പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ നിർവചനം, ഗുണവിശേഷതകൾ. സാധ്യതകളുടെ നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ

"അപകടങ്ങൾ ആകസ്മികമല്ല"... ഒരു തത്ത്വചിന്തകൻ പറഞ്ഞതുപോലെ തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ, ക്രമരഹിതമായ പഠനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മഹത്തായ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വിധിയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തം വഴിയാണ് അവസരം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. ജോലികളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും ഈ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും ലേഖനത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കും.

എന്താണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം?

ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി.

ഇത് കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം നൽകാം: നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം മുകളിലേക്ക് എറിയുകയാണെങ്കിൽ, അത് തലയിലോ വാലിലോ ഇറങ്ങാം. നാണയം വായുവിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഈ രണ്ട് സാധ്യതകളും സാധ്യമാണ്. അതായത്, സാധ്യമായ പ്രത്യാഘാതങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത 1: 1 ആണ്. 36 കാർഡുകളുടെ ഒരു ഡെക്കിൽ നിന്നാണ് ഒന്ന് വരച്ചതെങ്കിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി 1:36 ആയി സൂചിപ്പിക്കും. ഇവിടെ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാനും പ്രവചിക്കാനും ഒന്നുമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനം പലതവണ ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പാറ്റേൺ തിരിച്ചറിയാനും അതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മറ്റ് അവസ്ഥകളിലെ സംഭവങ്ങളുടെ ഫലം പ്രവചിക്കാനും കഴിയും.

മേൽപ്പറഞ്ഞവയെല്ലാം സംഗ്രഹിക്കാൻ, ക്ലാസിക്കൽ അർത്ഥത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഒരു സംഖ്യാ മൂല്യത്തിൽ സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളിലൊന്ന് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ പഠിക്കുന്നു.

ചരിത്രത്തിൻ്റെ താളുകളിൽ നിന്ന്

കാർഡ് ഗെയിമുകളുടെ ഫലം പ്രവചിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ആദ്യം ഉയർന്നുവന്ന വിദൂര മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി, ഫോർമുലകൾ, ആദ്യ ടാസ്ക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

തുടക്കത്തിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. പ്രായോഗികമായി പുനർനിർമ്മിക്കാവുന്ന ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ അനുഭവപരമായ വസ്തുതകളോ സവിശേഷതകളോ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ന്യായീകരിക്കപ്പെട്ടു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗമെന്ന നിലയിൽ ഈ മേഖലയിലെ ആദ്യത്തെ കൃതികൾ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കലും പിയറി ഫെർമറ്റും ആയിരുന്നു സ്ഥാപകർ. അവർ വളരെക്കാലം ചൂതാട്ടം പഠിക്കുകയും ചില പാറ്റേണുകൾ കാണുകയും ചെയ്തു, അത് പൊതുജനങ്ങളോട് പറയാൻ തീരുമാനിച്ചു.

പാസ്കലിൻ്റെയും ഫെർമാറ്റിൻ്റെയും ഗവേഷണ ഫലങ്ങളെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹത്തിന് പരിചിതമായിരുന്നില്ലെങ്കിലും ക്രിസ്റ്റ്യൻ ഹ്യൂജൻസും ഇതേ സാങ്കേതികവിദ്യ കണ്ടുപിടിച്ചു. "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന ആശയം, അച്ചടക്കത്തിൻ്റെ ചരിത്രത്തിൽ ആദ്യത്തേതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു.

ജേക്കബ് ബെർണൂലി, ലാപ്ലേസ്, പോയിസൺ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ എന്നിവയുടെ കൃതികളും ചെറുതല്ല. അവർ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ പോലെയാക്കി. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അടിസ്ഥാന ജോലികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്ക് അവയുടെ നിലവിലെ രൂപം ലഭിച്ചത് കോൾമോഗോറോവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് നന്ദി. എല്ലാ മാറ്റങ്ങളുടെയും ഫലമായി, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാഖകളിൽ ഒന്നായി മാറി.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ. ഇവൻ്റുകൾ

ഈ അച്ചടക്കത്തിൻ്റെ പ്രധാന ആശയം "ഇവൻ്റ്" ആണ്. മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള ഇവൻ്റുകൾ ഉണ്ട്:

• വിശ്വസനീയം.എന്തായാലും സംഭവിക്കുന്നവ (നാണയം വീഴും).
• അസാധ്യം.ഒരു സാഹചര്യത്തിലും സംഭവിക്കാത്ത സംഭവങ്ങൾ (നാണയം വായുവിൽ തൂങ്ങിക്കിടക്കും).
• ക്രമരഹിതം.സംഭവിക്കുന്നതോ നടക്കാത്തതോ ആയവ. പ്രവചിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിവിധ ഘടകങ്ങളാൽ അവ സ്വാധീനിക്കപ്പെടാം. നമ്മൾ ഒരു നാണയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലത്തെ ബാധിക്കുന്ന ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളുണ്ട്: നാണയത്തിൻ്റെ ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ, അതിൻ്റെ ആകൃതി, അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനം, എറിയുന്ന ശക്തി മുതലായവ.

ഉദാഹരണങ്ങളിലെ എല്ലാ സംഭവങ്ങളും വലിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, പി ഒഴികെ, ഇതിന് വ്യത്യസ്തമായ പങ്കുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്:

• എ = "വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."
• Ā = "വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നില്ല."

പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ, സംഭവങ്ങൾ സാധാരണയായി വാക്കുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

സംഭവങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകളിലൊന്ന് അവയുടെ തുല്യ സാധ്യതയാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം എറിയുകയാണെങ്കിൽ, അത് വീഴുന്നതുവരെ പ്രാരംഭ വീഴ്ചയുടെ എല്ലാ വകഭേദങ്ങളും സാധ്യമാണ്. എന്നാൽ സംഭവങ്ങളും തുല്യമായി സാധ്യമല്ല. ആരെങ്കിലും ബോധപൂർവം ഒരു ഫലത്തെ സ്വാധീനിക്കുമ്പോൾ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, "അടയാളപ്പെടുത്തിയ" കാർഡുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഡൈസ്, അതിൽ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രം മാറ്റി.

ഇവൻ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതും പൊരുത്തപ്പെടാത്തതും ആകാം. അനുയോജ്യമായ ഇവൻ്റുകൾ പരസ്പരം സംഭവിക്കുന്നതിനെ ഒഴിവാക്കുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്:

• എ = "വിദ്യാർത്ഥി പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."
• ബി = "വിദ്യാർത്ഥി പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."

ഈ സംഭവങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്, അവയിലൊന്ന് സംഭവിക്കുന്നത് മറ്റൊന്നിൻ്റെ സംഭവത്തെ ബാധിക്കില്ല. പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നത് ഒന്നിൻ്റെ സംഭവം മറ്റൊന്നിൻ്റെ സംഭവത്തെ ഒഴിവാക്കുന്നു എന്നതാണ്. നമ്മൾ ഒരേ നാണയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "വാലുകൾ" നഷ്ടപ്പെടുന്നത് അതേ പരീക്ഷണത്തിൽ "തലകൾ" പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് അസാധ്യമാക്കുന്നു.

ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഇവൻ്റുകൾ ഗുണിക്കുകയും അതിനനുസരിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യാം, ലോജിക്കൽ കണക്റ്റീവുകൾ "AND", "OR" എന്നിവ അച്ചടക്കത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഇവൻ്റ് എ അല്ലെങ്കിൽ ബി, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട്, ഒരേസമയം സംഭവിക്കാം എന്ന വസ്തുതയാണ് തുക നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. അവ അനുയോജ്യമല്ലെങ്കിൽ, അവസാന ഓപ്ഷൻ അസാധ്യമാണ്, ഒന്നുകിൽ എ അല്ലെങ്കിൽ ബി റോൾ ചെയ്യും.

സംഭവങ്ങളുടെ ഗുണനം ഒരേ സമയം എ, ബി എന്നിവയുടെ രൂപത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവ നന്നായി ഓർമ്മിക്കാൻ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ.

വ്യായാമം 1: മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾക്കുള്ള കരാറുകൾ സ്വീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മത്സരത്തിൽ കമ്പനി പങ്കെടുക്കുന്നു. സാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കാം:

• A = "സ്ഥാപനത്തിന് ആദ്യ കരാർ ലഭിക്കും."
• A 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് ആദ്യ കരാർ ലഭിക്കില്ല."
• ബി = "സ്ഥാപനത്തിന് രണ്ടാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കും."
• B 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് രണ്ടാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കില്ല"
• സി = "സ്ഥാപനത്തിന് മൂന്നാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കും."
• C 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് മൂന്നാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കില്ല."

ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

• കെ = "എല്ലാ കരാറുകളും കമ്പനിക്ക് ലഭിക്കും."

ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും: K = ABC.

• M = "കമ്പനിക്ക് ഒരു കരാർ പോലും ലഭിക്കില്ല."

M = A 1 B 1 C 1.

നമുക്ക് ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കാം: H = "കമ്പനിക്ക് ഒരു കരാർ ലഭിക്കും." കമ്പനിക്ക് ഏത് കരാറാണ് ലഭിക്കുകയെന്ന് അറിയാത്തതിനാൽ (ആദ്യം, രണ്ടാമത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തേത്), സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും രേഖപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

1 ബിസി 1 എന്നത് സ്ഥാപനത്തിന് ഒന്നും മൂന്നും കരാർ ലഭിക്കാത്ത, രണ്ടാമത്തേത് സ്വീകരിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയാണ്. സാധ്യമായ മറ്റ് സംഭവങ്ങൾ ഉചിതമായ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തി. അച്ചടക്കത്തിലെ υ എന്ന ചിഹ്നം "OR" എന്ന ബന്ധത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ മാനുഷിക ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്താൽ, കമ്പനിക്ക് മൂന്നാമത്തെ കരാർ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യത്തേത് ലഭിക്കും. സമാനമായ രീതിയിൽ, "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന അച്ചടക്കത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് വ്യവസ്ഥകൾ എഴുതാം. മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫോർമുലകളും ഉദാഹരണങ്ങളും ഇത് സ്വയം ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

യഥാർത്ഥത്തിൽ, സാധ്യത

ഒരുപക്ഷേ, ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തിൽ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയാണ് കേന്ദ്ര ആശയം. പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് 3 നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

• ക്ലാസിക്;
• സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ;
• ജ്യാമിതീയ.

പ്രോബബിലിറ്റി പഠനത്തിൽ ഓരോന്നിനും അതിൻ്റേതായ സ്ഥാനമുണ്ട്. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി, ഫോർമുലകൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ (9-ാം ഗ്രേഡ്) പ്രധാനമായും ക്ലാസിക് നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു:

• സാഹചര്യം A യുടെ സംഭാവ്യത, സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണവുമായി അത് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: P(A)=m/n.

എ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു സംഭവമാണ്. A ന് എതിരായി ഒരു കേസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അത് Ā അല്ലെങ്കിൽ A 1 എന്ന് എഴുതാം.

m എന്നത് സാധ്യമായ അനുകൂല കേസുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

n - സംഭവിക്കാവുന്ന എല്ലാ സംഭവങ്ങളും.

ഉദാഹരണത്തിന്, A = "ഹൃദയ സ്യൂട്ടിൻ്റെ ഒരു കാർഡ് വരയ്ക്കുക." ഒരു സാധാരണ ഡെക്കിൽ 36 കാർഡുകളുണ്ട്, അവയിൽ 9 എണ്ണം ഹൃദയങ്ങളുടേതാണ്. അതനുസരിച്ച്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

പി(എ)=9/36=0.25.

തൽഫലമായി, ഡെക്കിൽ നിന്ന് ഹാർട്ട് സ്യൂട്ടിൻ്റെ ഒരു കാർഡ് വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.25 ആയിരിക്കും.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലേക്ക്

സ്‌കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ വരുന്ന പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ എന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ കുറച്ചുകൂടി അറിയപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സർവ്വകലാശാലകളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്ന ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം കാണപ്പെടുന്നു. മിക്കപ്പോഴും അവർ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെയും സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ജ്യാമിതീയവും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളും നിർവചിച്ചാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വളരെ രസകരമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ (അല്ലെങ്കിൽ ആവൃത്തി) നിർവ്വചനം ഉപയോഗിച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും (ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം) ചെറുതായി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതാണ് നല്ലത്.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സമീപനം ക്ലാസിക്കൽ സമീപനത്തിന് വിരുദ്ധമല്ല, മറിച്ച് അതിനെ ചെറുതായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഈ രീതിയിൽ അത് എത്ര തവണ സംഭവിക്കുമെന്ന് സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇവിടെ "ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി" എന്ന ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അത് W n (A) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം. ഫോർമുല ക്ലാസിക് ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല:

പ്രവചനത്തിനായി ക്ലാസിക്കൽ ഫോർമുല കണക്കാക്കിയാൽ, പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ അനുസരിച്ച് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു ചെറിയ ജോലിയെടുക്കാം.

സാങ്കേതിക നിയന്ത്രണ വിഭാഗം ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഗുണനിലവാരം പരിശോധിക്കുന്നു. 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ മൂന്നെണ്ണം ഗുണനിലവാരമില്ലാത്തവയാണെന്ന് കണ്ടെത്തി. ഒരു ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഫ്രീക്വൻസി പ്രോബബിലിറ്റി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

A = "ഒരു ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപം."

W n (A)=97/100=0.97

അങ്ങനെ, ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആവൃത്തി 0.97 ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് 97 എവിടെ നിന്ന് ലഭിച്ചു? 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പരിശോധിച്ചതിൽ മൂന്നെണ്ണം ഗുണനിലവാരമില്ലാത്തവയാണെന്ന് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ 100 ൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് 97 ലഭിക്കുന്നു, ഇതാണ് ഗുണനിലവാരമുള്ള സാധനങ്ങളുടെ അളവ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച്

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു രീതിയെ കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം എന്തെന്നാൽ, ഒരു നിശ്ചിത ചോയ്‌സ് A യെ m വ്യത്യസ്‌ത രീതിയിലും ഒരു ചോയ്‌സ് B വ്യത്യസ്‌ത രീതിയിലും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, A, B എന്നിവയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഗുണനത്തിലൂടെ നടത്താം എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, നഗരം എയിൽ നിന്ന് ബി നഗരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന 5 റോഡുകളുണ്ട്. ബി നഗരത്തിൽ നിന്ന് സി നഗരത്തിലേക്ക് 4 പാതകളുണ്ട്. എയിൽ നിന്ന് സിറ്റി സിയിലേക്ക് എത്ര വഴികളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് എത്തിച്ചേരാനാകും?

ഇത് ലളിതമാണ്: 5x4=20, അതായത്, ഇരുപത് വ്യത്യസ്ത വഴികളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് പോയിൻ്റ് എ മുതൽ പോയിൻ്റ് സി വരെ ലഭിക്കും.

