Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos išvestinės skaičiuotuvas. Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo taisyklės

Išvestinis skaičiavimas yra viena iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo operacijų. Žemiau yra lentelė, skirta paprastų funkcijų išvestinėms rasti. Sudėtingesnių diferenciacijos taisyklių ieškokite kitose pamokose:

• Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių lentelė

Naudokite pateiktas formules kaip atskaitos reikšmes. Jie padės išspręsti diferencialines lygtis ir uždavinius. Paveikslėlyje paprastų funkcijų išvestinių lentelėje yra pagrindinių išvestinės radimo atvejų „cheat sheet“ vartojimui suprantama forma, šalia kiekvieno atvejo paaiškinimai.

Paprastų funkcijų dariniai

1. Skaičiaus išvestinė lygi nuliui
с´ = 0
Pavyzdys:
5' = 0

Paaiškinimas:
Išvestinė rodo greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė pasikeitus argumentui. Kadangi skaičius jokiu būdu nesikeičia jokiomis sąlygomis, jo kitimo greitis visada lygus nuliui.

2. Kintamojo išvestinė lygus vienam
x' = 1

Paaiškinimas:
Kiekvieną kartą padidinus argumentą (x) vienu, funkcijos reikšmė (skaičiavimo rezultatas) padidėja tiek pat. Taigi funkcijos y = x reikšmės kitimo greitis yra tiksliai lygus argumento reikšmės kitimo greičiui.

3. Kintamojo ir koeficiento išvestinė yra lygi šiam veiksniui
сx´ = с
Pavyzdys:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paaiškinimas:
Šiuo atveju kiekvieną kartą funkcijos argumentas ( X) jo vertė (y) auga Su kartą. Taigi funkcijos reikšmės kitimo greitis argumento kitimo greičio atžvilgiu yra tiksliai lygus reikšmei Su.

Iš kur tai išplaukia
(cx + b)" = c
tai yra tiesinės funkcijos y=kx+b diferencialas lygus tiesės (k) nuolydžiui.

4. Modulinė kintamojo išvestinė yra lygus šio kintamojo ir jo modulio daliniui
|x|"= x / |x| su sąlyga, kad x ≠ 0
Paaiškinimas:
Kadangi kintamojo išvestinė (žr. 2 formulę) lygi vienetui, modulio išvestinė skiriasi tik tuo, kad kertant pradinį tašką funkcijos kitimo greičio reikšmė pasikeičia į priešingą (pabandykite nubraižyti grafiką funkcijos y = |x| ir pamatysite patys. Tai tiksliai reikšmė ir grąžinama išraiška x / |x| Kai x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - vienas. Tai yra, esant neigiamoms kintamojo x reikšmėms, kiekvieną kartą padidėjus argumento pokyčiui, funkcijos reikšmė sumažėja lygiai ta pačia reikšme, o esant teigiamoms reikšmėms, atvirkščiai, ji didėja, bet tiksliai ta pati vertė.

5. Kintamojo galios išvestinė yra lygus šios galios skaičiaus ir galios kintamojo sandaugai, sumažintam vienetu
(x c)"= cx c-1, su sąlyga, kad x c ir cx c-1 yra apibrėžti ir c ≠ 0
Pavyzdys:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Norėdami įsiminti formulę:
Paimkite kintamojo „žemyn“ rodiklį kaip daugiklį, o tada sumažinkite patį rodiklį vienu. Pavyzdžiui, x 2 – du buvo prieš x, o tada sumažinta galia (2-1 = 1) mums tiesiog suteikė 2x. Tas pats nutiko ir x 3 - sumažiname trigubą, sumažiname jį vienu, o vietoj kubo turime kvadratą, tai yra 3x 2. Šiek tiek „nemoksliška“, bet labai lengvai įsimenama.

