진공에서의 가우스 정리. 가우스 정리를 적용하여 전기장 계산

위에서 언급한 바와 같이, 사이트의 선에 수직인 표면 단위를 관통하는 선의 수가 벡터의 모듈러스와 같도록 밀도로 힘의 선을 그리는 데 동의했습니다. 그러면 장력선의 패턴을 통해 방향뿐만 아니라 공간의 다양한 지점에서 벡터의 크기도 판단할 수 있습니다.

고정된 양전하의 자력선을 고려해 봅시다. 이는 전하에서 연장되어 무한대에서 끝나는 방사형 선입니다. 실행하자 N그런 라인. 그러다가 멀리서 아르 자형전하로부터 반경 구의 단위 표면과 교차하는 힘선의 수 아르 자형, 동일할 것입니다. 이 값은 거리에 있는 점전하의 전계 강도에 비례합니다. 아르 자형.숫자 N당신은 항상 평등이 유지되도록 선택할 수 있습니다

어디 . 자력선은 연속적이므로 전하를 둘러싸고 있는 모든 모양의 닫힌 표면과 동일한 수의 자력선이 교차합니다. 큐.전하의 표시에 따라 힘선은 이 닫힌 표면으로 들어가거나 밖으로 나갑니다. 나가는 라인의 수가 양수이고 들어오는 라인의 수가 음수로 간주되면 모듈러스 기호를 생략하고 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

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(1.4)

장력 벡터 흐름.면적이 있는 기본 패드를 배치해 보겠습니다. 면적은 모든 지점의 전기장 강도가 동일하다고 간주될 수 있을 정도로 작아야 합니다. 사이트에 법선을 그려보겠습니다(그림 1.17). 이 법선의 방향은 임의로 선택됩니다. 법선은 벡터와 각도를 이룹니다. 선택한 표면을 통과하는 전기장 강도 벡터의 흐름은 표면적과 전기장 강도 벡터를 해당 영역의 법선에 투영한 결과입니다.

사이트의 법선에 대한 벡터의 투영은 어디에 있습니까?

단일 영역을 관통하는 자기장 선의 수는 선택한 영역 근처의 강도 벡터의 계수와 동일하므로 표면을 통과하는 강도 벡터의 흐름은 이 표면을 통과하는 자기장 선의 수에 비례합니다. 따라서 일반적인 경우 영역을 통과하는 전계 강도 벡터의 흐름은 이 영역을 관통하는 자기장 선의 수와 동일한 값으로 시각적으로 해석될 수 있습니다.

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(1.5)

법선 방향 선택은 조건적이며 다른 방향으로 지정될 수 있습니다. 결과적으로 흐름은 대수적 수량입니다. 흐름의 부호는 필드의 구성뿐만 아니라 법선 벡터와 강도 벡터의 상대적 방향에 따라 달라집니다. 이 두 벡터가 예각을 형성하면 플럭스는 양수이고, 둔각이면 플럭스는 음수입니다. 닫힌 표면의 경우 이 표면으로 덮힌 영역 외부의 법선, 즉 외부 법선을 선택하는 것이 일반적입니다.

필드가 불균일하고 표면이 임의적이면 흐름은 다음과 같이 정의됩니다. 전체 표면을 면적이 있는 작은 요소로 나누고, 이러한 각 요소를 통해 응력 플럭스를 계산한 다음 모든 요소를 ​​통해 플럭스를 합산해야 합니다.

따라서 전계 강도는 공간의 한 지점에서 전기장의 특성을 나타냅니다. 강도 흐름은 특정 지점의 전계 강도 값이 아니라 특정 영역 표면의 전계 분포에 따라 달라집니다.

전기력선은 양전하에서만 시작하여 음전하에서 끝날 수 있습니다. 공간에서는 시작하거나 끝날 수 없습니다. 따라서 어떤 닫힌 부피 안에 전하가 없다면 이 부피에 들어오고 나가는 총 선의 수는 0이 되어야 합니다. 볼륨에 들어가는 라인보다 볼륨에서 나가는 라인이 더 많으면 볼륨 내부에 양전하가 있는 것입니다. 나오는 선보다 들어오는 선이 더 많으면 내부에 음전하가 있어야 합니다. 볼륨 내부의 총 전하가 0과 같거나 전하가 없으면 필드 라인이 볼륨을 관통하고 총 플럭스는 0입니다.

이러한 간단한 고려 사항은 전하가 볼륨 내에서 어떻게 분포되는지에 의존하지 않습니다. 볼륨의 중심이나 볼륨을 경계로 하는 표면 근처에 위치할 수 있습니다. 볼륨에는 어떤 방식으로든 볼륨 내에 분포된 여러 개의 양전하와 음전하가 포함될 수 있습니다. 총 충전량만이 들어오거나 나가는 전압선의 총 수를 결정합니다.

(1.4)와 (1.5)에서 볼 수 있듯이 전하를 둘러싸는 임의의 닫힌 표면을 통한 전계 강도 벡터의 흐름 큐,동일 . 표면 내부에 다음이 있는 경우 N전하, 필드 중첩의 원리에 따라 총 플럭스는 모든 전하의 전계 강도 플럭스의 합이 될 것이며 , 여기서 우리는 닫힌 전하에 포함되는 모든 전하의 대수적 합을 의미합니다. 표면.

