Ромб дээр бичээстэй тойргийн радиус. Тэгш талт гурвалжин

Хэрэв тойрог нь өнцгийн дотор байрлаж, түүний хажуу талуудтай хүрч байвал түүнийг энэ өнцөгт бичээстэй гэж нэрлэдэг. Ийм бичээстэй тойргийн төв нь дээр байрладаг энэ өнцгийн биссектрис.

Хэрэв энэ нь гүдгэр олон өнцөгт дотор хэвтэж, бүх талыг нь шүргэж байвал түүнийг гүдгэр олон өнцөгт дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг.

Гурвалжин дотор бичээстэй тойрог

Гурвалжинд бичээстэй тойрог нь энэ зургийн тал бүрийг зөвхөн нэг цэгт хүрдэг. Нэг гурвалжинд зөвхөн нэг тойрог бичиж болно.

Ийм тойргийн радиус нь гурвалжны дараах параметрүүдээс хамаарна.

1. Гурвалжны талуудын урт.
2. Түүний талбай.
3. Түүний периметр.
4. Гурвалжны өнцгийн хэмжилт.

Гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг тооцоолохын тулд дээр дурдсан бүх параметрүүдийг мэдэх шаардлагагүй, учир нь тэдгээр нь тригонометрийн функцээр харилцан хамааралтай байдаг.

Хагас периметр ашиглан тооцоо хийх

1. Хэрэв геометрийн дүрсийн бүх талын уртыг мэддэг бол (бид тэдгээрийг a, b, c үсгээр тэмдэглэдэг) радиусыг квадрат язгуураар тооцоолох шаардлагатай болно.
2. Тооцооллыг эхлүүлэхдээ эхний өгөгдөлд өөр нэг хувьсагч нэмэх шаардлагатай - хагас периметр (p). Үүнийг бүх уртыг нэмж, гарсан нийлбэрийг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно. p = (a+b+c)/2. Ийм байдлаар радиусыг олох томъёог ихээхэн хялбарчилж болно.
3. Ерөнхийдөө томьёо нь фракцыг байрлуулсан радикалын тэмдгийг агуулсан байх ёстой бөгөөд энэ фракцын хуваагч нь хагас периметрийн p-ийн утга байх болно.
4. Энэ бутархайн тоологч нь ялгааны үржвэр байх болно (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Тиймээс томъёоны бүрэн хэлбэрийг дараах байдлаар үзүүлнэ: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Гурвалжны талбайг харгалзан тооцоолно

Хэрэв бид мэддэг бол гурвалжны талбайба түүний бүх талуудын урт, энэ нь үндсийг нь задлахгүйгээр бидний сонирхож буй тойргийн радиусыг олох боломжийг олгоно.

1. Эхлээд та талбайн хэмжээг хоёр дахин нэмэгдүүлэх хэрэгтэй.
2. Үр дүн нь бүх талын уртын нийлбэрт хуваагдана. Дараа нь томъёо дараах байдлаар харагдах болно: r = 2*S/(a+b+c).
3. Хэрэв та хагас периметрийн утгыг ашиглавал маш энгийн томъёог авч болно: r = S / p.

Тригонометрийн функцийг ашиглан тооцоолох

Хэрэв асуудлын мэдэгдэлд талуудын аль нэгний урт, эсрэг талын өнцөг ба периметрийн утгыг агуулсан бол тригонометрийн функц - шүргэгчийг ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тооцооны томъёо дараах байдлаар харагдах болно.

r = (P /2- a)* tg (α/2), энд r нь хүссэн радиус, P нь периметр, a нь талуудын аль нэгний урт, α нь эсрэг талын утга ба өнцөг.

Ердийн гурвалжинд бичих шаардлагатай тойргийн радиусыг r = a*√3/6 томъёог ашиглан олж болно.