6.Trupmenų darinys 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Pavyzdys:
Kadangi trupmena gali būti pavaizduota kaip neigiama galia
(1/x)" = (x -1)" , tada galite taikyti formulę iš išvestinių lentelės 5 taisyklės
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Trupmenų darinys su savavališko laipsnio kintamuoju vardiklyje
(1/x c)" = - c / x c+1
Pavyzdys:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. šaknies vedinys(kintamojo po kvadratine šaknimi išvestinė)
(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2
Pavyzdys:
(√x)" = (x 1/2)", kad galėtumėte taikyti formulę iš 5 taisyklės
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Kintamojo išvestinė pagal savavališko laipsnio šaknį
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Taikymas

Svetainės vedinio sprendimas, skirtas sujungti studentų ir moksleivių aptariamą medžiagą. Apskaičiuoti funkcijos išvestinę per kelias sekundes nėra sunku, jei naudojatės mūsų internetine problemų sprendimo paslauga. Kas trečias mokinys praktinėje pamokoje galės pateikti išsamią analizę nuodugniam tyrimui. Dažnai į mus kreipiasi atitinkamo skyriaus skyrius dėl matematikos populiarinimo šalies ugdymo įstaigose. Kaip šiuo atveju jau nekalbant apie išvestinės online sprendimą uždarai skaitinių sekų erdvei. Daugeliui turtingų asmenų leidžiama išreikšti savo sumišimą. Tačiau tuo tarpu matematikai nesėdi vietoje ir sunkiai dirba. Įvesties parametrų pasikeitimą pagal tiesines charakteristikas išvestinių skaičiuoklė priims daugiausia dėl kubelių mažėjančių pozicijų viršenybės. Rezultatas neišvengiamas kaip paviršius. Kaip pradiniai duomenys, internetinė išvestinė priemonė pašalina būtinybę imtis nereikalingų veiksmų. Išskyrus fiktyvius namų darbus. Be to, kad išvestinių dalykų sprendimas internetu yra būtinas ir svarbus matematikos mokymosi aspektas, mokiniai dažnai neprisimena praeities problemų. Mokinys, kaip tinginys, tai supranta. Bet studentai yra juokingi žmonės! Arba darykite tai pagal taisykles, arba funkcijos išvestinė pasvirusioje plokštumoje gali suteikti pagreitį materialiam taškui. Nukreipkime kur nors besileidžiančio erdvinio pluošto vektorių. Norimame atsakyme išvestinės radimas atrodo kaip abstrakti teorinė kryptis dėl matematinės sistemos nestabilumo. Pagalvokite apie skaičių santykį kaip nepanaudotų parinkčių seką. Ryšio kanalas buvo papildytas penktąja linija išilgai mažėjančio vektoriaus nuo uždaros kubo bifurkacijos taško. Kreivų erdvių plokštumoje išvestinės problemos sprendimas internete veda prie išvados, kuri praėjusiame amžiuje privertė susimąstyti didžiausius planetos protus. Vykstant įvykiams iš matematikos srities, į viešą diskusiją buvo iškelti penki iš esmės svarbūs veiksniai, prisidedantys prie kintamojo pasirinkimo pozicijos gerinimo. Taigi taškų įstatymas sako, kad internetinė išvestinė priemonė ne kiekvienu atveju detaliai skaičiuojama, išimtis gali būti tik lojaliai progresuojantis momentas. Prognozė atvedė mus į naują plėtros etapą. Mums reikia rezultato. Matematinio nuolydžio linijoje, einančioje po paviršiumi, režimo išvestinių skaičiuotuvas yra lenkimo rinkinio gaminių susikirtimo srityje. Belieka išanalizuoti funkcijos diferenciaciją jos nepriklausomame taške netoli epsilono kaimynystės. Tai kiekvienas gali pamatyti praktiškai. Dėl to kitame programavimo etape bus ką nuspręsti. Studentui kaip visada reikalingas internetinis išvestinis dalykas, nepaisant įsivaizduojamų studijų. Pasirodo, išvestinės funkcijos, padaugintos iš konstantos, internetinis sprendimas nekeičia bendrosios materialaus taško judėjimo krypties, o charakterizuoja greičio padidėjimą tiesia linija. Šia prasme bus naudinga taikyti mūsų išvestinę skaičiuoklę ir apskaičiuoti visas funkcijos reikšmes visame jos apibrėžimo rinkinyje. Tiesiog nereikia