Geometrinė progresija su pavyzdžiais. Visada būkite nusiteikę

Geometrinė progresija kartu su aritmetine progresija yra svarbi skaičių eilutė, kuri tiriama mokyklos algebros kurse 9 klasėje. Šiame straipsnyje apžvelgsime geometrinės progresijos vardiklį ir kaip jo vertė veikia jo savybes.

Geometrinės progresijos apibrėžimas

Pirmiausia pateikime šios skaičių serijos apibrėžimą. Geometrinė progresija yra racionalių skaičių serija, kuri susidaro nuosekliai padauginus jos pirmąjį elementą iš pastovaus skaičiaus, vadinamo vardikliu.

Pavyzdžiui, skaičiai eilėje 3, 6, 12, 24, ... yra geometrinė progresija, nes 3 (pirmasis elementas) padauginus iš 2, gausite 6. Jei 6 padauginsite iš 2, gausite 12 ir pan.

Nagrinėjamos sekos nariai dažniausiai žymimi simboliu ai, kur i yra sveikasis skaičius, nurodantis elemento skaičių serijoje.

Aukščiau pateiktą progresijos apibrėžimą matematine kalba galima parašyti taip: an = bn-1 * a1, kur b yra vardiklis. Patikrinti šią formulę paprasta: jei n = 1, tai b1-1 = 1, ir gauname a1 = a1. Jei n = 2, tai an = b * a1, ir vėl pasiekiame nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimą. Panašius samprotavimus galima tęsti didelės vertės n.

Geometrinės progresijos vardiklis

Skaičius b visiškai nustato, kokį simbolį turės visa skaičių serija. Vardiklis b gali būti teigiamas, neigiamas arba didesnis arba mažesnis už vieną. Visos aukščiau pateiktos parinktys lemia skirtingas sekas:

• b > 1. Didėja racionaliųjų skaičių serija. Pavyzdžiui, 1, 2, 4, 8, ... Jei elementas a1 yra neigiamas, tai visa seka didės tik absoliučia reikšme, bet mažės priklausomai nuo skaičių ženklo.
• b = 1. Dažnai šis atvejis nevadinamas progresija, nes yra eilė identiškų racionaliųjų skaičių. Pavyzdžiui, -4, -4, -4.

Sumos formulė

Prieš pereinant prie konkrečių problemų svarstymo naudojant nagrinėjamos progresijos tipo vardiklį, reikėtų pateikti svarbią pirmųjų n elementų sumos formulę. Formulė atrodo taip: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Šią išraišką galite gauti patys, jei atsižvelgsite į rekursyvią progresijos terminų seką. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktoje formulėje pakanka žinoti tik pirmąjį elementą ir vardiklį, kad būtų galima rasti savavališko skaičiaus terminų sumą.

Be galo mažėjanti seka

Aukščiau buvo paaiškinta, kas tai yra. Dabar, žinodami Sn formulę, pritaikykime ją šiai skaičių serijai. Kadangi bet kuris skaičius, kurio modulis neviršija 1, linkęs į nulį, kai jis padidinamas iki didelių laipsnių, tai yra, b∞ => 0, jei -1

Kadangi skirtumas (1 - b) visada bus teigiamas, nepriklausomai nuo vardiklio reikšmės, be galo mažėjančios geometrinės progresijos S∞ sumos ženklą vienareikšmiškai lemia jo pirmojo elemento a1 ženklas.

Dabar pažvelkime į keletą problemų, kuriose parodysime, kaip įgytas žinias pritaikyti konkretiems skaičiams.

Užduotis Nr. 1. Nežinomų progresijos elementų ir sumos skaičiavimas

Duota geometrinė progresija, progresijos vardiklis yra 2, o pirmasis jos elementas yra 3. Kam bus lygūs 7-asis ir 10-asis jos nariai ir kokia yra jos septynių pradinių elementų suma?

Problemos sąlyga yra gana paprasta ir apima tiesioginį aukščiau pateiktų formulių naudojimą. Taigi, norėdami apskaičiuoti elemento skaičių n, naudojame išraišką an = bn-1 * a1. 7-ajam elementui turime: a7 = b6 * a1, pakeitę žinomus duomenis, gauname: a7 = 26 * 3 = 192. Tą patį darome su 10-uoju nariu: a10 = 29 * 3 = 1536.

Naudokime gerai žinomą sumos formulę ir nustatykime šią reikšmę pirmiesiems 7 serijos elementams. Turime: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

2 uždavinys. Progresijos savavališkų elementų sumos nustatymas

Tegu -2 lygus geometrinės progresijos bn-1 * 4 vardikliui, kur n yra sveikas skaičius. Būtina nustatyti sumą nuo 5 iki 10 šios serijos elemento imtinai.

