namai › Elektros įranga › Geometrinė progresija su pavyzdžiais. Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos ir Zenono paradokso suma

Geometrinė progresija su pavyzdžiais. Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos ir Zenono paradokso suma

Pamoka ir pristatymas tema: "Skaičių sekos. Geometrinė progresija"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Galios ir šaknys Funkcijos ir grafikai

Vaikinai, šiandien mes susipažinsime su kitu progresavimo tipu.
Šios dienos pamokos tema – geometrinė progresija.

Geometrinė progresija

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnio ir tam tikro fiksuoto skaičiaus sandaugai, vadinama geometrine progresija.
Apibrėžkime savo seką rekursyviai: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kur b ir q yra tam tikri duotieji skaičiai. Skaičius q vadinamas progresijos vardikliu.

Pavyzdys. 1,2,4,8,16... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus vienetui, o $q=2$.

Pavyzdys. 8,8,8,8... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus aštuoniems,
ir $q=1$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus trims,
ir $q=-1$.

Geometrinė progresija turi monotoniškumo savybių.
Jei $b_(1)>0$, $q>1$,
tada seka didėja.
Jei $b_(1)>0$, $0 Seka dažniausiai žymima tokia forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Kaip ir aritmetinėje progresijoje, jei į geometrinė progresija elementų skaičius yra baigtinis, tada progresija vadinama baigtine geometrine progresija.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Atkreipkite dėmesį, kad jei seka yra geometrinė progresija, tai terminų kvadratų seka taip pat yra geometrinė progresija. Antroje sekoje pirmasis narys yra lygus $b_(1)^2$, o vardiklis lygus $q^2$.

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė

Geometrinė progresija taip pat gali būti nurodyta analitine forma. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Lengvai pastebime šabloną: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Mūsų formulė vadinama „geometrinės progresijos n-ojo nario formule“.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžių.

Pavyzdys. 1,2,4,8,16... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus vienetui,
ir $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Pavyzdys. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus šešiolikai ir $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Pavyzdys. 8,8,8,8... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus aštuoniems, o $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus trims, o $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Pavyzdys. Duota geometrinė progresija $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=3$. Raskite $b_(5)$.
b) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Rasti n.
c) Yra žinoma, kad $q=-2, b_(6)=96$. Raskite $b_(1)$.
d) Yra žinoma, kad $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Rasti q.

Sprendimas.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, nes $2^7=128 => n-1=7; n = 8 USD.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Pavyzdys. Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 192, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma yra 192. Raskite dešimtąjį šios progresijos narį.

Sprendimas.
Žinome, kad: $b_(7)-b_(5)=192$ ir $b_(5)+b_(6)=192$.
Taip pat žinome: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Tada:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Gavome lygčių sistemą:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Sulyginę lygtis, gauname:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Gavome du sprendinius q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Iš eilės pakeiskite antrąją lygtį:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sprendimų nėra.
Gavome: $b_(1)=4, q=2$.
Raskime dešimtąjį terminą: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Baigtinės geometrinės progresijos suma

Turėkime baigtinę geometrinę progresiją. Kaip ir aritmetinei progresijai, apskaičiuokime jos narių sumą.

Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Įveskime jos narių sumos pavadinimą: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Tuo atveju, kai $q=1$. Visi geometrinės progresijos nariai lygūs pirmajam nariui, tada akivaizdu, kad $S_(n)=n*b_(1)$.
Dabar panagrinėkime atvejį $q≠1$.
Aukščiau nurodytą sumą padauginkime iš q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Pastaba:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Gavome baigtinės geometrinės progresijos sumos formulę.

Pavyzdys.
Raskite geometrinės progresijos, kurios pirmasis narys yra 4, o vardiklis yra 3, pirmųjų septynių narių sumą.

Sprendimas.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Pavyzdys.
Raskite penktąjį žinomos geometrinės progresijos narį: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Sprendimas.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072 $.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 USD(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 USD(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 USD = 1364 USD.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Būdinga geometrinės progresijos savybė

Vaikinai, pateikta geometrinė progresija. Pažvelkime į tris iš eilės einančius narius: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Mes tai žinome:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Tada:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jei progresija yra baigtinė, tai ši lygybė galioja visoms sąlygoms, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį.
Jei iš anksto nežinoma, kokios formos seka, bet žinoma, kad: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Tada galime drąsiai teigti, kad tai geometrinė progresija.