가우스의 정리. 가우스임의의 닫힌 표면을 통과하는 전기장 강도 벡터의 흐름이 이 볼륨 내부에 있는 총 전하와 연관되어야 한다는 간단한 사실을 최초로 발견했습니다.

가우스 칼 프리드리히(1777~1855)

독일의 위대한 수학자, 물리학자, 천문학자, 물리학의 절대 단위계 창시자. 그는 정전기 전위 이론을 개발하고 정전기학의 가장 중요한 정리(가우스 정리)를 증명했습니다. 복잡한 광학 시스템에서 이미지를 구성하기 위한 이론을 만들었습니다. 그는 비유클리드 기하학의 존재 가능성에 대한 아이디어를 처음으로 얻은 사람 중 한 명이었습니다. 게다가 가우스는 수학의 거의 모든 분야에 뛰어난 공헌을 했습니다.

마지막 관계는 전기장에 대한 가우스의 정리입니다. 임의의 닫힌 표면을 통과하는 강도 벡터의 플럭스는 이 표면 내부에 있는 전하의 대수적 합에 비례합니다. 비례 계수는 단위 시스템의 선택에 따라 달라집니다.

가우스의 정리는 쿨롱의 법칙과 중첩 원리의 결과로 얻어집니다. 전기장의 세기가 거리의 제곱에 반비례하여 변하지 않는다면 이 정리는 유효하지 않습니다. 따라서 가우스의 정리는 역제곱의 법칙과 중첩의 원리가 엄격히 만족되는 모든 분야, 예를 들어 중력장에 적용 가능하다. 중력장의 경우, 중력장을 생성하는 전하의 역할은 물체의 질량에 의해 수행됩니다. 닫힌 표면을 통과하는 중력장선의 흐름은 해당 표면에 포함된 전체 질량에 비례합니다.

충전된 비행기의 전계 강도.무한 전하 평면의 전기장 강도를 결정하기 위해 가우스의 정리를 적용해 보겠습니다. 평면이 무한하고 균일하게 전하된다면, 즉 표면 전하 밀도가 어느 위치에서나 동일하다면, 어느 점에서나 전계 강도 선은 이 평면에 수직입니다. 이를 보여주기 위해 장력 벡터에 대한 중첩 원리를 사용합니다. 점에 대한 점으로 간주될 수 있는 평면에서 두 개의 기본 단면을 선택하겠습니다. ㅏ, 전계 강도를 결정하는 것이 필요합니다. 그림에서 볼 수 있듯이. 1.18에서 결과 장력 벡터는 평면에 수직으로 향하게 됩니다. 평면은 임의의 관찰 지점에 대해 이러한 섹션의 무한한 쌍으로 나눌 수 있으므로 대전 평면의 자기장 선이 평면에 수직이고 자기장이 균일하다는 것이 분명합니다(그림 1.19). 그렇지 않다면 평면이 스스로 움직일 때 공간의 각 지점의 필드가 변경되지만 이는 충전 시스템의 대칭과 모순됩니다(평면은 무한합니다). 양으로 대전된 평면의 경우 힘선은 평면에서 시작하여 무한대에서 끝나는 반면, 음으로 대전된 평면의 경우 힘의 선은 무한대에서 시작하여 평면으로 들어갑니다.

쌀. 1.18	쌀. 1.19

무한한 양으로 대전된 평면의 전기장 강도를 결정하기 위해 우리는 공간에서 축이 대전된 평면에 수직이고 베이스가 평행하고 베이스 중 하나가 필드 지점을 통과하는 원통을 정신적으로 선택합니다. 우리에게 관심이 있습니다(그림 1.19). 원통은 충전된 평면에서 일정 면적을 잘라내고, 평면의 서로 다른 측면에 위치한 원통의 밑면은 동일한 면적을 갖습니다.

가우스 정리에 따르면 원통 표면을 통과하는 전기장 강도 벡터의 흐름은 다음 식으로 원통 내부의 전하와 관련됩니다.

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응력선은 원통의 베이스와만 교차하므로 원통의 측면 표면을 통과하는 흐름은 0입니다. 따라서 원통형 표면을 통과하는 장력 벡터의 플럭스는 원통 바닥을 통과하는 플럭스로만 구성됩니다.

강도 벡터 플럭스에 대한 마지막 두 표현식을 비교하면 다음을 얻습니다.

반대로 대전된 판 사이의 전계 강도.판의 치수가 판 사이의 거리를 크게 초과하는 경우 각 판의 전기장은 무한하고 균일하게 전하된 평면의 필드에 가까운 것으로 간주될 수 있습니다. 판 사이에 반대로 대전된 판의 전기장 세기 선은 한 방향으로 향하기 때문에(그림 1.20), 판 사이의 전계 강도는 다음과 같습니다.

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외부 공간에서는 반대로 대전된 판의 전기장 세기 선이 반대 방향을 가지므로 이 판 외부에서는 결과적인 전기장 세기가 0입니다. 강도에 대해 얻은 표현은 강도가 가장자리에서 멀리 떨어진 지점에서 결정될 때 큰 대전 판에 유효합니다.

무한 길이의 균일하게 충전된 얇은 와이어의 전기장 강도.가우스 정리를 사용하여 균일하게 충전된 무한 길이의 얇은 와이어의 전계 강도가 와이어 축까지의 거리에 미치는 영향을 찾아보겠습니다. 유한한 길이의 와이어 섹션을 선택해 보겠습니다. 전선의 선형 전하 밀도가 이면 선택한 영역의 전하는 와 같습니다.

