루트비히 볼츠만: 개인적인 업적. 볼츠만 상수

계획:

소개

• 1 온도와 에너지의 관계
• 2 엔트로피의 정의
노트

소개

볼츠만 상수 (케이또는 케이 B)는 온도와 에너지 사이의 관계를 정의하는 물리적 상수입니다. 이 상수가 중요한 역할을 하는 통계 물리학에 큰 공헌을 한 오스트리아 물리학자 루트비히 볼츠만의 이름을 따서 명명되었습니다. SI 시스템에서의 실험값은 다음과 같습니다.

J/K .

괄호 안의 숫자는 수량 값의 마지막 숫자의 표준 오류를 나타냅니다. 볼츠만 상수는 절대 온도 및 기타 물리적 상수의 정의로부터 얻을 수 있습니다. 그러나 첫 번째 원리를 사용하여 볼츠만 상수를 계산하는 것은 현재 지식 상태로는 너무 복잡하고 실행 불가능합니다. 플랑크 단위의 자연계에서는 볼츠만 상수가 1과 같도록 자연 온도 단위가 주어집니다.

보편적 기체 상수는 볼츠만 상수와 아보가드로 수의 곱으로 정의됩니다. 아르 자형 = 케이Nㅏ. 기체 상수는 입자 수를 몰 단위로 나타낼 때 더 편리합니다.

1. 온도와 에너지의 관계

절대온도의 균일한 이상기체에서 티, 각 병진 자유도당 에너지는 Maxwell 분포에서 다음과 같이 동일합니다. 케이티/ 2 . 실온(300K)에서 이 에너지는 J, 즉 0.013eV입니다. 단원자 이상 기체에서 각 원자는 3개의 공간 축에 해당하는 3개의 자유도를 가지며, 이는 각 원자가 의 에너지를 가짐을 의미합니다.

열 에너지를 알면 원자 질량의 제곱근에 반비례하는 원자의 제곱 평균 제곱근 속도를 계산할 수 있습니다. 실온에서 제곱평균제곱근 속도는 헬륨의 경우 1370m/s에서 크세논의 경우 240m/s까지 다양합니다. 분자 가스의 경우 상황은 더욱 복잡해집니다. 예를 들어 이원자 가스는 이미 약 5개의 자유도를 가지고 있습니다.

2. 엔트로피의 정의

열역학 시스템의 엔트로피는 다양한 미세 상태 수의 자연 로그로 정의됩니다. 지, 주어진 거시적 상태(예: 주어진 총 에너지를 갖는 상태)에 해당합니다.

에스 = 케이에 지.

비례 요인 케이는 볼츠만 상수입니다. 이는 미시적( 지) 및 거시적 상태( 에스)은 통계역학의 핵심 아이디어를 표현합니다.

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1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - 물리.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt 기본 물리 상수 - 전체 목록

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이 초록은 러시아어 Wikipedia의 기사를 기반으로 합니다. 동기화 완료 07/10/11 01:04:29
유사한 초록:

k = 1.38 · 10 - 23 J K와 동일한 계수인 볼츠만 상수는 물리학에서 중요한 수식의 일부입니다. 분자 운동 이론의 창시자 중 한 명인 오스트리아 물리학자의 이름을 따서 명명되었습니다. 볼츠만 상수의 정의를 공식화해 보겠습니다.

정의 1

볼츠만 상수에너지와 온도의 관계를 결정하는 데 사용되는 물리 상수입니다.

완전히 고체에서 에너지가 방출되는 것과 관련된 스테판-볼츠만 상수와 혼동해서는 안 됩니다.

이 계수를 계산하는 방법은 다양합니다. 이 기사에서는 그 중 두 가지를 살펴보겠습니다.

이상기체 방정식을 통해 볼츠만 상수 구하기

이 상수는 이상기체의 상태를 설명하는 방정식을 사용하여 찾을 수 있습니다. T 0 = 273 K에서 T 1 = 373 K로 가스를 가열하면 압력이 p 0 = 1.013 10 5 P a에서 p 0 = 1.38 10 5 P a로 변경된다는 것이 실험적으로 결정될 수 있습니다. 이것은 공기만으로도 할 수 있는 매우 간단한 실험이다. 온도를 측정하려면 온도계와 압력-압력계를 사용해야합니다. 모든 가스의 1몰당 분자 수는 대략 6 · 10 23이고 1 atm의 압력에서의 부피는 V = 22.4 리터와 같다는 것을 기억하는 것이 중요합니다. 이러한 모든 매개변수를 고려하여 볼츠만 상수 k 계산을 진행할 수 있습니다.

