방정식을 푸는 것과 같습니다. 예제를 통해 선형 방정식 풀기
최종 시험 준비 단계에서 고등학생은 "지수 방정식"이라는 주제에 대한 지식을 향상시켜야 합니다. 지난 몇 년간의 경험에 따르면 그러한 작업이 학생들에게 특정 어려움을 초래한다는 것을 나타냅니다. 그러므로 고등학생은 준비 정도에 관계없이 이론을 주의 깊게 익히고 공식을 암기하며 방정식을 푸는 원리를 이해해야 합니다. 이러한 유형의 작업에 대처하는 방법을 배운 졸업생은 수학 시험에 합격할 때 높은 점수를 기대할 수 있습니다.
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서비스 할당. 행렬 계산기는 선형 방정식 시스템을 행렬 방식으로 풀도록 설계되었습니다(유사한 문제 해결의 예 참조).지침. 온라인 솔루션의 경우 방정식 유형을 선택하고 해당 행렬의 차원을 설정해야 합니다. 여기서 A, B, C에는 행렬이 주어지고 X는 원하는 행렬입니다. (1), (2), (3) 형태의 행렬 방정식은 역행렬 A -1 을 통해 풀립니다. A X - B = C라는 표현식이 주어지면 먼저 행렬 C + B를 더하고 A X = D 표현식(여기서 D = C + B)에 대한 해를 찾아야 합니다. A*X = B 2라는 표현이 주어지면 먼저 행렬 B를 제곱해야 합니다.
또한 행렬의 기본 작업에 익숙해지는 것이 좋습니다.예시 #1. 운동. 행렬 방정식의 해 찾기
해결책. 표시하다:
그러면 행렬 방정식은 A·X·B = C 형식으로 작성됩니다.
행렬 A의 행렬식은 detA=-1입니다.
A는 비특이 행렬이므로 역행렬 A -1 이 있습니다. 왼쪽 방정식의 양변에 A -1을 곱합니다. 이 방정식의 왼쪽 변에 A -1을, 오른쪽 방정식의 양쪽 변에 B -1을 곱합니다. A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . A A -1 = B B -1 = E이고 E X = X E = X이므로 X = A -1 C B -1
역행렬 A -1: 
역행렬 B -1 을 구합니다.
행렬 B T를 전치하십시오:
역행렬 B -1: 
우리는 다음 공식으로 행렬 X를 찾고 있습니다: X = A -1 C B -1 
답변:
예 #2. 운동.행렬 방정식 풀기 
해결책. 표시하다:
그러면 행렬 방정식은 A X = B 형식으로 작성됩니다.
행렬 A의 행렬식은 detA=0입니다.
A는 축퇴 행렬(행렬식은 0)이므로 방정식에는 해가 없습니다.
예시 #3. 운동. 행렬 방정식의 해 찾기
해결책. 표시하다:
그러면 행렬 방정식은 X·A = B 형식으로 작성됩니다.
행렬 A의 행렬식은 detA=-60입니다.
A는 비특이 행렬이므로 역행렬 A -1 이 있습니다. 방정식의 우변에 A -1을 곱합니다: X A A -1 = B A -1, 여기서 X = B A -1을 얻습니다.
역행렬 A -1 을 구합니다.
전치된 행렬 A T: 
역행렬 A -1: 
우리는 다음 공식으로 행렬 X를 찾고 있습니다: X = B A -1 
답: > 
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이 비디오에서 우리는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀 수 있는 전체 선형 방정식 세트를 분석할 것입니다. 이것이 바로 이 방정식이 가장 단순하다고 불리는 이유입니다.
우선 정의해 보겠습니다. 선형 방정식은 무엇이며 그 중 가장 단순한 방정식은 무엇입니까?
선형 방정식은 변수가 하나만 있고 1차만 있는 방정식입니다.
가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.
다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 방정식으로 축소됩니다.
- 대괄호가 있으면 여십시오.