점전하 $q$의 장을 고려하고 닫힌 표면 $S$를 통과하는 강도 벡터($\overrightarrow(E)$)의 흐름을 찾아보겠습니다. 전하가 표면 내부에 있다고 가정합니다. 표면을 통과하는 장력 벡터의 흐름은 나가는 장력 벡터의 선 수($q>0$인 경우 전하에서 시작) 또는 들어가는 선의 수 $\overrightarrow(E)$와 같습니다. , $q \[Ф_E=\frac( q)((\varepsilon )_0)\ \left(1\right),\]인 경우

여기서 플럭스의 부호는 전하의 부호와 일치합니다.

적분 형태의 Ostrogradsky-Gauss 정리

표면 S 내부에 N 포인트 전하, $q_1,q_2,\dots q_N$ 값이 있다고 가정합니다. 중첩 원리로부터 우리는 모든 N 전하의 결과적인 전계 강도가 다음의 합으로 발견될 수 있음을 알고 있습니다. 각 전하에 의해 생성되는 전계 강도는 다음과 같습니다.

따라서 포인트 요금 시스템의 흐름에 대해 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

공식 (1)을 사용하여 다음을 얻습니다.

\[Ф_E=\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )\ 왼쪽(4\오른쪽).\]

방정식 (4)는 닫힌 표면을 통과하는 전기장 강도 벡터의 흐름이 이 표면 내부에 있는 전하의 대수적 합을 전기 상수로 나눈 것과 동일하다는 것을 의미합니다. 이것은 적분 형태의 Ostrogradsky-Gauss 정리입니다. 이 정리는 쿨롱의 법칙의 결과입니다. 이 정리의 중요성은 다양한 전하 분포에 대한 전기장을 매우 간단하게 계산할 수 있다는 것입니다.

Ostrogradsky-Gauss 정리의 결과로, 전하가 이 표면 외부에 있는 경우 닫힌 표면을 통과하는 강도 벡터($Ф_E$)의 플럭스는 0과 같다고 말해야 합니다.

전하의 불연속성을 무시할 수 있는 경우 전하가 부피 전체에 분포되어 있으면 부피 전하 밀도($\rho$) 개념이 사용됩니다. 이는 다음과 같이 정의됩니다.

\[\rho =\frac(dq)(dV)\left(5\right),\]

여기서 $dq$는 포인트형으로 간주될 수 있는 요금이고, $dV$는 작은 볼륨입니다. ($dV$에 관해 다음 사항을 주의해야 합니다. 이 부피는 전하 밀도가 일정하다고 간주될 수 있을 만큼 작지만 전하 이산성이 나타나지 않을 만큼 충분히 큽니다.) 공동에 있는 총 전하는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\[\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )=\int\limits_V(\rho dV)\left(6\right).\]

이 경우 공식 (4)를 다음과 같은 형식으로 다시 작성합니다.

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV)\left(7\right).\ ]

미분 형태의 Ostrogradsky-Gauss 정리

모든 벡터 자연 분야에 대해 Ostrogradsky-Gauss 공식을 사용하여 닫힌 표면에 대한 통합에서 볼륨에 대한 통합으로 전환이 수행됩니다.

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(a)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(a)dV\ \left(8\right),\]

여기서 $\overrightarrow(a)-$필드 벡터(이 경우 $\overrightarrow(E)$), $div\overrightarrow(a)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(a)=\frac(\ 부분 a_x)(\partial x)+\frac(\partial a_y)(\partial y)+\frac(\partial a_z)(\partial z)$ -- $\overrightarrow(a)$에서 벡터의 발산 벡터 필드를 스칼라 필드에 매핑하는 좌표(x,y,z)가 있는 점입니다. $\overrightarrow(\nabla )=\frac(\partial )(\partial x)\overrightarrow(i)+\frac(\partial )(\partial y)\overrightarrow(j)+\frac(\partial )(\ 부분 z)\overrightarrow(k)$ - 관찰 가능한 연산자. (우리의 경우 $div\overrightarrow(E)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(E)=\frac(\partial E_x)(\partial x)+\frac(\partial E_y)(\partial y) +\frac(\partial E_z)(\partial z)$) -- 장력 벡터의 발산. 위의 내용에 따라 공식 (6)을 다음과 같이 다시 작성합니다.

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(E)dV=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V( \rho dV)\왼쪽(9\오른쪽).\]

방정식 (9)의 등식은 모든 볼륨에 대해 충족되며 이는 피적분 함수에 있는 함수가 공간의 각 흐름에서 동일한 경우에만 실현 가능합니다. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

식 (10)은 미분 형태의 Ostrogradsky-Gauss 정리입니다. 해석은 다음과 같습니다. 전하는 전기장의 원천입니다. $div\overrightarrow(E)>0$인 경우 필드의 이러한 지점(요금은 양수)에 필드 소스가 있습니다. $div\overrightarrow(E)인 경우

할당: 전하는 볼륨 전체에 균일하게 분포됩니다. 이 볼륨에서는 측면 b가 있는 입방체 표면이 선택됩니다. 그것은 구체에 새겨 져 있습니다. 이 표면을 통과하는 장력 벡터 플럭스의 비율을 찾으십시오.

