제곱근. 예제와 함께 상세한 이론

음수가 아닌 수의 제곱근 개념

방정식 x2 = 4를 고려하십시오. 그래픽으로 해결해 봅시다. 이를 위해 하나의 시스템에서 좌표포물선 y = x2와 직선 y = 4를 구성합니다(그림 74). 그들은 두 점 A(-2; 4)와 B(2; 4)에서 교차합니다. 점 A와 B의 가로 좌표는 방정식 x2 = 4의 근입니다. 따라서 x1 = - 2, x2 = 2입니다.

같은 방식으로 주장하면 방정식 x2 = 9의 근을 찾습니다(그림 74 참조): x1 = - 3, x2 = 3.

이제 방정식 x2 = 5를 풀어 봅시다. 기하학적 그림은 그림에 나와 있습니다. 75. 이 방정식은 두 개의 근 x1과 x2를 가지고 있으며, 앞의 두 경우와 마찬가지로 이 숫자는 절대값이 같고 부호가 반대입니다(x1 - - x2). 방정식의 근은 어려움없이 발견되었으며 (그래프를 사용하지 않고도 찾을 수 있음) 방정식 x2 \u003d 5의 경우에는 해당되지 않습니다. 그림에 따르면 근의 값을 나타낼 수 없습니다 , 우리는 하나만 설정할 수 있습니다 뿌리점 - 2의 약간 왼쪽에 있고 두 번째 - 점 2의 약간 오른쪽에 있습니다.

그러나 여기서 우리는 불쾌한 놀라움에 직면해 있습니다. 그런건 없다고 나오네요 분수 DIV_ADBLOCK32">

다음과 같은 기약할 수 없는 분수가 있다고 가정합니다. https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, 즉, m2 = 5n2. 마지막 평등은 다음을 의미합니다. 자연수 m2는 나머지 없이 5로 나눌 수 있습니다(몫에서 n2를 얻음).

결과적으로 숫자 m2는 숫자 5 또는 숫자 0으로 끝납니다. 그러나 자연수 m도 숫자 5 또는 숫자 0으로 끝납니다. 즉, 숫자 m은 나머지 없이 5로 나누어집니다. 즉, 숫자 m을 5로 나누면 몫에서 어떤 자연수 k가 얻어집니다. 이것은 m = 5k를 의미합니다.

이제 보세요:

첫 번째 방정식에서 m을 5k로 대체합니다.

(5k)2 = 5n2, 즉 25k2 = 5n2 또는 n2 = 5k2.

마지막 평등은 숫자를 의미합니다. 5n2는 나머지 없이 5로 나눌 수 있습니다. 위와 같이 논의하면, 우리는 숫자 n이 없이도 5로 나눌 수 있다는 결론에 도달합니다. 나머지.

따라서 m은 5로 나눌 수 있고 n은 5로 나눌 수 있으므로 분수를 줄일 수 있습니다(5로). 그러나 우리는 분수가 기약할 수 없다고 가정했습니다. 무슨 일이야? 왜, 올바르게 추론하면 우리는 부조리에 이르렀거나 수학자들이 종종 말하는 것처럼 모순이 생겼습니다. ).

올바른 추론의 결과 조건과 모순되는 경우 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. 우리의 가정이 틀렸다는 것은 증명해야 했던 것이 참이라는 것을 의미합니다.

그래서, 만 가지고 유리수(그리고 우리는 아직 다른 숫자를 모릅니다) 방정식 x2 \u003d 5를 풀 수 없습니다.

이런 상황을 처음 접한 수학자들은 수학적 언어로 표현할 수 있는 방법을 생각해내야 한다는 것을 깨달았다. 그들은 제곱근이라고 부르는 새로운 기호를 고려에 도입했으며 이 기호의 도움으로 방정식 x2 = 5의 근은 다음과 같이 작성되었습니다. ). 이제 x2 \u003d a 형식의 방정식에 대해 a\u003e O인 경우 근을 찾을 수 있습니다. 숫자입니다.https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}전체 또는 일부가 아닙니다.
이것은 그것이 유리수가 아니라 새로운 성질의 숫자라는 것을 의미합니다. 우리는 나중에 5장에서 그러한 숫자에 대해 특별히 이야기할 것입니다.
지금은 새 숫자가 2와 3 사이라는 점에 유의하십시오. 22 = 4이므로 5보다 작습니다. Z2 \u003d 9, 5보다 큽니다. 다음을 명확히 할 수 있습니다.

다시 한 번, 제곱근의 정의에 규정되어 있기 때문에 테이블에는 양수만 나타납니다. 그리고 예를 들어 \u003d 25가 올바른 등식이지만 제곱근을 사용하여 표기법으로 이동합니다(즉, 이렇게 씁니다. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}는 양수이므로 https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. 분명한 것은 4보다 크고 5보다 작다는 것입니다. 42 = 16(17보다 작음)이고 52 = 25(17보다 큼)이기 때문입니다.
그러나 숫자의 대략적인 값은 다음을 사용하여 찾을 수 있습니다. 계산자, 제곱근 연산을 포함합니다. 이 값은 4.123입니다.

숫자 는 위에서 고려한 숫자와 마찬가지로 합리적이지 않습니다.
e) 음수의 제곱근이 존재하지 않기 때문에 계산할 수 없습니다. 항목은 의미가 없습니다. 제안된 작업이 잘못되었습니다.
이자형) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="작업" width="80" height="33 id=">!}, 75 > 0 및 752 = 5625이므로.

가장 간단한 경우 제곱근 값은 즉시 계산됩니다.

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="태스크" width="65" height="42 id=">!}
해결책.
첫 단계.대답이 "꼬리"로 50이 될 것이라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 실제로 502 = 2500 및 602 = 3600이고 2809는 2500에서 3600 사이입니다.

