하 분포.

다음 확률적 실험을 고려해보세요. 흰색 공과 검은색 공이 들어 있는 검은색 상자가 있습니다. 공의 크기는 같고 촉감이 구별되지 않습니다. 실험은 무작위로 공을 뽑아내는 것으로 구성됩니다. 확률을 구해야 하는 사건은 이 공 중 일부는 흰색이고 나머지는 검은색이라는 것입니다.

1부터 까지의 숫자로 모든 공의 번호를 다시 매겨 봅시다. 숫자 1, ¼은 흰색 공에 해당하고 숫자 ¼은 검은 공에 해당합니다. 이 실험의 기본 결과는 집합에서 요소의 순서가 지정되지 않은 집합, 즉 by의 조합입니다. 결과적으로 모든 기본 결과가 있습니다.

사건 발생에 유리한 기본 결과의 개수를 구해보자. 해당 세트는 "흰색"과 "검은색" 숫자로 구성됩니다. 세 가지 방법으로 "흰색" 숫자에서 숫자를 선택하고 3/4 방법으로 "검은색" 숫자에서 숫자를 선택할 수 있습니다. 흰색 세트와 검정색 세트를 임의로 연결할 수 있어 이벤트에 유리한 기본 결과만 있을 뿐입니다.

사건의 확률은

결과 공식을 초기하 분포라고 합니다.

문제 5.1.상자에는 동일한 유형의 표준 부품 55개와 결함 부품 6개가 들어 있습니다. 무작위로 선택한 세 개의 부품 중 적어도 하나가 불량일 확률은 얼마입니까?

해결책.총 61개의 부분이 있으며, 3개를 취합니다. 기본 결과는 61×3의 조합입니다. 모든 기본 결과의 수는 와 같습니다. 유리한 결과는 세 그룹으로 나뉩니다. 1) 1개 부분이 불량이고 2개 부분이 양호한 결과입니다. 2) 부품 2개에 결함이 있고 1개는 양호합니다. 3) 부품 3개 모두 불량입니다. 첫 번째 유형의 세트 수는 와 같고, 두 번째 유형의 세트 수는 와 같으며, 세 번째 유형의 세트 수는 와 같습니다. 결과적으로 사건의 발생은 기본 결과에 의해 선호됩니다. 사건의 확률은

사건의 대수학

초등행사 공간 주어진 경험과 관련된 모든 기본 결과의 집합입니다.

양두 가지 사건을 사건이나 사건에 속하는 기본 결과로 구성된 사건이라고 합니다.

작품두 사건은 사건에 동시에 속하는 기본 결과로 구성된 사건이라고 합니다.

이벤트 및 는 호환되지 않는 경우 호출됩니다.

이벤트라고 합니다 반대이벤트, 해당 이벤트에 속하지 않는 모든 기본 결과가 해당 이벤트를 선호하는 경우입니다. 특히, , .

합계 정리.

특히, .

조건부 확률이벤트가 발생한 경우 해당 교차점에 속하는 기본 결과 수에 대한 기본 결과 수의 비율을 이라고 합니다. 즉, 사건의 조건부 확률은 새로운 확률 공간이 인 고전 확률 공식에 의해 결정됩니다. 사건의 조건부 확률은 으로 표시됩니다.

제품 이론. .

이벤트가 호출됩니다. 독립적인, 만약에 . 독립 사건의 경우 곱 정리는 관계식을 제공합니다.

합과 곱 정리의 결과는 다음 두 공식입니다.

총 확률 공식. 완전한 가설 그룹은 전체 확률 공간을 함께 구성하는 임의의 호환되지 않는 이벤트 집합 , ¼, 입니다.

이런 상황에서는 임의의 사건에 대해서는 총 확률 공식이라는 공식이 유효하며,

라플라스 함수 , , 는 어디에 있습니까? 라플라스 함수는 표로 작성되었으며 주어진 값에 따른 해당 값은 확률 이론 및 수학 통계에 관한 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다.

문제 5.3.대량의 부품 배치에서 불량률은 11%인 것으로 알려져 있습니다. 테스트를 위해 100개의 부품이 선택되었습니다. 그 중 불량품이 14개 이하일 확률은 얼마입니까? Moivre-Laplace 정리를 사용하여 답을 추정합니다.

해결책.우리는 Bernoulli 테스트를 다루고 있습니다. 여기서 , , . 성공은 결함이 있는 부분을 발견한 것으로 간주되며, 성공 횟수는 부등식을 만족시킵니다. 따라서,

직접 계산하면 다음이 제공됩니다.

, , , , , , , , , , , , , , .

따라서, . 이제 Moivre-Laplace 적분 정리를 적용해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

함수의 홀수를 고려하여 함수 값 테이블을 사용하여 다음을 얻습니다.

대략적인 계산의 오차는 를 초과하지 않습니다.

무작위 변수

확률변수는 확률적 실험의 수치적 특성으로 기본 결과의 함수입니다. , ¼이 기본 결과 집합인 경우 확률 변수는 의 함수입니다. 그러나 가능한 모든 값과 이 값을 사용할 확률을 나열하여 무작위 변수를 특성화하는 것이 더 편리합니다.

이러한 테이블을 확률변수의 분포 법칙이라고 합니다. 사건이 완전한 그룹을 형성하므로 확률적 정규화 법칙이 충족됩니다.

확률변수의 수학적 기대값 또는 평균값은 확률변수 값과 해당 확률의 곱의 합과 같은 숫자입니다.

확률변수의 분산(수학적 기대치를 중심으로 값이 확산되는 정도)은 확률변수의 수학적 기대치를 말하며,

다음과 같이 표시될 수 있습니다.

크기

확률변수의 평균 제곱편차라고 합니다.

확률 변수에 대한 분포 함수는 집합에 포함될 확률입니다.

0에서 1까지의 값을 취하는 음수가 아닌 비감소 함수입니다. 유한한 값 집합을 갖는 확률 변수의 경우 상태 지점에서 2종의 불연속성을 갖는 조각별 상수 함수입니다. 게다가, 와 는 왼쪽에 연속되어 있습니다.

