പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസും അവയുടെ സംഖ്യയും. ആധുനിക സയൻസ്-ഇന്റൻസീവ് ടെക്നോളജികൾ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിന്റെ ഭാഗമായി പ്രൈം നമ്പറുകൾ

"പ്രാദേശിക വിദ്യാഭ്യാസ കേന്ദ്രം"

രീതിപരമായ വികസനം

പരിഹരിക്കുന്നതിൽ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങളും ത്രികോണമിതി ടാസ്ക്കുകളും ഉപയോഗിക്കുക

കലുഗ, 2016

ആമുഖം

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രധാനമായ ഒന്നാണ്, ജ്യാമിതിയുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ ഭൂരിഭാഗവും അതിൽ നിന്നോ അതിന്റെ സഹായത്തോടെയോ മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും എന്ന വസ്തുതയിലാണ് അതിന്റെ പ്രാധാന്യം. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ശ്രദ്ധേയമാണ്, അതിൽ തന്നെ അത് വ്യക്തമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഡ്രോയിംഗിൽ നേരിട്ട് കാണാൻ കഴിയും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തെ എങ്ങനെ നോക്കിയാലും, അതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ ഇത്രയും ലളിതമായ അനുപാതം ഉണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ ഒരിക്കലും കാണില്ല: a2+b2=c2. എന്നിരുന്നാലും, അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേര് വഹിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം കണ്ടെത്തിയത് പൈതഗോറസല്ല. ഇത് നേരത്തെ തന്നെ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു, പക്ഷേ ഒരുപക്ഷേ അളവുകളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഒരു വസ്തുതയായി മാത്രം. പൈതഗോറസിന് ഇത് അറിയാമായിരുന്നു, പക്ഷേ തെളിവ് കണ്ടെത്തി.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട് എ, ബി, സി, ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു a2+b2=c2.. അവയെ പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അത്തരം സംഖ്യകൾക്ക് ചില വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം പോലെ വർത്തിക്കാൻ കഴിയും - ഞങ്ങൾ അവയെ പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കും.

ജോലിയുടെ ലക്ഷ്യം:ഒരു സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിന്റെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ സാധ്യതയും ഫലപ്രാപ്തിയും പഠിക്കാൻ, അസൈൻമെന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

ജോലിയുടെ ഉദ്ദേശ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇനിപ്പറയുന്നവ ചുമതലകൾ:

പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിന്റെ ചരിത്രവും വർഗ്ഗീകരണവും പഠിക്കാൻ. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ ലഭ്യമായ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഉപയോഗിച്ച് ടാസ്ക്കുകൾ വിശകലനം ചെയ്യുക. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഫലപ്രാപ്തി വിലയിരുത്തുക.

പഠന വിഷയം: സംഖ്യകളുടെ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ്.

പഠന വിഷയം: ത്രികോണമിതിയുടെയും ജ്യാമിതിയുടെയും സ്കൂൾ കോഴ്സിന്റെ ചുമതലകൾ, അതിൽ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഗവേഷണത്തിന്റെ പ്രസക്തി. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് പലപ്പോഴും ജ്യാമിതിയിലും ത്രികോണമിതിയിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവ അറിയുന്നത് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ പിശകുകൾ ഇല്ലാതാക്കുകയും സമയം ലാഭിക്കുകയും ചെയ്യും.

II. പ്രധാന ഭാഗം. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

2.1. പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളുടെ മൂന്നിരട്ടികളുടെ പട്ടിക (പെരെൽമാൻ അനുസരിച്ച്)

പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട് എ= m n, , ഇവിടെ m ഉം n ഉം ചില കോപ്രൈം ഒറ്റ സംഖ്യകളാണ്.

പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾക്ക് രസകരമായ നിരവധി സവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്:

"കാലുകളിൽ" ഒന്ന് മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം.

"കാലുകളിൽ" ഒന്ന് നാലിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം.

പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് അഞ്ചിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം.

"എന്റർടൈനിംഗ് ആൾജിബ്ര" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിന്റെ ഒരു പട്ടിക അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ പൊതുവായ ഘടകങ്ങളില്ല.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2 പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിന്റെ ഷുസ്ട്രോവിന്റെ വർഗ്ഗീകരണം.

ഷുസ്ട്രോവ് ഇനിപ്പറയുന്ന പാറ്റേൺ കണ്ടെത്തി: എല്ലാ പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണങ്ങളെയും ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, താഴെപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഒറ്റ ലെഗ് x, y, ഹൈപ്പോട്ടെനസ് z എന്നിവയ്ക്ക് സാധുതയുള്ളതാണ്:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, ഇവിടെ N എന്നത് കുടുംബത്തിന്റെ സംഖ്യയും n എന്നത് കുടുംബത്തിലെ ത്രികോണത്തിന്റെ ഓർഡിനൽ സംഖ്യയുമാണ്.

N, n എന്നിവയ്‌ക്ക് പകരം ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ പ്രധാന പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകളും ഒരു പ്രത്യേക തരത്തിന്റെ ഗുണിതങ്ങളും ലഭിക്കും. ഓരോ കുടുംബത്തിനും എല്ലാ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിന്റെയും ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം.

2.3 പ്ലാനിമെട്രി ജോലികൾ

ജ്യാമിതിയിലെ വിവിധ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ ഈ ടാസ്ക്കുകളിൽ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് എത്ര തവണ കാണപ്പെടുന്നു എന്ന് കണ്ടെത്താം. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ പട്ടികയിലെ മൂന്നാമത്തെ മൂലകം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിസ്സാര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല, അവ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും കാണപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിലും. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാൽ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ വരെ പ്രകടിപ്പിക്കാത്ത ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാമെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

7-9 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ജ്യാമിതി പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള ജോലികൾ പരിഗണിക്കുക.

№ 000. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസസ് കണ്ടെത്തുക എ=, ബി=.

പരിഹാരം. കാലുകളുടെ നീളം 7 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 3, 4 എന്നിവയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ലഭിക്കും. കാണാതായ ഘടകം 5 ആണ്, അത് നമ്മൾ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഉത്തരം.

№ 000. ദീർഘചതുരം എബിസിഡിയിൽ സിഡി=1.5, എസി=2.5 എങ്കിൽ ബിസി കണ്ടെത്തുക.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

പരിഹാരം. നമുക്ക് വലത് ത്രികോണ ACD പരിഹരിക്കാം. നമ്മൾ നീളം 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 3, 5 എന്നിവയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ലഭിക്കും, കാണാതായ ഘടകം 4 ആണ്, അത് നമ്മൾ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഉത്തരം: 2.

അടുത്ത നമ്പർ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അനുപാതം പരിശോധിക്കുക a2+b2=c2ഇത് പൂർണ്ണമായും ഓപ്ഷണൽ ആണ്, പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി.

№ 000. ഒരു ത്രികോണം വലത് കോണാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക, അതിന്റെ വശങ്ങൾ അക്കങ്ങളാൽ പ്രകടമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:

a) 6,8,10 (പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 3,4.5) - അതെ;

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകളിലൊന്ന് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതായിരിക്കണം. ഉത്തരം: ഇല്ല.

സി) 9,12,15 (പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 3,4.5) - അതെ;

d) 10,24,26 (പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 5,12.13) - അതെ;

പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് അഞ്ചിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം. ഉത്തരം: ഇല്ല.

g) 15, 20, 25 (പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 3,4.5) - അതെ.

ഈ വിഭാഗത്തിലെ (പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം) മുപ്പത്തൊമ്പത് ജോലികളിൽ, ഇരുപത്തിരണ്ടെണ്ണം പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ഉപയോഗിച്ച് വാമൊഴിയായി പരിഹരിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം #000 പരിഗണിക്കുക ("അധിക ജോലികൾ" വിഭാഗത്തിൽ നിന്ന്):

AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm എന്നിങ്ങനെയുള്ള ചതുർഭുജ ABCDയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

അനുപാതം പരിശോധിക്കലാണ് ചുമതല a2+b2=c2നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുർഭുജത്തിൽ രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങൾ (വിപരീത സിദ്ധാന്തം) അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്: 3, 4, 5, 5, 12, 13, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആവശ്യകത ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

7-9 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം നൽകാം.

പ്രശ്നം 156 (എച്ച്). ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകൾ 9 ഉം 40 ഉം ആണ്. ഹൈപ്പോടെനസിലേക്ക് വരച്ചിരിക്കുന്ന മീഡിയൻ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം . ഹൈപ്പോടെനസിലേക്ക് വരച്ച മീഡിയൻ അതിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 9.40 ഉം 41 ഉം ആണ്. അതിനാൽ, മീഡിയൻ 20.5 ആണ്.

പ്രശ്നം 156 (i). ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ ഇവയാണ്: എ= 13 സെ.മീ. b= 20 സെന്റിമീറ്ററും ഉയരവും hс = 12 സെ.മീ. അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക കൂടെ.

ടാസ്ക് (KIM ഉപയോഗം). ഉയരം BH 12 ആണെങ്കിൽ, ABC എന്ന നിശിത ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക. sin A=,sin C \u003d ഇടത് "\u003e

പരിഹാരം.ഞങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ∆ ASC പരിഹരിക്കുന്നു: sin A=, BH=12, അതിനാൽ AB=13,AK=5 (പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 5,12,13). ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ∆ BCH പരിഹരിക്കുക: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 3,4,5).ആർ === 4 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് ആരം കണ്ടെത്തുന്നത്. ഉത്തരം.4.

2.4 ത്രികോണമിതിയിൽ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ്

പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റി പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. അതിനാൽ, ചില ത്രികോണമിതി ജോലികൾ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഉപയോഗിച്ച് വാമൊഴിയായി എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് മറ്റ് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ആവശ്യമായ പ്രശ്‌നങ്ങൾ ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യാതെ തന്നെ പരിഹരിക്കാനാകും. ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിലെ (10-11) മൊർഡ്കോവിച്ച് (നമ്പർ 000-നമ്പർ 000) ഇത്തരത്തിലുള്ള എല്ലാ ജോലികളും കുറച്ച് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ മാത്രം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് വാമൊഴിയായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

നമ്പർ 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

പരിഹാരം. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ: 3, 4, 5. അതിനാൽ, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

നമ്പർ 000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

പരിഹാരം. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ 5,12,13. അടയാളങ്ങൾ നൽകിയാൽ, നമുക്ക് sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12 ലഭിക്കും.

