Aritmetinės progresijos skirtumo formulė. Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma
Aritmetinė progresija pavadinkite skaičių seką (progresijos narius)
Kuriame kiekvienas paskesnis terminas skiriasi nuo ankstesnio plieno terminu, kuris taip pat vadinamas žingsnio ar progreso skirtumas.
Taigi, nustatę progresijos žingsnį ir pirmąjį jo terminą, naudodami formulę galite rasti bet kurį jo elementą
Aritmetinės progresijos savybės
1) Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo skaičiaus, yra ankstesnio ir kito progresijos nario aritmetinis vidurkis
Priešingai irgi tiesa. Jei gretimų nelyginių (lyginių) progresijos narių aritmetinis vidurkis yra lygus nariui, kuris yra tarp jų, tai ši skaičių seka yra aritmetinė progresija. Šiuo teiginiu labai lengva patikrinti bet kokią seką.
Taip pat pagal aritmetinės progresijos savybę aukščiau pateiktą formulę galima apibendrinti taip
Tai lengva patikrinti, jei terminus rašome lygybės ženklo dešinėje
Jis dažnai naudojamas praktikoje, siekiant supaprastinti problemų skaičiavimus.
2) Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę
Gerai atsiminkite aritmetinės progresijos sumos formulę, ji yra būtina skaičiavimuose ir gana įprasta paprastose gyvenimo situacijose.
3) Jei jums reikia rasti ne visą sumą, o dalį sekos, pradedant nuo k-ojo nario, tada jums pravers ši sumos formulė
4) Praktiškai svarbu rasti aritmetinės progresijos, prasidedančios nuo k-ojo skaičiaus, n narių sumą. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę
Ant šito teorinė medžiaga baigiasi ir pereiname prie bendrų praktinių problemų sprendimo.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...
Sprendimas:
Pagal būklę turime
Apibrėžkite progresavimo žingsnį
Pagal gerai žinomą formulę randame keturiasdešimtąjį progresijos narį
2 pavyzdys. Aritmetinė progresija duoda trečiasis ir septintasis nariai. Raskite pirmąjį progresijos narį ir dešimties sumą.
Sprendimas:
Duotus progresijos elementus užrašome pagal formules
Pirmąją lygtį atimame iš antrosios lygties, todėl randame progresavimo žingsnį
Rasta reikšmė pakeičiama į bet kurią iš lygčių, kad būtų galima rasti pirmąjį aritmetinės progresijos narį
Apskaičiuokite pirmųjų dešimties progresijos narių sumą
Netaikant sudėtingų skaičiavimų, radome visas reikalingas reikšmes.
3 pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama iš vardiklio ir vieno iš jo narių. Raskite pirmąjį progresijos narį, jo 50 narių sumą, pradedant nuo 50, ir pirmųjų 100 sumą.
Sprendimas:
Parašykime šimtosios progresijos elemento formulę
ir susirask pirmąjį
Remdamiesi pirmuoju, randame 50-ąjį progresijos terminą
Progresijos dalies sumos radimas
ir pirmųjų 100 suma
Progresijos suma yra 250.
4 pavyzdys
Raskite aritmetinės progresijos narių skaičių, jei:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Sprendimas:
Rašome lygtis pagal pirmąjį narį ir progresijos žingsnį ir jas apibrėžiame
Gautas vertes pakeičiame į sumos formulę, kad nustatytų sumos narių skaičių
Supaprastinimų darymas
ir išspręskite kvadratinę lygtį
Iš dviejų rastų verčių problemos būklei tinka tik skaičius 8. Taigi pirmųjų aštuonių progresijos narių suma yra 111.
5 pavyzdys
išspręskite lygtį
1+3+5+...+x=307.
Sprendimas: ši lygtis yra aritmetinės progresijos suma. Išrašome pirmąjį jo terminą ir nustatome progresijos skirtumą
Aritmetinės progresijos suma.
Aritmetinės progresijos suma yra paprastas dalykas. Ir prasme, ir formule. Tačiau šia tema yra visokių užduočių. Nuo elementarių iki gana solidžių.
