പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ നിർവചനം, ഗുണവിശേഷതകൾ. സാധ്യതകളുടെ നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ

ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്‌സ് സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കായി ധാരാളം ആശ്ചര്യങ്ങൾ തയ്യാറാക്കുന്നു, അതിലൊന്ന് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ഒരു പ്രശ്നമാണ്. ഏതാണ്ട് നൂറു ശതമാനം കേസുകളിലും ഇത്തരം ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഈ പ്രശ്നം മനസിലാക്കാനും മനസ്സിലാക്കാനും, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, നിർവചനങ്ങൾ എന്നിവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. പുസ്തകത്തിലെ വാചകം മനസിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ എല്ലാ ചുരുക്കങ്ങളും അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഇതെല്ലാം പഠിക്കാൻ ഞങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ശാസ്ത്രവും അതിൻ്റെ പ്രയോഗവും

"ഡമ്മികൾക്കുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി"യിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ക്രാഷ് കോഴ്‌സ് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളുടെ ചുരുക്കെഴുത്തുകളും അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, "സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം" എന്ന ആശയം തന്നെ നിർവചിക്കാം. ഇത് ഏത് തരത്തിലുള്ള ശാസ്ത്രമാണ്, എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണ്? ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളും അളവുകളും പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളിലൊന്നാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നടത്തിയ പാറ്റേണുകളും ഗുണങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളും അവൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ഇതെന്തിനാണു? പ്രകൃതി പ്രതിഭാസങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ ശാസ്ത്രം വ്യാപകമായിരിക്കുന്നു. സ്വാഭാവികവും ശാരീരികവുമായ ഏതെങ്കിലും പ്രക്രിയകൾ അവസരത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. പരീക്ഷണ വേളയിൽ ഫലങ്ങൾ കഴിയുന്നത്ര കൃത്യമായി രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, അതേ പരിശോധന ആവർത്തിച്ചാൽ, ഫലം മിക്കവാറും സമാനമാകില്ല.

ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും ടാസ്ക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കും, നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം കാണാൻ കഴിയും. ഫലം പല ഘടകങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് കണക്കിലെടുക്കാനോ രജിസ്റ്റർ ചെയ്യാനോ ഏതാണ്ട് അസാധ്യമാണ്, എന്നിരുന്നാലും അവ പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലത്തിൽ വലിയ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നു. ഗ്രഹങ്ങളുടെ പാത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനോ കാലാവസ്ഥാ പ്രവചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനോ ഉള്ള ജോലി, ജോലിസ്ഥലത്തേക്ക് യാത്ര ചെയ്യുമ്പോൾ പരിചിതമായ ഒരാളെ കണ്ടുമുട്ടാനുള്ള സാധ്യത, ഒരു അത്‌ലറ്റിൻ്റെ കുതിപ്പിൻ്റെ ഉയരം നിർണ്ണയിക്കൽ എന്നിവ വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. സ്റ്റോക്ക് എക്സ്ചേഞ്ചുകളിലെ ബ്രോക്കർമാർക്ക് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വലിയ സഹായം നൽകുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ഒരു പ്രശ്‌നം, അതിനുമുമ്പ് നിരവധി പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടായിരുന്ന പരിഹാരം, ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്നോ നാലോ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം നിങ്ങൾക്ക് വെറും നിസ്സാരമായി മാറും.

ഇവൻ്റുകൾ

നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ, ശാസ്ത്രം സംഭവങ്ങളെ പഠിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് നോക്കും, ഒരു തരം മാത്രം പഠിക്കുന്നു - ക്രമരഹിതം. എന്നിരുന്നാലും, ഇവൻ്റുകൾ മൂന്ന് തരത്തിലാകാമെന്ന് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്:

• അസാധ്യം.
• വിശ്വസനീയം.
• ക്രമരഹിതം.

അവ ഓരോന്നും കുറച്ച് ചർച്ച ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവം ഒരു സാഹചര്യത്തിലും സംഭവിക്കില്ല. ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു: പൂജ്യത്തിന് മുകളിലുള്ള താപനിലയിൽ വെള്ളം മരവിപ്പിക്കൽ, പന്തുകളുടെ ഒരു ബാഗിൽ നിന്ന് ഒരു ക്യൂബ് വലിച്ചെടുക്കൽ.

എല്ലാ വ്യവസ്ഥകളും പാലിച്ചാൽ 100% ഗ്യാരണ്ടിയോടെ ഒരു വിശ്വസനീയമായ ഇവൻ്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്: ചെയ്ത ജോലിക്ക് നിങ്ങൾക്ക് ശമ്പളം ലഭിച്ചു, നിങ്ങൾ മനസ്സാക്ഷിയോടെ പഠിച്ചാൽ ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ ഡിപ്ലോമ ലഭിച്ചു, പരീക്ഷകളിൽ വിജയിക്കുകയും നിങ്ങളുടെ ഡിപ്ലോമയെ പ്രതിരോധിക്കുകയും ചെയ്താൽ, അങ്ങനെ പലതും.

എല്ലാം കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്: പരീക്ഷണ വേളയിൽ അത് സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് തവണയിൽ കൂടുതൽ ശ്രമങ്ങൾ നടത്തിയതിന് ശേഷം ഒരു കാർഡ് ഡെക്കിൽ നിന്ന് ഒരു എയ്സ് വലിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യ ശ്രമത്തിൽ തന്നെ അല്ലെങ്കിൽ ഇല്ലെങ്കിലും ഫലം ലഭിക്കും. ശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്ന ഒരു സംഭവം ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യതയാണ്.

സാധ്യത

ഇത് ഒരു പൊതു അർത്ഥത്തിൽ, ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു അനുഭവത്തിൻ്റെ വിജയകരമായ ഫലത്തിൻ്റെ സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വിലയിരുത്തലാണ്. ഗുണപരമായ തലത്തിലാണ് പ്രോബബിലിറ്റി വിലയിരുത്തുന്നത്, പ്രത്യേകിച്ച് അളവ് വിലയിരുത്തൽ അസാധ്യമോ ബുദ്ധിമുട്ടോ ആണെങ്കിൽ. ഒരു പരിഹാരത്തോടുകൂടിയ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഒരു പ്രശ്നം, അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ കൃത്യമായി കണക്കാക്കിയാൽ, വിജയകരമായ ഒരു ഫലത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ പങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. ഗണിതത്തിലെ പ്രോബബിലിറ്റി ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ സവിശേഷതകളാണ്. ഇത് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നിലേക്ക് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, P എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കും. P എന്നത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത് ഒന്നാണെങ്കിൽ ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കില്ല, അപ്പോൾ സംഭവം നൂറ് ശതമാനം സംഭാവ്യതയോടെ സംഭവിക്കും. P ഒന്നിനെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, വിജയകരമായ ഒരു ഫലത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ശക്തമാണ്, തിരിച്ചും, അത് പൂജ്യത്തിനടുത്താണെങ്കിൽ, ഇവൻ്റ് കുറഞ്ഞ പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ സംഭവിക്കും.

ചുരുക്കെഴുത്തുകൾ

നിങ്ങൾ ഉടൻ അഭിമുഖീകരിക്കാൻ പോകുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി പ്രശ്നത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ചുരുക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം:

• പി, പി(എക്സ്);
• എ, ബി, സി മുതലായവ;

മറ്റു ചിലതും സാധ്യമാണ്: ആവശ്യമെങ്കിൽ കൂടുതൽ വിശദീകരണങ്ങൾ നൽകും. ആദ്യം, മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ചുരുക്കങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റിലെ ആദ്യത്തേത് ഫാക്‌ടോറിയൽ ആണ്. ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു: 5!=1*2*3*4*5 അല്ലെങ്കിൽ 3!=1*2*3. അടുത്തതായി, നൽകിയിരിക്കുന്ന സെറ്റുകൾ ചുരുണ്ട ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: (1;2;3;4;..;n) അല്ലെങ്കിൽ (10;140;400;562). പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ടാസ്ക്കുകളിൽ പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടമാണ് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ. നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, P എന്നത് ഒരു പ്രോബബിലിറ്റിയാണ്, കൂടാതെ P(X) എന്നത് ഒരു ഇവൻ്റ് X ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യതയാണ്. ഇവൻ്റുകൾ ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാലയിലെ വലിയ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: A - ഒരു വെളുത്ത പന്ത് പിടിക്കപ്പെട്ടു, B - നീല , സി - ചുവപ്പ് അല്ലെങ്കിൽ, യഥാക്രമം, . n എന്ന ചെറിയ അക്ഷരം സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണമാണ്, കൂടാതെ m എന്നത് വിജയിച്ചവയുടെ എണ്ണമാണ്. പ്രാഥമിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും: P = m/n. "ഡമ്മികൾക്കായി" എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഈ അറിവിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കാം. ഇപ്പോൾ, ഏകീകരിക്കാൻ, നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകാം.

പ്രശ്നം 1. കോമ്പിനേറ്ററിക്സ്

വിദ്യാർത്ഥി ഗ്രൂപ്പിൽ മുപ്പത് പേർ ഉൾപ്പെടുന്നു, അവരിൽ നിന്ന് ഒരു ഹെഡ്മാൻ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഡെപ്യൂട്ടി, ഒരു ട്രേഡ് യൂണിയൻ നേതാവ് എന്നിവരെ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നതിനുള്ള വഴികളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സമാനമായ ഒരു ടാസ്ക് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം, കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് കോഴ്സിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ, ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തൽ, ജ്യാമിതീയ സാധ്യത, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവ ഉൾപ്പെട്ടേക്കാം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് കോഴ്സിൽ നിന്ന് ഒരു ടാസ്ക് പരിഹരിക്കുകയാണ്. നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകാം. ഈ ടാസ്ക് ഏറ്റവും ലളിതമാണ്:

1. n1=30 - വിദ്യാർത്ഥി ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ സാധ്യമായ പ്രിഫെക്റ്റുകൾ;
2. n2=29 - ഡെപ്യൂട്ടി സ്ഥാനം ഏറ്റെടുക്കാൻ കഴിയുന്നവർ;
3. n3=28 പേർ ട്രേഡ് യൂണിയൻ സ്ഥാനത്തേക്ക് അപേക്ഷിക്കുന്നു.

നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത്, സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, അതായത്, എല്ലാ സൂചകങ്ങളും ഗുണിക്കുക. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 30*29*28=24360.

ചോദിക്കുന്ന ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും.

പ്രശ്നം 2. പുനഃക്രമീകരണം

കോൺഫറൻസിൽ 6 പങ്കാളികൾ സംസാരിക്കുന്നു, നറുക്കെടുപ്പിലൂടെയാണ് ഓർഡർ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. സാധ്യമായ നറുക്കെടുപ്പ് ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആറ് മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റം പരിഗണിക്കുന്നു, അതായത്, നമുക്ക് 6 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്!

ചുരുക്ക ഖണ്ഡികയിൽ, അത് എന്താണെന്നും അത് എങ്ങനെ കണക്കാക്കുന്നുവെന്നും ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരാമർശിച്ചു. മൊത്തത്തിൽ, 720 ഡ്രോയിംഗ് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ജോലിക്ക് വളരെ ഹ്രസ്വവും ലളിതവുമായ പരിഹാരമുണ്ട്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്ന ജോലികൾ ഇവയാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കും.

പ്രശ്നം 3

ഇരുപത്തിയഞ്ച് വിദ്യാർത്ഥികളുള്ള ഒരു ഗ്രൂപ്പിനെ ആറ്, ഒമ്പത്, പത്ത് പേരടങ്ങുന്ന മൂന്ന് ഉപഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കണം. നമുക്കുള്ളത്: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. ആവശ്യമായ ഫോർമുലയിലേക്ക് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: N25(6,9,10). ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ശേഷം, നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു - 16,360,143,800, ഒരു സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരം നേടേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് ടാസ്ക് പറയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് ഫാക്റ്റീരിയൽ രൂപത്തിൽ നൽകാം.