문제 5.4.주사위 2개를 연속해서 던집니다. 하나의 주사위에 1, 3 또는 5개의 점이 나타나면 플레이어는 5루블을 잃습니다. 2~4개의 포인트가 나오면 플레이어는 7루블을 받습니다. 6점이 나오면 플레이어는 12루블을 잃습니다. 임의의 값 엑스두 개의 주사위 굴림에 대한 플레이어의 보수입니다. 유통 법칙을 찾아보세요 엑스, 분포 함수를 플롯하고 수학적 기대값과 분산을 찾습니다. 엑스.

해결책.먼저 주사위를 던질 때 플레이어의 승리가 무엇인지 생각해 봅시다. 1, 3, 5개의 포인트가 굴러가는 이벤트를 가정해 보겠습니다. 그러면 상금은 루블이 될 것입니다. 2~4개의 포인트가 굴러가는 이벤트를 가정해 보겠습니다. 그러면 상금은 루블이 될 것입니다. 마지막으로 이벤트가 6을 굴리는 것을 의미한다고 가정합니다. 그러면 상금은 루블과 같습니다.

이제 가능한 모든 이벤트 조합과 두 개의 주사위 던지기를 고려하고 각 조합에 대한 승리 값을 결정해 보겠습니다.

이벤트가 발생하면 동시에 발생합니다.

이벤트가 발생하면 동시에 발생합니다.

마찬가지로, 우리가 얻을 때, .

발견된 모든 상태와 이러한 상태의 총 확률을 표에 기록합니다.

우리는 확률적 정규화 법칙의 충족 여부를 확인합니다. 실제 라인에서는 무작위 변수가 이 구간에 속하고 ¼에서 급격히 감소할 확률을 결정할 수 있어야 합니다.

많은 사람들이 '확률 이론'이라는 개념을 접할 때 그것이 압도적이고 매우 복잡한 것이라고 생각하여 겁을 먹습니다. 그러나 실제로 모든 것이 그렇게 비극적이지는 않습니다. 오늘은 확률이론의 기본 개념을 살펴보고, 구체적인 사례를 통해 문제를 해결하는 방법을 배워보겠습니다.

과학

"확률 이론"과 같은 수학 분야에서는 무엇을 연구합니까? 그녀는 패턴과 수량을 기록합니다. 과학자들은 도박을 연구하던 18세기에 처음으로 이 문제에 관심을 갖게 되었습니다. 확률론의 기본 개념은 사건(event)이다. 경험이나 관찰에 의해 확립된 모든 사실입니다. 그러나 경험이란 무엇입니까? 확률 이론의 또 다른 기본 개념. 이는 이러한 상황이 우연이 아니라 특정 목적을 위해 만들어졌다는 것을 의미합니다. 관찰의 경우, 연구원 자신은 실험에 참여하지 않고 단순히 이러한 사건의 증인일 뿐입니다. 그는 무슨 일이 일어나고 있는지에 영향을 미치지 않습니다.

이벤트

확률론의 기본 개념이 사건이라는 점은 배웠지만 분류는 고려하지 않았습니다. 모두 다음 범주로 나뉩니다.

• 믿을 수 있는.
• 불가능한.
• 무작위의.

체험 중에 어떤 종류의 사건이 관찰되거나 생성되었는지에 관계없이 모두 이 분류에 속합니다. 각 유형에 대해 개별적으로 알아보시기 바랍니다.

믿을 수 있는 이벤트

이는 필요한 조치가 취해진 상황입니다. 본질을 더 잘 이해하려면 몇 가지 예를 드는 것이 좋습니다. 물리학, 화학, 경제학, 고등수학은 이 법칙의 적용을 받습니다. 확률 이론에는 신뢰할 수 있는 사건과 같은 중요한 개념이 포함됩니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.

• 우리는 일하고 임금의 형태로 보상을 받습니다.
• 우리는 시험을 잘 통과하고 대회에 합격했으며 이에 대해 교육 기관에 입학하는 형태로 보상을 받습니다.
• 우리는 은행에 돈을 투자했고, 필요하다면 돌려받도록 하겠습니다.

이러한 이벤트는 신뢰할 수 있습니다. 필요한 조건을 모두 충족했다면 반드시 기대했던 결과를 얻을 수 있을 것입니다.

불가능한 사건

이제 우리는 확률 이론의 요소를 고려하고 있습니다. 우리는 다음 유형의 사건, 즉 불가능에 대한 설명으로 넘어갈 것을 제안합니다. 먼저 가장 중요한 규칙을 규정해 보겠습니다. 불가능한 사건이 발생할 확률은 0입니다.

문제를 해결할 때 이 공식에서 벗어날 수 없습니다. 명확하게 설명하기 위해 이러한 이벤트의 예는 다음과 같습니다.

• 물은 +10의 온도에서 얼었습니다 (불가능합니다).
• 전기 부족은 어떤 식으로든 생산에 영향을 미치지 않습니다(이전 예에서와 마찬가지로 불가능합니다).

위에서 설명한 내용은 이 범주의 본질을 매우 명확하게 반영하므로 더 많은 예를 제시할 가치가 없습니다. 어떤 상황에서도 실험 중에는 불가능한 사건이 발생하지 않습니다.

무작위 이벤트

요소를 연구할 때 이러한 특정 유형의 이벤트에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 이것이 과학이 연구하는 것입니다. 경험의 결과로 어떤 일이 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있습니다. 또한, 테스트는 횟수 제한 없이 수행할 수 있습니다. 생생한 예는 다음과 같습니다.

• 동전 던지기는 경험이나 시험이고, 앞면이 나오는 것은 하나의 사건이다.
• 맹목적으로 가방에서 공을 꺼내는 것은 테스트이고, 빨간 공을 얻는 것은 이벤트입니다.

그러한 예는 무제한으로 있을 수 있지만 일반적으로 본질은 명확해야 합니다. 사건에 대해 얻은 지식을 요약하고 체계화하기 위해 표가 제공됩니다. 확률 이론은 제시된 모든 유형 중 마지막 유형만 연구합니다.

법률

확률이론은 어떤 사건이 일어날 가능성을 연구하는 과학이다. 다른 것과 마찬가지로 몇 가지 규칙이 있습니다. 확률 이론에는 다음과 같은 법칙이 존재합니다.

• 랜덤 변수 시퀀스의 수렴.
• 큰 수의 법칙.

복잡한 일의 가능성을 계산할 때 간단한 이벤트 세트를 사용하면 더 쉽고 빠르게 결과를 얻을 수 있습니다. 확률 이론의 법칙은 특정 정리를 사용하여 쉽게 증명됩니다. 먼저 첫 번째 법칙에 대해 알아가는 것이 좋습니다.