Pirmiausia panagrinėkime sumos reikšmę ir formulę. Ir tada mes nuspręsime. Savo malonumui.) Sumos prasmė tokia pat paprasta kaip sumažėjimas. Norėdami rasti aritmetinės progresijos sumą, tereikia atidžiai pridėti visus jos narius. Jei šių terminų nedaug, galite pridėti be jokių formulių. Bet jei yra daug, ar daug... papildymas erzina.) Tokiu atveju formulė gelbsti.
Sumos formulė paprasta:
Išsiaiškinkime, kokios raidės yra įtrauktos į formulę. Tai daug ką išaiškins.
S n yra aritmetinės progresijos suma. Papildymo rezultatas visi nariai, su Pirmas Autorius paskutinis. Svarbu. Pridėkite tiksliai Visi nariai iš eilės, be tarpų ir šuolių. Ir tiksliai, pradedant nuo Pirmas. Tokiose problemose kaip trečiojo ir aštuntojo terminų sumos arba penkių iki dvidešimties terminų sumos radimas, tiesioginis formulės taikymas bus nuviliantis.)
a 1 - Pirmas progresijos narys. Čia viskas aišku, viskas paprasta Pirmas eilutės numeris.
a n- paskutinis progresijos narys. paskutinis numeris eilė. Nelabai pažįstamas pavadinimas, bet, pritaikius prie sumos, labai tinka. Tada pamatysite patys.
n yra paskutinio nario numeris. Svarbu suprasti, kad formulėje šis skaičius sutampa su pridėtų narių skaičiumi.
Apibrėžkime sąvoką paskutinis narys a n. Užpildomas klausimas: koks narys bus paskutinis, jei duota begalinis aritmetine progresija?
Norėdami gauti patikimą atsakymą, turite suprasti elementarią aritmetinės progresijos reikšmę ir ... atidžiai perskaityti užduotį!)
Atliekant užduotį rasti aritmetinės progresijos sumą, paskutinis narys visada pasirodo (tiesiogiai arba netiesiogiai), kuris turėtų būti ribojamas. Kitu atveju – baigtinė, konkreti suma tiesiog neegzistuoja. Sprendimui nesvarbu, kokia progresija pateikiama: baigtinė ar begalinė. Nesvarbu, kaip jis pateikiamas: skaičių seka, ar n-ojo nario formule.
Svarbiausia suprasti, kad formulė veikia nuo pirmojo progresijos nario iki termino su skaičiumi n. Tiesą sakant, visas formulės pavadinimas atrodo taip: aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma.Šių pačių pirmųjų narių skaičius, t.y. n, lemia tik užduotis. Užduotyje visa ši vertinga informacija dažnai yra užšifruota, taip ... Bet nieko, toliau pateiktuose pavyzdžiuose atskleisime šias paslaptis.)
Aritmetinės progresijos sumos užduočių pavyzdžiai.
Pirmiausia, naudingos informacijos:
Pagrindinis sunkumas atliekant užduotis dėl aritmetinės progresijos sumos yra teisingas formulės elementų nustatymas.
Užduočių autoriai šiuos elementus užšifruoja beribe fantazija.) Svarbiausia čia nebijoti. Suvokus elementų esmę, pakanka tik juos iššifruoti. Išsamiai pažvelkime į kelis pavyzdžius. Pradėkime nuo užduoties, pagrįstos tikru GIA.
1. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a n = 2n-3.5. Raskite pirmųjų 10 terminų sumą.
Šaunuolis. Lengva.) Ką turime žinoti, norėdami nustatyti sumą pagal formulę? Pirmasis narys a 1, Paskutinis terminas a n, taip paskutinio termino numeris n.
Kur gauti paskutinio nario numerį n? Taip, toje pačioje vietoje, tokios būklės! Sako, surask sumą pirmieji 10 narių. Na, koks skaičius bus paskutinis, dešimtas narys?) Nepatikėsite, jo skaičius yra dešimtas!) Todėl vietoj a n pakeisime į formulę a 10, bet vietoj to n- dešimt. Vėlgi, paskutinio nario skaičius yra toks pat kaip narių skaičius.