പ്രശ്നം 4

ഒന്ന് മുതൽ പത്ത് വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ മൂന്ന് പേർ ഊഹിച്ചു. ഒരാളുടെ നമ്പറുകൾ പൊരുത്തപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. ആദ്യം നമ്മൾ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം കണ്ടെത്തണം - നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ അത് ആയിരം, അതായത്, പത്ത് മുതൽ മൂന്നാമത്തെ ശക്തി വരെ. എല്ലാവരും വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ ഊഹിച്ചിരിക്കുമ്പോൾ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താം, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് ഞങ്ങൾ പത്ത്, ഒമ്പത്, എട്ട് എന്നിങ്ങനെ ഗുണിക്കുക. ഈ നമ്പറുകൾ എവിടെ നിന്ന് വന്നു? ആദ്യത്തേത് ഒരു നമ്പർ ഊഹിക്കുന്നു, അദ്ദേഹത്തിന് പത്ത് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, രണ്ടാമത്തേതിന് ഇതിനകം ഒമ്പത് ഉണ്ട്, മൂന്നാമത്തേത് ബാക്കിയുള്ള എട്ടിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ നമുക്ക് 720 സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ നേരത്തെ കണക്കാക്കിയതുപോലെ, മൊത്തത്തിൽ 1000 ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, ആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ 720 ഉണ്ട്, അതിനാൽ, ശേഷിക്കുന്ന 280 ൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു ഫോർമുല ആവശ്യമാണ്: P = . ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 0.28.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് സാധ്യതാ അനുഭവം,അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സാധ്യതാ പരീക്ഷണം. അതിൻ്റെ ഫലം സാധ്യമായ നിരവധി ഫലങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ, ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണം ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ ഏതെങ്കിലും പ്രാഥമിക ഫലം മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ ദൃശ്യമാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാൻ കാരണമില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡൈസ് എറിയുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. ഈ പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലം ക്യൂബിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ വരച്ച 6 പോയിൻ്റുകളിൽ ഒന്ന് നഷ്ടപ്പെടുന്നതാണ്.

അതിനാൽ, ഈ പരീക്ഷണത്തിൽ 6 പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്:

അവ ഓരോന്നും ഒരുപോലെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

സംഭവംഒരു ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി പരീക്ഷണത്തിൽ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഉപവിഭാഗമാണ്. ഒരു ഡൈ എറിയുന്നതിനുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇവൻ്റ്, ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഇരട്ട എണ്ണം പോയിൻ്റുകളുടെ നഷ്ടമാണ്.

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത സംഖ്യയാണ്:

ഇവൻ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എവിടെയാണ് (ചിലപ്പോൾ ഇത് സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണമാണെന്ന് അവർ പറയുന്നു), കൂടാതെ എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണമാണിത്.

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ:

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ.

പല പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണങ്ങളും വിവരിക്കുമ്പോൾ, കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഒബ്ജക്റ്റുകളിൽ ഒന്ന് (പരിമിതമായ സെറ്റുകളുടെ ശാസ്ത്രം) ഉപയോഗിച്ച് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.

പുനഃക്രമീകരണംആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ക്രമത്തിലുള്ള പ്രാതിനിധ്യമാണ് സംഖ്യകളുടെ. ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഒരു സെറ്റിന് 6 വ്യത്യസ്ത പെർമ്യൂട്ടേഷനുകൾ ഉണ്ട്:

, , , , , .

ക്രമരഹിതമായ സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ്

(1 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയിലെ തുടർച്ചയായ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം).

ഒരു കോമ്പിനേഷൻസെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങളുടെ അനിയന്ത്രിതമായ ക്രമമില്ലാത്ത സെറ്റാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന് 3 ബൈ 2 ൻ്റെ 3 വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉണ്ട്:

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ജോഡിക്ക് , എന്നതിൽ നിന്നുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് വിതരണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. വെളുത്തതും കറുത്തതുമായ പന്തുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു കറുത്ത പെട്ടി ഉണ്ട്. പന്തുകൾ ഒരേ വലിപ്പവും സ്പർശനത്തിന് അവ്യക്തവുമാണ്. ക്രമരഹിതമായി പന്തുകൾ വരയ്ക്കുന്നതാണ് പരീക്ഷണം. ഈ പന്തുകളിൽ ചിലത് വെളുത്തതും ബാക്കിയുള്ളവ കറുപ്പുമാണെന്നതാണ് പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തേണ്ട സംഭവം.

1 മുതൽ . വരെയുള്ള അക്കങ്ങളുള്ള എല്ലാ ബോളുകളുടെയും നമ്പർ നമുക്ക് പുനർനാമകരണം ചെയ്യാം. 1, ¼ സംഖ്യകൾ വെളുത്ത പന്തുകളുമായും അക്കങ്ങൾ , ¼ കറുത്ത പന്തുകളുമായും പൊരുത്തപ്പെടട്ടെ. ഈ പരീക്ഷണത്തിലെ പ്രാഥമിക ഫലം ഗണത്തിൽ നിന്നുള്ള ക്രമരഹിതമായ മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, അതായത് by എന്നതിൻ്റെ സംയോജനമാണ്. തൽഫലമായി, എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും ഉണ്ട്.

ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. അനുബന്ധ സെറ്റുകളിൽ "വെളുപ്പ്", "കറുപ്പ്" അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് "വെളുപ്പ്" നമ്പറുകളിൽ നിന്ന് മൂന്ന് തരത്തിലും "കറുപ്പ്" നമ്പറുകളിൽ നിന്ന് 3/4 വഴികളിലും നമ്പറുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. വെള്ളയും കറുപ്പും സെറ്റുകൾ ഏകപക്ഷീയമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുലയെ ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം 5.1.ബോക്സിൽ ഒരേ തരത്തിലുള്ള 55 സ്റ്റാൻഡേർഡ്, 6 വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും വികലമാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം.ആകെ 61 ഭാഗങ്ങളുണ്ട്, ഞങ്ങൾ 3 എടുക്കുന്നു. ഒരു പ്രാഥമിക ഫലം 61 ൻ്റെ 3 സംയോജനമാണ്. എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം തുല്യമാണ്. അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ മൂന്ന് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: 1) 1 ഭാഗം വികലവും 2 നല്ലതുമായ ഫലങ്ങൾ ഇവയാണ്; 2) 2 ഭാഗങ്ങൾ വികലമാണ്, 1 നല്ലത്; 3) എല്ലാ 3 ഭാഗങ്ങളും വികലമാണ്. ആദ്യ തരം സെറ്റുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൻ്റെ സെറ്റുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്, മൂന്നാമത്തെ തരത്തിൻ്റെ സെറ്റുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്. തൽഫലമായി, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവം പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളാൽ അനുകൂലമാണ്. സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത

സംഭവങ്ങളുടെ ബീജഗണിതം

പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടം നൽകിയിരിക്കുന്ന അനുഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും ഗണമാണ്.

തുകരണ്ട് സംഭവങ്ങളെ ഇവൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഇവൻ്റ് ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇവൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ജോലിരണ്ട് സംഭവങ്ങളെ ഒരേസമയം ഇവൻ്റുകളുടേതായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഇവൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇവൻ്റുകൾ, എങ്കിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്തത് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

എന്ന പേരിലാണ് പരിപാടി എതിർവശത്ത്ഇവൻ്റ്, ഇവൻ്റിന് ചേരാത്ത എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമാണെങ്കിൽ. പ്രത്യേകിച്ച്, , .

സം സിദ്ധാന്തം.

പ്രത്യേകിച്ച്, .

സോപാധിക സംഭാവ്യതഇവൻ്റ് സംഭവിച്ചാൽ, കവലയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തെ വിളിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുലയാണ്, അതിൽ പുതിയ പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസ് . ഒരു ഇവൻ്റിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത സൂചിപ്പിക്കുന്നത് .

ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തം. .

ഇവൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു സ്വതന്ത്രമായ, എങ്കിൽ. സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകൾക്കായി, ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തം ബന്ധം നൽകുന്നു.

തുകയുടെയും ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും അനന്തരഫലം ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്.

ആകെ പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല. അനുമാനങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ കൂട്ടം പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു കൂട്ടമാണ് , , ¼, , ഇത് ഒരുമിച്ച് മുഴുവൻ പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസും ഉണ്ടാക്കുന്നു:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഭവത്തിന്, മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല സാധുവാണ്,

ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ എവിടെയാണ്, , ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം നൽകിയാൽ അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെയും ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലെയും ഏത് പാഠപുസ്തകത്തിലും കാണാം.

പ്രശ്നം 5.3.ഒരു വലിയ ബാച്ച് ഭാഗങ്ങളിൽ 11% തകരാറുണ്ടെന്ന് അറിയാം. 100 ഭാഗങ്ങൾ പരീക്ഷണത്തിനായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. അവയിൽ 14-ൽ കൂടുതൽ വികലമായവ ഉണ്ടാകാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? Moivre-Laplace സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.ഞങ്ങൾ ഒരു ബെർണൂലി ടെസ്റ്റ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, എവിടെ , , . ഒരു വികലമായ ഭാഗത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തലായി ഒരു വിജയം കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ,

നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ നൽകുന്നു:

, , , , , , , , , , , , , , .

അതിനാൽ, . ഇനി നമുക്ക് Moivre-Laplace integral theorem പ്രയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിചിത്രത കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ പിശക് കവിയരുത്.

റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നത് ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഒരു സംഖ്യാ സ്വഭാവമാണ്, ഇത് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമാണ്. , , ¼, പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ആണെങ്കിൽ, റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ അതിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഈ മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതകളും പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

അത്തരമൊരു പട്ടികയെ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഭവങ്ങൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായതിനാൽ, പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് നോർമലൈസേഷൻ നിയമം തൃപ്തികരമാണ്

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരി മൂല്യം, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്പർഷൻ (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ അളവ്) റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്,

അത് കാണിക്കാം

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ്

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി ചതുര വ്യതിയാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം സെറ്റിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യതയാണ്, അതായത്

0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതും കുറയാത്തതുമായ ഫംഗ്‌ഷനാണിത്. പരിമിതമായ മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്, ഇത് സ്റ്റേറ്റ് പോയിൻ്റുകളിൽ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള വിരാമങ്ങളുള്ള ഒരു കഷ്‌ണമായി സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനമാണ്. മാത്രമല്ല, ഇടതുവശത്ത് തുടർച്ചയായി.

പ്രശ്നം 5.4.തുടർച്ചയായി രണ്ട് ഡൈസ് എറിയുന്നു. ഒരു ഡൈസിൽ ഒന്നോ മൂന്നോ അഞ്ചോ പോയിൻ്റുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, കളിക്കാരന് 5 റൂബിൾസ് നഷ്ടപ്പെടും. രണ്ടോ നാലോ പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയാൽ, കളിക്കാരന് 7 റൂബിൾസ് ലഭിക്കും. ആറ് പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയാൽ, കളിക്കാരന് 12 റൂബിൾസ് നഷ്ടപ്പെടും. ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം xരണ്ട് ഡൈസ് റോളുകൾക്കുള്ള കളിക്കാരൻ്റെ പ്രതിഫലമാണ്. വിതരണ നിയമം കണ്ടെത്തുക x, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും കണ്ടെത്തുക x.