Iškeltos problemos negalima tiesiogiai išspręsti naudojant žinomas formules. Tai galima išspręsti naudojant 2 skirtingus metodus. Kad temos pristatymas būtų išsamus, pateikiame abu.

1 būdas. Idėja paprasta: reikia apskaičiuoti dvi atitinkamas pirmųjų narių sumas, o tada iš vienos atimti kitą. Apskaičiuojame mažesnę sumą: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Dabar paskaičiuokime didelis kiekis: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje išraiškoje buvo susumuoti tik 4 terminai, nes 5-asis jau yra įtrauktas į sumą, kurią reikia apskaičiuoti pagal problemos sąlygas. Galiausiai imame skirtumą: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2 būdas. Prieš pakeisdami skaičius ir skaičiuodami, galite gauti sumos tarp atitinkamų eilučių m ir n narių formulę. Mes darome lygiai taip pat, kaip ir 1 metodu, tik pirmiausia dirbame su simboliniu sumos pavaizdavimu. Turime: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Galite pakeisti žinomus skaičius į gautą išraišką ir apskaičiuoti galutinį rezultatą: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Užduotis Nr. 3. Kas yra vardiklis?

Tegu a1 = 2, raskite geometrinės progresijos vardiklį, jei begalinė jo suma lygi 3 ir žinoma, kad tai mažėjanti skaičių seka.

Remiantis problemos sąlygomis, nesunku atspėti, kokia formule ją reikia spręsti. Žinoma, progresijos sumai be galo mažėja. Turime: S∞ = a1 / (1 - b). Iš kur išreiškiame vardiklį: b = 1 - a1 / S∞. Belieka pakeisti žinomas reikšmes ir gauti reikiamą skaičių: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 arba -0,333 (3). Šį rezultatą galime kokybiškai patikrinti, jei atsiminsime, kad tokio tipo sekos modulis b neturėtų viršyti 1. Kaip matyti, |-1 / 3|

Užduotis Nr. 4. Skaičių sekos atkūrimas

Tegu pateikiami 2 skaičių eilutės elementai, pavyzdžiui, 5-asis lygus 30, o 10-asis – 60. Iš šių duomenų reikia atkurti visą eilutę žinant, kad ji tenkina geometrinės progresijos savybes.

Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite užrašyti atitinkamą kiekvieno žinomo termino išraišką. Turime: a5 = b4 * a1 ir a10 = b9 * a1. Dabar padalykite antrąją išraišką iš pirmosios, gausime: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Iš čia mes nustatome vardiklį, paimdami penktąją iš uždavinio teiginio žinomų terminų santykio šaknį, b = 1,148698. Gautą skaičių pakeičiame viena iš žinomo elemento išraiškų, gauname: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Taigi, mes radome progresijos bn vardiklį, o geometrinę progresiją bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.

Kur naudojamos geometrinės progresijos?

Jei šios skaičių eilutės nebūtų praktiškai pritaikytos, jos tyrimas būtų sumažintas iki grynai teorinio susidomėjimo. Tačiau tokia programa egzistuoja.

Žemiau pateikiami 3 garsiausi pavyzdžiai:

• Zenono paradoksas, kai vikrusis Achilas negali pasivyti lėto vėžlio, sprendžiamas naudojant be galo mažėjančios skaičių sekos koncepciją.
• Jei ant kiekvieno šachmatų lentos langelio išdėsite kviečių grūdus taip, kad į 1-ą langelį įdėsite 1 grūdą, ant 2-ojo - 2, ant 3-ojo - 3 ir t. t., tada, kad užpildytumėte visus lentos langelius 18446744073709551615 grūdų!
• Žaidime „Tower of Hanoi“, norint perkelti diskus iš vieno strypo į kitą, reikia atlikti 2n – 1 operacijas, tai yra jų skaičius eksponentiškai auga su naudojamų diskų skaičiumi n.

Geometrinė progresija ne mažiau svarbi matematika, palyginti su aritmetika. Geometrinė progresija – tai skaičių seka b1, b2,..., b[n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas ankstesnįjį padauginus iš pastovaus skaičiaus. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina augimo ar progresavimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti

Dėl užbaigti užduotį geometrinės progresijos, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Teigiamai vardiklio reikšmei progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja ir jei monotoniškai didėja. Atvejis, kai vardiklis lygus vienetui, praktiškai nenagrinėjamas, nes turime identiškų skaičių seką, o jų sumavimas praktiškai neįdomus

Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę

Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę

Pažvelkime į klasikinės geometrinės progresijos uždavinių sprendimus. Pradėkime nuo paprasčiausių, kuriuos reikia suprasti.

