문제 B15는 도함수를 사용한 함수에 대한 연구입니다. 도함수를 이용한 함수 조사 도함수를 이용한 함수 조사
문제 B15에서는 극값 공식에 의해 주어진 함수를 조사하는 것이 제안되었습니다. 이것은 미적분학의 표준 문제이며 그 복잡성은 문제의 함수에 따라 크게 다릅니다. 그 중 일부는 말 그대로 구두로 해결되는 반면 다른 문제는 진지한 사고가 필요합니다.
해결 방법을 배우기 전에 수학적 분석 분야의 몇 가지 용어를 숙지해야 합니다. 따라서 문제 B15에서는 도함수를 사용하여 다음 양을 구해야 합니다.
- 로컬 최대값(최소값) - 함수가 최대값(최소값)에 도달하는 변수의 값입니다. 이러한 점을 극점이라고도 합니다.
- 함수의 전역 최대값(최소값)은 지정된 제한 사항에 따른 함수의 최대값(최소값)입니다. 또 다른 이름은 글로벌 극단입니다.
이 경우 전역 극값은 일반적으로 함수 정의의 전체 영역이 아니라 특정 세그먼트에서만 검색됩니다. 전역 극값과 극값의 함수 값이 항상 일치하는 것은 아니라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 구체적인 예를 들어 이를 설명해 보겠습니다.
일. 세그먼트 [−3; 삼].
먼저, 미분을 계산하는 최소점을 찾습니다.
y' = (2x 3 - 3x 2 - 12x + 1)' = 6x 2 - 6x - 12.
방정식 y' = 0을 풀어 임계점을 찾아보겠습니다. 표준 이차 방정식을 얻습니다.
y' = 0 ⇒ 6x 2 - 6x - 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = -1, x 2 = 2.
좌표선에 이 점을 표시하고 미분 기호와 제한 사항(세그먼트의 끝)을 추가합니다.
그림의 규모는 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은 포인트를 올바른 순서로 표시하는 것입니다. 학교 수학 과정에서 최소 지점에서 미분 기호가 마이너스에서 플러스로 변경되는 것으로 알려져 있습니다. 판독값은 항상 왼쪽에서 오른쪽(양의 반축 방향)으로 이동합니다. 따라서 최소점은 단 하나(x = 2)입니다.
이제 세그먼트 [−3; 삼]. 이는 최소 지점(그러면 전역 최소 지점이 됨) 또는 세그먼트 끝에서 도달합니다. 구간 (2; 3)에서 도함수는 어디에서나 양수입니다. 즉, y(3) > y(2)이므로 구간의 오른쪽 끝은 무시할 수 있습니다. 점 x = −3(선분의 왼쪽 끝)과 x = 2(최소 점)만 남습니다. 우리는:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 - 3*2 2 - 12*2 + 1 = -19.
따라서 함수의 가장 작은 값은 세그먼트 끝에 도달하며 -44와 같습니다.
답: xmin = 2; ymin = -44
위의 추론에서 많은 사람들이 잊어버리는 중요한 사실이 나옵니다. 이 함수는 반드시 극값일 필요는 없지만 최대(최소) 값을 사용합니다. 때때로 그러한 값은 세그먼트의 끝 부분에 도달하며 거기의 도함수는 0과 같을 필요가 없습니다.
문제 해결 계획 B15
문제 B15에서 간격에 대한 함수 f(x)의 최대값 또는 최소값을 찾아야 하는 경우 다음 작업을 수행합니다.
- 방정식 f'(x) = 0을 풉니다. 근이 없으면 세 번째 단계를 건너뛰고 네 번째 단계로 바로 이동합니다.
- 결과 루트 세트에서 세그먼트 외부에 있는 모든 항목을 삭제합니다. 나머지 숫자는 x 1 , x 2 , ..., x n으로 표시됩니다. 일반적으로 숫자는 거의 없습니다.
- 세그먼트의 끝과 점 x 1 , x 2 , ..., x n 을 원래 함수에 대입합니다. 우리는 f (a), f (b), f (x 1), f (x 2), ..., f (x n) 숫자 세트를 얻습니다. 여기서 가장 큰 값 또는 가장 작은 값을 선택합니다. 대답.
세그먼트의 끝과 일치할 때 루트 삭제에 대해 약간 설명합니다. 방정식 f'(x) = 0에 해가 없는 경우에도 네 번째 단계에서 세그먼트의 끝이 여전히 함수로 대체되므로 이를 지울 수도 있습니다.
일. 구간 [−5; 0].
먼저, 도함수를 찾아봅시다: y' = (x 3 + 3x 2 - 9x - 7)' = 3x 2 + 6x - 9.
그런 다음 방정식을 풉니다: y' = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.
근 x = 1은 구간 [−5; 0].
세그먼트 끝과 x = −3 지점에서 함수 값을 계산하는 일이 남아 있습니다.
y(−5) = (−5) 3 + 4 (−5) 2 − 9 (−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4 (−3) 2 − 9 (−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7.
분명히 가장 큰 값은 20입니다. x = −3 지점에 도달합니다.
이제 구간에서 함수 f(x)의 최대점 또는 최소점을 찾아야 하는 경우를 고려하십시오. 세그먼트가 지정되지 않은 경우 기능은 해당 정의 영역에서 고려됩니다. 어쨌든 솔루션 구성표는 다음과 같습니다.