Тойрог тэгш өнцөгт гурвалжинд бичжээ

Та тэгш өнцөгт гурвалжинд багтах боломжтой зөвхөн нэг тойрог. Ийм тойргийн төв нь нэгэн зэрэг бүх биссектрисын огтлолцлын цэг болдог. Энэхүү геометрийн дүрс нь зарим онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнийг бичээстэй тойргийн радиусыг тооцоолохдоо анхаарч үзэх хэрэгтэй.

1. Эхлээд та өгөгдсөн параметрүүдтэй тэгш өнцөгт гурвалжинг бүтээх хэрэгтэй. Та ийм дүрсийг нэг талын хэмжээ, хоёр өнцгийн утгууд эсвэл хоёр тал ба эдгээр талуудын хоорондох өнцгөөр барьж болно. Эдгээр бүх параметрүүдийг ажлын нөхцөлд зааж өгөх ёстой. Гурвалжинг ABC гэж тэмдэглэсэн бөгөөд C нь зөв өнцгийн орой юм. Хөл нь хувьсагчаар тодорхойлогддог. АТэгээд б, ба гипотенуз нь хувьсагч юм -тай.
2. Сонгодог томъёог барьж, тойргийн радиусыг тооцоолохын тулд асуудлын тайлбарт тодорхойлсон зургийн бүх талын хэмжээсийг олж, тэдгээрээс хагас периметрийг тооцоолох шаардлагатай. Хэрэв нөхцөл нь хоёр хөлний хэмжээг зааж өгсөн бол Пифагорын теорем дээр үндэслэн гипотенузын хэмжээг тооцоолоход ашиглаж болно.
3. Хэрэв нөхцөл нь нэг хөл, нэг өнцгийн хэмжээг өгсөн бол энэ өнцөг нь зэргэлдээ эсвэл эсрэг талд байгаа эсэхийг ойлгох шаардлагатай. Эхний тохиолдолд гипотенузыг синусын теорем ашиглан олно. c=a/sinСАВ, хоёр дахь тохиолдолд косинусын теоремыг хэрэглэнэ c=a/cosCBA.
4. Бүх тооцоог хийж, бүх талуудын утгууд нь тодорхой бол хагас периметрийг дээр дурдсан томъёогоор олно.
5. Хагас периметрийн хэмжээг мэдсэнээр та радиусыг олох боломжтой. Томъёо нь бутархай юм. Түүний тоологч нь хагас периметр ба тал бүрийн ялгааны үржвэр бөгөөд хуваагч нь хагас периметрийн утга юм.

Энэ томьёоны тоологч нь талбайн үзүүлэлт гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд радиусыг олох томъёо нь илүү хялбар байдаг - талбайг хагас периметрээр хуваахад хангалттай.

Хоёр тал нь мэдэгдэж байсан ч геометрийн дүрсийн талбайг тодорхойлох боломжтой. Эдгээр хөлний квадратуудын нийлбэрийг гипотенузыг олоход ашигладаг бөгөөд дараа нь хагас периметрийг тооцоолно. Та хөлний утгыг хооронд нь үржүүлж, үр дүнг 2-т хуваах замаар талбайг тооцоолж болно.

Хэрэв нөхцөлд хөл ба гипотенузын уртыг өгөгдсөн бол радиусыг маш энгийн томъёогоор тодорхойлж болно: үүний тулд хөлний уртыг хооронд нь нэмж, гипотенузын уртыг үр дүнгээс хасна. тоо. Үр дүнг хагаст хуваах ёстой.

Видео

Энэ видеоноос та гурвалжин дотор бичээстэй тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг сурах болно.

Гурвалжин дотор бичээстэй тойрог

Гурвалжинд бичээстэй тойрог байгаа эсэх

Тодорхойлолтыг эргэн санацгаая өнцгийн биссектрис .

Тодорхойлолт 1 .Өнцгийн биссектриса өнцгийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах туяа гэж нэрлэдэг.

