Stačiojo trikampio formulėje įbrėžto apskritimo spindulys. Taisyklingųjų daugiakampių įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spindulių formulės

Labai dažnai sprendžiant geometrinius uždavinius tenka atlikti veiksmus su pagalbinėmis figūromis. Pavyzdžiui, suraskite įbrėžto arba apibrėžto apskritimo spindulį ir pan. Šiame straipsnyje bus parodyta, kaip rasti trikampį ribojančio apskritimo spindulį. Arba, kitaip tariant, apskritimo, į kurį įrašytas trikampis, spindulys.

Kaip rasti apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulį – bendroji formulė

Bendroji formulė yra tokia: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), kur R yra apibrėžto apskritimo spindulys, p yra trikampio perimetras, padalintas iš 2 (pusė perimetro). a, b, c yra trikampio kraštinės.

Raskite trikampio apskritimo spindulį, jei a = 3, b = 6, c = 7.

Taigi, remdamiesi aukščiau pateikta formule, apskaičiuojame pusperimetrą:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Pakeiskite reikšmes formulėje ir gaukite:
R = 3 × 6 × 7/4√8 (8–3) (8–6) (8–7) = 126/4√ (8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Atsakymas: R = 126/16√5

Kaip rasti apie lygiakraštį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį

Norint rasti apie lygiakraštį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį, yra gana paprasta formule: R = a/√3, kur a yra jo pusės reikšmė.

Pavyzdys: Lygiakraščio trikampio kraštinė yra 5. Raskite apibrėžtojo apskritimo spindulį.

Kadangi visos lygiakraščio trikampio kraštinės yra lygios, norint išspręsti problemą, tereikia į formulę įvesti jo reikšmę. Gauname: R = 5/√3.

Atsakymas: R = 5/√3.

Kaip rasti stačiojo trikampio apskritimo spindulį

Formulė atrodo taip: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, kur a ir b yra kojos, o c yra hipotenuzė. Jei stačiakampiame trikampyje pridėsime kojų kvadratus, gausime hipotenuzės kvadratą. Kaip matyti iš formulės, ši išraiška yra po šaknimi. Apskaičiavę hipotenuzės kvadrato šaknį, gauname patį ilgį. Gautą išraišką padauginus iš 1/2, galiausiai gauname išraišką 1/2 × c = c/2.

Pavyzdys: Apskaičiuokite apibrėžto apskritimo spindulį, jei trikampio kojos yra 3 ir 4. Pakeiskite reikšmes į formulę. Gauname: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

Šioje išraiškoje 5 yra hipotenuzės ilgis.

Atsakymas: R = 2,5.

Kaip rasti apie lygiašonį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį

Formulė atrodo taip: R = a² / √ (4a² - b²), kur a yra trikampio šlaunies ilgis, o b yra pagrindo ilgis.

Pavyzdys: Apskaičiuokite apskritimo spindulį, jei jo klubas = 7, o pagrindas = 8.

Sprendimas: šias reikšmes pakeičiame formule ir gauname: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196–64) = 49/√132. Atsakymas gali būti parašytas tiesiogiai taip.

Atsakymas: R = 49/√132

Internetiniai ištekliai apskritimo spinduliui apskaičiuoti

Labai lengva susipainioti visose šiose formulėse. Todėl, jei reikia, galite naudoti internetiniai skaičiuotuvai, kuris padės išspręsti spindulio radimo problemas. Tokių mini programų veikimo principas yra labai paprastas. Atitinkamame lauke pakeiskite pusės reikšmę ir gaukite paruoštą atsakymą. Galite pasirinkti keletą variantų, kaip apvalinti atsakymą: po kablelio, šimtosios, tūkstantosios ir kt.

Į trikampį įbrėžtas apskritimas

Į trikampį įbrėžto apskritimo egzistavimas

Prisiminkite apibrėžimą kampo bisektorius .

1 apibrėžimas .Kampo bisektorius vadinamas spindulys, dalijantis kampą į dvi lygias dalis.

Teorema 1 (pagrindinė kampo bisektoriaus savybė) . Kiekvienas kampo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių (1 pav.).

Ryžiai. 1

Įrodymas D guli ant kampo bisektoriausBAC , Ir DE Ir D.F. kampo šonuose (1 pav.).stačiųjų trikampių ADF Ir ADE lygus nes jie turi tuos pačius smailiuosius kampusDAF Ir DAE ir hipotenuzė REKLAMA - generolas. Vadinasi,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

2 teorema (atvirkštinė teorema 1 teoremai) . Jei kai kurie , tada jis guli ant kampo bisector (2 pav.).