tirti gravitacinio lauko jėgos bangų. Jokiu būdu internetinis išvestinis sprendimas neparodys išeinančio spindulio posvyrio, tačiau tik retais atvejais, kai tai tikrai būtina, universiteto studentai gali tai įsivaizduoti. Mes tiriame direktorių. Mažiausio rotoriaus vertė yra nuspėjama. Rezultatui pritaikykite linijas, žvelgiančias į dešinę, išilgai kurios aprašytas rutulys, tačiau internetinė išvestinių skaičiuoklė yra ypatingo stiprumo ir netiesinės priklausomybės figūrų pagrindas. Matematikos projekto ataskaita paruošta. Asmeninės savybės mažiausių skaičių skirtumas ir funkcijos išvestinė pagal y ašį iškels tos pačios funkcijos įdubimą į aukštį. Yra kryptis – yra išvada. Teoriją lengviau pritaikyti praktiškai. Yra studentų pasiūlymas dėl studijų pradžios laiko. Reikia mokytojo atsakymo. Vėlgi, kaip ir ankstesnėje pozicijoje, matematinė sistema nėra reguliuojama pagal veiksmą, kuris padės rasti išvestinę.Kaip ir apatinė pusiau tiesinė versija, internetinė išvestinė detaliai nurodys sprendimo identifikavimą pagal išsigimusią sąlyginę teisę. Tiesiog pateikite formulių skaičiavimo idėją. Funkcijos tiesinis diferencijavimas atmeta sprendimo tiesą, paprasčiausiai išdėstydamas nereikšmingus teigiamus variantus. Lyginimo ženklų svarba bus laikoma nuolatine funkcijos pertrauka išilgai ašies. Tai, pasak studento, labai svarbi sąmoningiausia išvada, kurioje internetinė išvestinė yra kažkas kita, nei ištikimas matematinės analizės pavyzdys. Išlenkto apskritimo spindulys Euklido erdvėje, priešingai, išvestinių skaičiuotuvui suteikė natūralų lemiamų problemų pasikeitimą stabilumu. Surastas geriausias būdas. Buvo lengviau išlyginti užduotį. Tegul nepriklausomo skirtumo proporcijos pritaikymas veda prie išvestinių sprendimų internete. Sprendimas sukasi aplink x ašį, aprašydamas apskritimo figūrą. Išeitis yra, ir ji pagrįsta universiteto studentų teoriškai remiamais tyrimais, iš kurių visi mokosi, ir net tais laiko momentais yra funkcijos išvestinė. Radome pažangos kelią ir mokiniai tai patvirtino. Galime sau leisti rasti išvestinę neperžengdami nenatūralaus požiūrio į matematinės sistemos transformavimą. Kairysis proporcinis ženklas auga eksponentiškai kaip matematinis internetinės išvestinės skaičiuoklės vaizdas dėl nežinomų tiesinių veiksnių begalinėje y ašyje aplinkybės. Matematikai visame pasaulyje įrodė gamybos proceso išskirtinumą. Apskritimo viduje yra mažiausias kvadratas pagal teorijos aprašymą. Vėlgi, internetinė išvestinė priemonė paaiškins mūsų spėjimą, kas pirmiausia galėjo turėti įtakos teoriškai patobulintai nuomonei. Buvo kitokio pobūdžio nuomonių nei mūsų analizuotame pranešime. Atskiro dėmesio gali ir nenutikti mūsų fakultetų studentams, bet tik ne protingiems ir pažengusiems matematikams, kuriems funkcijos diferencijavimas yra tik pasiteisinimas. Mechaninė vedinio reikšmė labai paprasta. Kėlimo jėga apskaičiuojama kaip internetinė išvestinė į apačią pastovioms erdvėms laike. Akivaizdu, kad išvestinių skaičiuoklė yra griežtas procesas, apibūdinantis dirbtinės transformacijos, kaip amorfinio kūno, išsigimimo problemą. Pirmoji išvestinė kalba apie materialaus taško judėjimo pasikeitimą. Akivaizdu, kad trimatė erdvė stebima specialiai parengtų išvestinių sprendimų internete technologijų kontekste, iš tikrųjų ji yra kiekviename koliokviume matematikos disciplinos tema. Antroji išvestinė apibūdina materialaus taško greičio kitimą ir nustato pagreitį. Meridiano metodas, pagrįstas afininės transformacijos naudojimu, perkelia funkcijos išvestinę taške iš šios funkcijos apibrėžimo srities į naują lygį. Internetinis išvestinių skaičiuotuvas kai kuriais atvejais negali būti be skaičių ir simbolinio žymėjimo tinkamu vykdymo momentu, išskyrus transformuojamą užduoties dalykų išdėstymą. Keista, kad yra antrasis materialaus