3. പരീക്ഷയുടെ സാമഗ്രികളുടെ നിയന്ത്രണവും അളക്കലും

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) പാപം (ആർക്കോസ് 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (ആർക്കോസ് 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

ഇ) തുല്യതയുടെ സാധുത പരിശോധിക്കുക:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

പരിഹാരം. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

ആർക്‌സിൻ 4/5 + ആർക്‌സിൻ 5/13 = π/2 - ആർക്‌സിൻ 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. ഉപസംഹാരം

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഒരാൾ പലപ്പോഴും വലത് ത്രികോണങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ചിലപ്പോൾ പല തവണ. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെയും USE മെറ്റീരിയലുകളുടെയും ചുമതലകൾ വിശകലനം ചെയ്ത ശേഷം, ട്രിപ്പിൾസ് പ്രധാനമായും ഉപയോഗിക്കുന്നതായി നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; ഓർക്കാൻ എളുപ്പമുള്ളവ. ചില ത്രികോണമിതി ടാസ്ക്കുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും ധാരാളം കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഉപയോഗിച്ചുള്ള ക്ലാസിക് പരിഹാരത്തിന് സമയമെടുക്കും, കൂടാതെ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ പിശകുകൾ ഇല്ലാതാക്കുകയും പരീക്ഷയിൽ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമയം ലാഭിക്കുകയും ചെയ്യും.

ഗ്രന്ഥസൂചിക പട്ടിക

1. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിന്റെ തുടക്കവും. 10-11 ഗ്രേഡുകൾ. 2 മണിക്കൂറിന്, ഭാഗം 2. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കായുള്ള ഒരു ടാസ്ക് ബുക്ക് / [മറ്റുള്ളവ]; ed. . - എട്ടാം പതിപ്പ്., സീനിയർ. - എം.: എംനെമോസിൻ, 2007. - 315 പേ. : അസുഖം.

2. പെരെൽമാൻ ബീജഗണിതം. - ഡി.: വിഎപി, 1994. - 200 പേ.

3. റോഗനോവ്സ്കി: പ്രോ. 7-9 സെല്ലുകൾക്ക്. ഒരു ആഴമുള്ള കൂടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ പഠനം. സ്കൂൾ റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ നിന്ന് നീളം. പഠനം, - മൂന്നാം പതിപ്പ്. - Mn.; നാർ. അസ്വേത, 2000. - 574 പേ.: അസുഖം.

4. ഗണിതം: ചരിത്രം, രീതിശാസ്ത്രം, ഉപദേശങ്ങൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള വായനക്കാരൻ. / കമ്പ്. . - എം.: URAO യുടെ പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ്, 2001. - 384 പേ.

5. ജേണൽ "സ്കൂളിലെ മാത്തമാറ്റിക്സ്" നമ്പർ 1, 1965.

6. പരീക്ഷയുടെ നിയന്ത്രണവും അളക്കുന്ന സാമഗ്രികളും.

7. ജ്യാമിതി, 7-9: പ്രോ. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്ക് / മുതലായവ - 13-ാം പതിപ്പ് - എം .: വിദ്യാഭ്യാസം, 2003. – 384 പേ. : അസുഖം.

8. ജ്യാമിതി: പ്രോ. 10-11 സെല്ലുകൾക്ക്. ശരാശരി സ്കൂൾ / മുതലായവ - 2nd ed. - എം .: വിദ്യാഭ്യാസം, 1993, - 207 പേജ്.: അസുഖം.

പെരെൽമാൻ ബീജഗണിതം. - ഡി.: വിഎപി, 1994. - 200 പേ.

ജേണൽ "മാത്തമാറ്റിക്സ് അറ്റ് സ്കൂളിൽ" നമ്പർ 1, 1965.

ജ്യാമിതി, 7-9: പ്രോ. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്ക് / മുതലായവ - 13-ാം പതിപ്പ് - എം .: വിദ്യാഭ്യാസം, 2003. – 384 പേ. : അസുഖം.

റോഗനോവ്സ്കി: പ്രൊ. 7-9 സെല്ലുകൾക്ക്. ഒരു ആഴമുള്ള കൂടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ പഠനം. സ്കൂൾ റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ നിന്ന് നീളം. പഠനം, - മൂന്നാം പതിപ്പ്. - Mn.; നാർ. അസ്വേത, 2000. - 574 പേ.: അസുഖം.

ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിന്റെ തുടക്കവും. 10-11 ഗ്രേഡുകൾ. 2 മണിക്കൂറിന്, ഭാഗം 2. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കായുള്ള ഒരു ടാസ്ക് ബുക്ക് / [മറ്റുള്ളവ]; ed. . - എട്ടാം പതിപ്പ്., സീനിയർ. - എം.: എംനെമോസിൻ, 2007. - 315 പേ. : രോഗം., പേജ് 18.

ബെലോട്ടെലോവ് വി.എ. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസും അവയുടെ സംഖ്യയും // എൻസൈക്ലോപീഡിയ ഓഫ് നെസ്റ്ററോവ്സ്

ഈ ലേഖനം ഒരു പ്രൊഫസർക്കുള്ള ഉത്തരമാണ് - ഒരു പിഞ്ചർ. നോക്കൂ, പ്രൊഫസർ, നമ്മുടെ ഗ്രാമത്തിൽ അവർ അത് എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നുവെന്ന്.

നിസ്നി നോവ്ഗൊറോഡ് മേഖല, സവോൾഷി.

ഡയോഫാന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ (ADDE) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ബഹുപദ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ആവശ്യമാണ്.

IF ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ്.

MF ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണ്.

N എന്ന ഒറ്റ സംഖ്യ ഉണ്ടാകട്ടെ. ഒന്നല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും ഒറ്റ സംഖ്യയ്ക്ക്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതാം.

p 2 + N \u003d q 2,

ഇവിടെ р + q = N, q - р = 1.

ഉദാഹരണത്തിന്, 21-ഉം 23-ഉം അക്കങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

N പ്രൈം ആണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യം അദ്വിതീയമാണ്. N സംഖ്യ സംയോജിതമാണെങ്കിൽ, 1 x N ഉൾപ്പെടെ, ഈ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങളുടെ ജോഡികളുടെ എണ്ണത്തിന് സമാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കാൻ കഴിയും.

നമുക്ക് N = 45 എന്ന സംഖ്യ എടുക്കാം, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

ഞാൻ സ്വപ്നം കണ്ടു, പക്ഷേ IF ഉം MF ഉം തമ്മിലുള്ള ഈ വ്യത്യാസത്തിൽ മുറുകെപ്പിടിച്ച്, അവരുടെ തിരിച്ചറിയലിനായി ഒരു രീതി കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാണോ?

നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം;

നമുക്ക് താഴത്തെ സമവാക്യം മാറ്റാം, -

N \u003d in 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

N ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാം - a, i.e. നമുക്ക് ഒരു മേശ ഉണ്ടാക്കാം.

N സംഖ്യകൾ ഒരു മെട്രിക്സിൽ സംഗ്രഹിച്ചിരിക്കുന്നു, -

ഈ ചുമതലയ്ക്കുവേണ്ടിയാണ് എനിക്ക് ബഹുപദങ്ങളുടെയും അവയുടെ മെട്രിക്സിന്റെയും പുരോഗതികൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടി വന്നത്. എല്ലാം വെറുതെയായി - പിസിഎച്ച് പ്രതിരോധം ശക്തമായി നടക്കുന്നു. നമുക്ക് പട്ടിക 1-ൽ ഒരു കോളം നൽകാം, അവിടെ - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

ഒരിക്കൽ കൂടി. IF, MF എന്നിവ തിരിച്ചറിയുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തിന്റെ ഫലമായി പട്ടിക 2 ലഭിച്ചു. ഏത് N സംഖ്യയ്ക്കും, 2-ൽ 2 + N \u003d എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്, 1 x N എന്ന ഘടകം ഉൾപ്പെടെ, N സംഖ്യയെ എത്ര ജോഡി ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം. കൂടാതെ N \u003d ℓ 2 എന്ന നമ്പറുകളിലേക്ക്, എവിടെ

ℓ - FC. N = ℓ 2 ന്, ℓ IF ആണെങ്കിൽ, p 2 + N = q 2 എന്ന അദ്വിതീയ സമവാക്യമുണ്ട്. ഒന്ന് മുതൽ ∞ വരെ N രൂപപ്പെടുന്ന ഘടകങ്ങളുടെ ജോഡികളിൽ നിന്ന് ചെറിയ ഘടകങ്ങളെ പട്ടിക പട്ടികപ്പെടുത്തിയാൽ നമുക്ക് എന്ത് അധിക തെളിവിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാനാകും. ഞങ്ങൾ ഒരു നെഞ്ചിൽ പട്ടിക 2 സ്ഥാപിക്കും, ഒരു ക്ലോസറ്റിൽ നെഞ്ച് മറയ്ക്കും.

ലേഖനത്തിന്റെ തലക്കെട്ടിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന വിഷയത്തിലേക്ക് നമുക്ക് മടങ്ങാം.

ഈ ലേഖനം ഒരു പ്രൊഫസർക്കുള്ള ഉത്തരമാണ് - ഒരു പിഞ്ചർ.

ഞാൻ സഹായം അഭ്യർത്ഥിച്ചു - എനിക്ക് ഇന്റർനെറ്റിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയാത്ത നമ്പറുകളുടെ ഒരു പരമ്പര ആവശ്യമാണ്. "എന്തിന്?", "എന്നാൽ രീതി കാണിക്കൂ" എന്നിങ്ങനെയുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ ഞാൻ അകപ്പെട്ടു. പ്രത്യേകിച്ചും, പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ പരമ്പര അനന്തമാണോ എന്ന് ഒരു ചോദ്യം ഉണ്ടായിരുന്നു, "അത് എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം?". അവൻ എന്നെ സഹായിച്ചില്ല. നോക്കൂ, പ്രൊഫസർ, നമ്മുടെ ഗ്രാമത്തിൽ അവർ അത് എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നുവെന്ന്.

നമുക്ക് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് ഫോർമുല എടുക്കാം, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

നമുക്ക് ARDU വഴി കടന്നുപോകാം.

മൂന്ന് സാഹചര്യങ്ങൾ സാധ്യമാണ്:

I. x ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്,

y ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്

z ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

കൂടാതെ x > y > z എന്നൊരു വ്യവസ്ഥയുണ്ട്.

II. x ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്

y ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്

z ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്.

x > z > y.

III.x - ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ,

y ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്

z ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്.

x > y > z.

ഐയിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം.

നമുക്ക് പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കാം

സമവാക്യത്തിൽ (1) പകരം വയ്ക്കുക.