Ryžiai. 2

Įrodymas . Apsvarstykite savavališką taškąD guli kampo vidujeBAC ir esantis tokiu pat atstumu nuo kampo kraštų. Nuleiskite nuo taškoD statmenai DE Ir D.F. kampo šonuose (2 pav.).stačiųjų trikampių ADF Ir ADE lygus , nes jie turi lygias kojasD.F. Ir DE ir hipotenuzė REKLAMA - generolas. Vadinasi,

Q.E.D.

2 apibrėžimas . Apskritimas vadinamas kampu įbrėžtas apskritimas jei tai šio kampo kraštinės.

3 teorema . Jei apskritimas įbrėžtas į kampą, tai atstumai nuo kampo viršūnės iki apskritimo sąlyčio taškų su kampo kraštinėmis yra lygūs.

Įrodymas . Tegul taškas D yra apskritimo, įbrėžto kampu, centrasBAC , ir taškai E Ir F - apskritimo sąlyčio taškai su kampo kraštinėmis (3 pav.).

3 pav

a , b , c - trikampio kraštinės
 S - kvadratas,

r – įbrėžto apskritimo spindulys,
 p - pusperimetras

.

Peržiūrėkite formulės išvestį

a – lygiašonio trikampio šoninė kraštinė , 
 b - bazė, r – įrašytas apskritimo spindulys

a r – įrašytas apskritimo spindulys

Peržiūrėkite formulės išvestį

,

Kur

,

tada lygiašonio trikampio atveju, kada

mes gauname

ko ir reikėjo.

7 teorema . Už lygybę

Kur a - lygiakraščio trikampio kraštinėr – įbrėžto apskritimo spindulys (8 pav.).

Ryžiai. 8

Įrodymas .

,

tada lygiakraštio trikampio atveju, kada

b=a,

mes gauname

ko ir reikėjo.

komentuoti . Rekomenduoju kaip pratimą išvesti į lygiakraštį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio formulę tiesiogiai, t.y. nenaudojant bendrųjų apskritimų, įrašytų į savavališką trikampį arba į lygiašonį trikampį, spindulių formules.

8 teorema . Stačiajam trikampiui – lygybė

Kur a , b - stačiojo trikampio kojos, c – hipotenuzė , r – įbrėžto apskritimo spindulys.

Įrodymas . Apsvarstykite 9 pav.

Ryžiai. 9

Kadangi keturkampisCDOF yra , kuris turi gretimas pusesDARYK Ir APIE yra lygūs, tada šis stačiakampis yra . Vadinasi,

CB \u003d CF \u003d r,

Pagal 3 teoremą lygybės

Todėl, atsižvelgdami ir į , gauname

ko ir reikėjo.

Užduočių pasirinkimas tema „Trikampyje įbrėžtas apskritimas“.

1.

Į lygiašonį trikampį įbrėžtas apskritimas sąlyčio taške padalija vieną iš kraštinių į dvi atkarpas, kurių ilgiai lygūs 5 ir 3, skaičiuojant nuo viršūnės, esančios priešais pagrindą. Raskite trikampio perimetrą.

2.

3

IN trikampis ABC AC=4, BC=3, kampas C yra 90º. Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.

4.

Lygiašonio stačiojo trikampio kojos yra 2+. Raskite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulį.

5.

Į lygiašonį įbrėžto apskritimo spindulys taisyklingas trikampis, yra lygus 2. Raskite šio trikampio hipotenuzę c. Atsakyme parašykite c(-1).

Štai keletas egzamino užduočių su sprendimais.

Į lygiašonį stačiakampį trikampį įrašyto apskritimo spindulys yra . Raskite šio trikampio hipotenuzę c. Prašome nurodyti savo atsakyme.

Trikampis yra tiesus ir lygiašonis. Taigi jo kojos vienodos. Tegul kiekviena koja yra lygi. Tada hipotenuzė yra.

Trikampio ABC plotą rašome dviem būdais:

Sulyginę šiuos posakius, gauname tai. Nes, mes tai suprantame. Tada.

Atsakydami parašykite.

Atsakymas:.

2 užduotis.

1. Bet kuriose dviejose pusėse 10 cm ir 6 cm (AB ir BC). Raskite apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spindulius
Problema sprendžiama savarankiškai komentuojant.

Sprendimas:

IN.

1) Rasti:
2) Įrodykite:ir susirask CK
3) Raskite: apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spindulius

Sprendimas:

6 užduotis.