1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.

Sprendimas: Parašykime problemos sąlygą formoje

Skaičiavimams naudojame geometrinės progresijos n-ojo nario formulę

Remdamiesi juo, randame nežinomus progresavimo terminus

Kaip matote, apskaičiuoti geometrinės progresijos sąlygas nėra sunku. Pati progresija atrodys taip

2 pavyzdys. Pateikti pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir jo septintą narį.

Sprendimas: Geomitrinės progresijos vardiklį apskaičiuojame pagal jo apibrėžimą

Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę

Tai išsprendžia problemą.

3 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama dviem jos nariais . Raskite dešimtąjį progresijos narį.

Sprendimas:

Parašykime pateiktas reikšmes naudodami formules

Pagal taisykles turėtume rasti vardiklį ir tada ieškoti norimos reikšmės, tačiau dešimtam kadencijai turime

Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos terminą padalinkite iš kito ir gausime

Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą

Taigi tokioms užduotims naudojant paprastas transformacijas į greitas būdas galite rasti tinkamą sprendimą.

4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis

Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.

Sprendimas:

Pateiktus duomenis užrašykime lygčių sistemos forma

Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios

Raskime pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties

Apskaičiuokime šiuos penkis terminus, kad surastume geometrinės progresijos sumą

Jei kiekvienam natūraliajam skaičiui n atitinka tikrąjį skaičių a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi skaičių seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos terminas , numeris a 2 — antrasis sekos terminas , numeris a 3 — trečias ir taip toliau. Skaičius a n paskambino n-asis terminas sekos , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų gretimų narių a n Ir a n +1 sekos narys a n +1 paskambino vėliau (link a n ), A a n — ankstesnis (link a n +1 ).

Norėdami apibrėžti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka nurodoma naudojant n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiamų nelyginių skaičių seka gali būti pateikta formule

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 Ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis Ir begalinis .

Seka vadinama galutinis , jei jis turi ribotą narių skaičių. Seka vadinama begalinis , jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviženklių natūraliųjų skaičių seka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama mažėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - mažėjimo seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai skaičiui didėjant nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, prie kurio pridedamas tas pats skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

Kur d - tam tikras skaičius.

Taigi skirtumas tarp vėlesnių ir ankstesnių duotųjų sąlygų aritmetinė progresija visada pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint apibrėžti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

raskite trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros aritmetinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

◄

Prisimink tai n Trečiasis aritmetinės progresijos narys gali būti rastas ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

Dėl a 5 galima užsirašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei vienodai išdėstytų šios aritmetinės progresijos narių sumos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai galioja ši lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos ir terminų skaičiaus sandaugai:

Iš čia visų pirma išplaukia, kad jei reikia susumuoti terminus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei pateikiama aritmetinė progresija, tada dydžiai a 1 , a n, d, n IrS n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:

• Jeigu d > 0 , tada jis didėja;
• Jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
• Jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

Geometrinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

Kur q ≠ 0 - tam tikras skaičius.

Taigi tam tikros geometrinės progresijos tolesnio nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint apibrėžti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

Jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n Terminą galima rasti naudojant formulę:

b n = b 1 · qn -1 .

Pavyzdžiui,

raskite septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių elementų geometriniam vidurkiui (proporciniam).

Kadangi ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

Įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo norimą teiginį. ◄

Prisimink tai n Geometrinės progresijos d-ąjį narį galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis narys b k , kuriam pakanka naudoti formulę

b n = b k · qn - k.

Pavyzdžiui,

Dėl b 5 galima užsirašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrosios, yra lygus šios progresijos, esančios vienodais atstumais nuo jos, narių sandaugai.

Be to, bet kuriai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

geometrine progresija

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= nb 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

Pavyzdžiui,

geometrine progresija 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei pateikiama geometrinė progresija, tada dydžiai b 1 , b n, q, n Ir S n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

• progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir q> 1;

b 1 < 0 Ir 0 < q< 1;

• Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra kintamoji: jos terminai su nelyginiais skaičiais turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o terminai su lyginiais skaičiais turi priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami naudojant formulę:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis 1 , tai yra

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka progai

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, prie kurio be apribojimų artėja pirmųjų suma n progresijos nariai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule

Pavyzdžiui,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys

Aritmetika ir geometrinė progresija yra glaudžiai susiję vienas su kitu. Pažvelkime tik į du pavyzdžius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tai

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Pavyzdžiui,

1, 3, 5, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu 2 Ir

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu q , Tai

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .

Pavyzdžiui,

2, 12, 72, . . . - geometrinė progresija su vardikliu 6 Ir

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄

Panagrinėkime tam tikrą seriją.

7 28 112 448 1792...

Visiškai aišku, kad bet kurio jo elemento vertė yra lygiai keturis kartus didesnė nei ankstesnio. Tai reiškia, kad ši serija yra progresas.

Geometrinė progresija yra begalinė skaičių seka. Pagrindinis bruožas o tai reiškia, kad kitas skaičius gaunamas iš ankstesnio, padauginus iš kokio nors konkretaus skaičiaus. Tai išreiškiama tokia formule.

a z +1 =a z ·q, kur z yra pasirinkto elemento skaičius.

Atitinkamai, z ∈ N.

Laikotarpis, kai mokykloje mokomasi geometrinės progresijos – 9 klasė. Pavyzdžiai padės suprasti sąvoką:

0.25 0.125 0.0625...

Remiantis šia formule, progreso vardiklį galima rasti taip:

Nei q, nei b z negali būti lygūs nuliui. Be to, kiekvienas progresavimo elementas neturėtų būti lygus nuliui.

Atitinkamai, norėdami sužinoti kitą serijos skaičių, turite padauginti paskutinį skaičių iš q.

Norėdami nustatyti šią eigą, turite nurodyti pirmąjį jo elementą ir vardiklį. Po to galima rasti bet kurį iš vėlesnių terminų ir jų sumą.

Veislės

Priklausomai nuo q ir a 1, ši progresija skirstoma į keletą tipų:

• Jei ir a 1, ir q yra didesni už vieną, tai tokia seka yra geometrinė progresija, didėjanti su kiekvienu paskesniu elementu. To pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 =3, q=2 – abu parametrai yra didesni už vieną.

Tada skaičių seką galima parašyti taip:

3 6 12 24 48 ...

• Jei |q| yra mažesnis už vienetą, tai yra, daugyba iš jo yra lygi dalybai, tada progresija su panašiomis sąlygomis yra mažėjanti geometrinė progresija. To pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 = 6, q = 1/3 – a 1 yra didesnis už vieną, q yra mažesnis.

Tada skaičių seką galima parašyti taip:

6 2 2/3 ... - bet kuris elementas yra 3 kartus didesnis nei po jo einantis elementas.

• Kintamasis ženklas. Jei q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Pavyzdys: a 1 = -3, q = -2 – abu parametrai yra mažesni už nulį.

Tada skaičių seką galima parašyti taip:

3, 6, -12, 24,...

Formulės

Yra daug formulių, kaip patogiai naudoti geometrines progresijas:

• Z termino formulė. Leidžia apskaičiuoti elementą pagal tam tikrą skaičių neskaičiuojant ankstesnių skaičių.

Pavyzdys:q = 3, a 1 = 4. Reikia suskaičiuoti ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Pirmųjų elementų, kurių kiekis lygus, suma z. Leidžia apskaičiuoti visų sekos elementų sumą ikia zimtinai.

Nuo (1-q) yra vardiklyje, tada (1 - q)≠ 0, todėl q nėra lygus 1.

Pastaba: jei q = 1, progresija būtų be galo pasikartojančių skaičių serija.

Geometrinės progresijos suma, pavyzdžiai:a 1 = 2, q= -2. Apskaičiuokite S5.

Sprendimas:S 5 = 22 - skaičiavimas naudojant formulę.

• Suma, jei |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Pavyzdys:a 1 = 2 , q= 0,5. Raskite sumą.

Sprendimas:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Kai kurios savybės:

• Būdinga savybė. Jei tokia sąlyga tinka bet kokiamz, tada duotoji skaičių serija yra geometrinė progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Be to, bet kurio geometrinės progresijos skaičiaus kvadratas randamas pridedant bet kurių kitų tam tikros serijos skaičių kvadratus, jei jie yra vienodu atstumu nuo šio elemento.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kurt- atstumas tarp šių skaičių.

• Elementaiskiriasi qkartą.
• Progresijos elementų logaritmai taip pat sudaro progresiją, bet aritmetinę, tai yra, kiekvienas iš jų yra tam tikru skaičiumi didesnis už ankstesnįjį.