Skaičių seka yra geometrinė progresija tik tada, kai kiekvieno nario kvadratas yra lygus dviejų gretimų progresijos narių sandaugai. Nepamirškite, kad baigtinei progresijai ši sąlyga netenkinama pirmajai ir paskutinei kadencijoms.

Pažiūrėkime į šią tapatybę: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ vadinamas geometriniu skaičių a ir b vidurkiu.

Bet kurio geometrinės progresijos nario modulis yra lygus dviejų gretimų jo narių geometriniam vidurkiui.

Pavyzdys.
Raskite x tokį, kad $x+2; 2x+2; 3x+3$ buvo trys iš eilės geometrinės progresijos nariai.

Sprendimas.
Naudokime būdingą savybę:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ir $x_(2)=-1$.
Paeiliui pakeisime savo sprendimus pradine išraiška:
Kai $x=2$, gavome seką: 4;6;9 – geometrinė progresija su $q=1.5$.
Jei $x=-1$, gauname seką: 1;0;0.
Atsakymas: $x=2.$

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

1. Raskite aštuntą pirmąjį geometrinės progresijos narį 16;-8;4;-2….
2. Raskite geometrinės progresijos 11,22,44… dešimtąjį narį.
3. Yra žinoma, kad $b_(1)=5, q=3$. Raskite $b_(7)$.
4. Yra žinoma, kad $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Rasti n.
5. Raskite geometrinės progresijos 3;12;48… pirmųjų 11 narių sumą.
6. Raskite x tokį, kad $3x+4; 2x+4; x+5$ yra trys iš eilės geometrinės progresijos nariai.

Pamokos tikslas: supažindinti mokinius su naujo tipo sekos – be galo mažėjančia geometrine progresija.
Užduotys:
suformuluoti pradinę ribos idėją skaičių seka;
supažindinimas su kitu būdu begalines periodines trupmenas paversti paprastosiomis naudojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę;
mokinių asmenybės intelektinių savybių, tokių kaip loginis mąstymas, gebėjimas atlikti vertinamuosius veiksmus ir apibendrinimas, ugdymas;
aktyvumo, savitarpio pagalbos, kolektyvizmo ir domėjimosi šia tema skatinimas.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Pamoka šia tema „Be galo mažėjanti geometrinė progresija“ (algebra, 10 klasė)

Pamokos tikslas: supažindinantis mokinius su naujo tipo sekos – be galo mažėjančia geometrine progresija.

Užduotys:

suformuluoti pradinę skaitinės sekos ribos idėją; supažindinimas su kitu būdu begalines periodines trupmenas paversti paprastosiomis naudojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę;

mokinių asmenybės intelektinių savybių, tokių kaip loginis mąstymas, gebėjimas atlikti vertinamuosius veiksmus ir apibendrinimas, ugdymas;

aktyvumo, savitarpio pagalbos, kolektyvizmo ir domėjimosi šia tema skatinimas.

Įranga: kompiuterių klasė, projektorius, ekranas.

Pamokos tipas: pamoka – naujos temos mokymasis.

Per užsiėmimus

I. Org. momentas. Nurodykite pamokos temą ir tikslą.

II. Mokinių žinių atnaujinimas.

9 klasėje mokėtės aritmetinės ir geometrinės progresijos.

Klausimai

1. Aritmetinės progresijos apibrėžimas.

(Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys

Pradedant nuo antrojo, jis yra lygus ankstesniam terminui, pridėtam prie to paties skaičiaus).

2. Formulė n aritmetinės progresijos narys

3. Pirmojo sumos formulė n aritmetinės progresijos terminai.

( arba )

4. Geometrinės progresijos apibrėžimas.

(Geometrinė progresija yra skaičių, kurie skiriasi nuo nulio, seka

Kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš

Tas pats numeris).

5. Formulė n geometrinės progresijos narys

6. Pirmojo sumos formulė n geometrinės progresijos nariai.

7. Kokias dar formules žinote?

(, kur ; ;

; , )

Užduotys

1. Aritmetinė progresija pateikiama formule a n = 7 – 4n . Raskite 10. (-33)

2. Aritmetine progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 4. (4)

3. Aritmetine progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite 17. (-35)

4. Aritmetine progresija a 3 = 7 ir a 5 = 1 . Raskite S 17. (-187)

5. Geometrinei progresijairasti penktą terminą.

6. Geometrinei progresijai rasti n-ąjį terminą.

7. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite b 4 . (4)

8. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite b 1 ir q.