방정식 x 2 = 4를 고려하십시오. 그래픽으로 해결해 봅시다. 이를 위해 하나의 좌표계에서 포물선 y \u003d x 2와 직선 y \u003d 4를 구성합니다 (그림 74). 그들은 두 점 A(-2; 4)와 B(2; 4)에서 교차합니다. 점 A와 B의 가로 좌표는 방정식 x 2 \u003d 4의 근입니다. 따라서 x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2입니다.

같은 방식으로 논쟁하면 방정식 x 2 \u003d 9의 근을 찾습니다 (그림 74 참조) : x 1 \u003d-3, x 2 \u003d 3.

이제 x 2 \u003d 5 방정식을 풀어 봅시다. 기하학적 그림은 그림에 나와 있습니다. 75. 이 방정식에는 두 개의 근 x 1과 x 2가 있으며 앞의 두 경우와 마찬가지로이 숫자는 절대 값이 같고 부호가 반대입니다 (x 1-- x 2)-그러나 이전과 달리 경우 , 방정식의 근이 어려움없이 발견 된 경우 (그래프를 사용하지 않고도 찾을 수 있음) 방정식 x 2 \u003d 5의 경우가 아닙니다. 그림에 따르면 값을 나타낼 수 없습니다. 뿌리 중 하나의 뿌리가 약간 왼쪽 지점-2에 있고 두 번째-약간 오른쪽에 있음을 확인할 수 있습니다

포인트 2.

점 2 바로 오른쪽에 있고 5의 제곱을 제공하는 이 숫자(점)는 무엇입니까? Z 2 \u003d 9, 즉 필요 이상으로 나타납니다 (9\u003e 5).

이것은 우리에게 관심있는 수가 숫자 2와 3 사이에 있다는 것을 의미합니다. 그러나 숫자 2와 3 사이에는 예를 들어 무한한 유리수 집합이 있습니다. 기타 어쩌면 그들 중에 그러한 분수가 있습니까? 그러면 방정식 x 2 - 5에 문제가 없을 것입니다.

그러나 여기서 우리는 불쾌한 놀라움에 직면해 있습니다. 평등이 해당하는 분수가 없다는 것이 밝혀졌습니다.
명시된 주장의 증명은 다소 어렵습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 그것이 아름답고 유익하기 때문에 그것을 이해하려고 노력하는 데 매우 유용합니다.

등식을 유지하는 그러한 기약 분수 가 있다고 가정합니다. 그러면, 즉 m 2 = 5n 2 입니다. 마지막 평등은 자연수 m 2가 나머지없이 5로 나눌 수 있음을 의미합니다 (특히 n2가 나옵니다).

결과적으로 숫자 m 2는 숫자 5 또는 숫자 0으로 끝납니다. 그러나 자연수 m도 숫자 5 또는 숫자 0으로 끝납니다. 숫자 m은 나머지 없이 5로 나눌 수 있습니다. 즉, 숫자 m을 5로 나누면 몫에서 어떤 자연수 k가 얻어집니다. 즉,
그 m = 5k.
이제 보세요:
m 2 \u003d 5n 2;
첫 번째 방정식에서 m을 5k로 대체합니다.

(5k) 2 = 5n 2 , 즉 25k 2 = 5n 2 또는 n 2 = 5k 2 .
마지막 평등은 숫자를 의미합니다. 5n 2는 나머지 없이 5로 나눌 수 있습니다. 위와 같이 논증하면 숫자 n도 나머지 없이 5로 나누어떨어진다는 결론에 도달합니다.
따라서 m은 5로 나눌 수 있고 n은 5로 나눌 수 있으므로 분수를 줄일 수 있습니다(5로). 그러나 우리는 분수가 기약할 수 없다고 가정했습니다. 무슨 일이야? 왜, 올바르게 추론하면 우리는 부조리에 이르렀거나 수학자들이 종종 말하는 것처럼 모순이 생겼습니다.
이것으로부터 우리는 결론을 내립니다. 그러한 분수는 없습니다.
방금 적용한 증명 방법을 수학에서는 모순에 의한 증명 방법이라고 합니다. 그 본질은 다음과 같습니다. 우리는 특정 진술을 증명할 필요가 있으며 그것이 성립하지 않는다고 가정합니다 (수학자들은 "불쾌하다"는 의미가 아니라 "필요한 것의 반대"라는 의미에서 "반대라고 가정하십시오"라고 말합니다).
올바른 추론의 결과 조건과 모순되는 경우 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. 우리의 가정이 틀렸다는 것은 증명해야 했던 것이 참이라는 것을 의미합니다.

따라서 유리수 만 있으면 (아직 다른 숫자는 알지 못함) x 2 \u003d 5 방정식을 풀 수 없습니다.
이런 상황을 처음 접한 수학자들은 수학적 언어로 표현할 수 있는 방법을 생각해내야 한다는 것을 깨달았다. 그들은 제곱근이라고 부르는 새로운 기호를 고려에 도입했으며 이 기호를 사용하여 방정식 x 2 \u003d 5의 근을 다음과 같이 작성했습니다.

읽기 : "5의 제곱근") 이제 x 2 \u003d a 형식의 방정식에 대해 a\u003e O에서 근을 찾을 수 있습니다-그들은 숫자입니다 , (그림 76).

다시 말하지만 숫자는 정수가 아니라 분수가 아님을 강조합니다.
이것은 그것이 유리수가 아니라 새로운 성질의 숫자라는 것을 의미합니다. 우리는 나중에 5장에서 그러한 숫자에 대해 특별히 이야기할 것입니다.
지금은 새 숫자가 2와 3 사이라는 점에 유의하십시오. 2 2 = 4이므로 5보다 작습니다. Z 2 \u003d 9이고 이것은 5보다 큽니다. 다음을 명확히 할 수 있습니다.