- 함수 f'(x)의 도함수를 구합니다.
- 방정식 f'(x) = 0을 풉니다. 도함수가 분수 유리 함수인 경우 분모가 0인 경우를 추가로 알아냅니다. 얻은 근 x 1 , x 2 , ..., x n 을 나타냅니다.
- 좌표선에 x 1 , x 2 , ..., x n 을 표시하고 이 숫자 사이에 도함수가 취하는 부호를 배치합니다. 한 부분이 주어지면 그것을 표시하고 그 밖에 있는 모든 부분에 줄을 그어 선을 그으십시오.
- 나머지 점 중에서 미분의 부호가 마이너스에서 플러스(최소점)로 또는 플러스에서 마이너스(최소점)로 바뀌는 점을 찾습니다. 그러한 점은 하나만 있어야합니다. 이것이 답이 될 것입니다.
사려 깊은 독자라면 이 알고리즘이 일부 기능에 대해 작동하지 않는다는 점을 분명히 알아차릴 것입니다. 실제로 극점을 찾는 데 더 복잡한 계산이 필요한 전체 함수 클래스가 있습니다. 그러나 수학 시험에서는 그러한 함수를 찾을 수 없습니다.
x 1 , x 2 , ..., x n 점 사이의 기호 배치에 주의하세요. 기억하세요: 짝수 다중성의 근을 통과할 때 도함수의 부호는 변하지 않습니다. 극점을 찾을 때 기호는 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 보입니다. 숫자 축을 따라.
일. 함수의 최대점 찾기
세그먼트에서 [-8; 8].
파생 상품을 찾아 보겠습니다.
이것은 분수 유리 함수이므로 도함수와 분모를 0으로 동일시합니다.
y' = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = -5;
x 2 \u003d 0 ⇒ x \u003d 0 (두 번째 다중성의 근).
좌표선에 x = −5, x = 0 및 x = 5 점을 표시하고 부호와 경계를 정렬합니다.
분명히 세그먼트 내부에는 단 하나의 점 x = −5만 남아 있으며, 이 지점에서 도함수의 부호는 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이것이 최대 포인트입니다.
다시 한 번 극점과 극점 자체가 어떻게 다른지 설명하겠습니다. 극점은 함수가 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 취하는 변수의 값입니다. 극값은 함수 자체의 값으로, 일부 이웃의 최대값 또는 최소값입니다.
문제 B15에는 일반적인 다항식과 분수 유리 함수 외에도 다음과 같은 유형의 식이 나타납니다.
- 비합리적인 기능,
- 삼각함수,
- 지수 함수,
- 로그 함수.
일반적으로 비합리적 기능에는 문제가 없습니다. 나머지 사례는 더 자세히 고려해 볼 가치가 있습니다.
삼각함수
삼각 함수의 가장 큰 어려움은 방정식을 풀 때 무한한 수의 근이 발생한다는 것입니다. 예를 들어, 방정식 sin x = 0에는 근 x = πn이 있으며 여기서 n ∈ Z입니다. 그러한 숫자가 무한히 많은 경우 좌표선에 표시하는 방법은 무엇입니까?
대답은 간단합니다. n의 특정 값을 대체해야 합니다. 실제로 삼각 함수가 포함된 문제 B15에는 항상 세그먼트라는 제한이 있습니다. 따라서 먼저 n \u003d 0을 취한 다음 해당 루트가 세그먼트를 넘어 "날아갈" 때까지 n을 늘립니다. 마찬가지로, n을 줄이면 곧 하한보다 작은 근을 얻게 됩니다.
고려된 프로세스에서 얻은 근이 아닌 다른 근이 세그먼트에 존재하지 않는다는 것을 쉽게 보여줄 수 있습니다. 이제 구체적인 예를 들어 이 프로세스를 고려해 보겠습니다.
일. 구간 [−π/3; π/3].
도함수를 계산합니다: y' = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)' = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.
그런 다음 방정식을 풉니다: y' = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.2 또는 x = π/2 + πn, n ∈ Z.
루트 x = 0.2를 사용하면 모든 것이 명확하지만 공식 x = π / 2 + πn에는 추가 처리가 필요합니다. n = 0부터 시작하여 n의 다른 값을 대체하겠습니다.
n = 0 ⇒ x = π/2. 그러나 π/2 > π/3이므로 루트 x = π/2는 원래 세그먼트에 포함되지 않습니다. 또한 n이 클수록 x도 커지므로 n > 0을 고려하는 것은 의미가 없습니다.
n = −1 ⇒ x = − π/2. 하지만 -π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.
[−π/3; π/3]에는 근 x = 0.2만 있습니다. 좌표선에 기호와 경계를 함께 표시합니다.
x = 0.2의 오른쪽 도함수가 실제로 음수인지 확인하려면 x = π/4 값을 y'에 대입하면 충분합니다. x = 0.2 지점에서 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되므로 이것이 최대 포인트라는 점만 참고하면 됩니다.
일. 구간 [−π/4; π/4].
도함수를 계산합니다: y' = (4tg x − 4x + π − 5)' = 4/cos 2x − 4.