이를 위해 상태 매개변수를 대체하여 방정식을 두 번 작성합니다.

결과를 알면 매개변수 k의 값을 찾을 수 있습니다.

브라운 운동 공식을 통해 볼츠만 상수 구하기

두 번째 계산 방법에 대해서도 실험을 수행해야 합니다. 이렇게하려면 작은 거울을 가져다가 탄력있는 실을 사용하여 공중에 걸어야합니다. 거울-공기 시스템이 안정된 상태(정적 평형)에 있다고 가정해보자. 공기 분자는 거울에 부딪히는데, 거울은 본질적으로 브라운 입자처럼 행동합니다. 그러나 정지 상태를 고려하면 서스펜션(수직 방향 스레드)과 일치하는 특정 축 주위의 회전 진동을 관찰할 수 있습니다. 이제 거울 표면에 광선을 비추겠습니다. 거울이 조금만 움직이거나 회전하더라도 거울에 반사되는 광선은 눈에 띄게 이동합니다. 이를 통해 물체의 회전 진동을 측정할 수 있습니다.

비틀림 계수를 L로, 회전축에 대한 거울의 관성 모멘트를 J로, 거울의 회전 각도를 ψ로 표시하면 다음 형식의 진동 방정식을 쓸 수 있습니다.

방정식의 마이너스는 거울을 평형 위치로 되돌리는 경향이 있는 탄성력 모멘트의 방향과 관련이 있습니다. 이제 양쪽에 Φ를 곱하고 결과를 적분하여 다음을 얻습니다.

다음 방정식은 이러한 진동에 대해 충족되는 에너지 보존 법칙입니다(즉, 위치 에너지는 운동 에너지로 변환되고 그 반대도 마찬가지입니다). 따라서 이러한 진동을 조화로운 것으로 간주할 수 있습니다.

앞서 공식 중 하나를 도출할 때 우리는 자유도에 따른 에너지 균일 분포의 법칙을 사용했습니다. 그래서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

이미 말했듯이 회전 각도를 측정할 수 있습니다. 따라서 온도가 약 290K이고 비틀림 계수 L ≒ 10 - 15 Nm인 경우; ψ ≒ 4 · 10 - 6이면 다음과 같이 필요한 계수 값을 계산할 수 있습니다.

따라서 브라운 운동의 기본을 알면 매크로 매개변수를 측정하여 볼츠만 상수를 찾을 수 있습니다.

볼츠만 상수 값

연구 중인 계수의 중요성은 미시세계의 매개변수를 거시세계를 설명하는 매개변수(예: 열역학적 온도와 분자의 병진 운동 에너지)와 연관시키는 데 사용할 수 있다는 것입니다.

이 계수는 분자의 평균 에너지 방정식, 이상 기체 상태, 기체 운동 이론, 볼츠만-맥스웰 분포 등의 방정식에 포함됩니다. 엔트로피를 결정하려면 볼츠만 상수가 필요합니다. 이는 온도에 대한 전기 전도도의 의존성을 설명하는 방정식과 같이 반도체 연구에서 중요한 역할을 합니다.

실시예 1

상태:회전, 병진, 진동 등 모든 자유도가 분자에서 여기된다는 것을 알고 온도 T에서 N 원자 분자로 구성된 가스 분자의 평균 에너지를 계산합니다. 모든 분자는 부피로 간주됩니다.

해결책

에너지는 각 각도의 자유도에 걸쳐 고르게 분포됩니다. 즉, 이러한 각도는 동일한 운동 에너지를 갖습니다. 이는 ε i = 1 2 k T 와 같습니다. 그런 다음 평균 에너지를 계산하기 위해 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

ε = i 2 k T , 여기서 i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l은 병진 회전 자유도의 합을 나타냅니다. 문자 k는 볼츠만 상수를 나타냅니다.

분자의 자유도를 결정하는 방법으로 넘어 갑시다.

m p o s t = 3, m υ r = 3, 이는 m k o l = 3 N - 6을 의미합니다.