ചെറിയ വേരിയബിൾ 2γ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് റദ്ദാക്കാം.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

നമുക്ക് വേരിയബിൾ 2β – 2γ ഒരു പുതിയ പാരാമീറ്റർ ഒരേസമയം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ചെറുതാക്കി കുറയ്ക്കാം ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

തുടർന്ന്, 2α - 2β = x - y - 1.

സമവാക്യം (2) ഫോം എടുക്കും, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

നമുക്ക് അതിനെ സമചതുരമാക്കാം -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU സമവാക്യത്തിന്റെ മുതിർന്ന നിബന്ധനകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പരാമീറ്ററുകളിലൂടെ നൽകുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് സമവാക്യം (3) ലഭിച്ചു.

പരിഹാരങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ നേരിടാൻ ദൃഢമല്ല. എന്നാൽ, ഒന്നാമതായി, പോകാൻ ഒരിടവുമില്ല, രണ്ടാമതായി, ഈ പരിഹാരങ്ങളിൽ പലതും ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ നമുക്ക് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും.

ƒ = 1, k = 1 എന്നതിന്, നമുക്ക് x – y = 1 ഉണ്ട്.

ƒ = 12, k = 16 കൂടെ, നമുക്ക് x - y = 9 ഉണ്ട്.

ƒ = 4, k = 32 കൂടെ, നമുക്ക് x - y = 25 ഉണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ഇത് വളരെക്കാലം എടുക്കാം, പക്ഷേ അവസാനം സീരീസ് ഫോം എടുക്കും -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

ഓപ്ഷൻ II പരിഗണിക്കുക.

നമുക്ക് പുതിയ വേരിയബിളുകൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

ഞങ്ങൾ ഒരു ചെറിയ വേരിയബിൾ 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

2α – 2β, – എന്ന ചെറിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കുറയ്ക്കാം.

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z, സമവാക്യത്തിലേക്ക് (4) പകരം വയ്ക്കുക.

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് x - z = 2 ഉണ്ട്.

ƒ = 8, k = 14 കൂടെ, നമുക്ക് x - z = 8 ഉണ്ട്.

ƒ = 3, k = 24 കൂടെ, നമുക്ക് x - z = 18 ഉണ്ട്.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

നമുക്ക് ഒരു ട്രപസോയിഡ് വരയ്ക്കാം -

നമുക്ക് ഒരു ഫോർമുല എഴുതാം.

എവിടെ n=1, 2,...∞.

കേസ് III വിവരിക്കില്ല - അവിടെ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

വ്യവസ്ഥ II-ന്, ട്രിപ്പിൾ സെറ്റ് ഇപ്രകാരമായിരിക്കും:

വ്യക്തതയ്ക്കായി സമവാക്യം (1) x 2 = z 2 + y 2 ആയി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

വ്യവസ്ഥ I-ന്, ട്രിപ്പിൾ സെറ്റ് ഇപ്രകാരമായിരിക്കും:

മൊത്തത്തിൽ, ട്രിപ്പിൾസിന്റെ 9 നിരകൾ വരച്ചിട്ടുണ്ട്, ഓരോന്നിലും അഞ്ച് ട്രിപ്പിൾ. കൂടാതെ അവതരിപ്പിച്ച ഓരോ കോളങ്ങളും ∞ വരെ എഴുതാം.

ഉദാഹരണമായി, അവസാന നിരയുടെ ട്രിപ്പിൾ പരിഗണിക്കുക, ഇവിടെ x - y \u003d 81.

x ന്റെ മൂല്യങ്ങൾക്കായി, ഞങ്ങൾ ഒരു ട്രപസോയിഡ് എഴുതുന്നു, -

നമുക്ക് ഫോർമുല എഴുതാം

മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഒരു ട്രപസോയിഡ് എഴുതുന്നു, -

നമുക്ക് ഫോർമുല എഴുതാം

z ന്റെ മൂല്യങ്ങൾക്കായി, ഞങ്ങൾ ഒരു ട്രപസോയിഡ് എഴുതുന്നു, -

നമുക്ക് ഫോർമുല എഴുതാം

എവിടെ n = 1 ÷ ∞.

വാഗ്ദാനം ചെയ്തതുപോലെ, x - y = 81 ഉള്ള ട്രിപ്പിൾ പരമ്പര ∞ ലേക്ക് പറക്കുന്നു.

x, y, z എന്നിവയ്‌ക്കായി മെട്രിക്‌സ് നിർമ്മിക്കാൻ I, II കേസുകൾക്കായി ഒരു ശ്രമം ഉണ്ടായിരുന്നു.

മുകളിലെ വരികളിൽ നിന്ന് x ന്റെ അവസാന അഞ്ച് നിരകൾ എഴുതി ഒരു ട്രപസോയിഡ് നിർമ്മിക്കുക.

ഇത് പ്രവർത്തിച്ചില്ല, പാറ്റേൺ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയിരിക്കണം. എല്ലാം ഓപ്പൺ വർക്കിൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, I, II നിരകൾ സംയോജിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് മനസ്സിലായി.

കേസ് II ആണെങ്കിൽ, y, z എന്നീ അളവുകൾ വീണ്ടും പരസ്പരം കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

ഒരു കാരണത്താൽ ലയിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു - ഈ ടാസ്ക്കിൽ കാർഡുകൾ നന്നായി യോജിക്കുന്നു - ഞങ്ങൾ ഭാഗ്യവാന്മാരായിരുന്നു.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് x, y, z എന്നിവയ്‌ക്കായി മെട്രിക്‌സുകൾ എഴുതാം.

മുകളിലെ വരികളിൽ നിന്ന് x മൂല്യത്തിന്റെ അവസാന അഞ്ച് നിരകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത് ഒരു ട്രപസോയിഡ് നിർമ്മിക്കാം.

എല്ലാം ശരിയാണ്, നിങ്ങൾക്ക് മെട്രിക്സുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, z-നുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഒരു നെഞ്ചിനായി ഞാൻ ക്ലോസറ്റിലേക്ക് ഓടുന്നു.

ആകെ: ഒന്നിന് പുറമേ, സംഖ്യാ അക്ഷത്തിന്റെ ഓരോ ഒറ്റ സംഖ്യയും പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ രൂപീകരണത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു, ഫാക്ടർ 1 x N ഉൾപ്പെടെ, ഈ സംഖ്യ N രൂപീകരിക്കുന്ന തുല്യ ജോഡി ഘടകങ്ങളാൽ.

N \u003d ℓ 2, ഇവിടെ ℓ - IF, ഒരു പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു, ℓ MF ആണെങ്കിൽ, ℓхℓ ഘടകങ്ങളിൽ ട്രിപ്പിൾ ഇല്ല.

നമുക്ക് x, y എന്നിവയ്‌ക്കായി മെട്രിക്‌സുകൾ നിർമ്മിക്കാം.

x-നുള്ള മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, IF, MF എന്നിവ തിരിച്ചറിയുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റ് ഗ്രിഡ് ഞങ്ങൾ അതിൽ വലിക്കും.

ലംബമായ വരികളുടെ എണ്ണം എക്സ്പ്രഷൻ വഴി നോർമലൈസ് ചെയ്യുന്നു

നമുക്ക് ആദ്യത്തെ കോളം നീക്കം ചെയ്യാം, കാരണം

മാട്രിക്സ് രൂപമെടുക്കും -

നമുക്ക് ലംബ വരികൾ വിവരിക്കാം, -

നമുക്ക് ഗുണകങ്ങളെ "a"-ൽ വിവരിക്കാം, -

സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളെ വിവരിക്കാം, -

നമുക്ക് "x" എന്നതിന് ഒരു പൊതു ഫോർമുല ഉണ്ടാക്കാം, -

"y" എന്നതിന് സമാനമായ ഒരു ജോലി നമ്മൾ ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും -

നിങ്ങൾക്ക് മറുവശത്ത് നിന്ന് ഈ ഫലത്തെ സമീപിക്കാം.

നമുക്ക് സമവാക്യം എടുക്കാം,

കൂടാതെ 2 + N = 2 ൽ.

നമുക്ക് ഇത് കുറച്ച് മാറ്റാം -

N \u003d 2 - a 2 ൽ.

നമുക്ക് അത് സമചതുരമാക്കാം -

N 2 \u003d in 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലായി 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d in 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

ഒടുവിൽ -

(2 + a 2-ൽ) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രചിച്ചിരിക്കുന്നു:

N = 117 എന്ന നമ്പറുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

പട്ടിക 2 ന്റെ ലംബ നിരകൾ - a എന്നതിലെ മൂല്യങ്ങളാൽ അക്കമിട്ടിരിക്കുന്നു, അതേസമയം പട്ടിക 3 ന്റെ ലംബ നിരകൾ x - y മൂല്യങ്ങളാൽ അക്കമിട്ടിരിക്കുന്നു.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

നമുക്ക് മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

3 ഉം 39 ഉം താരതമ്യേന അഭാജ്യ സംഖ്യകളല്ല, അതിനാൽ ഒരു ട്രിപ്പിൾ 9 ന്റെ ഫാക്ടർ ആയി മാറി.

മുകളിൽ എഴുതിയത് പൊതുവായ ചിഹ്നങ്ങളിൽ നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം, -

ഈ സൃഷ്ടിയിൽ, പൈതഗോറിയൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഉൾപ്പെടെ എല്ലാം, നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് മൂന്നിരട്ടിയായി

N = 117, ഇതിലെ ചെറിയ ഘടകവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു - a. + എയിലെ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വ്യക്തമായ വിവേചനം. നമുക്ക് ഈ അനീതി ശരിയാക്കാം - + a എന്നതിൽ ഒരു ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കും.

IF, MF എന്നിവയുടെ തിരിച്ചറിയൽ ചോദ്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് മടങ്ങാം.

ഈ ദിശയിൽ ഒരുപാട് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, ഇന്ന് താഴെപ്പറയുന്ന ചിന്ത കൈകളിലൂടെ കടന്നുപോയി - തിരിച്ചറിയൽ സമവാക്യം ഇല്ല, ഘടകങ്ങളെ നിർണ്ണയിക്കാൻ അത്തരം ഒരു കാര്യവുമില്ല.

നമ്മൾ F = a, b (N) എന്ന ബന്ധം കണ്ടെത്തിയെന്ന് കരുതുക.

ഒരു ഫോർമുലയുണ്ട്

നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് F എന്നതിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാം, കൂടാതെ a യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് nth ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും, അതായത്. F = a(N).

ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ ഏത് ഡിഗ്രി n നും, m > n എന്നതിന് m ജോഡി ഘടകങ്ങളുള്ള N എന്ന സംഖ്യയുണ്ട്.

അനന്തരഫലമായി, ഡിഗ്രി n ന്റെ ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിന് m വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം.

അതെ, ഇത് സാധ്യമല്ല.