그런 다음 방정식을 풉니다: y' = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.
n = 0부터 시작하여 특정 n을 대체하여 이 공식에서 근을 추출합니다.
n = 0 ⇒ x = 0. 이 근은 우리에게 적합합니다.
n = 1 ⇒ x = π. 그러나 π > π/4이므로 근 x = π이고 값 n > 1은 지워야 합니다.
n = −1 ⇒ x = −π. 하지만 π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.
전체 다양한 근 중에서 하나만 남습니다: x = 0. 따라서 x = 0, x = π/4 및 x = −π/4에 대한 함수 값을 계산합니다.
y(0) = 4tg 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg(π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg(−π/4) − 4(−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.
이제 π = 3.14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.
마지막 문제에서는 숫자를 서로 비교하지 않는 것이 가능했습니다. 실제로 숫자 π - 5, 1 및 2π - 9 중에서 답안지에 하나만 쓸 수 있습니다. 실제로 숫자 π와 같은 형식으로 쓰는 방법은 무엇입니까? 하지만 절대 안돼. 이것은 수학 시험의 첫 번째 부분의 중요한 특징으로, 많은 문제의 해결을 크게 단순화합니다. 그리고 그것은 B15에서만 작동하는 것이 아닙니다.
함수를 연구하다 보면 근이 없는 방정식이 나올 때가 있습니다. 이 경우 세그먼트의 끝만 고려하면 되기 때문에 문제는 더욱 간단해집니다.
일. 구간 [−3π/2; 0].
먼저 도함수를 구합니다: y' = (7sin x − 8x + 5)' = 7cos x − 8.
방정식을 풀어 봅시다: y' = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. 그러나 cos x의 값은 항상 [−1; 1] 및 8/7 > 1입니다. 따라서 근이 없습니다.
뿌리가 없으면 아무것도 지울 필요가 없습니다. 마지막 단계로 넘어갑니다. 함수 값을 계산합니다.
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8 (−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 0 + 5 = 5.
12π + 12라는 숫자는 답안지에 쓸 수 없으므로 y = 5만 남습니다.
지수함수
일반적으로 지수 함수는 y = a x 형식의 표현으로, 여기서 a > 0입니다. 그러나 문제 B15에서는 y = e x 형식의 함수만 발생하고 극단적인 경우에는 y = e kx + b가 발생합니다. 그 이유는 이러한 함수의 미분을 계산하기가 매우 쉽기 때문입니다.
- (e x)" = e x . 아무것도 변경되지 않았습니다.
- (e kx + b)" = k e kx + b. 변수 x의 계수와 동일한 요소가 단순히 추가됩니다. 이는 복소 함수 파생의 특별한 경우입니다.
다른 모든 것은 절대적으로 표준입니다. 물론 문제 B15의 실제 기능은 더 심각해 보이지만 풀이 방식은 이로부터 변하지 않습니다. 철저한 추론이나 설명 없이 솔루션의 주요 요점만 강조하는 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다.
일. 구간 [−1; 5].
미분: y' = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)' = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .
근을 찾습니다: y' = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x=3.
두 근은 모두 구간 [−1; 5]. 모든 지점에서 함수의 값을 찾는 것이 남아 있습니다.
y(−1) = ((−1) 2 − 5 (−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5e 2 .
얻은 4개의 숫자 중 y = −1만 양식에 쓸 수 있습니다. 또한 이것은 유일한 음수이며 가장 작은 숫자입니다.
일. 세그먼트 에서 함수 y = (2x − 7) e 8 − 2x의 최대값을 찾습니다.
도함수: y' = ((2x − 7) e 8 − 2x)' = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x .
근을 찾습니다: y' = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.
루트 x = 4는 세그먼트에 속합니다. 우리는 함수 값을 찾고 있습니다:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5e −4 .
분명히 y = 1만이 답이 될 수 있습니다.
로그 함수
지수 함수와 유사하게 문제 B15에서는 자연 로그만 발생합니다. 그 이유는 그 도함수를 쉽게 계산할 수 있기 때문입니다.
- (lnx)' = 1/x;
- (ln(kx + b))' = k/(kx + b). 특히 b = 0이면 (ln(kx))' = 1/x입니다.
따라서 도함수는 항상 분수 유리함수입니다. 이 도함수와 분모를 0으로 동일시하고 결과 방정식을 푸는 것만 남습니다.
로그 함수의 최대값 또는 최소값을 찾으려면 자연 로그가 en 형식의 지점에서만 "정규" 숫자가 된다는 점을 기억하세요. 예를 들어, ln 1 \u003d ln e 0 \u003d 0은 대수 0이며 대부분의 경우 솔루션이 축소됩니다. 다른 경우에는 로그 기호를 "제거"하는 것이 불가능합니다.
일. 세그먼트에서 함수 y = x 2 − 3x + ln x의 가장 작은 값을 찾습니다.
우리는 파생 상품을 고려합니다.
미분과 분모의 0을 찾습니다.
y' = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0.5; x = 1;
x = 0 - 결정할 것이 없습니다.
세 숫자 x = 0, x = 0.5 및 x = 1 중에서 x = 1만 세그먼트 내부에 있고 숫자 x = 0.5가 끝입니다. 우리는:
y(0.5) = 0.5 2 − 3 0.5 + ln 0.5 = ln 0.5 − 1.25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + log 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.
