Ludwig Boltzmann: asmeniniai pasiekimai. Boltzmanno konstanta

Planas:

Įvadas

• 1 Temperatūros ir energijos santykis
• 2 Entropijos apibrėžimas
Pastabos

Įvadas

Boltzmanno konstanta (k arba k B) yra fizinė konstanta, apibrėžianti temperatūros ir energijos santykį. Pavadintas austrų fiziko Ludwigo Boltzmanno garbei, kuris daug prisidėjo prie statistinės fizikos, kurioje ši konstanta atlieka pagrindinį vaidmenį. Jo eksperimentinė vertė SI sistemoje yra

J/K .

Skaičiai skliausteliuose nurodo standartinę paklaidą paskutiniuose kiekio reikšmės skaitmenyse. Boltzmanno konstantą galima gauti iš absoliučios temperatūros ir kitų fizinių konstantų apibrėžimo. Tačiau Boltzmanno konstantos apskaičiavimas naudojant pirmuosius principus yra pernelyg sudėtingas ir neįgyvendinamas turint dabartinę žinių būklę. Natūralioje Plancko vienetų sistemoje natūralus temperatūros vienetas pateikiamas taip, kad Boltzmanno konstanta būtų lygi vienetui.

Universali dujų konstanta apibrėžiama kaip Boltzmanno konstantos ir Avogadro skaičiaus sandauga, R = kN A. Dujų konstanta yra patogesnė, kai dalelių skaičius pateikiamas moliais.

1. Temperatūros ir energijos ryšys

Vienalytėse idealiose dujose absoliučioje temperatūroje T, energija kiekvienam transliacijos laisvės laipsniui yra lygi, kaip matyti iš Maksvelo skirstinio kT/ 2 . Kambario temperatūroje (300 K) ši energija yra J arba 0,013 eV. Monatominėse idealiose dujose kiekvienas atomas turi tris laisvės laipsnius, atitinkančius tris erdvines ašis, o tai reiškia, kad kiekvieno atomo energija yra .

Žinodami šiluminę energiją, galime apskaičiuoti vidutinį kvadratinį atomų greitį, kuris yra atvirkščiai proporcingas atominės masės kvadratinei šaknei. Vidutinis kvadratinis greitis kambario temperatūroje svyruoja nuo 1370 m/s helio iki 240 m/s ksenono. Molekulinių dujų atveju situacija tampa sudėtingesnė, pavyzdžiui, dviatomės dujos jau turi maždaug penkis laisvės laipsnius.

2. Entropijos apibrėžimas

Termodinaminės sistemos entropija apibrėžiama kaip natūralus skirtingų mikrobūsenų skaičiaus logaritmas Z, atitinkantis tam tikrą makroskopinę būseną (pavyzdžiui, būseną su tam tikra bendra energija).

S = k ln Z.

Proporcingumo koeficientas k ir yra Boltzmanno konstanta. Tai išraiška, apibrėžianti santykį tarp mikroskopinių ( Z) ir makroskopines būsenas ( S), išreiškia pagrindinę statistinės mechanikos idėją.

Pastabos

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt – physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Pagrindinės fizinės konstantos – visas sąrašas

parsisiųsti
Ši santrauka parengta remiantis straipsniu iš rusiškos Vikipedijos. Sinchronizavimas baigtas 07/10/11 01:04:29
Panašios santraukos:

Boltzmanno konstanta, kuri yra koeficientas, lygus k = 1,38 · 10 - 23 J K, yra daugelio fizikos formulių dalis. Jis gavo savo pavadinimą iš austrų fiziko, vieno iš molekulinės kinetinės teorijos įkūrėjų. Suformuluokime Boltzmanno konstantos apibrėžimą:

1 apibrėžimas

Boltzmanno konstanta yra fizinė konstanta, kuri naudojama energijos ir temperatūros ryšiui nustatyti.

Nereikėtų jos painioti su Stefano-Boltzmanno konstanta, kuri siejama su energijos spinduliavimu iš visiškai kieto kūno.

Yra įvairių šio koeficiento apskaičiavimo būdų. Šiame straipsnyje apžvelgsime du iš jų.