ഈ പേപ്പറിൽ, N എന്ന സംഖ്യകൾ z എന്ന സ്ഥലത്ത് സമവാക്യത്തിലായിരിക്കുമ്പോൾ x 2 = y 2 + z 2 എന്ന സമവാക്യത്തിനായി പരിഗണിച്ചു. x-ന്റെ സ്ഥാനത്ത് N ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഇത് മറ്റൊരു ജോലിയാണ്.

ആത്മാർത്ഥതയോടെ, Belotelov വി.എ.

അടുത്തതായി, ഫലപ്രദമായ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഉണ്ടാക്കുന്നതിനുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. പൈതഗോറസ് ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ മാർഗ്ഗം ആദ്യമായി ആവിഷ്കരിച്ചത് പൈതഗോറസിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾ ആയിരുന്നു, അതിന്റെ ഭാഗങ്ങൾ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

എം 2 + ((എം 2 − 1)/2) 2 = ((എം 2 + 1)/2) 2 ,

എവിടെ എം- ജോടിയാക്കാത്ത, എം>2. ശരിക്കും,

4എം 2 + എം 4 − 2എം 2 + 1
എം 2 + ((എം 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((എം 2 + 1)/2) 2 .
4

പുരാതന ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകനായ പ്ലേറ്റോയും സമാനമായ ഒരു ഫോർമുല നിർദ്ദേശിച്ചു:

(2എം) 2 + (എം 2 − 1) 2 = (എം 2 + 1) 2 ,

എവിടെ എം- ഏതെങ്കിലും നമ്പർ. വേണ്ടി എം= 2,3,4,5 ഇനിപ്പറയുന്ന ട്രിപ്പിൾസ് ജനറേറ്റുചെയ്യുന്നു:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ ഫോർമുലകൾക്ക് സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രാകൃത ട്രിപ്പിൾസും നൽകാൻ കഴിയില്ല.

ഇനിപ്പറയുന്ന ബഹുപദങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, അത് ബഹുപദങ്ങളുടെ ഒരു തുകയായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു:

(2എം 2 + 2എം + 1) 2 = 4എം 4 + 8എം 3 + 8എം 2 + 4എം + 1 =
=4എം 4 + 8എം 3 + 4എം 2 + 4എം 2 + 4എം + 1 = (2എം(എം+1)) 2 + (2എം +1) 2 .

അതിനാൽ പ്രാകൃത ട്രിപ്പിൾ ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

എ = 2എം +1 , ബി = 2എം(എം+1) = 2എം 2 + 2എം , സി = 2എം 2 + 2എം + 1.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ട്രിപ്പിൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു, അതിൽ ശരാശരി സംഖ്യ ഏറ്റവും വലുതിൽ നിന്ന് കൃത്യമായി ഒന്നായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതായത്, സാധ്യമായ എല്ലാ ട്രിപ്പിൾസും സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നില്ല. ഇവിടെ ആദ്യത്തെ ട്രിപ്പിൾ: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

എല്ലാ പ്രാകൃത ട്രിപ്പിൾസും എങ്ങനെ സൃഷ്ടിക്കാമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ പരിശോധിക്കണം. ആദ്യം, എങ്കിൽ ( a,b,c) ഒരു പ്രാകൃത ട്രിപ്പിൾ ആണ്, അപ്പോൾ എഒപ്പം ബി, ബിഒപ്പം സി, എഒപ്പം സി- കോപ്രൈം ആയിരിക്കണം. അനുവദിക്കുക എഒപ്പം ബിഎന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു ഡി. പിന്നെ എ 2 + ബി 2 എന്നതിനെയും ഹരിക്കാവുന്നതാണ് ഡി. യഥാക്രമം, സി 2 ഒപ്പം സിആയി വിഭജിക്കണം ഡി. അതായത്, ഇത് ഒരു പ്രാകൃത ട്രിപ്പിൾ അല്ല.

രണ്ടാമതായി, അക്കങ്ങൾക്കിടയിൽ എ, ബിഒന്ന് ജോടിയാക്കുകയും മറ്റൊന്ന് ജോടിയാക്കാതിരിക്കുകയും വേണം. തീർച്ചയായും, എങ്കിൽ എഒപ്പം ബി- ജോടിയാക്കി, പിന്നെ കൂടെജോടിയാക്കും, സംഖ്യകളെ കുറഞ്ഞത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. അവ രണ്ടും ജോടിയാക്കാത്തതാണെങ്കിൽ, അവയെ 2 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. കെ+1 i 2 എൽ+1, എവിടെ കെ,എൽ- ചില സംഖ്യകൾ. പിന്നെ എ 2 + ബി 2 = 4കെ 2 +4കെ+1+4എൽ 2 +4എൽ+1, അതായത്, കൂടെ 2, അതുപോലെ എ 2 + ബി 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ന് 2 ന്റെ ശേഷിക്കുന്നു.

അനുവദിക്കുക കൂടെ- ഏതെങ്കിലും നമ്പർ, അതായത് കൂടെ = 4കെ+ഐ (ഐ=0,…,3). പിന്നെ കൂടെ 2 = (4കെ+ഐ) 2 ന് 0 അല്ലെങ്കിൽ 1 ന്റെ ബാക്കിയുണ്ട്, 2 ന്റെ ശേഷിക്കാൻ കഴിയില്ല. എഒപ്പം ബിജോടിയാക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത് എ 2 + ബി 2 = 4കെ 2 +4കെ+4എൽ 2 +4എൽ+1 ഉം ബാക്കിയുള്ളതും കൂടെ 2 ബൈ 4 1 ആയിരിക്കണം, അതായത് കൂടെജോടിയാക്കാത്തതായിരിക്കണം.

പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ മൂലകങ്ങളുടെ അത്തരം ആവശ്യകതകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളാൽ തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

എ = 2mn, ബി = എം 2 − എൻ 2 , സി = എം 2 + എൻ 2 , എം > എൻ, (2)

എവിടെ എംഒപ്പം എൻവ്യത്യസ്‌ത ജോഡികളുള്ള കോപ്രൈം ആണ്. 2300 ആർ ജീവിച്ചിരുന്ന യൂക്ലിഡിന്റെ കൃതികളിൽ നിന്നാണ് ഈ ആശ്രിതത്വങ്ങൾ ആദ്യമായി അറിയപ്പെട്ടത്. തിരികെ.

ആശ്രിതത്വങ്ങളുടെ സാധുത നമുക്ക് തെളിയിക്കാം (2). അനുവദിക്കുക എ- ഇരട്ട, പിന്നെ ബിഒപ്പം സി- ജോടിയാക്കാത്തത്. പിന്നെ സി + ബിഐ സി − ബി- ദമ്പതികൾ. അവയെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം സി + ബി = 2യുഒപ്പം സി − ബി = 2വി, എവിടെ യു,വിചില പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്

എ 2 = കൂടെ 2 − ബി 2 = (സി + ബി)(സി − ബി) = 2യു 2 വി = 4യു.വി

അതിനാൽ ( എ/2) 2 = യു.വി.

അത് വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെ തെളിയിക്കാം യുഒപ്പം വികോപ്രൈം ആകുന്നു. അനുവദിക്കുക യുഒപ്പം വി- ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു ഡി. പിന്നെ ( സി + ബി) ഒപ്പം ( സി − ബി) ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു ഡി. അതിനാൽ സിഒപ്പം ബിആയി വിഭജിക്കണം ഡി, ഇത് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്.

കാരണം യു.വി = (എ/2) 2 ഒപ്പം യുഒപ്പം വികോപ്രൈം, അത് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് യുഒപ്പം വിചില സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളായിരിക്കണം.

അതിനാൽ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുണ്ട് എംഒപ്പം എൻ, അത്തരം യു = എം 2 ഒപ്പം വി = എൻ 2. പിന്നെ

എ 2 = 4യു.വി = 4എം 2 എൻ 2 അങ്ങനെ
എ = 2mn; ബി = യു − വി = എം 2 − എൻ 2 ; സി = യു + വി = എം 2 + എൻ 2 .

കാരണം ബി> 0, അപ്പോൾ എം > എൻ.

അത് കാണിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു എംഒപ്പം എൻവ്യത്യസ്ത ജോഡികൾ ഉണ്ട്. എങ്കിൽ എംഒപ്പം എൻ- ജോടിയാക്കി, പിന്നെ യുഒപ്പം വിജോടിയാക്കണം, പക്ഷേ ഇത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം അവ കോപ്രൈം ആണ്. എങ്കിൽ എംഒപ്പം എൻ- ജോടിയാക്കാത്തത്, പിന്നെ ബി = എം 2 − എൻ 2 ഒപ്പം സി = എം 2 + എൻ 2 ജോടിയാക്കും, കാരണം അത് അസാധ്യമാണ് സിഒപ്പം ബികോപ്രൈം ആകുന്നു.

അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും പ്രാകൃത പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം (2). അതേ സമയം, അക്കങ്ങൾ എംഒപ്പം എൻവിളിച്ചു സംഖ്യകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നുപ്രാകൃത ട്രിപ്പിൾസ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു പ്രാകൃത പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ (120,119,169) ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ

എ= 120 = 2 12 5, ബി= 119 = 144 - 25, ഒപ്പം സി = 144+25=169,

എവിടെ എം = 12, എൻ= 5 - ജനറേറ്റിംഗ് നമ്പറുകൾ, 12 > 5; 12 ഉം 5 ഉം കോപ്രൈമും വ്യത്യസ്ത ജോഡികളുമാണ്.

അക്കങ്ങൾ എന്ന് തെളിയിക്കാനാകും എം, എൻഫോർമുലകൾ (2) ഒരു പ്രാകൃത പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ (a,b,c) നൽകുന്നു. ശരിക്കും,

എ 2 + ബി 2 = (2mn) 2 + (എം 2 − എൻ 2) 2 = 4എം 2 എൻ 2 + (എം 4 − 2എം 2 എൻ 2 + എൻ 4) =
= (എം 4 + 2എം 2 എൻ 2 + എൻ 4) = (എം 2 + എൻ 2) 2 = സി 2 ,

അതാണ് ( എ,ബി,സി) ഒരു പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ആണ്. തൽക്കാലം നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം എ,ബി,സിവൈരുദ്ധ്യത്താൽ കോപ്രൈം നമ്പറുകളാണ്. ഈ സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കട്ടെ പി> 1. മുതൽ എംഒപ്പം എൻവ്യത്യസ്‌ത ജോഡികൾ ഉണ്ടായിരിക്കുക ബിഒപ്പം സി- ജോടിയാക്കാത്തത്, അതായത് പി≠ 2. മുതൽ ആർവിഭജിക്കുന്നു ബിഒപ്പം സി, അത് ആർ 2 വിഭജിക്കണം എം 2 ഉം 2 ഉം എൻ 2, അത് അസാധ്യമാണ് കാരണം പി≠ 2. അതിനാൽ എം, എൻകോപ്രൈം എന്നിവയാണ് എ,ബി,സികോപ്രൈം കൂടിയാണ്.