얻은 세 가지 값 중 y = −2에만 로그 부호가 포함되어 있지 않습니다. 이것이 답이 됩니다.
일. 세그먼트 에서 함수 y = ln(6x) − 6x + 4의 가장 큰 값을 찾습니다.
우리는 미분을 계산합니다.
도함수 또는 그 분모가 0과 같은 경우를 알아냅니다.
y' = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - 이미 결정되었습니다.
숫자 x = 0은 세그먼트 외부에 있으므로 삭제합니다. 세그먼트 끝과 x = 1/6 지점에서 함수 값을 고려합니다.
y(0.1) = ln(6 0.1) − 6 0.1 + 4 = ln 0.6 + 3.4;
y(1/6) = 로그(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = 로그 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.
분명히 y = 3만이 답으로 작용할 수 있습니다. 나머지 값에는 로그 부호가 포함되어 있으며 답안지에 적을 수 없습니다.
점이라고 합니다 최대 (최소) 포인트
함수, 이 이웃 전체에 대해 불평등이 발생하는 지점의 이웃이 있는 경우 
(
).
함수의 최대점과 최소점을 점이라고 합니다. 극한의 (그림 25).
정리 3.9(극점 존재의 필수 조건) . 제1종 임계점에서 함수의 도함수는 다음 중 하나입니다.
0이거나 존재하지 않습니다.
1종 임계점은 일반적으로 간단히 임계점이라고 합니다.
함수의 도함수가 0이 되는 임계점을 임계점이라고 합니다. 정상점
. 함수가 연속이지만 미분할 수 없는 임계점을 임계점이라고 합니다. 코너 포인트
. 예를 들어, 한 지점의 함수는 연속적이지만 도함수가 없습니다. 이 지점에서 함수 그래프에 무한한 수의 접선을 그릴 수 있기 때문입니다(그림 26). 이 경우는 정리 3.3의 반대 진술이 거짓임을 확인하는 것으로 간주될 수 있습니다.
함수가 호출됩니다. 증가 어떤 간격으로, 이 간격에서 인수의 더 큰 값이 변수의 더 큰 값에 해당하는 경우 쇠퇴하는 인수의 더 큰 값이 변수의 더 작은 값에 해당하는 경우.
향후 연구를 위해 수치축에 임계점을 배치하고 이를 간격으로 나누어 다음과 같은 충분조건을 검증한다.
정리 3.10(함수가 증가하고 감소하기 위한 충분조건)함수가 어떤 구간에서 미분 가능하고 그 도함수가 양수(음수)인 경우 함수는 이 구간에서 증가(감소)합니다.
정리 3.11(함수의 극점 존재에 대한 충분한 조건)함수가 임계점 근처에서 연속적이고 미분 가능하고 이를 통과할 때 도함수가 플러스에서 마이너스로 부호를 변경하는 경우 해당 점은 최대점입니다. 마이너스에서 플러스로 가는 경우 해당 점은 함수의 최소점입니다.
충분조건이 만족되지 않는 함수의 임계점은 단순히 첫 번째 종류의 임계점으로 남습니다.
도함수가 존재하지 않는 1종 임계점은 두 가지 클래스로 나뉩니다.
함수가 연속적인 지점입니다(정리 3.11이 충족되면 함수는 이 지점에서 "날카로운" 극값을 갖습니다). 모서리 포인트들;
함수가 불연속성을 겪는 지점입니다(항상 제2종 임계점 클래스에 속합니다).
그러나 이런 방식으로 수행된 연구는 매우 중요한 질문에 대한 답을 제공하지 않습니다. 함수가 어떻게 증가(감소)합니까? 볼록하거나 오목합니까? 이 질문에 대한 답은 2차 도함수를 사용한 함수에 대한 추가 연구를 통해 제공됩니다. 몇 가지 필요한 정의를 제시해 보겠습니다.
함수가 호출됩니다. 볼록한 (오목한) 어떤 간격에서, 이 간격의 각 지점에서 함수 그래프에 그려진 접선이 함수 그래프 위(아래)에 있는 경우.
함수의 볼록한 영역과 오목한 영역을 구분하는 점을 함수라고 합니다. 변곡점 (그림 27).
정리 3.12(변곡점이 존재하기 위한 필수 조건). 2종 임계점에서 함수의 2차 도함수는 0이거나 존재하지 않습니다.
후속 연구를 위해 수치축에 2종 임계점을 배치하고 이를 간격으로 나누어 다음과 같은 충분조건을 검증한다.
정리 3.13 (함수의 볼록함과 오목함의 충분 조건).함수가 어떤 구간에서 두 번 미분 가능하고 2차 도함수가 양수(음수)인 경우 함수는 이 구간에서 오목(볼록)합니다.
충분조건이 만족되지 않는 함수의 임계점은 단순히 두 번째 종류의 임계점으로 남습니다.
2차 도함수가 존재하지 않는 2종 임계점은 두 가지 클래스로 나뉩니다.
- 함수가 연속적인 지점은 소위 "날카로운" 변곡점입니다. - 이러한 지점에서 함수 그래프에 무한한 수의 접선을 그릴 수 있습니다(그림 28).
는 함수가 불연속성을 겪는 지점입니다(2종 불연속점에서 함수 그래프는 수직 점근선을 갖습니다).