Belieka nustatyti a 1 Ir a 10. Tai nesunkiai apskaičiuojama pagal n-ojo nario formulę, kuri pateikiama problemos teiginyje. Nežinote, kaip tai padaryti? Apsilankykite ankstesnėje pamokoje, be šios - nieko.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10\u003d 2 10–3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Išsiaiškinome visų aritmetinės progresijos sumos formulės elementų reikšmę. Belieka juos pakeisti ir suskaičiuoti:
Tai viskas. Atsakymas: 75.
Kita užduotis, pagrįsta GIA. Šiek tiek sudėtingiau:
2. Duota aritmetinė progresija (a n), kurios skirtumas lygus 3,7; a 1 \u003d 2.3. Raskite pirmųjų 15 terminų sumą.
Iš karto parašome sumos formulę:
Ši formulė leidžia mums rasti bet kurio nario vertę pagal jo skaičių. Ieškome paprasto pakaitalo:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Belieka aritmetinės progresijos suma pakeisti visus formulės elementus ir apskaičiuoti atsakymą:
Atsakymas: 423.
Beje, jei sumos formulėje vietoj a n tiesiog pakeiskite n-ojo nario formulę, gausime:
Pateikiame panašius, gauname naują aritmetinės progresijos narių sumos formulę:
 |
Kaip matote, nereikia n-asis narys a n. Kai kuriose užduotyse ši formulė labai padeda, taip... Šią formulę galite atsiminti. Ir jūs galite tiesiog atsiimti jį tinkamu laiku, kaip čia. Juk reikia visaip atsiminti sumos formulę ir n-ojo nario formulę.)
Dabar užduotis trumpo šifravimo forma):
3. Raskite visų teigiamų dviženklių skaičių, kurie yra trijų kartotiniai, sumą.
Kaip! Nei pirmo nario, nei paskutinio, nei progreso visai... Kaip gyventi!?
Turėsite mąstyti galva ir ištraukti iš sąlygos visus aritmetinės progresijos sumos elementus. Kas yra dviženkliai skaičiai – žinome. Jie susideda iš dviejų skaičių.) Koks dviženklis skaičius bus Pirmas? 10, tikriausiai.) paskutinis dalykas dviženklis skaičius? 99, žinoma! Triženkliai seks paskui jį...
Trijų kartotiniai... Hm... Tai skaičiai, kurie tolygiai dalijasi iš trijų, štai! Dešimt nesidalija iš trijų, 11 nesidalija... 12... dalijasi! Taigi, kažkas atsiranda. Jau galite parašyti seriją pagal problemos būklę:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ar ši serija bus aritmetinė progresija? tikrai! Kiekvienas terminas nuo ankstesnio skiriasi griežtai trimis. Jei prie termino pridedamas 2 arba 4, tarkime, rezultatas, t.y. naujas skaičius nebebus dalinamas iš 3. Galite iš karto nustatyti aritmetinės progresijos į krūvą skirtumą: d = 3. Naudinga!)
Taigi, galime saugiai užrašyti kai kuriuos progreso parametrus:
Koks bus skaičius n paskutinis narys? Kas galvoja, kad 99 – mirtinai klysta... Skaičiai – jie visada eina iš eilės, o mūsų nariai peršoka per trejetuką. Jie nesutampa.
Čia yra du sprendimai. Vienas iš būdų – itin darbštiems. Galite nupiešti progresiją, visą skaičių seką ir pirštu suskaičiuoti terminų skaičių.) Antrasis būdas – mąstantiems. Reikia atsiminti n-ojo termino formulę. Jei formulė taikoma mūsų uždaviniui, gauname, kad 99 yra trisdešimtasis progresijos narys. Tie. n = 30.
Mes žiūrime į aritmetinės progresijos sumos formulę:
Žiūrime ir džiaugiamės.) Iš problemos būklės ištraukėme viską, ko reikia sumai apskaičiuoti:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Lieka elementari aritmetika. Pakeiskite skaičius formulėje ir apskaičiuokite:
Atsakymas: 1665 m
Kitas populiarių galvosūkių tipas:
4. Pateikiama aritmetinė progresija:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Raskite terminų sumą nuo dvidešimties iki trisdešimt ketvirtos.