നമുക്ക് ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. സോളിറ്റയറിൽ കാർഡുകൾ ഇടാൻ എത്ര വഴികളുണ്ട്? ഡെക്കിൽ 36 കാർഡുകൾ ഉണ്ട് - ഇതാണ് ആരംഭ പോയിൻ്റ്. വഴികളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ആരംഭ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു സമയം ഒരു കാർഡ് "കുറച്ച്" ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതായത്, 36x35x34x33x32...x2x1= ഫലം കാൽക്കുലേറ്റർ സ്ക്രീനിൽ യോജിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇത് 36 എന്ന് നിയുക്തമാക്കാം!. അടയാളം "!" സംഖ്യയുടെ അടുത്ത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും ഒരുമിച്ച് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൽ പെർമ്യൂട്ടേഷൻ, പ്ലേസ്മെൻ്റ്, കോമ്പിനേഷൻ തുടങ്ങിയ ആശയങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ ഓരോന്നിനും അതിൻ്റേതായ ഫോർമുലയുണ്ട്.

ഒരു സെറ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു കൂട്ടത്തെ ക്രമീകരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകൾ ആവർത്തിക്കാം, അതായത്, ഒരു ഘടകം നിരവധി തവണ ഉപയോഗിക്കാം. ആവർത്തനമില്ലാതെ, ഘടകങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാത്തപ്പോൾ. n എന്നത് എല്ലാ ഘടകങ്ങളും, m എന്നത് പ്ലേസ്‌മെൻ്റിൽ പങ്കെടുക്കുന്ന ഘടകങ്ങളാണ്. ആവർത്തനമില്ലാതെ പ്ലേസ്‌മെൻ്റിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

A n m =n!/(n-m)!

പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ക്രമത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള n മൂലകങ്ങളുടെ കണക്ഷനുകളെ പെർമ്യൂട്ടേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: P n = n!

m ൻ്റെ n മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകൾ ആ സംയുക്തങ്ങളാണ്, അവ ഏതൊക്കെ മൂലകങ്ങളായിരുന്നു, അവയുടെ ആകെ സംഖ്യ എത്രയെന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

A n m =n!/m!(n-m)!

ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ, എല്ലാ വിഷയങ്ങളിലും എന്നപോലെ, അവരുടെ മേഖലയിലെ മികച്ച ഗവേഷകരുടെ സൃഷ്ടികൾ ഉണ്ട്, അവർ അതിനെ ഒരു പുതിയ തലത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോയി. ഈ കൃതികളിൽ ഒന്ന് ബെർണൂലി ഫോർമുലയാണ്, ഇത് സ്വതന്ത്ര സാഹചര്യങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ A യുടെ ആവിർഭാവം മുമ്പത്തെ അല്ലെങ്കിൽ തുടർന്നുള്ള പരീക്ഷണങ്ങളിൽ അതേ സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവവികാസത്തെയോ അല്ലാത്തതിനെയോ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം:

P n (m) = C n m ×p m × q n-m.

ഇവൻ്റ് (എ) സംഭവിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി (പി) ഓരോ ട്രയലിനും സ്ഥിരമാണ്. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ n എണ്ണത്തിൽ സാഹചര്യം കൃത്യമായി m തവണ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കും. അതനുസരിച്ച്, q നമ്പർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു.

ഇവൻ്റ് A നിരവധി തവണ p സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതനുസരിച്ച്, അത് സംഭവിക്കാനിടയില്ല. ഒരു അച്ചടക്കത്തിൽ ഒരു സാഹചര്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഫലങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് യൂണിറ്റ്. അതിനാൽ, ഒരു സംഭവം നടക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് q.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല (സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം) അറിയാം. പ്രശ്‌നപരിഹാരത്തിൻ്റെ (ആദ്യ തലം) ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ടാസ്ക് 2:ഒരു സ്റ്റോർ സന്ദർശകൻ പ്രോബബിലിറ്റി 0.2 ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തും. 6 സന്ദർശകർ സ്വതന്ത്രമായി സ്റ്റോറിൽ പ്രവേശിച്ചു. ഒരു സന്ദർശകൻ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്താനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം: എത്ര സന്ദർശകർ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തണമെന്ന് അജ്ഞാതമായതിനാൽ, ഒന്നോ ആറെണ്ണമോ, ബെർണൂലി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സാധ്യമായ എല്ലാ സാധ്യതകളും കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

A = "സന്ദർശകൻ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തും."

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: p = 0.2 (ടാസ്ക്കിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ). അതനുസരിച്ച്, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (സ്റ്റോറിൽ 6 ഉപഭോക്താക്കൾ ഉള്ളതിനാൽ). m എന്ന സംഖ്യ 0 മുതൽ (ഒരു ഉപഭോക്താവ് പോലും വാങ്ങില്ല) മുതൽ 6 വരെ വ്യത്യാസപ്പെടും (സ്റ്റോറിലെ എല്ലാ സന്ദർശകരും എന്തെങ്കിലും വാങ്ങും). തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം ലഭിക്കും:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 × q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

വാങ്ങുന്നവരാരും 0.2621 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് വാങ്ങില്ല.

ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) എങ്ങനെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ (രണ്ടാം തലം) താഴെ.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിനു ശേഷം, C ഉം r ഉം എവിടെ പോയി എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു. പിയുമായി ആപേക്ഷികമായി, 0 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും. സിയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

C n m = n! /m!(n-m)!

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ m = 0, യഥാക്രമം, C = 1, തത്വത്തിൽ ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല. പുതിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, രണ്ട് സന്ദർശകർ സാധനങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനുള്ള സാധ്യത എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം അത്ര സങ്കീർണ്ണമല്ല. ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല, മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതിന് നേരിട്ടുള്ള തെളിവാണ്.

പോയിസൻ്റെ ഫോർമുല

കുറഞ്ഞ പ്രോബബിലിറ്റി ക്രമരഹിതമായ സാഹചര്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ Poisson's equation ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം:

P n (m)=λ m /m! × ഇ (-λ) .

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ λ = n x p. ഇതാ ഒരു ലളിതമായ Poisson ഫോർമുല (സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം). പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ടാസ്ക് 3: ഫാക്ടറി 100,000 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു. ഒരു വികലമായ ഭാഗം സംഭവിക്കുന്നത് = 0.0001. ഒരു ബാച്ചിൽ 5 വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വിവാഹം ഒരു സാധ്യതയില്ലാത്ത സംഭവമാണ്, അതിനാൽ കണക്കുകൂട്ടലിനായി Poisson ഫോർമുല (സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം) ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ അച്ചടക്കത്തിലെ മറ്റ് ജോലികളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

A = "ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ഭാഗം വികലമായിരിക്കും."

p = 0.0001 (ടാസ്ക് വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്).

n = 100000 (ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം).

m = 5 (വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ). ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

ബെർണൂലി ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം) പോലെ, മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, പോയിസൺ സമവാക്യത്തിന് ഒരു അജ്ഞാതമായ ഇ ഉണ്ട്.

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

എന്നിരുന്നാലും, ഇ യുടെ മിക്കവാറും എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രത്യേക പട്ടികകളുണ്ട്.

ഡി മോവ്രെ-ലാപ്ലേസ് സിദ്ധാന്തം

ബെർണൂലി സ്കീമിൽ ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, എല്ലാ സ്കീമുകളിലും ഇവൻ്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഒരുപോലെയാണെങ്കിൽ, ഇവൻ്റ് എ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ടെസ്റ്റുകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത ലാപ്ലേസിൻ്റെ ഫോർമുല:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

ലാപ്ലേസിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) നന്നായി ഓർമ്മിക്കാൻ, പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ആദ്യം, നമുക്ക് X m കണ്ടെത്താം, ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ (അവയെല്ലാം മുകളിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു) മാറ്റി 0.025 നേടുക. പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ϕ (0.025) എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിൻ്റെ മൂല്യം 0.3988 ആണ്. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

പി 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

അങ്ങനെ, ഫ്ലയർ കൃത്യമായി 267 തവണ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.03 ആണ്.

ബയേസ് ഫോർമുല

ബയേസ് ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി), അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ നൽകും, ഒരു സംഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കാവുന്ന സാഹചര്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സംഭാവ്യത വിവരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം ഇപ്രകാരമാണ്:

പി (എ|ബി) = പി (ബി|എ) x പി (എ) / പി (ബി).

എയും ബിയും കൃത്യമായ സംഭവങ്ങളാണ്.

P(A|B) എന്നത് ഒരു സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റിയാണ്, അതായത്, ഇവൻ്റ് ബി ശരിയാണെങ്കിൽ ഇവൻ്റ് എ സംഭവിക്കാം.

P (B|A) - ഇവൻ്റ് B യുടെ സോപാധിക സംഭാവ്യത.

അതിനാൽ, “പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി” എന്ന ഹ്രസ്വ കോഴ്‌സിൻ്റെ അവസാന ഭാഗം ബയേസ് ഫോർമുലയാണ്, പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ടാസ്ക് 5: മൂന്ന് കമ്പനികളുടെ ഫോണുകളാണ് ഗോഡൗണിൽ എത്തിച്ചത്. അതേ സമയം, ആദ്യത്തെ പ്ലാൻ്റിൽ നിർമ്മിക്കുന്ന ഫോണുകളുടെ പങ്ക് 25% ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 60%, മൂന്നാമത്തേത് - 15%. ആദ്യത്തെ ഫാക്ടറിയിലെ കേടായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ശരാശരി ശതമാനം 2%, രണ്ടാമത്തേത് - 4%, മൂന്നാമത്തേത് - 1% എന്നിങ്ങനെയാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഫോൺ വികലമാകാനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

A = "ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഫോൺ."

ബി 1 - ആദ്യത്തെ ഫാക്ടറി നിർമ്മിച്ച ഫോൺ. അതനുസരിച്ച്, ആമുഖ ബി 2, ബി 3 എന്നിവ ദൃശ്യമാകും (രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഫാക്ടറികൾക്ക്).

ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പി (ബി 1) = 25%/100% = 0.25; പി (ബി 2) = 0.6; പി (ബി 3) = 0.15 - അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഓപ്ഷൻ്റെയും പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തി.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ഇവൻ്റിൻ്റെ സോപാധിക സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, കമ്പനികളിലെ വികലമായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത:

പി (എ/ബി 1) = 2%/100% = 0.02;

പി(എ/ബി 2) = 0.04;

പി (എ/ബി 3) = 0.01.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബയേസ് ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

പി (എ) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

ലേഖനം പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സമവാക്യങ്ങൾ, പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇത് ഒരു വലിയ അച്ചടക്കത്തിൻ്റെ മഞ്ഞുമലയുടെ അഗ്രം മാത്രമാണ്. എഴുതിയതെല്ലാം കഴിഞ്ഞാൽ, ജീവിതത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമുണ്ടോ എന്ന ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമായിരിക്കും. ഒരു സാധാരണ വ്യക്തിക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ പ്രയാസമാണ്; ഒന്നിലധികം തവണ ജാക്ക്പോട്ട് നേടാൻ അത് ഉപയോഗിച്ച ഒരാളോട് ചോദിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ബഹുജന റാൻഡം പ്രതിഭാസങ്ങളിലെ പാറ്റേണുകൾ പഠിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്രമാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം.

പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ഒരു സിദ്ധാന്തമായി പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആവിർഭാവത്തിന് മുമ്പ്, ശാസ്ത്രത്തിൽ ഡിറ്റർമിനിസം ആധിപത്യം പുലർത്തിയിരുന്നു, അതനുസരിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥകൾ നടപ്പിലാക്കുന്നത് ഫലത്തെ അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ക്ലാസിക് ഉദാഹരണം മെക്കാനിക്സ് ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഖഗോള മെക്കാനിക്‌സിൻ്റെ നിയമങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സൗരയൂഥത്തിലെ ഗ്രഹങ്ങളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന സ്ഥാനങ്ങളിൽ നിന്ന് ചില നിമിഷങ്ങളിൽ സൂര്യഗ്രഹണങ്ങളും ചന്ദ്രഗ്രഹണങ്ങളും വളരെ കൃത്യമായി പ്രവചിക്കാൻ കഴിയും. അത്തരം നിയമങ്ങളെ ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ സമീപനം എല്ലായ്പ്പോഴും ബാധകമല്ലെന്ന് പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നു. സ്ഥൂലപ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ എല്ലാ പ്രതിഭാസങ്ങളും കൃത്യമായി പ്രവചിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അറിവ് തുടർച്ചയായി പരിഷ്കരിക്കപ്പെടുകയും ആഴമേറിയതാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. മൈക്രോവേൾഡിൻ്റെ നിയമങ്ങളും നിയമങ്ങളും ഇതിലും കുറവാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ ബഹുജന റാൻഡം പ്രതിഭാസങ്ങളിൽ വസ്തുനിഷ്ഠമായി നിലനിൽക്കുന്ന യഥാർത്ഥ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിയമങ്ങളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം തുടക്കത്തിൽ ഒരു പ്രായോഗിക അച്ചടക്കമായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അതിൻ്റെ ആശയങ്ങളും നിഗമനങ്ങളും അവ നേടിയ അറിവിൻ്റെ മേഖലകളാൽ നിറമുള്ളതായിരുന്നു.

കൃതികളിൽ ബി.വി. ഗ്നെഡെൻകോ, എൽ.ഇ. മെയ്സ്ട്രോവ, എ.എൻ. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികാസത്തിലെ പ്രധാന ഘട്ടങ്ങൾ കോൾമോഗോറോവ് അവതരിപ്പിക്കുന്നു. സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ അവയെ പട്ടിക രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

പട്ടിക 1

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിൻ്റെ ഘട്ടങ്ങൾ

പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന വികസനത്തിൻ്റെ ഉറവിടങ്ങൾ പരിശീലനത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതകളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് പ്രേരണയായി.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടോടെ, തത്ത്വചിന്തയിൽ ധാരാളം വസ്തുക്കൾ ശേഖരിച്ചു, ഇത് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉത്ഭവത്തെയും വികാസത്തിൻ്റെ ആദ്യ കാലഘട്ടത്തെയും സ്വാധീനിച്ചു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആവിർഭാവത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഉറവിടം പരിശീലനമാണ്. ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ വിശകലനത്തിനായി ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ പ്രോസസ്സിംഗിൻ്റെയും സാമാന്യവൽക്കരണത്തിൻ്റെയും ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്നാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെട്ടത് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് മാത്രമല്ല: ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ പാറ്റേണുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതവും സൗകര്യപ്രദവുമായ മെറ്റീരിയലായി ചൂതാട്ടം മാറി. ചൂതാട്ടത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾക്കൊപ്പം, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രീതികളും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു.