함수의 극점과 변곡점을 최종적으로 계산하려면 해당 좌표를 찾은 다음 표시된 점을 두 좌표로 작성해야 합니다.
자기 성찰을 위한 질문.
1. 함수의 극점(최대값과 최소값)은 무엇입니까?
2. 증가(감소)라는 기능은 무엇입니까?
3. 함수의 극점의 존재를 위한 필요충분조건은 무엇입니까?
4. 함수의 증가(감소)에 대한 충분조건은 무엇입니까?
5. 함수의 변곡점이라고 하는 점은 무엇입니까?
6. 볼록(오목)이라는 기능은 무엇입니까?
7. 함수의 변곡점이 존재하기 위한 필요충분조건은 무엇입니까?
8. 함수의 볼록함(오목함)에 대한 충분조건은 무엇입니까?
수업의 목적:기능 연구를 수행하는 방법을 가르치기 위해; 음모를 꾸미십시오.
형태:대화 레슨.
행동 양식:대화, 시각 자료 및 슬라이드.
장비: ICT, 테이블.
수업 중
I. 숙제를 확인합니다.
선생님: - 얘들아! "함수의 임계점, 최대값 및 최소값"이라는 숙제가 있었습니다. 함수의 임계점을 정의합니다.
학생: - 임계점은 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는 정의 영역의 내부 지점입니다.
교사: - 중요한 점을 찾는 방법은 무엇입니까?
학생: - 1
) 함수의 미분을 찾으십시오.
2) 방정식을 푼다: f "(x) = 0. 이 방정식의 근은 임계점이다.
교사: - 기능의 중요한 점을 찾으세요.
a) f(x)= 4 - 2x + 7x 2
b) f (x) \u003d 4x - x 3 / 3
a) 1) 이 함수의 미분을 구합니다.
f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x
2) 방정식 f "(x) = 0을 푼다.<=>-2+14x=0<=>x=1/7
3) 방정식 f "(x) \u003d 0에는 하나의 근이 있으므로 이 함수에는 하나의 임계점 x \u003d 1/7이 있습니다.
b) 1) 이 함수의 미분을 구합니다. f "(x) \u003d 4 - x 2
2) 방정식을 푼다: f "(x) = 0<=>4 - x 2 = 0<=>x=2 또는 x=-2
3) 방정식 f "(x) \u003d 0에는 두 개의 근이 있으므로 이 함수에는 두 개의 임계점 x 1 \u003d 2 및 x 2 \u003d -2가 있습니다.
II.구두 작업.
선생님: - 얘들아! 새로운 주제를 연구하는 데 필요한 주요 질문을 반복해 보겠습니다. 이렇게 하려면 그림이 포함된 표를 고려하십시오( 부록 1).
함수의 증가가 감소로 대체되는 지점을 지정합니다. 이 점들을 무엇이라고 부르나요?
학생: - 그림 a)에서 - 점 K는 최대점이고 그림 b)에서는 점 M이 최대점입니다.
교사: - 기능의 최소 포인트는 무엇입니까?
학생: - 그림 c) 및 d)의 점 K - 함수의 최소 점입니다.
교사: - 어떤 점이 함수의 극한점이 될 수 있나요?
학생: - 임계점은 함수의 극한점이 될 수 있습니다.
교사: - 필요한 조건이 무엇인지 알고 있나요?
학생: - 페르마의 정리가 있어요. 극한의 필요 조건:점 x 0이 함수 f의 극점이고 이 지점에 도함수 f "가 있으면 0과 같습니다: f" (x) \u003d 0.
교사: - 기능의 중요한 점을 찾으세요.
a) f(x) = | 엑스 |
b) f(x) = 2x + | 엑스 |
학생: - 함수 f(x) = |를 생각해 보세요. 엑스 | ( 응용 프로그램 2). 이 함수는 0에서 도함수가 없습니다. 따라서 0은 임계점입니다. 분명히 이 함수는 지점 0에서 최소값을 갖습니다.
학생: - 함수 f(x) = 2x + |를 생각해 보세요. 엑스 | ( 부록 3). 그래프는 지점 0에서 이 함수에 극값이 없음을 보여줍니다. 이 시점에서 함수에는 파생물도 없습니다.
실제로 함수 f가 0에서 도함수를 갖는다고 가정하면 f(x) - 2x도 0에서 도함수를 갖습니다. 그러나 f(x) - 2x = | x | 및 함수 | 엑스 | 점 0에서는 미분 불가능합니다. 즉, 우리는 모순에 이르렀습니다.
이는 점 0의 함수 f에 도함수가 없음을 의미합니다.
교사: - 페르마의 정리에 따르면 극점을 찾을 때는 임계점을 찾아야 합니다. 그러나 고려된 예를 보면 이 임계점이 극한점이 되기 위해서는 몇 가지 추가 조건이 필요하다는 것이 분명합니다.
어느 한 지점에서 극한이 존재하기 위한 충분조건은 무엇입니까?
학생: - 최대 기능의 부호: 함수 f가 x 0 지점에서 연속이고 구간 (a; x 0)과 f "(x)에서 f "(x) > 0인 경우<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.
즉, x 0 지점에서 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되면 x 0이 최대 지점이 됩니다.