실제로 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. 여전히 할 수 있습니다
지정:

실제로 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
실제로, 일반적으로 숫자는 2.23과 같거나 2.24와 같다고 믿어집니다. 이것은 일반적인 평등이 아니라 기호가 사용되는 대략적인 평등입니다.
그래서,

방정식 x 2 = a의 해를 논의하면서 우리는 다소 전형적인 수학 상황에 직면했습니다. 비표준적이고 비정상적인(우주 비행사들이 말하는 것처럼) 상황에 들어가고 알려진 수단의 도움으로 탈출구를 찾지 못한 수학자들은 수학에 대한 새로운 용어와 새로운 지정(새로운 기호)을 제시합니다. 처음 접하는 모델; 즉, 그들은 새로운 개념을 도입한 다음 이것의 속성을 연구합니다.
개념. 따라서 새로운 개념과 그 명칭은 수학 언어의 속성이 됩니다. 우리는 같은 방식으로 행동했습니다. "숫자 a의 제곱근"이라는 용어를 도입하고이를 나타내는 기호를 도입했으며 조금 후에 새로운 개념의 속성을 연구합니다. 지금까지 우리는 한 가지만 알고 있습니다. a> 0이면
then은 방정식 x 2 = a를 만족하는 양수입니다. 즉, 이런 양수를 제곱하면 a라는 수를 얻는다.
방정식 x 2 \u003d 0의 루트 x \u003d 0이 있으므로 다음과 같이 가정하기로 동의했습니다.
이제 엄격한 정의를 내릴 준비가 되었습니다.
정의. 음수가 아닌 수 a의 제곱근은 제곱이 a인 음수가 아닌 수입니다.

이 숫자는 표시되고 숫자이며 동시에 루트 번호라고합니다.
따라서 a가 음수가 아닌 숫자이면 다음과 같습니다.

만약< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
따라서 이 표현은 a > 0인 경우에만 의미가 있습니다.
그들은 말한다 - 동일한 수학적 모델(음이 아닌 숫자 간의 동일한 관계
(a 및 b), 그러나 두 번째만 첫 번째보다 간단한 언어로 설명됩니다(간단한 기호 사용).

음수가 아닌 수의 제곱근을 구하는 연산을 제곱근 구하기라고 합니다. 이 작업은 제곱의 역순입니다. 비교하다:

다시 한 번, 제곱근의 정의에 규정되어 있기 때문에 테이블에는 양수만 나타납니다. 예를 들어 (-5) 2 \u003d 25가 올바른 평등이지만 제곱근을 사용하여 표기법으로 이동하십시오 (즉, 작성하십시오.)
그것은 금지되어 있습니다. 우선순위, . 는 양수이므로 .
종종 그들은 "제곱근"이 아니라 "산술 제곱근"이라고 말합니다. 간결함을 위해 "산술"이라는 용어를 생략합니다.

D) 이전 예제와 달리 숫자의 정확한 값을 지정할 수 없습니다. 4보다 크고 5보다 작다는 것은 분명합니다.

4 2 = 16(17보다 작음) 및 5 2 = 25(17보다 큼).
그러나 숫자의 대략적인 값은 제곱근을 추출하는 작업이 포함된 마이크로 계산기를 사용하여 찾을 수 있습니다. 이 값은 4.123입니다.
그래서,
숫자 는 위에서 고려한 숫자와 마찬가지로 합리적이지 않습니다.
e) 음수의 제곱근이 존재하지 않기 때문에 계산할 수 없습니다. 항목은 의미가 없습니다. 제안된 작업이 잘못되었습니다.
e) 31 > 0이고 31 2 = 961이기 때문입니다. 이러한 경우 자연수 제곱표나 마이크로 계산기를 사용해야 합니다.
g) 75 > 0 및 75 2 = 5625이므로.
가장 간단한 경우에는 제곱근 값이 즉시 계산됩니다. 더 복잡한 경우에는 숫자 제곱표를 사용하거나 마이크로 계산기를 사용하여 계산을 수행해야 합니다. 하지만 스프레드시트나 계산기가 없다면 어떻게 될까요? 다음 예제를 해결하여 이 질문에 답해 봅시다.

예 2계산하다
해결책.
첫 단계.대답이 "꼬리"로 50이 될 것이라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 실제로 50 2 = 2500, 60 2 = 3600이고 숫자 2809는 숫자 2500과 3600 사이에 있습니다.

두 번째 단계."꼬리"를 찾아 봅시다. 원하는 숫자의 마지막 숫자. 지금까지 우리는 루트를 취하면 답이 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 또는 59가 될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 53과 57의 두 숫자만 확인하면 됩니다. 를 제곱하면 결과는 2809와 같은 숫자인 9로 끝나는 4자리 숫자가 됩니다.
우리는 532 = 2809를 가지고 있습니다 – 이것이 우리에게 필요한 것입니다 (우리는 운이 좋았고 즉시 "황소 눈"에 맞았습니다). 그래서 = 53.
답변:

53
예 3직각 삼각형의 다리는 1cm와 2cm이고 삼각형의 빗변은 무엇입니까? (그림 77)

해결책.

기하학에서 알려진 피타고라스 정리를 사용합시다. 직각 삼각형 다리 길이의 제곱의 합은 빗변 길이의 제곱과 같습니다. 즉 a 2 + b 2 \u003d c 2, 여기서 a, b는 다리이고 c는 직각 삼각형의 빗변입니다.

수단,

이 예는 제곱근의 도입이 수학자들의 변덕이 아니라 객관적인 필요성임을 보여줍니다. 실생활에서 수학적 모델에 제곱근을 추출하는 작업이 포함되는 상황이 있습니다. 아마도 이러한 상황 중 가장 중요한 것은
이차방정식 풀기. 지금까지 이차 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0을 만날 때 왼쪽을 분해하거나 (항상 작동하지는 않음) 그래픽 방법을 사용했습니다 (아름답지만 그다지 신뢰할 수는 없음). 사실, 찾기 위해
수학에서 이차 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0의 근 x 1 및 x 2, 수식이 사용됩니다.