ഫ്രഞ്ച് രാജാവായ ഷെവലിയർ (കവലിയർ) ഡി മേറെ (1607-1648) എന്ന ചൂതാട്ടക്കാരൻ്റെ കൊട്ടാരം ഫ്രഞ്ച് ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും തത്ത്വചിന്തകനുമായ ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കലിലേക്ക് (1623-1662) തിരിഞ്ഞതോടെയാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉത്ഭവം ആരംഭിച്ചത്. കണ്ണടയുടെ പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ. ഡി മേർ മുതൽ പാസ്കൽ വരെയുള്ള പ്രസിദ്ധമായ രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾ ഞങ്ങളെ തേടിയെത്തി: 1) എത്ര തവണ രണ്ട് ഡൈസ് എറിയണം, അങ്ങനെ രണ്ട് സിക്സറുകൾ ഒരേസമയം വീണാൽ മൊത്തം ത്രോകളുടെ പകുതിയിലധികം വരും; 2) കളിക്കാർ അകാലത്തിൽ കളി നിർത്തിയാൽ, അപകടത്തിലുള്ള പണം എങ്ങനെ ന്യായമായി വിഭജിക്കാം? പാസ്കൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പിയറി ഫെർമാറ്റിലേക്ക് (1601-1665) തിരിയുകയും ഈ പ്രശ്നങ്ങളെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹവുമായി കത്തിടപാടുകൾ നടത്തുകയും ചെയ്തു. അവർ രണ്ടുപേരും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചില പ്രാരംഭ തത്വങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചു, പ്രത്യേകിച്ചും അവർ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന ആശയത്തിലേക്കും പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളിലേക്കും എത്തി.

പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് രീതികൾ നേരിട്ട് പ്രായോഗിക പ്രയോഗം കണ്ടെത്തി, ഒന്നാമതായി, ഇൻഷുറൻസ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ. അതിനുശേഷം, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വിവിധ മേഖലകളിൽ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രയോഗം കണ്ടെത്തി.

ഫ്രഞ്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞരായ ബി. പാസ്കലും പി. ഫെർമറ്റും ഡച്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ എച്ച്. ഹ്യൂഗൻസും (1629-1695) പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ കണ്ടുപിടുത്തക്കാരായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു പുതിയ ശാസ്ത്രം ഉയർന്നുവരാൻ തുടങ്ങി, അതിൻ്റെ പ്രത്യേകതകളും രീതിശാസ്ത്രവും ഉയർന്നുവരാൻ തുടങ്ങി: നിർവചനങ്ങൾ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, രീതികൾ.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികാസത്തിലെ ഒരു പ്രധാന ഘട്ടം ജേക്കബ് ബെർണൂലിയുടെ (1654-1705) പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വ്യവസ്ഥകളിലൊന്നിൻ്റെ ആദ്യ തെളിവ് അദ്ദേഹമാണോ? വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം. യാദൃശ്ചിക പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ സവിശേഷത ജേക്കബ് ബെർണൂളിക്ക് മുമ്പുതന്നെ, "ധാരാളം പരീക്ഷണങ്ങളിൽ ആവൃത്തികളുടെ സ്ഥിരതയുടെ സ്വത്ത്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു അനുഭവപരമായ വസ്തുതയായി പലരും അഭിപ്രായപ്പെട്ടു. നിരവധി പരീക്ഷണങ്ങൾക്കൊപ്പം, ഓരോന്നിൻ്റെയും ഫലം ക്രമരഹിതമാണ്, ഒരു നിശ്ചിത ഫലത്തിൻ്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി സ്ഥിരത കൈവരിക്കുന്നു, ഈ ഫലത്തിൻ്റെ സാധ്യതയെ സമീപിക്കുന്നുണ്ടോ? ഈ അനുഭവ വസ്തുതയ്ക്ക് ആദ്യമായി സൈദ്ധാന്തികമായ ന്യായീകരണം നൽകിയത് ജേക്കബ് ബെർണൂലിയാണ്. ജേക്കബ് ബെർണൂലിയുടെ സിദ്ധാന്തം? വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപം? ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയും അത് സംഭവിക്കുന്നതിൻ്റെ ആവൃത്തിയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു; മതിയായ അളവിലുള്ള പരീക്ഷണങ്ങൾക്കൊപ്പം, പ്രായോഗികമായ ഉറപ്പോടെ, ഫ്രീക്വൻസിയും പ്രോബബിലിറ്റിയും തമ്മിൽ ഏകപക്ഷീയമായി അടുത്ത കരാർ പ്രതീക്ഷിക്കാം.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികാസത്തിലെ മറ്റൊരു പ്രധാന ഘട്ടം മോവർ (1667?1754) എന്ന പേരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ആദ്യം പരിഗണനയിൽ അവതരിപ്പിച്ചു, ലളിതമായ സന്ദർഭത്തിൽ ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു നിയമത്തെ ന്യായീകരിച്ചു: സാധാരണ നിയമം (ഗാസ് നിയമം).

ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളിൽ സാധാരണ നിയമം വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ചില വ്യവസ്ഥകൾക്കായി ഈ നിയമത്തെ ന്യായീകരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളെ പൊതുവേ "കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം" എന്ന് വിളിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ യോജിപ്പും വ്യവസ്ഥാപിതവുമായ അവതരണം ആദ്യമായി നൽകിയത് പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലാപ്ലേസാണ് (1749-1827). സെൻട്രൽ ലിമിറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ (മോവ്രെ-ലാപ്ലേസ് സിദ്ധാന്തം) ഒരു രൂപത്തെ അദ്ദേഹം തെളിയിക്കുകയും പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്, പ്രത്യേകിച്ച്, നിരീക്ഷണ, അളവെടുപ്പ് പിശകുകളുടെ വിശകലനത്തിന് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ശ്രദ്ധേയമായ നിരവധി പ്രയോഗങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിൽ ഒരു സുപ്രധാന ചുവടുവെപ്പ് ഗോസ് (1777-1855) എന്ന പേരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അദ്ദേഹം സാധാരണ നിയമത്തിന് കൂടുതൽ പൊതുവായ ന്യായീകരണം നൽകുകയും പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി വികസിപ്പിച്ചെടുക്കുകയും ചെയ്തു. .

ജേക്കബ് ബെർണോളിയേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം തെളിയിച്ച പോയിസൻ്റെ (1781-1840) പ്രവർത്തനം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, കൂടാതെ ഷൂട്ടിംഗ് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി പ്രയോഗിച്ചതും കൂടിയാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലും അതിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങളിലും ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്ന വിതരണ നിയമങ്ങളിലൊന്നുമായി പൊയിസൻ്റെ പേര് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

18-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെയും 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൻ്റെയും സവിശേഷത പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ദ്രുതഗതിയിലുള്ള വികാസവും അതിനോടുള്ള വ്യാപകമായ ആവേശവുമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഒരു "ഫാഷനബിൾ" ശാസ്ത്രമായി മാറുകയാണ്. അതിൻ്റെ ഉപയോഗം നിയമപരമാകുന്നിടത്ത് മാത്രമല്ല, ഒരു തരത്തിലും ന്യായീകരിക്കപ്പെടാത്തിടത്തും അവർ അത് ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

"ധാർമ്മിക" അല്ലെങ്കിൽ "ധാർമ്മിക" ശാസ്ത്രങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സാമൂഹിക പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ പഠനത്തിന് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാനുള്ള നിരവധി ശ്രമങ്ങളാണ് ഈ കാലഘട്ടത്തിൻ്റെ സവിശേഷത. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉപകരണം ഉപയോഗിച്ച നിയമനടപടികൾ, ചരിത്രം, രാഷ്ട്രീയം, ദൈവശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിൽ നിരവധി കൃതികൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഈ കപടശാസ്ത്ര പഠനങ്ങളെല്ലാം അവയിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സാമൂഹിക പ്രതിഭാസങ്ങളോടുള്ള വളരെ ലളിതവും മെക്കാനിക്കൽ സമീപനവുമാണ്. ന്യായവാദം ഏകപക്ഷീയമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില സാധ്യതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, നിയമനടപടികളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ വ്യക്തിയുടെയും സത്യമോ നുണയോ പറയാനുള്ള പ്രവണത ചില സ്ഥിരമായ സംഭാവ്യതയാൽ കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, എല്ലാ ആളുകൾക്കും തുല്യമാണ്), തുടർന്ന് സാമൂഹിക പ്രശ്നം ഒരു ലളിതമായ ഗണിത പ്രശ്നമായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

സ്വാഭാവികമായും, അത്തരം എല്ലാ ശ്രമങ്ങളും പരാജയപ്പെടാൻ വിധിക്കപ്പെട്ടതിനാൽ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികാസത്തിൽ നല്ല പങ്ക് വഹിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല. നേരെമറിച്ച്, അവരുടെ പരോക്ഷ ഫലം ഇരുപതുകളോടടുത്തായിരുന്നു? പടിഞ്ഞാറൻ യൂറോപ്പിൽ 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ മുപ്പതുകളിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തോടുള്ള വ്യാപകമായ ആവേശം നിരാശയ്ക്കും സംശയത്തിനും വഴിമാറി. അവർ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെ സംശയാസ്പദമായ, രണ്ടാംതരം ശാസ്ത്രമായി, ഒരുതരം ഗണിതശാസ്ത്ര വിനോദമായി കാണാൻ തുടങ്ങി, ഗൗരവമായ പഠനത്തിന് യോഗ്യമല്ല.

റഷ്യയിൽ പ്രസിദ്ധമായ സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് ഗണിതശാസ്ത്ര വിദ്യാലയം സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടത് ഈ സമയത്താണ് എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്, ആരുടെ കൃതികളിലൂടെ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഉറച്ച ലോജിക്കൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര അടിസ്ഥാനത്തിൽ സ്ഥാപിക്കുകയും വിശ്വസനീയവും കൃത്യവും ഫലപ്രദവുമായ അറിവ് ഉണ്ടാക്കുകയും ചെയ്തു. ഈ വിദ്യാലയം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതുമുതൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനം ഇതിനകം റഷ്യക്കാരുടെ പ്രവർത്തനവുമായി അടുത്ത ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഭാവിയിൽ? സോവിയറ്റ് ശാസ്ത്രജ്ഞർ.

സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് ഗണിതശാസ്ത്ര വിദ്യാലയത്തിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാൾ വി. യാക്കോവ്സ്കി (1804?1889) എന്ന് വിളിക്കണം റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ആദ്യ കോഴ്സിൻ്റെ രചയിതാവ്, പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ആധുനിക റഷ്യൻ പദാവലിയുടെ സ്രഷ്ടാവ്, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്, ജനസംഖ്യാശാസ്ത്ര മേഖലയിലെ യഥാർത്ഥ ഗവേഷണത്തിൻ്റെ രചയിതാവ്.

വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം കൂടുതൽ വിപുലീകരിക്കുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചെയ്ത മഹാനായ റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പി.എൽ.ചെബിഷേവ് (1821?1894) ആയിരുന്നു വി. യാ.യുടെ വിദ്യാർത്ഥി. കൂടാതെ, P.L. Chebyshev പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് നിമിഷങ്ങളുടെ വളരെ ശക്തവും ഫലപ്രദവുമായ ഒരു രീതി അവതരിപ്പിച്ചു.

P.L. Chebyshev-ൻ്റെ വിദ്യാർത്ഥി A. A. Markov (1856.1922) ആയിരുന്നു, അദ്ദേഹം വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമത്തിൻ്റെയും കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെയും പ്രയോഗത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ഗണ്യമായി വിപുലീകരിച്ചു, അവ സ്വതന്ത്രമായി മാത്രമല്ല, ആശ്രിത പരീക്ഷണങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിപ്പിച്ചു. എ.എ. മാർക്കോവിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണം പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പുതിയ ശാഖയുടെ അടിത്തറയിട്ടതാണോ? ക്രമരഹിതമായ അല്ലെങ്കിൽ "സ്‌റ്റോക്കാസ്റ്റിക്" പ്രക്രിയകളുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനം ഏറ്റവും പുതിയതും ആധുനികവുമായ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഉള്ളടക്കം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

A. M. Lyapunov (1857-1918), അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേര് വളരെ പൊതു സാഹചര്യങ്ങളിൽ കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യ തെളിവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, P. L. ചെബിഷേവിൻ്റെ വിദ്യാർത്ഥിയും ആയിരുന്നു. തൻ്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ, A. M. Lyapunov സ്വഭാവ സവിശേഷതകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക രീതി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, ആധുനിക പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സ്കൂളിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു സവിശേഷത, പ്രശ്നങ്ങളുടെ രൂപീകരണത്തിൻ്റെ അസാധാരണമായ വ്യക്തത, ഉപയോഗിച്ച രീതികളുടെ പൂർണ്ണമായ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കാഠിന്യം, അതേ സമയം പരിശീലനത്തിൻ്റെ അടിയന്തിര ആവശ്യകതകളുമായുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടുത്ത ബന്ധം എന്നിവയായിരുന്നു. സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സ്‌കൂളിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ സൃഷ്ടികളിലൂടെ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അരികിൽ നിന്ന് പുറത്തുകൊണ്ടുവരുകയും കൃത്യമായ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ അംഗമായി സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്തു. അവളുടെ രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ കർശനമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ രീതികൾ തന്നെ ഉയർന്ന അളവിലുള്ള പൂർണ്ണതയിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു.

സോവിയറ്റ് സ്കൂൾ ഓഫ് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി, സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സ്കൂളിൻ്റെ പാരമ്പര്യം പാരമ്പര്യമായി കൈവരിച്ചു, ലോക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു. ആധുനിക പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെയും അതിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗങ്ങളുടെയും വികസനത്തിൽ നിർണ്ണായക പങ്ക് വഹിച്ച ഏറ്റവും വലിയ സോവിയറ്റ് ശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ചിലരെ മാത്രം നമുക്ക് നാമകരണം ചെയ്യാം.

എസ്.എൻ. ബെർൺസ്റ്റൈൻ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യത്തെ സമ്പൂർണ്ണ ആക്സിയോമാറ്റിക്സ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, കൂടാതെ പരിമിത സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ഗണ്യമായി വിപുലീകരിച്ചു.