taško pagreitis, kuris apibūdina pagreičio pokytį. Netrukus mes pradėsime studijuoti išvestinio sprendimo būdą internete, tačiau kai tik pasieks tam tikrą žinių etapą, mūsų studentas sustabdys šį procesą. Geriausia tinklų kūrimo priemonė yra tiesioginis pokalbis matematine tema. Yra principų, kurių negalima pažeisti jokiomis aplinkybėmis, kad ir kokia sunki užduotis būtų. Naudinga laiku ir be klaidų rasti išvestį internete. Tai lems naują matematinės išraiškos padėtį. Sistema yra stabili. Fizinė vedinio reikšmė nėra tokia populiari kaip mechaninė. Vargu ar kas nors prisimena, kaip internetinė išvestinė plokštumoje detaliai išvedė funkcijos linijų kontūrą į normaliąją nuo trikampio, esančio greta x ašies. Žmogus nusipelno didelio vaidmens praėjusio amžiaus tyrinėjimuose. Atlikime trijuose elementariuose etapuose funkcijos diferencijavimą taškuose, tiek iš apibrėžimo srities, tiek iš begalybės. Bus rašoma tik studijų srityje, bet gali užimti pagrindinio vektoriaus vietą matematikoje ir skaičių teorijoje, kai tik tai, kas atsitiks, susies internetinį išvestinių skaičiuotuvą su problema. Priežastis būtų, bet bus priežastis sudaryti lygtį. Labai svarbu nepamiršti visų įvesties parametrų. Į geriausius ne visada žiūrima akis į akį, už to slypi didžiulis geriausių protų, žinojusių, kaip internetinė išvestinė priemonė apskaičiuojama erdvėje, darbo. Nuo tada išgaubtumas buvo laikomas nuolatinės funkcijos savybe. Visgi, geriau iš pradžių nustatyti išvestinių finansinių priemonių sprendimą internetu per trumpiausią įmanomą laiką. Taigi sprendimas bus baigtas. Be neįvykdytų normų, manoma, kad to nepakanka. Iš pradžių beveik kiekvienas studentas siūlo pateikti paprastą metodą, kaip funkcijos išvestinė sukelia prieštaringą augimo algoritmą. Kylančio spindulio kryptimi. Tai prasminga kaip bendra pozicija. Anksčiau jie žymėdavo konkretaus matematinio veiksmo atlikimo pradžią, o šiandien bus atvirkščiai. Galbūt išvestinės internete sprendimas vėl iškels problemą ir mokytojų susirinkimo diskusijoje priimsime bendrą nuomonę dėl jos išsaugojimo. Tikimės supratimo iš visų susitikimo dalyvių pusių. Loginė prasmė glūdi išvestinių skaičių rezonanso skaičiuoklės aprašyme apie problemos minties pateikimo seką, į kurią praėjusiame amžiuje atsakė didieji pasaulio mokslininkai. Tai padės iš konvertuotos išraiškos išgauti sudėtingą kintamąjį ir internete rasti išvestinę, kad būtų atliktas didžiulis to paties tipo veiksmas. Tiesa daug geriau nei spėlionės. Mažiausia vertė tendencijoje. Rezultatas netruks laukti, kai naudosite unikalią paslaugą tiksliausiai vietai nustatyti, kuriai yra išsami internetinė išvestinė priemonė. Netiesiogiai, bet iki esmės, kaip sakė vienas išmintingas žmogus, daugelio studentų iš skirtingų sąjungos miestų prašymu buvo sukurta internetinė išvestinių finansinių priemonių skaičiuoklė. Jei yra skirtumas, kam tada nuspręsti du kartus. Pateiktas vektorius yra toje pačioje pusėje kaip ir normalus. Praėjusio amžiaus viduryje funkcijos diferencijavimas anaiptol nebuvo suvokiamas taip, kaip šiandien. Vykdomos plėtros dėka atsirado internetinė matematika. Laikui bėgant studentai pamiršta įskaityti matematines disciplinas. Išvestinės internetinis sprendimas bus iššūkis mūsų tezei, pagrįstai teorijos taikymu, paremtu praktinėmis žiniomis. Peržengs esamą pateikimo faktoriaus reikšmę ir parašys formulę aiškia funkcijos forma. Pasitaiko, kad išvestinę priemonę reikia rasti internete jau dabar, nenaudojant jokios skaičiuoklės, tačiau visada galite pasinaudoti studento gudrybe ir vis tiek pasinaudoti tokia paslauga kaip svetaine. Taigi studentas sutaupys daug laiko kopijuodamas pavyzdžius iš sąsiuvinio juodraščio į galutinę formą. Jei nėra prieštaravimų, tokiems sudėtingiems pavyzdžiams naudokite žingsnis po žingsnio sprendimo paslaugą.