പരിഹാരം.ഒരു ഡൈ എറിയുമ്പോൾ കളിക്കാരൻ്റെ വിജയങ്ങൾ എന്താണെന്ന് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം. ഇവൻ്റ് 1, 3 അല്ലെങ്കിൽ 5 പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ വിജയങ്ങൾ റൂബിൾ ആയിരിക്കും. സംഭവം 2 അല്ലെങ്കിൽ 4 പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ വിജയങ്ങൾ റൂബിൾ ആയിരിക്കും. അവസാനമായി, ഇവൻ്റ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് 6 റോളിംഗ് എന്നാണ്. അപ്പോൾ വിജയങ്ങൾ റൂബിളുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.

ഇനി നമുക്ക് സാധ്യമായ എല്ലാ സംയോജനങ്ങളും പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ രണ്ട് ഡൈസ് ത്രോകൾ ഉപയോഗിച്ച്, അത്തരം ഓരോ കോമ്പിനേഷനും വിജയിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ഒരു സംഭവം നടന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതേ സമയം.

ഒരു സംഭവം നടന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതേ സമയം.

അതുപോലെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുമ്പോൾ, .

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ സംസ്ഥാനങ്ങളും ഈ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ മൊത്തം സാധ്യതകളും പട്ടികയിൽ എഴുതുന്നു:

പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് നോർമലൈസേഷൻ്റെ നിയമത്തിൻ്റെ പൂർത്തീകരണം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു: യഥാർത്ഥ വരിയിൽ, ഈ ഇടവേള 1-ലേക്ക് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട്) കൂടാതെ അതിവേഗം കുറയുന്നത്, ¼,

വിഭാഗം 12. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം.

1. ആമുഖം

2. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ആശയങ്ങൾ

3. സംഭവങ്ങളുടെ ബീജഗണിതം

4. ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത

5. ജ്യാമിതീയ സാധ്യതകൾ

6. ക്ലാസിക്കൽ സാധ്യതകൾ. കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് ഫോർമുലകൾ.

7. സോപാധിക സംഭാവ്യത. സംഭവങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യം.

8. മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുലയും ബയേസ് ഫോർമുലയും

9. ആവർത്തിച്ചുള്ള ടെസ്റ്റ് സ്കീം. ബെർണൂലി ഫോർമുലയും അതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടിക്സും

10. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ (RV)

11. DSV വിതരണ പരമ്പര

12. ക്യുമുലേറ്റീവ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ

13. NSV വിതരണ പ്രവർത്തനം

14. എൻഎസ്വിയുടെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത

15. റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ

16. പ്രധാനപ്പെട്ട SV വിതരണങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

16.1 DSV യുടെ ദ്വിപദ വിതരണം.

16.2 വിഷം വിതരണം

16.3 എൻഎസ്വിയുടെ യൂണിഫോം വിതരണം.

16.4 സാധാരണ വിതരണം.

17. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പരിമിതപ്പെടുത്തുക.

ആമുഖം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, മറ്റ് പല ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങളെയും പോലെ, പരിശീലനത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതകളിൽ നിന്ന് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതാണ്. അതേ സമയം, ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയ പഠിക്കുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയയുടെ ഒരു അമൂർത്ത ഗണിത മാതൃക സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയയുടെ പ്രധാനവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ ചാലകശക്തികൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു, ദ്വിതീയമായവയെ പരിഗണിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നു, അവയെ ക്രമരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, പ്രധാനമായും ദ്വിതീയമായും കണക്കാക്കുന്നത് ഒരു പ്രത്യേക ചുമതലയാണ്. ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം, അമൂർത്തീകരണത്തിൻ്റെ തോത്, ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിൻ്റെ ലാളിത്യം അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണത, യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയയിലേക്കുള്ള മോഡലിൻ്റെ പര്യാപ്തതയുടെ അളവ് എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. സാരാംശത്തിൽ, ഏതൊരു അമൂർത്ത മാതൃകയും രണ്ട് എതിർ അഭിലാഷങ്ങളുടെ ഫലമാണ്: യാഥാർത്ഥ്യത്തോടുള്ള ലാളിത്യവും പര്യാപ്തതയും.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഷൂട്ടിംഗ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ഒരു പോയിൻ്റിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന തോക്കിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രൊജക്റ്റൈലിൻ്റെ ഫ്ലൈറ്റ് പാത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് വളരെ ലളിതവും സൗകര്യപ്രദവുമായ ഫോർമുലകൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട് (ചിത്രം 1).

ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ, സൂചിപ്പിച്ച സിദ്ധാന്തം മതിയാകും, ഉദാഹരണത്തിന്, വൻതോതിലുള്ള പീരങ്കികൾ തയ്യാറാക്കുമ്പോൾ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരേ അവസ്ഥയിൽ ഒരു തോക്കിൽ നിന്ന് നിരവധി ഷോട്ടുകൾ തൊടുത്താൽ, പാതകൾ അടുത്താണെങ്കിലും, ഇപ്പോഴും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ചിതറിക്കിടക്കുന്ന പ്രദേശവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ടാർഗെറ്റ് വലുപ്പം ചെറുതാണെങ്കിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട മോഡലിനുള്ളിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രത്യേക ചോദ്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു. അതേ സമയം, അധിക ഘടകങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നത് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു മാതൃകയിലേക്ക് നയിക്കും, അത് ഉപയോഗിക്കാൻ ഏതാണ്ട് അസാധ്യമാണ്. കൂടാതെ, ഈ ക്രമരഹിതമായ നിരവധി ഘടകങ്ങളുണ്ട്, അവയുടെ സ്വഭാവം മിക്കപ്പോഴും അജ്ഞാതമാണ്.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് മോഡലിന് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്ന അത്തരം നിർദ്ദിഷ്ട ചോദ്യങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്നവ: ഒരു നിശ്ചിത ഉറപ്പോടെ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുമെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നതിന് എത്ര ഷോട്ടുകൾ പ്രയോഗിക്കണം (ഉദാഹരണത്തിന്, ഓൺ )? ലക്ഷ്യത്തിലെത്താൻ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഷെല്ലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് എങ്ങനെ പൂജ്യം നടത്തണം? ഇത്യാദി.

നമ്മൾ പിന്നീട് കാണുന്നത് പോലെ, "റാൻഡം", "പ്രൊബബിലിറ്റി" എന്നീ വാക്കുകൾ കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പദങ്ങളായി മാറും. അതേസമയം, സാധാരണ സംഭാഷണത്തിൽ അവ വളരെ സാധാരണമാണ്. "റാൻഡം" എന്ന വിശേഷണം "സ്വാഭാവികം" എന്നതിന് വിപരീതമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് അങ്ങനെയല്ല, കാരണം ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകൾ പാറ്റേണുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്ന തരത്തിലാണ് പ്രകൃതി രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്, പക്ഷേ ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ.

പ്രധാന വ്യവസ്ഥയെ വിളിക്കുന്നു മാസ് സ്വഭാവം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം എറിഞ്ഞാൽ, എന്താണ് വരുമെന്ന് പ്രവചിക്കാൻ കഴിയില്ല, ഒരു അങ്കി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നമ്പർ, നിങ്ങൾക്ക് ഊഹിക്കാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ. എന്നിരുന്നാലും, ഈ നാണയം ധാരാളം തവണ വലിച്ചെറിയുകയാണെങ്കിൽ, കോട്ട് ഓഫ് ആംസ് വീഴുന്നതിൻ്റെ അനുപാതം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 0.5 ന് അടുത്ത് നിന്ന് വളരെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കില്ല (ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യയെ പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന് വിളിക്കും). മാത്രമല്ല, ടോസുകളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, ഈ സംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം കുറയും. ഈ വസ്തുവിനെ വിളിക്കുന്നു സ്ഥിരതശരാശരി സൂചകങ്ങൾ (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ - കോട്ടുകളുടെ വിഹിതം). പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടങ്ങളിൽ, സ്ഥിരതയുടെ സ്വത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം പ്രായോഗികമായി പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായി വന്നപ്പോൾ, മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞർ പോലും സ്വന്തം പരിശോധന നടത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് കരുതിയിരുന്നില്ല. അങ്ങനെ, ഒരു നാണയം 4040 തവണ വലിച്ചെറിഞ്ഞ ബഫണിൻ്റെ പ്രസിദ്ധമായ പരീക്ഷണം, 2048 തവണ കോട്ട് ഓഫ് ആംസ് ഉയർന്നു, അതിനാൽ, കോട്ട് ഓഫ് ആംസ് നഷ്ടപ്പെടുന്നതിൻ്റെ അനുപാതം (അല്ലെങ്കിൽ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി) 0.508 ആണ്, ഇത് അവബോധപരമായി അടുത്താണ്. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന സംഖ്യ 0.5.

അതിനാൽ, നിർവചനം സാധാരണയായി നൽകിയിരിക്കുന്നു മാസ് റാൻഡം പ്രക്രിയകളുടെ പാറ്റേണുകൾ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖയെന്ന നിലയിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിഷയം.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ നേട്ടങ്ങൾ കഴിഞ്ഞ നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ ആരംഭം മുതലുള്ളതാണെങ്കിലും, പ്രത്യേകിച്ചും A.N ൻ്റെ കൃതികളിലെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർമ്മാണത്തിന് നന്ദി. കോൾമോഗോറോവ് (1903-1987), അപകടങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ താൽപ്പര്യം വളരെക്കാലം മുമ്പ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

ചൂതാട്ടത്തിന് ഒരു സംഖ്യാപരമായ സമീപനം പ്രയോഗിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തിലായിരുന്നു പ്രാരംഭ താൽപ്പര്യങ്ങൾ. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യ രസകരമായ ഫലങ്ങൾ സാധാരണയായി എൽ. പാസിയോലി (1494), ഡി. കാർഡാനോ (1526), ​​എൻ. ടാർടാഗ്ലിയ (1556) എന്നിവരുടെ കൃതികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

പിന്നീട്, ബി. പാസ്കൽ (1623-1662), പി. ഫെർമറ്റ് (1601-1665), എച്ച്. ഹ്യൂഗൻസ് (1629-1695) പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ടു. 18-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ, ജെ. ബെർണൂലി (1654-1705) ഒരു ക്രമരഹിത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എന്ന ആശയം സാധ്യമായ എല്ലാവരുടെയും എണ്ണത്തിന് അനുകൂലമായ അവസരങ്ങളുടെ അനുപാതമായി രൂപീകരിച്ചു. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) അവരുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിൻ്റെ അളവ് എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൽ നിർമ്മിച്ചു.

സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് വീക്ഷണം അതിൻ്റെ ഏറ്റവും പൂർണ്ണമായ രൂപത്തിൽ 1933 ൽ അവതരിപ്പിച്ചു. എ.എൻ. കോൾമോഗോറോവ് തൻ്റെ മോണോഗ്രാഫിൽ "സാധ്യത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ". ഈ നിമിഷം മുതലാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം കർശനമായ ഗണിത ശാസ്ത്രമായി മാറുന്നത്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ പി.എൽ. ചെബിഷെവ് (1821-1894), എ.എ. മാർക്കോവ് (1856-1922), എസ്.എൻ. ബേൺസ്റ്റൈൻ (1880-1968) മറ്റുള്ളവരും.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഇപ്പോൾ അതിവേഗം വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ആശയങ്ങൾ

ഏതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര അച്ചടക്കത്തെയും പോലെ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ആരംഭിക്കുന്നത് നിർവചിക്കപ്പെടാത്തതും എന്നാൽ വിശദീകരിക്കപ്പെട്ടതുമായ ഏറ്റവും ലളിതമായ ആശയങ്ങളുടെ ആമുഖത്തോടെയാണ്.