A. Ya. Kinchin (1894.

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെയും വിവിധ മേഖലകളിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നിരവധി അടിസ്ഥാന കൃതികൾ എ എൻ കോൾമോഗോറോവിൻ്റേതാണ്. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ശാഖകളിലൊന്നുമായി അതിനെ ബന്ധിപ്പിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും മികച്ച അച്ചുതണ്ട് നിർമ്മാണം അദ്ദേഹം നൽകി? പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മെട്രിക് സിദ്ധാന്തം. നിലവിൽ ഈ മേഖലയിലെ എല്ലാ ഗവേഷണങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനമായ റാൻഡം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ (സ്‌റ്റോക്കാസ്റ്റിക് പ്രോസസുകൾ) സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മേഖലയിൽ A. N. Kolmogorov ൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേക പ്രാധാന്യമുണ്ട്. ഫലപ്രാപ്തിയുടെ വിലയിരുത്തലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട A. N. Kolmogorov ൻ്റെ കൃതികൾ ഷൂട്ടിംഗ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഒരു പുതിയ ശാസ്ത്രീയ ദിശയുടെ അടിസ്ഥാനം സൃഷ്ടിച്ചു, അത് പിന്നീട് യുദ്ധ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലപ്രാപ്തിയുടെ വിശാലമായ ശാസ്ത്രമായി വളർന്നു.

വി.ഐ. റൊമാനോവ്‌സ്‌കി, എൻ.വി. സ്മിർനോവ് എന്നിവർ ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് മേഖലയിലെ പ്രവർത്തനത്തിന് പേരുകേട്ടവരാണ്, ഇ.ഇ. സ്ലട്ട്‌സ്‌കി? ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, B.V. Gnedenko? ക്യൂയിംഗ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മേഖലയിൽ, E. B. Dynkin? മാർക്കോവ് ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ മേഖലയിൽ, വി.എസ്. പുഗച്ചേവ്? യാന്ത്രിക നിയന്ത്രണ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ബാധകമായ ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ മേഖലയിൽ.

പരിശീലനത്തിൻ്റെ അടിയന്തിര ആവശ്യകതകൾ കാരണം വിദേശ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനവും നിലവിൽ ത്വരിതഗതിയിൽ പുരോഗമിക്കുന്നു. ഞങ്ങളെപ്പോലെ, ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങൾക്കാണ് മുൻഗണന നൽകുന്നത്. ഈ മേഖലയിലെ പ്രധാന കൃതികൾ എൻ. വീനർ, വി. ഫെല്ലർ, ഡി. ഡൂബ് എന്നിവരുടേതാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെയും ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലെയും പ്രധാന കൃതികൾ ആർ. ഫിഷർ, ഡി. ന്യൂമാൻ, ജി. ക്രാമർ എന്നിവരുടേതാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മറ്റ് ശാഖകളെപ്പോലെ, പരിശീലനത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതകളിൽ നിന്ന് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതാണ്, കൂടാതെ ഇത് ബഹുജന റാൻഡം സംഭവങ്ങളിലെ പാറ്റേണുകളെ അമൂർത്തമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം, വൈദ്യശാസ്ത്രം, സാങ്കേതികവിദ്യ, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, സൈനിക കാര്യങ്ങൾ എന്നിവയുടെ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഈ പാറ്റേണുകൾ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. പരിശീലനത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതകൾ കാരണം പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പല ശാഖകളും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് സാധ്യതാ അനുഭവം,അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സാധ്യതാ പരീക്ഷണം. അതിൻ്റെ ഫലം സാധ്യമായ നിരവധി ഫലങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ, ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണം ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ ഏതെങ്കിലും പ്രാഥമിക ഫലം മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ ദൃശ്യമാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാൻ കാരണമില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡൈസ് എറിയുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. ഈ പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലം ക്യൂബിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ വരച്ച 6 പോയിൻ്റുകളിൽ ഒന്ന് നഷ്ടപ്പെടുന്നതാണ്.

അതിനാൽ, ഈ പരീക്ഷണത്തിൽ 6 പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്:

അവ ഓരോന്നും ഒരുപോലെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

സംഭവംഒരു ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി പരീക്ഷണത്തിൽ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഉപവിഭാഗമാണ്. ഒരു ഡൈ എറിയുന്നതിനുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇവൻ്റ്, ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഇരട്ട എണ്ണം പോയിൻ്റുകളുടെ നഷ്ടമാണ്.

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത സംഖ്യയാണ്:

ഇവൻ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എവിടെയാണ് (ചിലപ്പോൾ ഇത് സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണമാണെന്ന് അവർ പറയുന്നു), കൂടാതെ എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണമാണിത്.

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ:

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ.

പല പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണങ്ങളും വിവരിക്കുമ്പോൾ, കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഒബ്ജക്റ്റുകളിൽ ഒന്ന് (പരിമിതമായ സെറ്റുകളുടെ ശാസ്ത്രം) ഉപയോഗിച്ച് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.

പുനഃക്രമീകരണംആവർത്തനങ്ങളില്ലാതെ ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ക്രമത്തിലുള്ള പ്രാതിനിധ്യമാണ് സംഖ്യകളുടെ. ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഒരു സെറ്റിന് 6 വ്യത്യസ്ത പെർമ്യൂട്ടേഷനുകൾ ഉണ്ട്:

, , , , , .

ക്രമരഹിതമായ സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ്

(1 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയിലെ തുടർച്ചയായ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം).

ഒരു കോമ്പിനേഷൻസെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങളുടെ അനിയന്ത്രിതമായ ക്രമമില്ലാത്ത സെറ്റാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന് 3 ബൈ 2 ൻ്റെ 3 വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉണ്ട്:

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ജോഡിക്ക് , എന്നതിൽ നിന്നുള്ള കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് വിതരണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. വെളുത്തതും കറുത്തതുമായ പന്തുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു കറുത്ത പെട്ടി ഉണ്ട്. പന്തുകൾ ഒരേ വലിപ്പവും സ്പർശനത്തിന് അവ്യക്തവുമാണ്. ക്രമരഹിതമായി പന്തുകൾ വരയ്ക്കുന്നതാണ് പരീക്ഷണം. ഈ പന്തുകളിൽ ചിലത് വെളുത്തതും ബാക്കിയുള്ളവ കറുപ്പുമാണെന്നതാണ് പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തേണ്ട സംഭവം.

1 മുതൽ . വരെയുള്ള അക്കങ്ങളുള്ള എല്ലാ ബോളുകളുടെയും നമ്പർ നമുക്ക് പുനർനാമകരണം ചെയ്യാം. 1, ¼ സംഖ്യകൾ വെളുത്ത പന്തുകളുമായും അക്കങ്ങൾ , ¼ കറുത്ത പന്തുകളുമായും പൊരുത്തപ്പെടട്ടെ. ഈ പരീക്ഷണത്തിലെ പ്രാഥമിക ഫലം ഗണത്തിൽ നിന്നുള്ള ക്രമരഹിതമായ മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, അതായത് by എന്നതിൻ്റെ സംയോജനമാണ്. തൽഫലമായി, എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും ഉണ്ട്.

ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. അനുബന്ധ സെറ്റുകളിൽ "വെളുപ്പ്", "കറുപ്പ്" അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് "വെളുപ്പ്" നമ്പറുകളിൽ നിന്ന് മൂന്ന് തരത്തിലും "കറുപ്പ്" നമ്പറുകളിൽ നിന്ന് 3/4 വഴികളിലും നമ്പറുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. വെള്ളയും കറുപ്പും സെറ്റുകൾ ഏകപക്ഷീയമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുലയെ ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം 5.1.ബോക്സിൽ ഒരേ തരത്തിലുള്ള 55 സ്റ്റാൻഡേർഡ്, 6 വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും വികലമാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം.ആകെ 61 ഭാഗങ്ങളുണ്ട്, ഞങ്ങൾ 3 എടുക്കുന്നു. ഒരു പ്രാഥമിക ഫലം 61 ൻ്റെ 3 സംയോജനമാണ്. എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം തുല്യമാണ്. അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ മൂന്ന് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: 1) 1 ഭാഗം വികലവും 2 നല്ലതുമായ ഫലങ്ങൾ ഇവയാണ്; 2) 2 ഭാഗങ്ങൾ വികലമാണ്, 1 നല്ലത്; 3) എല്ലാ 3 ഭാഗങ്ങളും വികലമാണ്. ആദ്യ തരം സെറ്റുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൻ്റെ സെറ്റുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്, മൂന്നാമത്തെ തരത്തിൻ്റെ സെറ്റുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്. തൽഫലമായി, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവം പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളാൽ അനുകൂലമാണ്. സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത

സംഭവങ്ങളുടെ ബീജഗണിതം

പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടം നൽകിയിരിക്കുന്ന അനുഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും ഗണമാണ്.

തുകരണ്ട് സംഭവങ്ങളെ ഇവൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഇവൻ്റ് ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇവൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ജോലിരണ്ട് സംഭവങ്ങളെ ഒരേസമയം ഇവൻ്റുകളുടേതായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഇവൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇവൻ്റുകൾ, എങ്കിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്തത് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

എന്ന പേരിലാണ് പരിപാടി എതിർവശത്ത്ഇവൻ്റ്, ഇവൻ്റിന് ചേരാത്ത എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമാണെങ്കിൽ. പ്രത്യേകിച്ച്, , .

സം സിദ്ധാന്തം.

പ്രത്യേകിച്ച്, .

സോപാധിക സംഭാവ്യതഇവൻ്റ് സംഭവിച്ചാൽ, കവലയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തെ വിളിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുലയാണ്, അതിൽ പുതിയ പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസ് . ഒരു ഇവൻ്റിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത സൂചിപ്പിക്കുന്നത് .

ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തം. .

ഇവൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു സ്വതന്ത്രമായ, എങ്കിൽ. സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകൾക്കായി, ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തം ബന്ധം നൽകുന്നു.

തുകയുടെയും ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും അനന്തരഫലം ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്.

ആകെ പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല. അനുമാനങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ കൂട്ടം പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു കൂട്ടമാണ് , , ¼, , ഇത് ഒരുമിച്ച് മുഴുവൻ പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസും ഉണ്ടാക്കുന്നു:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഭവത്തിന്, മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല സാധുവാണ്,

ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ എവിടെയാണ്, , ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം നൽകിയാൽ അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെയും ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലെയും ഏത് പാഠപുസ്തകത്തിലും കാണാം.

പ്രശ്നം 5.3.ഒരു വലിയ ബാച്ച് ഭാഗങ്ങളിൽ 11% തകരാറുണ്ടെന്ന് അറിയാം. 100 ഭാഗങ്ങൾ പരീക്ഷണത്തിനായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. അവയിൽ 14-ൽ കൂടുതൽ വികലമായവ ഉണ്ടാകാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? Moivre-Laplace സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.ഞങ്ങൾ ഒരു ബെർണൂലി ടെസ്റ്റ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, എവിടെ , , . ഒരു വികലമായ ഭാഗത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തലായി ഒരു വിജയം കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ,

നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ നൽകുന്നു:

, , , , , , , , , , , , , , .

അതിനാൽ, . ഇനി നമുക്ക് Moivre-Laplace integral theorem പ്രയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിചിത്രത കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ പിശക് കവിയരുത്.

റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നത് ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഒരു സംഖ്യാ സ്വഭാവമാണ്, ഇത് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമാണ്. , , ¼, പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ആണെങ്കിൽ, റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ അതിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഈ മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതകളും പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

അത്തരമൊരു പട്ടികയെ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഭവങ്ങൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായതിനാൽ, പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് നോർമലൈസേഷൻ നിയമം തൃപ്തികരമാണ്

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരി മൂല്യം, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്പർഷൻ (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ അളവ്) റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്,

അത് കാണിക്കാം

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ്

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി ചതുര വ്യതിയാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം സെറ്റിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യതയാണ്, അതായത്

0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതും കുറയാത്തതുമായ ഫംഗ്‌ഷനാണിത്. പരിമിതമായ മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്, ഇത് സ്റ്റേറ്റ് പോയിൻ്റുകളിൽ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള വിരാമങ്ങളുള്ള ഒരു കഷ്‌ണമായി സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനമാണ്. മാത്രമല്ല, ഇടതുവശത്ത് തുടർച്ചയായി.

പ്രശ്നം 5.4.തുടർച്ചയായി രണ്ട് ഡൈസ് എറിയുന്നു. ഒരു ഡൈസിൽ ഒന്നോ മൂന്നോ അഞ്ചോ പോയിൻ്റുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, കളിക്കാരന് 5 റൂബിൾസ് നഷ്ടപ്പെടും. രണ്ടോ നാലോ പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയാൽ, കളിക്കാരന് 7 റൂബിൾസ് ലഭിക്കും. ആറ് പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയാൽ, കളിക്കാരന് 12 റൂബിൾസ് നഷ്ടപ്പെടും. ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം xരണ്ട് ഡൈസ് റോളുകൾക്കുള്ള കളിക്കാരൻ്റെ പ്രതിഫലമാണ്. വിതരണ നിയമം കണ്ടെത്തുക x, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും കണ്ടെത്തുക x.

പരിഹാരം.ഒരു ഡൈ എറിയുമ്പോൾ കളിക്കാരൻ്റെ വിജയങ്ങൾ എന്താണെന്ന് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം. ഇവൻ്റ് 1, 3 അല്ലെങ്കിൽ 5 പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ വിജയങ്ങൾ റൂബിൾ ആയിരിക്കും. സംഭവം 2 അല്ലെങ്കിൽ 4 പോയിൻ്റുകൾ ഉരുട്ടിയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ വിജയങ്ങൾ റൂബിൾ ആയിരിക്കും. അവസാനമായി, ഇവൻ്റ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് 6 റോളിംഗ് എന്നാണ്. അപ്പോൾ വിജയങ്ങൾ റൂബിളുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.

ഇനി നമുക്ക് സാധ്യമായ എല്ലാ സംയോജനങ്ങളും പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ രണ്ട് ഡൈസ് ത്രോകൾ ഉപയോഗിച്ച്, അത്തരം ഓരോ കോമ്പിനേഷനും വിജയിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ഒരു സംഭവം നടന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതേ സമയം.

ഒരു സംഭവം നടന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതേ സമയം.

അതുപോലെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുമ്പോൾ, .

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ സംസ്ഥാനങ്ങളും ഈ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ മൊത്തം സാധ്യതകളും പട്ടികയിൽ എഴുതുന്നു:

പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് നോർമലൈസേഷൻ്റെ നിയമത്തിൻ്റെ പൂർത്തീകരണം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു: യഥാർത്ഥ വരിയിൽ, ഈ ഇടവേള 1-ലേക്ക് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട്) കൂടാതെ അതിവേഗം കുറയുന്നത്, ¼,

"പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന ആശയം അഭിമുഖീകരിക്കുമ്പോൾ പലരും ഭയക്കുന്നു, അത് അതിശക്തവും വളരെ സങ്കീർണ്ണവുമായ ഒന്നാണെന്ന് കരുതി. എന്നാൽ എല്ലാം യഥാർത്ഥത്തിൽ അത്ര പരിതാപകരമല്ല. ഇന്ന് നമ്മൾ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയം നോക്കുകയും നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കുകയും ചെയ്യും.