R į kvadratą įbrėžto apskritimo spindulys yra. Raskite apie šį kvadratą apibrėžto apskritimo spindulį.Duota :

Rasti: OS=?
Sprendimas: V Ši byla uždavinys gali būti išspręstas naudojant Pitagoro teoremą arba R formulę. Antrasis atvejis paprastesnis, nes R formulė išvesta iš teoremos.

7 užduotis.

Į lygiašonį stačiakampį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus 2. Raskite hipotenuząSu šis trikampis. Prašome nurodyti savo atsakyme.

S yra trikampio plotas

Mes nežinome nei trikampio kraštinių, nei jo ploto. Kojas pažymėkime x, tada hipotenuzė bus lygi:

Trikampio plotas bus 0,5x 2 .

Reiškia

Taigi hipotenuzė bus tokia:

Atsakymas turi būti parašytas:

Atsakymas: 4

8 užduotis.

Trikampyje ABC AC = 4, BC = 3, kampas C yra lygus 90 0 . Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.

Naudokime trikampyje įbrėžto apskritimo spindulio formulę:

kur a, b, c yra trikampio kraštinės

S yra trikampio plotas

Žinomos dvi pusės (tai kojos), galime skaičiuoti trečią (hipotenuzė), galime apskaičiuoti ir plotą.

Pagal Pitagoro teoremą:

Raskime sritį:

Taigi:

Atsakymas: 1

9 užduotis.

Lygiašonio trikampio kraštinės lygios 5, pagrindas – 6. Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.

Naudokime trikampyje įbrėžto apskritimo spindulio formulę:

kur a, b, c yra trikampio kraštinės

S yra trikampio plotas

Visos pusės žinomos, o plotas apskaičiuotas. Jį galime rasti naudodami Herono formulę:

Tada

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios. Todėl jis paveldi visas lygiagretainio savybes. Būtent:

• Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos.
• Rombo įstrižainės yra jo vidinių kampų pusiausvyros.

Apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį tada ir tik tada, kai priešingų kraštinių sumos yra lygios.
Todėl apskritimas gali būti įrašytas į bet kurį rombą. Įbrėžto apskritimo centras sutampa su rombo įstrižainių susikirtimo centru.
Įbrėžto apskritimo spindulys rombe gali būti išreikštas keliais būdais

1 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per aukštį

Rombo aukštis lygus įbrėžto apskritimo skersmeniui. Tai išplaukia iš stačiakampio, kurį sudaro įbrėžto apskritimo skersmuo ir rombo aukštis, savybės – priešingos stačiakampio kraštinės yra lygios.

Todėl įbrėžto apskritimo spindulio rombu per aukštį formulė:

2 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per įstrižaines

Rombo plotas gali būti išreikštas įbrėžto apskritimo spinduliu
, Kur R yra rombo perimetras. Žinodami, kad perimetras yra visų keturkampio kraštinių suma, turime P= 4×ha. Tada
Tačiau rombo plotas taip pat yra pusė jo įstrižainių sandaugos
Sulyginus teisingas ploto formulių dalis, gauname tokią lygybę
Dėl to gauname formulę, leidžiančią apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulį rombe per įstrižaines

Į rombą įbrėžto apskritimo spindulio apskaičiavimo pavyzdys, jei žinomos įstrižainės
Raskite į rombą įbrėžto apskritimo spindulį, jei žinoma, kad įstrižainių ilgis yra 30 cm ir 40 cm
Leisti ABCD- rombas tada AC Ir BD jo įstrižainės. AC= 30 cm , BD= 40 cm
Tegul taškas APIE yra rombo įbrėžimo centras ABCD apskritimas, tada jis taip pat bus jo įstrižainių susikirtimo taškas, dalijantis jas per pusę.


kadangi rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai trikampis AOB stačiakampis. Tada pagal Pitagoro teoremą
, pakeičiame anksčiau gautas reikšmes į formulę

AB= 25 cm
Pritaikę anksčiau išvestą apibrėžto apskritimo spindulio formulę rombui, gauname

3 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombe per atkarpas m ir n

Taškas F- apskritimo sąlyčio taškas su rombo kraštine, dalijančia jį į segmentus AF Ir bf. Leisti AF=m, BF=n.
Taškas O- rombo įstrižainių ir jame įrašyto apskritimo centro susikirtimo centras.
Trikampis AOB- stačiakampis, nes rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu.
, nes yra apskritimo liestinės taško spindulys. Vadinasi APIE- trikampio aukštis AOBį hipotenuzę. Tada AF Ir bf- kojų projekcijos į hipotenuzę.
Stačiojo trikampio aukštis, nukritęs iki hipotenuzės, yra vidurkis, proporcingas kojų projekcijoms ant hipotenuzės.