പ്രധാന പ്രാഥമിക ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് അനുഭവം.പരിധിയില്ലാത്ത തവണ പുനർനിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥകളായി അനുഭവം മനസ്സിലാക്കുന്നു. ഈ സമുച്ചയത്തിൻ്റെ ഓരോ നിർവ്വഹണത്തെയും ഞങ്ങൾ ഒരു അനുഭവം അല്ലെങ്കിൽ പരീക്ഷണം എന്ന് വിളിക്കും. പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം, ഇവിടെയാണ് അവസരത്തിൻ്റെ ഘടകം ദൃശ്യമാകുന്നത്. ഒരു അനുഭവത്തിൻ്റെ വിവിധ ഫലങ്ങളെയോ ഫലങ്ങളെയോ വിളിക്കുന്നു സംഭവങ്ങൾ(അല്ലെങ്കിൽ ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ). അങ്ങനെ, പരീക്ഷണം നടപ്പിലാക്കുമ്പോൾ, ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു സംഭവം സംഭവിക്കാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു റാൻഡം ഇവൻ്റ് എന്നത് ഒരു പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമാണ്, അത് പരീക്ഷണം നടപ്പിലാക്കുന്ന സമയത്ത് സംഭവിക്കാനിടയുള്ള (കാണുന്നത്) അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാത്തതാണ്.

അനുഭവം അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും, കൂടാതെ ക്രമരഹിതമായ ഇവൻ്റുകൾ സാധാരണയായി വലിയ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കും

പലപ്പോഴും ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ, അതിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും, അതിനെ ഏറ്റവും ലളിതമായത് എന്ന് വിളിക്കാം, അത് ലളിതമായവയിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. അത്തരം സംഭവങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ(അഥവാ കേസുകൾ).

ഉദാഹരണം 1.നാണയം ടോസ് ചെയ്യട്ടെ. പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ ഇവയാണ്: അങ്കിയുടെ നഷ്ടം (ഞങ്ങൾ ഈ സംഭവത്തെ അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു); സംഖ്യകളുടെ നഷ്ടം (സൂചിപ്പിക്കുന്നത്). അപ്പോൾ നമുക്ക് എഴുതാം: അനുഭവം = (കോയിൻ ടോസ്), ഫലങ്ങൾ: ഈ പരീക്ഷണത്തിലെ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അനുഭവത്തിൻ്റെ എല്ലാ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളും ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നത് അതിനെ പൂർണ്ണമായും വിവരിക്കുന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അനുഭവം പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, അനുഭവം ഹ്രസ്വമായി രൂപത്തിൽ എഴുതാം: = (കോയിൻ ടോസ്) = (ജി; സി).

ഉദാഹരണം 2. =(നാണയം രണ്ടുതവണ വലിച്ചെറിയപ്പെടുന്നു)= അനുഭവത്തിൻ്റെ വാക്കാലുള്ള വിവരണവും എല്ലാ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ പട്ടികയും ഇതാ: അതിനർത്ഥം ആദ്യം, ഒരു നാണയത്തിൻ്റെ ആദ്യ ടോസിൽ, ഒരു അങ്കി വീണു, രണ്ടാമത്തേതിൽ, കോട്ട് ഓഫ് ആംസും വീണു; നാണയത്തിൻ്റെ ആദ്യ ടോസിൽ കോട്ട് ഓഫ് ആംസ് ഉയർന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ നമ്പർ മുതലായവ.

ഉദാഹരണം 3.കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, പോയിൻ്റുകൾ ഒരു ചതുരത്തിലേക്ക് എറിയുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകളാണ് പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ. ചുരുക്കത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

ചുരുണ്ട ബ്രാക്കറ്റിലുള്ള ഒരു കോളൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതിൽ പോയിൻ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നാണ്, എന്നാൽ ഒന്നുമല്ല, കോളണിന് ശേഷം വ്യക്തമാക്കിയ അവസ്ഥ (അല്ലെങ്കിൽ വ്യവസ്ഥകൾ) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നവ മാത്രം (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇവ അസമത്വങ്ങളാണ്).

ഉദാഹരണം 4.ആദ്യത്തെ അങ്കി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതുവരെ നാണയം എറിയുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, തല നിലത്തിറങ്ങുന്നതുവരെ നാണയം ടോസ് തുടരുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, പ്രാഥമിക ഇവൻ്റുകൾ പട്ടികപ്പെടുത്താം, അവയുടെ എണ്ണം അനന്തമാണെങ്കിലും:

ഉദാഹരണങ്ങൾ 3, 4 എന്നിവയിൽ, പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടത്തിന് അനന്തമായ ഫലങ്ങളുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണം 4 ൽ അവ പട്ടികപ്പെടുത്താം, അതായത്. വീണ്ടും കണക്കാക്കുക. അത്തരമൊരു കൂട്ടത്തെ കണക്കാക്കാവുന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണം 3-ൽ സ്ഥലം കണക്കാക്കാൻ പറ്റാത്തതാണ്.

ഏതൊരു അനുഭവത്തിലും ഉള്ളതും വലിയ സൈദ്ധാന്തിക പ്രാധാന്യമുള്ളതുമായ രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ കൂടി പരിചയപ്പെടുത്താം.

പരിപാടി വിളിക്കാം അസാധ്യം,അനുഭവത്തിൻ്റെ ഫലമായി, അത് സംഭവിക്കണമെന്നില്ല. ശൂന്യമായ സെറ്റിൻ്റെ ചിഹ്നത്താൽ ഞങ്ങൾ അതിനെ സൂചിപ്പിക്കും. നേരെമറിച്ച്, അനുഭവത്തിൻ്റെ ഫലമായി സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുള്ള ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു വിശ്വസനീയമായ.പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടം പോലെ തന്നെ വിശ്വസനീയമായ ഒരു ഇവൻ്റ് നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു - കത്ത് വഴി.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ, ഇവൻ്റ് (9 പോയിൻ്റിൽ താഴെ ചുരുട്ടിയത്) വിശ്വസനീയമാണ്, എന്നാൽ ഇവൻ്റ് (കൃത്യമായി 9 പോയിൻ്റുകൾ ചുരുട്ടിയത്) അസാധ്യമാണ്.

അതിനാൽ, പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടം ഒരു വാക്കാലുള്ള വിവരണം, അതിൻ്റെ എല്ലാ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെയും പട്ടിക, അതിൻ്റെ എല്ലാ പ്രാഥമിക ഇവൻ്റുകൾ നേടുന്ന നിയമങ്ങളുടെയും വ്യവസ്ഥകളുടെയും ക്രമീകരണം എന്നിവയിലൂടെ വ്യക്തമാക്കാം.

സംഭവങ്ങളുടെ ബീജഗണിതം

അനുഭവത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള ഫലമെന്ന നിലയിൽ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളെക്കുറിച്ച് മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾ ഇതുവരെ സംസാരിച്ചത്. എന്നിരുന്നാലും, അനുഭവത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ, പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾക്ക് പുറമേ മറ്റ് ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5.ഒരു ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ, യഥാക്രമം ഒന്ന്, രണ്ട്,..., ആറ് എന്ന പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾക്ക് പുറമേ, നമുക്ക് മറ്റ് സംഭവങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം: (ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ), (ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ), (മൂന്നിൻ്റെ ഗുണിതം), (4-ൽ താഴെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ) തുടങ്ങിയവ. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട ഇവൻ്റുകൾ, വാക്കാലുള്ള ചുമതല കൂടാതെ, പ്രാഥമിക ഇവൻ്റുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നതിലൂടെ വ്യക്തമാക്കാം:

എലിമെൻ്ററിയിൽ നിന്നും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളിൽ നിന്നും പുതിയ ഇവൻ്റുകളുടെ രൂപീകരണം ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ) ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്.

നിർവ്വചനം.രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി സംഭവിക്കുമെന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് ഒപ്പംസംഭവം, ഒപ്പംഇവൻ്റ്, അതായത് രണ്ട് സംഭവങ്ങളും ഒരുമിച്ച് സംഭവിക്കും (ഒരേസമയം).

ഉൽപ്പന്ന ചിഹ്നം (ഡോട്ട്) പലപ്പോഴും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു:

നിർവ്വചനം.രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി സംഭവിക്കും എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് അഥവാസംഭവം, അഥവാസംഭവം, അഥവാരണ്ടും ഒരുമിച്ച് (ഒരേ സമയം).

രണ്ട് നിർവചനങ്ങളിലും ഞങ്ങൾ ബോധപൂർവം സംയോജനങ്ങൾക്ക് പ്രാധാന്യം നൽകി ഒപ്പംഒപ്പം അഥവാ- പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങളുടെ സംസാരത്തിലേക്ക് വായനക്കാരൻ്റെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നതിനായി. നമ്മൾ "ഒപ്പം" എന്ന സംയോജനം ഉച്ചരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് സംഭവങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തെക്കുറിച്ചാണ്; “അല്ലെങ്കിൽ” എന്ന സംയോജനം ഉച്ചരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇവൻ്റുകൾ ചേർക്കണം. അതേ സമയം, ദൈനംദിന സംഭാഷണത്തിലെ "അല്ലെങ്കിൽ" എന്ന സംയോജനം പലപ്പോഴും രണ്ടിൽ ഒന്ന് ഒഴിവാക്കുന്ന അർത്ഥത്തിലാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്: "മാത്രം അല്ലെങ്കിൽ മാത്രം". പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ, അത്തരമൊരു അപവാദം അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നില്ല: കൂടാതെ , ഒപ്പം , കൂടാതെ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവത്തെ അർത്ഥമാക്കുന്നു

പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ എണ്ണിപ്പറഞ്ഞാൽ, നിർദ്ദിഷ്ട പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ ഇവൻ്റുകൾ എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. ലഭിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് ഇവൻ്റുകളിലുമുള്ള എല്ലാ പ്രാഥമിക ഇവൻ്റുകളും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യത്തേതിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത മറ്റൊരു സംഭവം.

ഉദാഹരണം 5-ൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും

അവതരിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങളെ ബൈനറി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം രണ്ട് ഇവൻ്റുകൾക്കായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഏകീകൃത പ്രവർത്തനം (ഒരൊറ്റ സംഭവത്തിനായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്) വലിയ പ്രാധാന്യമുള്ളതാണ്: ഇവൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എതിർവശത്ത്തന്നിരിക്കുന്ന അനുഭവത്തിൽ സംഭവം നടന്നിട്ടില്ല എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ സംഭവം. നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഓരോ സംഭവത്തിനും അതിൻ്റെ വിപരീതത്തിനും ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്: അവതരിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു കൂട്ടിച്ചേർക്കൽസംഭവങ്ങൾ എ.

പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് നൽകിയാൽ, ഇവൻ്റിൻ്റെ സ്പെസിഫിക്കേഷൻ അറിയുന്നതിലൂടെ, അത് നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഉദാഹരണത്തിന് 5 ഇവൻ്റ്

പരാൻതീസിസുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന മുൻഗണന സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു: കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, ഗുണനം, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

അതിനാൽ, അവതരിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടം മറ്റ് ക്രമരഹിതമായ ഇവൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിറയ്ക്കുന്നു. സംഭവങ്ങളുടെ ബീജഗണിതം.

ഉദാഹരണം 6.ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് മൂന്ന് തവണ വെടിയുതിർത്തു. ഇവൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കുക = (ഷൂട്ടർ i-th ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി), i = 1,2,3.