Mes žiūrime į sumos formulę ir ... esame nusiminę.) Priminsiu, formulė apskaičiuoja sumą nuo pirmos narys. Ir užduotyje reikia apskaičiuoti sumą nuo dvidešimties... Formulė neveiks.
Žinoma, galite piešti visą eigą iš eilės ir sudėti narius nuo 20 iki 34. Bet... kažkaip kvailai ir ilgam išeina, tiesa?)
Yra elegantiškesnis sprendimas. Suskaidykime seriją į dvi dalis. Pirmoji dalis bus nuo pirmos kadencijos iki devynioliktos. Antra dalis - nuo dvidešimt iki trisdešimt keturių. Aišku, kad jei paskaičiuotume pirmosios dalies sąlygų sumą S 1-19, pridėkime prie antrosios dalies narių sumos S 20-34, gauname progresijos sumą nuo pirmos iki trisdešimt ketvirtosios S 1-34. Kaip šitas:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Tai rodo, kad reikia rasti sumą S 20-34 galima atlikti paprastu atėmimu
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Nagrinėjamos abi sumos dešinėje pusėje nuo pirmos narys, t.y. standartinė sumos formulė jiems yra gana tinkama. Ar pradedame?
Progresavimo parametrus išskiriame iš užduoties sąlygos:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Norint apskaičiuoti pirmųjų 19 ir pirmųjų 34 terminų sumas, mums reikės 19 ir 34 terminų. Skaičiuojame juos pagal n-ojo nario formulę, kaip ir 2 uždavinyje:
a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nieko nebelieka. Iš 34 terminų sumos atimkite 19 terminų sumą:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Atsakymas: 262,5
Viena svarbi pastaba! Yra labai naudinga funkcija sprendžiant šią problemą. Vietoj tiesioginio skaičiavimo ko jums reikia (S 20-34), suskaičiavome ko, atrodytų, nereikia - S 1-19. Ir tada jie nusprendė S 20-34, iš viso rezultato išmesdami nereikalingus dalykus. Toks „apgaulė su ausimis“ dažnai gelbsti bloguose galvosūkiuose.)
Šioje pamokoje nagrinėjome uždavinius, kuriems pakanka suprasti aritmetinės progresijos sumos reikšmę. Na, jūs turite žinoti keletą formulių.)
Sprendžiant bet kokį uždavinį dėl aritmetinės progresijos sumos, rekomenduoju nedelsiant išrašyti dvi pagrindines formules iš šios temos.
N-ojo termino formulė:
Šios formulės iš karto pasakys, ko ieškoti, kuria kryptimi galvoti, norint išspręsti problemą. Padeda.
O dabar savarankiško sprendimo užduotys.
5. Raskite visų dviženklių skaičių, kurie nesidalija iš trijų, sumą.
Šaunu?) Užuomina paslėpta pastaboje apie 4 uždavinį. Na, 3 uždavinys padės.
6. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite pirmųjų 24 terminų sumą.
Neįprasta?) Tai pasikartojanti formulė. Apie tai galite perskaityti ankstesnėje pamokoje. Neignoruokite nuorodos, tokie galvosūkiai dažnai randami GIA.
7. Vasya sutaupė pinigų Šventei. Net 4550 rublių! Ir nusprendžiau mylimiausiam žmogui (sau) padovanoti kelias laimės dienas). Gyvenk gražiai, nieko sau neneigdamas. Pirmą dieną išleiskite 500 rublių, o kiekvieną kitą dieną išleiskite 50 rublių daugiau nei praėjusią! Kol baigsis pinigai. Kiek dienų Vasya turėjo laimės?
Ar sunku?) Padės papildoma formulė iš 2 užduoties.
Atsakymai (netvarkingai): 7, 3240, 6.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)
galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Studijuodami algebrą bendrojo lavinimo mokykla(9 klasė) vienas iš svarbiomis temomis yra skaitinių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, tyrimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.
