Mažiausias bendras 3 ir 2 kartotinis. Bendrasis daliklis ir kartotinis

Antras numeris: b=

Skaitmenų skyriklis Nėra tarpo skyriklio " "

Rezultatas:

Didžiausias bendras daliklis gcd( a,b)=6

Mažiausias LCM( a,b)=468

Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklis(gcd) iš šių skaičių. Žymima gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) arba hcf(a,b).

Mažiausias bendras kartotinis Dviejų sveikųjų skaičių a ir b (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš a ir b be liekanos. Žymima LCM(a,b) arba lcm(a,b).

Vadinami sveikieji skaičiai a ir b koprime jei jie neturi bendrų daliklių, išskyrus +1 ir –1.

Didžiausias bendras daliklis

Tebūnie du duoti teigiami skaičiai a 1 ir a 2 1). Reikia rasti bendrą šių skaičių daliklį, t.y. rasti tokį skaičių λ , kuris dalija skaičius a 1 ir a 2 tuo pačiu metu. Apibūdinkime algoritmą.

1) Šiame straipsnyje žodis skaičius reiškia sveikąjį skaičių.

Leisti a 1 ≥ a 2 ir leiskite

Kur m 1 , a 3 yra keli sveikieji skaičiai, a 3 <a 2 (likusi dalis iš skyriaus a 1 ant a 2 turėtų būti mažiau a 2).

Apsimeskime tai λ dalijasi a 1 ir a 2, tada λ dalijasi m 1 a 2 ir λ dalijasi a 1 −m 1 a 2 =a 3 (straipsnio „Skaičių dalijamumas. Dalyvavimo ženklas“ 2 teiginys). Iš to išplaukia, kad kiekvienas bendras daliklis a 1 ir a 2 yra bendras daliklis a 2 ir a 3 . Ir atvirkščiai, jei λ bendras daliklis a 2 ir a 3, tada m 1 a 2 ir a 1 =m 1 a 2 +a 3 taip pat skirstomi į λ . Taigi bendras daliklis a 2 ir a 3 taip pat yra bendras daliklis a 1 ir a 2. Nes a 3 <a 2 ≤a 1 , tada galime pasakyti, kad bendro skaičių daliklio radimo problemos sprendimas a 1 ir a 2 redukuota į paprastesnę užduotį rasti bendrą skaičių daliklį a 2 ir a 3 .

Jeigu a 3 ≠0, tada galime padalinti a 2 ant a 3 . Tada

,

Kur m 1 ir a 4 yra keli sveikieji skaičiai, ( a 4 likusios padalijimo dalys a 2 ant a 3 (a 4 <a 3)). Panašiai samprotaudami prieiname prie išvados, kad bendrieji skaičių dalikliai a 3 ir a 4 yra tas pats, kas bendrieji skaičių dalikliai a 2 ir a 3 , taip pat su bendrais dalikliais a 1 ir a 2. Nes a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... skaičiai, kurie nuolat mažėja ir kadangi yra baigtinis sveikųjų skaičių tarp a 2 ir 0, tada tam tikru žingsniu n, likusi dalis a n įjungta a n+1 bus lygus nuliui ( a n+2=0).

.

Kiekvienas bendras daliklis λ numeriai a 1 ir a 2 taip pat yra skaičių daliklis a 2 ir a 3 , a 3 ir a 4 , .... a n ir a n+1 . Ir atvirkščiai, bendrieji skaičių dalikliai a n ir a n+1 taip pat yra skaičių dalikliai a n−1 ir a n , .... , a 2 ir a 3 , a 1 ir a 2. Tačiau bendras daliklis a n ir a n+1 yra skaičius a n+1 , nes a n ir a n+1 dalijasi iš a n+1 (prisiminkite tai a n+2=0). Vadinasi a n+1 taip pat yra skaičių daliklis a 1 ir a 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius a n+1 yra didžiausias skaičių daliklis a n ir a n+1 , nes didžiausias daliklis a n+1 yra pats savaime a n+1 . Jeigu a n + 1 gali būti pavaizduotas kaip sveikųjų skaičių sandauga, tada šie skaičiai taip pat yra bendrieji skaičių dalikliai a 1 ir a 2. Skaičius a n+1 vadinami didžiausias bendras daliklis numeriai a 1 ir a 2 .