ഈ സംഭവങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ചില സംഭവങ്ങൾ രചിക്കാം (വിപരീതമായവയെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്). ഞങ്ങൾ ദീർഘമായ അഭിപ്രായങ്ങൾ നൽകുന്നില്ല; വായനക്കാരൻ അവ സ്വതന്ത്രമായി നടത്തുമെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നു.

ഇവൻ്റ് ബി = (മൂന്നു ഷോട്ടുകളും ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി). കൂടുതൽ വിശദാംശങ്ങൾ: ബി = ( ഒപ്പംആദ്യം, ഒപ്പംരണ്ടാമത്, ഒപ്പംമൂന്നാമത്തെ ഷോട്ട് ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി). യൂണിയൻ ഉപയോഗിച്ചു ഒപ്പം,അതിനാൽ, ഇവൻ്റുകൾ പെരുകുന്നു:

അതുപോലെ:

സി = (ഷോട്ടുകളൊന്നും ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുന്നില്ല)

E = (ഒരു ഷോട്ട് ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി)

D = (രണ്ടാം ഷോട്ടിൽ ടാർഗറ്റ് ഹിറ്റ്) = ;

F = (ലക്ഷ്യം രണ്ട് ഷോട്ടുകൾ അടിച്ചു)

N = (കുറഞ്ഞത് ഒരു ഹിറ്റെങ്കിലും ലക്ഷ്യത്തിലെത്തും)

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വിശകലന വസ്തുക്കളുടെയും ആശയങ്ങളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിന് വലിയ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ, ദൃശ്യപരമായി (ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം) അനുഭവം, ക്രമരഹിതമായ ഇവൻ്റുകൾ, പ്രവർത്തനങ്ങളെ അവയിൽ വിളിക്കപ്പെടുന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. യൂലർ-വെൻ ഡയഗ്രമുകൾ. ഓരോ അനുഭവവും ഒരു നിശ്ചിത ചതുരത്തിലേക്ക് എറിയുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് തിരിച്ചറിയപ്പെടുന്നു (വ്യാഖ്യാനം ചെയ്യുന്നു) എന്നതാണ് സാരം. ഡോട്ടുകൾ ക്രമരഹിതമായി എറിയപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ എല്ലാ ഡോട്ടുകൾക്കും ആ ചതുരത്തിൽ എവിടെയും ഇറങ്ങാനുള്ള തുല്യ അവസരമുണ്ട്. ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്ന അനുഭവത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂട് ചതുരം നിർവ്വചിക്കുന്നു. അനുഭവത്തിനുള്ളിലെ ഓരോ സംഭവവും ചതുരത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പ്രദേശം കൊണ്ട് തിരിച്ചറിയപ്പെടുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ആവിർഭാവം അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിനുള്ളിൽ ഒരു ക്രമരഹിതമായ പോയിൻ്റ് വീഴുന്നു, തുടർന്ന് ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ജ്യാമിതീയമായി എളുപ്പത്തിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 2)

എ:

എ + ബി: ഏതെങ്കിലും

വിരിയുന്നു

ചിത്രം 2 a) വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഇവൻ്റ് A ലംബ ഷേഡിംഗ് വഴിയും ഇവൻ്റ് B തിരശ്ചീന ഷേഡിംഗിലൂടെയും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു. അപ്പോൾ ഗുണന പ്രവർത്തനം ഒരു ഇരട്ട ഹാച്ചിനോട് യോജിക്കുന്നു - ഇവൻ്റ് ഇരട്ട ഹാച്ച് കൊണ്ട് പൊതിഞ്ഞ ചതുരത്തിൻ്റെ ആ ഭാഗവുമായി യോജിക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ അവയെ പൊരുത്തമില്ലാത്ത ഇവൻ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതനുസരിച്ച്, കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ പ്രവർത്തനം ഏതെങ്കിലും വിരിയിക്കലുമായി യോജിക്കുന്നു - ഇവൻ്റ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഏതെങ്കിലും വിരിയിക്കുന്ന ചതുരത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം - ലംബവും തിരശ്ചീനവും ഇരട്ടയുമാണ്. ചിത്രം 2 ൽ b) സംഭവം ചതുരത്തിൻ്റെ ഷേഡുള്ള ഭാഗവുമായി യോജിക്കുന്നു - അവതരിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അവയിൽ ചിലത് ഒരേ പേരിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് സാധുവാണ് അക്കങ്ങളിൽ, എന്നാൽ പ്രത്യേകമായവയും ഉണ്ട്.

10. ഗുണനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി;

20. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻറെ കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി;

മുപ്പത്. ഗുണനത്തിൻ്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി;

4 0 . കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സഹവാസം,

50 സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണം,

6 0 . ഗുണനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സങ്കലനത്തിൻ്റെ വിതരണം;

9 0 . ഡി മോർഗൻ്റെ ദ്വൈത നിയമങ്ങൾ,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· =, 1 .A+ =

ഉദാഹരണം 7.ഇവാനും പീറ്ററും ടി മണിക്കൂറിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ കണ്ടുമുട്ടാൻ സമ്മതിച്ചു, ഉദാഹരണത്തിന്, (0,T). അതേസമയം, മീറ്റിംഗിൽ എത്തുമ്പോൾ ഓരോരുത്തരും ഒരു മണിക്കൂറിൽ കൂടുതൽ മറ്റൊരാൾക്കായി കാത്തിരിക്കില്ലെന്ന് അവർ സമ്മതിച്ചു.

ഈ ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം നൽകാം. നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം: മീറ്റിംഗിൽ ഇവാൻ എത്തിയ സമയം; മീറ്റിംഗിനായി പീറ്ററിൻ്റെ വരവ് സമയം. സമ്മതിച്ചതുപോലെ: 0 . അപ്പോൾ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: = നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടം ഒരു ചതുരമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. 1

0 x ഈ രേഖയ്ക്ക് മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ചതുരത്തിൻ്റെ ആ ഭാഗത്തിന് സമാനമായി, രണ്ടാമത്തെ അസമത്വത്തിനും y≤x+ ഉം; എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തിക്കില്ല, അതായത്. .അങ്ങനെ, ഡി മോർഗൻ്റെ ദ്വിത്വത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം: ഘടകങ്ങൾ സമാന്തരമായി ബന്ധിപ്പിക്കുമ്പോൾ നടപ്പിലാക്കുന്നു.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, പ്രത്യേകിച്ച്, യഥാർത്ഥ സാങ്കേതിക ഉപകരണങ്ങളുടെ വിശ്വാസ്യത കണക്കാക്കുന്നതിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം കാണിക്കുന്നു.

യഥാർത്ഥത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ നമ്മുടെ ഭാവനയിൽ സംഭവിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളെ 3 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം. ഇവ തീർച്ചയായും സംഭവിക്കുന്ന ചില സംഭവങ്ങളാണ്, അസാധ്യമായ സംഭവങ്ങളും ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളും. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി റാൻഡം ഇവൻ്റുകൾ പഠിക്കുന്നു, അതായത്. സംഭവിക്കുകയോ നടക്കാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്ന സംഭവങ്ങൾ. ഈ ലേഖനം പ്രോബബിലിറ്റി സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തവും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും സംക്ഷിപ്തമായി അവതരിപ്പിക്കും, അത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ ടാസ്ക് 4 ൽ ആയിരിക്കും (പ്രൊഫൈൽ ലെവൽ).

എന്തുകൊണ്ടാണ് നമുക്ക് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വേണ്ടത്?

ചരിത്രപരമായി, 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ചൂതാട്ടത്തിൻ്റെ വികസനവും പ്രൊഫഷണലൈസേഷനും കാസിനോകളുടെ ആവിർഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത ഉയർന്നു. സ്വന്തം പഠനവും ഗവേഷണവും ആവശ്യമായ ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രതിഭാസമായിരുന്നു ഇത്.

കാർഡുകൾ, ഡൈസ്, റൗലറ്റ് എന്നിവ കളിക്കുന്നത് പരിമിതമായ ഏതെങ്കിലും സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കാവുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിച്ചു. ഒരു പ്രത്യേക സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവവികാസത്തിൻ്റെ സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള സംഖ്യാപരമായ കണക്കുകൾ നൽകേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത ഉണ്ടായിരുന്നു.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, സൂക്ഷ്മപ്രപഞ്ചത്തിൽ സംഭവിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന പ്രക്രിയകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ നിസ്സാരമെന്ന് തോന്നുന്ന ഈ ശാസ്ത്രം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമായി. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ആധുനിക സിദ്ധാന്തം സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

സംഭവങ്ങളും അവയുടെ സാധ്യതകളുമാണ് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ പഠന ലക്ഷ്യം. ഒരു ഇവൻ്റ് സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ലളിതമായ ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം, അതിൻ്റെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്.

എ, ബി ഇവൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുകയെ ഇവൻ്റ് സി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ഇവൻ്റ് എ, അല്ലെങ്കിൽ ഇവൻ്റ് ബി അല്ലെങ്കിൽ ഇവൻ്റുകൾ എ, ബി എന്നിവ ഒരേസമയം സംഭവിച്ചുവെന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

എ, ബി ഇവൻ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു ഇവൻ്റ് സി ആണ്, അതായത് ഇവൻ്റ് എ, ഇവൻ്റ് ബി എന്നിവ സംഭവിച്ചു എന്നാണ്.

എ, ബി ഇവൻ്റുകൾ ഒരേസമയം സംഭവിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ അവയെ പൊരുത്തമില്ലാത്തത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

A ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ അസാധ്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു സംഭവം ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണെങ്കിൽ ഒരു സംഭവത്തെ നിശ്ചയം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു സംഭവം ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോ ഇവൻ്റ് എയും P(A) എന്ന സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തട്ടെ. ഈ കത്തിടപാടുകൾക്കൊപ്പം ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ സംഖ്യയെ P(A) ഇവൻ്റ് A യുടെ പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു പ്രധാന പ്രത്യേക സാഹചര്യം, തുല്യ സാധ്യതയുള്ള പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമ്പോഴുള്ള സാഹചര്യമാണ്, കൂടാതെ ഈ ഫലങ്ങളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ സംഭവങ്ങൾ A. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി നൽകാം. ഈ രീതിയിൽ അവതരിപ്പിച്ച പ്രോബബിലിറ്റിയെ ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ കേസിൽ പ്രോപ്പർട്ടികൾ 1-4 തൃപ്തികരമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി പ്രശ്നങ്ങൾ പ്രധാനമായും ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അത്തരം ജോലികൾ വളരെ ലളിതമായിരിക്കും. ഡെമോൺസ്ട്രേഷൻ പതിപ്പുകളിലെ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി പ്രശ്നങ്ങൾ വളരെ ലളിതമാണ്. അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്;

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും.

പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം

മേശപ്പുറത്ത് 20 പൈകൾ ഉണ്ട് - 5 കാബേജ്, 7 ആപ്പിൾ, 8 അരി. മറീന പൈ എടുക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അവൾ അരി ദോശ എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം.

തുല്യ സാധ്യതയുള്ള 20 പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, മറീനയ്ക്ക് 20 പൈകളിൽ ഏതെങ്കിലും എടുക്കാം. എന്നാൽ മറീന റൈസ് പൈ എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, അരി പൈയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് എയാണ്. ഇതിനർത്ഥം, അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം (അരി ഉപയോഗിച്ച് പൈകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്) 8 മാത്രമാണ്. അപ്പോൾ സാധ്യത ഫോർമുല നിർണ്ണയിക്കും:

സ്വതന്ത്രവും വിപരീതവും ഏകപക്ഷീയവുമായ ഇവൻ്റുകൾ

എന്നിരുന്നാലും, ഓപ്പൺ ടാസ്‌ക് ബാങ്കിൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ കണ്ടെത്താൻ തുടങ്ങി. അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ പഠിച്ച മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങളിലേക്ക് വായനക്കാരൻ്റെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാം.