Apibrėžimas. Tegul funkcija \(y = f(x) \) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kurio viduje yra taškas \(x_0 \). Padidinkime \(\Delta x \) iki argumento, kad nepaliktume šio intervalo. Raskite atitinkamą funkcijos \(\Delta y \) prieaugį (einant iš taško \(x_0 \) į tašką \(x_0 + \Delta x \)) ir sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Jei \(\Delta x \rightarrow 0 \) yra šio ryšio riba, tada nurodyta riba vadinama išvestinė funkcija\(y=f(x) \) taške \(x_0 \) ir pažymėkite \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolis y dažnai naudojamas išvestinei žymėti. Atkreipkite dėmesį, kad y" = f(x) yra nauja funkcija, tačiau natūraliai susijusi su funkcija y = f(x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose egzistuoja aukščiau nurodyta riba . Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y \u003d f (x) išvestinė.

Išvestinės geometrinė reikšmė susideda iš toliau nurodytų dalykų. Jei liestinė, kuri nėra lygiagreti y ašiai, gali būti nubrėžta į funkcijos y \u003d f (x) grafiką taške, kurio abscisė x \u003d a, tada f (a) išreiškia liestinės nuolydį:
\(k = f"(a)\)

Kadangi \(k = tg(a) \), lygybė \(f"(a) = tg(a) \) yra teisinga.

O dabar išvestinės apibrėžimą interpretuojame apytikslėmis lygybėmis. Tegul funkcija \(y = f(x) \) turi išvestinę tam tikrame taške \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tai reiškia, kad šalia taško x apytikslė lygybė \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), t.y. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra „beveik proporcingas“ argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė duotame taške x. Pavyzdžiui, funkcijos \(y = x^2 \) apytikslė lygybė \(\Delta y \apytiksliai 2x \cdot \Delta x \) yra teisinga. Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.

Suformuluokime.

Kaip rasti funkcijos y \u003d f (x) išvestinę?

1. Pataisykite reikšmę \(x \), raskite \(f(x) \)
2. Padidinkite \(x \) argumentą \(\Delta x \), pereikite į naują tašką \(x+ \Delta x \), raskite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos x išvestinė.

Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y \u003d f (x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcijos y = f(x).

Aptarkime tokį klausimą: kaip yra susiję funkcijos tęstinumas ir diferenciacija taške?

Tegul funkcija y = f(x) taške x diferencijuojama. Tada funkcijos grafikui taške M (x; f (x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės nuolydis yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "nutrūkti" ties taškas M, t.y., funkcija turi būti ištisinė ties x.