Skaičiai a 1 ir a 2 gali būti ir teigiami, ir neigiami skaičiai. Jei vienas iš skaičių lygus nuliui, tai didžiausias bendras šių skaičių daliklis bus lygus kito skaičiaus absoliučiajai reikšmei. Didžiausias bendras nulinių skaičių daliklis nėra apibrėžtas.

Aukščiau pateiktas algoritmas vadinamas Euklido algoritmas rasti didžiausią bendrą dviejų sveikųjų skaičių daliklį.

Pavyzdys, kaip rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį

Raskite didžiausią bendrą dviejų skaičių 630 ir 434 daliklį.

• 1 veiksmas. Padalinkite skaičių 630 iš 434. Likutis yra 196.
• 2 veiksmas. Padalinkite skaičių 434 iš 196. Likutis yra 42.
• 3 veiksmas. Padalinkite skaičių 196 iš 42. Likutis yra 28.
• 4 veiksmas. Padalinkite skaičių 42 iš 28. Likutis yra 14.
• 5 veiksmas. Padalinkite skaičių 28 iš 14. Likutis yra 0.

5 veiksme dalybos likutis yra 0. Todėl didžiausias bendras skaičių 630 ir 434 daliklis yra 14. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 2 ir 7 taip pat yra skaičių 630 ir 434 dalikliai.

Kopirminiai skaičiai

Apibrėžimas 1. Tegul didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2 yra lygus vienam. Tada šie numeriai vadinami pirminiai skaičiai kurie neturi bendro daliklio.

Teorema 1. Jeigu a 1 ir a 2 santykinai pirminiai skaičiai ir λ tam tikrą skaičių, tada bet kurį bendrą skaičių daliklį λa 1 ir a 2 taip pat yra bendras skaičių daliklis λ Ir a 2 .

Įrodymas. Apsvarstykite Euklido algoritmą didžiausiam bendrajam skaičių dalikliui rasti a 1 ir a 2 (žr. aukščiau).

.

Iš teoremos sąlygų išplaukia, kad didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2, todėl a n ir a n+1 yra 1. T.y. a n+1=1.

Padauginkime visas šias lygybes iš λ , Tada

.

Tegul bendras daliklis a 1 λ Ir a 2 yra δ . Tada δ įeina kaip veiksnys a 1 λ , m 1 a 2 λ ir į a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Žr. „Skaičių dalijamumas“, 2 teiginys). Toliau δ įeina kaip veiksnys a 2 λ Ir m 2 a 3 λ , todėl įvedamas kaip veiksnys a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Taip samprotaudami mes tuo įsitikiname δ įeina kaip veiksnys a n−1 λ Ir m n−1 a n λ , taigi ir į a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Nes a n+1 =1, tada δ įeina kaip veiksnys λ . Taigi skaičius δ yra bendras skaičių daliklis λ Ir a 2 .

Apsvarstykite specialius 1 teoremos atvejus.

Pasekmė 1. Leisti a Ir c pirminiai skaičiai yra santykinai b. Tada jų produktas ak atžvilgiu yra pirminis skaičius b.

Tikrai. Iš 1 teoremos ak Ir b turi tuos pačius bendrus daliklius kaip c Ir b. Bet skaičiai c Ir b koprime, t.y. turi vieną bendrą daliklį 1. Tada ak Ir b taip pat turi vieną bendrą daliklį 1. Vadinasi ak Ir b abipusiai paprastas.

Pasekmė 2. Leisti a Ir b kopirminiai skaičiai ir tegul b dalijasi ak. Tada b dalijasi ir k.

Tikrai. Iš tvirtinimo sąlygos ak Ir b turi bendrą daliklį b. Pagal 1 teoremą, b turi būti bendras daliklis b Ir k. Vadinasi b dalijasi k.

1 išvadą galima apibendrinti.

Pasekmė 3. 1. Tegul skaičiai a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m yra pirminiai skaičiaus atžvilgiu b. Tada a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , šių skaičių sandauga yra pirminė skaičiaus atžvilgiu b.

2. Tegu turime dvi skaičių eilutes

taip, kad kiekvienas skaičius pirmoje eilutėje būtų pirminis kiekvieno antrosios eilutės skaičiaus atžvilgiu. Tada produktas

Reikia rasti tokius skaičius, kurie dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.