ശാസ്ത്രം

"പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" പോലെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖ എന്താണ് പഠിക്കുന്നത്? അവൾ പാറ്റേണുകളും അളവുകളും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ചൂതാട്ടത്തെക്കുറിച്ച് പഠിച്ചപ്പോഴാണ് ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ വിഷയത്തിൽ ആദ്യമായി താൽപ്പര്യമുണ്ടായത്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം ഒരു സംഭവമാണ്. അനുഭവത്തിലൂടെയോ നിരീക്ഷണത്തിലൂടെയോ സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്ന ഏതൊരു വസ്തുതയും. എന്നാൽ അനുഭവം എന്താണ്? പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ മറ്റൊരു അടിസ്ഥാന ആശയം. ഈ സാഹചര്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം യാദൃശ്ചികമായിട്ടല്ല, ഒരു പ്രത്യേക ഉദ്ദേശ്യത്തിനായി സൃഷ്ടിച്ചതാണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. നിരീക്ഷണത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഇവിടെ ഗവേഷകൻ തന്നെ പരീക്ഷണത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ ഈ സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു സാക്ഷിയാണ് അദ്ദേഹം ഒരു തരത്തിലും സംഭവിക്കുന്നതിനെ സ്വാധീനിക്കുന്നില്ല.

ഇവൻ്റുകൾ

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം ഒരു സംഭവമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ വർഗ്ഗീകരണം പരിഗണിച്ചില്ല. അവയെല്ലാം ഇനിപ്പറയുന്ന വിഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

• വിശ്വസനീയം.
• അസാധ്യം.
• ക്രമരഹിതം.

അവ ഏത് തരത്തിലുള്ള സംഭവങ്ങളാണെങ്കിലും, അനുഭവവേളയിൽ നിരീക്ഷിച്ചതോ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടതോ ആയാലും, അവയെല്ലാം ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തിന് വിധേയമാണ്. ഓരോ തരത്തെക്കുറിച്ചും പ്രത്യേകം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു.

വിശ്വസനീയമായ ഇവൻ്റ്

ഈ സാഹചര്യത്തിലാണ് ആവശ്യമായ നടപടികൾ സ്വീകരിച്ചത്. സാരാംശം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നത് നല്ലതാണ്. ഫിസിക്സ്, കെമിസ്ട്രി, ഇക്കണോമിക്സ്, ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്നിവ ഈ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവമെന്ന നിലയിൽ അത്തരമൊരു സുപ്രധാന ആശയം ഉൾപ്പെടുന്നു. ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• ഞങ്ങൾ ജോലി ചെയ്യുകയും കൂലിയുടെ രൂപത്തിൽ നഷ്ടപരിഹാരം സ്വീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
• ഞങ്ങൾ പരീക്ഷകൾ നന്നായി വിജയിച്ചു, മത്സരത്തിൽ വിജയിച്ചു, ഇതിനായി ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനത്തിൽ പ്രവേശനത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു പ്രതിഫലം ലഭിക്കും.
• ഞങ്ങൾ ബാങ്കിൽ പണം നിക്ഷേപിച്ചു, ആവശ്യമെങ്കിൽ ഞങ്ങൾക്ക് അത് തിരികെ ലഭിക്കും.

അത്തരം സംഭവങ്ങൾ വിശ്വസനീയമാണ്. ആവശ്യമായ എല്ലാ വ്യവസ്ഥകളും ഞങ്ങൾ നിറവേറ്റിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് തീർച്ചയായും പ്രതീക്ഷിച്ച ഫലം ലഭിക്കും.

അസാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. അടുത്ത തരത്തിലുള്ള സംഭവങ്ങളുടെ വിശദീകരണത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, അതായത് അസാധ്യമാണ്. ആദ്യം, നമുക്ക് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നിയമം നിശ്ചയിക്കാം - അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യമാണ്.

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരാൾക്ക് ഈ രൂപീകരണത്തിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കാനാവില്ല. വ്യക്തതയ്ക്കായി, അത്തരം സംഭവങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• പ്ലസ് ടെൻ താപനിലയിൽ വെള്ളം മരവിച്ചു (ഇത് അസാധ്യമാണ്).
• വൈദ്യുതിയുടെ അഭാവം ഒരു തരത്തിലും ഉൽപാദനത്തെ ബാധിക്കുന്നില്ല (മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ അസാധ്യമാണ്).

കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നത് വിലമതിക്കുന്നില്ല, കാരണം മുകളിൽ വിവരിച്ചവ ഈ വിഭാഗത്തിൻ്റെ സത്തയെ വളരെ വ്യക്തമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു സാഹചര്യത്തിലും ഒരു പരീക്ഷണ വേളയിൽ അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവം ഉണ്ടാകില്ല.

ക്രമരഹിതമായ ഇവൻ്റുകൾ

ഘടകങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഈ പ്രത്യേക തരത്തിലുള്ള സംഭവത്തിന് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകണം. ഇതാണ് ശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നത്. അനുഭവത്തിൻ്റെ ഫലമായി, എന്തെങ്കിലും സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കാം. കൂടാതെ, പരിശോധന പരിധിയില്ലാത്ത തവണ നടത്താം. വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

• ഒരു നാണയം എറിയുന്നത് ഒരു അനുഭവമാണ് അല്ലെങ്കിൽ പരീക്ഷണമാണ്, തലകൾ ഇറങ്ങുന്നത് ഒരു സംഭവമാണ്.
• ഒരു ബാഗിൽ നിന്ന് ഒരു പന്ത് അന്ധമായി പുറത്തെടുക്കുന്നത് ഒരു പരീക്ഷണമാണ്, ഒരു ചുവന്ന പന്ത് ലഭിക്കുന്നത് ഒരു സംഭവമാണ്.

അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിധിയില്ലാത്ത എണ്ണം ഉണ്ടാകാം, പക്ഷേ, പൊതുവേ, സാരാംശം വ്യക്തമായിരിക്കണം. സംഭവങ്ങളെക്കുറിച്ച് നേടിയ അറിവ് സംഗ്രഹിക്കാനും ചിട്ടപ്പെടുത്താനും, ഒരു പട്ടിക നൽകിയിരിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി പഠനങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചതിൽ അവസാന തരം മാത്രം.

നിയമങ്ങൾ

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതയെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുന്ന ഒരു ശാസ്ത്രമാണ് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി. മറ്റുള്ളവയെപ്പോലെ, ഇതിന് ചില നിയമങ്ങളുണ്ട്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്:

• ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ അനുക്രമങ്ങളുടെ സംയോജനം.
• വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം.

സങ്കീർണ്ണമായ എന്തെങ്കിലും സാധ്യത കണക്കാക്കുമ്പോൾ, എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും ഫലം നേടാൻ നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമായ ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഉപയോഗിക്കാം. ചില സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുമെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. നിങ്ങൾ ആദ്യം ആദ്യത്തെ നിയമവുമായി പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ അനുക്രമങ്ങളുടെ സംയോജനം

നിരവധി തരം ഒത്തുചേരലുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക:

• റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ക്രമം പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ ഒത്തുചേരുന്നു.
• ഏതാണ്ട് അസാധ്യമാണ്.
• ശരാശരി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒത്തുചേരൽ.
• വിതരണ ഒത്തുചേരൽ.

അതിനാൽ, ബാറ്റിൽ നിന്ന് തന്നെ, സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഈ വിഷയം മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന നിർവചനങ്ങൾ ഇതാ. ആദ്യ കാഴ്ചയിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. ക്രമം വിളിക്കുന്നു സംഭാവ്യതയിൽ ഒത്തുചേരുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ: n അനന്തതയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, സീക്വൻസ് പ്രവണത കാണിക്കുന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ഒന്നിനോട് അടുത്തതുമാണ്.

നമുക്ക് അടുത്ത കാഴ്ചയിലേക്ക് കടക്കാം, ഏറെക്കുറെ തീർച്ചയായും. ക്രമം ഒത്തുചേരുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു ഏറെക്കുറെ തീർച്ചയായും n അനന്തതയിലേക്കും പി ഏകത്വത്തോട് അടുത്ത മൂല്യത്തിലേക്കും പ്രവണത കാണിക്കുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിലേക്ക്.

അടുത്ത തരം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒത്തുചേരൽ എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. SC കൺവെർജൻസ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്റർ ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം അവയുടെ ഏകോപന ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ പഠനമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

അവസാന തരം അവശേഷിക്കുന്നു, നമുക്ക് ഇത് ഹ്രസ്വമായി നോക്കാം, അങ്ങനെ നമുക്ക് നേരിട്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. വിതരണത്തിലെ ഒത്തുചേരലിന് മറ്റൊരു പേരുണ്ട് - “ദുർബലമായത്”, എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് വിശദീകരിക്കും. ദുർബലമായ ഒത്തുചേരൽപരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സംയോജനമാണ്.

ഞങ്ങൾ ഉറപ്പായും ഞങ്ങളുടെ വാഗ്ദാനങ്ങൾ പാലിക്കും: പ്രോബബിലിറ്റി സ്‌പെയ്‌സിൽ റാൻഡം വേരിയബിൾ നിർവചിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ നിന്ന് ദുർബലമായ സംയോജനം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമായി ഈ അവസ്ഥ രൂപപ്പെട്ടതിനാൽ ഇത് സാധ്യമാണ്.

വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, ഇനിപ്പറയുന്നവ:

• ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം.
• ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം.
• ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം സാമാന്യവൽക്കരിച്ചു.
• മാർക്കോവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം.

ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളെല്ലാം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ചോദ്യം നിരവധി ഡസൻ ഷീറ്റുകളിലേക്ക് വലിച്ചിടാം. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ പ്രധാന ദൗത്യം. ഇപ്പോൾ തന്നെ ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. എന്നാൽ അതിനുമുമ്പ്, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ നോക്കാം, അവ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന സഹായികളായിരിക്കും.

പ്രമാണങ്ങൾ

അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ആദ്യത്തേത് കണ്ടുമുട്ടി. നമുക്ക് ഓർക്കാം: അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ വളരെ ഉജ്ജ്വലവും അവിസ്മരണീയവുമായ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി: മുപ്പത് ഡിഗ്രി സെൽഷ്യസ് താപനിലയിൽ മഞ്ഞ് വീണു.

രണ്ടാമത്തേത് ഇപ്രകാരമാണ്: ഒന്നിന് തുല്യമായ സംഭാവ്യതയോടെ ഒരു വിശ്വസനീയമായ സംഭവം സംഭവിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കാണിക്കും: P(B)=1.

മൂന്നാമത്: ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കാം, പക്ഷേ സാധ്യത എപ്പോഴും പൂജ്യം മുതൽ ഒന്ന് വരെയാണ്. മൂല്യം ഒന്നിനോട് അടുക്കുന്തോറും സാധ്യതകൾ വർദ്ധിക്കും; മൂല്യം പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സാധ്യത വളരെ കുറവാണ്. നമുക്ക് ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ എഴുതാം: 0<Р(С)<1.

ഇതുപോലെ തോന്നുന്ന അവസാനത്തെ, നാലാമത്തെ സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം: രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ അത് ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ എഴുതുന്നു: P(A+B)=P(A)+P(B).

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാൻ പ്രയാസമില്ലാത്ത ഏറ്റവും ലളിതമായ നിയമങ്ങളാണ്. നാം ഇതിനകം നേടിയ അറിവിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ലോട്ടറി ടിക്കറ്റ്

ആദ്യം, നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം - ഒരു ലോട്ടറി. ഭാഗ്യത്തിന് നിങ്ങൾ ഒരു ലോട്ടറി ടിക്കറ്റ് വാങ്ങിയെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. നിങ്ങൾ കുറഞ്ഞത് ഇരുപത് റുബിളെങ്കിലും നേടാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? മൊത്തത്തിൽ, ആയിരം ടിക്കറ്റുകൾ സർക്കുലേഷനിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു, അതിൽ ഒന്നിന് അഞ്ഞൂറ് റൂബിൾ സമ്മാനമുണ്ട്, പത്ത് പേർക്ക് നൂറ് റുബിളുകൾ വീതവും അമ്പതിന് ഇരുപത് റുബിളും നൂറിന് അഞ്ച് സമ്മാനങ്ങളും ഉണ്ട്. സാധ്യതാ പ്രശ്നങ്ങൾ ഭാഗ്യത്തിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. മുകളിലുള്ള ടാസ്ക്കിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് വിശകലനം ചെയ്യും.

അഞ്ഞൂറ് റുബിളിൻ്റെ വിജയത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ എ എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.001 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് എങ്ങനെ ലഭിച്ചു? നിങ്ങൾ "ഭാഗ്യ" ടിക്കറ്റുകളുടെ എണ്ണം അവയുടെ ആകെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: 1/1000).

ബി നൂറു റുബിളിൻ്റെ വിജയമാണ്, സംഭാവ്യത 0.01 ആയിരിക്കും. മുമ്പത്തെ പ്രവർത്തനത്തിലെ അതേ തത്ത്വത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തിച്ചു (10/1000)

സി - വിജയങ്ങൾ ഇരുപത് റുബിളാണ്. ഞങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുന്നു, അത് 0.05 ന് തുല്യമാണ്.

ബാക്കിയുള്ള ടിക്കറ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമില്ല, കാരണം അവരുടെ സമ്മാന ഫണ്ട് വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയതിനേക്കാൾ കുറവാണ്. നാലാമത്തെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാം: കുറഞ്ഞത് ഇരുപത് റുബിളെങ്കിലും നേടാനുള്ള സാധ്യത P(A)+P(B)+P(C) ആണ്. പി എന്ന അക്ഷരം ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, മുമ്പത്തെ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ അവ കണ്ടെത്തി. ആവശ്യമായ ഡാറ്റ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരം 0.061 ആണ്. ഈ നമ്പർ ടാസ്‌ക് ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരമായിരിക്കും.

കാർഡ് ഡെക്ക്

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായേക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലി എടുക്കാം. നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ മുപ്പത്തിയാറ് കാർഡുകളുടെ ഒരു ഡെക്ക് ഉണ്ട്. നിങ്ങളുടെ ചുമതല സ്റ്റാക്ക് ഷഫിൾ ചെയ്യാതെ തുടർച്ചയായി രണ്ട് കാർഡുകൾ വരയ്ക്കുക എന്നതാണ്, ഒന്നും രണ്ടും കാർഡുകൾ എയ്സുകളായിരിക്കണം, സ്യൂട്ട് പ്രശ്നമല്ല.