Boltzmanno konstantos radimas per idealiųjų dujų lygtį

Šią konstantą galima rasti naudojant lygtį, apibūdinančią idealių dujų būseną. Eksperimentiškai galima nustatyti, kad kaitinant bet kokias dujas nuo T 0 = 273 K iki T 1 = 373 K, jų slėgis pasikeičia nuo p 0 = 1,013 10 5 P a iki p 0 = 1,38 10 5 P a. Tai gana paprastas eksperimentas, kurį galima atlikti net su oru. Temperatūrai matuoti reikia naudoti termometrą, o slėgį – manometrą. Svarbu atsiminti, kad bet kurių dujų molyje esančių molekulių skaičius yra maždaug 6 · 10 23, o tūris, esant 1 atm slėgiui, yra lygus V = 22,4 litro. Atsižvelgdami į visus šiuos parametrus, galime pradėti skaičiuoti Boltzmanno konstantą k:

Norėdami tai padaryti, rašome lygtį du kartus, pakeisdami į ją būsenos parametrus.

Žinodami rezultatą, galime rasti parametro k reikšmę:

Boltzmanno konstantos radimas pagal Brauno judėjimo formulę

Dėl antrojo skaičiavimo metodo taip pat turėsime atlikti eksperimentą. Norėdami tai padaryti, turite paimti nedidelį veidrodį ir pakabinti jį ore, naudodami elastingą siūlą. Tarkime, kad veidrodžio-oro sistema yra stabilios būsenos (statinė pusiausvyra). Oro molekulės atsitrenkia į veidrodį, kuris iš esmės elgiasi kaip Browno dalelė. Tačiau, atsižvelgiant į jo pakabinimo būseną, galime stebėti sukimosi virpesius aplink tam tikrą ašį, sutampančią su pakaba (vertikaliai nukreiptas sriegis). Dabar nukreipkime šviesos spindulį į veidrodžio paviršių. Net ir nedideliais veidrodžio judesiais ir pasukimais jame atsispindintis spindulys pastebimai pasislinks. Tai suteikia mums galimybę išmatuoti objekto sukimosi virpesius.

Sukimo modulį pažymėdami L, veidrodžio inercijos momentą sukimosi ašies atžvilgiu J, o veidrodžio sukimosi kampą φ, galime užrašyti tokios formos virpesių lygtį:

Minusas lygtyje yra susijęs su tamprumo jėgų momento kryptimi, kuri linkusi grąžinti veidrodį į pusiausvyros padėtį. Dabar padauginkime abi puses iš φ, integruokime rezultatą ir gaukime:

Ši lygtis yra energijos tvermės dėsnis, kuris bus įvykdytas šioms vibracijoms (ty potenciali energija virs kinetine energija ir atvirkščiai). Šias vibracijas galime laikyti harmoningomis, todėl:

Anksčiau išvesdami vieną iš formulių, naudojome vienodo energijos pasiskirstymo laisvės laipsniais dėsnį. Taigi galime parašyti taip:

Kaip jau minėjome, sukimosi kampą galima išmatuoti. Taigi, jei temperatūra yra maždaug 290 K, o sukimo modulis L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 · 10 - 6, tada mums reikalingo koeficiento reikšmę galime apskaičiuoti taip:

Todėl, žinodami Brauno judėjimo pagrindus, Boltzmanno konstantą galime rasti matuodami makroparametrus.

Boltzmanno pastovioji vertė

Tiriamo koeficiento reikšmė ta, kad juo galima susieti mikropasaulio parametrus su makropasaulį apibūdinančiais parametrais, pavyzdžiui, termodinamine temperatūra su molekulių transliacinio judėjimo energija:

Šis koeficientas įtrauktas į molekulės vidutinės energijos, idealių dujų būsenos, dujų kinetinės teorijos, Boltzmanno-Maxwell skirstinio ir daugelio kitų lygtis. Boltzmanno konstanta taip pat reikalinga entropijai nustatyti. Jis vaidina svarbų vaidmenį tiriant puslaidininkius, pavyzdžiui, lygtyje, apibūdinančioje elektros laidumo priklausomybę nuo temperatūros.

1 pavyzdys

Būklė: apskaičiuokite vidutinę dujų molekulės, susidedančios iš N atomų molekulių, energiją esant T temperatūrai, žinant, kad molekulėse sužadinami visi laisvės laipsniai – sukimosi, transliacijos, vibracijos. Visos molekulės laikomos tūrinėmis.

Sprendimas

Energija yra tolygiai paskirstyta per kiekvieno laipsnio laisvės laipsnius, o tai reiškia, kad šie laipsniai turės tą pačią kinetinę energiją. Jis bus lygus ε i = 1 2 k T . Tada, norėdami apskaičiuoti vidutinę energiją, galime naudoti formulę:

ε = i 2 k T , kur i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l reiškia transliacinių sukimosi laisvės laipsnių sumą. Raidė k žymi Boltzmanno konstantą.