랜덤 변수 시퀀스의 수렴

수렴에는 여러 유형이 있습니다.

• 일련의 확률변수는 확률적으로 수렴합니다.
• 거의 불가능한.
• 평균 제곱 수렴.
• 유통융합.

그래서 막상 본질을 이해하는 것은 매우 어렵습니다. 이 주제를 이해하는 데 도움이 되는 정의는 다음과 같습니다. 첫 번째 보기부터 시작해 보겠습니다. 시퀀스가 호출됩니다. 확률이 수렴하다, 다음 조건이 충족되면 n은 무한대 경향이 있고 수열이 경향이 있는 숫자는 0보다 크고 1에 가깝습니다.

다음 보기로 넘어가겠습니다. 거의 확실히. 수열은 수렴한다고 한다 거의 확실히 n은 무한대에 가까워지고 P는 1에 가까운 값에 가까운 확률 변수로 변환됩니다.

다음 유형은 평균 제곱 수렴. SC 수렴을 사용할 때 벡터 랜덤 프로세스에 대한 연구는 좌표 랜덤 프로세스에 대한 연구로 축소됩니다.

마지막 유형이 남아 있는데, 바로 문제 해결로 넘어갈 수 있도록 간략하게 살펴보겠습니다. 분포 수렴에는 "약함"이라는 또 다른 이름이 있으며 그 이유는 나중에 설명하겠습니다. 약한 수렴이는 극한 분포 함수의 연속성의 모든 지점에서 분포 함수의 수렴입니다.

우리는 약속을 반드시 지킬 것입니다. 약한 수렴은 확률 공간에서 확률 변수가 정의되지 않는다는 점에서 위의 모든 것과 다릅니다. 이는 오로지 분포함수만을 이용하여 조건을 형성하였기 때문에 가능한 일이다.

대수의 법칙

다음과 같은 확률 이론의 정리:

• 체비쇼프 부등식.
• 체비쇼프의 정리.
• 일반화된 체비쇼프의 정리.
• 마르코프의 정리.

이러한 모든 정리를 고려하면 이 질문은 수십 장에 걸쳐 계속될 수 있습니다. 우리의 주요 임무는 확률 이론을 실제로 적용하는 것입니다. 지금 당장 이 작업을 수행하는 것이 좋습니다. 하지만 그 전에 확률 이론의 공리를 살펴보겠습니다. 공리는 문제 해결의 주요 보조자가 될 것입니다.

공리

우리는 불가능한 사건에 관해 이야기할 때 이미 첫 번째 사람을 만났습니다. 기억하자: 불가능한 사건이 일어날 확률은 0이다. 우리는 매우 생생하고 기억에 남는 예를 들었습니다. 기온이 섭씨 30도에 눈이 내렸습니다.

두 번째는 다음과 같습니다. 신뢰할 수 있는 이벤트가 1과 같은 확률로 발생합니다. 이제 수학적 언어인 P(B)=1을 사용하여 이를 작성하는 방법을 보여 드리겠습니다.

셋째: 무작위 사건은 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있지만 가능성은 항상 0에서 1까지입니다. 값이 1에 가까울수록 가능성이 커집니다. 값이 0에 가까워지면 확률은 매우 낮습니다. 이것을 수학적 언어로 쓰자: 0<Р(С)<1.

다음과 같이 들리는 마지막 네 번째 공리를 고려해 보겠습니다. 두 사건의 합 확률은 확률의 합과 같습니다. 우리는 이를 수학적 언어로 씁니다: P(A+B)=P(A)+P(B).

확률 이론의 공리는 기억하기 어렵지 않은 가장 간단한 규칙입니다. 우리가 이미 습득한 지식을 바탕으로 몇 가지 문제를 해결해 봅시다.

복권

먼저 가장 간단한 예인 복권을 살펴보겠습니다. 행운을 빌어 복권 한 장을 샀다고 상상해 보세요. 당신이 적어도 20루블을 얻을 확률은 얼마나 됩니까? 총 1,000개의 티켓이 유통에 참여하고 있으며 그 중 하나는 500루블의 상금을 받고, 그 중 10개는 각각 100루블을 갖고, 50개는 20루블의 상금을 받고, 100개는 5개의 상금을 받습니다. 확률 문제는 행운의 가능성을 찾는 데 기반을 두고 있습니다. 이제 우리는 위 작업에 대한 솔루션을 함께 분석하겠습니다.

문자 A를 사용하여 500루블의 승리를 나타내면 A를 얻을 확률은 0.001이 됩니다. 우리는 이것을 어떻게 얻었습니까? "행운의" 티켓 수를 총 수로 나누면 됩니다(이 경우: 1/1000).

B는 100루블의 승리이며 확률은 0.01입니다. 이제 이전 작업과 동일한 원칙에 따라 작업했습니다(10/1000).

C - 상금은 20루블입니다. 확률은 0.05와 같습니다.

남은 티켓에는 관심이 없습니다. 상금이 조건에 명시된 금액보다 적기 때문입니다. 네 번째 공리를 적용해 보겠습니다. 최소 20루블을 얻을 확률은 P(A)+P(B)+P(C)입니다. 문자 P는 특정 이벤트가 발생할 확률을 나타냅니다. 이전 작업에서 이미 찾았습니다. 남은 것은 필요한 데이터를 합산하는 것 뿐이며, 우리가 얻는 답은 0.061입니다. 이 숫자는 작업 질문에 대한 답변이 될 것입니다.

카드덱

확률 이론의 문제는 더 복잡할 수 있습니다. 예를 들어 다음 작업을 살펴보겠습니다. 당신 앞에는 36장의 카드로 구성된 덱이 있습니다. 당신의 임무는 스택을 섞지 않고 두 장의 카드를 연속으로 뽑는 것입니다. 첫 번째와 두 번째 카드는 에이스여야 하며 모양은 중요하지 않습니다.

먼저 첫 번째 카드가 에이스가 될 확률을 찾아보겠습니다. 이를 위해 4를 36으로 나눕니다. 그들은 그것을 옆으로 치워두었습니다. 두 번째 카드를 꺼내면 3/5의 확률로 에이스가 될 것입니다. 두 번째 이벤트의 확률은 우리가 먼저 뽑은 카드에 따라 달라지며, 그것이 에이스인지 아닌지 궁금합니다. 따라서 사건 B는 사건 A에 의존합니다.