- 변수가 포함된 용어를 등호의 한쪽으로 이동하고, 변수가 없는 용어를 다른 쪽으로 이동합니다.
- 등호의 왼쪽과 오른쪽에 같은 용어를 가져옵니다.
- 결과 방정식을 변수 $x$ 의 계수로 나눕니다.
물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 때때로 이러한 모든 조작 후에 변수 $x$의 계수가 0과 같은 것으로 판명된다는 것입니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.
- 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 예를 들어 $0\cdot x=8$과 같은 결과를 얻는 경우, 즉 왼쪽은 0이고 오른쪽은 0이 아닌 숫자입니다. 아래 영상에서는 이런 상황이 가능한 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.
- 해결책은 모두 숫자입니다. 이것이 가능한 유일한 경우는 방정식이 $0\cdot x=0$ 구조로 축소된 경우입니다. 우리가 무엇을 $x$로 대체하더라도 여전히 "0은 0과 같습니다"라는 결과가 나올 것이라는 점은 매우 논리적입니다. 올바른 수치 평등.
이제 실제 문제의 예에서 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
방정식 풀이의 예
오늘 우리는 선형 방정식을 다루며 가장 간단한 방정식만 다룹니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 등식을 의미하며 1차까지만 진행됩니다.
이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.
- 우선, 괄호가 있으면 열어야 합니다(마지막 예에서와 같이).
- 그럼 비슷한거 가져와
- 마지막으로 변수를 분리합니다. 즉, 변수와 연결된 모든 것, 즉 변수가 포함된 용어는 한쪽으로 전송되고, 변수 없이 남아 있는 모든 것은 반대쪽으로 전송됩니다.
그런 다음 원칙적으로 결과 평등의 양쪽에 유사점을 가져와야 하며 그 후에는 "x"의 계수로 나누기만 하면 최종 답을 얻을 수 있습니다.
이론적으로는 멋지고 단순해 보이지만 실제로는 경험이 풍부한 고등학생이라도 매우 간단한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 열 때나 "플러스"와 "마이너스"를 셀 때 실수가 발생합니다.
또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수직선인 경우가 발생합니다. 어떤 숫자라도. 오늘 수업에서는 이러한 미묘함을 분석해 보겠습니다. 하지만 이미 이해하셨듯이 가장 간단한 작업부터 시작하겠습니다.
간단한 선형 방정식을 푸는 방식
우선 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 구성표를 다시 한 번 작성하겠습니다.
- 괄호가 있으면 확장하세요.
- 변수를 제외합니다. 즉, "x"가 포함된 모든 항목은 한쪽으로 전송되고 "x"가 없으면 다른쪽으로 전송됩니다.
- 비슷한 용어를 제시합니다.
- 모든 것을 "x"의 계수로 나눕니다.
물론 이 계획이 항상 작동하는 것은 아니며 특정 미묘함과 요령이 있으므로 이제 우리는 이에 대해 알게 될 것입니다.
간단한 선형 방정식의 실제 예 풀기
작업 #1
첫 번째 단계에서는 괄호를 열어야 합니다. 하지만 이 예에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 분리해야 합니다. 참고: 우리는 개별 용어에 대해서만 이야기하고 있습니다. 글을 쓰자:
우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제공하지만 여기서는 이미 수행되었습니다. 따라서 우리는 네 번째 단계인 인수로 나누는 단계로 진행합니다.
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
여기서 우리는 답을 얻었습니다.
작업 #2
이 작업에서는 대괄호를 관찰할 수 있으므로 이를 확장해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 구성을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 행동해 보겠습니다. 격리 변수:
다음은 다음과 같습니다.
이것은 어떤 뿌리에서 작동합니까? 답변 : 무엇이든. 따라서 $x$는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.