Jei skaičius dalijasi iš a 1, tada atrodo sa 1, kur s kažkoks skaičius. Jeigu q yra didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2, tada

Kur s 1 yra tam tikras sveikasis skaičius. Tada

yra mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 ir a 2 .

a 1 ir a 2 koprime, tada mažiausias bendras skaičių kartotinis a 1 ir a 2:

Raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad bet kuris skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 turi būti skaičių kartotinis ε Ir a 3 ir atvirkščiai. Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε Ir a 3 yra ε 1 . Be to, skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 , a 4 turi būti skaičių kartotinis ε 1 ir a 4 . Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε 1 ir a 4 yra ε 2. Taigi mes išsiaiškinome, kad visi skaičių kartotiniai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sutampa su kokio nors konkretaus skaičiaus kartotiniais ε n , kuris vadinamas mažiausiu bendruoju duotųjų skaičių kartotiniu.

Konkrečiu atveju, kai skaičiai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m koprime, tada mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 , a 2, kaip parodyta aukščiau, turi formą (3). Be to, nuo a 3 pirminis skaičius skaičių atžvilgiu a 1 , a 2, tada a 3 yra pirminis santykinis skaičius a 1 · a 2 (1 išvada). Taigi mažiausias bendras skaičių kartotinis a 1 ,a 2 ,a 3 yra skaičius a 1 · a 2 · a 3 . Ginčiuodami panašiai, prieiname prie tokių teiginių.

pareiškimas 1. Mažiausias bendras kopirminių skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m yra lygus jų sandaugai a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

pareiškimas 2. Bet koks skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pirminio skaičiaus a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m taip pat dalijasi iš jų sandaugos a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Skaičiaus kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš nurodyto skaičiaus be liekanos. Mažiausias skaičių grupės kartotinis (LCM) yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno grupės skaičiaus. Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turite rasti pirminius duotųjų skaičių veiksnius. Be to, LCM galima apskaičiuoti naudojant daugybę kitų metodų, taikomų dviejų ar daugiau skaičių grupėms.

Žingsniai

Daugialypių serija

Pažiūrėkite į šiuos skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurie abu yra mažesni nei 10. Jei pateikiami dideli skaičiai, naudokite kitą metodą.

• Pavyzdžiui, suraskite mažiausią skaičių 5 ir 8 bendrąjį kartotinį. Tai maži skaičiai, todėl galima naudoti šį metodą.

1. Skaičiaus kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš nurodyto skaičiaus be liekanos. Daugybos lentelėje galima rasti kelis skaičius.

   • Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, yra: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Užrašykite skaičių seriją, kuri yra pirmojo skaičiaus kartotiniai. Atlikite tai su pirmojo skaičiaus kartotiniais, kad palygintumėte dvi skaičių eilutes.

   • Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai, yra: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ir 64.

3. Raskite mažiausią skaičių, esantį abiejose kartotinių serijose. Gali tekti parašyti ilgas kartotinių serijas, kad rastumėte bendrą sumą. Mažiausias skaičius, esantis abiejose kartotinių serijose, yra mažiausias bendras kartotinis.

   • Pavyzdžiui, mažiausias skaičius, atsirandantis 5 ir 8 kartotinių serijoje, yra 40. Todėl 40 yra mažiausias bendras 5 ir 8 kartotinis.

   Pirminis faktorizavimas

   1. Pažiūrėkite į šiuos skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurie abu yra didesni nei 10. Jei pateikiami mažesni skaičiai, naudokite kitą metodą.

      • Pavyzdžiui, raskite mažiausią skaičių 20 ir 84 bendrąjį kartotinį. Kiekvienas skaičius yra didesnis nei 10, todėl galima naudoti šį metodą.

   2. Suskaičiuokite pirmąjį skaičių. Tai yra, reikia rasti tokius pirminius skaičius, kuriuos padauginę gausite nurodytą skaičių. Suradę pirminius veiksnius, užrašykite juos kaip lygybę.

      • Pavyzdžiui, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ir 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) ) = 10). Taigi, pirminiai skaičiaus 20 veiksniai yra skaičiai 2, 2 ir 5. Užrašykite juos kaip išraišką: .

   3. Padalinkite antrąjį skaičių į pirminius veiksnius. Atlikite tai taip pat, kaip suskaičiavote pirmąjį skaičių, tai yra, suraskite pirminius skaičius, kuriuos padauginus gausite šį skaičių.

      • Pavyzdžiui, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6 = 42) Ir 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Taigi, pirminiai skaičiaus 84 veiksniai yra skaičiai 2, 7, 3 ir 2. Užrašykite juos kaip išraišką: .

   4. Užrašykite abiem skaičiams bendrus veiksnius. Parašykite tokius veiksnius kaip daugybos operaciją. Rašydami kiekvieną veiksnį, perbraukite jį abiejose išraiškose (išraiškose, apibūdinančiose skaičių skaidymą į pirminius veiksnius).

      • Pavyzdžiui, bendras abiejų skaičių koeficientas yra 2, todėl parašykite 2 × (\displaystyle 2\times ) ir abiejose išraiškose išbraukite 2.
      • Bendras abiejų skaičių koeficientas yra dar vienas koeficientas 2, todėl parašykite 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) ir abiejose išraiškose išbraukite antrąjį 2.

   5. Pridėkite likusius veiksnius prie daugybos operacijos. Tai yra veiksniai, kurie nėra perbraukti abiejose išraiškose, tai yra veiksniai, kurie nėra bendri abiem skaičiams.

      • Pavyzdžiui, išraiškoje 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20 = 2\ kartus 2\ kartus 5) abu du (2) yra perbraukti, nes jie yra bendri veiksniai. Koeficientas 5 nėra perbrauktas, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
      • Išraiškoje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kartai 7\kartai 3\kartai 2) abu dvejetai (2) taip pat perbraukti. 7 ir 3 koeficientai nėra perbraukti, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\kartai 2\kartai 5\kartai 7\kartai 3).

   6. Apskaičiuokite mažiausią bendrąjį kartotinį. Norėdami tai padaryti, padauginkite skaičius parašytoje daugybos operacijoje.

      • Pavyzdžiui, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\kartai 2\kartai 5\kartai 7\kartai 3=420). Taigi mažiausias bendras 20 ir 84 kartotinis yra 420.

   Bendrų daliklių radimas

   1. Nupieškite tinklelį, kaip tai darytumėte žaisdami „tic-tac-toe“. Toks tinklelis susideda iš dviejų lygiagrečių tiesių, kurios susikerta (stačiu kampu) su kitomis dviem lygiagrečiomis linijomis. Taip atsiras trys eilutės ir trys stulpeliai (tinklelis labai panašus į # ženklą). Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite pirmąjį skaičių. Pirmoje eilutėje ir trečiame stulpelyje parašykite antrąjį skaičių.

      • Pavyzdžiui, raskite mažiausią bendrą 18 ir 30 kartotinį. Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite 18, o pirmoje ir trečioje stulpelyje - 30.

   2. Raskite abiem skaičiams bendrą daliklį. Užrašykite jį pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Geriau ieškoti pirminių daliklių, bet tai nėra būtina sąlyga.

      • Pavyzdžiui, 18 ir 30 yra lyginiai skaičiai, todėl jų bendras daliklis yra 2. Taigi pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 2.

   3. Padalinkite kiekvieną skaičių iš pirmojo daliklio. Kiekvieną koeficientą parašykite po atitinkamu skaičiumi. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas.

      • Pavyzdžiui, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2 = 9), todėl rašykite 9 iki 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2 = 15), todėl rašykite 15 iki 30.

   4. Raskite daliklį, bendrą abiem koeficientams. Jei tokio daliklio nėra, praleiskite kitus du veiksmus. Kitu atveju antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje užrašykite daliklį.

      • Pavyzdžiui, 9 ir 15 dalijasi iš 3, todėl antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 3.

   5. Kiekvieną koeficientą padalinkite iš antrojo daliklio. Kiekvieno padalijimo rezultatą parašykite po atitinkamu koeficientu.

      • Pavyzdžiui, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3 = 3), todėl parašykite 3 po 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3 = 5), todėl rašykite 5 iki 15.

   6. Jei reikia, tinklelį papildykite papildomomis ląstelėmis. Kartokite aukščiau nurodytus veiksmus, kol koeficientai turės bendrą daliklį.

   7. Apibraukite skaičius pirmame stulpelyje ir paskutinėje tinklelio eilutėje. Tada paryškintus skaičius parašykite kaip daugybos operaciją.

      • Pavyzdžiui, skaičiai 2 ir 3 yra pirmame stulpelyje, o skaičiai 3 ir 5 yra paskutinėje eilutėje, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\kartai 3\kartai 3\kartai 5).

   8. Raskite skaičių padauginimo rezultatą. Taip bus apskaičiuotas mažiausias bendrasis dviejų nurodytų skaičių kartotinis.

      • Pavyzdžiui, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystilius 2\kartai 3\kartai 3\kartai 5=90). Taigi mažiausias bendras 18 ir 30 kartotinis yra 90.

   Euklido algoritmas

   1. Prisiminkite terminiją, susijusią su padalijimo operacija. Dividendas yra dalijamas skaičius. Daliklis yra skaičius, iš kurio reikia padalyti. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas. Likutis yra skaičius, likęs padalijus du skaičius.

      • Pavyzdžiui, išraiškoje 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6 = 2) poilsis. 3:
        15 yra dalijamasis skaičius
        6 yra daliklis
        2 yra privatus
        3 yra likusi dalis.

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;

Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du veiksnius sudėtinis .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrus daliklius. Tai yra skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a Ir b yra skaičius, iš kurio abu duoti skaičiai dalijasi be liekanos a Ir b.

bendras kartotinis keli skaičiai vadinami skaičiumi, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų jbendrų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju jis yra 90. Šis skaičius vadinamas mažiausiaibendrasis kartotinis (LCM).

LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.

Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.

Komutatyvumas:

Asociatyvumas:

Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai , tada:

Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m Ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m Ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m,n sutampa su LCM() kartotinių rinkiniu m,n).

Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.

Taigi, Čebyševo funkcija. Ir:

Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).

Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.

NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:

1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:

2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:

Kur p 1 ,...,p k yra įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k Ir e 1 ,...,ek yra neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti lygūs nuliui, jei atitinkamo pirminio skaičiaus nėra plėtinyje).

Tada LCM ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:

Kitaip tariant, LCM išplėtimas apima visus pagrindinius veiksnius, kurie yra įtraukti į bent vieną iš plėtinių skaičių. a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio koeficiento eksponentų.

Pavyzdys:

Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:

Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:

- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;

- didžiausią išplėtimą perkelkite į norimo produkto veiksnius (didžiausio duotų skaičiaus veiksnių sandaugą), o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurie nėra pirmame skaičiuje arba yra jame, išplėtimo. mažesnis skaičius kartų;

- gauta pirminių koeficientų sandauga bus nurodytų skaičių LCM.

Bet kurie du ar daugiau natūraliųjų skaičių turi savo LCM. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.

Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) buvo papildyti koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28.

Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai buvo papildyti skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias įmanomas produktas (150, 250, 300...), kurio visi pateikti skaičiai yra kartotiniai.

Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.

taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.

Kitas variantas:

Norėdami rasti mažiausią kelių skaičių bendrąjį kartotinį (LCM), jums reikia:

1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);

4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;

5) padauginkite šias galias.

Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.

Sprendimas. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Išrašome didžiausius visų pirminių daliklių laipsnius ir padauginame:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Tema „Keli skaičiai“ nagrinėjama bendrojo lavinimo mokyklos 5 klasėje. Jo tikslas – tobulinti matematinių skaičiavimų raštu ir žodžiu įgūdžius. Šioje pamokoje pristatomos naujos sąvokos – „daugybiniai skaičiai“ ir „dalikliai“, lavinama natūraliojo skaičiaus daliklių ir kartotinių paieškos technika, galimybė įvairiais būdais rasti LCM.

Ši tema labai svarbi. Žinios apie tai gali būti pritaikytos sprendžiant pavyzdžius su trupmenomis. Norėdami tai padaryti, turite rasti bendrą vardiklį, apskaičiuodami mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM).

A kartotinis yra sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos.

Kiekvienas natūralusis skaičius turi begalinį jo kartotinių skaičių. Manoma, kad jis yra mažiausiai. Kartinys negali būti mažesnis už patį skaičių.

Būtina įrodyti, kad skaičius 125 yra skaičiaus 5 kartotinis. Norėdami tai padaryti, turite padalyti pirmąjį skaičių iš antrojo. Jei 125 dalijasi iš 5 be liekanos, atsakymas yra taip.

Šis metodas tinka mažiems skaičiams.

Skaičiuojant LCM, yra ypatingų atvejų.

1. Jei reikia rasti bendrą 2 skaičių kartotinį (pavyzdžiui, 80 ir 20), kur vienas iš jų (80) dalijasi be likučio iš kito (20), tai šis skaičius (80) yra mažiausias šių dviejų skaičių kartotinis.

LCM (80, 20) = 80.

2. Jei du neturi bendro daliklio, tai galime sakyti, kad jų LCM yra šių dviejų skaičių sandauga.

LCM (6, 7) = 42.

Apsvarstykite paskutinį pavyzdį. 6 ir 7, palyginti su 42, yra dalikliai. Jie dalija kartotinį be liekanos.

Šiame pavyzdyje 6 ir 7 yra porų dalikliai. Jų sandauga yra lygus labiausiai kartotiniam skaičiui (42).

Skaičius vadinamas pirminiu, jei jis dalijasi tik iš savęs arba iš 1 (3:1=3; 3:3=1). Likusieji vadinami sudėtiniais.

Kitame pavyzdyje turite nustatyti, ar 9 yra daliklis 42 atžvilgiu.

42:9 = 4 (likęs 6)

Atsakymas: 9 nėra 42 daliklis, nes atsakymas turi likutį.

Daliklis nuo kartotinio skiriasi tuo, kad daliklis yra skaičius, iš kurio dalijami natūralieji skaičiai, o pats kartotinis dalijasi iš to skaičiaus.

Didžiausias bendras skaičių daliklis a Ir b, padaugintas iš mažiausio jų kartotinio, gaus pačių skaičių sandaugą a Ir b.

Būtent: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Bendrieji sudėtingesnių skaičių kartotiniai randami tokiu būdu.

Pavyzdžiui, suraskite 168, 180, 3024 LCM.

Šiuos skaičius išskaidome į pirminius veiksnius, užrašome juos kaip galių sandaugą:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti LCM, pirmiausia turėtumėte nustatyti termino „daugelis“ reikšmę.

A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi 15, 20, 25 ir tt gali būti laikomi 5 kartotiniais.

Tam tikro skaičiaus daliklių skaičius gali būti ribotas, tačiau kartotinių yra begalinis skaičius.

Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš jų be liekanos.

Kaip rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį

Mažiausias skaičių kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš visų šių skaičių.

Norėdami rasti NOC, galite naudoti kelis metodus.

Mažiems skaičiams patogu į eilutę įrašyti visus šių skaičių kartotinius, kol tarp jų bus rastas bendras. Keletai įraše žymimi didžiąja K raide.

Pavyzdžiui, 4 kartotiniai gali būti parašyti taip:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Taigi, matote, kad mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis yra skaičius 24. Šis įrašas atliekamas taip:

LCM(4, 6) = 24

Jei skaičiai dideli, suraskite bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį, tada LCM apskaičiavimui geriau naudoti kitą būdą.

Norint atlikti užduotį, reikia išskaidyti siūlomus skaičius į pirminius veiksnius.

Pirmiausia turite užrašyti didžiausio iš eilutės skaičių išplėtimą, o po juo - likusius.

Išplečiant kiekvieną skaičių gali būti skirtingų veiksnių.

Pavyzdžiui, suskaičiuokime skaičius 50 ir 20 į pirminius koeficientus.

Išplečiant mažesnį skaičių, reikėtų pabrėžti veiksnius, kurių trūksta pirmojo didžiausio skaičiaus išplėtimui, ir tada juos pridėti prie jo. Pateiktame pavyzdyje trūksta deuce.

Dabar galime apskaičiuoti mažiausią bendrąjį 20 ir 50 kartotinį.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Taigi didesnio skaičiaus pirminių veiksnių ir antrojo skaičiaus veiksnių sandauga, neįtraukta į didesniojo skaičiaus skaidymą, bus mažiausias bendras kartotinis.

Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, visi jie turėtų būti išskaidyti į pirminius veiksnius, kaip ir ankstesniu atveju.

Pavyzdžiui, galite rasti mažiausią bendrąjį skaičių 16, 24, 36 kartotinį.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Taigi į didesnio skaičiaus faktorizaciją nebuvo įtraukti tik du dvejetai iš šešiolikos išskaidymo (vienas yra dvidešimt keturių išskaidymas).

Taigi, juos reikia pridėti prie didesnio skaičiaus skaidymo.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Yra ypatingi mažiausiojo bendro kartotinio nustatymo atvejai. Taigi, jei vieną iš skaičių be likučio galima padalyti iš kito, tai didesnis iš šių skaičių bus mažiausias bendras kartotinis.

Pavyzdžiui, dvylikos ir dvidešimt keturių NOC būtų dvidešimt keturi.

Jei reikia rasti mažiausią bendrą kartotinį kopirminių skaičių, kurie neturi tų pačių daliklių, tada jų LCM bus lygus jų sandaugai.

Pavyzdžiui, LCM(10, 11) = 110.