ഇവൻ്റുകൾ എ, ബി എന്നിവ ഓരോന്നിൻ്റെയും സംഭാവ്യത മറ്റേത് ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നുണ്ടോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഇവൻ്റ് ബി എന്നത് എ ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാത്തതാണ്, അതായത്. ഇവൻ്റ് ബി ഇവൻ്റ് A യുടെ വിപരീതമാണ്. വിപരീത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നേരിട്ടുള്ള ഇവൻ്റിൻ്റെ ഒരു മൈനസ് പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്. .

പ്രോബബിലിറ്റി കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണന സിദ്ധാന്തങ്ങളും, സൂത്രവാക്യങ്ങളും

അനിയന്ത്രിതമായ ഇവൻ്റുകൾ A, B എന്നിവയ്‌ക്ക്, ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത, അവയുടെ സംയുക്ത ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭാവ്യതയില്ലാതെ അവയുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്. .

സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകൾ എ, ബി എന്നിവയ്ക്ക്, ഈ ഇവൻ്റുകൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ .

അവസാന 2 പ്രസ്താവനകളെ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും സിദ്ധാന്തങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും അത്ര ലളിതമല്ല. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചില വ്യവസ്ഥകൾ നിറവേറ്റുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം. ചിലപ്പോൾ ഇത്തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വതന്ത്രമായ ജോലികളാകാം.

ഒഴിഞ്ഞ 6 സീറ്റുകളിൽ 6 വിദ്യാർത്ഥികളെ എത്ര രീതിയിൽ ഇരുത്താം? ആദ്യത്തെ വിദ്യാർത്ഥി 6 സ്ഥാനങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും എടുക്കും. ഈ ഓപ്‌ഷനുകൾ ഓരോന്നും രണ്ടാമത്തെ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരു സ്ഥാനം നേടാനുള്ള 5 വഴികളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. മൂന്നാമത്തെ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 4 സൌജന്യ സ്ഥലങ്ങൾ അവശേഷിക്കുന്നു, നാലാമന് 3, അഞ്ചാമന് 2, ആറാമത്തേത് അവശേഷിക്കുന്ന ഒരേയൊരു സ്ഥാനം നേടും. എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളുടെയും എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അത് ചിഹ്നം 6 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു! കൂടാതെ "ആറ് ഫാക്‌ടോറിയൽ" എന്ന് വായിക്കുന്നു.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ n മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തലുകളുടെ സൂത്രവാക്യം നൽകുന്നു.

ഇനി നമ്മുടെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മറ്റൊരു കേസ് പരിഗണിക്കാം. ഒഴിഞ്ഞ 6 സീറ്റുകളിൽ 2 വിദ്യാർത്ഥികളെ എത്ര രീതിയിൽ ഇരുത്താം? ആദ്യ വിദ്യാർത്ഥി 6 സ്ഥാനങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും എടുക്കും. ഈ ഓപ്‌ഷനുകൾ ഓരോന്നും രണ്ടാമത്തെ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരു സ്ഥാനം നേടാനുള്ള 5 വഴികളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളുടെയും എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പൊതുവേ, ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം k മൂലകങ്ങളുടെ മേൽ n മൂലകങ്ങളുടെ പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിനായുള്ള ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത്

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ.

ഈ പരമ്പരയിലെ അവസാനത്തെ കേസും. 6-ൽ നിന്ന് മൂന്ന് വിദ്യാർത്ഥികളെ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനാകും? ആദ്യത്തെ വിദ്യാർത്ഥിയെ 6 വഴികളിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, രണ്ടാമത്തേത് - 5 വഴികളിൽ, മൂന്നാമത്തേത് - നാല് വഴികളിൽ. എന്നാൽ ഈ ഓപ്ഷനുകളിൽ, ഒരേ മൂന്ന് വിദ്യാർത്ഥികൾ 6 തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളുടെയും എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്: . പൊതുവേ, ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനായുള്ള ഫോർമുലയാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ.

സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ടാസ്ക് 1. എഡിറ്റ് ചെയ്ത ശേഖരത്തിൽ നിന്ന്. യാഷ്ചെങ്കോ.

പ്ലേറ്റിൽ 30 പൈകളുണ്ട്: 3 മാംസവും 18 കാബേജും 9 ചെറിയും. സാഷ ക്രമരഹിതമായി ഒരു പൈ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. അവൻ ഒരു ചെറിയിൽ അവസാനിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

.

ഉത്തരം: 0.3.

ടാസ്ക് 2. എഡിറ്റ് ചെയ്ത ശേഖരത്തിൽ നിന്ന്. യാഷ്ചെങ്കോ.

1000 ബൾബുകളുള്ള ഓരോ ബാച്ചിലും ശരാശരി 20 എണ്ണം തകരാറാണ്. ഒരു ബാച്ചിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ഒരു ലൈറ്റ് ബൾബ് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: പ്രവർത്തിക്കുന്ന ലൈറ്റ് ബൾബുകളുടെ എണ്ണം 1000-20=980 ആണ്. അപ്പോൾ ഒരു ബാച്ചിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ഒരു ലൈറ്റ് ബൾബ് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത:

ഉത്തരം: 0.98.

ഒരു ഗണിത പരീക്ഷയിൽ വിദ്യാർത്ഥി യു 9 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.67 ആണ്. 8-ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ U. ശരിയായി പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.73 ആണ്. U കൃത്യമായി 9 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യാ രേഖ സങ്കൽപ്പിക്കുകയും അതിൽ 8, 9 പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്താൽ, “U. കൃത്യമായി 9 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും” എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് “U. 8 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും", എന്നാൽ "U" എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് ബാധകമല്ല. 9 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും.

എന്നിരുന്നാലും, വ്യവസ്ഥ "യു. 9 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും" എന്ന അവസ്ഥയിൽ "U. 8 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇവൻ്റുകൾ നിർദ്ദേശിക്കുകയാണെങ്കിൽ: “യു. കൃത്യമായി 9 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും" - എ, "യു വഴി. 8 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും" - B, "U വഴി. 9-ലധികം പ്രശ്‌നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും" സിയിലൂടെ. ആ പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഉത്തരം: 0.06.

ഒരു ജ്യാമിതി പരീക്ഷയിൽ, ഒരു വിദ്യാർത്ഥി പരീക്ഷാ ചോദ്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നു. ഇതൊരു ത്രികോണമിതി ചോദ്യമാകാനുള്ള സാധ്യത 0.2 ആണ്. ഇത് ബാഹ്യകോണുകളിലെ ചോദ്യമാകാനുള്ള സാധ്യത 0.15 ആണ്. ഈ രണ്ട് വിഷയങ്ങളുമായി ഒരേസമയം ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങളൊന്നുമില്ല. പരീക്ഷയിൽ ഈ രണ്ട് വിഷയങ്ങളിലൊന്നിൽ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരു ചോദ്യം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് എന്ത് സംഭവങ്ങളാണ് ഉള്ളതെന്ന് ചിന്തിക്കാം. പൊരുത്തമില്ലാത്ത രണ്ട് ഇവൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നു. അതായത്, ഒന്നുകിൽ ചോദ്യം "ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയവുമായി അല്ലെങ്കിൽ "ബാഹ്യ കോണുകൾ" എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കും. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ സംഭാവ്യത ഓരോ ഇവൻ്റിൻ്റെയും സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക നമ്മൾ കണ്ടെത്തണം, അതായത്:

ഉത്തരം: 0.35.

മൂന്ന് വിളക്കുകളുള്ള ഒരു വിളക്ക് കൊണ്ട് മുറി പ്രകാശിക്കുന്നു. ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ ഒരു വിളക്ക് കത്താനുള്ള സാധ്യത 0.29 ആണ്. വർഷത്തിൽ ഒരു വിളക്കെങ്കിലും കരിഞ്ഞുപോകാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

സാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് ലൈറ്റ് ബൾബുകൾ ഉണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നും മറ്റേതെങ്കിലും ലൈറ്റ് ബൾബിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി കത്തുകയോ കത്താതിരിക്കുകയോ ചെയ്യാം. ഇവ സ്വതന്ത്രമായ സംഭവങ്ങളാണ്.

അത്തരം ഇവൻ്റുകൾക്കുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കാം: - ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണാണ്, - ലൈറ്റ് ബൾബ് കത്തിച്ചു. അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ ഇവൻ്റിൻ്റെ സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, "ലൈറ്റ് ബൾബ് കത്തിച്ചിരിക്കുന്നു", "ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണാണ്", "ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണാണ്" എന്നീ മൂന്ന് സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകൾ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത സംഭവിച്ചു: , "ലൈറ്റ് ബൾബ്" എന്ന സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത "ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണല്ല" എന്ന ഇവൻ്റിന് എതിർവശത്തുള്ള ഇവൻ്റിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്: .

"അപകടങ്ങൾ ആകസ്മികമല്ല"... ഒരു തത്ത്വചിന്തകൻ പറഞ്ഞതുപോലെ തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ, ക്രമരഹിതമായ പഠനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മഹത്തായ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വിധിയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തം വഴിയാണ് അവസരം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. ജോലികളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും ഈ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും ലേഖനത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കും.

എന്താണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം?

ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി.

ഇത് കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം നൽകാം: നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം മുകളിലേക്ക് എറിയുകയാണെങ്കിൽ, അത് തലയിലോ വാലിലോ ഇറങ്ങാം. നാണയം വായുവിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഈ രണ്ട് സാധ്യതകളും സാധ്യമാണ്. അതായത്, സാധ്യമായ പ്രത്യാഘാതങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത 1: 1 ആണ്. 36 കാർഡുകളുടെ ഒരു ഡെക്കിൽ നിന്നാണ് ഒന്ന് വരച്ചതെങ്കിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി 1:36 ആയി സൂചിപ്പിക്കും. ഇവിടെ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാനും പ്രവചിക്കാനും ഒന്നുമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനം പലതവണ ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പാറ്റേൺ തിരിച്ചറിയാനും അതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മറ്റ് അവസ്ഥകളിലെ സംഭവങ്ങളുടെ ഫലം പ്രവചിക്കാനും കഴിയും.

മേൽപ്പറഞ്ഞവയെല്ലാം സംഗ്രഹിക്കാൻ, ക്ലാസിക്കൽ അർത്ഥത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഒരു സംഖ്യാ മൂല്യത്തിൽ സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളിലൊന്ന് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ പഠിക്കുന്നു.

ചരിത്രത്തിൻ്റെ താളുകളിൽ നിന്ന്

കാർഡ് ഗെയിമുകളുടെ ഫലം പ്രവചിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ആദ്യം ഉയർന്നുവന്ന വിദൂര മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി, ഫോർമുലകൾ, ആദ്യ ടാസ്ക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

തുടക്കത്തിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. പ്രായോഗികമായി പുനർനിർമ്മിക്കാവുന്ന ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ അനുഭവപരമായ വസ്തുതകളോ സവിശേഷതകളോ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ന്യായീകരിക്കപ്പെട്ടു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗമെന്ന നിലയിൽ ഈ മേഖലയിലെ ആദ്യത്തെ കൃതികൾ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കലും പിയറി ഫെർമറ്റും ആയിരുന്നു സ്ഥാപകർ. അവർ വളരെക്കാലം ചൂതാട്ടം പഠിക്കുകയും ചില പാറ്റേണുകൾ കാണുകയും ചെയ്തു, അത് പൊതുജനങ്ങളോട് പറയാൻ തീരുമാനിച്ചു.