가우스 정리에 따르면, 볼륨 전체에 걸쳐 균일한 전하 분포를 갖는 닫힌 표면을 통과하는 강도 벡터 $\overrightarrow(E)$의 플럭스($Ф_E$)는 다음과 같습니다.

\[Ф_E=\frac(1)((\varepsilon )_0)Q=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV=\frac(\rho )((\varepsilon ) _0)\int\limits_V(dV)=\frac(\rho V)((\varepsilon )_0))\left(1.1\right).\]

그러므로 이 큐브 주위에 공이 묘사되어 있다면 큐브와 공의 부피를 결정해야 합니다. 우선, b면이 다음과 같을 때 큐브의 부피($V_k$)는 다음과 같습니다.

다음 공식을 사용하여 공의 부피($V_(sh)$)를 구해 보겠습니다.

여기서 $D$는 공의 직경이고 (공이 큐브 주위에 외접하므로) 큐브의 주 대각선입니다. 그러므로 우리는 정육면체의 대각선을 변으로 표현해야 합니다. 피타고라스의 정리를 이용하면 쉽습니다. 예를 들어 (1.5)와 같이 정육면체의 대각선을 계산하려면 먼저 정사각형(입방체의 아래쪽 밑변)(1.6)의 대각선을 구해야 합니다. 대각선 길이(1.6)는 다음과 같습니다.

이 경우 대각선 길이(1.5)는 다음과 같습니다.

\[(D=D)_(15)=\sqrt(b^2+((\sqrt(b^2+b^2\ \ \ )))^2)=b\sqrt(3)\ \left (1.5\오른쪽).\]

발견된 공의 직경을 (1.3)에 대입하면 다음을 얻습니다.

이제 큐브 표면을 통한 장력 벡터의 플럭스를 찾을 수 있습니다. 이는 다음과 같습니다.

\[Ф_(Ek)=\frac(\rho V_k)((\varepsilon )_0)=\frac(\rho b^3)((\varepsilon )_0)\left(1.7\right),\]

공의 표면을 통해:

\[Ф_(Esh)=\frac(\rho V_(sh))((\varepsilon )_0)=\frac(\rho )((\varepsilon )_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3\ \left(1.8\right).\]

$\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))$ 비율을 구해 보겠습니다.

\[\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))=\frac(\frac(с)(\varepsilon_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3)(\frac (сb^3)(\varepsilon_0))=\frac(\pi)(2)\sqrt(3)\ \약 2.7\left(1.9\right).\]

답: 공 표면을 통과하는 자속은 2.7배 더 큽니다.

과제: 도체의 전하가 표면에 위치한다는 것을 증명하십시오.

이를 증명하기 위해 가우스의 정리를 사용합니다. 도체 표면 근처의 도체에서 임의 모양의 닫힌 표면을 선택하겠습니다(그림 2).

도체 내부에 전하가 있다고 가정하고 표면 S의 모든 지점에 대한 필드 발산에 대한 Ostrogradsky-Gauss 정리를 작성합니다.

여기서 $\rho는 내부 전하의 밀도\ $입니다. 그러나 도체 내부에는 필드가 없습니다. 즉 $\overrightarrow(E)=0$이므로 $div\overrightarrow(E)=0\to \rho =0$입니다. 미분 형태의 Ostrogradsky-Gauss 정리는 국소적입니다. 즉, 필드 지점에 대해 작성되었으며 특별한 방법으로 지점을 선택하지 않았으므로 도체 내부 필드의 모든 지점에서 전하 밀도가 0입니다.

쿨롱의 법칙과 결합된 중첩 원리는 임의의 전하 시스템의 전기장을 계산하는 열쇠를 제공하지만, 공식(4.2)을 사용하여 전기장을 직접 합산하려면 일반적으로 복잡한 계산이 필요합니다. 그러나 전하 시스템의 대칭이 존재하는 경우 전기장 흐름의 개념을 도입하고 가우스 정리를 사용하면 계산이 상당히 단순화됩니다.

전기장 흐름의 개념은 유체역학에서 전기역학으로 도입되었습니다. 유체역학에서 파이프를 통과하는 유체의 흐름, 즉 단위 시간당 파이프 단면을 통과하는 유체의 부피 N은 v ⋅ S와 같습니다. 여기서 v는 유체의 속도이고 S는 파이프의 단면적. 유체 속도가 단면에 따라 달라지는 경우 적분 공식 N = ∫ S v → ⋅ d S → 을 사용해야 합니다. 실제로, 속도 벡터에 수직인 속도장에서 작은 영역 d S를 강조해 보겠습니다(그림 1).

쌀. 1.4: 유체 흐름

d t 시간에 이 영역을 통해 흐르는 액체의 부피는 v d S d t 와 같습니다. 플랫폼이 흐름에 대해 기울어지면 해당 볼륨은 v d S cos θ d t 가 됩니다. 여기서 θ는 속도 벡터 v →와 플랫폼 d S에 대한 법선 n → 사이의 각도입니다. 단위 시간당 면적 d S를 흐르는 액체의 부피는 이 값을 d t로 나누어 구합니다. 이는 v d S cos θ d t 와 같습니다. 즉, 스칼라 곱 v → ⋅ d S → 속도 벡터 v → 면적 요소 벡터 d S → = n → d S . 면적 d S에 수직인 단위 벡터 n → 법선은 정반대의 두 방향으로 그려질 수 있습니다. 그 중 하나는 조건부로 긍정적인 것으로 받아들여집니다. 법선 n →은 이 방향으로 그려집니다. 법선 n →이 나오는 쪽을 외부라고 하고, 법선 n →가 들어가는 쪽을 내부라고 합니다. 면적 요소 벡터 d S →는 외부 법선 n → 표면을 따라 향하며 크기는 요소 d S = ∣ d S → ∣의 면적과 같습니다. 유한 차원의 영역 S를 통해 흐르는 유체의 부피를 계산할 때 이를 무한소 영역 d S 로 전개한 다음 전체 표면 S에 대한 적분 ∫ S v → ⋅ d S →를 계산해야 합니다.