ആദ്യം, ആദ്യത്തെ കാർഡ് ഒരു എയ്‌സ് ആകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താം, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ നാലിനെ മുപ്പത്തിയാറ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അവർ അത് മാറ്റിവെച്ചു. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ കാർഡ് പുറത്തെടുക്കുന്നു, ഇത് മുപ്പത്തിയഞ്ചിൽ മൂന്ന് സാധ്യതയുള്ള ഒരു എയ്സായിരിക്കും. രണ്ടാമത്തെ സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഞങ്ങൾ ആദ്യം വരച്ച കാർഡിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് ഒരു എയ്‌സ് ആണോ അല്ലയോ എന്ന് ഞങ്ങൾ ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് ബി ഇവൻ്റ് എയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

അടുത്ത ഘട്ടം ഒരേസമയം സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, അതായത്, ഞങ്ങൾ എ, ബി എന്നിവയെ ഗുണിക്കുന്നു. അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു: ഞങ്ങൾ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതയെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യതയാൽ ഗുണിക്കുന്നു, അത് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, ആദ്യത്തേത് സംഭവം സംഭവിച്ചു, അതായത്, ആദ്യത്തെ കാർഡ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു എയ്സ് വരച്ചു.

എല്ലാം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, അത്തരം ഒരു ഘടകത്തിന് ഇവൻ്റുകൾ പോലെ ഒരു പദവി നൽകാം. സംഭവം എ സംഭവിച്ചുവെന്ന് അനുമാനിച്ചാണ് ഇത് കണക്കാക്കുന്നത്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു: P(B/A).

നമുക്ക് നമ്മുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരാം: P(A * B) = P(A) * P(B/A) അല്ലെങ്കിൽ P(A * B) = P(B) * P(A/B). പ്രോബബിലിറ്റി (4/36) * ((3/35)/(4/36) ന് തുല്യമാണ്. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള നൂറിലൊന്ന് റൗണ്ട് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. നമുക്ക്: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 നമ്മൾ തുടർച്ചയായി രണ്ട് എയ്‌സുകൾ വരയ്‌ക്കാനുള്ള സാധ്യത തൊള്ളായിരത്തി തൊള്ളായിരമാണ്, അതായത് ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത വളരെ ചെറുതാണ്.

മറന്നുപോയ നമ്പർ

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കുന്ന ടാസ്‌ക്കുകളുടെ നിരവധി വകഭേദങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ അവയിൽ ചിലത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടിട്ടുണ്ട്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം: ആൺകുട്ടി തൻ്റെ സുഹൃത്തിൻ്റെ ഫോൺ നമ്പറിൻ്റെ അവസാന അക്കം മറന്നു, പക്ഷേ കോൾ വളരെ പ്രധാനമായതിനാൽ, അവൻ എല്ലാം ഓരോന്നായി ഡയൽ ചെയ്യാൻ തുടങ്ങി. . അവൻ മൂന്ന് തവണയിൽ കൂടുതൽ വിളിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ നിയമങ്ങളും നിയമങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം ലളിതമാണ്.

പരിഹാരം കാണുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. അവസാന അക്കം പൂജ്യം മുതൽ ഒമ്പത് വരെയാകാമെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതായത് ആകെ പത്ത് മൂല്യങ്ങൾ. ശരിയായത് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 1/10 ആണ്.

അടുത്തതായി, ഇവൻ്റിൻ്റെ ഉത്ഭവത്തിനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആൺകുട്ടി ശരിയാണെന്ന് ഊഹിക്കുകയും ഉടൻ തന്നെ ശരിയായത് ടൈപ്പ് ചെയ്യുകയും ചെയ്തുവെന്ന് കരുതുക, അത്തരമൊരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത 1/10 ആണ്. രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ: ആദ്യ കോൾ മിസ് ചെയ്യുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് ലക്ഷ്യത്തിലാണ്. അത്തരമൊരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: 9/10 നെ 1/9 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 1/10 ലഭിക്കും. മൂന്നാമത്തെ ഓപ്ഷൻ: ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തെയും കോളുകൾ തെറ്റായ വിലാസത്തിലാണെന്ന് തെളിഞ്ഞു, മൂന്നാമത്തേത് കൊണ്ട് മാത്രമാണ് ആൺകുട്ടി താൻ ആഗ്രഹിച്ച സ്ഥലത്ത് എത്തിയത്. അത്തരമൊരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: 9/10 നെ 8/9, 1/8 എന്നിവ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 1/10 ലഭിക്കും. പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച് മറ്റ് ഓപ്ഷനുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമില്ല, അതിനാൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കണം, അവസാനം നമുക്ക് 3/10 ഉണ്ട്. ഉത്തരം: ആൺകുട്ടി മൂന്ന് തവണയിൽ കൂടുതൽ വിളിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.3 ആണ്.

നമ്പറുകളുള്ള കാർഡുകൾ

നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ ഒമ്പത് കാർഡുകളുണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഒന്ന് മുതൽ ഒമ്പത് വരെയുള്ള ഒരു നമ്പർ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അക്കങ്ങൾ ആവർത്തിക്കില്ല. അവർ ഒരു പെട്ടിയിൽ ഇട്ടു നന്നായി മിക്സ് ചെയ്തു. അതിനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്

• ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ ദൃശ്യമാകും;
• രണ്ടക്ക.

പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, m എന്നത് വിജയകരമായ കേസുകളുടെ എണ്ണമാണെന്നും n എന്നത് മൊത്തം ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണമാണെന്നും നമുക്ക് വ്യവസ്ഥ ചെയ്യാം. സംഖ്യ ഇരട്ടിയായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. നാല് ഇരട്ട സംഖ്യകളുണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, ഇത് നമ്മുടെ m ആയിരിക്കും, ആകെ ഒമ്പത് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, അതായത്, m=9. അപ്പോൾ സംഭാവ്യത 0.44 അല്ലെങ്കിൽ 4/9 ആണ്.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ കേസ് പരിഗണിക്കാം: ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം ഒമ്പതാണ്, വിജയകരമായ ഫലങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല, അതായത്, m പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. വരച്ച കാർഡിൽ രണ്ടക്ക നമ്പർ ഉണ്ടായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയും പൂജ്യമാണ്.

നിസ്നി നോവ്ഗൊറോഡ് സ്റ്റേറ്റ് ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി

അവരെ. എ.ഇ.അലക്സീവ

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ അച്ചടക്ക സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സംഗ്രഹം

പൂർത്തിയാക്കിയത്: Ruchina N.A gr 10MEnz

പരിശോധിച്ചത്: ഗ്ലാഡ്കോവ് വി.വി.

നിസ്നി നോവ്ഗൊറോഡ്, 2011

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം…………………………………………

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ വിഷയം …………………………

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ……………………

ക്രമരഹിതമായ ഇവൻ്റുകൾ, സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ………………………………………………………………

സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പരിമിതപ്പെടുത്തുക……………………………………

ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയകൾ ………………………………………………………

ചരിത്ര പരാമർശം …………………………………………

ഉപയോഗിച്ച പുസ്തകങ്ങൾ…………………………………………

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം -ചില ക്രമരഹിത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റ് ക്രമരഹിത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്രം.

ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കുന്നത് പ്രോബബിലിറ്റിയോടെയാണെന്ന പ്രസ്താവന , ഉദാഹരണത്തിന്, 0.75 എന്നതിന് തുല്യമായത് ഒരു അന്തിമ മൂല്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നില്ല, കാരണം ഞങ്ങൾ വിശ്വസനീയമായ അറിവിനായി പരിശ്രമിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത പ്രസ്താവിക്കാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങളാണ് അന്തിമ വൈജ്ഞാനിക മൂല്യം. എഐക്യത്തോട് വളരെ അടുത്ത് അല്ലെങ്കിൽ (അത് തന്നെ) ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എവളരെ ചെറിയ. "മതിയായ ചെറിയ സാധ്യതകളെ അവഗണിക്കുക" എന്ന തത്വത്തിന് അനുസൃതമായി, അത്തരമൊരു സംഭവം പ്രായോഗികമായി ഉറപ്പുള്ളതായി കണക്കാക്കുന്നു. ശാസ്ത്രീയവും പ്രായോഗികവുമായ താൽപ്പര്യമുള്ള ഇത്തരത്തിലുള്ള നിഗമനങ്ങൾ സാധാരണയായി ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവമോ അല്ലാത്തതോ ആയ അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. എക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, പരസ്പരം വളരെ കുറച്ച് ബന്ധമുണ്ട് . അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ശാസ്ത്രമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും, അത് ധാരാളം ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളുടെ പ്രതിപ്രവർത്തന സമയത്ത് ഉണ്ടാകുന്ന പാറ്റേണുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിഷയം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിഷയം.ചില വ്യവസ്ഥകൾ തമ്മിലുള്ള സ്വാഭാവിക ബന്ധം വിവരിക്കാൻ എസ്സംഭവവും എ,തന്നിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ സംഭവിക്കുന്നതോ അല്ലാത്തതോ കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സ്കീമുകളിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്നു:

a) വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുമ്പോഴെല്ലാം എസ്ഒരു സംഭവം വരുന്നു എ.ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ഫോമിന് ക്ലാസിക്കൽ മെക്കാനിക്സിൻ്റെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഉണ്ട്, അത് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളും ശക്തികളും ഒരു ബോഡി അല്ലെങ്കിൽ ബോഡി സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനാൽ, ചലനം അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട രീതിയിൽ സംഭവിക്കുമെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

ബി) വ്യവസ്ഥകൾ പ്രകാരം എസ്സംഭവം എഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യതയുണ്ട് പി(A/S), തുല്യമാണ് ആർ.ഉദാഹരണത്തിന്, റേഡിയോ ആക്ടീവ് റേഡിയേഷൻ്റെ നിയമങ്ങൾ പറയുന്നത്, ഓരോ റേഡിയോ ആക്ടീവ് പദാർത്ഥത്തിനും ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ ഒരു നിശ്ചിത അളവിൽ പദാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ ക്ഷയിക്കാനുള്ള ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യതയുണ്ടെന്നാണ്. എൻആറ്റങ്ങൾ.

നമുക്ക് ഇതിനെ സംഭവത്തിൻ്റെ ആവൃത്തി എന്ന് വിളിക്കാം എഈ പരമ്പരയിൽ നിന്ന് എൻപരിശോധനകൾ (അതായത്, മുതൽ എൻവ്യവസ്ഥകളുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള നടപ്പാക്കൽ എസ്) മനോഭാവം h = m/nസംഖ്യകൾ എംആ പരിശോധനകൾ എവന്നു, അവരുടെ ആകെ എണ്ണം എൻ.ഇവൻ്റിൻ്റെ ലഭ്യത എവ്യവസ്ഥകൾ പ്രകാരം എസ്തുല്യമായ ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യത ആർ,ആവശ്യത്തിന് ദൈർഘ്യമേറിയ എല്ലാ ടെസ്റ്റുകളിലും ഇവൻ്റിൻ്റെ ആവൃത്തി ഉണ്ടെന്ന വസ്തുതയിൽ സ്വയം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു എഏകദേശം തുല്യമാണ് ആർ.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പാറ്റേണുകൾ, അതായത്, ടൈപ്പ് (ബി) സ്കീം വിവരിച്ച പാറ്റേണുകൾ, ഡൈസ് പോലുള്ള ചൂതാട്ട ഗെയിമുകളിലാണ് ആദ്യം കണ്ടെത്തിയത്. ജനനത്തിൻ്റെയും മരണത്തിൻ്റെയും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ വളരെക്കാലമായി അറിയപ്പെടുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നവജാതശിശു ആൺകുട്ടിയാകാനുള്ള സാധ്യത 0.515 ആണ്). 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ അവസാനം ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ ആദ്യ പകുതിയും. ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം മുതലായവയിൽ ധാരാളം സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിയമങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തൽ അടയാളപ്പെടുത്തി.

പരസ്പരം വളരെ അകലെയുള്ള ശാസ്ത്ര മേഖലകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പാറ്റേണുകളുടെ പഠനത്തിന് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത, സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ചില ലളിതമായ ബന്ധങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഈ ലളിതമായ ബന്ധങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഇവൻ്റ് പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ വിഷയമാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ.ഒരു ഗണിതശാസ്‌ത്രശാസ്‌ത്രമെന്ന നിലയിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് പ്രാഥമിക പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിലാണ്. ഓരോ പരീക്ഷയും ടി,എലിമെൻ്ററി പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ പരിഗണിക്കുന്നത് ഒരു സംഭവത്തിൽ മാത്രം അവസാനിക്കുന്നതാണ് ഇ 1 ,ഇ 2 ,...,ഇഎസ് (ഒരു വഴി അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന്, കേസ് അനുസരിച്ച്). ഈ സംഭവങ്ങളെ ട്രയൽ ഫലങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ ഫലങ്ങളോടും കൂടി ഇ കെബന്ധപ്പെട്ട പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ആർ ലേക്ക് - ഈ ഫലത്തിൻ്റെ സാധ്യത. നമ്പറുകൾ പി കെഒന്ന് വരെ കൂട്ടിച്ചേർക്കണം. തുടർന്ന് ഇവൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കും എ,"അത് സംഭവിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ഇ ഐ , അഥവാ ഇ ജെ ,..., അഥവാ ഇ കെ" ഫലങ്ങൾ ഇ ഐ ,ഇ ജെ ,...,ഇ കെഅനുകൂലമെന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു എ,കൂടാതെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് അവർ പ്രോബബിലിറ്റി അനുമാനിക്കുന്നു ആർ(എ) ഇവൻ്റുകൾ എ, അദ്ദേഹത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

പി(എ) =പി ഐ +പി എസ് +… +പി കെ . (1)

പ്രത്യേക കേസ് പി 1 =പി 2 =...പി s = 1/എസ്ഫോർമുലയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു

ആർ(എ) =r/s.(2)

ഫോർമുല (2) പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അതനുസരിച്ച് ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എസംഖ്യയുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ് ആർഅനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ എ,നമ്പറിലേക്ക് എസ്എല്ലാ "തുല്യമായി സാധ്യമായ" ഫലങ്ങളും. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം "സംഭാവ്യത" എന്ന ആശയത്തെ "തുല്യ സാധ്യത" എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു, അത് വ്യക്തമായ നിർവചനമില്ലാതെ തുടരുന്നു.

ഉദാഹരണം. രണ്ട് ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ, സാധ്യമായ 36 ഫലങ്ങളിൽ ഓരോന്നും സൂചിപ്പിക്കാം ( ഐ,ജെ), എവിടെ ഐ- ആദ്യത്തെ ഡൈസിൽ ഉരുട്ടിയ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം, j-രണ്ടാമത്തേതിൽ. ഫലങ്ങൾ തുല്യമായി സാദ്ധ്യതയുള്ളതാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. സംഭവം എ -"പോയിൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുക 4 ആണ്", മൂന്ന് ഫലങ്ങൾ അനുകൂലമാണ് (1; 3), (2; 2), (3; 1). അതിനാൽ, ആർ(എ) = 3/36= 1/12.

തന്നിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും ഇവൻ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രണ്ട് പുതിയ ഇവൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും: അവയുടെ യൂണിയൻ (തുക), കോമ്പിനേഷൻ (ഉൽപ്പന്നം).