다음 단계는 동시 발생 확률, 즉 A와 B를 곱하는 것입니다. 그 곱은 다음과 같이 구됩니다. 한 사건의 확률에 다른 사건의 조건부 확률을 곱합니다. 이벤트가 발생했습니다. 즉, 첫 번째 카드로 에이스를 뽑았습니다.

모든 것을 명확하게 하기 위해 이벤트와 같은 요소를 지정해 보겠습니다. 이벤트 A가 발생했다고 가정하여 계산됩니다. 이는 다음과 같이 계산됩니다: P(B/A).

계속해서 문제를 해결해 봅시다. P(A * B) = P(A) * P(B/A) 또는 P(A * B) = P(B) * P(A/B). 확률은 (4/36) * ((3/35)/(4/36)과 같습니다. 가장 가까운 100분의 1까지 반올림하여 계산합니다. 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 연속으로 에이스 2개를 뽑을 확률은 9/100으로 매우 작은 값이므로 이벤트가 발생할 확률이 매우 낮습니다.

잊어버린 번호

우리는 확률 이론으로 연구되는 작업의 몇 가지 변형을 더 분석할 것을 제안합니다. 이 기사에서 그 중 일부를 해결하는 예를 이미 보았습니다. 다음 문제를 해결해 보겠습니다. 소년은 친구 전화번호의 마지막 숫자를 잊어버렸지만 통화가 매우 중요했기 때문에 모든 것에 하나씩 전화를 걸기 시작했습니다. . 우리는 그가 세 번 이하로 콜할 확률을 계산해야 합니다. 확률 이론의 규칙, 법칙 및 공리를 알면 문제에 대한 해결책이 가장 간단합니다.

해결책을 보기 전에 먼저 스스로 해결해 보세요. 우리는 마지막 숫자가 0부터 9까지, 즉 총 10개의 값이 될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 올바른 것을 얻을 확률은 1/10입니다.

다음으로, 사건의 출처에 대한 옵션을 고려해야 합니다. 소년이 올바르게 추측하고 즉시 올바른 것을 입력했다고 가정하면 그러한 사건이 발생할 확률은 1/10입니다. 두 번째 옵션: 첫 번째 호출이 실패하고 두 번째 호출이 목표에 도달했습니다. 그러한 사건의 확률을 계산해 봅시다. 9/10에 1/9를 곱하면 결과적으로 1/10도 얻습니다. 세 번째 옵션: 첫 번째와 두 번째 전화는 잘못된 주소로 걸려온 것으로 밝혀졌고, 세 번째 전화에서만 소년이 원하는 곳에 도착했습니다. 우리는 그러한 사건의 확률을 계산합니다: 9/10에 8/9와 1/8을 곱하여 1/10이 됩니다. 문제의 조건에 따른 다른 옵션에는 관심이 없으므로 얻은 결과만 더하면 결국 3/10이 됩니다. 답: 소년이 세 번 이하로 전화할 확률은 0.3입니다.

숫자가 적힌 카드

당신 앞에는 9개의 카드가 있으며, 각 카드에는 1부터 9까지의 숫자가 적혀 있으며 숫자는 반복되지 않습니다. 그것들을 상자에 넣고 잘 섞었습니다. 확률을 계산해야 합니다.

• 짝수가 나타날 것입니다;
• 두 자리.

솔루션으로 넘어가기 전에 m은 성공한 사례의 수이고 n은 총 옵션 수라고 규정해 보겠습니다. 숫자가 짝수일 확률을 찾아봅시다. 4개의 짝수가 있다는 것을 계산하는 것은 어렵지 않을 것입니다. 이것이 우리의 m이 될 것이며 총 9개의 가능한 옵션이 있습니다, 즉 m=9입니다. 그러면 확률은 0.44 또는 4/9입니다.

두 번째 경우를 고려해 보겠습니다. 옵션 수는 9개이고 성공적인 결과는 전혀 없습니다. 즉, m은 0입니다. 뽑은 카드에 두 자리 숫자가 포함될 확률도 0이다.

니즈니노브고로드 주립 공과대학교

그들을. A.E. 알렉세바

확률의 분야 이론에 대한 초록

완료자: Ruchina N.A gr 10MEnz

확인자: Gladkov V.V.

니즈니노브고로드, 2011년

확률 이론 ..........................................

확률론의 주제............

확률론의 기본 개념...........

무작위 사건, 사건 확률 ............................................................................................................

극한정리..........................................

무작위 프로세스 .......................................................................

역사적 참고자료 ..........................................

중고 도서 .............................................................

확률 이론

확률 이론 -일부 무작위 사건의 확률로부터 첫 번째 사건과 어떤 방식으로든 관련된 다른 무작위 사건의 확률을 찾는 수학적 과학입니다.

어떤 사건이 확률적으로 발생한다는 진술 , 예를 들어 0.75와 같다는 것은 우리가 신뢰할 수 있는 지식을 위해 노력하기 때문에 그 자체로는 최종 값을 나타내지 않습니다. 최종 인지적 가치는 어떤 사건의 발생 확률이 다음과 같이 말할 수 있게 해주는 확률 이론의 결과입니다. ㅏ 1에 매우 가깝거나 (동일한) 사건이 발생하지 않을 확률 ㅏ매우 작은. "충분히 작은 확률을 무시한다"는 원칙에 따르면 그러한 사건은 실질적으로 확실한 것으로 간주됩니다. 과학적이고 실제적인 관심을 끄는 이런 종류의 결론은 일반적으로 사건의 발생 또는 발생하지 않음이 가정에 기초합니다. ㅏ서로 관련이 거의 없는 수많은 무작위 요인에 따라 달라집니다. . 따라서 확률 이론은 수많은 무작위 요인의 상호 작용 중에 발생하는 패턴을 설명하는 수학 과학이라고 말할 수도 있습니다.