Pereikime prie molekulės laisvės laipsnių skaičiaus nustatymo:

m p o s t = 3, m υ r = 3, vadinasi, m k o l = 3 N - 6.

i = 6 + 6 N-12 = 6 N-6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Atsakymas: tokiomis sąlygomis vidutinė molekulės energija bus lygi ε = 3 N - 3 k T.

2 pavyzdys

Būklė: yra dviejų idealių dujų mišinys, kurių tankis normaliomis sąlygomis lygus p. Nustatykite, kokia bus vienų dujų koncentracija mišinyje, jei žinome abiejų dujų molines mases μ 1, μ 2.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuokime bendrą mišinio masę.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

Parametras m 01 žymi vienų dujų molekulės masę, m 02 – kitų dujų molekulės masę, n 2 – vienų dujų molekulių koncentraciją, n 2 – antrųjų koncentraciją. Mišinio tankis yra ρ.

Dabar iš šios lygties išreiškiame pirmųjų dujų koncentraciją:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01 ; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

Pakeiskime gautą vienodą reikšmę:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02).

Kadangi žinome dujų molines mases, galime rasti pirmosios ir antrosios dujų molekulių mases:

m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.

Taip pat žinome, kad dujų mišinys yra normaliomis sąlygomis, t.y. slėgis 1 a t m, o temperatūra 290 K. Tai reiškia, kad problemą galime laikyti išspręsta.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pagal Stefano-Boltzmanno dėsnį integralios pusrutulio formos spinduliuotės tankis E 0 priklauso tik nuo temperatūros ir kinta proporcingai ketvirtajai absoliučios temperatūros laipsniai T:

Stefano-Boltzmanno konstanta σ 0 yra fizikinė konstanta, įtraukta į dėsnį, kuris nustato absoliučiai juodo kūno pusiausvyrinės šiluminės spinduliuotės tūrinį tankį:

Istoriškai Stefano-Boltzmanno dėsnis buvo suformuluotas anksčiau nei Plancko radiacijos įstatymas, iš kurio jis išplaukia. Planko dėsnis nustato spinduliuotės spektrinio srauto tankio priklausomybę E 0 dėl bangos ilgio λ ir temperatūros T:

kur λ – bangos ilgis, m; Su=2,998 10 8 m/s – šviesos greitis vakuume; T– kūno temperatūra, K;
h= 6,625 × 10 -34 J×s – Planko konstanta.

Fizinė konstanta k, lygus visuotinės dujų konstantos santykiui R=8314J/(kg×K) iki Avogadro numerio N.A.=6,022 × 10 26 1 / (kg × mol):

Skirtingų sistemos konfigūracijų skaičius nuo N tam tikros skaičių aibės dalelės n i(dalelių skaičius i-būsena, kurią atitinka energija e i) yra proporcinga reikšmei:

Didumas W yra keletas paskirstymo būdų N dalelės pagal energijos lygius. Jei santykis (6) yra teisingas, tada laikoma, kad pradinė sistema paklūsta Boltzmanno statistikai. Skaičių rinkinys n i, prie kurio numeris W didžiausias, pasitaiko dažniausiai ir atitinka labiausiai tikėtiną pasiskirstymą.

Fizinė kinetika– mikroskopinė procesų teorija statistiškai nesubalansuotose sistemose.

Daugelio dalelių aprašymas gali būti sėkmingai atliktas naudojant tikimybinius metodus. Monatominėms dujoms molekulių rinkinio būsena nustatoma pagal jų koordinates ir greičio projekcijų reikšmes atitinkamose koordinačių ašyse. Matematiškai tai apibūdinama pasiskirstymo funkcija, kuri apibūdina tikimybę, kad dalelė bus tam tikroje būsenoje:

yra numatomas molekulių skaičius d d tūryje, kurių koordinatės yra intervale nuo iki +d ir kurių greičiai yra intervale nuo iki +d.

Jei molekulių sąveikos vidutinė potenciali energija gali būti nepaisoma, palyginti su jų kinetine energija, tada dujos vadinamos idealiomis. Idealios dujos vadinamos Boltzmanno dujomis, jei šiose dujose esančių molekulių kelio ilgio ir būdingo srauto dydžio santykis. Lžinoma, t.y.

nes kelio ilgis yra atvirkščiai proporcingas d 2(n – skaitinis tankis 1/m 3, d – molekulės skersmuo, m).