9. Eksponentiškai b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite S5. (62)

III. Naujos temos mokymasis(pristatymo demonstravimas).

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Nubrėžkime kitą kvadratą, kurio kraštinė yra pusė pirmojo kvadrato dydžio, tada kitą, kurio kraštinė yra pusė antrosios, tada kitą ir tt. Kiekvieną kartą naujo kvadrato kraštinė lygi pusei ankstesnio.

Dėl to gavome kvadratų kraštinių sekąformuojant geometrinę progresiją su vardikliu.

Ir, kas labai svarbu, kuo daugiau statysime tokių aikščių, tuo mažesnė bus aikštės pusė. Pavyzdžiui ,

Tie. Didėjant skaičiui n, progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Naudodamiesi šiuo paveikslu, galite apsvarstyti kitą seką.

Pavyzdžiui, kvadratų sričių seka:

Ir vėl, jei n didėja neribotą laiką, tada plotas artėja prie nulio, kiek tik norite.

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Lygiakraštis trikampis, kurio kraštinės lygios 1 cm. Sukonstruokime tokį trikampį, kurio viršūnės yra 1-ojo trikampio kraštinių vidurio taškuose, pagal teoremą apie trikampio vidurio liniją - 2-ojo kraštinė lygi pusei pirmojo, 3-iojo kraštinės. yra lygus pusei 2-osios pusės ir t.t. Vėl gauname trikampių kraštinių ilgių seką.

Prie .

Jei nagrinėsime geometrinę progresiją su neigiamu vardikliu.

Tada vėl didėjant skaičiui n progresijos sąlygos artėja prie nulio.

Atkreipkime dėmesį į šių sekų vardiklius. Visur vardikliai buvo mažesni už 1 absoliučia verte.

Galime daryti išvadą: geometrinė progresija be galo mažės, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už 1.

Frontalinis darbas.

Apibrėžimas:

Sakoma, kad geometrinė progresija be galo mažėja, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už vieną..

Naudodami apibrėžimą galite nuspręsti, ar geometrinė progresija be galo mažėja, ar ne.

Užduotis

Ar seka yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, jei ji pateikiama pagal formulę:

Sprendimas:

Raskime q.

; ; ; .

ši geometrinė progresija be galo mažėja.

b) ši seka nėra be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Padalinkite jį per pusę, vieną iš pusių per pusę ir pan. Visų gautų stačiakampių plotai sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją:

Visų tokiu būdu gautų stačiakampių plotų suma bus lygi 1 kvadrato plotui ir lygi 1.

Tačiau kairėje šios lygybės pusėje yra begalinio skaičiaus terminų suma.

Panagrinėkime pirmųjų n narių sumą.

Pagal geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę lygi.

Jei n tada didėja neribotai

arba . Todėl t.y. .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumayra sekos riba S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Pavyzdžiui, dėl progresavimo,

mes turime

Nes

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumagalima rasti naudojant formulę.

III. Supratimas ir įtvirtinimas(užduočių atlikimas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Apibendrinant.

Su kokia seka šiandien susipažinote?

Apibrėžkite be galo mažėjančią geometrinę progresiją.

Kaip įrodyti, kad geometrinė progresija be galo mažėja?

Pateikite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę.

V. Namų darbai.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Mokėti nuosekliai mąstyti, spręsti įrodymais ir paneigti neteisingas išvadas turėtų kiekvienas: ir fizikas, ir poetas, ir traktorininkas, ir chemikas. E. Kolmanas Matematikoje reikėtų prisiminti ne formules, o mąstymo procesus. V.P. Ermakovas Lengviau rasti apskritimo kvadratą, nei pergudrauti matematiką. Augustas de Morganas Koks mokslas gali būti kilnesnis, žavingesnis, naudingesnis žmonijai nei matematika? Franklinas

Be galo mažėjanti geometrinė progresija 10 laipsnis

aš. Aritmetinė ir geometrinė progresija. Klausimai 1. Aritmetinės progresijos apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam prie to paties skaičiaus. 2. Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė. 3. Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė. 4. Geometrinės progresijos apibrėžimas. Geometrinė progresija – tai skaičių, kurie skiriasi nuo nulio, seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus 5. Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė. 6. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulė.