학생: - 최소의 부호: 함수 f가 x0점에서 연속이고, f"(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >구간 (x 0 ; c)에서 0이면 지점 x 0은 함수 f의 최소 지점입니다.
즉, x 0 지점에서 도함수의 부호가 마이너스에서 플러스로 변경되면 x 0이 최소 지점이 됩니다.
교사: - 그리고 함수의 극점을 찾는 알고리즘이 무엇인지 알고 있나요?
학생은 도함수( 부속서 4) 함수의 극점을 찾습니다.
f (x) \u003d x 4 -2x 2
D(f) =IR이고 f는 전체 유리함수로서 전체 실수선에서 연속입니다.
2. f "(x) \u003d 4x 3 -4x \u003d 4x (x + 1) (x-1).
3.f"(x)=0<=>x \u003d -1V x \u003d 0V x \u003d 1.
그림 1 (f "표시)
f는 임계점에서 연속이므로 그림 1( 부속서 5) -1과 1이 최소점, 0이 함수 f의 최대점임을 알 수 있다.
f min \u003d f (-1) \u003d f (1) \u003d -1, f max \u003d f (0) \u003d 0.
선생님: - 얘들아! 함수 f의 단조성 간격을 찾는 알고리즘을 생각해 보겠습니다.
학생은 함수 f의 단조성 구간을 찾는 알고리즘을 기억합니다. 부속서 6).
교사: - 공식에 의해 주어진 함수 f의 증가 및 감소 간격을 찾아보세요.
f (x) \u003d x 3 -12x
해결책:
1. f(x)는 다항식이므로 D(f) =IR입니다.
2. 함수 f는 전체 실수선과 f "(x) \u003d 3x 2 -12 \u003d 3 (x + 2) (x-2)에서 미분 가능합니다.
3. f"(x)의 0만이 함수 f의 임계점이 될 수 있습니다.
f"(x)=0<=>x \u003d -2V x \u003d 2.
D (f) \ (-2; 2) \u003d (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).
그림 2 (f "표시).
주어진 함수 f의 정의 영역과 값을 찾습니다.
함수에 더 쉽게 연구할 수 있는 기능이 있는지, 즉 함수 f가 있는지 알아보세요.
a) 짝수 또는 홀수;
b) 주기적.
3. 그래프와 좌표축의 교차점 좌표를 계산합니다.
4. 함수 f의 불변성 구간을 찾으세요.
5. 함수 f가 어느 구간에서 증가하고 어느 구간에서 감소하는지 알아보세요.
6. 극점(최대 또는 최소)을 찾고 이 지점에서 f 값을 계산합니다.
7. 정의 영역에 포함되지 않은 특징점 근처에서 함수 f의 동작을 조사합니다.
8. 함수를 그래프로 그려보세요.
이 다이어그램은 예시입니다.
위의 모든 사항을 고려하여 f (x) \u003d 3x 5 -5x 3 +2 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다.
다음과 같이 연구를 해보자.
D(f") =IR, f(x)는 다항식이므로.
함수 f는 짝수도 홀수도 아닙니다. 왜냐하면
f(-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)
좌표축과 그래프의 교차점 좌표를 찾습니다.
a) 0X 축을 사용하여 방정식을 푼다: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.
선택 방법은 근(x = 1) 중 하나를 찾을 수 있습니다. 다른 뿌리는 대략적으로만 찾을 수 있습니다. 따라서 이 함수의 경우 그래프와 가로축 및 상수 부호 간격의 나머지 교차점을 찾을 수 없습니다.
b) 0Y 축 사용: f(0)=2
점 A (0; 2) - 함수 그래프와 0Y 축의 교차점입니다.
우리는 부호 불변성의 구간을 찾을 수 없다는 점에 주목했습니다.
함수의 증가 및 감소 간격 찾기
a) f "(x) \u003d 15x 4 -15x 2 \u003d 15x 2 (x 2 -1)
D (f ") \u003d IR이므로 f "(x)가 존재하지 않는 임계점이 없습니다.
b) f "(x) \u003d 0 x 2 (x 2 -1) \u003d 0이면<=>x = -1V x = 0V x = 1.
c) 우리는 세 가지 중요한 점을 얻었고, 좌표선을 네 개의 간격으로 나눕니다. 다음 구간에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다.
그림 3 (f "표시)
IV. 새로운 주제를 수정 중입니다. 문제 해결.
교사: - 함수를 탐색하고 그래프를 작성합니다: f (x) \u003d x 4 -2x 2 -3.
학생: - 1) D(f) =R.
2) f (-x) \u003d (-x) 4 -2 (-x) 2 -3 \u003d x 4 -2x 2 -3; 에프(-x)= 에프(엑스),
따라서 함수 f는 짝수입니다. 함수가 -에서 -4로 증가하는 간격에 대해 연구할 수 있으므로 방정식 f (x) \u003d 0에는 이 간격에 근이 없습니다.
b) 간격 [-1; 2] 방정식에는 근이 없습니다. 왜냐하면 이 간격에서 함수는 -4에서 -31로 감소하기 때문입니다.
c) 간격에 따라 [-무한대;-1]에서 감소합니다.
극단점: x 최소 = -1
함수 극값: y min =y(-1)=1-2= -1
제3장. 기능 연구.
3.1. 기능 연구를 위한 일반적인 계획.
함수를 조사할 때 일반적인 조사 계획을 알아야 합니다.