Kai kurių klasikinių problemų pavyzdžiai

Norint geriau suprasti, kas yra geometrinė progresija, gali padėti 9 klasės sprendimų pavyzdžiai.

• Sąlygos:a 1 = 3, a 3 = 48. Rastiq.

Sprendimas: kiekvienas paskesnis elementas yra didesnis nei ankstesnisq kartą.Vienus elementus būtina išreikšti kitais, naudojant vardiklį.

Vadinasi,a 3 = q 2 · a 1

Keičiantq= 4

• Sąlygos:a 2 = 6, a 3 = 12. Apskaičiuokite S 6.

Sprendimas:Norėdami tai padaryti, tiesiog suraskite q, pirmąjį elementą, ir pakeiskite jį formulėje.

a 3 = q· a 2 , vadinasi,q= 2

a 2 = q · 1,Štai kodėl a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Raskite ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas: tam pakanka ketvirtąjį elementą išreikšti per pirmąjį ir per vardiklį.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Taikymo pavyzdys:

• Banko klientas įnešė 10 000 rublių indėlį, pagal kurį kiekvienais metais prie pagrindinės sumos bus pridėta 6 proc. Kiek pinigų bus sąskaitoje po 4 metų?

Sprendimas: pradinė suma yra 10 tūkstančių rublių. Tai reiškia, kad praėjus metams po investicijos sąskaitoje bus suma lygi 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Atitinkamai, suma sąskaitoje po kitų metų bus išreikšta taip:

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Tai yra, kiekvienais metais suma padidėja 1,06 karto. Tai reiškia, kad norint rasti lėšų sumą sąskaitoje po 4 metų, pakanka rasti ketvirtąjį progresijos elementą, kurį suteikia pirmasis elementas lygus 10 tūkst., o vardiklis lygus 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Sumos skaičiavimo problemų pavyzdžiai:

Geometrinė progresija naudojama įvairioms problemoms spręsti. Sumos nustatymo pavyzdys gali būti pateiktas taip:

a 1 = 4, q= 2, apskaičiuokiteS 5.

Sprendimas: visi skaičiavimui reikalingi duomenys yra žinomi, tereikia juos pakeisti formulėje.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Apskaičiuokite pirmųjų šešių elementų sumą.

Sprendimas:

Geom. progresija, kiekvienas kitas elementas yra q kartus didesnis nei ankstesnis, tai yra, norint apskaičiuoti sumą, kurią reikia žinoti elementąa 1 ir vardiklisq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Panašiai reikia rastia 1 , žinanta 2 Irq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrinė progresija yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys yra ne nulis, o kiekvienas paskesnis narys yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio.

Geometrinės progresijos samprata

Geometrinė progresija žymima b1,b2,b3, …, bn, ….

Bet kurio geometrinės klaidos nario santykis su ankstesniu jos nariu yra lygus tam pačiam skaičiui, ty b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Tai tiesiogiai išplaukia iš aritmetinės progresijos apibrėžimo. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Dažniausiai geometrinės progresijos vardiklis žymimas raide q.

Begalinės geometrinės progresijos |q| suma<1

Vienas iš būdų nurodyti geometrinę progresiją – nurodyti pirmąjį jos narį b1 ir geometrinės paklaidos q vardiklį. Pavyzdžiui, b1=4, q=-2. Šios dvi sąlygos apibrėžia geometrinę progresiją 4, -8, 16, -32, ….

Jei q>0 (q nelygu 1), tai progresija yra monotoniška seka. Pavyzdžiui, seka, 2, 4,8,16,32, ... yra monotoniškai didėjanti seka (b1=2, q=2).

Jei geometrinės paklaidos vardiklis yra q=1, tai visi geometrinės progresijos nariai bus lygūs vienas kitam. Tokiais atvejais sakoma, kad progresas yra pastovi seka.

Kad skaičių seka (bn) būtų geometrinė progresija, būtina, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo antrojo, būtų gretimų narių geometrinis vidurkis. Tai yra, būtina įvykdyti šią lygtį
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), esant bet kuriam n>0, kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei N.

Dabar įdėkime (Xn) – geometrinę progresiją. Geometrinės progresijos q vardiklis ir |q|∞).
Jei dabar S žymėsime begalinės geometrinės progresijos sumą, bus taikoma ši formulė:
S=x1/(1-q).

Pažvelkime į paprastą pavyzdį:

Raskite begalinės geometrinės progresijos 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sumą.

Norėdami rasti S, naudojame begalinės aritmetinės progresijos sumos formulę. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.