∫ S v → ⋅ d S →와 같은 표현은 물리학과 수학의 여러 분야에서 발견됩니다. 벡터 v →의 특성에 관계없이 표면 S를 통과하는 벡터 v →의 흐름이라고 합니다. 전기역학에서는 적분

N = ∫ SE → ⋅ d S →

(5.1)

이 개념과 관련된 실제 흐름은 없지만 임의의 표면 S를 통한 전계 강도 E → 흐름이라고 합니다.

벡터 E →가 기하합으로 표현된다고 가정해보자.

E → = ∑ j E → j .

이 평등에 d S →를 스칼라 곱하고 통합하면 다음을 얻습니다.

N = ∑ j N j .

여기서 Nj는 동일한 표면을 통과하는 벡터 E → j의 흐름입니다. 따라서 전기장 강도의 중첩 원리에 따라 동일한 표면을 통과하는 플럭스는 대수적으로 합산됩니다.

가우스 정리에 따르면 임의의 닫힌 표면을 통과하는 벡터 E →의 플럭스는 이 표면 내부에 있는 모든 입자의 총 전하 Q에 4π를 곱한 것과 같습니다.

우리는 세 단계에 걸쳐 정리의 증명을 수행할 것입니다.

1. 한 점 전하 q의 전기장 플럭스를 계산하는 것부터 시작하겠습니다(그림 ). 가장 간단한 경우, 적분면 S가 구이고 전하가 중심에 있을 때 가우스 정리의 타당성은 거의 명백합니다. 구 표면에서 전기장의 세기는 다음과 같다.

E → = q r → ∕ r 3

크기가 일정하고 어디에서나 표면에 수직으로 향하므로 전기장 플럭스는 단순히 곱 E = q ∕ r 2 및 구 면적 S = 4 π r 2 와 같습니다. 따라서 N = 4πq입니다. 이 결과는 전하를 둘러싼 표면의 모양과 무관합니다. 이를 증명하기 위해 외부 법선 n → 설정 방향으로 충분히 작은 크기의 표면의 임의 영역을 선택합니다. 그림에서. 그러한 세그먼트 중 하나는 (명확성을 위해) 지나치게 큰 크기로 표시됩니다.

이 영역을 통과하는 벡터 E →의 플럭스는 d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S 와 같습니다.

여기서 θ는 E → 방향과 외부 법선 n → 영역 d S 사이의 각도입니다. E = q ∕ r 2 이고 d S cos θ ∕ ​​​​r 2 절대값은 입체각 d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 의 요소이므로 면적 d S는 다음에서 볼 수 있습니다. 전하가 위치한 지점,

D N = ± q d Ω .

여기서 더하기 및 빼기 기호는 cos θ 기호에 해당합니다. 즉, 벡터 E →가 외부 법선 n →의 방향과 예각을 만들면 더하기 기호를 사용해야 하고, 그렇지 않으면 빼기 기호를 사용해야 합니다.

2. 이제 선택된 일부 볼륨 V를 포함하는 유한 표면 S를 고려하십시오. 이 볼륨과 관련하여 표면 S의 요소에 대한 법선의 두 반대 방향 중 어느 방향이 외부로 간주되어야 하는지를 결정하는 것이 항상 가능합니다. 외부 법선은 볼륨 V에서 바깥쪽으로 향합니다. 세그먼트에 걸쳐 합산하면 N = q Ω이 됩니다. 여기서 Ω은 전하 q가 위치한 지점에서 표면 S가 보이는 입체각입니다. 표면 S가 닫혀 있으면 전하 q가 S 내부에 있으면 Ω = 4 π입니다. 그렇지 않으면 Ω = 0입니다. 마지막 진술을 명확히 하기 위해 그림 1을 다시 참조할 수 있습니다. .

동일한 입체각을 기반으로 하지만 반대 방향을 향하는 닫힌 표면의 세그먼트를 통과하는 흐름이 서로 상쇄된다는 것은 명백합니다. 전하가 닫힌 표면 외부에 있는 경우 바깥쪽을 향하는 세그먼트에 대해 안쪽을 향하는 해당 세그먼트가 있다는 것도 분명합니다.

3. 마지막으로 중첩의 원리를 이용하여 가우스 정리()의 최종 공식화에 도달합니다. 실제로 전하 시스템의 필드는 각 전하 필드의 합과 동일하지만 닫힌 표면 내부에 위치한 전하만이 정리의 우변에 0이 아닌 기여를 합니다(). 이로써 증명이 완료되었습니다.