പാസ്കലിൻ്റെയും ഫെർമാറ്റിൻ്റെയും ഗവേഷണ ഫലങ്ങളെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹത്തിന് പരിചിതമായിരുന്നില്ലെങ്കിലും ക്രിസ്റ്റ്യൻ ഹ്യൂജൻസും ഇതേ സാങ്കേതികവിദ്യ കണ്ടുപിടിച്ചു. "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന ആശയം, അച്ചടക്കത്തിൻ്റെ ചരിത്രത്തിൽ ആദ്യത്തേതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു.

ജേക്കബ് ബെർണൂലി, ലാപ്ലേസ്, പോയിസൺ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ എന്നിവയുടെ കൃതികളും ചെറുതല്ല. അവർ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ പോലെയാക്കി. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അടിസ്ഥാന ജോലികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്ക് അവയുടെ നിലവിലെ രൂപം ലഭിച്ചത് കോൾമോഗോറോവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് നന്ദി. എല്ലാ മാറ്റങ്ങളുടെയും ഫലമായി, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാഖകളിൽ ഒന്നായി മാറി.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ. ഇവൻ്റുകൾ

ഈ അച്ചടക്കത്തിൻ്റെ പ്രധാന ആശയം "ഇവൻ്റ്" ആണ്. മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള ഇവൻ്റുകൾ ഉണ്ട്:

• വിശ്വസനീയം.എന്തായാലും സംഭവിക്കുന്നവ (നാണയം വീഴും).
• അസാധ്യം.ഒരു സാഹചര്യത്തിലും സംഭവിക്കാത്ത സംഭവങ്ങൾ (നാണയം വായുവിൽ തൂങ്ങിക്കിടക്കും).
• ക്രമരഹിതം.സംഭവിക്കുന്നതോ നടക്കാത്തതോ ആയവ. പ്രവചിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിവിധ ഘടകങ്ങളാൽ അവ സ്വാധീനിക്കപ്പെടാം. നമ്മൾ ഒരു നാണയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലത്തെ ബാധിക്കുന്ന ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളുണ്ട്: നാണയത്തിൻ്റെ ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ, അതിൻ്റെ ആകൃതി, അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനം, എറിയുന്ന ശക്തി മുതലായവ.

ഉദാഹരണങ്ങളിലെ എല്ലാ സംഭവങ്ങളും വലിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, പി ഒഴികെ, ഇതിന് വ്യത്യസ്തമായ പങ്കുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്:

• എ = "വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."
• Ā = "വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നില്ല."

പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ, സംഭവങ്ങൾ സാധാരണയായി വാക്കുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

സംഭവങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകളിലൊന്ന് അവയുടെ തുല്യ സാധ്യതയാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം എറിയുകയാണെങ്കിൽ, അത് വീഴുന്നതുവരെ പ്രാരംഭ വീഴ്ചയുടെ എല്ലാ വകഭേദങ്ങളും സാധ്യമാണ്. എന്നാൽ സംഭവങ്ങളും തുല്യമായി സാധ്യമല്ല. ആരെങ്കിലും ബോധപൂർവം ഒരു ഫലത്തെ സ്വാധീനിക്കുമ്പോൾ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, "അടയാളപ്പെടുത്തിയ" കാർഡുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഡൈസ്, അതിൽ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രം മാറ്റി.

ഇവൻ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതും പൊരുത്തപ്പെടാത്തതും ആകാം. അനുയോജ്യമായ ഇവൻ്റുകൾ പരസ്പരം സംഭവിക്കുന്നതിനെ ഒഴിവാക്കുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്:

• എ = "വിദ്യാർത്ഥി പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."
• ബി = "വിദ്യാർത്ഥി പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."

ഈ സംഭവങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്, അവയിലൊന്ന് സംഭവിക്കുന്നത് മറ്റൊന്നിൻ്റെ സംഭവത്തെ ബാധിക്കില്ല. പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നത് ഒന്നിൻ്റെ സംഭവം മറ്റൊന്നിൻ്റെ സംഭവത്തെ ഒഴിവാക്കുന്നു എന്നതാണ്. നമ്മൾ ഒരേ നാണയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "വാലുകൾ" നഷ്ടപ്പെടുന്നത് അതേ പരീക്ഷണത്തിൽ "തലകൾ" പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് അസാധ്യമാക്കുന്നു.

ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഇവൻ്റുകൾ ഗുണിക്കുകയും അതിനനുസരിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യാം, ലോജിക്കൽ കണക്റ്റീവുകൾ "AND", "OR" എന്നിവ അച്ചടക്കത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഇവൻ്റ് എ അല്ലെങ്കിൽ ബി, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട്, ഒരേസമയം സംഭവിക്കാം എന്ന വസ്തുതയാണ് തുക നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. അവ അനുയോജ്യമല്ലെങ്കിൽ, അവസാന ഓപ്ഷൻ അസാധ്യമാണ്, ഒന്നുകിൽ എ അല്ലെങ്കിൽ ബി റോൾ ചെയ്യും.

സംഭവങ്ങളുടെ ഗുണനം ഒരേ സമയം എ, ബി എന്നിവയുടെ രൂപത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവ നന്നായി ഓർമ്മിക്കാൻ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ.

വ്യായാമം 1: മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾക്കുള്ള കരാറുകൾ സ്വീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മത്സരത്തിൽ കമ്പനി പങ്കെടുക്കുന്നു. സാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കാം:

• A = "സ്ഥാപനത്തിന് ആദ്യ കരാർ ലഭിക്കും."
• A 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് ആദ്യ കരാർ ലഭിക്കില്ല."
• ബി = "സ്ഥാപനത്തിന് രണ്ടാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കും."
• B 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് രണ്ടാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കില്ല"
• സി = "സ്ഥാപനത്തിന് മൂന്നാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കും."
• C 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് മൂന്നാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കില്ല."

ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

• കെ = "എല്ലാ കരാറുകളും കമ്പനിക്ക് ലഭിക്കും."

ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും: K = ABC.

• M = "കമ്പനിക്ക് ഒരു കരാർ പോലും ലഭിക്കില്ല."

M = A 1 B 1 C 1.

നമുക്ക് ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കാം: H = "കമ്പനിക്ക് ഒരു കരാർ ലഭിക്കും." കമ്പനിക്ക് ഏത് കരാറാണ് ലഭിക്കുകയെന്ന് അറിയാത്തതിനാൽ (ആദ്യം, രണ്ടാമത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തേത്), സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും രേഖപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

1 ബിസി 1 എന്നത് സ്ഥാപനത്തിന് ഒന്നും മൂന്നും കരാർ ലഭിക്കാത്ത, രണ്ടാമത്തേത് സ്വീകരിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയാണ്. സാധ്യമായ മറ്റ് സംഭവങ്ങൾ ഉചിതമായ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തി. അച്ചടക്കത്തിലെ υ എന്ന ചിഹ്നം "OR" എന്ന ബന്ധത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ മാനുഷിക ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്താൽ, കമ്പനിക്ക് മൂന്നാമത്തെ കരാർ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യത്തേത് ലഭിക്കും. സമാനമായ രീതിയിൽ, "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന അച്ചടക്കത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് വ്യവസ്ഥകൾ എഴുതാം. മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫോർമുലകളും ഉദാഹരണങ്ങളും ഇത് സ്വയം ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

യഥാർത്ഥത്തിൽ, സാധ്യത

ഒരുപക്ഷേ, ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തിൽ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയാണ് കേന്ദ്ര ആശയം. പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് 3 നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

• ക്ലാസിക്;
• സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ;
• ജ്യാമിതീയ.

പ്രോബബിലിറ്റി പഠനത്തിൽ ഓരോന്നിനും അതിൻ്റേതായ സ്ഥാനമുണ്ട്. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി, ഫോർമുലകൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ (9-ാം ഗ്രേഡ്) പ്രധാനമായും ക്ലാസിക് നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു:

• സാഹചര്യം A യുടെ സംഭാവ്യത, സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണവുമായി അത് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: P(A)=m/n.

എ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു സംഭവമാണ്. A ന് എതിരായി ഒരു കേസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അത് Ā അല്ലെങ്കിൽ A 1 എന്ന് എഴുതാം.

m എന്നത് സാധ്യമായ അനുകൂല കേസുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

n - സംഭവിക്കാവുന്ന എല്ലാ സംഭവങ്ങളും.

ഉദാഹരണത്തിന്, A = "ഹൃദയ സ്യൂട്ടിൻ്റെ ഒരു കാർഡ് വരയ്ക്കുക." ഒരു സാധാരണ ഡെക്കിൽ 36 കാർഡുകളുണ്ട്, അവയിൽ 9 എണ്ണം ഹൃദയങ്ങളുടേതാണ്. അതനുസരിച്ച്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

പി(എ)=9/36=0.25.

തൽഫലമായി, ഡെക്കിൽ നിന്ന് ഹാർട്ട് സ്യൂട്ടിൻ്റെ ഒരു കാർഡ് വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.25 ആയിരിക്കും.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലേക്ക്

സ്‌കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ വരുന്ന പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ എന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ കുറച്ചുകൂടി അറിയപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സർവ്വകലാശാലകളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്ന ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം കാണപ്പെടുന്നു. മിക്കപ്പോഴും അവർ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെയും സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ജ്യാമിതീയവും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളും നിർവചിച്ചാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വളരെ രസകരമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ (അല്ലെങ്കിൽ ആവൃത്തി) നിർവ്വചനം ഉപയോഗിച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും (ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം) ചെറുതായി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതാണ് നല്ലത്.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സമീപനം ക്ലാസിക്കൽ സമീപനത്തിന് വിരുദ്ധമല്ല, മറിച്ച് അതിനെ ചെറുതായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഈ രീതിയിൽ അത് എത്ര തവണ സംഭവിക്കുമെന്ന് സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇവിടെ "ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി" എന്ന ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അത് W n (A) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം. ഫോർമുല ക്ലാസിക് ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല:

പ്രവചനത്തിനായി ക്ലാസിക്കൽ ഫോർമുല കണക്കാക്കിയാൽ, പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ അനുസരിച്ച് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു ചെറിയ ജോലിയെടുക്കാം.

സാങ്കേതിക നിയന്ത്രണ വിഭാഗം ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഗുണനിലവാരം പരിശോധിക്കുന്നു. 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ മൂന്നെണ്ണം ഗുണനിലവാരമില്ലാത്തവയാണെന്ന് കണ്ടെത്തി. ഒരു ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഫ്രീക്വൻസി പ്രോബബിലിറ്റി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

A = "ഒരു ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപം."

W n (A)=97/100=0.97

അങ്ങനെ, ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആവൃത്തി 0.97 ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് 97 എവിടെ നിന്ന് ലഭിച്ചു? 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പരിശോധിച്ചതിൽ മൂന്നെണ്ണം ഗുണനിലവാരമില്ലാത്തവയാണെന്ന് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ 100 ൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് 97 ലഭിക്കുന്നു, ഇതാണ് ഗുണനിലവാരമുള്ള സാധനങ്ങളുടെ അളവ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച്

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു രീതിയെ കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം എന്തെന്നാൽ, ഒരു നിശ്ചിത ചോയ്‌സ് A യെ m വ്യത്യസ്‌ത രീതിയിലും ഒരു ചോയ്‌സ് B വ്യത്യസ്‌ത രീതിയിലും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, A, B എന്നിവയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഗുണനത്തിലൂടെ നടത്താം എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, നഗരം എയിൽ നിന്ന് ബി നഗരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന 5 റോഡുകളുണ്ട്. ബി നഗരത്തിൽ നിന്ന് സി നഗരത്തിലേക്ക് 4 പാതകളുണ്ട്. എയിൽ നിന്ന് സിറ്റി സിയിലേക്ക് എത്ര വഴികളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് എത്തിച്ചേരാനാകും?