작업 #3
세 번째 선형 방정식은 이미 더 흥미롭습니다.
\[\왼쪽(6-x \오른쪽)+\왼쪽(12+x \오른쪽)-\왼쪽(3-2x \오른쪽)=15\]
여기에는 여러 개의 괄호가 있지만 아무것도 곱해지지 않고 앞에 다른 기호가 있을 뿐입니다. 그것들을 분석해보자:
우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
계산해보자:
마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"의 계수로 나눕니다.
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항
너무 단순한 작업을 무시한다면 다음과 같이 말하고 싶습니다.
- 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
- 뿌리가 있더라도 그 사이에 0이 들어갈 수 있습니다. 그것에는 아무런 문제가 없습니다.
0은 나머지 숫자와 동일합니다. 어떻게든 이를 차별하거나 0이 나오면 뭔가 잘못했다고 가정해서는 안 됩니다.
또 다른 기능은 괄호 확장과 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "마이너스"가 있으면 이를 제거하지만 괄호 안의 기호는 다음과 같이 변경됩니다. 반대. 그런 다음 표준 알고리즘에 따라 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 내용을 얻게 됩니다.
이 간단한 사실을 이해하면 고등학교에서 그러한 행동을 당연하게 여기는 어리석고 해로운 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다.
복잡한 선형 방정식 풀기
더 복잡한 방정식으로 넘어 갑시다. 이제 구성은 더욱 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 의도에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 반드시 감소하기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.
예시 #1
분명히 첫 번째 단계는 괄호를 여는 것입니다. 이 작업을 매우 신중하게 수행해 보겠습니다.
이제 개인 정보 보호를 살펴보겠습니다.
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
다음은 다음과 같습니다.
분명히 이 방정식에는 해가 없으므로 답에 다음과 같이 씁니다.
\[\다양성 \]
또는 뿌리가 없습니다.
예시 #2
우리는 동일한 단계를 수행합니다. 첫 번째 단계:
변수가 있는 모든 것을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 경우 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
다음은 다음과 같습니다.
분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성합니다.
\[\varnothing\],
또는 뿌리가 없습니다.
솔루션의 뉘앙스
두 방정식 모두 완전히 풀렸습니다. 이 두 표현의 예에서 우리는 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있음을 다시 한 번 확인했습니다. 하나가 있거나 없거나 또는 무한히 많을 수 있습니다. 우리의 경우 두 가지 방정식을 고려했는데 둘 다 단순히 근이 없습니다.
그러나 저는 또 다른 사실, 즉 대괄호로 작업하는 방법과 대괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 대괄호를 확장하는 방법에 주목하고 싶습니다. 다음 표현을 고려해보세요.
열기 전에 모든 항목에 "x"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하기 각 개별 용어. 내부에는 두 개의 용어가 있습니다. 각각 두 개의 용어가 곱해집니다.
그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 완료된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 브래킷을 열 수 있습니다. 예, 예: 이제 변환이 완료되면 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 이는 아래의 모든 것이 기호만 변경된다는 의미입니다. 동시에 괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "마이너스"도 사라진다는 것입니다.
두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.
내가 이 사소하고 사소해 보이는 사실들에 주목하는 것은 우연이 아니다. 방정식을 푸는 것은 항상 간단한 작업을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 나에게 와서 그러한 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배우게 되는 일련의 기본 변환이기 때문입니다.
물론, 이러한 기술을 자동화로 연마할 날이 올 것입니다. 더 이상 매번 너무 많은 변환을 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.
훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기
지금 우리가 해결하려는 작업은 가장 간단한 작업이라고 할 수는 없지만 의미는 동일합니다.
작업 #1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
첫 번째 부분의 모든 요소를 곱해 보겠습니다.
후퇴를 해보자:
다음은 다음과 같습니다.
마지막 단계를 수행해 보겠습니다.
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
여기에 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고 해결 과정에서 이차 함수를 갖는 계수가 있다는 사실에도 불구하고 서로 상쇄되어 방정식이 정사각형이 아닌 정확히 선형이 됩니다.