확률론의 주제

확률 이론의 주제입니다.특정 조건 사이의 자연스러운 관계를 설명하기 위해 에스그리고 이벤트 ㅏ,주어진 조건에서 발생 여부를 정확하게 결정할 수 있는 경우, 자연과학은 일반적으로 다음 두 가지 방식 중 하나를 사용합니다.

a) 조건이 충족될 때마다 에스이벤트가 온다 ㅏ.예를 들어, 이 형태에는 물체 또는 물체 시스템에 작용하는 초기 조건과 힘이 주어지면 움직임이 고유하게 정의된 방식으로 발생한다는 고전 역학의 모든 법칙이 있습니다.

b) 조건 하에서 에스이벤트 ㅏ일정한 확률이 있다 피(처럼), 동일 아르 자형.예를 들어, 방사성 방사선의 법칙에서는 각 방사성 물질에 대해 주어진 기간 동안 주어진 양의 물질에서 일부 숫자가 붕괴될 확률이 있다고 명시합니다. N원자.

이를 사건의 빈도라고 부르자. ㅏ이 시리즈에서 N테스트(즉, N조건을 반복적으로 구현 에스) 태도 h = m/n숫자 중그 테스트 ㅏ왔어, 그들의 총 수에 N.이벤트 가용성 ㅏ조건 하에서 에스특정 확률은 아르 자형,거의 모든 충분히 긴 일련의 테스트에서 이벤트의 빈도가 발생한다는 사실에서 나타납니다. ㅏ대략 같다 아르 자형.

통계적 패턴, 즉 유형 (b)의 체계로 설명되는 패턴은 주사위와 같은 도박 게임에서 처음 발견되었습니다. 출생과 사망에 대한 통계적 패턴도 아주 오랫동안 알려져 왔습니다(예를 들어, 신생아가 남자아이일 확률은 0.515입니다). 19세기 후반 그리고 20세기 전반. 물리학, 화학, 생물학 등에서 수많은 통계 법칙이 발견되었습니다.

서로 매우 멀리 떨어져 있는 과학 분야와 관련된 통계 패턴 연구에 확률 이론 방법을 적용할 수 있는 가능성은 사건의 확률이 항상 특정 단순 관계를 충족한다는 사실에 기초합니다. 이러한 단순한 관계에 기초하여 사건 확률의 특성을 연구하는 것이 확률 이론의 주제입니다.

확률 이론의 기본 개념

확률 이론의 기본 개념.수학적 학문인 확률 이론의 기본 개념은 소위 기본 확률 이론의 틀 내에서 가장 간단하게 정의됩니다. 모든 테스트 티,기본 확률 이론에서 고려되는 사건은 하나의 사건으로 끝나는 것과 같습니다. 이자형 1 ,이자형 2 ,...,이자형 S(경우에 따라 어떤 식으로든). 이러한 사건을 재판 결과라고 합니다. 모든 결과에는 이자형 케이연결된 양수 아르 자형 에게 - 이 결과의 가능성. 숫자 피 케이 1개까지 추가해야 합니다. 그런 다음 이벤트가 고려됩니다. ㅏ,“그것이 발생하거나 이자형 나 , 또는 이자형 제이 ,..., 또는 이자형 케이" 결과 이자형 나 ,이자형 제이 ,...,이자형 케이유리하다고 한다 ㅏ,그리고 정의에 따라 그들은 확률을 가정합니다. 아르 자형(ㅏ) 이벤트 ㅏ, 그에게 유리한 결과 확률의 합과 같습니다.

피(ㅏ) =피 나 +피 에스 +… +피 케이 . (1)

특별한 경우 피 1 =피 2 =...피초 = 1/초공식으로 이어진다

아르 자형(ㅏ) =r/s.(2)

공식 (2)는 소위 확률의 고전적 정의를 표현합니다. 이에 따르면 사건의 확률은 다음과 같습니다. ㅏ숫자의 비율과 동일 아르 자형유리한 결과 ㅏ,숫자에 에스모든 "동일하게 가능한" 결과. 확률의 고전적 정의는 "확률"의 개념을 "동등한 가능성"의 개념으로 축소할 뿐이며, 이는 명확한 정의 없이 남아 있습니다.

예. 두 개의 주사위를 던질 때 가능한 36가지 결과는 각각 ( 나,제이), 어디 나- 첫 번째 주사위에 굴린 포인트 수, 제이-두 번째. 결과는 동일한 확률로 가정됩니다. 이벤트 ㅏ -"점의 합은 4입니다", 세 가지 결과가 유리합니다(1; 3), (2; 2), (3; 1). 따라서, 아르 자형(ㅏ) = 3/36= 1/12.

특정 이벤트를 기반으로 두 가지 새로운 이벤트, 즉 합집합(합계)과 조합(곱)을 결정할 수 있습니다.

이벤트 안에이벤트 풀링이라고 함 ㅏ 1 , ㅏ 2 ,...,ㅏ 아르 자형 ,-, 형식이 다음과 같은 경우: “come 또는 ㅏ 1 , 또는 ㅏ 2 ,..., 또는 ㅏ 아르 자형 ».

사건 C는 사건들의 조합이라고 불린다. ㅏ 1 , ㅏ. 2 ,...,ㅏ 아르 자형 , 형식이 다음과 같은 경우: “와서 ㅏ 1 , 그리고 ㅏ 2 ,..., 그리고 ㅏ 아르 자형 » . 이벤트 병합은 기호로 표시되고 조합은 기호로 표시됩니다. 따라서 그들은 다음과 같이 씁니다:

비 =A 1  ㅏ 2  …  ㅏ 아르 자형 , 씨 = ㅏ 1  ㅏ 2  …  ㅏ 아르 자형 .

이벤트 ㅏ그리고 안에동시 구현이 불가능한 경우, 즉 테스트 결과 중 유리한 것이 하나도 없는 경우 호환되지 않는 것으로 간주됩니다. ㅏ그리고 안에.

이벤트를 결합하고 결합하는 도입된 작업은 확률 이론의 두 가지 주요 정리, 즉 확률의 덧셈 및 곱셈 정리와 관련이 있습니다.

확률 덧셈 정리: 이벤트가 발생하면 ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,...,ㅏ 아르 자형두 개가 모두 호환되지 않는 경우 결합 확률은 확률의 합과 같습니다.

따라서 위의 두 개의 주사위를 던지는 예에서 이벤트는 안에 -"포인트의 합이 4를 초과하지 않습니다.", 호환되지 않는 세 이벤트의 합집합이 있습니다. ㅏ 2 ,ㅏ 3 ,ㅏ 4, 포인트의 합이 각각 2, 3, 4와 같다는 사실로 구성됩니다. 이러한 이벤트의 확률은 1/36입니다. 2/36; 3/36. 덧셈 정리에 따르면 확률은 아르 자형(안에) 동일

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

이벤트 ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,...,ㅏ r은 각각의 조건부 확률이 다른 확률 중 하나가 발생한 경우 "무조건부" 확률과 같을 경우 독립이라고 합니다.