ഫോർമുലകൾ (2) വഴി സൃഷ്ടിച്ച എല്ലാ പ്രാകൃത പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസും പട്ടിക 1 കാണിക്കുന്നു എം≤10.

പട്ടിക 1. പ്രിമിറ്റീവ് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് എം≤10

എം	എൻ	എ	ബി	സി	എം	എൻ	എ	ബി	സി
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

ഈ പട്ടികയുടെ വിശകലനം ഇനിപ്പറയുന്ന പാറ്റേണുകളുടെ സാന്നിദ്ധ്യം കാണിക്കുന്നു:

• അഥവാ എ, അഥവാ ബി 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു;
• അക്കങ്ങളിൽ ഒന്ന് എ,ബി,സി 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്;
• നമ്പർ എ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്;
• ജോലി എ· ബി 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

1971-ൽ, അമേരിക്കൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ടീഗനും ഹെഡ്‌വിനും ത്രികോണങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനായി വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം (ഉയരം) പോലെ അറിയപ്പെടാത്ത പാരാമീറ്ററുകൾ നിർദ്ദേശിച്ചു. എച്ച് = സി- ബിയും അധികവും (വിജയം) ഇ = എ + ബി − സി. ചിത്രം.1 ൽ. ഈ അളവുകൾ ഒരു നിശ്ചിത വലത് ത്രികോണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 1. വലത് ത്രികോണവും അതിന്റെ വളർച്ചയും അധികവും

നിങ്ങൾ അതിന്റെ ഡയഗണലിലൂടെ പോകുന്നില്ലെങ്കിൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകൾക്കൊപ്പം ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് എതിർവശത്തേക്ക് കടന്നുപോകേണ്ട അധിക ദൂരമാണിത് എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് "അധിക" എന്ന പേര് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്.

അധികവും വളർച്ചയും വഴി, പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

ഇ 2 ഇ 2
എ = എച്ച് + ഇ, ബി = ഇ + ——, സി = എച്ച് + ഇ + ——, (3)
2എച്ച് 2എച്ച്

എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകളും അല്ല എച്ച്ഒപ്പം ഇപൈതഗോറിയൻ ത്രികോണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാം. നൽകിയതിന് എച്ച്സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ ഇചില സംഖ്യകളുടെ ഗുണനമാണ് ഡി. ഈ നമ്പർ ഡിവളർച്ച എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സൂചിപ്പിക്കുന്നു എച്ച്ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ: ഡിചതുരം 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് എച്ച്. കാരണം ഇഒന്നിലധികം ഡി, പിന്നെ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഇ = kd, എവിടെ കെഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ജോഡികളുടെ സഹായത്തോടെ ( കെ,എച്ച്) നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണങ്ങളും സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും, അവയിൽ നോൺ-പ്രിമിറ്റീവ്, സാമാന്യവൽക്കരണം എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

(dk) 2 (dk) 2
എ = എച്ച് + dk, ബി = dk + ——, സി = എച്ച് + dk + ——, (4)
2എച്ച് 2എച്ച്

മാത്രമല്ല, ഒരു ട്രിപ്പിൾ ആണെങ്കിൽ പ്രാകൃതമാണ് കെഒപ്പം എച്ച്കോപ്രൈം ആണെങ്കിൽ എച്ച് =± q 2 മണിക്ക് q- ജോടിയാക്കാത്തത്.
മാത്രമല്ല, അത് കൃത്യമായി പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ആയിരിക്കും കെ> √2 എച്ച്/ഡിഒപ്പം എച്ച് > 0.

കണ്ടുപിടിക്കാൻ കെഒപ്പം എച്ച്നിന്ന് ( എ,ബി,സി) ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യുക:

• എച്ച് = സി − ബി;
• എഴുതുക എച്ച്എങ്ങനെ എച്ച് = pq 2, എവിടെ പി> 0, ചതുരം അല്ലാത്തത്;
• ഡി = 2pqഎങ്കിൽ പി- ജോടിയാക്കാത്തതും ഡി = pq, p ജോടിയാക്കിയാൽ;
• കെ = (എ − എച്ച്)/ഡി.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്കുള്ള ട്രിപ്പിൾ (8,15,17) വേണ്ടി എച്ച്= 17−15 = 2 1, അങ്ങനെ പി= 2 ഒപ്പം q = 1, ഡി= 2, ഒപ്പം കെ= (8 - 2)/2 = 3. അതിനാൽ ഈ ട്രിപ്പിൾ ( കെ,എച്ച്) = (3,2).

ട്രിപ്പിളിന് (459,1260,1341) ഞങ്ങൾക്കുണ്ട് എച്ച്= 1341 - 1260 = 81, അങ്ങനെ പി = 1, q= 9 ഒപ്പം ഡി= 18, അതിനാൽ കെ= (459 - 81)/18 = 21, അതിനാൽ ഈ ട്രിപ്പിൾ കോഡ് ( കെ,എച്ച്) = (21, 81).

കൂടെ ട്രിപ്പിൾസ് വ്യക്തമാക്കുന്നു എച്ച്ഒപ്പം കെരസകരമായ നിരവധി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ട്. പരാമീറ്റർ കെതുല്യമാണ്

കെ = 4എസ്/(dP), (5)

എവിടെ എസ് = എബി/2 എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്, കൂടാതെ പി = എ + ബി + സിഅതിന്റെ ചുറ്റളവാണ്. ഇത് സമത്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു ഇ.പി = 4എസ്, ഇത് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നാണ് വരുന്നത്.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന് ഇത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്. ഹൈപ്പോടെനസ് എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് ഇത് വരുന്നത് കൂടെ = (എ − ആർ)+(ബി − ആർ) = എ + ബി − 2ആർ, എവിടെ ആർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം ആണ്. ഇവിടെ നിന്ന് എച്ച് = സി − ബി = എ − 2ആർഒപ്പം ഇ = എ − എച്ച് = 2ആർ.

വേണ്ടി എച്ച്> 0 ഒപ്പം കെ > 0, കെത്രിഗുണങ്ങളുടെ ഓർഡിനൽ സംഖ്യയാണ് എ-ബി-സിവർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിൽ എച്ച്. ജോഡികൾ സൃഷ്‌ടിച്ച ട്രിപ്പിറ്റുകൾക്കുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ കാണിക്കുന്ന പട്ടിക 2-ൽ നിന്ന് എച്ച്, കെ, കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് എന്ന് കാണാം കെത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ വർദ്ധിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ക്ലാസിക്കൽ നമ്പറിംഗിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ജോഡികളായി നമ്പറിംഗ് എച്ച്, കെട്രിപ്പിൾ ശ്രേണിയിൽ ഉയർന്ന ക്രമമുണ്ട്.

പട്ടിക 2. h, k ജോഡികളാൽ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ട പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ്.

എച്ച്	കെ	എ	ബി	സി	എച്ച്	കെ	എ	ബി	സി
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

വേണ്ടി എച്ച് > 0, ഡിഅസമത്വം 2√ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു എച്ച് ≤ ഡി ≤ 2എച്ച്, അതിൽ താഴത്തെ പരിധി എത്തുന്നു പി= 1, ഒപ്പം മുകളിലെ ഒന്ന്, at q= 1. അതിനാൽ, മൂല്യം ഡി 2√ സംബന്ധിച്ച് എച്ച്എത്രയെന്നതിന്റെ അളവാണ് എച്ച്ഏതെങ്കിലുമൊരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെ.

പ്രോപ്പർട്ടികൾ

സമവാക്യം മുതൽ x 2 + വൈ 2 = z 2 ഏകതാനമായ, ഗുണിക്കുമ്പോൾ x , വൈഒപ്പം zഅതേ നമ്പറിന് നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ലഭിക്കും. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആദിമമായ, ഇത് ഈ രീതിയിൽ ലഭിക്കില്ലെങ്കിൽ, അതായത് - താരതമ്യേന അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

ചില പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ (പരമാവധി സംഖ്യയുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ അടുക്കി, പ്രാകൃതമായവ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് അവ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരം പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ:

.

കഥ

പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് വളരെക്കാലമായി അറിയപ്പെടുന്നു. പുരാതന മെസൊപ്പൊട്ടേമിയൻ ശവകുടീരങ്ങളുടെ വാസ്തുവിദ്യയിൽ, 9, 12, 15 മുഴം വശങ്ങളുള്ള രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം കാണപ്പെടുന്നു. ഫറവോ സ്‌നെഫ്രുവിന്റെ പിരമിഡുകൾ (ബിസി XXVII നൂറ്റാണ്ട്) 20, 21, 29 വശങ്ങളുള്ള ത്രികോണങ്ങളും 18, 24, 30 പതിനായിരത്തോളം ഈജിപ്ഷ്യൻ മുഴം ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ഇതും കാണുക

ലിങ്കുകൾ

• ഇ.എ.ഗോറിൻപൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിലെ പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ ശക്തി // ഗണിത വിദ്യാഭ്യാസം. - 2008. - വി. 12. - എസ്. 105-125.

വിക്കിമീഡിയ ഫൗണ്ടേഷൻ. 2010.