ഇത് ലളിതമാണ്: 5x4=20, അതായത്, ഇരുപത് വ്യത്യസ്ത വഴികളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് പോയിൻ്റ് എ മുതൽ പോയിൻ്റ് സി വരെ ലഭിക്കും.

നമുക്ക് ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. സോളിറ്റയറിൽ കാർഡുകൾ ഇടാൻ എത്ര വഴികളുണ്ട്? ഡെക്കിൽ 36 കാർഡുകൾ ഉണ്ട് - ഇതാണ് ആരംഭ പോയിൻ്റ്. വഴികളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ആരംഭ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു സമയം ഒരു കാർഡ് "കുറച്ച്" ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതായത്, 36x35x34x33x32...x2x1= ഫലം കാൽക്കുലേറ്റർ സ്ക്രീനിൽ യോജിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇത് 36 എന്ന് നിയുക്തമാക്കാം!. അടയാളം "!" സംഖ്യയുടെ അടുത്ത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും ഒരുമിച്ച് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൽ പെർമ്യൂട്ടേഷൻ, പ്ലേസ്മെൻ്റ്, കോമ്പിനേഷൻ തുടങ്ങിയ ആശയങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ ഓരോന്നിനും അതിൻ്റേതായ ഫോർമുലയുണ്ട്.

ഒരു സെറ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു കൂട്ടത്തെ ക്രമീകരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകൾ ആവർത്തിക്കാം, അതായത്, ഒരു ഘടകം നിരവധി തവണ ഉപയോഗിക്കാം. ആവർത്തനമില്ലാതെ, ഘടകങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാത്തപ്പോൾ. n എന്നത് എല്ലാ ഘടകങ്ങളും, m എന്നത് പ്ലേസ്‌മെൻ്റിൽ പങ്കെടുക്കുന്ന ഘടകങ്ങളാണ്. ആവർത്തനമില്ലാതെ പ്ലേസ്‌മെൻ്റിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

A n m =n!/(n-m)!

പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ക്രമത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള n മൂലകങ്ങളുടെ കണക്ഷനുകളെ പെർമ്യൂട്ടേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: P n = n!

m ൻ്റെ n മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകൾ ആ സംയുക്തങ്ങളാണ്, അവ ഏതൊക്കെ മൂലകങ്ങളായിരുന്നു, അവയുടെ ആകെ സംഖ്യ എത്രയെന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

A n m =n!/m!(n-m)!

ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ, എല്ലാ വിഷയങ്ങളിലെയും പോലെ, അവരുടെ മേഖലയിലെ മികച്ച ഗവേഷകരുടെ സൃഷ്ടികൾ ഉണ്ട്, അവർ അതിനെ ഒരു പുതിയ തലത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോയി. ഈ കൃതികളിൽ ഒന്ന് ബെർണൂലി ഫോർമുലയാണ്, ഇത് സ്വതന്ത്ര സാഹചര്യങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ A യുടെ ആവിർഭാവം മുമ്പത്തെ അല്ലെങ്കിൽ തുടർന്നുള്ള പരീക്ഷണങ്ങളിൽ അതേ സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവവികാസത്തെയോ അല്ലാത്തതിനെയോ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം:

P n (m) = C n m ×p m × q n-m.

ഇവൻ്റ് (എ) സംഭവിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി (പി) ഓരോ ട്രയലിനും സ്ഥിരമാണ്. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ n എണ്ണത്തിൽ സാഹചര്യം കൃത്യമായി m തവണ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കും. അതനുസരിച്ച്, q നമ്പർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു.

ഇവൻ്റ് A നിരവധി തവണ p സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതനുസരിച്ച്, അത് സംഭവിക്കാനിടയില്ല. ഒരു അച്ചടക്കത്തിൽ ഒരു സാഹചര്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഫലങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് യൂണിറ്റ്. അതിനാൽ, ഒരു സംഭവം നടക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് q.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല (സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം) അറിയാം. പ്രശ്‌നപരിഹാരത്തിൻ്റെ (ആദ്യ തലം) ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ടാസ്ക് 2:ഒരു സ്റ്റോർ സന്ദർശകൻ പ്രോബബിലിറ്റി 0.2 ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തും. 6 സന്ദർശകർ സ്വതന്ത്രമായി സ്റ്റോറിൽ പ്രവേശിച്ചു. ഒരു സന്ദർശകൻ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്താനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം: എത്ര സന്ദർശകർ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തണമെന്ന് അജ്ഞാതമായതിനാൽ, ഒന്നോ ആറെണ്ണമോ, ബെർണൂലി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സാധ്യമായ എല്ലാ സാധ്യതകളും കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

A = "സന്ദർശകൻ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തും."

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: p = 0.2 (ടാസ്ക്കിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ). അതനുസരിച്ച്, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (സ്റ്റോറിൽ 6 ഉപഭോക്താക്കൾ ഉള്ളതിനാൽ). m എന്ന സംഖ്യ 0 മുതൽ (ഒരു ഉപഭോക്താവ് പോലും വാങ്ങില്ല) മുതൽ 6 വരെ വ്യത്യാസപ്പെടും (സ്റ്റോറിലെ എല്ലാ സന്ദർശകരും എന്തെങ്കിലും വാങ്ങും). തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം ലഭിക്കും:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 × q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

വാങ്ങുന്നവരാരും 0.2621 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് വാങ്ങില്ല.

ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) എങ്ങനെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ (രണ്ടാം തലം) താഴെ.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിനു ശേഷം, C ഉം r ഉം എവിടെ പോയി എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു. പിയുമായി ആപേക്ഷികമായി, 0 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും. സിയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

C n m = n! /m!(n-m)!

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ m = 0, യഥാക്രമം, C = 1, തത്വത്തിൽ ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല. പുതിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, രണ്ട് സന്ദർശകർ സാധനങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനുള്ള സാധ്യത എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം അത്ര സങ്കീർണ്ണമല്ല. ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല, മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതിന് നേരിട്ടുള്ള തെളിവാണ്.

പോയിസൻ്റെ ഫോർമുല

കുറഞ്ഞ പ്രോബബിലിറ്റി ക്രമരഹിതമായ സാഹചര്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ Poisson's equation ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം:

P n (m)=λ m /m! × ഇ (-λ) .

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ λ = n x p. ഇതാ ഒരു ലളിതമായ Poisson ഫോർമുല (സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം). പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ടാസ്ക് 3: ഫാക്ടറി 100,000 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു. ഒരു വികലമായ ഭാഗം സംഭവിക്കുന്നത് = 0.0001. ഒരു ബാച്ചിൽ 5 വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വിവാഹം ഒരു സാധ്യതയില്ലാത്ത സംഭവമാണ്, അതിനാൽ കണക്കുകൂട്ടലിനായി Poisson ഫോർമുല (സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം) ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ അച്ചടക്കത്തിലെ മറ്റ് ജോലികളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

A = "ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ഭാഗം വികലമായിരിക്കും."

p = 0.0001 (ടാസ്ക് വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്).

n = 100000 (ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം).

m = 5 (വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ). ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

ബെർണൂലി ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം) പോലെ, മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, പോയിസൺ സമവാക്യത്തിന് ഒരു അജ്ഞാതമായ ഇ ഉണ്ട്.

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

എന്നിരുന്നാലും, ഇ യുടെ മിക്കവാറും എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രത്യേക പട്ടികകളുണ്ട്.

ഡി മോവ്രെ-ലാപ്ലേസ് സിദ്ധാന്തം

ബെർണൂലി സ്കീമിൽ ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, എല്ലാ സ്കീമുകളിലും ഇവൻ്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഒരുപോലെയാണെങ്കിൽ, ഇവൻ്റ് എ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ടെസ്റ്റുകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത ലാപ്ലേസിൻ്റെ ഫോർമുല:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

ലാപ്ലേസിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) നന്നായി ഓർമ്മിക്കാൻ, പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ആദ്യം, നമുക്ക് X m കണ്ടെത്താം, ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ (അവയെല്ലാം മുകളിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു) മാറ്റി 0.025 നേടുക. പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ϕ (0.025) എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിൻ്റെ മൂല്യം 0.3988 ആണ്. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

പി 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

അങ്ങനെ, ഫ്ലയർ കൃത്യമായി 267 തവണ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.03 ആണ്.

ബയേസ് ഫോർമുല

ബയേസ് ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി), അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ നൽകും, ഒരു സംഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കാവുന്ന സാഹചര്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സംഭാവ്യത വിവരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം ഇപ്രകാരമാണ്:

പി (എ|ബി) = പി (ബി|എ) x പി (എ) / പി (ബി).

എയും ബിയും കൃത്യമായ സംഭവങ്ങളാണ്.

P(A|B) എന്നത് ഒരു സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റിയാണ്, അതായത്, ഇവൻ്റ് ബി ശരിയാണെങ്കിൽ ഇവൻ്റ് എ സംഭവിക്കാം.

P (B|A) - ഇവൻ്റ് B യുടെ സോപാധിക സംഭാവ്യത.

അതിനാൽ, “പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി” എന്ന ഹ്രസ്വ കോഴ്‌സിൻ്റെ അവസാന ഭാഗം ബയേസ് ഫോർമുലയാണ്, പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ടാസ്ക് 5: മൂന്ന് കമ്പനികളുടെ ഫോണുകളാണ് ഗോഡൗണിൽ എത്തിച്ചത്. അതേ സമയം, ആദ്യത്തെ പ്ലാൻ്റിൽ നിർമ്മിക്കുന്ന ഫോണുകളുടെ പങ്ക് 25% ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 60%, മൂന്നാമത്തേത് - 15%. ആദ്യത്തെ ഫാക്ടറിയിലെ കേടായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ശരാശരി ശതമാനം 2%, രണ്ടാമത്തേത് - 4%, മൂന്നാമത്തേത് - 1% എന്നിങ്ങനെയാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഫോൺ വികലമാകാനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

A = "ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഫോൺ."

ബി 1 - ആദ്യത്തെ ഫാക്ടറി നിർമ്മിച്ച ഫോൺ. അതനുസരിച്ച്, ആമുഖ ബി 2, ബി 3 എന്നിവ ദൃശ്യമാകും (രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഫാക്ടറികൾക്ക്).

ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പി (ബി 1) = 25%/100% = 0.25; പി (ബി 2) = 0.6; പി (ബി 3) = 0.15 - അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഓപ്ഷൻ്റെയും പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തി.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ഇവൻ്റിൻ്റെ സോപാധിക സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, കമ്പനികളിലെ വികലമായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത:

പി (എ/ബി 1) = 2%/100% = 0.02;

പി(എ/ബി 2) = 0.04;

പി (എ/ബി 3) = 0.01.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബയേസ് ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

പി (എ) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

ലേഖനം പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സമവാക്യങ്ങൾ, പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇത് ഒരു വലിയ അച്ചടക്കത്തിൻ്റെ മഞ്ഞുമലയുടെ അഗ്രം മാത്രമാണ്. എഴുതിയതെല്ലാം കഴിഞ്ഞാൽ, ജീവിതത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമുണ്ടോ എന്ന ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമായിരിക്കും. ഒരു സാധാരണ വ്യക്തിക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ പ്രയാസമാണ്; ഒന്നിലധികം തവണ ജാക്ക്പോട്ട് നേടാൻ അത് ഉപയോഗിച്ച ഒരാളോട് ചോദിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.