Kas yra aritmetinė progresija?
Norint tai suprasti, būtina pateikti nagrinėjamos progresijos apibrėžimą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios bus toliau naudojamos sprendžiant problemas.
Aritmetinis arba yra tokia tvarkingų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikra pastovia reikšme. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.
Paimkime pavyzdį. Kita skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 – 12).
Svarbios formulės
Dabar pateikiame pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant uždavinius naudojant aritmetinę progresiją. Tegu a n žymi n-ąjį sekos narį, kur n yra sveikas skaičius. Pažymėkime skirtumą lotyniška raidė d. Tada teisingi šie posakiai:
- Norint nustatyti n-ojo nario reikšmę, tinka formulė: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n + a 1)*n/2.
Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su 9 klasės sprendimu pavyzdžius, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes visos nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat nepamirškite, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1 .
1 pavyzdys: Nežinomo nario radimas
Pateikiame paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti sprendžiant.
Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis narius.
Jau iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:
- Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galima paimti bet kokius du kitus terminus, stovinčius vienas šalia kito. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d \u003d a n - a n-1, tada d \u003d a 5 - a 4, iš kur gauname: a 5 \u003d a 4 + d. Pakeičiame žinomas reikšmes: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Antrasis metodas taip pat reikalauja žinoti apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kaip matote, abu sprendimai leidžia pasiekti tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiamas. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas einantis narys yra mažesnis už ankstesnįjį.
2 pavyzdys: progresijos skirtumas
Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį, pateikime pavyzdį, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą.
Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.
Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Į jį pakeičiame žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra, skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) / 6 = 2. Taigi buvo atsakyta į pirmąją uždavinio dalį.
Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, tai yra, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ir 7 = 18.
3 pavyzdys: progresas
Dar labiau apsunkinkime problemos būklę. Dabar reikia atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galime pateikti tokį pavyzdį: pateikti du skaičiai, pavyzdžiui, 4 ir 5. Būtina atlikti algebrinę progresiją, kad tarp jų tilptų dar trys nariai.
Prieš pradedant spręsti šią problemą, būtina suprasti, kokią vietą duoti skaičiai užims tolesnėje progresijoje. Kadangi tarp jų bus dar trys terminai, tada 1 \u003d -4 ir 5 \u003d 5. Tai nustatę, pereiname prie užduoties, panašios į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Nuo: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Čia skirtumas yra ne sveikasis skaičius, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.
Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progresijos narius. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 kuri sutapo su problemos sąlyga.
4 pavyzdys: pirmasis progreso narys
Toliau pateikiame aritmetinės progresijos su sprendimu pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar apsvarstykite kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, nuo kurio skaičiaus prasideda ši seka.
Iki šiol naudotos formulės daro prielaidą, kad žinomos 1 ir d. Apie šiuos skaičius problemos sąlygomis nieko nežinoma. Nepaisant to, užrašykite kiekvieno termino, apie kurį turime informacijos, išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.
Nurodytą sistemą lengviausia išspręsti, jei kiekvienoje lygtyje išreiškiate 1, o tada palyginsite gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (duodami tik 3 skaitmenys po kablelio).
Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Jei kyla abejonių dėl rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos narį. Gauname: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Nedidelė klaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.
5 pavyzdys: suma
Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.
Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?
Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, ši problema gali būti išspręsta, tai yra, nuosekliai susumuoti visus skaičius, ką kompiuteris padarys, kai tik žmogus paspaus klavišą Enter. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Pritaikę sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Įdomu pastebėti, kad ši problema vadinama „Gauso“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, dar būdamas vos 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad sudėjus skaičių poras, esančias sekos kraštuose, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.
6 pavyzdys: terminų suma nuo n iki m
Kitas tipiškas aritmetinės progresijos sumos pavyzdys yra toks: pateikiant skaičių seką: 3, 7, 11, 15, ..., reikia sužinoti, kokia bus jos narių nuo 8 iki 14 suma.
Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų yra nedaug, šis metodas nėra pakankamai sunkus. Nepaisant to, šią problemą siūloma spręsti antruoju metodu, kuris yra universalesnis.
Idėja yra gauti algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumos formulę, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Kadangi n > m, akivaizdu, kad į 2 sumą įeina pirmoji. Paskutinė išvada reiškia, kad jei paimsime skirtumą tarp šių sumų, o prie jo pridėsime terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), tada gauname reikiamą problemos atsakymą. Mes turime: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.
Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos n-ojo nario išraiškos ir pirmųjų narių aibės sumos formulės žinojimu. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką norite rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.
Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendimu Nr. 6 pavyzdyje galima sustoti ties formule S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir išsiskyrė bendra užduotisį atskiras papildomas užduotis (in Ši byla pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).
Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Kaip rasti aritmetinę progresiją, sužinojome. Kai tai išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.
IV Jakovlevas | Matematikos medžiagos | MathUs.ru
Aritmetinė progresija
Aritmetinė progresija yra ypatinga sekos rūšis. Todėl prieš apibrėžiant aritmetinę (o vėliau ir geometrinę) progresiją, turime trumpai aptarti svarbi koncepcija skaičių seka.
Pasekmė
Įsivaizduokite įrenginį, kurio ekrane vienas po kito rodomi kai kurie skaičiai. Tarkime, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Toks skaičių rinkinys yra tik sekos pavyzdys.
Apibrėžimas. Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kuriame kiekvienam skaičiui galima priskirti unikalų skaičių (tai yra, suderinti su vienu natūraliu skaičiumi)1. Iškviečiamas numeris su skaičiumi n n-asis narys sekos.
Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje pirmasis skaičius turi skaičių 2, kuris yra pirmasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a1 ; skaičius penki turi skaičių 6, kuris yra penktasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a5 . Apskritai n-tasis sekos narys žymimas an (arba bn , cn ir tt).
Labai patogi situacija, kai n-tą sekos narį galima nurodyti kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė an = 2n 3 nurodo seką: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formulė an = (1)n apibrėžia seką: 1; 1; 1; 1; : : :
Ne kiekvienas skaičių rinkinys yra seka. Taigi segmentas nėra seka; jame yra ¾per daug¿ skaičių, kad juos būtų galima pernumeruoti. Visų realiųjų skaičių aibė R taip pat nėra seka. Šie faktai įrodomi atliekant matematinę analizę.
Aritmetinė progresija: pagrindiniai apibrėžimai
Dabar esame pasirengę apibrėžti aritmetinę progresiją.
Apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant nuo antrojo) yra lygus ankstesnio nario ir tam tikro fiksuoto skaičiaus (vadinamo aritmetinės progresijos skirtumu) sumai.
Pavyzdžiui, seka 2; 5; 8; vienuolika; : : : yra aritmetinė progresija su 2 pirmuoju nariu ir skirtumu 3. 7 seka; 2; 3; 8; : : : yra aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys yra 7 ir skirtumas 5. 3 seka; 3; 3; : : : yra aritmetinė progresija su nuliu skirtumu.
Lygiavertis apibrėžimas: seka an vadinama aritmetine progresija, jei skirtumas an+1 an yra pastovi reikšmė (nepriklausoma nuo n).
Sakoma, kad aritmetinė progresija didėja, jei jos skirtumas yra teigiamas, ir mažėja, jei skirtumas yra neigiamas.
1 Ir čia yra glaustesnis apibrėžimas: seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių seka yra funkcija f: N! R.
Pagal numatytuosius nustatymus sekos laikomos begalinėmis, ty turinčios begalinį skaičių skaičių. Tačiau niekas nesivargina atsižvelgti ir į baigtines sekas; iš tikrųjų bet kurią baigtinę skaičių aibę galima pavadinti baigtine seka. Pavyzdžiui, galutinė seka 1; 2; 3; 4; 5 susideda iš penkių skaičių.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė
Nesunku suprasti, kad aritmetinę progresiją visiškai lemia du skaičiai: pirmasis narys ir skirtumas. Todėl kyla klausimas: kaip, žinant pirmąjį narį ir skirtumą, rasti savavališką aritmetinės progresijos narį?