거시적 몸체에서는 전하 운반자의 수가 너무 커서 전하 밀도 개념을 도입하여 연속 분포 형태로 입자의 개별적인 앙상블을 표현하는 것이 편리합니다. 정의에 따르면, 전하 밀도 ρ는 부피 ΔV가 물리적으로 무한한 값으로 변하는 한계에서의 비율 ΔQ ∕ ΔV입니다.

여기서 우변의 적분은 표면 S에 의해 닫힌 부피 V에 대해 수행됩니다.

가우스의 정리는 벡터 E →의 세 가지 구성 요소에 대해 하나의 스칼라 방정식을 제공하므로 이 정리만으로는 전기장을 계산하는 데 충분하지 않습니다. 문제를 단일 스칼라 방정식으로 축소하려면 전하 밀도 분포의 알려진 대칭이 필요합니다. 가우스의 정리를 사용하면 전계 강도 E가 전체 표면에 걸쳐 일정하도록 ()의 적분 표면을 선택할 수 있는 경우 필드를 찾을 수 있습니다. 가장 유익한 예를 살펴 보겠습니다.

▸ 문제 5.1

부피가 균일하게 전하된 구의 장을 구하거나표면.

해결책: 포인트 전하의 전기장 E → = q r → ∕ r 3은 다음과 같은 경향이 있습니다. 무한대 r → 0 . 이 사실은 생각의 불일치를 보여줍니다. 점 전하에 의한 기본 입자. 청구된 경우큐 반경이 유한한 구의 부피에 걸쳐 균일하게 분포됨에, 그러면 전기장은 특이점이 없습니다.

문제의 대칭성으로 볼 때 전기장은 다음과 같습니다.전자 → 모든 곳이 방사형으로 향하고 그 장력은 E = E(r)은 거리 r에만 의존합니다. 공의 중앙으로. 그런 다음 반경의 구를 통해 전기장이 흐릅니다. r은 단순히 4 π r 2 E와 같습니다(그림 1).

반면, 같은 구 내부의 전하는 총 전하와 같습니다. r ≥ a이면 공 Q. 4 π r 2 E를 공의 전하 q에 4 π를 곱하면 다음과 같이 됩니다: E (r) = q ∕ r 2 .

따라서 외부 공간에서는 충전된 공이 생성됩니다. 마치 모든 전하가 중앙에 집중되어 있는 것 같은 장입니다. 이 결과는 모든 구형 대칭에 유효합니다. 충전 분배.

공 내부의 필드는 다음과 같습니다. E(r) = Q ∕ r 2, 여기서 Q는 반경 r의 황 내부 전하입니다. 전하가 공 전체에 균일하게 분포되어 있으면 Q = q (r ∕ a) 3 . 이 경우

E (r) = q r ∕ a 3 = (4 π ∕ 3) ρ r ,

여기서 ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) — 전하 밀도. 공 내부에서 필드는 최대값에서 선형적으로 감소합니다. 공 표면의 값을 중심에서 0으로 설정합니다(그림 1). ).

함수 E(r) 동시에 그것은 어디에서나 유한하고 연속적입니다.

전하가 공 표면에 분산되어 있으면 Q = 0이므로 E = 0이기도 합니다. 이 결과는 구형 내부의 경우에도 유효합니다. 전하 공동이 없으며 외부 전하가 구형으로 분포됩니다.대칭적으로. ▸ 문제 5.2

균일하게 충전된 무한 스레드의 필드를 찾습니다. 스레드 반경 a, 단위 길이당 요금 ϰ.

▸ 문제 5.3

무한한 직선과 무한히 긴 실의 장을 구하라 균일하게 충전된 실린더.

▸ 문제 5.4

무한 전하 평면의 필드를 찾고 균일하게 충전된 무한 평면층.

해결책: 문제의 대칭성으로 인해 필드가 방향이 지정됩니다. 레이어에 수직이며 거리에만 의존함 x에서 판의 대칭면. 다음을 사용하여 필드를 계산하려면 가우스의 정리, 적분면을 선택하는 것이 편리하다에스 그림과 같이 평행육면체 형태이다. .

마지막 결과는 한계까지 통과하여 얻어집니다.에 → 0 동시에 전하 밀도를 증가시킵니다.ρ 값이 σ = ρ a가 되도록 변함없이 유지되었습니다. 비행기 반대편에서 전기장의 세기는 크기가 같지만 방향이 반대. 그러므로 통과할 때 충전된 비행기, 양에 따라 필드가 급격히 변경됨 4π σ . 다음과 같은 경우 플레이트가 무한하다고 간주될 수 있습니다. 크기에 비해 거리가 미미합니다. ~에 접시의 크기에 비해 거리가 매우 멀다. 포인트 전하처럼 작용하고 그 필드는 다시 감소합니다. 거리의 제곱에 비례합니다.

정전기장은 힘의 선(인장선)을 사용하여 명확하게 묘사할 수 있습니다. 전력선각 점의 접선이 장력 벡터 E와 일치하는 곡선이라고 합니다.

힘의 선은 전통적인 개념이며 실제로 존재하지 않습니다. 단일 음전하와 단일 양전하의 자기장 선이 그림 1에 나와 있습니다. 5는 양전하에서 나오거나 음전하로 가는 방사형 직선입니다.

전체 필드 볼륨에 걸쳐 필드 라인의 밀도와 방향이 변경되지 않은 경우 이러한 정전기장은 균질한 것으로 간주됩니다(라인 수는 필드 강도 E와 수치적으로 동일해야 함).