Į rombą per atkarpas įbrėžto apskritimo spindulio formulė yra lygi šių atkarpų sandaugos, į kurią rombo kraštinė padalinta iš apskritimo liestinės taško, kvadratinei šaknei

Kaip rasti apskritimo spindulį? Šis klausimas visada aktualus planimetriją studijuojantiems moksleiviams. Žemiau apžvelgsime kelis pavyzdžius, kaip galite susidoroti su užduotimi.

Atsižvelgiant į problemos būklę, apskritimo spindulį galite rasti taip.

1 formulė: R \u003d L / 2π, kur L yra ir π yra konstanta, lygi 3,141 ...

2 formulė: R = √(S / π), kur S yra apskritimo plotas.

1 formulė: R = B/2, kur B yra hipotenuzė.

2 formulė: R \u003d M * B, kur B yra hipotenuzė, o M yra mediana, nubrėžta į ją.

Kaip rasti apskritimo spindulį, jei jis yra apibrėžtas aplink taisyklingą daugiakampį

Formulė: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), kur A yra vienos iš figūros kraštinių ilgis, o n yra šios geometrinės figūros kraštinių skaičius.

Kaip rasti įbrėžto apskritimo spindulį

Įbrėžtuoju apskritimu vadinamas, kai jis liečia visas daugiakampio kraštines. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1 formulė: R \u003d S / (P / 2), kur - S ir P yra atitinkamai figūros plotas ir perimetras.

2 formulė: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), kur P yra perimetras, A yra vienos iš kraštinių ilgis ir kampas, priešingas šiai pusei.

Kaip rasti apskritimo spindulį, jei jis įrašytas į stačią trikampį

Formulė 1:

Į rombą įbrėžto apskritimo spindulys

Apskritimas gali būti įrašytas į bet kurį rombą, tiek lygiakraštį, tiek nelygiakraštį.

1 formulė: R \u003d 2 * H, kur H yra geometrinės figūros aukštis.

2 formulė: R \u003d S / (A * 2), kur S yra ir A yra jos kraštinės ilgis.

3 formulė: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), kur S yra rombo plotas, o sin A yra sinusas aštrus kampasši geometrinė figūra.

4 formulė: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), kur V ir G yra geometrinės figūros įstrižainių ilgiai.

5 formulė: R = B * sin (A / 2), kur B yra rombo įstrižainė, o A yra kampas viršūnėse, jungiančiose įstrižainę.

Apskritimo, įbrėžto į trikampį, spindulys

Tuo atveju, jei problemos atveju jums bus pateikti visų figūros kraštinių ilgiai, pirmiausia apskaičiuokite (P), o tada pusperimetrą (p):

P \u003d A + B + C, kur A, B, C yra geometrinės figūros kraštinių ilgiai.

1 formulė: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Ir jei, žinant visas tas pačias tris puses, taip pat duota, tada reikiamą spindulį galite apskaičiuoti taip.

2 formulė: R = S * 2 (A + B + C)

3 formulė: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), kur - p yra geometrinės figūros pusiau perimetras.

4 formulė: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), kur n yra pusė trikampio perimetro, A yra viena iš jo kraštinių, o tg (A / 2) yra pusės trikampio liestinė kampas priešingas šiai pusei.

Toliau pateikta formulė padės rasti įbrėžto apskritimo spindulį

5 formulė: R \u003d A * √3/6.

Apskritimo, įbrėžto į stačią trikampį, spindulys

Jei problemai pateikiami kojų ilgiai, taip pat hipotenuzė, tada įbrėžto apskritimo spindulys nustatomas taip.

1 formulė: R \u003d (A + B-C) ​​/ 2, kur A, B yra kojos, C yra hipotenuzė.

Jei jums suteikiamos tik dvi kojos, laikas prisiminti Pitagoro teoremą, kad surastumėte hipotenuzą ir panaudotumėte aukščiau pateiktą formulę.

C \u003d √ (A² + B²).

Į kvadratą įbrėžto apskritimo spindulys

Apskritimas, įrašytas į kvadratą, sąlyčio taškuose padalija visas 4 kraštines tiksliai per pusę.

1 formulė: R \u003d A / 2, kur A yra kvadrato kraštinės ilgis.

2 formulė: R \u003d S / (P / 2), kur S ir P yra atitinkamai kvadrato plotas ir perimetras.