Tai buvo samprotavimai „ant pirštų“. Pateikime griežtesnį argumentą. Jei funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, tai apytikslė lygybė \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) yra lygi nuliui, tada \(\Delta y \) ) taip pat bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.

Taigi, jei funkcija yra diferencijuojama taške x, tai tame taške ji taip pat yra tolydi.

Atvirkščiai netiesa. Pavyzdžiui: funkcija y = |x| yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "jungties taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinės nubrėžti neįmanoma, tai išvestinės šiuo metu nėra.

Dar vienas pavyzdys. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 Bet šiuo metu liestinė sutampa su y ašimi, tai yra, ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x \u003d 0. Tokiai tiesei nėra nuolydžio, o tai reiškia, kad \ ( f „(0) \) taip pat neegzistuoja

Taigi, susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Kaip galite pasakyti, ar funkcija skiriasi nuo funkcijos grafiko?

Atsakymas iš tikrųjų pateiktas aukščiau. Jei tam tikru momentu funkcijos grafike galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena x ašiai, tai šioje vietoje funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena x ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.

Diferencijavimo taisyklės

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Atliekant šią operaciją, dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra sudėtingomis funkcijomis. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime išvesti diferencijavimo taisykles, palengvinančias šį darbą. Jei C yra pastovus skaičius, o f=f(x), g=g(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tai teisinga diferenciacijos taisyklės:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sudėtinės funkcijos išvestinė:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Kai kurių funkcijų išvestinių lentelė

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Pirmas lygis

Funkcijos išvestinė. Išsamus vadovas (2019 m.)

Įsivaizduokite tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis, gyvenime mes naudojame jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, mes taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judant išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judant išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia galėtų būti ši vertė? Labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Iš tiesų, skirtingose ​​kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai abscisių) vieną kilometrą, pakilsime arba nukrisime skirtingą metrų skaičių, palyginti su jūros lygiu (išilgai ordinatės).

Mes žymime pažangą į priekį (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra - tai dydžio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Tiesa, dydžio pasikeitimas.

Svarbu: išraiška yra vienas subjektas, vienas kintamasis. Niekada neturėtumėte nuplėšti „deltos“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės! Tai yra, pavyzdžiui,.

Taigi, mes judėjome į priekį, horizontaliai, toliau. Jei lygintume kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, judėdami į priekį mes kylame aukščiau.

Skaičiuoti reikšmę nesunku: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję – aukštyje, tada. Jei pabaigos taškas pasirodė žemesnis už pradžios tašką, jis bus neigiamas – tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Atgal į „statumą“: tai reikšmė, nurodanti, kiek (stačiai) aukštis padidėja judant į priekį per atstumo vienetą:

Tarkime, kad tam tikroje tako atkarpoje, einant į priekį km, kelias pakyla km aukštyn. Tada statumas šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, važiuojant m, nuskendo km? Tada nuolydis yra lygus.

Dabar apsvarstykite kalvos viršūnę. Jei atkarpos pradžią paimsite pusę kilometro į viršų, o pabaigą – pusę kilometro po jos, pamatysite, kad aukštis beveik toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai nėra tiesa. Daug kas gali pasikeisti vos už kelių kilometrų. Norint tinkamai ir tiksliau įvertinti statumą, reikia atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Tačiau net ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei vidury kelio yra stulpas, galime tiesiog pro jį praslysti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra geriau!

Realiame gyvenime atstumo matavimo iki artimiausio milimetro pakanka. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo be galo mažas, tai yra, modulio reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad reikšmė yra be galo maža, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra lygus nuliui! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad jį galima suskirstyti į.

Sąvoka, priešinga be galo mažam, yra be galo didelė (). Tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra didesnis pagal modulį nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvosite didžiausią įmanomą skaičių, tiesiog padauginkite jį iš dviejų ir gausite dar daugiau. Ir begalybė yra dar daugiau nei tai, kas vyksta. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkščiai vienas kitam, tai yra, at ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į mūsų kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažam tako segmentui, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Tačiau priminsiu, kad be galo mažas dar nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalinsite vienas iš kito, galite gauti visiškai įprastą skaičių, pavyzdžiui,. Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai dvigubai didesnė už kitą.