분명히 제곱근의 부호를 포함합니다.이 공식은 실제로 다음과 같이 적용됩니다. 예를 들어 방정식 2x 2 + bx-7 \u003d 0을 풀 필요가 있습니다. 여기서 a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d-7입니다. 따라서
b2-4ac \u003d 5 2-4. 2. (- 7) = 81. 그런 다음 . 수단,

위에서 언급한 것은 유리수가 아닙니다.
수학자들은 그러한 숫자를 비합리적이라고 부릅니다. 제곱근을 취하지 않으면 형식의 숫자는 무리수입니다. 예를 들어, 등. 무리수입니다. 5장에서 우리는 유리수와 무리수에 대해 더 이야기할 것입니다. 유리수와 무리수는 함께 실수 집합을 구성합니다. 우리가 실생활에서 사용하는 모든 숫자의 집합(사실,
네스 호). 예를 들어, - 이것들은 모두 실수입니다.
위에서 제곱근의 개념을 정의한 것처럼 세제곱근의 개념도 정의할 수 있습니다. 음이 아닌 수 a의 세제곱근은 세제곱이 a와 같은 음이 아닌 수입니다. 즉, 등식은 b 3 = a를 의미합니다.

우리는 이 모든 것을 11학년 대수학 과정에서 공부할 것입니다.

이 기사에서는 소개합니다. 수의 근의 개념. 우리는 순차적으로 행동할 것입니다: 우리는 제곱근으로 시작하여 세제곱근에 대한 설명으로 이동한 다음 n차 근을 정의하여 근의 개념을 일반화합니다. 동시에 정의, 표기법을 소개하고 어근의 예를 제공하며 필요한 설명과 의견을 제공합니다.

제곱근, 산술 제곱근

숫자의 근, 특히 제곱근의 정의를 이해하려면 . 이 시점에서 우리는 종종 숫자의 두 번째 거듭제곱인 숫자의 제곱과 마주치게 될 것입니다.

시작하자 제곱근 정의.

정의

의 제곱근제곱이 a 인 숫자입니다.

가져오려면 제곱근의 예, 예를 들어 5 , −0.3 , 0.3 , 0 과 같은 여러 숫자를 취하여 제곱하면 숫자 25 , 0.09 , 0.09 및 0 각각 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 및 0 2 =0 0=0 ). 그러면 위의 정의에 따르면 5는 25의 제곱근이고 -0.3과 0.3은 0.09의 제곱근이며 0은 0의 제곱근입니다.

제곱이 a와 같은 어떤 숫자에도 a가 존재하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 즉, 임의의 음수 a에 대해 제곱이 a와 같은 실수 b는 없습니다. 실제로 b 2 는 모든 b 에 대해 음수가 아닌 숫자이므로 a=b 2 등식은 모든 음수 a 에 대해 불가능합니다. 따라서, 실수 집합에는 음수의 제곱근이 없습니다.. 즉, 실수 집합에서 음수의 제곱근은 정의되지 않으며 의미가 없습니다.

이것은 논리적 질문으로 이어집니다. "음수가 아닌 a에 대한 a의 제곱근이 있습니까?" 대답은 '예'입니다. 이 사실에 대한 이론적 근거는 제곱근 값을 찾는 데 사용되는 건설적인 방법으로 간주될 수 있습니다.

그런 다음 다음과 같은 논리적 질문이 발생합니다. 이에 대한 대답은 다음과 같습니다. a가 0이면 0의 유일한 제곱근은 0입니다. a가 양수이면 숫자 a의 제곱근 수는 2이고 근은 입니다. 이것을 입증해 봅시다.

a=0 인 경우부터 시작하겠습니다. 먼저 0이 실제로 0의 제곱근임을 보여드리겠습니다. 이것은 명백한 등식 0 2 =0·0=0과 제곱근의 정의에서 따릅니다.

이제 0이 0의 유일한 제곱근임을 증명해 봅시다. 반대의 방법을 사용합시다. 0의 제곱근인 0이 아닌 숫자 b가 있다고 가정해 봅시다. 그러면 조건 b 2 =0이 충족되어야 하는데, 이는 0이 아닌 b에 대해 표현식 b 2의 값이 양수이기 때문에 불가능합니다. 우리는 모순에 도달했습니다. 이것은 0이 0의 유일한 제곱근임을 증명합니다.

a가 양수인 경우로 넘어갑시다. 위에서 우리는 음수가 아닌 숫자의 제곱근이 항상 존재한다고 말했습니다. b를 a의 제곱근이라고 합니다. a 의 제곱근이기도 한 숫자 c 가 있다고 가정해 봅시다. 그런 다음, 제곱근의 정의에 의해 등식 b 2 =a 및 c 2 =a가 유효하며, 이로부터 b 2 −c 2 =a−a=0이 따르지만 b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , 그러면 (b−c) (b+c)=0 . 그 결과 평등의 효력 실수가 있는 동작의 속성 b−c=0 또는 b+c=0 일 때만 가능합니다. 따라서 숫자 b와 c는 같거나 반대입니다.

숫자 a의 또 다른 제곱근인 숫자 d가 있다고 가정하면 이미 주어진 것과 유사한 추론을 통해 d가 숫자 b 또는 숫자 c와 같다는 것이 증명됩니다. 따라서 양수의 제곱근의 수는 2이고 제곱근은 반대수입니다.

제곱근 작업의 편의를 위해 음의 근은 양의 근에서 "분리"됩니다. 이를 위해 다음을 소개합니다. 산술 제곱근의 정의.