">dS로 표시된 필드 라인에 수직인 수에 따라 결정됩니다. 정전기장 강도 벡터의 흐름:

공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- 벡터 E를 법선 n 방향으로 사이트 dS에 투영합니다(그림 6).

따라서 임의의 닫힌 표면 S를 통과하는 벡터 E의 흐름

mark">S 크기뿐만 아니라 흐름의 부호도 바뀔 수 있습니다.

1) 공식 사용" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

3) 선택할 때"> 중심에 점전하 q가 있는 구면 S를 통과하는 벡터 E의 흐름을 구해 보겠습니다.

이 경우, 마크 ">E와 n은 구면의 모든 지점에서 일치합니다.

포인트 전하의 전계 강도를 고려하면 공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle " alt="(! LANG:우리는 얻는다

공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- 전하의 부호에 따른 대수적 양. 예를 들어, q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="전하 q 주위에는 임의의 모양이 있습니다. 분명히 표면은 표면 S와 마찬가지로 ">E"로 표시됩니다. 따라서 임의의 표면을 통과하는 벡터 E의 흐름은 다음과 같습니다. src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/ files/Fe.gif" border ="0" align="absmiddle" alt=".

전하가 닫힌 표면 외부에 있으면 분명히 닫힌 영역에 들어가는 라인 수는 동일하며 동일한 숫자가 떠날 것입니다. 결과적으로 벡터 E의 플럭스는 0과 같습니다.

전기장이 점전하 시스템에 의해 생성되는 경우공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

이 공식은 가우스 정리의 수학적 표현입니다. 임의의 닫힌 표면을 통과하는 진공 상태의 전계 강도 벡터 E의 흐름은 그것이 덮고 있는 전하의 대수적 합을 다음과 같이 나눈 것과 같습니다.공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

설명을 완성하기 위해 적분 관계가 아니라 공간의 주어진 지점에서 필드 매개변수에 의존하여 가우스 정리를 로컬 형식으로 제시하겠습니다. 이를 위해 미분 연산자(벡터 발산, -)를 사용하는 것이 편리합니다.

공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(“나블라”) -

공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

수학적 분석에서 Gauss-Ostrogradsky 정리가 알려져 있습니다. 닫힌 표면을 통과하는 벡터의 흐름은 이 표면에 의해 제한되는 볼륨에 대한 발산의 적분과 같습니다.

공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":

공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

이 표현은 국소(미분) 형태의 가우스 정리입니다.

가우스 정리(2.2)를 통해 다양한 정전기장의 강도를 결정할 수 있습니다. 가우스 정리의 적용에 대한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1. 계산해보자 E 균일하게 전하를 띤 구형 표면에 의해 생성된 정전기장.

반경 R의 구형 표면이 균일하게 분포된 전하 q를 운반한다고 가정합니다. 표면 전하 밀도는 구의 중심으로부터 ">r >R" 어디에서나 동일한 표시입니다. 우리는 정신적으로 전하를 띤 구에 대칭인 새로운 구면 S를 구성합니다. 가우스의 정리에 따라

공식" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

반경 R의 대전된 구 표면에 위치한 점에 대해 비유적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

선택">전하를 띤 구체 내부에는 자체적으로 전하가 포함되어 있지 않으므로 플럭스 표시">E = 0입니다.

정전기장의 중첩 원리를 사용하여 전하 시스템의 전계 강도를 계산하는 작업은 독일 과학자 K. Gauss(1777-1855)가 발견한 정리를 적용하면 크게 단순화될 수 있습니다. 임의의 닫힌 표면을 통한 전기장 강도 벡터.

닫힌 표면을 통한 강도 벡터 플럭스의 정의로부터 중심에 위치한 점 전하 Q를 덮는 반경 r의 구형 표면을 통한 강도 벡터 플럭스는 다음과 같습니다(그림 1).

이 결과는 임의 모양의 닫힌 표면에 유효합니다. 실제로 임의의 닫힌 표면에 구(그림 1)를 포함하면 구를 관통하는 각 장력선도 이 표면을 통과하게 됩니다.

어떤 형태의 닫힌 표면이 전하를 둘러싸고 있는 경우(그림 2) 장력선이 표면과 교차할 때 전하가 들어가거나 나옵니다. 플럭스를 계산할 때, 장력선이 표면을 벗어나면 플럭스가 양수로 가정되고 표면에 들어가는 선에 대해서는 음수로 가정되기 때문에 홀수의 교차점은 궁극적으로 단일 교차점으로 줄어듭니다. , 그러면 이를 통과하는 플럭스가 0이므로 표면으로 들어가는 장력선의 수가 표면에서 나가는 장력선의 수와 같습니다.

이는 임의의 모양의 표면에 대해 닫혀 있고 점 전하 Q를 포함하는 경우 벡터의 흐름을 의미합니다. 이자형는 Q/ε 0과 같을 것입니다. 즉

플럭스의 부호는 전하 Q의 부호와 일치합니다.

n개의 전하를 둘러싸고 있는 임의의 표면의 일반적인 경우를 연구해 보겠습니다. 중첩, 장력의 원리를 이용하여 이자형모든 전하에 의해 생성된 필드는 강도의 합과 같습니다. 나는각 요금별로 별도로 생성되는 필드입니다. 그렇기 때문에

(1)에 따르면 합 기호 아래에 나타나는 각 적분은 Q i /ε 0 과 같습니다. 수단,

(2)

식 (2)는 다음과 같이 표현된다. 진공의 정전기장에 대한 가우스의 정리: 임의의 닫힌 표면을 통한 진공 내 정전기장 강도 벡터의 흐름은 이 표면 내부에 포함된 전하의 대수적 합을 ε 0으로 나눈 것과 같습니다. 이 정리는 러시아 수학자 M.V. Ostrogradsky(1801-1862)에 의해 임의의 벡터 필드에 대해 수학적으로 얻은 다음 K. Gauss에 의해 정전기장과 관련하여 그와 독립적으로 얻어졌습니다.