II. Aritmetinė progresija. Uždaviniai Aritmetinė progresija pateikiama formule a n = 7 – 4 n Raskite 10 . (-33) 2. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1. Raskite 4. (4) 3. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1. Raskite 17. (-35) 4. Aritmetinėje progresijoje a 3 = 7 ir a 5 = 1. Raskite S 17. (-187)

II. Geometrinė progresija. Užduotys 5. Geometrinei progresijai raskite penktą narį 6. Geometrinei progresijai raskite n-ąjį narį. 7. Geometrinėje progresijoje b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite b 4 . (4) 8. Geometrine progresija b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite b 1 ir q. 9. Geometrinėje progresijoje b 3 = 8 ir b 5 = 2. Raskite S5. (62)

apibrėžimas: Geometrinė progresija vadinama be galo mažėjančia, jei jos vardiklio modulis yra mažesnis už vieną.

Uždavinys Nr. 1 Ar seka yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, jei ji pateikiama pagal formulę: Sprendimas: a) ši geometrinė progresija yra be galo mažėjanti. b) ši seka nėra be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra sekos S 1, S 2, S 3, ..., S n, ... riba. Pavyzdžiui, progresijai, kurią turime, nes be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą galima rasti naudojant formulę

Užduočių atlikimas Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios pirmasis narys yra 3, antrasis 0,3, sumą. 2. Nr.13; Nr.14; vadovėlis, p. 138 3. Nr.15(1;3); Nr.16(1;3) Nr.18(1;3); 4. Nr.19; Nr. 20.

Su kokia seka šiandien susipažinote? Apibrėžkite be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Kaip įrodyti, kad geometrinė progresija be galo mažėja? Pateikite be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulę. Klausimai

Žymus lenkų matematikas Hugo Steinhausas juokaudamas tvirtina, kad egzistuoja dėsnis, kuris suformuluotas taip: matematikas tai padarys geriau. Būtent, jei bet kokį jiems nepažįstamą darbą patikėsite dviem žmonėms, iš kurių vienas yra matematikas, tada rezultatas visada bus toks: matematikas tai padarys geriau. Hugo Steinhaus 1887-01-14-1972-02-25

Instrukcijos

10, 30, 90, 270...

Turite rasti geometrinės progresijos vardiklį.
Sprendimas:

1 variantas. Paimkime savavališką progresijos narį (pavyzdžiui, 90) ir padalinkime jį iš ankstesnio (30): 90/30=3.

Jei žinoma kelių geometrinės progresijos narių suma arba visų mažėjančios geometrinės progresijos narių suma, tada progresijos vardikliui rasti naudokite atitinkamas formules:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kur Sn yra pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma ir
S = b1/(1-q), kur S yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma (visų progresijos narių, kurių vardiklis mažesnis už vieną, suma).
Pavyzdys.

Mažėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus vienetui, o visų jos narių suma lygi dviem.

Būtina nustatyti šios progresijos vardiklį.
Sprendimas:

Pakeiskite duomenis iš uždavinio į formulę. Tai paaiškės:
2=1/(1-q), iš kur – q=1/2.

Progresija yra skaičių seka. Geometrinėje progresijoje kiekvienas paskesnis narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš tam tikro skaičiaus q, vadinamo progresijos vardikliu.

Instrukcijos

Jei žinomi du gretimi geometriniai terminai b(n+1) ir b(n), norint gauti vardiklį, skaičių su didesniu reikia padalyti iš prieš jį esančio: q=b(n+1)/b (n). Tai išplaukia iš progresijos apibrėžimo ir jo vardiklio. Svarbi sąlyga – progresijos pirmasis narys ir vardiklis nėra lygūs nuliui, kitu atveju jis laikomas neapibrėžtu.

Taigi tarp progresijos narių nustatomi tokie ryšiai: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Naudojant formulę b(n)=b1 q^(n-1), galima apskaičiuoti bet kurį geometrinės progresijos narį, kuriame žinomas vardiklis q ir terminas b1. Be to, kiekviena progresija pagal modulį yra lygi gretimų narių vidurkiui: |b(n)|=√, kur progresija gavo savo .