Теорем 1 (Өнцгийн биссектрисын үндсэн шинж чанар) . Өнцгийн биссектрисын цэг бүр нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байна (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1

Баталгаа Д , өнцгийн биссектрист дээр хэвтэж байнаBAC , Мөн Д.Э Тэгээд DF булангийн хажуу талууд дээр (Зураг 1).Зөв гурвалжингууд ADF Тэгээд ADE тэнцүү , тэдгээр нь ижил хурц өнцөгтэй тулDAF Тэгээд DAE , ба гипотенуз МЭ - ерөнхий. Тиймээс,

DF = DE,

Q.E.D.

Теорем 2 (теорем 1-тэй эсрэгээр) . Хэрэв зарим нь өнцгийн биссектрист байрладаг (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2

Баталгаа . Дурын цэгийг авч үзьеД , өнцөг дотор хэвтэж байнаBAC мөн өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг. Гол цэгээс бууцгааяД перпендикуляр Д.Э Тэгээд DF булангийн хажуу талууд дээр (Зураг 2).Зөв гурвалжингууд ADF Тэгээд ADE тэнцүү , тэд ижил хөлтэй тулDF Тэгээд Д.Э , ба гипотенуз МЭ - ерөнхий. Тиймээс,

Q.E.D.

Тодорхойлолт 2 . Тойрог гэж нэрлэдэг өнцгөөр дүрсэлсэн тойрог , хэрэв энэ өнцгийн талууд бол.

Теорем 3 . Хэрэв тойргийг өнцгөөр дүрсэлсэн бол өнцгийн оройноос тойргийн талуудтай холбогдох цэг хүртэлх зай тэнцүү байна.

Баталгаа . Гол нь байя Д – өнцгөөр сийлсэн тойргийн төвBAC , болон оноо Э Тэгээд Ф – өнцгийн талуудтай тойргийн хүрэлцэх цэгүүд (Зураг 3).

Зураг 3

а , б , в - гурвалжны талууд,
 С -дөрвөлжин,

r – бичээстэй тойргийн радиус,
 х - хагас периметр

.

Томъёоны гаралтыг харах

а – тэгш өнцөгт гурвалжны хажуу тал , 
 б - суурь, r – бичээстэй тойргийн радиус

а r – бичээстэй тойргийн радиус

Томъёоны гаралтыг харах

,

Хаана

,

тэгвэл тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд хэзээ

бид авдаг

энэ нь шаардлагатай байсан юм.

Теорем 7 . Тэгш байдлын төлөө

Хаана а - тэгш талт гурвалжны тал;r – бичээстэй тойргийн радиус (Зураг 8).

Цагаан будаа. 8

Баталгаа .

,

тэгвэл тэгш талт гурвалжны хувьд хэзээ

b = a,

бид авдаг

энэ нь шаардлагатай байсан юм.

Сэтгэгдэл . Дасгалын хувьд би тэгш талт гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиусын томъёог шууд гаргаж авахыг зөвлөж байна, жишээлбэл. дурын гурвалжин эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиусуудын ерөнхий томъёог ашиглахгүйгээр.

Теорем 8 . Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана.

Хаана а , б - тэгш өнцөгт гурвалжны хөл; в – гипотенуз , r – бичээстэй тойргийн радиус.

Баталгаа . Зураг 9-ийг авч үзье.

Цагаан будаа. 9

Дөрвөн өнцөгтөөс хойшCDOF байна , зэргэлдээ талуудтайХИЙХ Тэгээд OF тэнцүү бол энэ тэгш өнцөгт байна . Тиймээс,

CB = CF= r,

Теорем 3-ын дагуу дараахь тэгшитгэлүүд үнэн болно.

Тиймээс, мөн харгалзан , бид олж авдаг

энэ нь шаардлагатай байсан юм.

"Гурвалжинд сийлсэн тойрог" сэдэвт бодлогуудын сонголт.