정의

음수가 아닌 숫자 a의 산술 제곱근제곱이 a와 같은 음수가 아닌 숫자입니다.

숫자 a의 산술 제곱근의 경우 표기법이 허용됩니다. 부호를 산술 제곱근 부호라고 합니다. 급진적 기호라고도합니다. 따라서 부분적으로 같은 대상을 의미하는 "root"와 "radical"을 모두 들을 수 있습니다.

산술 제곱근 기호 아래의 숫자를 호출합니다. 루트 번호, 루트 기호 아래의 표현 - 급진적인 표현, "근수"라는 용어는 종종 "근수 표현"으로 대체됩니다. 예를 들어, 표기법에서 숫자 151은 근수이고, 표기법에서 표현 a는 근법 표현입니다.

읽을 때 "산술"이라는 단어는 종종 생략됩니다. 예를 들어 항목은 "7.29/100의 제곱근"으로 읽힙니다. "산술"이라는 단어는 숫자의 양의 제곱근에 대해 이야기하고 있음을 강조하려는 경우에만 발음됩니다.

도입된 표기법에 비추어 볼 때, 산술 제곱근의 정의에서 음수가 아닌 숫자 a에 대해 다음을 따릅니다.

양수 a의 제곱근은 산술 제곱근 기호 as 및 를 사용하여 씁니다. 예를 들어, 13의 제곱근은 및 입니다. 0의 산술 제곱근은 0, 즉 . 음수 a의 경우 공부할 때까지 항목에 의미를 부여하지 않습니다. 복소수. 예를 들어, and는 의미가 없습니다.

제곱근의 정의를 바탕으로 실전에서 자주 사용되는 제곱근의 성질을 증명한다.

이 하위 섹션의 결론을 내리기 위해 숫자의 제곱근은 변수 x에 대한 x 2 =a 형식의 솔루션임을 알 수 있습니다.

세제곱근

세제곱근의 정의숫자 a의 제곱근 정의와 유사한 방식으로 제공됩니다. 다만 사각형이 아닌 숫자의 세제곱 개념을 기반으로 한다.

정의

a의 세제곱근큐브가 a와 같은 숫자가 호출됩니다.

가져오자 세제곱근의 예. 이렇게 하려면 예를 들어 7 , 0 , −2/3 과 같은 여러 숫자를 취하여 세제곱합니다: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . 그러면 세제곱근의 정의에 따라 숫자 7은 343의 세제곱근, 0은 0의 세제곱근, -2/3은 -8/27의 세제곱근이라고 말할 수 있습니다.

수 a의 세제곱근은 제곱근과 달리 음수가 아닌 a뿐만 아니라 모든 실수 a에 대해서도 항상 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 위해 제곱근을 공부할 때 언급한 것과 동일한 방법을 사용할 수 있습니다.

게다가, 주어진 숫자 a의 세제곱근은 오직 하나입니다. 마지막 주장을 증명해 보자. 이를 위해 a는 양수, a=0, a는 음수인 세 가지 경우를 개별적으로 고려합니다.

양의 a에 대해 a의 세제곱근은 음수나 0이 될 수 없음을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로 b를 a의 세제곱근이라고 하면 정의에 따라 b 3 =a 등식을 쓸 수 있습니다. 음수 b 및 b=0에 대해 이 동등성이 참일 수 없다는 것은 명백합니다. 왜냐하면 이 경우 b 3 =b·b·b는 각각 음수 또는 0이 되기 때문입니다. 따라서 양수 a의 세제곱근은 양수입니다.

이제 숫자 b 외에도 숫자 a에서 세제곱근이 하나 더 있다고 가정하고 이를 c로 표시하겠습니다. 그러면 c 3 =a입니다. 따라서 b 3 −c 3 =a−a=0 이지만 b 3 -c 3 =(b-c) (b 2 +b c+c 2)(이것은 약식 곱셈 공식입니다. 큐브의 차이), 언제 (b−c) (b 2 +bc+c 2)=0 . 결과 등식은 b−c=0 또는 b 2 +bc+c 2 =0 일 때만 가능합니다. 첫 번째 등식에서 우리는 b=c를 가지며 두 번째 등식은 해가 없습니다. 왜냐하면 그것의 왼쪽은 세 양수항 b 2 , b c 및 c 2 의 합으로서 모든 양수 b 및 c에 대한 양수이기 때문입니다. 이것은 양수 a의 세제곱근의 고유성을 증명합니다.

a=0인 경우 a의 유일한 세제곱근은 0입니다. 실제로, 0이 아닌 0의 세제곱근인 숫자 b가 있다고 가정하면 b=0일 때만 가능한 평등 b 3 =0이 유지되어야 합니다.

음수 a의 경우 양수 a의 경우와 유사하게 주장할 수 있습니다. 첫째, 음수의 세제곱근은 양수나 0과 같을 수 없음을 보여줍니다. 둘째, 음수의 두 번째 세제곱근이 있다고 가정하고 반드시 첫 번째 세제곱근과 일치할 것임을 보여줍니다.

따라서, 주어진 실수 a의 세제곱근은 항상 있고 오직 하나만 있습니다.

주자 산술 세제곱근의 정의.

정의

음수가 아닌 숫자 a의 산술 세제곱근큐브가 a와 같은 음수가 아닌 숫자가 호출됩니다.

음수가 아닌 숫자 a의 산술 세제곱근은 로 표시되고, 부호는 산술 세제곱근의 부호라고 하며, 이 표기법에서 숫자 3은 루트 표시기. 루트 기호 아래의 숫자는 루트 번호, 루트 기호 아래의 표현은 급진적인 표현.