확률 곱셈 정리: 사건 결합 확률 ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,...,ㅏ r은 사건의 확률과 같습니다 ㅏ 1 , 사건의 확률을 곱한 것 ㅏ 2 다음과 같은 조건으로 촬영 ㅏ 1이 발생했습니다...에 사건의 확률을 곱합니다. ㅏ r 만약 그렇다면 ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,...,ㅏ r-1이 도착했어요. 독립 사건의 경우 곱셈 정리는 다음 공식으로 이어집니다.

피(ㅏ 1 ㅏ 2 …ㅏ 아르 자형) =피(ㅏ 1 )피(ㅏ 2 )· ... · 피(ㅏ 아르 자형), (3)

즉, 독립적인 사건을 결합할 확률은 이러한 사건의 확률을 곱한 것과 같습니다. 공식 (3)은 두 부분 모두에서 일부 사건이 반대되는 사건으로 대체되는 경우에도 유효합니다.

예. 4발이 목표물을 향해 발사되며, 1발당 명중 확률은 0.2입니다. 서로 다른 샷의 목표물 명중은 독립적인 이벤트로 가정됩니다. 정확히 세 번 목표물을 맞출 확률은 얼마입니까?

각 테스트 결과는 일련의 4개 문자로 표시될 수 있습니다. 예를 들어 (y, n, n, y)는 첫 번째와 네 번째 샷이 히트(성공)하고 두 번째와 세 번째 샷이 히트하지 않았음을 의미합니다(실패). 총 2·2·2·2 = 16개의 결과가 나옵니다. 개별 샷의 결과가 독립된다는 가정에 따라 공식(3)과 이에 대한 메모를 사용하여 이러한 결과의 확률을 결정해야 합니다. 따라서 결과의 확률(y,n,n,n)은 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024로 설정되어야 하며; 여기서 0.8 = 1-0.2는 단발 실패 확률입니다. "대상이 세 번 명중했습니다"라는 이벤트는 결과 (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y)에 의해 선호됩니다. (n, y, y, y), 각각의 확률은 동일합니다.

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... =0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;

따라서 필요한 확률은 다음과 같습니다.

4·0.0064 = 0.0256.

분석된 예의 추론을 요약하면 확률 이론의 기본 공식 중 하나를 도출할 수 있습니다. ㅏ 1 , ㅏ 2 ,...,ㅏ N독립적이며 각각 확률이 있습니다. 아르 자형,그렇다면 발생 확률은 정확히 중그 중 평등하다

피 N (중)= C N 중 피 중 (1 - p) n-m ; (4)

여기 씨 N 중의 조합 수를 나타냅니다. N요소별 중.전체적으로 N식 (4)를 사용한 계산은 어려워진다.

기본 확률 이론의 기본 공식 중에는 소위 총 확률 공식: 이벤트가 있는 경우 ㅏ 1 , ㅏ 2 ,...,ㅏ 아르 자형쌍별로 호환되지 않으며 그 결합이 신뢰할 수 있는 이벤트인 경우 모든 이벤트에 대해 안에그 확률은 그 합과 같습니다.

확률 곱셈 정리는 복합 테스트를 고려할 때 특히 유용합니다. 테스트라고 하던데 티테스트로 구성 티 1 , 티 2 ,...,티 n-1 , 티 N, 만약에 각 테스트 결과 티몇 가지 결과가 조합되어 있습니다. ㅏ 나 , 비 제이 ,..., 엑스 케이 ,와이 엘관련 테스트 티 1 , 티 2 ,...,티 n-1 , 티 N. 어떤 이유로든 확률은 종종 알려져 있습니다.

피(ㅏ 나), 피(비 제이 /ㅏ 나), …,피(와이 엘 /ㅏ 나 비 제이 …엑스 케이). (5)

곱셈 정리를 사용한 확률 (5)로부터 확률을 결정할 수 있습니다. 아르 자형(이자형) 모든 결과에 대해 이자형복합 테스트와 동시에 이 테스트와 관련된 모든 사건의 확률. 실용적인 관점에서 볼 때 두 가지 유형의 복합 테스트가 가장 중요한 것으로 보입니다.

a) 테스트의 구성 요소는 독립적입니다. 즉, 확률 (5)는 무조건 확률과 같습니다. 피(ㅏ 나), 피(비 제이),..., 피(와이 엘);

b) 테스트 결과의 확률은 바로 이전 테스트 결과에 의해서만 영향을 받습니다. 즉, 확률(5)은 각각 동일합니다. 피(ㅏ 나), 피(비 제이 /ㅏ 나),..., 피(와이 나 /엑스 케이). 이 경우 Markov 체인에 연결된 테스트에 대해 이야기합니다. 복합 테스트와 관련된 모든 이벤트의 확률은 여기에서 초기 확률에 의해 완전히 결정됩니다. 아르 자형(ㅏ 나) 및 전환 확률 피(비 제이 /ㅏ 나),..., 피(와이 엘 /엑스 케이).

확률 이론의 기본 공식

확률 이론의 공식.

1. 조합론의 기본 공식

a) 재배치.

\b) 배치

다) 조합 .

2. 확률의 고전적 정의.

이벤트에 유리한 결과의 수는 어디에 있으며, 동등하게 가능한 모든 기본 결과의 수는 어디에 있습니까?

3. 사건의 합 확률

호환되지 않는 사건의 확률을 추가하는 정리:

공동 사건의 확률을 추가하는 정리:

4. 사건이 일어날 확률

독립 사건의 확률을 곱하는 정리:

종속 사건의 확률을 곱하는 정리:

,

사건이 발생한 경우 사건의 조건부 확률

사건이 발생한 경우 사건의 조건부 확률입니다.

조합론(Combinatorics)은 특정 조건에 따라 주어진 물체에서 얼마나 많은 조합이 만들어질 수 있는지에 대한 질문을 연구하는 수학의 한 분야입니다. 조합론의 기본은 무작위 사건의 확률을 추정하는 데 매우 중요합니다. 이벤트 개발을 위해 근본적으로 가능한 다양한 옵션 수를 계산할 수 있게 해주는 것은 바로 이것입니다.