나는 = 6 + 6N - 12 = 6N - 6 ; ε = 6N - 6 2kT = 3N - 3kT .

답변:이러한 조건에서 분자의 평균 에너지는 ε = 3 N - 3 k T와 같습니다.

실시예 2

상태:정상적인 조건에서 밀도가 p와 같은 두 가지 이상 기체의 혼합물입니다. 두 가스 μ 1, μ 2의 몰 질량을 알고 있다면 혼합물에서 한 가스의 농도가 얼마인지 결정하십시오.

해결책

먼저 혼합물의 총 질량을 계산해 봅시다.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

매개 변수 m 01은 한 가스의 분자 질량, m 02 – 다른 가스의 분자 질량, n 2 – 한 가스의 분자 농도, n 2 – 두 번째 가스의 농도를 나타냅니다. 혼합물의 밀도는 ρ입니다.

이제 이 방정식에서 첫 번째 가스의 농도를 표현합니다.

n 1 = ρ - n 2m 02m 01 ; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

결과 동일한 값을 대체해 보겠습니다.

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

우리는 가스의 몰 질량을 알고 있으므로 첫 번째와 두 번째 가스의 분자 질량을 찾을 수 있습니다.

m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.

우리는 또한 가스 혼합물이 정상적인 조건에 있다는 것을 알고 있습니다. 압력은 1atm이고 온도는 290K입니다. 이는 문제가 해결되었다고 생각할 수 있음을 의미합니다.

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스테판-볼츠만 법칙에 따르면 적분 반구 복사의 밀도는 이자형 0온도에만 의존하며 절대온도의 4제곱에 비례하여 변화합니다. 티:

스테판-볼츠만 상수 σ 0은 절대 흑체의 평형 열 복사의 부피 밀도를 결정하는 법칙에 포함된 물리 상수입니다.

역사적으로 슈테판-볼츠만 법칙은 플랑크의 복사 법칙보다 먼저 공식화되었으며 그 결과는 다음과 같습니다. 플랑크의 법칙은 방사선의 스펙트럼 플럭스 밀도의 의존성을 확립합니다 이자형 0 파장 λ 및 온도 티:

여기서 λ – 파장, m; 와 함께=2.998 10 8 m/s – 진공에서 빛의 속도; 티- 체온, K;
시간= 6.625 ×10 -34 J×s – 플랑크 상수.

물리적 상수 케이, 보편적인 기체 상수의 비율과 동일 아르 자형=8314J/(kg×K)를 아보가드로수로 N.A.=6.022× 10 26 1/(kg×mol):

다양한 시스템 구성 수 N주어진 숫자 집합에 대한 입자 아니 나는(입자의 수 나-에너지 ei가 해당하는 상태)는 다음 값에 비례합니다.

크기 여배포 방법에는 여러 가지가 있습니다 N에너지 수준에 따른 입자. 관계식 (6)이 참이면 원래 시스템이 볼츠만 통계를 따르는 것으로 간주됩니다. 숫자 세트 아니 나는, 여기서 숫자는 여최대값은 가장 자주 발생하며 가장 가능성 있는 분포에 해당합니다.

물리적 동역학– 통계적으로 비평형 시스템의 프로세스에 대한 미시적 이론.

확률론적 방법을 사용하면 다수의 입자에 대한 설명을 성공적으로 수행할 수 있습니다. 단원자 가스의 경우 분자 세트의 상태는 좌표와 해당 좌표축의 속도 투영 값에 의해 결정됩니다. 수학적으로 이는 입자가 주어진 상태에 있을 확률을 나타내는 분포 함수로 설명됩니다.

는 좌표가 ~ +d 범위에 있고 속도가 ~ +d 범위에 있는 부피 d d 내의 예상되는 분자 수입니다.

분자 상호 작용의 시간 평균 위치 에너지를 운동 에너지와 비교하여 무시할 수 있는 경우 해당 가스를 이상기체라고 합니다. 이상기체를 볼츠만 기체라고 부르는데, 이 기체의 분자 경로 길이와 흐름의 특징적인 크기의 비율이 엘물론, 즉

왜냐하면 경로 길이는 반비례합니다 두번째(n은 수치밀도 1/m 3, d는 분자의 직경, m).