산술의 세제곱근은 음수가 아닌 수 a에 대해서만 정의되지만, 산술의 세제곱근 기호 아래에 음수가 있는 항목을 사용하는 것도 편리합니다. 다음과 같이 이해할 것입니다. 여기서 a는 양수입니다. 예를 들어, .

우리는 뿌리의 일반 기사 속성에서 세제곱근의 속성에 대해 이야기할 것입니다.

세제곱근의 값을 계산하는 것을 세제곱근 추출이라고 합니다. 이 작업은 루트 추출: 방법, 예제, 솔루션 문서에서 설명합니다.

이 하위 섹션을 결론짓기 위해 우리는 a의 세제곱근이 x 3 =a 형식의 솔루션이라고 말합니다.

N제곱근, n의 산술근

숫자에서 근의 개념을 일반화합니다. 소개합니다. n번째 근의 결정 n을 위해.

정의

a의 n제곱근 n의 거듭제곱이 a와 같은 수입니다.

이 정의에서 자연 지표로 정도를 연구할 때 1 = a를 취했기 때문에 숫자 a의 첫 번째 정도의 근은 숫자 자체라는 것이 분명합니다.

위에서 우리는 n=2 및 n=3에 대한 n차 근의 특수한 경우를 고려했습니다. 즉, 제곱근과 세제곱근입니다. 즉, 제곱근은 2차 근이고 세제곱근은 3차 근입니다. n=4, 5, 6, ...에 대한 n차 근을 연구하려면 두 그룹으로 나누는 것이 편리합니다: 첫 번째 그룹 - 짝수 차의 근(즉, n=4, 6 , 8, ...), 두 번째 그룹 - 근 홀수 거듭제곱(즉, n=5, 7, 9, ... 에 대해). 이는 짝수 도의 근은 제곱근과 유사하고 홀수 도의 근은 세제곱근과 유사하기 때문입니다. 차례로 처리합시다.

짝수 4, 6, 8, ...의 거듭 제곱 인 뿌리부터 시작합시다. 이미 말했듯이 숫자 a의 제곱근과 비슷합니다. 즉, 숫자 a에서 짝수 차수의 근은 음이 아닌 a에 대해서만 존재합니다. 또한, a=0이면 a의 근은 고유하고 0이고, a>0이면 숫자 a에서 짝수 차의 근이 두 개 있고 서로 반대수입니다.

마지막 주장을 정당화합시다. b를 a에서 짝수 정도의 제곱근(우리는 그것을 2·m으로 나타냅니다. 여기서 m은 자연수입니다)이라고 합니다. a의 또 다른 2m 루트인 숫자 c가 있다고 가정합니다. 그러면 b 2 m −c 2 m =a−a=0 입니다. 그러나 우리는 b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) 형식을 알고 있습니다. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +… +c 2 m−2), 그러면 (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +… +c 2 m−2)=0. 이 평등으로부터 b−c=0 , 또는 b+c=0 , 또는 b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +… +c 2 m−2 =0. 처음 두 등식은 숫자 b와 c가 같거나 b와 c가 반대임을 의미합니다. 그리고 마지막 등식은 b=c=0 에 대해서만 유효합니다. 왼쪽에는 음수가 아닌 숫자의 합으로 b와 c에 대해 음수가 아닌 표현식이 포함되어 있기 때문입니다.

홀수 n에 대한 n차 근은 세제곱근과 유사합니다. 즉, 숫자 a의 홀수 차수의 근은 모든 실수 a에 대해 존재하고 주어진 숫자 a에 대해 고유합니다.

숫자 a에서 홀수 차수 2·m+1의 근의 고유성은 a에서 세제곱근의 고유성을 증명하는 것과 유추하여 증명됩니다. 평등 대신 여기에서만 a 3 -b 3 =(a-b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = 형식의 등식 (b−c) (b 2m +b 2m−1 c+b 2m−2 c 2 +… +c 2m). 마지막 괄호 안의 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. b 2m +c 2m +bc (b 2m−2 +c 2m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +bc (…+(b 2 +c 2 +b c))))). 예를 들어, m=2인 경우 b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). a와 b가 모두 양수이거나 둘 다 음수일 때, 그들의 곱은 양수이고, 가장 높은 내포도의 괄호 안에 있는 표현식 b 2 +c 2 +b·c 는 양수의 합으로서 양수입니다. 숫자. 이제 이전 중첩 정도의 괄호 안의 표현식으로 연속적으로 이동하여 양수의 합으로도 양수인지 확인합니다. 결과적으로 다음과 같은 평등을 얻습니다. b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2m +b 2m−1 c+b 2m−2 c 2 +… +c 2m)=0 b−c=0 , 즉 숫자 b 가 숫자 c 와 같을 때만 가능합니다.

n차 근의 표기법을 다룰 때입니다. 이를 위해 주어진 n 차의 산술근 결정.

정의

음수가 아닌 숫자 a의 n차 산술근음이 아닌 숫자가 호출되며 n의 거듭제곱은 a와 같습니다.

나는 접시를 다시 보았다 ... 그리고 가자!

간단한 것부터 시작해 봅시다:

잠깐 기다려요. 즉, 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

알았어요? 다음은 다음과 같습니다.

결과 숫자의 근이 정확히 추출되지 않습니까? 걱정하지 마세요. 다음은 몇 가지 예입니다.

그러나 곱셈기가 두 개가 아니라 더 많으면 어떻게 될까요? 똑같다! 루트 곱셈 공식은 다음과 같은 여러 인수와 함께 작동합니다.

이제 완전히 독립됨:

답변:잘하셨어요! 모든 것이 매우 쉽습니다. 가장 중요한 것은 구구단을 아는 것입니다!

루트 분할

근의 곱셈을 알아냈으니 이제 나눗셈의 성질로 갑시다.

일반적으로 공식은 다음과 같습니다.

그리고 그것은 몫의 근은 근의 몫과 같습니다.