മറ്റ് നിഘണ്ടുവുകളിൽ "പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ" എന്താണെന്ന് കാണുക:

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾ, ഈ സംഖ്യകൾക്ക് ആനുപാതികമായ (അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ) വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണം വലത് കോണാണ്, ഉദാ. സംഖ്യകളുടെ മൂന്നിരട്ടി: 3, 4, 5... ബിഗ് എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടു

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾ, ഈ സംഖ്യകൾക്ക് ആനുപാതികമായ (അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ) വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണം ചതുരാകൃതിയിലാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യകളുടെ ഒരു ട്രിപ്പിൾ: 3, 4, 5. * * * പൈതഗോറൻ നമ്പറുകൾ പൈതഗോറൻ നമ്പറുകൾ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മൂന്നിരട്ടി അത് ...... എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടു

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾസ് ഈ സംഖ്യകൾക്ക് ആനുപാതികമായ (അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ) വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണം ഒരു വലത് ത്രികോണമാണ്. സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വിപരീതം (പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കാണുക), ഇതിന് അവർ ... ...

x2+y 2=z2 എന്ന സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന x, y, z എന്നീ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾറ്റുകൾ. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും, തത്ഫലമായി, എല്ലാ P. p., x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 എന്നീ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ a, b അനിയന്ത്രിതമായ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് (a>b). പി. എച്ച്... മാത്തമാറ്റിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

ഒരു ത്രികോണം, ഈ സംഖ്യകൾക്ക് ആനുപാതികമായ (അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ) വശങ്ങളുടെ നീളം, ഉദാഹരണത്തിന്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾ. സംഖ്യകളുടെ മൂന്നിരട്ടി: 3, 4, 5... പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം. വിജ്ഞാനകോശ നിഘണ്ടു

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പൈതഗോറിയൻ സംഖ്യകൾ (പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ) പൈതഗോറിയൻ ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന മൂന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ട്യൂപ്പിൾ ആണ്: x2 + y2 = z2. ഉള്ളടക്കം 1 പ്രോപ്പർട്ടികൾ 2 ഉദാഹരണങ്ങൾ ... വിക്കിപീഡിയ

ഒരു പ്രത്യേക ജ്യാമിതീയ രൂപവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ പേരാണ് ചുരുണ്ട സംഖ്യകൾ. ഈ ചരിത്രപരമായ ആശയം പൈതഗോറിയൻ കാലഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു. "സ്ക്വയർ അല്ലെങ്കിൽ ക്യൂബ്" എന്ന പ്രയോഗം ചുരുണ്ട സംഖ്യകളിൽ നിന്നാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ഉള്ളടക്കം ... ... വിക്കിപീഡിയ

ഒരു പ്രത്യേക ജ്യാമിതീയ രൂപവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ പേരാണ് ചുരുണ്ട സംഖ്യകൾ. ഈ ചരിത്രപരമായ ആശയം പൈതഗോറിയൻ കാലഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള ചുരുണ്ട സംഖ്യകളുണ്ട്: ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാത്ത സംഖ്യകളാണ് ലീനിയർ നമ്പറുകൾ, അതായത് അവയുടെ ... ... വിക്കിപീഡിയ

- "പൈ വിരോധാഭാസം" എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു തമാശയാണ്, ഇത് 80 കൾ വരെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കിടയിൽ പ്രചാരത്തിലുണ്ടായിരുന്നു (വാസ്തവത്തിൽ, മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെ ബഹുജന വിതരണത്തിന് മുമ്പ്) കൂടാതെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പരിമിതമായ കൃത്യതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരുന്നു ... ... വിക്കിപീഡിയ

- (ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം, ഗണിത സംഖ്യയിൽ നിന്ന്) സംഖ്യകളുടെ ശാസ്ത്രം, പ്രാഥമികമായി സ്വാഭാവിക (പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ) സംഖ്യകളും (യുക്തിപരമായ) ഭിന്നസംഖ്യകളും അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളും. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വേണ്ടത്ര വികസിപ്പിച്ച ആശയത്തിന്റെ കൈവശവും ... ... ഗ്രേറ്റ് സോവിയറ്റ് എൻസൈക്ലോപീഡിയ

പുസ്തകങ്ങൾ

• ആർക്കിമിഡിയൻ വേനൽക്കാലം, അല്ലെങ്കിൽ യുവ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ സമൂഹത്തിന്റെ ചരിത്രം. ബൈനറി നമ്പർ സിസ്റ്റം, ബോബ്രോവ് സെർജി പാവ്ലോവിച്ച്. ബൈനറി നമ്പർ സിസ്റ്റം, "ടവർ ഓഫ് ഹനോയി", നൈറ്റ്‌സ് മൂവ്, മാജിക് സ്‌ക്വയറുകൾ, ഗണിത ത്രികോണം, ചുരുണ്ട സംഖ്യകൾ, കോമ്പിനേഷനുകൾ, പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ആശയം, മൊബിയസ് സ്ട്രിപ്പ്, ക്ലെയിൻ ബോട്ടിൽ.…

» മനുഷ്യരാശിയുടെ ചരിത്രത്തിൽ സംഖ്യകളുടെ പങ്കിനും നമ്മുടെ കാലത്തെ അവരുടെ പഠനത്തിന്റെ പ്രസക്തിക്കും വേണ്ടി സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന, സയൻസിന്റെ പ്രശസ്തനായ ഇയാൻ സ്റ്റുവർട്ട്, വാർവിക്ക് സർവകലാശാലയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രൊഫസർ.

പൈതഗോറിയൻ ഹൈപ്പോടെനസ്

പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണങ്ങൾക്ക് വലത് കോണും പൂർണ്ണസംഖ്യ വശങ്ങളും ഉണ്ട്. അവയിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായതിൽ, നീളമേറിയ വശത്തിന് 5 നീളമുണ്ട്, ബാക്കിയുള്ളവ 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. ആകെ 5 സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾ ഉണ്ട്. അഞ്ചാം ഡിഗ്രി സമവാക്യം അഞ്ചാം ഡിഗ്രി വേരുകളോ മറ്റേതെങ്കിലും വേരുകളോ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. തലത്തിലും ത്രിമാന സ്ഥലത്തും ഉള്ള ലാറ്റിസുകൾക്ക് അഞ്ച്-ലോബ് ഭ്രമണ സമമിതി ഇല്ല; അതിനാൽ, അത്തരം സമമിതികൾ പരലുകളിലും ഇല്ല. എന്നിരുന്നാലും, അവ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്ത് ലാറ്റിസുകളിലും ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന രസകരമായ ഘടനകളിലും ആകാം.

ഏറ്റവും ചെറിയ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ ഹൈപ്പോടെനസ്

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയ വശം (കുപ്രസിദ്ധ ഹൈപ്പോടെനസ്) ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുമായി വളരെ ലളിതവും മനോഹരവുമായ രീതിയിൽ പരസ്പരബന്ധിതമാണ്: ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ വർഗ്ഗം മറ്റൊന്നിന്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. രണ്ട് വശങ്ങൾ.

പരമ്പരാഗതമായി, ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തത്തെ പൈതഗോറസിന്റെ പേരിലാണ് വിളിക്കുന്നത്, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ അതിന്റെ ചരിത്രം അവ്യക്തമാണ്. പുരാതന ബാബിലോണിയക്കാർക്ക് പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറസിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ അറിയാമായിരുന്നുവെന്ന് കളിമൺ ഫലകങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു; പ്രപഞ്ചം സംഖ്യാ പാറ്റേണുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെന്ന് പിന്തുണയ്ക്കുന്നവർ വിശ്വസിച്ചിരുന്ന പൈതഗോറിയൻമാരുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര ആരാധനയാണ് കണ്ടുപിടുത്തക്കാരന്റെ മഹത്വം അവനിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നത്. പുരാതന രചയിതാക്കൾ പൈതഗോറിയൻമാരിൽ നിന്ന് - അതിനാൽ പൈതഗോറസിന് - പലതരം ഗണിത സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ആരോപിക്കുന്നു, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ പൈതഗോറസ് തന്നെ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നത് ഏതുതരം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ പൈതഗോറിയൻസിന് കഴിയുമോ, അതോ അത് ശരിയാണെന്ന് അവർ വിശ്വസിച്ചിരുന്നോ എന്ന് പോലും ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. അല്ലെങ്കിൽ, മിക്കവാറും, അവർക്ക് അതിന്റെ സത്യത്തെക്കുറിച്ച് ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്ന ഡാറ്റയുണ്ടായിരുന്നു, എന്നിരുന്നാലും ഇന്ന് നാം തെളിവായി പരിഗണിക്കുന്നതിന് അത് മതിയാകുമായിരുന്നില്ല.

പൈതഗോറസിന്റെ തെളിവ്

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ അറിയപ്പെടുന്ന തെളിവ് യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളിൽ നിന്നാണ്. വിക്ടോറിയൻ സ്കൂൾ കുട്ടികൾ "പൈതഗോറിയൻ പാന്റ്സ്" എന്ന് ഉടനടി തിരിച്ചറിയുന്ന ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് ഇത് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവാണ്; ഡ്രോയിംഗ് ശരിക്കും ഒരു കയറിൽ ഉണങ്ങുമ്പോൾ അടിവസ്ത്രം പോലെയാണ്. അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ നൂറുകണക്കിന് മറ്റ് തെളിവുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു, അവയിൽ മിക്കതും വാദത്തെ കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു.

// അരി. 33. പൈതഗോറിയൻ പാന്റ്സ്

ഏറ്റവും ലളിതമായ തെളിവുകളിലൊന്ന് ഒരുതരം ഗണിതശാസ്ത്ര പസിൽ ആണ്. ഏതെങ്കിലും വലത് ത്രികോണം എടുത്ത് അതിന്റെ നാല് പകർപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കി ചതുരത്തിനുള്ളിൽ ശേഖരിക്കുക. ഒരു മുട്ടയിടുമ്പോൾ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ ഒരു ചതുരം ഞങ്ങൾ കാണുന്നു; മറ്റൊന്നിനൊപ്പം - ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലുള്ള ചതുരങ്ങൾ. രണ്ട് കേസുകളിലും പ്രദേശങ്ങൾ തുല്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

// അരി. 34. ഇടത്: ഹൈപ്പോടെനസിൽ ചതുരം (കൂടാതെ നാല് ത്രികോണങ്ങൾ). വലത്: മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലുള്ള ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (കൂടാതെ അതേ നാല് ത്രികോണങ്ങളും). ഇപ്പോൾ ത്രികോണങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുക

പെരിഗലിന്റെ വിഘടനം മറ്റൊരു പസിൽ തെളിവാണ്.

// അരി. 35. പെരിഗലിന്റെ വിഘടനം

വിമാനത്തിൽ ചതുരങ്ങൾ അടുക്കി വച്ചിരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവും ഉണ്ട്. പൈതഗോറിയന്മാരോ അവരുടെ അജ്ഞാതരായ മുൻഗാമികളോ ഈ സിദ്ധാന്തം കണ്ടെത്തിയത് ഇങ്ങനെയാണ്. ചരിഞ്ഞ ചതുരം മറ്റ് രണ്ട് ചതുരങ്ങളെ എങ്ങനെ ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യുന്നു എന്ന് നിങ്ങൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, വലിയ ചതുരത്തെ കഷണങ്ങളാക്കി മുറിച്ച് രണ്ട് ചെറിയ ചതുരങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾക്ക് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളും കാണാം, അതിന്റെ വശങ്ങൾ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന മൂന്ന് ചതുരങ്ങളുടെ അളവുകൾ നൽകുന്നു.

// അരി. 36. പേവിംഗ് വഴി തെളിവ്

ത്രികോണമിതിയിൽ സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രസകരമായ തെളിവുകൾ ഉണ്ട്. കുറഞ്ഞത് അമ്പത് വ്യത്യസ്ത തെളിവുകളെങ്കിലും അറിയാം.

പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ്

സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഫലവത്തായ ഒരു ആശയത്തിന്റെ ഉറവിടമായി മാറി: ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യ പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക. പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾ എന്നത് a, b, c എന്നിങ്ങനെയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്

ജ്യാമിതീയമായി, അത്തരമൊരു ട്രിപ്പിൾ പൂർണ്ണ വശങ്ങളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണത്തെ നിർവചിക്കുന്നു.

പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിളിന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഹൈപ്പോടെനസ് 5 ആണ്.

ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങൾ 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. ഇവിടെ

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

അടുത്ത ഏറ്റവും വലിയ ഹൈപ്പോടെനസ് 10 ആണ് കാരണം

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

എന്നിരുന്നാലും, ഇത് പ്രധാനമായും ഇരട്ട വശങ്ങളുള്ള ഒരേ ത്രികോണമാണ്. അടുത്ത ഏറ്റവും വലുതും വ്യത്യസ്തവുമായ ഹൈപ്പോടെനസ് 13 ആണ്

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസിന് അനന്തമായ വ്യത്യസ്‌ത വ്യതിയാനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് യൂക്ലിഡിന് അറിയാമായിരുന്നു, അവയെല്ലാം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം അദ്ദേഹം നൽകി. പിന്നീട്, അലക്സാണ്ട്രിയയിലെ ഡയോഫാന്റസ് ഒരു ലളിതമായ പാചകക്കുറിപ്പ് വാഗ്ദാനം ചെയ്തു, അടിസ്ഥാനപരമായി യൂക്ലിഡിയൻ പോലെ തന്നെ.

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എടുത്ത് കണക്കാക്കുക:

അവരുടെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം;

അവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം;

അവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂന്ന് സംഖ്യകൾ പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളായിരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2, 1 എന്നീ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക. കണക്കാക്കുക:

ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം: 2 × 2 × 1 = 4;

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം: 22 - 12 = 3;

സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക: 22 + 12 = 5,

ഞങ്ങൾക്ക് പ്രസിദ്ധമായ 3-4-5 ത്രികോണം ലഭിച്ചു. പകരം 3, 2 എന്നീ സംഖ്യകൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം: 2 × 3 × 2 = 12;

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം: 32 - 22 = 5;

സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക: 32 + 22 = 13,

നമുക്ക് അടുത്ത പ്രശസ്തമായ ത്രികോണം 5 - 12 - 13 ലഭിക്കും. നമുക്ക് 42, 23 എന്നീ സംഖ്യകൾ എടുക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം: 2 × 42 × 23 = 1932;

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം: 422 - 232 = 1235;

സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 എന്ന ത്രികോണത്തെക്കുറിച്ച് ആരും കേട്ടിട്ടില്ല.

എന്നാൽ ഈ നമ്പറുകളും പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

ഡയോഫാന്റൈൻ റൂളിൽ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മറ്റൊരു സവിശേഷതയുണ്ട്: മൂന്ന് സംഖ്യകൾ ലഭിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് മറ്റൊരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ എടുത്ത് അവയെല്ലാം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം. അങ്ങനെ, 3-4-5 ത്രികോണത്തെ എല്ലാ വശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 6-8-10 ത്രികോണമായും അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാം 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 15-20-25 ത്രികോണമായും മാറ്റാം.

നമ്മൾ ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഭാഷയിലേക്ക് മാറുകയാണെങ്കിൽ, റൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു: u, v, k എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ. പിന്നെ വശങ്ങളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം

2kuv, k (u2 - v2) എന്നിവയ്‌ക്ക് ഒരു ഹൈപ്പോടെനസ് ഉണ്ട്

പ്രധാന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് മറ്റ് വഴികളുണ്ട്, എന്നാൽ അവയെല്ലാം മുകളിൽ വിവരിച്ച ഒന്നിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു. എല്ലാ പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസും ലഭിക്കാൻ ഈ രീതി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര

കൃത്യമായി അഞ്ച് പോളിഹെഡ്രകളുണ്ട്. ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ (അല്ലെങ്കിൽ പോളിഹെഡ്രോൺ) പരിമിതമായ എണ്ണം പരന്ന മുഖങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രിമാന രൂപമാണ്. അരികുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന വരികളിൽ മുഖങ്ങൾ പരസ്പരം കൂടിച്ചേരുന്നു; അരികുകൾ ലംബങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പോയിന്റുകളിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു.

യൂക്ലിഡിയൻ "തത്ത്വങ്ങളുടെ" പര്യവസാനം അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ എന്നതിന്റെ തെളിവാണ്, അതായത്, ഓരോ മുഖവും ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജമാണ് (തുല്യ വശങ്ങൾ, തുല്യ കോണുകൾ), എല്ലാ മുഖങ്ങളും സമാനമാണ്, എല്ലാ ലംബങ്ങളും ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. തുല്യ അകലത്തിലുള്ള മുഖങ്ങളുടെ തുല്യ എണ്ണം കൊണ്ട്. അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾ ഇതാ:

നാല് ത്രികോണ മുഖങ്ങളും നാല് ലംബങ്ങളും ആറ് അരികുകളും ഉള്ള ടെട്രാഹെഡ്രോൺ;

ക്യൂബ്, അല്ലെങ്കിൽ ഹെക്സഹെഡ്രോൺ, 6 ചതുര മുഖങ്ങളും 8 ലംബങ്ങളും 12 അരികുകളും;

8 ത്രികോണ മുഖങ്ങളും 6 ലംബങ്ങളും 12 അരികുകളുമുള്ള ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ;

12 പെന്റഗോണൽ മുഖങ്ങളും 20 ലംബങ്ങളും 30 അരികുകളുമുള്ള ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ;

20 ത്രികോണ മുഖങ്ങളും 12 ലംബങ്ങളും 30 അരികുകളുമുള്ള ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ.

// അരി. 37. അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര

സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര പ്രകൃതിയിലും കാണാം. 1904-ൽ ഏണസ്റ്റ് ഹേക്കൽ റേഡിയോളേറിയൻ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ചെറിയ ജീവികളുടെ ചിത്രങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു; അവയിൽ പലതും ഒരേ അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ ആകൃതിയിലാണ്. ഒരുപക്ഷേ, എന്നിരുന്നാലും, അവൻ പ്രകൃതിയെ ചെറുതായി തിരുത്തി, ഡ്രോയിംഗുകൾ നിർദ്ദിഷ്ട ജീവികളുടെ ആകൃതിയെ പൂർണ്ണമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നില്ല. ആദ്യത്തെ മൂന്ന് ഘടനകളും പരലുകളിൽ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രിസ്റ്റലുകളിൽ ഒരു ഡോഡെകാഹെഡ്രോണും ഐക്കോസഹെഡ്രോണും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയില്ല, എന്നിരുന്നാലും ക്രമരഹിതമായ ഡോഡെകാഹെഡ്രോണുകളും ഐക്കോസഹെഡ്രോണുകളും ചിലപ്പോൾ അവിടെ കാണാറുണ്ട്. യഥാർത്ഥ ഡോഡെകാഹെഡ്രോണുകൾക്ക് ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം, അവ എല്ലാ വിധത്തിലും ക്രിസ്റ്റലുകൾ പോലെയാണ്, അല്ലാതെ അവയുടെ ആറ്റങ്ങൾ ഒരു ആനുകാലിക ലാറ്റിസ് ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല.

// അരി. 38. ഹേക്കലിന്റെ ഡ്രോയിംഗുകൾ: സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ രൂപത്തിൽ റേഡിയോളേറിയൻ

// അരി. 39. റെഗുലർ പോളിഹെഡ്രയുടെ വികസനം

പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം മുഖങ്ങൾ ആദ്യം മുറിച്ച് കടലാസിൽ നിന്ന് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് രസകരമായിരിക്കും - ഇതിനെ പോളിഹെഡ്രോൺ സ്വീപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; സ്കാൻ അരികുകളിൽ മടക്കിക്കളയുകയും അനുബന്ധ അറ്റങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, അത്തരം ഓരോ ജോഡിയുടെയും അരികുകളിൽ ഒന്നിലേക്ക് പശയ്ക്കായി ഒരു അധിക പ്രദേശം ചേർക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. 39. അത്തരമൊരു പ്ലാറ്റ്ഫോം ഇല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പശ ടേപ്പ് ഉപയോഗിക്കാം.

അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യം

അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയിലെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ബീജഗണിത സൂത്രവാക്യമില്ല.

പൊതുവേ, അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് പ്രശ്നം (അതിന് അഞ്ച് പരിഹാരങ്ങൾ വരെ ഉണ്ടാകാം). ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങളിലുള്ള അനുഭവം, നാലാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ, അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾക്കും അത്തരമൊരു സൂത്രവാക്യം നിലനിൽക്കണമെന്ന് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, കൂടാതെ, സിദ്ധാന്തത്തിൽ, അഞ്ചാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകൾ ദൃശ്യമാകണം. അത്. വീണ്ടും, അത്തരമൊരു സൂത്രവാക്യം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, വളരെ സങ്കീർണ്ണമായി മാറുമെന്ന് ഒരാൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി അനുമാനിക്കാം.

ഈ അനുമാനം ആത്യന്തികമായി തെറ്റായിരുന്നു. തീർച്ചയായും, അത്തരമൊരു ഫോർമുല നിലവിലില്ല; കുറഞ്ഞത്, a, b, c, d, e, f എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല, സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, വിഭജനം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചും വേരുകൾ എടുക്കലും ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതിനാൽ, 5 എന്ന നമ്പറിന് വളരെ പ്രത്യേകതയുണ്ട്. അഞ്ച് പേരുടെയും അസാധാരണമായ ഈ പെരുമാറ്റത്തിന്റെ കാരണങ്ങൾ വളരെ ആഴത്തിലുള്ളതാണ്, അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന് വളരെയധികം സമയമെടുത്തു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത്തരമൊരു സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്താൻ എത്ര ശ്രമിച്ചിട്ടും, അവർ എത്ര മിടുക്കരാണെങ്കിലും, അവർ എല്ലായ്പ്പോഴും പരാജയപ്പെട്ടു എന്നതാണ് ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ ആദ്യ ലക്ഷണം. ഫോർമുലയുടെ അവിശ്വസനീയമായ സങ്കീർണ്ണതയിലാണ് കാരണങ്ങൾ ഉള്ളതെന്ന് കുറച്ചുകാലമായി എല്ലാവരും വിശ്വസിച്ചു. ആർക്കും ഈ ബീജഗണിതം ശരിയായി മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെട്ടു. എന്നിരുന്നാലും, കാലക്രമേണ, ചില ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അത്തരമൊരു സൂത്രവാക്യം നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് സംശയിക്കാൻ തുടങ്ങി, 1823-ൽ നീൽസ് ഹെൻഡ്രിക് ആബെലിന് വിപരീതമായി തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. അങ്ങനെയൊരു ഫോർമുല ഇല്ല. താമസിയാതെ, Évariste Galois ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിന്റെ സമവാക്യം - 5, 6, 7, പൊതുവെ ഏതെങ്കിലും - ഇത്തരത്തിലുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ഒരു വഴി കണ്ടെത്തി.

