വീട് › തണുപ്പിക്കാനുള്ള സിസ്റ്റം › ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ - നോളജ് ഹൈപ്പർമാർക്കറ്റ്. ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാം

ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ - നോളജ് ഹൈപ്പർമാർക്കറ്റ്. ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാം

വൈവിധ്യമാർന്ന ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾക്കിടയിൽ, വേരിയബിൾ ബേസ് ഉള്ള അസമത്വങ്ങൾ പ്രത്യേകം പഠിക്കുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക ഫോർമുല അനുസരിച്ച് അവ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, ചില കാരണങ്ങളാൽ സ്കൂളിൽ അപൂർവ്വമായി പഠിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു:

ലോഗ് k (x ) f (x ) ∨ ലോഗ് k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) - g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

"∨" എന്ന ജാക്ക്‌ഡോക്ക് പകരം, നിങ്ങൾക്ക് ഏതെങ്കിലും അസമത്വ ചിഹ്നം ഇടാം: കൂടുതലോ കുറവോ. രണ്ട് അസമത്വങ്ങളിലും അടയാളങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ് എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കുകയും പ്രശ്നത്തെ യുക്തിസഹമായ അസമത്വത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. രണ്ടാമത്തേത് പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്, എന്നാൽ ലോഗരിതം നിരസിക്കുമ്പോൾ, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. അവ മുറിച്ചുമാറ്റാൻ, അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി കണ്ടെത്തിയാൽ മതി. നിങ്ങൾ ലോഗരിതം ODZ മറന്നെങ്കിൽ, അത് ആവർത്തിക്കാൻ ഞാൻ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു - "എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" കാണുക.

സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാം പ്രത്യേകം എഴുതുകയും പരിഹരിക്കുകയും വേണം:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ഈ നാല് അസമത്വങ്ങളും ഒരു സംവിധാനമാണ്, അവ ഒരേസമയം നിറവേറ്റേണ്ടതുണ്ട്. സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, യുക്തിസഹമായ അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിലൂടെ അത് മറികടക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു - ഉത്തരം തയ്യാറാണ്.

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യം, നമുക്ക് ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ എഴുതാം:

ആദ്യത്തെ രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ യാന്ത്രികമായി നടപ്പിലാക്കുന്നു, അവസാനത്തേത് എഴുതേണ്ടിവരും. ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം പൂജ്യമായതിനാൽ, സംഖ്യ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പ്രധാന അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു:

ലോഗരിഥമിക് അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് യുക്തിസഹമായ ഒന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു. യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിൽ "കുറവ്" എന്ന ചിഹ്നമുണ്ട്, അതിനാൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വവും "കുറവ്" എന്ന ചിഹ്നത്തോടൊപ്പമായിരിക്കണം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ: x = 3; x = -3; x = 0. മാത്രമല്ല, x = 0 എന്നത് രണ്ടാമത്തെ ഗുണനത്തിന്റെ മൂലമാണ്, അതായത് അതിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാളം മാറില്ല. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

നമുക്ക് x ∈ (−∞ -3)∪(3; +∞) ലഭിക്കും. ഈ സെറ്റ് ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ-ൽ പൂർണ്ണമായും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം ഇതാണ് ഉത്തരം.

ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം

പലപ്പോഴും യഥാർത്ഥ അസമത്വം മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ലോഗരിതങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഇത് പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് - "ലോഗരിതംസിന്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ" കാണുക. അതായത്:

തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം ആയി ഏത് സംഖ്യയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാം;
ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും ഒരൊറ്റ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

പ്രത്യേകമായി, സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിൽ നിരവധി ലോഗരിതങ്ങൾ ഉണ്ടാകാമെന്നതിനാൽ, അവയിൽ ഓരോന്നിന്റെയും DPV കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, പൊതു പദ്ധതിലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

അസമത്വത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഓരോ ലോഗരിതത്തിന്റെയും ODZ കണ്ടെത്തുക;
ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഒന്നിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക;
മുകളിലുള്ള സ്കീം അനുസരിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഓഫ് ഡെഫനിഷൻ (ODZ) കണ്ടെത്തുക:

ഞങ്ങൾ ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തൽ:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

അപ്പോൾ - ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ:

x - 1 = 0;
x = 1.

കോർഡിനേറ്റ് അമ്പടയാളത്തിൽ ഞങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങളും അടയാളങ്ങളും അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു:

നമുക്ക് x ∈ (-−∞ 2/3)∪(1; +∞) ലഭിക്കും. ODZ ന്റെ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം സമാനമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു, അങ്ങനെ അടിസ്ഥാനം രണ്ടാണ്:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അടിഭാഗത്തും ലോഗരിതം മുമ്പും ഉള്ള ട്രിപ്പിൾസ് ചുരുങ്ങി. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം നേടുക. നമുക്ക് അവയെ ഒരുമിച്ച് ചേർക്കാം:

ലോഗ് 2 (x - 1) 2< 2;
ലോഗ് 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

ഞങ്ങൾക്ക് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ലോഗരിഥമിക് അസമത്വം ലഭിച്ചു. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിൽ ഒരു ചെറിയ ചിഹ്നം ഉള്ളതിനാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗവും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സെറ്റുകൾ ലഭിച്ചു:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
ഉത്തരം കാൻഡിഡേറ്റ്: x ∈ (−1; 3).

ഈ സെറ്റുകൾ മറികടക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു - ഞങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ ഉത്തരം ലഭിക്കും:

സെറ്റുകളുടെ കവലയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്, അതിനാൽ രണ്ട് അമ്പടയാളങ്ങളിലും ഷേഡുള്ള ഇടവേളകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. നമുക്ക് x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) ലഭിക്കും - എല്ലാ പോയിന്റുകളും പഞ്ചർ ചെയ്തു.

ഒരു അസമത്വത്തിൽ ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ ലോഗരിഥമിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ രണ്ട് കാര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല.

ആദ്യം, ലോഗരിഥമിക് അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് സബ്ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ അസമത്വത്തിലേക്ക് കടക്കുമ്പോൾ, അത് പിന്തുടരുന്നു ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം പിന്തുടരുക. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം അനുസരിക്കുന്നു.

ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ അടിസ്ഥാനം $1$-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ലോഗരിഥമിക് അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് സബ്‌ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ അസമത്വത്തിലേക്ക് കടക്കുമ്പോൾ, അസമത്വ ചിഹ്നം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും, അത് $1$-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, അത് വിപരീതമാക്കപ്പെടും.

രണ്ടാമതായി, ഏതെങ്കിലും അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ഇടവേളയാണ്, അതിനാൽ, സബ്ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിന്റെ അവസാനം, രണ്ട് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ അസമത്വം അസമത്വമായിരിക്കും. സബ്ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ, രണ്ടാമത്തേത് ലോഗരിഥമിക് അസമത്വത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഇടവേള ആയിരിക്കും.