Dydis

paskambino H-Boltzmanno funkcija tūrio vienetui, kuri yra susijusi su tikimybe aptikti dujų molekulių sistemą tam tikroje būsenoje. Kiekviena būsena atitinka tam tikrą skaičių užpildančių šešių dimensijų erdvės greičio ląstelių, į kurias galima padalyti nagrinėjamų molekulių fazių erdvę. Pažymėkime W tikimybė, kad nagrinėjamos erdvės pirmoje ląstelėje bus N 1 molekulių, antroje – N 2 ir t.t.

Iki konstantos, kuri lemia tikimybės kilmę, galioja toks ryšys:

,

Kur – Erdvės srities H funkcija A užimtas dujomis. Iš (9) aišku, kad W Ir H tarpusavyje susiję, t.y. būsenos tikimybės pokytis lemia atitinkamą H funkcijos evoliuciją.

Boltzmanno principas nustato ryšį tarp entropijos S fizinė sistema ir termodinaminė tikimybė W ji teigia:

(paskelbta pagal leidinį: Koganas M.N. Išretintų dujų dinamika. - M.: Nauka, 1967).

Bendras CUBE vaizdas:

kur masės jėga, atsirandanti dėl įvairių laukų (gravitacinių, elektrinių, magnetinių), veikiančių molekulę; J– susidūrimo integralas. Būtent šis Boltzmanno lygties terminas atsižvelgia į molekulių susidūrimus tarpusavyje ir atitinkamus sąveikaujančių dalelių greičių pokyčius. Susidūrimo integralas yra penkiamatis integralas ir turi tokią struktūrą:

(12) lygtis su integralu (13) gauta molekulių susidūrimams, kuriuose nekyla tangentinės jėgos, t.y. susidūrusios dalelės laikomos visiškai lygiomis.

Sąveikos metu vidinė molekulių energija nekinta, t.y. Manoma, kad šios molekulės yra visiškai elastingos. Nagrinėjame dvi molekulių grupes, kurios turi greičius ir prieš susidūrimą viena su kita (susidūrimas) (1 pav.), o po susidūrimo atitinkamai greičiai ir . Greičių skirtumas vadinamas santykiniu greičiu, t.y. . Aišku, kad sklandžiai elastingam susidūrimui . Paskirstymo funkcijos f 1 ", f", f 1 , f apibūdinti atitinkamų grupių molekules po ir prieš susidūrimus, t.y. ; ; ; .

Ryžiai. 1. Dviejų molekulių susidūrimas.

(13) apima du parametrus, apibūdinančius susidūrusių molekulių vietą viena kitos atžvilgiu: b ir ε; b– nukreipimo nuotolis, t.y. mažiausias atstumas, prie kurio priartėtų molekulės, jei nebūtų sąveikos (2 pav.); ε vadinamas susidūrimo kampiniu parametru (3 pav.). Integracija baigta b nuo 0 iki ¥ ir nuo 0 iki 2p (du išoriniai integralai (12)) apima visą jėgos sąveikos plokštumą, statmeną vektoriui

Ryžiai. 2. Molekulių trajektorija.

Ryžiai. 3. Molekulių sąveikos svarstymas cilindrinėje koordinačių sistemoje: z, b, ε

Boltzmanno kinetinė lygtis išvesta pagal šias prielaidas ir prielaidas.

1. Manoma, kad daugiausia įvyksta dviejų molekulių susidūrimai, t.y. trijų ar daugiau molekulių susidūrimų vienu metu vaidmuo yra nereikšmingas. Ši prielaida leidžia analizei naudoti vienos dalelės pasiskirstymo funkciją, kuri aukščiau paprasčiausiai vadinama pasiskirstymo funkcija. Atsižvelgiant į trijų molekulių susidūrimą, tyrime reikia naudoti dviejų dalelių pasiskirstymo funkciją. Atitinkamai analizė tampa žymiai sudėtingesnė.

2. Molekulinio chaoso prielaida. Tai išreiškiama tuo, kad tikimybės aptikti dalelę 1 fazės taške ir dalelę 2 fazės taške yra nepriklausomos viena nuo kitos.

3. Molekulių susidūrimai su bet kokiu smūgio atstumu yra vienodai tikėtini, t.y. pasiskirstymo funkcija nesikeičia esant sąveikos skersmeniui. Pažymėtina, kad analizuojamas elementas turi būti mažas, kad fšio elemento viduje nesikeičia, bet tuo pačiu taip, kad santykinis svyravimas ~ nebūtų didelis. Sąveikos potencialai, naudojami skaičiuojant susidūrimo integralą, yra sferiškai simetriški, t.y. .

Maxwell-Boltzmann paskirstymas

Dujų pusiausvyros būsena apibūdinama absoliučiu Maksvelo skirstiniu, kuris yra tikslus Boltzmanno kinetinės lygties sprendimas:

čia m – molekulės masė, kg.