Geometrinės progresijos analogas yra paprasčiausias eksponentinė funkcija y=a^x, kur x yra eksponentas, a yra tam tikras skaičius. Šiuo atveju progresijos vardiklis sutampa su pirmuoju nariu ir yra lygus skaičiui a. Funkcijos y reikšmę galima suprasti kaip n-asis terminas progresija, jei argumentas x laikomas natūraliuoju skaičiumi n (skaitiklis).

Egzistuoja geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumai: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ši formulė galioja q≠1. Jei q=1, tai pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal formulę S(n)=n b1. Beje, progresija bus vadinama didėjančia, kai q yra didesnis už vienetą ir b1 yra teigiamas. Jei progresijos vardiklis absoliučia verte neviršija vieneto, progresija bus vadinama mažėjančia.

Ypatinga byla geometrinė progresija – be galo mažėjanti geometrinė progresija (b.u.g.p.). Faktas yra tas, kad mažėjančios geometrinės progresijos sąlygos vėl ir vėl mažės, bet niekada nepasieks nulio. Nepaisant to, galima rasti visų tokios progresijos terminų sumą. Jis nustatomas pagal formulę S=b1/(1-q). Iš viso n narių yra begaliniai.

Norėdami įsivaizduoti, kaip galite pridėti begalinį skaičių skaičių, negaudami begalybės, iškepkite pyragą. Nupjaukite pusę jo. Tada nupjaukite 1/2 pusę ir pan. Dalys, kurias gausite, yra ne kas kita, kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios vardiklis yra 1/2, nariai. Jei sudėsite visus šiuos gabalus, gausite originalų pyragą.

Geometrijos problemos yra ypatinga veislė erdvinio mąstymo reikalaujantys pratimai. Jei negalite išspręsti geometrijos užduotis, pabandykite laikytis toliau pateiktų taisyklių.

Instrukcijos

Labai atidžiai perskaitykite užduoties sąlygas; jei ko nors neprisimenate ar nesuprantate, perskaitykite dar kartą.

Pabandykite nustatyti, kokio tipo geometrinės problemos tai yra, pavyzdžiui: skaičiavimo uždaviniai, kai reikia išsiaiškinti kokį nors kiekį, uždaviniai, susiję su , reikalaujantys loginės samprotavimo grandinės, problemos, susijusios su konstravimu naudojant kompasą ir liniuotę. Daugiau užduočių mišrus tipas. Kai išsiaiškinsite problemos tipą, pabandykite mąstyti logiškai.

Taikykite reikiamą teoremą duotai užduočiai, bet jei abejojate arba visai nėra pasirinkimų, pabandykite prisiminti teoriją, kurią studijavote atitinkama tema.

Taip pat užrašykite problemos sprendimą juodraščio formoje. Pabandykite kreiptis žinomi metodai patikrinti savo sprendimo teisingumą.

Atidžiai užpildykite problemos sprendimą savo sąsiuvinyje, neištrindami ir neperbraukdami, o svarbiausia – . Pirmųjų geometrinių uždavinių sprendimas gali užtrukti ir užtrukti. Tačiau kai tik įvaldysite šį procesą, pradėsite spustelėti tokias užduotis kaip riešutai ir tuo mėgautis!

Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), kad b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Kitaip tariant, kiekvienas progresijos narys gaunamas iš ankstesnio, padauginus jį iš kokio nors progresijos q vardiklio, kuris nėra nulis.

Instrukcijos

Progresavimo problemos dažniausiai sprendžiamos sudarant ir po to sekant sistemą, atsižvelgiant į pirmąjį progresijos narį b1 ir progresijos vardiklį q. Norint sukurti lygtis, naudinga atsiminti kai kurias formules.

Kaip išreikšti n-ąjį progresijos narį per pirmąjį progresijos narį ir progresijos vardiklį: b(n)=b1*q^(n-1).

Atskirai panagrinėkime atvejį |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Geometrinė progresija yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys yra ne nulis, o kiekvienas paskesnis narys yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties nulinio skaičiaus.

Geometrinės progresijos samprata

Geometrinė progresija žymima b1,b2,b3, …, bn, ….

Bet kurio geometrinės paklaidos nario santykis su ankstesniu jos nariu yra lygus tam pačiam skaičiui, ty b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Tai tiesiogiai išplaukia iš aritmetinės progresijos apibrėžimo. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Dažniausiai geometrinės progresijos vardiklis žymimas raide q.