크기

~라고 불리는 시간- 주어진 상태에서 가스 분자 시스템을 감지할 확률과 관련된 단위 부피에 대한 볼츠만 함수입니다. 각 상태는 고려 중인 분자의 상 공간이 분할될 수 있는 특정 개수의 6차원 공간 속도 셀을 채우는 것과 일치합니다. 나타내자 여고려중인 공간의 첫 번째 셀에 N 1 분자가 있고 두 번째에 N 2 분자가 있을 확률 등입니다.

확률의 원점을 결정하는 상수까지는 다음 관계가 유효합니다.

,

어디 – 공간 영역의 H-함수 ㅏ가스가 차지합니다. (9)로부터 다음이 분명해진다. 여그리고 시간상호 연결됨, 즉 상태 확률의 변화는 이에 상응하는 H 함수의 진화로 이어집니다.

볼츠만의 원리는 엔트로피 사이의 연결을 설정합니다. 에스물리적 시스템과 열역학적 확률 여그녀는 이렇게 말합니다.

(출판물: Kogan M.N. 희박 가스의 역학. - M.: Nauka, 1967.)

CUBE의 일반적인 모습:

분자에 작용하는 다양한 장(중력, 전기, 자기)의 존재로 인한 질량력은 어디에 있습니까? 제이– 충돌 적분. 분자끼리의 충돌과 이에 상응하는 상호작용하는 입자의 속도 변화를 고려하는 것은 볼츠만 방정식의 이 용어입니다. 충돌 적분은 5차원 적분이며 다음과 같은 구조를 갖습니다.

접선력이 발생하지 않는 분자 충돌에 대해 적분(13)이 포함된 방정식(12)이 얻어졌습니다. 충돌하는 입자는 완벽하게 매끄러운 것으로 간주됩니다.

상호 작용 중에 분자의 내부 에너지는 변하지 않습니다. 이들 분자는 완전탄성인 것으로 가정됩니다. 우리는 속도를 갖는 두 그룹의 분자를 고려합니다. 서로 충돌하기 전 (충돌) (그림 1), 충돌 후 각각 속도 및 . 속도의 차이를 상대속도라고 합니다. . 부드러운 탄성 충돌이 발생하는 것은 분명합니다. 분포 기능 f 1 ", f", f 1 , f충돌 전후에 해당 그룹의 분자를 설명합니다. ; ; ; .

쌀. 1. 두 분자의 충돌.

(13)은 서로 충돌하는 분자의 위치를 ​​특성화하는 두 가지 매개변수를 포함합니다. 비그리고 ε; 비– 조준 거리, 즉 상호작용이 없을 때 분자가 접근하는 최소 거리(그림 2) ε은 충돌 각도 매개변수라고 합니다(그림 3). 통합 종료 비 0에서 ∅ 및 0에서 2p까지((12)의 두 개의 외부 적분)는 벡터에 수직인 힘 상호 작용의 전체 평면을 포괄합니다.

쌀. 2. 분자의 궤적.

쌀. 3. 원통형 좌표계에서 분자의 상호 작용을 고려합니다. 지, 비, ε

볼츠만 운동 방정식은 다음과 같은 가정과 가정 하에 도출됩니다.

1. 주로 두 분자의 충돌이 발생한다고 믿어집니다. 3개 이상의 분자가 동시에 충돌하는 역할은 미미합니다. 이 가정을 통해 분석에 단일 입자 분포 함수를 사용할 수 있으며, 위에서는 간단히 분포 함수라고 합니다. 세 분자의 충돌을 고려하면 연구에서 두 입자 분포 함수를 사용해야 합니다. 따라서 분석은 훨씬 더 복잡해집니다.

2. 분자 혼돈의 가정. 이는 위상점에서 입자 1을 검출할 확률과 위상점에서 입자 2를 검출할 확률이 서로 독립적이라는 사실로 표현됩니다.

3. 충돌 거리에 관계없이 분자 충돌이 똑같이 일어날 수 있습니다. 분포 함수는 상호작용 직경에서 변하지 않습니다. 분석된 요소는 다음과 같이 작아야 한다는 점에 유의해야 합니다. 에프이 요소 내에서는 변하지 않지만 동시에 상대 변동은 크지 않습니다. 충돌 적분을 계산하는 데 사용되는 상호 작용 잠재력은 구형 대칭입니다. .