Bendras vietinis Maksvelo skirstinys, kitaip vadinamas Maxwell-Boltzmann skirstiniu:

tuo atveju, kai dujos juda kaip visuma greičiu ir kintamieji n, T priklauso nuo koordinatės
ir laikas t.

Tikslus Boltzmanno lygties sprendimas Žemės gravitaciniame lauke rodo:

Kur n 0 = tankis Žemės paviršiuje, 1/m3; g– gravitacijos pagreitis, m/s 2 ; h– aukštis, m. Formulė (16) yra tikslus Boltzmanno kinetinės lygties sprendimas neribotoje erdvėje arba esant riboms, kurios nepažeidžia šio skirstinio, o temperatūra taip pat turi išlikti pastovi.

Šį puslapį sukūrė Puzina Yu.Yu. remiant Rusijos fundamentinių tyrimų fondui – projekto Nr.08-08-00638.

Gimė 1844 m. Vienoje. Boltzmannas yra mokslo pradininkas ir pradininkas. Jo darbai ir tyrimai dažnai buvo nesuprantami ir visuomenės atmesti. Tačiau toliau tobulėjant fizikai, jo darbai buvo pripažinti ir vėliau paskelbti.

Mokslininko moksliniai interesai apėmė tokias pagrindines sritis kaip fizika ir matematika. Nuo 1867 m. dirbo dėstytoju daugelyje aukštųjų mokyklų. Atlikdamas tyrimą jis nustatė, kad taip yra dėl chaotiško molekulių poveikio indo, kuriame jos yra, sienelėms, o temperatūra tiesiogiai priklauso nuo dalelių (molekulių) judėjimo greičio, kitaip tariant, nuo jų. Todėl kuo didesniu greičiu šios dalelės juda, tuo aukštesnė temperatūra. Boltzmanno konstanta pavadinta garsaus austrų mokslininko vardu. Būtent jis įnešė neįkainojamą indėlį į statinės fizikos raidą.

Fizinė šio pastovaus dydžio reikšmė

Boltzmanno konstanta apibrėžia temperatūros ir energijos santykį. Statinėje mechanikoje ji atlieka pagrindinį vaidmenį. Boltzmanno konstanta lygi k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. Skaičiai skliausteliuose rodo leistiną vertės paklaidą, palyginti su paskutiniais skaitmenimis. Verta pažymėti, kad Boltzmanno konstanta taip pat gali būti išvedama iš kitų fizinių konstantų. Tačiau šie skaičiavimai yra gana sudėtingi ir sunkiai atliekami. Jie reikalauja gilių žinių ne tik fizikos srityje, bet ir

(k arba k B) yra fizinė konstanta, apibrėžianti temperatūros ir energijos santykį. Pavadintas austrų fiziko Ludwigo Boltzmanno vardu, kuris daug prisidėjo prie statistinės fizikos, kurioje tai tapo pagrindine pozicija. Jo eksperimentinė vertė SI sistemoje yra

Skaičiai skliausteliuose nurodo standartinę paklaidą paskutiniuose kiekio reikšmės skaitmenyse. Iš esmės Boltzmanno konstantą galima gauti iš absoliučios temperatūros ir kitų fizinių konstantų apibrėžimo (norėdami tai padaryti, turite mokėti apskaičiuoti vandens trigubo taško temperatūrą pagal pirmuosius principus). Tačiau Boltzmanno konstantos nustatymas naudojant pirmuosius principus yra pernelyg sudėtingas ir nerealus, atsižvelgiant į dabartinę šios srities žinių raidą.
Boltzmanno konstanta yra perteklinė fizinė konstanta, jei matuojate temperatūrą energijos vienetais, o tai labai dažnai daroma fizikoje. Iš tikrųjų tai yra ryšys tarp tiksliai apibrėžto kiekio – energijos ir laipsnio, kurio reikšmė susiklostė istoriškai.
Entropijos apibrėžimas
Termodinaminės sistemos entropija apibrėžiama kaip skirtingų mikrobūsenų Z, atitinkančių tam tikrą makroskopinę būseną (pavyzdžiui, būsenų su tam tikra bendra energija), skaičiaus natūralusis logaritmas.

Proporcingumo koeficientas k ir yra Boltzmanno konstanta. Ši išraiška, apibrėžianti santykį tarp mikroskopinių (Z) ir makroskopinių (S) charakteristikų, išreiškia pagrindinę (pagrindinę) statistinės mechanikos idėją.