조합론의 기본 공식

k개의 요소 그룹이 있고 i번째 그룹은 ni개의 요소로 구성됩니다. 각 그룹에서 하나의 요소를 선택해 보겠습니다. 그런 다음 그러한 선택이 이루어질 수 있는 총 N개의 방법은 N=n1*n2*n3*...*nk 관계에 의해 결정됩니다.

예 1. 간단한 예를 들어 이 규칙을 설명해 보겠습니다. 두 개의 요소 그룹이 있고 첫 번째 그룹은 n1개의 요소로 구성되고 두 번째 그룹은 n2개의 요소로 구성됩니다. 각 그룹의 한 요소가 쌍에 포함되도록 하려면 이 두 그룹에서 몇 개의 서로 다른 요소 쌍을 만들 수 있습니까? 첫 번째 그룹의 첫 번째 요소를 가져와서 이를 변경하지 않고 가능한 모든 쌍을 거쳐 두 번째 그룹의 요소만 변경했다고 가정해 보겠습니다. 이 요소에는 n2개의 그러한 쌍이 있습니다. 그런 다음 첫 번째 그룹에서 두 번째 요소를 가져와 가능한 모든 쌍을 만듭니다. 또한 그러한 쌍은 n2개 있을 것입니다. 첫 번째 그룹에는 n1개의 요소만 있으므로 가능한 총 옵션은 n1*n2가 됩니다.

예시 2. 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6이 반복될 수 있다면 세 자리 짝수는 몇 개나 만들 수 있나요?

풀이: n1=6 (1, 2, 3, 4, 5, 6 중 어떤 숫자든 첫 번째 숫자로 사용할 수 있기 때문에), n2=7 (0부터 두 번째 숫자로 사용할 수 있기 때문에 , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4(0, 2, 4, 6 중 임의의 숫자를 세 번째 숫자로 사용할 수 있으므로).

따라서 N=n1*n2*n3=6*7*4=168입니다.

모든 그룹이 동일한 수의 요소로 구성된 경우, 즉 n1=n2=...nk=n 각 선택은 동일한 그룹에서 이루어지며 선택 후 요소는 그룹으로 반환된다고 가정할 수 있습니다. 그러면 모든 선택 방법의 수는 nk와 같습니다. 이 선택 방법을 반환을 통한 샘플링이라고 합니다.

예. 1, 5, 6, 7, 8의 숫자로 네 자리 숫자를 만들 수 있는 수는 몇 개입니까?

해결책. 4자리 숫자의 각 자리에는 5가지 가능성이 있습니다. 이는 N=5*5*5*5=54=625를 의미합니다.

n개의 요소로 구성된 집합을 생각해 보세요. 우리는 이것을 일반 인구라고 부를 것입니다.

정의 1. n개의 요소를 m으로 배열하는 것은 n개 요소의 모집단에서 선택된 m개의 서로 다른 요소의 순서 집합입니다.

예. 세 가지 요소(1, 2, 3)를 2개씩 다르게 배열하면 세트(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3)이 됩니다. , 2 ). 배치는 요소와 순서 모두에서 서로 다를 수 있습니다.

게재위치 수는 A, m from n으로 표시되며 다음 공식으로 계산됩니다.

참고: n!=1*2*3*...*n(읽기: "en 계승"), 또한 0!=1로 가정됩니다.

예시 5. 십의 자리와 일의 자리가 다르고 홀수인 두 자리 숫자는 몇 개나 있나요?

해결책: 때문에 5개의 홀수 숫자, 즉 1, 3, 5, 7, 9가 있는 경우 이 작업은 5개의 다른 숫자 중 2개를 선택하여 두 개의 다른 위치에 배치하는 것으로 귀결됩니다. 표시된 숫자는 다음과 같습니다.

정의 2. m개의 n개 요소의 조합은 n개 요소의 모집단에서 선택된 m개의 서로 다른 요소의 순서가 지정되지 않은 집합입니다.

예제 6. 집합 (1, 2, 3)의 경우 조합은 (1, 2), (1, 3), (2, 3)입니다.

조합 수는 Cnm로 표시되며 다음 공식으로 계산됩니다.

정의 3. n개 요소의 순열은 이러한 요소의 임의의 순서 집합입니다.

실시예 7a. 세 가지 요소(1, 2, 3)로 구성된 집합의 가능한 모든 순열은 다음과 같습니다: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

n개 요소의 서로 다른 순열 수는 Pn으로 표시되며 Pn=n! 공식으로 계산됩니다.

예 8. 서로 다른 저자가 쓴 일곱 권의 책을 선반에 한 줄로 배열할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?

해결 방법: 이 문제는 일곱 권의 서로 다른 책의 순열 수에 관한 것입니다. 책을 정리하는 방법에는 P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040가지가 있습니다.

논의. 가능한 조합의 수는 다양한 규칙(순열, 조합, 배치)에 따라 계산될 수 있으며 결과도 달라집니다. 계산 원리와 공식 자체가 다릅니다. 정의를 주의 깊게 살펴보면 결과가 여러 요인에 동시에 영향을 받는다는 것을 알 수 있습니다.

첫째, 세트를 결합할 수 있는 요소 수(요소 전체의 크기)입니다.

둘째, 결과는 필요한 요소 집합의 크기에 따라 달라집니다.

마지막으로, 집합에 있는 요소의 순서가 우리에게 중요한지 여부를 아는 것이 중요합니다. 다음 예를 사용하여 마지막 요소를 설명하겠습니다.

예. 학부모 회의에는 20 명이 참석했습니다. 5명이 포함되어야 하는 모위원회 구성에는 몇 가지 옵션이 있습니까?

해결 방법: 이 예에서는 위원회 목록의 이름 순서에 관심이 없습니다. 결과적으로 동일한 사람들이 그것의 일부로 밝혀지면 우리에게 의미상 이것은 동일한 선택입니다. 그러므로 우리는 5개씩 20개의 원소로 이루어진 조합의 수를 계산하는 공식을 사용할 수 있습니다.

각 위원회 구성원이 처음에 특정 업무 영역을 담당하는 경우 상황이 달라집니다. 그러면 위원회의 동일한 목록 구성으로 그 안에 5개가 있을 수 있습니다! 중요한 순열. 이 경우 다양한(구성 및 책임 영역 모두) 옵션의 수는 5개 요소 중 20개 배치 수에 따라 결정됩니다.