예를 들어 보겠습니다.

그게 다 과학입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

모든 것이 첫 번째 예처럼 순조롭지는 않지만 보시다시피 복잡한 것은 없습니다.

표현식이 다음과 같으면 어떻게 될까요?

수식을 역으로 적용하면 됩니다.

예를 들면 다음과 같습니다.

다음과 같은 표현도 볼 수 있습니다.

모든 것이 동일합니다. 여기서만 분수를 번역하는 방법을 기억해야 합니다(기억이 나지 않으면 주제를 보고 다시 돌아오십시오!). 기억나? 이제 우리가 결정합니다!

나는 당신이 모든 것, 모든 것에 대처했다고 확신합니다. 이제 어느 정도 뿌리를 내리도록 노력합시다.

거듭제곱

제곱근을 제곱하면 어떻게 될까요? 간단합니다. 숫자의 제곱근의 의미를 기억하세요. 이것은 제곱근이 같은 숫자입니다.

따라서 제곱근이 같은 숫자를 제곱하면 무엇을 얻을 수 있습니까?

물론입니다!

예를 살펴보겠습니다.

모든 것이 간단합니다. 그리고 뿌리가 다른 정도에 있다면? 괜찮아요!

동일한 논리를 고수하고 권한과 속성 및 가능한 조치를 기억하십시오.

""주제에 대한 이론을 읽으면 모든 것이 매우 명확해질 것입니다.

예를 들어 다음과 같은 표현이 있습니다.

이 예에서 차수는 짝수이지만 홀수이면 어떻게 됩니까? 다시 전력 속성을 적용하고 모든 요소를 ​​고려합니다.

이것으로 모든 것이 명확해 보이지만 숫자에서 어느 정도 근을 추출하는 방법은 무엇입니까? 예를 들면 다음과 같습니다.

아주 간단하죠? 정도가 2보다 크면 어떻게 됩니까? 각도 속성을 사용하여 동일한 논리를 따릅니다.

글쎄, 모든 것이 명확합니까? 그런 다음 자신의 예를 해결하십시오.

답은 다음과 같습니다.

뿌리의 표시 아래 소개

우리가 뿌리와 관련하여 배우지 않은 것! 루트 기호 아래에 숫자 입력을 연습하는 것만 남아 있습니다!

아주 쉽습니다!

숫자가 있다고 가정 해 봅시다.

그것으로 무엇을 할 수 있습니까? 음, 물론 삼중은 근 아래에 숨기고 삼중은 의 제곱근이라는 것을 기억하세요!

왜 필요한가요? 예, 예를 풀 때 우리의 능력을 확장하기 위해서입니다.

이 뿌리의 속성은 어떻습니까? 삶이 훨씬 쉬워지나요? 저에게는 맞습니다! 오직 제곱근 기호 아래에는 양수만 입력할 수 있다는 점을 기억해야 합니다.

이 예를 직접 시도해 보십시오.
당신은 관리 했습니까? 무엇을 얻어야 하는지 살펴보겠습니다.

잘하셨어요! 루트 기호 아래에 숫자를 입력했습니다! 똑같이 중요한 것으로 넘어가겠습니다. 제곱근을 포함하는 숫자를 비교하는 방법을 고려하십시오!

루트 비교

제곱근이 포함된 숫자를 비교하는 방법을 배워야 하는 이유는 무엇입니까?

매우 간단합니다. 종종 시험에서 접하는 크고 긴 표현에서 비합리적인 답변을 얻습니다 (그게 무엇인지 기억하십니까? 오늘 이미 이야기했습니다!)

예를 들어 방정식을 풀기에 적합한 간격을 결정하기 위해 받은 답을 좌표선에 배치해야 합니다. 그리고 이것은 걸림돌이 발생하는 곳입니다. 시험에는 계산기가 없으며 계산기 없이는 어떤 숫자가 더 크고 어떤 숫자가 더 작은지 상상하는 방법은 무엇입니까? 그게 다야!

예를 들어, 어느 것이 더 큰지 결정하십시오: 또는?

당신은 방망이에서 바로 말하지 않을 것입니다. 음, 루트 기호 아래에 숫자를 추가하는 구문 분석된 속성을 사용해 볼까요?

그런 다음 앞으로:

음, 분명히 루트 기호 아래의 숫자가 클수록 루트 자체가 커집니다!

저것들. 를 의미하는 경우 .

이것으로부터 우리는 다음과 같이 확고하게 결론을 내립니다. 그리고 아무도 우리를 달리 설득하지 않을 것입니다!

많은 수에서 근 추출

그 전에 근의 부호 아래에 인자를 도입했는데 어떻게 빼내야 할까요? 당신은 단지 그것을 인수분해하고 추출된 것을 추출하기만 하면 됩니다!

다른 방향으로 가서 다른 요소로 분해하는 것이 가능했습니다.

나쁘지 않죠? 이러한 접근 방식은 정확합니다. 편안함을 느끼는 방식을 결정하십시오.

인수 분해는 다음과 같은 비표준 작업을 해결할 때 매우 유용합니다.

우리는 두려워하지 않고 행동합니다! 루트 아래의 각 요소를 별도의 요소로 분해합니다.

이제 직접 해보십시오(계산기 없이! 시험에 나오지 않습니다).

여기가 끝인가요? 우리는 중간에 멈추지 않습니다!

그게 다야, 그렇게 무서운 건 아니지, 그렇지?

일어난? 잘했어, 네 말이 맞아!

이제 다음 예제를 시도해 보십시오.

예는 깨지기 힘든 너트이므로 접근 방법을 즉시 파악할 수 없습니다. 그러나 물론 우리는 이빨에 있습니다.

자, 인수분해를 시작해 볼까요? 즉시, 우리는 숫자를 다음과 같이 나눌 수 있음을 주목합니다.