1) D(y) – 정의 영역(변수 x의 범위)
2) E(y) – x값의 면적(변수 y의 범위)
3) 함수 유형: 짝수, 홀수, 주기 또는 일반 함수.
4) 함수 그래프와 축 Ohi Oy의 교차점(가능한 경우).
5) 부호 일관성의 간격:
a) 함수는 양수 값을 취합니다: f(x)>0
b) 음수 값: f(x)<0.
6) 함수 단조성의 간격:
a) 증가;
b) 감소;
c) 불변성(f=const).
7) 극한점(최소 및 최대점)
8) 함수 극값(최소 및 최대 지점의 함수 값)
9) 추가 포인트.
함수를 보다 정확하게 플롯하기 위해 이를 사용할 수 있습니다.
함수 f의 극값이 함수의 최대값 및 최소값과 항상 일치하는 것은 아닙니다.
3.2. 함수가 증가하고 감소하는 신호입니다.
임의로 선택한 일부 점을 사용하여 함수의 그래프를 작성하고 이를 부드러운 선으로 연결한 다음 무작위로 선택한 점이 매우 많더라도 이런 방식으로 구성된 그래프는 매우 다를 수 있습니다. 주어진 함수의 그래프로부터.
함수를 연구할 때 미분을 사용하여 소위 "참조" 지점을 찾는 경우, 즉 중단점, 최대 및 최소점, 함수 단조성 간격, 이러한 "참조" 점이 적더라도 함수 그래프에 대한 올바른 아이디어를 얻을 수 있습니다.
예제를 살펴보기 전에 필요한 정의와 정리를 설명하겠습니다.
구간에 대한 함수의 단조성의 정의
함수 y \u003d f (x)는 조건 x 1에서 이 간격의 모든 지점 x 1 및 x 2에 대해 간격 증가라고 합니다.<х 2
следует, что f(x 1)
구간 내 함수의 단조성에 대한 충분한 기준입니다. 정리: 함수가 구간의 각 지점에서 양(음) 도함수를 갖는 경우 함수는 이 구간에서 증가(감소)합니다.
이 정리는 증거 없이 학교 교과서에 받아들여집니다.
f '(x) \u003d tgα임을 상기하면 정리의 기하학적 해석은 매우 간단합니다. α는 주어진 점 x에서 함수 그래프에 대한 접선의 기울기입니다. 예를 들어 특정 간격의 모든 지점에서 f '(x)> 0이면 가로축이 있는 그래프의 접선은 예리한 각도를 형성하며 이는 f(x)도 x에 따라 증가한다는 것을 의미합니다. f'(x)라면<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.
3.3. 함수의 임계점, 최대값 및 최소값.
함수의 극점 결정 . x 0을 함수 f(x)의 정의역 내부 점으로 설정합니다. 그런 다음, 그러한 δ - 이웃 ] x 0 - δ, x 0 + δ [ 포인트 x 0 가 있다면, 이 이웃의 모든 x에 대해 부등식 f(x)≤f(x 0)이 충족됩니다(부등식 f (x)≥f (x 0)), x 0 지점을 이 함수의 최대점(최소점)이라고 합니다.
최대-최소 점은 함수 영역의 내부 점입니다.
미분가능한 함수의 극값이 존재하는 데 필요한 기준 .
페르마의 정리.
x 0이 함수 f (x)의 극점이고 이 지점에 도함수가 존재하면 f '(x 0) \u003d 0과 같습니다.
이 정리는 미분 가능 함수의 극값이 존재하기 위한 충분 조건이 아닙니다. 만약 어떤 지점 x 0에서 도함수가 사라지면, x 0 지점에서 함수가 극값을 갖는다는 것을 아직 따르지 않습니다.
기능의 임계점 정의 . 함수의 도함수가 0이거나 존재하지 않는 함수 영역의 내부 지점을 함수의 임계점이라고 합니다.
극한이 존재하기 위한 충분한 조건 .
정리 1. 함수 f(x)가 x0 지점에서 연속이면 구간에서 f'(x)>0이고 f'(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).
정리 2. 함수 f(x)가 x0 지점에서 연속이면 f'(x)<0 на интервале и f ‘(x)>구간에서 0이면 x 0은 함수 f(x)의 최소점입니다.
함수의 극점을 찾으려면 임계점을 찾아야 하며, 각 함수의 극한 조건이 충족되는지 확인해야 합니다.
3.4. 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.
구간 내에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 규칙입니다. 특정 구간에서 미분 가능한 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으려면 해당 구간 내에 있는 모든 임계점을 찾고, 이 지점과 끝에서 함수의 값을 계산해야 합니다. 이렇게 얻은 함수의 모든 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.
제4장. 함수 연구에 미분을 적용하는 예.
실시예 11. y=x 3 +6x 2 +9x 함수를 탐색하고 그래프를 작성해 보세요.
2) 기능 유형을 정의하십시오.
y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x 일반 함수.
x=0 또는 x2 +6x+9=0
D=0이면 방정식에는 근이 하나 있습니다.