സംഭവം INഇവൻ്റ് പൂളിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ 1 , എ 2 ,...,എ ആർ ,-, അതിന് ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ: "വരുന്നു അല്ലെങ്കിൽ എ 1 , അഥവാ എ 2 ,..., അഥവാ എ ആർ ».

ഇവൻ്റ് സിയെ ഇവൻ്റുകളുടെ സംയോജനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ 1 , എ. 2 ,...,എ ആർ , അതിന് ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ: "വരുന്നു ഒപ്പം എ 1 , ഒപ്പം എ 2 ,..., ഒപ്പം എ ആർ » . ഇവൻ്റുകളുടെ ലയനത്തെ അടയാളംകൊണ്ടും സങ്കലനം ചിഹ്നംകൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അവർ എഴുതുന്നു:

ബി = എ 1  എ 2  …  എ ആർ , സി = എ 1  എ 2  …  എ ആർ .

ഇവൻ്റുകൾ എഒപ്പം INഅവയുടെ ഒരേസമയം നടപ്പിലാക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്, പരീക്ഷണ ഫലങ്ങളിൽ അനുകൂലമായ ഒന്ന് പോലും ഇല്ലെങ്കിൽ, അവയെ പൊരുത്തമില്ലാത്തത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എഒപ്പം IN.

ഇവൻ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനും സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുമുള്ള അവതരിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു - പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

സംഭാവ്യത കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സിദ്ധാന്തം: സംഭവങ്ങൾ എങ്കിൽ എ 1 ,എ 2 ,...,എ ആർഅവയിൽ ഓരോന്നും പൊരുത്തമില്ലാത്തവയാണ്, അപ്പോൾ അവരുടെ യൂണിയൻ്റെ സംഭാവ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അതിനാൽ, രണ്ട് ഡൈസ് എറിയുന്നതിൻ്റെ മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സംഭവം ഇൻ -"പോയിൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുക 4 കവിയരുത്", മൂന്ന് പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു യൂണിയൻ ഉണ്ട് എ 2 ,എ 3 ,എ 4, പോയിൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുക യഥാക്രമം 2, 3, 4 ന് തുല്യമാണ്, ഈ സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത 1/36 ആണ്. 2/36; 3/36. സങ്കലന സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, സാധ്യത ആർ(IN) തുല്യമാണ്

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

ഇവൻ്റുകൾ എ 1 ,എ 2 ,...,എഅവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും സോപാധിക സംഭാവ്യത, മറ്റേതെങ്കിലും സംഭവിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ "നിരുപാധികമായ" സംഭാവ്യതയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ r-യെ സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം: ഇവൻ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കാനുള്ള സാധ്യത എ 1 ,എ 2 ,...,എ r സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയ്ക്ക് തുല്യമാണ് എ 1 , സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു എ 2 എന്ന വ്യവസ്ഥയിലാണ് എടുത്തത് എ 1 സംഭവിച്ചു,..., സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു എആർ അത് നൽകിയിട്ടുണ്ട് എ 1 ,എ 2 ,...,എ r-1 എത്തി. സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങൾക്ക്, ഗുണന സിദ്ധാന്തം ഫോർമുലയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

പി(എ 1 എ 2 …എ ആർ) =പി(എ 1 )പി(എ 2 )· … · പി(എ ആർ), (3)

അതായത്, സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഈ സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്. ഫോർമുല (3) അതിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലും ചില ഇവൻ്റുകൾ അവയുടെ വിപരീതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ അത് സാധുവായി തുടരും.

ഉദാഹരണം. ഓരോ ഷോട്ടിനും 0.2 എന്ന ഹിറ്റ് പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ 4 ഷോട്ടുകൾ ടാർഗെറ്റിലേക്ക് എറിയുന്നു. വ്യത്യസ്ത ഷോട്ടുകളിൽ നിന്നുള്ള ടാർഗെറ്റ് ഹിറ്റുകൾ സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. കൃത്യമായി മൂന്ന് തവണ ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

ഓരോ ടെസ്റ്റ് ഫലവും നാല് അക്ഷരങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കാം [ഉദാ., (y, n, n, y) എന്നാൽ ആദ്യത്തെയും നാലാമത്തെയും ഷോട്ടുകൾ അടിച്ചു (വിജയം), രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഷോട്ടുകൾ അടിച്ചില്ല (പരാജയം)]. ആകെ 2·2·2·2 = 16 ഫലങ്ങളുണ്ടാകും. വ്യക്തിഗത ഷോട്ടുകളുടെ ഫലങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ അനുമാനത്തിന് അനുസൃതമായി, ഈ ഫലങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഫോർമുലയും (3) അതിനുള്ള ഒരു കുറിപ്പും ഉപയോഗിക്കണം. അങ്ങനെ, ഫലത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത (y, n. n, n) 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024 എന്നതിന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിക്കണം; ഇവിടെ 0.8 = 1-0.2 എന്നത് ഒറ്റ ഷോട്ടിൽ മിസ് ആകാനുള്ള സാധ്യതയാണ്. "ലക്ഷ്യം മൂന്ന് തവണ അടിച്ചു" എന്ന ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), ഓരോന്നിൻ്റെയും സംഭാവ്യത ഒന്നുതന്നെയാണ്:

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... =0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി തുല്യമാണ്

4·0.0064 = 0.0256.

വിശകലനം ചെയ്ത ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ ന്യായവാദം സംഗ്രഹിച്ച്, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: ഇവൻ്റുകൾ ആണെങ്കിൽ എ 1 , എ 2 ,...,എ എൻസ്വതന്ത്രവും ഓരോന്നിനും ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഉണ്ട് ആർ,അപ്പോൾ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൃത്യമായിരിക്കും എംഅതിൽ തുല്യമാണ്

പി എൻ (എം)= സി എൻ എം പി എം (1 - പി) n-m ; (4)

ഇവിടെ സി എൻ എംഎന്ന കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എൻമൂലകങ്ങൾ എം.വലിയ അളവിൽ എൻഫോർമുല (4) ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

എലിമെൻ്ററി പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ വിളിക്കപ്പെടുന്നതും ഉൾപ്പെടുന്നു മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല: ഇവൻ്റുകൾ ആണെങ്കിൽ എ 1 , എ 2 ,...,എ ആർജോടിയായി പൊരുത്തമില്ലാത്തവയാണ്, അവരുടെ യൂണിയൻ വിശ്വസനീയമായ ഇവൻ്റാണ്, പിന്നെ ഏത് ഇവൻ്റിനും INഅതിൻ്റെ സംഭാവ്യത അവയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

സംയുക്ത പരിശോധനകൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം പ്രത്യേകിച്ചും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഇതൊരു പരീക്ഷണമാണെന്ന് അവർ പറയുന്നു ടിടെസ്റ്റുകൾ ഉണ്ടാക്കിയത് ടി 1 , ടി 2 ,..., ടി n-1 , ടി എൻ, എങ്കിൽ ഓരോ പരീക്ഷണ ഫലവും ടിചില ഫലങ്ങളുടെ സംയോജനമുണ്ട് എ ഐ , ബി ജെ ,..., എക്സ് കെ ,വൈ എൽപ്രസക്തമായ പരിശോധനകൾ ടി 1 , ടി 2 ,..., ടി n-1 , ടി എൻ. ഒരു കാരണത്താൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ, സാധ്യതകൾ പലപ്പോഴും അറിയപ്പെടുന്നു

പി(എ ഐ), പി(ബി ജെ /എ ഐ), …,പി(വൈ എൽ /എ ഐ ബി ജെ …എക്സ് കെ). (5)

ഗുണന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റികളിൽ നിന്ന് (5) സാധ്യതകൾ നിർണ്ണയിക്കാനാകും ആർ(ഇ) എല്ലാ ഫലങ്ങൾക്കും ഇസംയോജിത പരിശോധന, അതേ സമയം ഈ ടെസ്റ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ ഇവൻ്റുകളുടെയും സംഭാവ്യത. ഒരു പ്രായോഗിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, രണ്ട് തരം സംയോജിത പരിശോധനകൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതായി തോന്നുന്നു:

a) ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമാണ്, അതായത്, സാധ്യതകൾ (5) നിരുപാധികമായ സാധ്യതകൾക്ക് തുല്യമാണ് പി(എ ഐ), പി(ബി ജെ),..., പി(വൈ എൽ);

b) ഏതെങ്കിലും പരിശോധനയുടെ ഫലങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ തൊട്ടുമുമ്പുള്ള പരിശോധനയുടെ ഫലങ്ങളാൽ മാത്രമേ സ്വാധീനിക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ, അതായത്, സാധ്യതകൾ (5) യഥാക്രമം തുല്യമാണ്: പി(എ ഐ), പി(ബി ജെ /എ ഐ),..., പി(വൈ ഐ /എക്സ് കെ). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു മാർക്കോവ് ശൃംഖലയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ടെസ്റ്റുകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. ഒരു സംയോജിത പരിശോധനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ ഇവൻ്റുകളുടെയും സാധ്യതകൾ പ്രാഥമിക സാധ്യതകളാൽ ഇവിടെ പൂർണ്ണമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു ആർ(എ ഐ) കൂടാതെ പരിവർത്തന സാധ്യതകളും പി(ബി ജെ /എ ഐ),..., പി(വൈ എൽ /എക്സ് കെ).

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

1. കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

a) പുനഃക്രമീകരണം.

\b) പ്ലേസ്മെൻ്റ്

സി) കോമ്പിനേഷനുകൾ .

2. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക് നിർവചനം.

ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എവിടെയാണ്, എല്ലാ പ്രാഥമിക തുല്യമായ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണമാണ്.

3. സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം:

സംയുക്ത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം:

4. സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത

സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം:

ആശ്രിത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം:

,

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത ഇവൻ്റ് സംഭവിച്ചു

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത, ഇവൻ്റ് സംഭവിച്ചു.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വസ്തുക്കളിൽ നിന്ന് ചില വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമായി എത്ര വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉണ്ടാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖയാണ് കോമ്പിനേറ്ററിക്സ്. ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കുന്നതിന് കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇവൻ്റുകളുടെ വികസനത്തിനായി വ്യത്യസ്ത ഓപ്ഷനുകളുടെ അടിസ്ഥാനപരമായി സാധ്യമായ എണ്ണം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നത് അവയാണ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം

മൂലകങ്ങളുടെ k ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ, i-th ഗ്രൂപ്പിൽ ni ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഓരോ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നും ഒരു ഘടകം തിരഞ്ഞെടുക്കാം. അപ്പോൾ N=n1*n2*n3*...*nk എന്ന ബന്ധത്താൽ അത്തരമൊരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നടത്താവുന്ന വഴികളുടെ ആകെ എണ്ണം N നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം 1. ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഈ നിയമം വിശദീകരിക്കാം. മൂലകങ്ങളുടെ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ, ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ n1 ഘടകങ്ങളും രണ്ടാമത്തേത് - n2 ഘടകങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളിൽ നിന്നും എത്ര വ്യത്യസ്ത ജോഡി ഘടകങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, അതായത് ജോഡിയിൽ ഓരോ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നും ഒരു ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു? ഞങ്ങൾ ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തെ ഘടകം എടുത്ത്, അത് മാറ്റാതെ, സാധ്യമായ എല്ലാ ജോഡികളിലൂടെയും കടന്നുപോയി, രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നുള്ള ഘടകങ്ങൾ മാത്രം മാറ്റി. ഈ മൂലകത്തിന് അത്തരം ജോഡികൾ n2 ഉണ്ട്. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഘടകം എടുക്കുകയും അതിനായി സാധ്യമായ എല്ലാ ജോഡികളും ഉണ്ടാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അത്തരത്തിലുള്ള n2 ജോഡികളും ഉണ്ടാകും. ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ n1 ഘടകങ്ങൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, സാധ്യമായ ആകെ ഓപ്ഷനുകൾ n1*n2 ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 2. അക്കങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് എത്ര മൂന്നക്ക ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാക്കാം?

പരിഹാരം: n1=6 (നിങ്ങൾക്ക് 1, 2, 3, 4, 5, 6 എന്നിവയിൽ നിന്ന് ഏത് സംഖ്യയും ആദ്യ അക്കമായി എടുക്കാം), n2=7 (നിങ്ങൾക്ക് 0 മുതൽ ഏത് സംഖ്യയും രണ്ടാമത്തെ അക്കമായി എടുക്കാം, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (0, 2, 4, 6 എന്നിവയിൽ നിന്നുള്ള ഏത് സംഖ്യയും മൂന്നാമത്തെ അക്കമായി എടുക്കാം).

അതിനാൽ, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

എല്ലാ ഗ്രൂപ്പുകളും ഒരേ എണ്ണം ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, അതായത്. n1=n2=...nk=n ഓരോ സെലക്ഷനും ഒരേ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, കൂടാതെ തിരഞ്ഞെടുത്തതിന് ശേഷമുള്ള ഘടകം ഗ്രൂപ്പിലേക്ക് തിരികെ നൽകും. അപ്പോൾ എല്ലാ സെലക്ഷൻ രീതികളുടെയും എണ്ണം nk ന് തുല്യമാണ് ഈ സെലക്ഷൻ രീതിയെ സാമ്പിൾ വിത്ത് റിട്ടേൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം. 1, 5, 6, 7, 8 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് എത്ര നാലക്ക സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാക്കാം?

പരിഹാരം. ഒരു നാലക്ക സംഖ്യയുടെ ഓരോ അക്കത്തിനും അഞ്ച് സാധ്യതകളുണ്ട്, അതായത് N=5*5*5*5=54=625.

n ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സെറ്റ് പരിഗണിക്കുക. ഇതിനെ നമ്മൾ പൊതു ജനവിഭാഗം എന്ന് വിളിക്കും.

നിർവ്വചനം 1. n മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു പോപ്പുലേഷനിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്ത m വ്യത്യസ്ത മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഏതെങ്കിലും സെറ്റ് ആണ് m കൊണ്ട് n മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമീകരണം.

ഉദാഹരണം. മൂന്ന് മൂലകങ്ങളുടെ (1, 2, 3) വ്യത്യസ്‌ത ക്രമീകരണം രണ്ട് സെറ്റുകൾ ആയിരിക്കും (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകൾ ഘടകങ്ങളിലും അവയുടെ ക്രമത്തിലും പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കാം.

പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകളുടെ എണ്ണം n-ൽ നിന്ന് A, m കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ശ്രദ്ധിക്കുക: n!=1*2*3*...*n (വായിക്കുക: "en factorial"), കൂടാതെ, 0!=1 എന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം 5. എത്ര രണ്ട് അക്ക സംഖ്യകളുണ്ട്, അതിൽ പത്ത് അക്കങ്ങളും യൂണിറ്റുകളുടെ അക്കവും വ്യത്യസ്തവും ഒറ്റയടിയുമാണ്?