ഇതിൽ നിന്നെല്ലാം നിഗമനം ലളിതമാണ്: നമ്പർ 5 പ്രത്യേകമാണ്. 1, 2, 3, 4 എന്നിവയുടെ ശക്തികൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ (n ന്റെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്കായി n-ആം വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച്) പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ 5 ന്റെ ശക്തികൾക്കായി അല്ല. ഇവിടെയാണ് വ്യക്തമായ പാറ്റേൺ അവസാനിക്കുന്നത്.

5-ൽ കൂടുതൽ ശക്തികളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ അതിലും മോശമായി പെരുമാറുന്നതിൽ ആരും ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നില്ല; പ്രത്യേകിച്ചും, അതേ ബുദ്ധിമുട്ട് അവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: അവയുടെ പരിഹാരത്തിന് പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങളൊന്നുമില്ല. സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരങ്ങളില്ലെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല; ഈ പരിഹാരങ്ങളുടെ വളരെ കൃത്യമായ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഇതെല്ലാം പരമ്പരാഗത ബീജഗണിത ഉപകരണങ്ങളുടെ പരിമിതികളെക്കുറിച്ചാണ്. ഒരു റൂളറും കോമ്പസും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോണിനെ ത്രിശബ്ദമാക്കാനുള്ള അസാധ്യതയെ ഇത് അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ഉത്തരമുണ്ട്, എന്നാൽ ലിസ്റ്റുചെയ്ത രീതികൾ പര്യാപ്തമല്ല, അത് എന്താണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നില്ല.

ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക് പരിമിതി

രണ്ടും മൂന്നും അളവിലുള്ള പരലുകൾക്ക് 5-ബീം ഭ്രമണ സമമിതി ഇല്ല.

ഒരു ക്രിസ്റ്റലിലെ ആറ്റങ്ങൾ ഒരു ലാറ്റിസ് ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതായത്, നിരവധി സ്വതന്ത്ര ദിശകളിൽ ആനുകാലികമായി ആവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ഘടന. ഉദാഹരണത്തിന്, വാൾപേപ്പറിലെ പാറ്റേൺ റോളിന്റെ നീളത്തിൽ ആവർത്തിക്കുന്നു; കൂടാതെ, ഇത് സാധാരണയായി തിരശ്ചീന ദിശയിൽ ആവർത്തിക്കുന്നു, ചിലപ്പോൾ ഒരു വാൾപേപ്പറിൽ നിന്ന് അടുത്തതിലേക്ക് മാറും. അടിസ്ഥാനപരമായി, വാൾപേപ്പർ ഒരു ദ്വിമാന ക്രിസ്റ്റലാണ്.

വിമാനത്തിൽ 17 തരം വാൾപേപ്പർ പാറ്റേണുകൾ ഉണ്ട് (അധ്യായം 17 കാണുക). അവ സമമിതിയുടെ തരങ്ങളിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതായത്, പാറ്റേൺ കർശനമായി മാറ്റുന്ന രീതികളിൽ, അത് അതിന്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനത്ത് തന്നെത്തന്നെ കിടക്കുന്നു. സമമിതിയുടെ തരങ്ങളിൽ, പ്രത്യേകിച്ചും, ഭ്രമണ സമമിതിയുടെ വിവിധ വകഭേദങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, അവിടെ പാറ്റേൺ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിന് ചുറ്റും ഒരു നിശ്ചിത കോണിലൂടെ തിരിക്കണം - സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രം.

ഭ്രമണ സമമിതിയുടെ ക്രമം എന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ശരീരത്തെ ഒരു പൂർണ്ണ വൃത്തത്തിലേക്ക് എത്ര തവണ തിരിക്കാം എന്നതാണ്, അതുവഴി ചിത്രത്തിന്റെ എല്ലാ വിശദാംശങ്ങളും അവയുടെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 90° റൊട്ടേഷൻ 4-ആം ഓർഡർ റൊട്ടേഷണൽ സമമിതിയാണ്*. ക്രിസ്റ്റൽ ലാറ്റിസിലെ സാധ്യമായ തരം ഭ്രമണ സമമിതികളുടെ പട്ടിക വീണ്ടും സംഖ്യ 5 ന്റെ അസാധാരണതയിലേക്ക് വിരൽ ചൂണ്ടുന്നു: അത് അവിടെയില്ല. 2, 3, 4, 6 ഓർഡറുകളുടെ ഭ്രമണ സമമിതിയുള്ള വകഭേദങ്ങളുണ്ട്, എന്നാൽ ഒരു വാൾപേപ്പർ പാറ്റേണിലും 5-ാം ഓർഡർ റൊട്ടേഷണൽ സമമിതിയില്ല. ക്രിസ്റ്റലുകളിൽ 6-ൽ കൂടുതലുള്ള ക്രമത്തിന്റെ ഭ്രമണ സമമിതിയും ഇല്ല, എന്നാൽ ക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ ലംഘനം ഇപ്പോഴും 5-ൽ സംഭവിക്കുന്നു.

ത്രിമാന സ്ഥലത്തെ ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക് സിസ്റ്റങ്ങളിലും ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കുന്നു. ഇവിടെ ലാറ്റിസ് മൂന്ന് സ്വതന്ത്ര ദിശകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്നു. 219 വ്യത്യസ്ത തരം സമമിതികളുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ പാറ്റേണിന്റെ മിറർ പ്രതിഫലനം അതിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പതിപ്പായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ 230 - മാത്രമല്ല, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മിറർ സമമിതി ഇല്ല. വീണ്ടും, 2, 3, 4, 6 എന്നീ ഓർഡറുകളുടെ ഭ്രമണ സമമിതികൾ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ 5 അല്ല. ഈ വസ്തുതയെ ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിക് കൺസ്ട്രെയിൻറ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്ത്, അഞ്ചാമത്തെ ക്രമ സമമിതിയുള്ള ലാറ്റിസുകൾ നിലവിലുണ്ട്; പൊതുവേ, ആവശ്യത്തിന് ഉയർന്ന അളവിലുള്ള ലാറ്റിസുകൾക്ക്, ഭ്രമണ സമമിതിയുടെ മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഏതെങ്കിലും ക്രമം സാധ്യമാണ്.

// അരി. 40. ടേബിൾ ഉപ്പിന്റെ ക്രിസ്റ്റൽ ലാറ്റിസ്. ഇരുണ്ട പന്തുകൾ സോഡിയം ആറ്റങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, നേരിയ പന്തുകൾ ക്ലോറിൻ ആറ്റങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ

2D, 3D ലാറ്റിസുകളിൽ 5-ആം ഓർഡർ റൊട്ടേഷണൽ സമമിതി സാധ്യമല്ലെങ്കിലും, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന കുറച്ച് സാധാരണ ഘടനകളിൽ ഇത് നിലനിൽക്കും. കെപ്ലറുടെ രേഖാചിത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, റോജർ പെൻറോസ് കൂടുതൽ പൊതുവായ തരത്തിലുള്ള അഞ്ച് മടങ്ങ് സമമിതിയുള്ള പരന്ന സംവിധാനങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. അവയെ ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ പ്രകൃതിയിൽ നിലനിൽക്കുന്നു. 1984-ൽ, അലുമിനിയം, മാംഗനീസ് എന്നിവയുടെ ഒരു അലോയ് അർദ്ധ-ക്രിസ്റ്റലുകളുണ്ടാക്കുമെന്ന് ഡാനിയൽ ഷെക്റ്റ്മാൻ കണ്ടെത്തി; തുടക്കത്തിൽ, ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫർമാർ അദ്ദേഹത്തിന്റെ സന്ദേശത്തെ കുറച്ച് സംശയത്തോടെയാണ് സ്വീകരിച്ചത്, എന്നാൽ പിന്നീട് കണ്ടെത്തൽ സ്ഥിരീകരിക്കപ്പെട്ടു, 2011 ൽ ഷെക്റ്റ്മാന് രസതന്ത്രത്തിനുള്ള നൊബേൽ സമ്മാനം ലഭിച്ചു. 2009-ൽ, ലൂക്കാ ബിന്ദിയുടെ നേതൃത്വത്തിലുള്ള ഒരു സംഘം ശാസ്ത്രജ്ഞർ റഷ്യൻ കൊറിയക് ഹൈലാൻഡ്സിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ധാതുവിൽ അർദ്ധ-ക്രിസ്റ്റലുകൾ കണ്ടെത്തി - അലുമിനിയം, ചെമ്പ്, ഇരുമ്പ് എന്നിവയുടെ സംയുക്തം. ഇന്ന് ഈ ധാതുവിനെ ഐക്കോസഹെഡ്രൈറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു മാസ് സ്പെക്ട്രോമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ധാതുക്കളുടെ വിവിധ ഓക്സിജൻ ഐസോടോപ്പുകളുടെ ഉള്ളടക്കം അളക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ ധാതു ഭൂമിയിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിച്ചതല്ലെന്ന് ശാസ്ത്രജ്ഞർ തെളിയിച്ചു. ഏകദേശം 4.5 ബില്യൺ വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, സൗരയൂഥം ഉയർന്നുവരുന്ന ഒരു സമയത്ത്, അതിന്റെ ഭൂരിഭാഗം സമയവും ഛിന്നഗ്രഹ വലയത്തിൽ ചെലവഴിച്ചു, സൂര്യനെ ചുറ്റുന്നു, ചിലതരം അസ്വസ്ഥതകൾ അതിന്റെ ഭ്രമണപഥം മാറ്റി ഒടുവിൽ ഭൂമിയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതുവരെ.

// അരി. 41. ഇടത്: കൃത്യമായ അഞ്ച് മടങ്ങ് സമമിതിയുള്ള രണ്ട് അർദ്ധ-ക്രിസ്റ്റലിൻ ലാറ്റിസുകളിൽ ഒന്ന്. വലത്: ഒരു ഐക്കോസഹെഡ്രൽ അലുമിനിയം-പല്ലേഡിയം-മാംഗനീസ് ക്വാസിക്രിസ്റ്റലിന്റെ ആറ്റോമിക് മോഡൽ