작업 #2
\[\왼쪽(1-4x \오른쪽)\왼쪽(1-3x \오른쪽)=6x\왼쪽(2x-1 \오른쪽)\]
첫 번째 단계를 주의 깊게 살펴보겠습니다. 첫 번째 대괄호의 모든 요소에 두 번째 대괄호의 모든 요소를 곱합니다. 변환 후에는 총 4개의 새로운 항을 얻어야 합니다.
이제 각 항의 곱셈을 주의 깊게 수행합니다.
"x"가 있는 용어를 왼쪽으로, -가 없는 용어를 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
비슷한 용어는 다음과 같습니다.
우리는 확실한 답변을 받았습니다.
솔루션의 뉘앙스
이 두 방정식에 대한 가장 중요한 설명은 다음과 같습니다. 항보다 많은 괄호를 곱하기 시작하면 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항에서 첫 번째 항을 가져와 각 요소와 곱합니다. 두 번째부터; 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져와 유사하게 두 번째 요소의 각 요소와 곱합니다. 결과적으로 우리는 4개의 항을 얻게 됩니다.
대수합에 대하여
마지막 예를 통해 나는 학생들에게 대수적 합이 무엇인지 상기시키고 싶습니다. 고전 수학에서 $1-7$은 간단한 구성을 의미합니다. 즉, 1에서 7을 뺍니다. 대수학에서 이는 다음을 의미합니다. 숫자 "1"에 다른 숫자, 즉 "마이너스 7"을 추가합니다. 이 대수합은 일반적인 산술합과 다릅니다.
모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행하자마자 위에서 설명한 것과 유사한 구조가 보이기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.
결론적으로 방금 살펴본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보고 이를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.
분수로 방정식 풀기
이러한 작업을 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 하지만 먼저 우리 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.
- 대괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 요인으로 나눕니다.
아아, 이 놀라운 알고리즘은 효율성에도 불구하고 우리 앞에 분수가 있을 때 완전히 적합하지 않습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있듯이 두 방정식 모두 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.
이 경우 어떻게 일합니까? 예, 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 첫 번째 작업 이전과 이후에 수행할 수 있는 단계, 즉 분수를 제거하는 단계를 알고리즘에 하나 더 추가해야 합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.
- 분수를 제거하십시오.
- 대괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 요인으로 나눕니다.
"분수를 제거한다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그리고 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 이것을 수행하는 것이 왜 가능한가? 실제로 우리의 경우 모든 분수는 분모를 기준으로 숫자입니다. 어디에서나 분모는 단지 숫자일 뿐입니다. 따라서 방정식의 두 부분에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.
예시 #1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
이 방정식에서 분수를 제거해 보겠습니다.
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
참고: 모든 항목에 "4"가 한 번 곱해집니다. 괄호가 두 개 있다고 해서 각 괄호에 "4"를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 글을 쓰자:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
이제 열어 보겠습니다.
변수 격리를 수행합니다.
우리는 유사한 용어의 축소를 수행합니다.
\[-4x=-1\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
최종 솔루션을 얻었으므로 두 번째 방정식으로 넘어갑니다.
예시 #2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
여기서는 동일한 작업을 모두 수행합니다.
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
문제 해결됨.
사실 그게 제가 오늘 말하고 싶었던 전부입니다.
키 포인트
주요 결과는 다음과 같습니다.
- 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
- 괄호를 여는 기능.
- 어딘가에 이차 함수가 있는 경우 추가 변환 과정에서 이 함수가 줄어들 것이므로 걱정하지 마십시오.
- 선형 방정식의 근은 가장 단순한 방정식일지라도 세 가지 유형이 있습니다. 하나의 단일 근, 전체 수직선이 근이고 근이 전혀 없습니다.
이 수업이 모든 수학을 더 깊이 이해하기 위해 간단하지만 매우 중요한 주제를 익히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 부분이 있으면 사이트로 이동하여 거기에 제시된 예제를 풀어보세요. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다. 더 많은 흥미로운 것들이 여러분을 기다리고 있습니다!