(0;0) 및 (-3;0) - X축과의 교차점입니다.
y'=(엑스 3 +6x 2 +9x)'=3x 2 +12x+9
y'=0, 즉 3x 2 +12x+9=0 3으로 감소
D>0이면 방정식에는 2개의 근이 있습니다.
x 1,2 \u003d (-b±√D) / 2a, x 1 \u003d (-4 + 2) / 2, x 2 \u003d (-4-2) / 2
0 
-4
x=-4, y'=3*16-48+9=9>0
x=-2, y'=12-24+9=-3<0
x=0, y'=0+0+9=9>0
7) x 최소값과 x 최대값을 찾습니다.
8) 함수의 극값을 찾습니다.
ymin=y(-1)=-1+6-9=-4
ymax=y(-3)=-27+54-27=0
9) 함수의 그래프를 만들어 봅시다:
10) 추가 사항:
y(-4)=-64+96-36=-4
실시예 12. y=x 2 /(x-2) 함수를 탐색하고 그래프를 작성하세요.
y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)
함수의 점근선을 찾아봅시다:
x≠ 2, x=2 – 수직 점근선
y=x+2는 경사 점근선입니다. 왜냐하면
정의영역을 찾아보자.
2) 함수의 종류를 정의해보자.
y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), 일반 함수.
3) 축과의 교차점을 찾습니다.
Oy: x=0, y=0 (0;0) – y축과의 교차점.
x=0 또는 x=2 (2;0) – x축과의 교차점
4) 함수의 미분을 구합니다.
y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2) 2 \u003d (x 2 -4x) / (x-2) 2
5) 중요한 사항을 정의합니다.
x 2 -4x=0 x(x-4)=0
y'=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>
(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2
x 2 -4x=0, 그리고 (x-2) 2 ≠ 0, 즉 x≠ 2
6) 좌표선에 임계점을 표시하고 함수의 부호를 결정합니다.
0 8
x=-1, y'=(1+4)/9=5/9>0
x=1, y'=(1-4)/1=-3<0
x=3, y'=(9-12)/1=-3<0
x=5, y'=(25-20)/9=5/9>0
7) 함수의 최소 및 최대 점을 찾습니다.
8) 함수의 극값을 찾습니다.
ymin=y(4)=16/2=8
9) 함수의 그래프를 만들어 봅시다:
10) 추가 사항:
y(-3)=9/-5=-1.8 y(3)=9/1=9
y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9
실시예 13 y=(6(x-1))/(x 2 +3) 함수를 탐색하고 그래프를 작성합니다. 1) 함수의 영역을 찾으세요:
2) 기능 유형을 정의하십시오.
y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3)은 일반 함수입니다.
3) 축과의 교차점을 찾으십시오.
O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – y축과의 교차점.
(6(x-1))/(x 2 +3)=0
O x: y=0,<=>
4) 함수의 미분을 구합니다.
y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3)/(x 2 +3) 2
5) 중요한 사항을 정의합니다.
y'=0, 즉 -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0
y'=0, x 1 =-1 또는 x 2 =3이면 x=-1 및 x=3, 임계점.
6) 좌표선에 임계점을 표시하고 함수의 부호를 결정합니다.
-3 2
x=-2, y'=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0
x=0, y'=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0
x=4, y'=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2=-30/361<0
7) 최소 및 최대 포인트를 찾으십시오.
8) 함수의 극값을 찾습니다.
y 최소 =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3
y 최대 =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1
9) 함수의 그래프를 만들어 봅시다:
10) 추가 사항:
y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2
y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≒ 0.77
실시예 14 y=xlnx 함수를 탐색하고 그래프를 작성합니다.
1) 함수의 영역을 찾으세요:
D(y)=R + (양수 값만 해당)
2) 기능 유형을 정의하십시오.
y(-x)=-xlnx - 일반 형식.
3) 축과의 교차점을 찾으십시오.
O y 이지만 x≠ 0이므로 y축과 교차점이 없습니다.
황소: y=0 즉 xlnx=0
x=0 또는 lnx=0
(1;0) - X축과의 교차점
4) 함수의 미분을 구합니다.
y'=x' ln x + x(ln x)'=ln x +1
5) 중요한 사항을 정의합니다.
y'=0, 즉 lnx +1=0
y'=0 , x=1/e 이면 x=1/e 가 임계점입니다.
6) 좌표선에 임계점을 표시하고 함수의 부호를 결정합니다.
1/e 
x=1/(2e); y'=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0
x=2e; y'=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0
7) 1/e는 함수의 최소점입니다.
8) 함수의 극값을 찾습니다.
y min \u003d y (1 / e) \u003d 1 / e ln e -1 \u003d -1 / e (© -0.4).
9) 함수의 그래프를 만들어 봅시다:
결론.
많은 과학자와 철학자들이 이 주제에 대해 연구해 왔습니다. 수년 전에 함수, 그래프, 함수 연구와 같은 용어가 등장했으며 오늘날까지 살아남아 새로운 기능과 특성을 얻었습니다.
기능에 대한 연구의 길을 걷는 것이 매우 흥미로웠기 때문에 이 주제를 선택했습니다. 많은 사람들이 함수, 속성 및 변환에 대해 더 자세히 알아보는 데 관심이 있을 것 같습니다. 이 에세이를 작성한 후 저는 제 기술을 체계화하고 이 주제에 대한 지식을 보충했습니다.
나는 모든 사람에게 이 주제를 더 깊이 연구하라고 조언하고 싶습니다.
서지.
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