Kodėl visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į mitingą, o mokomės matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Darinio samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažu argumento prieaugiu.

Prieaugis matematikoje vadinama kaita. Vadinamas, kiek pasikeitė argumentas () judant išilgai ašies argumentų prieaugis ir žymimas Kiek pasikeitė funkcija (aukštis) judant į priekį išilgai ašies atstumu funkcijos padidėjimas ir yra pažymėtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik brūkšniu iš viršaus dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia, funkcijai padidėjus, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Bet ar išvestinė yra lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Tiesa, aukštis visai nesikeičia. Taigi su išvestine: pastovios funkcijos (konstantos) išvestinė lygi nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis yra lygus nuliui bet kuriai.

Paimkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad segmento galus galima išdėstyti priešingose ​​viršūnės pusėse taip, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, segmento ilgis taps be galo mažas. Tačiau tuo pačiu metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščio skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę nežymiai pakeičia mūsų ūgį.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: į kairę nuo viršaus funkcija didėja, o į dešinę – mažėja. Kaip jau išsiaiškinome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur staigiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl turi būti tarp neigiamų ir teigiamų verčių. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina ir apie slėnį (sritis, kurioje funkcija mažėja kairėje ir didėja dešinėje):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi argumentą pakeičiame į vertę. Iš kokios vertės keičiame? Kuo jis (argumentas) dabar tapo? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė joje yra lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva: . Kokia dabar funkcijos vertė? Kur eina argumentas, ten eina funkcija: . O kaip su funkcijos padidėjimu? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

1. Raskite funkcijos prieaugį taške, kurio argumento prieaugis lygus.
2. Tas pats ir funkcijai taške.

Sprendimai:

Skirtinguose taškuose, naudojant tą patį argumento padidėjimą, funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške turi savo (tai aptarėme pačioje pradžioje – kelio statumas skirtinguose taškuose yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija vadinama funkcija, kurioje argumentas tam tikru mastu yra (logiškas, tiesa?).

Ir bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis, kai eksponentas yra:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkite darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Kas yra funkcijos prieaugis?

Prieaugis yra. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra:

Išvestinė yra:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinę funkciją (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža, todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, turime dar vieną taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo dauginimo formulę arba išskaidykite visą išraišką į veiksnius, naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys bet kuriuo iš siūlomų būdų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir dar kartą prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname: .

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti laipsnio funkcijai su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

(2)

Taisyklę galite suformuluoti žodžiais: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažėja“.

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

1. (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – skaičiuojant funkcijos prieaugį);

1. . Tikėkite ar ne, tai yra galios funkcija. Jei turite klausimų, pavyzdžiui, „Kaip yra? O kur laipsnis? “, Prisiminkite temą“ “!
   Taip, taip, šaknis taip pat yra laipsnis, tik trupmeninis:.
   Taigi mūsų kvadratinė šaknis yra tik laipsnis su eksponentu:
   .
   Išvestinės ieškome naudodami neseniai išmoktą formulę:

   Jei šiuo metu vėl tapo neaišku, pakartokite temą "" !!! (apie laipsnį su neigiamu rodikliu)

2. . Dabar eksponentas:

   O dabar per apibrėžimą (ar jau pamiršote?):
   ;
   .
   Dabar, kaip įprasta, nepaisome termino, kuriame yra:
   .

3. . Ankstesnių atvejų derinys: .

trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Kai išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norint ten patekti, reikia gerai išlaikyti egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcija neegzistuoja – taškas grafike yra pradurtas. Bet kuo arčiau reikšmės, tuo arčiau funkcija.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar nesame egzamine.

Taigi pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažesnis, tuo santykio reikšmė artimesnė.

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, randame jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkite temą ""):.

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis yra ir be galo mažas: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažos reikšmės.