맥스웰-볼츠만 분포

가스의 평형 상태는 볼츠만 운동 방정식의 정확한 해인 절대 맥스웰 분포로 설명됩니다.

여기서 m은 분자의 질량, kg입니다.

일반 지역 맥스웰 분포(Maxwell-Boltzmann 분포라고도 함):

가스가 전체적으로 속도로 움직이는 경우 변수 n, T는 좌표에 따라 달라집니다.
그리고 시간 t.

지구의 중력장에서 볼츠만 방정식의 정확한 해는 다음과 같습니다.

어디 N 0 = 지구 표면의 밀도, 1/m3; g– 중력 가속도, m/s 2 ; 시간– 높이, m 공식 (16)은 무제한 공간이나 이 분포를 위반하지 않는 경계가 있는 경우 볼츠만 운동 방정식의 정확한 해법이며 온도도 일정하게 유지되어야 합니다.

이 페이지는 Puzina Yu.Yu가 디자인했습니다. 러시아 기초 연구 재단의 지원으로 프로젝트 번호 08-08-00638.

1844년 비엔나에서 태어났다. 볼츠만은 과학의 선구자이자 선구자입니다. 그의 작품과 연구는 종종 이해하기 어렵고 사회에서 거부당했습니다. 그러나 물리학이 더욱 발전하면서 그의 작품이 인정을 받고 출판되었습니다.

과학자의 과학적 관심은 물리학 및 수학과 같은 기본 영역을 다루었습니다. 1867년부터 그는 여러 고등교육기관에서 교사로 일했습니다. 그의 연구에서 그는 이것이 그들이 위치한 용기의 벽에 분자가 혼란스러운 영향을 미치기 때문에 발생하는 반면 온도는 입자 (분자)의 이동 속도, 즉 따라서 이러한 입자가 이동하는 속도가 빠를수록 온도가 높아집니다. 볼츠만 상수는 유명한 오스트리아 과학자의 이름을 따서 명명되었습니다. 정적 물리학의 발전에 귀중한 공헌을 한 사람이 바로 그 사람이었습니다.

이 일정한 양의 물리적 의미

볼츠만 상수는 온도와 에너지 사이의 관계를 정의합니다. 정적 역학에서는 중요한 역할을 합니다. 볼츠만 상수는 k=1.3806505(24)*10 -23 J/K와 같습니다. 괄호 안의 숫자는 마지막 숫자에 대한 값의 허용 오차를 나타냅니다. 볼츠만 상수는 다른 물리 상수에서도 파생될 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 그러나 이러한 계산은 매우 복잡하고 수행하기 어렵습니다. 물리학 분야뿐만 아니라 깊은 지식도 필요합니다.

(케이또는 ㅋ비)온도와 에너지 사이의 관계를 정의하는 물리적 상수입니다. 통계 물리학에 큰 공헌을 한 오스트리아 물리학자 루트비히 볼츠만의 이름을 따서 명명되었으며, 이는 이것이 핵심 위치가 되었습니다. SI 시스템에서의 실험값은 다음과 같습니다.

괄호 안의 숫자는 수량 값의 마지막 숫자의 표준 오류를 나타냅니다. 원칙적으로 볼츠만 상수는 절대 온도 및 기타 물리적 상수의 정의에서 얻을 수 있습니다(이를 위해서는 첫 번째 원리로부터 물의 삼중점 온도를 계산할 수 있어야 합니다). 그러나 첫 번째 원리를 사용하여 볼츠만 상수를 결정하는 것은 이 분야의 현재 지식 개발로 인해 너무 복잡하고 비현실적입니다.
볼츠만 상수는 물리학에서 자주 사용되는 에너지 단위로 온도를 측정하는 경우 중복되는 물리 상수입니다. 사실 이는 잘 정의된 양, 즉 에너지와 정도 사이의 연결이며, 그 의미는 역사적으로 발전해 왔습니다.
엔트로피의 정의
열역학 시스템의 엔트로피는 주어진 거시적 상태(예: 주어진 총 에너지를 갖는 상태)에 해당하는 다양한 미세 상태 Z 수의 자연 로그로 정의됩니다.

비례 요인 케이는 볼츠만 상수입니다. 미시적(Z) 특성과 거시적(S) 특성 사이의 관계를 정의하는 이 표현은 통계역학의 주요(중심) 개념을 표현합니다.