Begalinės geometrinės progresijos |q| suma<1

Vienas iš būdų nurodyti geometrinę progresiją – nurodyti pirmąjį jos narį b1 ir geometrinės paklaidos q vardiklį. Pavyzdžiui, b1=4, q=-2. Šios dvi sąlygos apibrėžia geometrinę progresiją 4, -8, 16, -32, ….

Jei q>0 (q nelygu 1), tai progresija yra monotoniška seka. Pavyzdžiui, seka, 2, 4,8,16,32, ... yra monotoniškai didėjanti seka (b1=2, q=2).

Jei geometrinės paklaidos vardiklis yra q=1, tai visi geometrinės progresijos nariai bus lygūs vienas kitam. Tokiais atvejais sakoma, kad progresas yra pastovi seka.

Kad skaičių seka (bn) būtų geometrinė progresija, būtina, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo antrojo, būtų gretimų narių geometrinis vidurkis. Tai yra, būtina įvykdyti šią lygtį
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), esant bet kuriam n>0, kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei N.

Dabar įdėkime (Xn) – geometrinę progresiją. Geometrinės progresijos q vardiklis ir |q|∞).
Jei dabar S žymėsime begalinės geometrinės progresijos sumą, bus taikoma ši formulė:
S=x1/(1-q).

Pažvelkime į paprastą pavyzdį:

Raskite begalinės geometrinės progresijos 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sumą.

Norėdami rasti S, naudojame begalinės aritmetinės progresijos sumos formulę. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Jei kiekvienam natūraliajam skaičiui n atitinka tikrąjį skaičių a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi skaičių seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos terminas , numeris a 2 — antrasis sekos terminas , numeris a 3 — trečias ir taip toliau. Skaičius a n paskambino n-asis terminas sekos , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų gretimų narių a n Ir a n +1 sekos narys a n +1 paskambino vėliau (link a n ), A a n — ankstesnis (link a n +1 ).

Norėdami apibrėžti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka nurodoma naudojant n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiamų nelyginių skaičių seka gali būti pateikta formule

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 Ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis Ir begalinis .

Seka vadinama galutinis , jei jis turi ribotą narių skaičių. Seka vadinama begalinis , jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviženklių natūraliųjų skaičių seka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama mažėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - mažėjimo seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai skaičiui didėjant nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, prie kurio pridedamas tas pats skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

Kur d - tam tikras skaičius.

Taigi skirtumas tarp paskesnių ir ankstesnių tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint apibrėžti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

raskite trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros aritmetinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Prisimink tai n Trečiasis aritmetinės progresijos narys gali būti rastas ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

Dėl a 5 galima užsirašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

a n=	a n-k +a n+k
	2

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei vienodai išdėstytų šios aritmetinės progresijos narių sumos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai galioja ši lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos ir terminų skaičiaus sandaugai:

Iš čia visų pirma išplaukia, kad jei reikia susumuoti terminus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei duota aritmetinė progresija, tada kiekius a 1 , a n, d, n IrS n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:

Jeigu d > 0 , tada jis didėja;
Jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
Jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

Geometrinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

Kur q ≠ 0 - tam tikras skaičius.

Taigi tam tikros geometrinės progresijos tolesnio nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint apibrėžti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

Jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n Terminą galima rasti naudojant formulę:

b n = b 1 · qn -1 .

Pavyzdžiui,

raskite septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių elementų geometriniam vidurkiui (proporciniam).

Kadangi ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

Įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo norimą teiginį. ◄

Prisimink tai n Geometrinės progresijos d-ąjį narį galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis narys b k , kuriam pakanka naudoti formulę

b n = b k · qn - k.

Pavyzdžiui,

Dėl b 5 galima užsirašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrosios, yra lygus šios progresijos narių sandaugai vienodais atstumais nuo jos.

Be to, bet kuriai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

geometrine progresija

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= nb 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Pavyzdžiui,

geometrine progresija 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei pateikiama geometrinė progresija, tada dydžiai b 1 , b n, q, n Ir S n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir q> 1;

b 1 < 0 Ir 0 < q< 1;

Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra kintamoji: jos terminai su nelyginiais skaičiais turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o terminai su lyginiais skaičiais turi priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami naudojant formulę:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis 1 , tai yra

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka progai

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, prie kurio be apribojimų artėja pirmųjų suma n progresijos nariai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule