Piramidės pagrindo šoninių šonkaulių aukštis. Piramidė

• apotemas- taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršaus (be to, apotemas yra statmens, nuleistos nuo taisyklingo daugiakampio vidurio iki 1 jo kraštinių, ilgis);
• šoniniai veidai (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikampiai, kurie susilieja viršuje;
• šoniniai šonkauliai ( AS , BS , CS , D.S. ) - bendrosios šoninių paviršių pusės;
• piramidės viršūnė (v. S) - taškas, jungiantis šoninius kraštus ir kuris nėra pagrindo plokštumoje;
• aukščio ( TAIP ) - statmens atkarpa, kuri per piramidės viršūnę nubrėžta iki jos pagrindo plokštumos (tokio atkarpos galai bus piramidės viršūnė ir statmens pagrindas);
• įstrižainė piramidės pjūvis- piramidės atkarpa, einanti per pagrindo viršų ir įstrižainę;
• bazė (ABCD) yra daugiakampis, kuriam nepriklauso piramidės viršūnė.

piramidės savybės.

1. Kai visi šoniniai kraštai yra vienodo dydžio, tada:

• šalia piramidės pagrindo lengva apibūdinti apskritimą, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą;
• šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindine plokštuma;
• be to, yra ir atvirkščiai, t.y. kai šoninės briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba kai šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą ir piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą, tada visos piramidės šoninės briaunos turi tokio pat dydžio.

2. Kai šoniniai paviršiai turi tokios pat vertės pasvirimo kampą į pagrindo plokštumą, tada:

• šalia piramidės pagrindo lengva apibūdinti apskritimą, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą;
• šoninių veidų aukščiai yra vienodo ilgio;
• šoninio paviršiaus plotas yra ½ pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandauga.

3. Sferą galima apibūdinti šalia piramidės, jei piramidės pagrindas yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Sferos centras bus plokštumų, einančių per joms statmenos piramidės kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas. Iš šios teoremos darome išvadą, kad, kaip ir apie bet kurį trikampį, ir apie bet kurį teisinga piramidė sferą galima apibūdinti.

4. Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta 1-ajame taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas taps sferos centru.

Paprasčiausia piramidė.

Pagal piramidės pagrindo kampų skaičių jie skirstomi į trikampius, keturkampius ir pan.

Piramidė bus trikampis, keturkampis, ir taip toliau, kai piramidės pagrindas yra trikampis, keturkampis ir pan. Trikampė piramidė yra tetraedras – tetraedras. Keturkampis – penkiakampis ir pan.

Čia yra surinkta pagrindinė informacija apie piramides ir susijusias formules bei sąvokas. Visi jie mokomi su matematikos dėstytoju ruošiantis egzaminui.

Apsvarstykite plokštumą, daugiakampį jame gulintis ir jame neslepiantis taškas S. Prijunkite S prie visų daugiakampio viršūnių. Gautas daugiakampis vadinamas piramide. Segmentai vadinami šoniniais kraštais. Daugiakampis vadinamas pagrindu, o taškas S – piramidės viršūne. Priklausomai nuo skaičiaus n, piramidė vadinama trikampe (n=3), keturkampe (n=4), penkiakampe (n=5) ir pan. Alternatyvus trikampės piramidės pavadinimas - tetraedras. Piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas nuo jos viršūnės iki pagrindo plokštumos.

Piramidė vadinama teisinga, jei taisyklingas daugiakampis, o piramidės aukščio pagrindas (statmens pagrindas) yra jos centras.

Mokytojo komentaras:
Nepainiokite sąvokų „įprasta piramidė“ ir „reguliarus tetraedras“. Taisyklingoje piramidėje šoninės briaunos nebūtinai yra lygios pagrindo kraštams, tačiau taisyklingajame tetraedre visos 6 briaunų briaunos yra lygios. Tai yra jo apibrėžimas. Nesunku įrodyti, kad lygybė reiškia, kad daugiakampio centras P su aukščio pagrindu, todėl taisyklingas tetraedras yra taisyklinga piramidė.

Kas yra apotemas?
Piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis. Jei piramidė yra taisyklinga, tai visi jos apotemai yra lygūs. Atvirkščiai netiesa.

Matematikos dėstytojas apie savo terminiją: darbas su piramidėmis 80% sudarytas per dviejų tipų trikampius:
1) Sudėtyje yra apothem SK ir aukštis SP
2) Turintis šoninę briauną SA ir jos projekciją PA

Siekiant supaprastinti nuorodas į šiuos trikampius, matematikos mokytojui patogiau įvardinti pirmąjį iš jų apotemiškas, ir antra pakrantės. Deja, šios terminijos nerasite nė viename vadovėlyje, o mokytojas turi vienašališkai ją supažindinti.

Piramidės tūrio formulė:
1) , kur yra piramidės pagrindo plotas ir piramidės aukštis
2) , kur yra įbrėžtos sferos spindulys ir bendras piramidės paviršiaus plotas.
3) , kur MN yra bet kurių dviejų susikertančių kraštinių atstumas ir lygiagretainio plotas, sudarytas iš keturių likusių briaunų vidurio taškų.

Piramidės aukščio pagrindo savybė:

Taškas P (žr. paveikslą) sutampa su įbrėžto apskritimo centru piramidės pagrindu, jei tenkinama viena iš šių sąlygų:
1) Visi apotemai yra lygūs
2) Visi šoniniai paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi apotemai vienodai pasvirę į piramidės aukštį
4) Piramidės aukštis yra vienodai pasviręs į visus šoninius paviršius

Matematikos mokytojo komentaras: atkreipkite dėmesį, kad visus taškus vienija viena bendra savybė: vienaip ar kitaip visur dalyvauja šoniniai paviršiai (apotemos yra jų elementai). Todėl mokytojas gali pasiūlyti ne tokią tikslią, bet patogesnę įsiminimo formuluotę: taškas P sutampa su įbrėžto apskritimo centru, piramidės pagrindu, jei yra lygiavertė informacija apie jo šoninius paviršius. Norint tai įrodyti, užtenka parodyti, kad visi apoteminiai trikampiai yra lygūs.

Taškas P sutampa su apibrėžto apskritimo centru netoli piramidės pagrindo, jei yra viena iš trijų sąlygų:
1) Visi šoniniai kraštai yra vienodi
2) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į aukštį

2 vaizdo pamoka: Piramidės iššūkis. Piramidės tūris

3 vaizdo pamoka: Piramidės iššūkis. Teisinga piramidė

Paskaita: Piramidė, jos pagrindas, šoniniai kraštai, aukštis, šoninis paviršius; trikampė piramidė; dešinioji piramidė

Piramidė- Tai trimatis kūnas, kurio pagrindas yra daugiakampis, o visi jo paviršiai susideda iš trikampių.

Ypatingas piramidės atvejis yra kūgis, kurio apačioje yra apskritimas.

Apsvarstykite pagrindinius piramidės elementus:

Apotema yra segmentas, jungiantis piramidės viršūnę su šoninio paviršiaus apatinio krašto viduriu. Kitaip tariant, tai yra piramidės veido aukštis.

Paveiksle matote trikampius ADS, ABS, BCS, CDS. Jei atidžiai pažvelgsite į pavadinimus, pamatysite, kad kiekvieno trikampio pavadinime yra viena bendra raidė – S. Tai reiškia, kad visi šoniniai paviršiai (trikampiai) susilieja viename taške, kuris vadinamas piramidės viršūne.

Atkarpa OS, jungianti viršūnę su pagrindo įstrižainių susikirtimo tašku (trikampių atveju – aukščių susikirtimo taške), vadinama. piramidės aukštis.

Įstrižainė yra plokštuma, einanti per piramidės viršūnę, taip pat viena iš pagrindo įstrižainių.

Kadangi piramidės šoninis paviršius susideda iš trikampių, norint rasti bendrą šoninio paviršiaus plotą, reikia rasti kiekvieno veido plotus ir juos pridėti. Veidų skaičius ir forma priklauso nuo daugiakampio, esančio prie pagrindo, kraštinių formos ir dydžio.

Vienintelė piramidės plokštuma, neturinti viršūnės, vadinama pagrindu piramidės.

Paveiksle matome, kad pagrindas yra lygiagretainis, tačiau gali būti bet koks savavališkas daugiakampis.

Savybės:

Apsvarstykite pirmąjį piramidės atvejį, kai jos kraštai yra vienodo ilgio:

• Aplink tokios piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą. Jei projektuosite tokios piramidės viršūnę, tada jos projekcija bus apskritimo centre.
• Piramidės pagrindo kampai yra vienodi kiekvienam veidui.
• Tuo pat metu pakankama sąlyga, kad aplink piramidės pagrindą būtų galima apibūdinti apskritimą, taip pat kad visos briaunos būtų skirtingo ilgio, gali būti laikomos vienodais kampais tarp pagrindo ir kiekvienos veidų briaunos. .

Jei susidursite su piramide, kurioje kampai tarp šoninių paviršių ir pagrindo yra lygūs, tada šios savybės yra teisingos:

• Galėsite apibūdinti apskritimą aplink piramidės pagrindą, kurio viršus projektuojamas tiksliai į centrą.
• Jei nubrėžsite kiekvieną šoninį aukščio paviršių prie pagrindo, jie bus vienodo ilgio.
• Norint rasti tokios piramidės šoninį paviršiaus plotą, pakanka rasti pagrindo perimetrą ir padauginti jį iš pusės aukščio ilgio.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Piramidės tipai.
• Priklausomai nuo to, kuris daugiakampis yra piramidės pagrinde, jie gali būti trikampiai, keturkampiai ir tt Jei piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis (su lygiomis kraštinėmis), tai tokia piramidė bus vadinama taisyklingąja.

Taisyklinga trikampė piramidė

Piramidės koncepcija

1 apibrėžimas

Geometrinė figūra, sudarytas iš daugiakampio ir taško, kuris nėra plokštumoje, kurioje yra šis daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio viršūnėmis, vadinamas piramide (1 pav.).

Daugiakampis, iš kurio sudaryta piramidė, vadinamas piramidės pagrindu, trikampiai, gauti sujungus su tašku, yra piramidės šoniniai paviršiai, trikampių kraštinės yra piramidės kraštinės, o taškas yra bendras visiems. trikampiai yra piramidės viršūnė.

Piramidžių rūšys

Priklausomai nuo kampų skaičiaus piramidės pagrinde, ją galima vadinti trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).

2 pav.

Kitas piramidžių tipas yra taisyklinga piramidė.

Įveskime ir įrodykime taisyklingos piramidės savybę.

1 teorema

Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai, kurie yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas.

Apsvarstykite taisyklingą $n-$kampinę piramidę, kurios viršūnė $S$ aukštis $h=SO$. Aprašykime apskritimą aplink pagrindą (4 pav.).

4 pav

Apsvarstykite trikampį $SOA$. Pagal Pitagoro teoremą gauname

Akivaizdu, kad bet koks šoninis kraštas bus apibrėžtas tokiu būdu. Todėl visi šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam, tai yra, visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įrodykime, kad jie vienas kitam lygūs. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, visų šoninių paviršių pagrindai yra lygūs vienas kitam. Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygūs pagal III trikampių lygybės ženklą.

Teorema įrodyta.

Dabar pristatome tokį apibrėžimą, susijusį su taisyklingos piramidės sąvoka.

3 apibrėžimas

Taisyklingos piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis.

Akivaizdu, kad pagal 1 teoremą visi apotemai yra lygūs.

2 teorema

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.

Įrodymas.

$n-$ anglies piramidės pagrindo kraštinę pažymėkime kaip $a$, o apotemą kaip $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi pagal 1 teoremą visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Kitas piramidžių tipas yra nupjauta piramidė.

4 apibrėžimas

Jei per paprastą piramidę nubrėžta lygiagreti jos pagrindui plokštuma, tai tarp šios plokštumos ir pagrindo plokštumos susidariusi figūra vadinama nupjautąja piramide (5 pav.).

5 pav. Nupjauta piramidė

Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

3 teorema

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas apibrėžiamas kaip pagrindų ir apotemos pusperimetrių sumos sandauga.

Įrodymas.

$n-$ anglies piramidės pagrindų kraštines pažymėkime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio veido plotas lygus

Kadangi visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Užduoties pavyzdys

1 pavyzdys

Raskite nupjautinės trikampės piramidės šoninio paviršiaus plotą, jei jis gaunamas iš taisyklingos piramidės, kurios pagrindo kraštinė yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plokštuma, einančia per šoninių paviršių vidurinę liniją.

Sprendimas.

Pagal medianinės tiesės teoremą gauname, kad nupjautos piramidės viršutinė bazė yra lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotemas lygus $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 USD.

Tada pagal 3 teoremą gauname