일반적으로 전하는 특정 부피 밀도 ρ=dQ/dV로 분포될 수 있으며 이는 공간의 위치에 따라 다릅니다. 그런 다음 특정 부피 V를 덮는 닫힌 표면 S 내부에 포함된 총 전하,

(3)

식 (3)을 사용하면 가우스 정리 (2)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

전압 벡터의 순환은 닫힌 경로 L을 따라 단일 양전하를 이동할 때 전기력에 의해 수행되는 작업입니다.

(13.18)

폐루프를 따른 정전기장력의 일(잠재력의 일)이 0이므로 폐루프를 따른 정전기장 강도의 순환은 0입니다.

정전기장 전위.보존력의 장은 벡터 함수로 설명할 수 있을 뿐만 아니라 각 점에서 적절한 스칼라 수량을 정의하여 이 장에 대한 동등한 설명을 얻을 수 있습니다. 정전기장의 경우 이 양은 다음과 같습니다. 정전기장 전위, 테스트 전하의 위치 에너지 비율로 정의됩니다. 큐이 전하의 크기에 따라  = 여피 / 큐, 이로부터 전위는 필드의 특정 지점에서 단위 양전하가 갖는 위치 에너지와 수치적으로 동일합니다. 전위 측정 단위는 볼트(1V)입니다.

포인트 전하장 잠재력 큐유전 상수 를 갖는 균일한 등방성 매질에서:

중첩 원리.전위는 스칼라 함수이므로 중첩 원리가 유효합니다. 따라서 포인트 요금 시스템의 현장 잠재력에 대해 큐 1, 큐 2, Qn우리는

,

어디 나는- 전위 가 있는 필드 지점에서 전하까지의 거리 Q 나는. 만약 전하가 공간에 임의로 분포되어 있다면,

,

어디 아르 자형- 기본 볼륨 d로부터의 거리 엑스,디 와이,디 지( 엑스, 와이, 지), 잠재력이 결정되는 곳; V- 전하가 분배되는 공간의 양.

전기장력의 잠재력과 작용.전위의 정의에 기초하여, 점전하를 이동할 때 전기장력이 한 일은 다음과 같습니다. 큐필드의 한 지점에서 다른 지점까지의 값은 이 전하의 크기와 경로의 초기 지점과 최종 지점의 전위차를 곱한 것과 같습니다. A = q (     
위치 에너지와 유사하게 전하(전하 소스)에서 무한히 떨어진 지점에서 전위가 0이라고 가정하면 전하를 이동할 때 전계력이 작용합니다. 큐점 1부터 무한대까지 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. ㅏ   큐  1 .
따라서 정전기장의 특정 지점에서의 전위는 다음과 같습니다. 단위 양전하를 필드의 특정 지점에서 무한히 먼 곳으로 이동할 때 전기장의 힘에 의해 수행된 작업과 수치적으로 동일한 물리량:  = ㅏ  / 큐.
어떤 경우에는 전기장 전위가 다음과 같이 더 명확하게 정의됩니다. 단위 양전하를 무한대에서 주어진 지점으로 이동할 때 전기장의 힘에 대항하는 외부 힘의 작용과 수치적으로 동일한 물리량. 마지막 정의는 다음과 같이 작성하는 것이 편리합니다.

현대 과학기술에서는 특히 소우주에서 일어나는 현상을 기술할 때 일과 에너지의 단위를 전자 볼트(eV). 이는 전위차가 1V인 두 지점 사이에서 전자의 전하와 동일한 전하를 이동할 때 수행되는 작업입니다. 1 eV = 1.6010  C1 V = 1.6010  J

등전위면- 정적 전기장이나 뉴턴 중력장과 같은 잠재적인 벡터장에 적용할 수 있는 개념입니다. 등전위면은 주어진 전위장의 스칼라 전위가 일정한 값을 갖는 표면(전위면)입니다. 또 다른 동등한 정의는 임의의 지점에서 자기장 선과 직교하는 표면입니다.

정전기의 도체 표면은 등전위 표면입니다. 또한 등전위 표면에 도체를 배치해도 정전기장의 구성이 변경되지 않습니다. 이 사실은 복잡한 구성에 대한 정전기장을 계산할 수 있는 이미지 방법에 사용됩니다.

(고정) 중력장에서 정지 유체의 수위는 등전위면을 따라 설정됩니다. 특히, 바다의 수위는 지구 중력장의 등전위면을 따라 지나간다고 대략적으로 말할 수 있습니다. 지구 표면까지 확장된 해양 표면의 모양을 지오이드라고 하며 측지학에서 중요한 역할을 합니다. 따라서 지오이드는 중력과 원심 성분으로 구성된 중력의 등전위면입니다.