Taigi gauname tokią taisyklę: sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindinės („lentelės“) išvestinės priemonės. Čia jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

1. Raskite funkcijos išvestinę taške;
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

1. Pirmiausia randame išvestinę bendrą formą, o tada pakeičiame jo vertę:
   ;
   .
2. Čia mes turime kažką panašaus į galios funkciją. Pabandykime ją atvesti
   normalus vaizdas:
   .
   Gerai, dabar galite naudoti formulę:
   .
   .
3. . Eeeeeee… kas tai????

Gerai, tu teisus, mes vis dar nežinome, kaip rasti tokius darinius. Čia yra kelių tipų funkcijų derinys. Norėdami dirbti su jais, turite išmokti dar keletą taisyklių:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra tokia funkcija, kurios išvestinė bet kuriai yra lygi pačios funkcijos reikšmei tam pačiam. Ji vadinama "eksponentu" ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas – konstanta – yra begalinė dešimtainė trupmena, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi taisyklė tokia:

Tai labai lengva prisiminti.

Na, toli nenueisime, iš karto svarstysime atvirkštinę funkciją. Kas yra atvirkštinė eksponentinė funkcija? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (tai yra logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, ir mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj jo rašome.

Kam lygu? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Rodiklis ir natūralusis logaritmas yra funkcijos, kurių išvestinė vertė yra išskirtinai paprasta. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Kokios taisyklės? Vėl naujas terminas?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tik ir viskas. Koks dar žodis reiškia šį procesą? Ne proizvodnovanie... Matematikos diferencialas vadinamas pačiu funkcijos prieaugiu at. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinės ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Leisk, arba lengviau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

1. (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes tai tiesinė funkcija, pamenate?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatome naują funkciją ir randame jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Rasti funkcijų išvestinius ir;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kurios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentą (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją perkelti į naują bazę:

Norėdami tai padaryti, naudojame paprastą taisyklę: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, taip ir lieka, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jis negali būti parašytas paprastesne forma. Todėl atsakyme jis paliekamas tokia forma.

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime atvesti šį logaritmą į pagrindą. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis pasirodė esąs tik konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė labai paprasta:

Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių egzamine beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai nėra logaritmas ir ne lanko liestinė. Šios funkcijos gali būti sunkiai suvokiamos (nors jei logaritmas jums atrodo sunkus, skaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas susitvarkys), tačiau matematikos prasme žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite mažą konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kažkokiais daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis suriša juostele. Pasirodo, toks kompozicinis objektas: šokolado plytelė apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti priešingus veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelsime kvadratu. Taigi, jie mums duoda skaičių (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada jūs kvadratu tai, ką gavau (suriškite juostele). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai, norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o paskui kitą antrą veiksmą su tuo, kas įvyko dėl pirmojo.

Galime atlikti tuos pačius veiksmus atvirkštine tvarka: pirmiausia kvadratu, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso:. Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, Sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu,.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Paskutinis veiksmas, kurį atliekame, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Kokių veiksmų imsimės pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuojame sinusą, o tik tada keliame į kubą. Taigi tai vidinė, o ne išorinė funkcija.
   O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
2. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
3. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
4. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
5. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.

keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime savo šokoladą – ieškokite darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Originaliame pavyzdyje jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Viskas atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(tik dabar nebandykite sumažinti! Nieko neišima iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad čia yra trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau savaime yra kompleksinė funkcija, ir mes vis tiek iš jos ištraukiame šaknį, tai yra atliekame trečią veiksmą (į vyniotinį įdedame šokoladą ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šiaip ar taip, šią funkciją „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo pabaigos.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu veiksmus sunumeruoti. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo atitinkama funkcija bus „išoriškesnė“. Veiksmų seka – kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis su be galo mažu argumento prieaugiu:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinės ženklo:

Sumos išvestinė:

Išvestinis produktas:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Apibrėžiame „vidinę“ funkciją, randame jos išvestinę.
2. Apibrėžiame „išorinę“ funkciją, randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.