확률의 기하학적 정의

무작위 테스트를 기하학적 영역 G(직선, 평면 또는 공간)에 무작위로 점을 던지는 것으로 상상해 보겠습니다. 기본 결과는 G의 개별 포인트이며 모든 이벤트는 G의 기본 결과 공간인 이 영역의 하위 집합입니다. G의 모든 포인트가 "동일"하다고 가정할 수 있으며 포인트가 특정 하위 집합에 포함될 확률은 다음과 같습니다. 크기(길이, 면적, 부피)에 비례하며 위치와 모양에 의존하지 않습니다.

사건 A의 기하학적 확률은 다음 관계에 의해 결정됩니다. 여기서 m(G), m(A)는 기본 결과와 사건 A의 전체 공간에 대한 기하학적 측정값(길이, 면적 또는 부피)입니다.

예. 반경 r()의 원이 폭이 2d이고 축선 사이의 거리가 2D인 평행한 스트립으로 그래프로 표시된 평면 위에 무작위로 던져졌습니다. 원이 특정 스트립과 교차할 확률을 찾으십시오.

해결책. 이 테스트의 기본 결과로 원의 중심에서 원에 가장 가까운 스트립의 중심선까지의 거리 x를 고려할 것입니다. 그러면 기본 결과의 전체 공간이 세그먼트입니다. 원과 스트립의 교차점은 중심이 스트립에 떨어지거나 스트립 가장자리에서 반경보다 작은 거리에 위치하는 경우 발생합니다.

원하는 확률에 대해 다음을 얻습니다.

사건을 가능한 사건, 가능성 있는 사건, 무작위 사건으로 분류합니다. 간단하고 복잡한 기본 이벤트의 개념. 이벤트에 대한 작업. 무작위 사건의 확률과 그 속성에 대한 고전적인 정의. 확률 이론의 조합론 요소. 기하학적 확률. 확률 이론의 공리.

1. 사건의 분류

확률 이론의 기본 개념 중 하나는 사건의 개념입니다. 사건은 경험이나 테스트의 결과로 발생할 수 있는 모든 사실입니다. 경험 또는 테스트란 특정 조건 집합의 구현을 의미합니다.

이벤트의 예:

– 총에서 발사할 때 목표물 명중(경험 - 사격, 이벤트 - 목표물 명중)

– 동전을 3번 던지면 엠블럼 2개가 사라집니다. (경험치 - 동전을 3번 던지면, 이벤트 - 엠블럼 2개가 사라집니다.)

– 대상까지의 범위를 측정할 때 지정된 한계 내에서 측정 오류가 나타납니다(경험 - 범위 측정, 이벤트 - 측정 오류).

유사한 예는 셀 수 없이 많습니다. 이벤트는 라틴 알파벳의 대문자 등으로 표시됩니다.

공동 행사와 비합동 행사로 구분됩니다. 사건 중 하나의 발생이 다른 사건의 발생을 배제하지 않는 경우 사건을 결합이라고 합니다. 그렇지 않으면 이벤트가 호환되지 않는다고 합니다. 예를 들어 주사위 두 개를 던졌습니다. 이벤트 - 첫 번째 주사위에서 3점이 떨어지고, 이벤트 - 두 번째 주사위에서 3점이 떨어지고, - 공동 이벤트입니다. 스타일과 사이즈는 동일하지만 색상이 다른 신발을 매장에서 받아볼 수 있습니다. 이벤트 - 무작위로 가져온 상자에 검은색 신발이 들어 있는 것으로 밝혀지고, 이벤트 - 상자에 갈색 신발이 들어 있는 것으로 밝혀지며, - 호환되지 않는 이벤트가 포함됩니다.

주어진 경험의 조건 하에서 발생하는 것이 확실한 경우 해당 사건을 신뢰할 수 있다고 합니다.

주어진 경험의 조건 하에서 일어날 수 없는 사건은 불가능하다고 불린다. 예를 들어, 표준 부품 배치에서 표준 부품을 가져오는 이벤트는 신뢰할 수 있지만 비표준 부품은 불가능합니다.

경험의 결과로 나타날 수 있지만 나타나지 않을 수 있는 경우 이벤트를 가능 또는 무작위라고 합니다. 무작위 이벤트의 예로는 완제품 배치 검사 중 제품 결함 식별, 가공된 제품 크기와 지정된 제품 크기의 불일치, 자동 제어 시스템의 링크 중 하나 실패 등이 있을 수 있습니다. .

테스트 조건에 따라 이러한 이벤트 중 어느 것도 다른 이벤트보다 객관적으로 더 가능성이 없는 경우 이벤트를 동일하게 가능하다고 합니다. 예를 들어, 여러 제조 공장에서 매장에 전구(동일한 수량)를 공급한다고 가정해 보겠습니다. 이들 공장 중 어느 곳에서나 전구 구매와 관련된 이벤트도 똑같이 가능합니다.

중요한 개념은 전체 이벤트 그룹입니다. 특정 실험의 여러 이벤트 중 적어도 하나가 실험 결과로 나타날 경우 완전한 그룹을 형성합니다. 예를 들어, 항아리에는 10개의 공이 있고 그 중 6개는 빨간색, 4개는 흰색, 5개 공에는 숫자가 있습니다. - 한 번의 추첨 중 빨간 공의 출현, - 흰 공의 출현, - 숫자가 있는 공의 출현. 이벤트는 완전한 공동 이벤트 그룹을 형성합니다.

반대 또는 추가 이벤트의 개념을 소개하겠습니다. 반대 사건은 어떤 사건이 일어나지 않으면 반드시 일어나야 하는 사건이다. 반대 이벤트는 호환되지 않으며 유일하게 가능한 이벤트입니다. 그들은 완전한 이벤트 그룹을 형성합니다. 예를 들어, 제조된 제품 배치가 양품과 불량품으로 구성된 경우, 한 제품이 제거되면 양품(이벤트) 또는 불량품(이벤트)으로 판명될 수 있습니다.

2. 이벤트 운영

확률론에서 무작위 사건을 연구하기 위한 장치와 방법론을 개발할 때 사건의 합과 곱의 개념은 매우 중요합니다.