이제 직접 해보십시오(계산기 없이도!).

음, 효과가 있었나요? 잘했어, 네 말이 맞아!

합산

1. 음이 아닌 숫자의 제곱근(산술 제곱근)은 제곱이 같은 음이 아닌 숫자입니다.
   .
2. 어떤 것의 제곱근만 취하면 항상 음수가 아닌 결과를 얻습니다.
3. 산술 루트 속성:
4. 제곱근을 비교할 때 근 기호 아래의 숫자가 클수록 근 자체가 더 크다는 것을 기억해야 합니다.

제곱근은 어떻습니까? 공습 경보 신호?

우리는 제곱근에 대한 시험에서 알아야 할 모든 것을 물 없이 설명하려고 노력했습니다.

네 차례 야. 이 주제가 귀하에게 어려운지 여부를 알려주십시오.

새로운 것을 배웠거나 모든 것이 이미 명확했습니다.

댓글을 작성하고 시험에 행운을 빕니다!

대지의 면적은 81dm²입니다. 그의 편을 찾으십시오. 정사각형의 한 변의 길이를 다음과 같이 가정합니다. 엑스데시미터. 그런 다음 플롯의 영역은 엑스² 제곱 데시미터. 조건에 따라 이 면적은 81dm²이므로 엑스² = 81. 정사각형의 한 변의 길이는 양수입니다. 제곱이 81인 양수는 숫자 9입니다. 문제를 풀 때 제곱이 81인 숫자 x를 찾아야 했습니다. 엑스² = 81. 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 엑스 1 = 9 및 엑스 2 \u003d-9, 9² \u003d 81 및 (-9)² \u003d 81이므로 숫자 9와 -9는 모두 숫자 81의 제곱근이라고합니다.

제곱근 중 하나에 유의하십시오. 엑스= 9는 양수입니다. 81의 산술 제곱근이라고 하고 √81로 표시하므로 √81 = 9입니다.

숫자의 산술 제곱근 ㅏ제곱이 다음과 같은 음수가 아닌 숫자입니다. ㅏ.

예를 들어 숫자 6과 -6은 36의 제곱근입니다. 6은 음수가 아닌 숫자이고 6² = 36이므로 숫자 6은 36의 산술 제곱근입니다. 숫자 -6은 산술근이 아닙니다.

숫자의 산술 제곱근 ㅏ다음과 같이 표시: √ ㅏ.

부호는 산술 제곱근 부호라고 합니다. ㅏ루트 표현식이라고 합니다. 식 √ ㅏ읽다 이렇게: 숫자의 산술 제곱근 ㅏ.예를 들어 √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7입니다. 산술근에 대해 이야기하고 있는 것이 분명한 경우에는 다음과 같이 간단히 말합니다. ㅏ«.

숫자의 제곱근을 구하는 행위를 제곱근 취하기라고 합니다. 이 작업은 제곱의 반대입니다.

어떤 숫자든 제곱할 수 있지만 모든 숫자가 제곱근일 수는 없습니다. 예를 들어 숫자-4의 제곱근을 추출하는 것은 불가능합니다. 그러한 근이 존재하면 문자로 표시합니다. 엑스, 우리는 왼쪽에 음수가 아닌 숫자가 있고 오른쪽에 음수가 있기 때문에 잘못된 평등 x² \u003d - 4를 얻을 것입니다.

식 √ ㅏ그럴 때만 의미가 있다 ≥ 0. 제곱근의 정의는 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다. √ ≥ 0, (√ㅏ)² = ㅏ. 평등(√ ㅏ)² = ㅏ유효한 ≥ 0. 따라서 음수가 아닌 숫자의 제곱근이 ㅏ같음 비, 즉 √ ㅏ =비, 다음 두 가지 조건이 충족되는지 확인해야 합니다. b≥ 0, 비² = ㅏ.

분수의 제곱근

계산해 봅시다. √25 = 5, √36 = 6에 유의하고 등식이 성립하는지 확인합니다.

왜냐하면 그리고 , 평등이 참입니다. 그래서, .

정리:만약에 ㅏ≥ 0 및 비> 0, 즉 분수의 근은 분자의 근을 분모의 근으로 나눈 값과 같습니다. 다음을 증명해야 합니다. .

√부터 ㅏ≥0 및 √ 비> 0이면 .

분수를 거듭제곱하고 제곱근을 결정하는 속성에 의해 정리가 증명되었습니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

입증된 정리에 따라 계산 .

두 번째 예: 증명 , 만약에 ㅏ ≤ 0, 비 < 0. .

다른 예: 계산 .

.

제곱근 변환

근의 부호 아래에서 승수를 꺼냅니다. 표현을 해보자. 만약에 ㅏ≥ 0 및 비≥ 0이면 곱의 근에 대한 정리에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이러한 변환을 루트 부호를 인수분해(factoring out)라고 합니다. 예를 고려하십시오.

계산 엑스= 2. 직접 대체 엑스급진적 표현에서 = 2는 계산이 복잡해집니다. 이러한 계산은 루트 기호 아래에서 인수를 먼저 제거하면 단순화될 수 있습니다. 이제 x = 2로 대체하면 다음을 얻습니다.

그래서 근기호 아래에서 약수를 빼면 근호식은 하나 이상의 약수가 음수가 아닌 수의 제곱인 곱으로 표현된다. 그런 다음 루트 곱 정리가 적용되고 각 요인의 루트가 취해집니다. 예를 들어보겠습니다. A = √8 + √18 - 4√2 식을 처음 두 항의 근 부호 아래에서 약수를 빼서 단순화하면 다음과 같습니다. 우리는 평등함을 강조합니다. 경우에만 유효 ㅏ≥ 0 및 비≥ 0. 만약 ㅏ < 0, то .