പരിഹാരം: കാരണം അഞ്ച് ഒറ്റ അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതായത് 1, 3, 5, 7, 9, ഈ ടാസ്ക്ക് അഞ്ച് വ്യത്യസ്ത അക്കങ്ങളിൽ രണ്ടെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുത്ത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത സ്ഥാനങ്ങളിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു, അതായത്. സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യകൾ ഇതായിരിക്കും:

നിർവ്വചനം 2. m ൻ്റെ n മൂലകങ്ങളുടെ സംയോജനമാണ് n മൂലകങ്ങളുടെ പോപ്പുലേഷനിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്ത m വ്യത്യസ്ത മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ ഏതെങ്കിലും സെറ്റ്.

ഉദാഹരണം 6. ഒരു സെറ്റിന് (1, 2, 3), കോമ്പിനേഷനുകൾ (1, 2), (1, 3), (2, 3) എന്നിവയാണ്.

കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം Cnm ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുകയും ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

നിർവ്വചനം 3. n മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമമാറ്റം ഈ മൂലകങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഗണമാണ്.

ഉദാഹരണം 7a. മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ (1, 2, 3) അടങ്ങുന്ന ഒരു സെറ്റിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ ക്രമപ്പെടുത്തലുകളും ഇവയാണ്: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

n മൂലകങ്ങളുടെ വ്യത്യസ്‌ത ക്രമപ്പെടുത്തലുകളുടെ എണ്ണം Pn കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയും Pn=n! എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 8. വ്യത്യസ്‌ത രചയിതാക്കളുടെ ഏഴ് പുസ്‌തകങ്ങൾ ഒരു ഷെൽഫിൽ ഒരു നിരയിൽ എത്ര വിധത്തിൽ ക്രമീകരിക്കാം?

പരിഹാരം: ഏഴ് വ്യത്യസ്ത പുസ്തകങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ കുറിച്ചാണ് ഈ പ്രശ്നം. പുസ്തകങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുന്നതിന് P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 വഴികളുണ്ട്.

ചർച്ച. സാധ്യമായ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങൾ (ക്രമമാറ്റങ്ങൾ, കോമ്പിനേഷനുകൾ, പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകൾ) അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കാമെന്നും ഫലം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും, കാരണം കണക്കുകൂട്ടൽ തത്വവും സൂത്രവാക്യങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണ്. നിർവചനങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുമ്പോൾ, ഫലം ഒരേസമയം നിരവധി ഘടകങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും.

ഒന്നാമതായി, എത്ര മൂലകങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അവയുടെ സെറ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കാം (മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എത്ര വലുതാണ്).

രണ്ടാമതായി, ഫലം നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ വലുപ്പത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

അവസാനമായി, സെറ്റിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമം നമുക്ക് പ്രധാനമാണോ എന്ന് അറിയേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവസാന ഘടകം വിശദീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം. രക്ഷാകർതൃ മീറ്റിംഗിൽ 20 പേരുണ്ട്. 5 പേരെ ഉൾപ്പെടുത്തണമെങ്കിൽ പാരൻ്റ് കമ്മിറ്റിയുടെ ഘടനയ്ക്ക് എത്ര വ്യത്യസ്ത ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്?

പരിഹാരം: ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, കമ്മിറ്റി ലിസ്റ്റിലെ പേരുകളുടെ ക്രമത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമില്ല. തൽഫലമായി, അതേ ആളുകൾ അതിൻ്റെ ഭാഗമാകുകയാണെങ്കിൽ, അർത്ഥത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ഒരേ ഓപ്ഷനാണ്. അതിനാൽ, 5 ൻ്റെ 20 മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം.

ഓരോ കമ്മിറ്റി അംഗവും തുടക്കത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക പ്രവർത്തന മേഖലയുടെ ഉത്തരവാദിത്തമാണെങ്കിൽ കാര്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. അപ്പോൾ, കമ്മറ്റിയുടെ അതേ ലിസ്റ്റ് കോമ്പോസിഷനിൽ, അതിനുള്ളിൽ 5 പേരുണ്ടാകും! പ്രാധാന്യമുള്ള ക്രമമാറ്റങ്ങൾ. വ്യത്യസ്തമായ (കോമ്പോസിഷനിലും ഉത്തരവാദിത്ത മേഖലയിലും) ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 5 ൻ്റെ 20 ഘടകങ്ങളുടെ പ്ലെയ്‌സ്‌മെൻ്റുകളുടെ എണ്ണം അനുസരിച്ചാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ജ്യാമിതീയ നിർവ്വചനം

ക്രമരഹിതമായ ഒരു ബിന്ദുവിനെ ചില ജ്യാമിതീയ മേഖലയായ ജിയിലേക്ക് (ഒരു നേർരേഖയിലോ തലത്തിലോ സ്ഥലത്തിലോ) എറിയുന്നതായി റാൻഡം ടെസ്റ്റ് സങ്കൽപ്പിക്കട്ടെ. പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ G യുടെ വ്യക്തിഗത പോയിൻ്റുകളാണ്, ഏത് ഇവൻ്റും ഈ ഏരിയയുടെ ഒരു ഉപവിഭാഗമാണ്, G യുടെ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ ഇടം. G യുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും "തുല്യം" ആണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, തുടർന്ന് ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗണത്തിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യത അതിൻ്റെ അളവിന് ആനുപാതികമായി (നീളം, വിസ്തീർണ്ണം, വോളിയം) അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്തെയും രൂപത്തെയും ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

ഇവൻ്റ് A യുടെ ജ്യാമിതീയ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ബന്ധമാണ്: , ഇവിടെ m(G), m(A) എന്നത് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും ഇവൻ്റ് എയുടെയും മുഴുവൻ സ്ഥലത്തിൻ്റെയും ജ്യാമിതീയ അളവുകളാണ് (നീളങ്ങൾ, ഏരിയകൾ അല്ലെങ്കിൽ വോള്യങ്ങൾ).

ഉദാഹരണം. 2d വീതിയുടെ സമാന്തര സ്ട്രിപ്പുകളാൽ ഗ്രാഫ് ചെയ്ത ഒരു തലത്തിലേക്ക് r () ദൂരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തം ക്രമരഹിതമായി എറിയുന്നു, അതിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടരേഖകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം 2D ന് തുല്യമാണ്. വൃത്തം ഒരു നിശ്ചിത സ്ട്രിപ്പിനെ വിഭജിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഈ പരിശോധനയുടെ പ്രാഥമിക ഫലമെന്ന നിലയിൽ, സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ നിന്ന് സർക്കിളിന് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള സ്ട്രിപ്പിൻ്റെ മധ്യരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം x ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. അപ്പോൾ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ മുഴുവൻ സ്ഥലവും ഒരു സെഗ്മെൻ്റാണ്. ഒരു സ്ട്രിപ്പുള്ള ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ വിഭജനം അതിൻ്റെ മധ്യഭാഗം സ്ട്രിപ്പിലേക്ക് വീഴുകയാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ സ്ട്രിപ്പിൻ്റെ അരികിൽ നിന്ന് ദൂരത്തേക്കാൾ കുറഞ്ഞ ദൂരത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ സംഭവിക്കും, അതായത്.

ആവശ്യമുള്ള പ്രോബബിലിറ്റിക്കായി നമുക്ക് ലഭിക്കും: .

സംഭവങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം സാധ്യമായതും സാധ്യതയുള്ളതും ക്രമരഹിതവുമാണ്. ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവുമായ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ആശയങ്ങൾ. ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഒരു റാൻഡം ഇവൻ്റിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റിയുടെയും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളുടെയും ക്ലാസിക് നിർവചനം. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ. ജ്യാമിതീയ സാധ്യത. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

1. സംഭവങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ആശയമാണ്. ഒരു അനുഭവത്തിൻ്റെയോ പരീക്ഷണത്തിൻ്റെയോ ഫലമായി സംഭവിക്കാവുന്ന ഏതൊരു വസ്തുതയുമാണ് ഒരു സംഭവം. അനുഭവം അല്ലെങ്കിൽ പരീക്ഷണം എന്നതുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥകൾ നടപ്പിലാക്കുന്നതിനെയാണ്.

സംഭവങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

- തോക്കിൽ നിന്ന് വെടിയുതിർക്കുമ്പോൾ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുക (അനുഭവം - ഒരു ഷോട്ട് ഉണ്ടാക്കുക; ഇവൻ്റ് - ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുന്നത്);

- ഒരു നാണയം മൂന്ന് തവണ എറിയുമ്പോൾ രണ്ട് ചിഹ്നങ്ങളുടെ നഷ്ടം (അനുഭവം - ഒരു നാണയം മൂന്ന് തവണ എറിയൽ; ഇവൻ്റ് - രണ്ട് ചിഹ്നങ്ങളുടെ നഷ്ടം);

- ഒരു ലക്ഷ്യത്തിലേക്കുള്ള ശ്രേണി അളക്കുമ്പോൾ നിർദ്ദിഷ്ട പരിധിക്കുള്ളിൽ ഒരു അളക്കൽ പിശകിൻ്റെ രൂപം (അനുഭവം - ശ്രേണി അളക്കൽ; ഇവൻ്റ് - അളക്കൽ പിശക്).

സമാനമായ എണ്ണമറ്റ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. ഇവൻ്റുകൾ ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാലയുടെ വലിയ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

സംയുക്തവും അല്ലാത്തതുമായ ഇവൻ്റുകൾ തമ്മിൽ വേർതിരിക്കുന്നു. അവയിലൊന്നിൻ്റെ സംഭവം മറ്റൊന്നിൻ്റെ സംഭവത്തെ ഒഴിവാക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഇവൻ്റുകൾ ജോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, സംഭവങ്ങളെ പൊരുത്തമില്ലാത്തത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് ഡൈസ് എറിയുന്നു. ഇവൻ്റ് - ആദ്യത്തെ ഡൈയിൽ വീഴുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ, ഇവൻ്റ് - രണ്ടാമത്തെ ഡൈയിൽ വീഴുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ, ഒപ്പം - സംയുക്ത ഇവൻ്റുകൾ. ഒരേ ശൈലിയിലും വലുപ്പത്തിലുമുള്ള, എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളിലുള്ള ഒരു ബാച്ച് ഷൂസ് സ്റ്റോറിന് ലഭിക്കട്ടെ. ഇവൻ്റ് - ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ഒരു ബോക്സിൽ കറുത്ത ഷൂസ് അടങ്ങിയിരിക്കും, ഒരു ഇവൻ്റ് - ബോക്സിൽ തവിട്ട് ഷൂകൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, കൂടാതെ - പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവൻ്റുകൾ.

തന്നിരിക്കുന്ന അനുഭവത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണെങ്കിൽ ഒരു സംഭവത്തെ വിശ്വസനീയമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന അനുഭവത്തിൻ്റെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഭവത്തെ അസാധ്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗങ്ങളുടെ ഒരു ബാച്ചിൽ നിന്ന് ഒരു സാധാരണ ഭാഗം എടുക്കുന്ന സംഭവം വിശ്വസനീയമാണ്, എന്നാൽ നിലവാരമില്ലാത്ത ഭാഗം അസാധ്യമാണ്.

ഒരു സംഭവത്തെ സാധ്യമായ അല്ലെങ്കിൽ ക്രമരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, അനുഭവത്തിൻ്റെ ഫലമായി അത് പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം, പക്ഷേ ദൃശ്യമാകില്ല. ഒരു ബാച്ച് പൂർത്തിയായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ പരിശോധനയ്ക്കിടെയുള്ള ഉൽപ്പന്ന വൈകല്യങ്ങൾ തിരിച്ചറിയൽ, പ്രോസസ്സ് ചെയ്ത ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വലുപ്പവും നിർദ്ദിഷ്ടവും തമ്മിലുള്ള പൊരുത്തക്കേട് അല്ലെങ്കിൽ ഓട്ടോമേറ്റഡ് കൺട്രോൾ സിസ്റ്റത്തിലെ ലിങ്കുകളിലൊന്നിൻ്റെ പരാജയം എന്നിവ ക്രമരഹിതമായ സംഭവത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണമാണ്. .

ടെസ്റ്റ് വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, ഈ ഇവൻ്റുകളൊന്നും വസ്തുനിഷ്ഠമായി മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ കൂടുതൽ സാധ്യമല്ലെങ്കിൽ ഇവൻ്റുകൾ തുല്യമായി സാധ്യമാണ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്റ്റോറിൽ ലൈറ്റ് ബൾബുകൾ (തുല്യ അളവിൽ) നിരവധി നിർമ്മാണ പ്ലാൻ്റുകൾ വിതരണം ചെയ്യട്ടെ. ഈ ഫാക്ടറികളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു ലൈറ്റ് ബൾബ് വാങ്ങുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്ന ഇവൻ്റുകൾ ഒരുപോലെ സാധ്യമാണ്.

ഒരു പ്രധാന ആശയം സംഭവങ്ങളുടെ സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പാണ്. പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി അവയിലൊന്നെങ്കിലും ദൃശ്യമാകുമെന്ന് ഉറപ്പാണെങ്കിൽ തന്നിരിക്കുന്ന പരീക്ഷണത്തിലെ നിരവധി ഇവൻ്റുകൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കലത്തിൽ പത്ത് പന്തുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ആറ് ചുവപ്പ്, നാലെണ്ണം വെള്ള, അഞ്ച് പന്തുകൾക്ക് അക്കങ്ങളുണ്ട്. - ഒരു സമനിലയിൽ ചുവന്ന പന്തിൻ്റെ രൂപം, - ഒരു വെളുത്ത പന്തിൻ്റെ രൂപം, - ഒരു നമ്പറുള്ള ഒരു പന്തിൻ്റെ രൂപം. ഇവൻ്റുകൾ സംയുക്ത ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നു.

ഒരു വിപരീത അല്ലെങ്കിൽ അധിക സംഭവത്തിൻ്റെ ആശയം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. ചില സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ അനിവാര്യമായും സംഭവിക്കേണ്ട ഒരു സംഭവമാണ് വിപരീത സംഭവം. വിപരീത സംഭവങ്ങൾ പൊരുത്തമില്ലാത്തതും സാധ്യമായവയുമാണ്. അവർ സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിർമ്മിച്ച ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഒരു ബാച്ച് നല്ലതും വികലവുമായവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, ഒരു ഉൽപ്പന്നം നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ, അത് ഒന്നുകിൽ നല്ലതായി മാറിയേക്കാം - ഒരു ഇവൻ്റ്, അല്ലെങ്കിൽ വികലമായ - ഒരു ഇവൻ്റ്.

2. ഇവൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ ക്രമരഹിതമായ ഇവൻ്റുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപകരണവും രീതിശാസ്ത്രവും വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെയും ആശയം വളരെ പ്രധാനമാണ്.