Nesunku gauti norimą aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Tegul an
aritmetinė progresija su skirtumu d. Mes turime: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Visų pirma rašome: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
ir dabar tampa aišku, kad formulė yra: | |
an = a1 + (n 1)d: |
1 užduotis. 2 aritmetine progresija; 5; 8; vienuolika; : : : raskite n-ojo nario formulę ir apskaičiuokite šimtąjį narį.
Sprendimas. Pagal (1) formulę turime:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Savybė ir aritmetinės progresijos ženklas
aritmetinės progresijos savybė. Aritmetinėje progresijoje an už bet kurią
Kitaip tariant, kiekvienas aritmetinės progresijos narys (pradedant nuo antrosios) yra gretimų narių aritmetinis vidurkis.
Įrodymas. Mes turime: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
ko ir reikėjo.
Apskritai aritmetinė progresija an tenkina lygybę
a n = a n k+ a n+k
bet kuriam n > 2 ir bet kuriam natūraliam k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Pasirodo, kad (2) formulė yra ne tik būtina, bet ir pakankama sąlyga, kad seka būtų aritmetinė progresija.
Aritmetinės progresijos ženklas. Jei lygybė (2) galioja visiems n > 2, tai seka an yra aritmetinė progresija.
Įrodymas. Perrašykime formulę (2) taip:
a na n 1= a n+1a n:
Tai rodo, kad skirtumas an+1 an nepriklauso nuo n, o tai tiesiog reiškia, kad seka an yra aritmetinė progresija.
Aritmetinės progresijos savybė ir ženklas gali būti suformuluoti kaip vienas teiginys; patogumo dėlei tai padarysime su trimis skaičiais (ši situacija dažnai pasitaiko problemose).
Aritmetinės progresijos apibūdinimas. Trys skaičiai a, b, c sudaro aritmetinę progresiją tada ir tik tada, kai 2b = a + c.
2 uždavinys. (Maskvos valstybinis universitetas, Ekonomikos fakultetas, 2007) Trys skaičiai 8x, 3 x2 ir 4 nurodyta tvarka sudaro mažėjančią aritmetinę progresiją. Raskite x ir parašykite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas. Pagal aritmetinės progresijos savybę turime:
2 (3 x 2 ) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Jei x = 1, tai gaunama mažėjanti 8, 2, 4 progresija su 6 skirtumu. Jei x = 5, tai gaunama didėjanti 40, 22, 4 progresija; šis atvejis neveikia.
Atsakymas: x = 1, skirtumas yra 6.
Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma
Legenda pasakoja, kad kartą mokytoja liepė vaikams surasti skaičių sumą nuo 1 iki 100 ir atsisėdo ramiai skaityti laikraščio. Tačiau per kelias minutes vienas berniukas pasakė, kad problemą išsprendė. Tai buvo 9 metų Carlas Friedrichas Gaussas, vėliau vienas didžiausių matematikų istorijoje.
Mažojo Gauso idėja buvo tokia. Leisti
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Parašykime šią sumą atvirkštine tvarka:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ir pridėkite šias dvi formules:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Kiekvienas terminas skliausteliuose yra lygus 101, o iš viso tokių terminų yra 100. Todėl
2S = 101 100 = 10100;
Mes naudojame šią idėją sumos formulei išvesti
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Naudinga (3) formulės modifikacija gaunama pakeičiant n-ojo nario formulę an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d | |||||
Užduotis 3. Raskite visų teigiamų triženklių skaičių, dalijamų iš 13, sumą.
Sprendimas. Triženkliai skaičiai, kurie yra 13 kartotiniai, sudaro aritmetinę progresiją, kurios pirmasis narys yra 104, o skirtumas yra 13; N-asis šios progresijos narys yra:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Sužinokime, kiek narių yra mūsų progrese. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame nelygybę:
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Taigi mūsų progrese yra 69 nariai. Pagal formulę (4) randame reikiamą kiekį:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