1.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй тойрог нь контактын цэгийн хажуугийн аль нэг талыг суурийн эсрэг талын оройноос эхлэн тоолох урт нь 5 ба 3 гэсэн хоёр сегментэд хуваана. Гурвалжны периметрийг ол.

2.

3

ABC гурвалжинд AC=4, BC=3, C өнцөг нь 90º байна. Бичсэн тойргийн радиусыг ол.

4.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь 2+ байна. Энэ гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг ол.

5.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиус 2. Энэ гурвалжны с гипотенузыг ол. Хариултдаа c(–1) гэж тэмдэглэнэ үү.

Бид Улсын нэгдсэн шалгалтаас гарсан хэд хэдэн асуудлыг шийдлийн хамт танилцуулж байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиус нь тэнцүү байна. Энэ гурвалжны гипотенузыг ол. Хариултдаа заана уу.

Гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Энэ нь түүний хөл нь адилхан гэсэн үг юм. Хөл бүр тэнцүү байг. Дараа нь гипотенуз тэнцүү байна.

Бид ABC гурвалжны талбайг хоёр аргаар бичдэг.

Эдгээр илэрхийлэлийг тэнцүүлэх нь бид үүнийг олж авна. Учир нь, бид үүнийг ойлгодог. Дараа нь.

Бид хариуд нь бичих болно.

Хариулт:.

Даалгавар 2.

1. Чөлөөт хэсэгт 10см ба 6см (АВ ба ВС) хоёр тал байна. Хязгаарлагдсан ба бичээстэй тойргийн радиусыг ол
Асуудлыг тайлбар өгөх замаар бие даан шийддэг.

Шийдэл:

IN.

1) олох:
2) Нотлох:мөн CK-г олоорой
3) Ол: хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн радиус

Шийдэл:

Даалгавар 6.

Р дөрвөлжин дотор бичээстэй тойргийн радиус нь. Энэ квадратыг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.Өгсөн :

Хай: OS=?
Шийдэл: Энэ тохиолдолд асуудлыг Пифагорын теорем эсвэл R-ийн томъёоны аль нэгийг ашиглан шийдэж болно. Хоёр дахь тохиолдол нь илүү хялбар байх болно, учир нь R-ийн томъёо нь теоремоос гаралтай.

Даалгавар 7.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиус 2. Гипотенузыг ол.-тай энэ гурвалжин. Хариултдаа заана уу.

S - гурвалжны талбай

Бид гурвалжны талууд болон талбайн аль алиныг нь мэдэхгүй. Хөлийг x гэж тэмдэглэвэл гипотенуз нь дараахтай тэнцүү болно.

Гурвалжны талбай нь 0.5x болно 2 .

гэсэн үг

Тиймээс гипотенуз нь дараахтай тэнцүү байх болно.

Хариултдаа та дараах зүйлийг бичих хэрэгтэй.

Хариулт: 4

Даалгавар 8.

ABC гурвалжинд AC = 4, BC = 3, өнцөг C 90 0-тэй тэнцүү. Бичсэн тойргийн радиусыг ол.

Гурвалжин дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусын томъёог ашиглая.

Үүнд: a, b, c нь гурвалжны талууд юм

S - гурвалжны талбай

Хоёр тал нь мэдэгдэж байгаа (эдгээр нь хөл), бид гурав дахь (гипотенуз) тооцоолж, мөн талбайг тооцоолж болно.

Пифагорын теоремын дагуу:

Талбайг олцгооё:

Тиймээс:

Хариулт: 1

Даалгавар 9.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд 5, суурь нь 6. Битсэн тойргийн радиусыг ол.

Гурвалжин дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусын томъёог ашиглая.

Үүнд: a, b, c нь гурвалжны талууд юм

S - гурвалжны талбай

Бүх тал нь мэдэгдэж байгаа, талбайг нь тооцоод үзье. Үүнийг Хероны томъёог ашиглан олж болно.

Дараа нь

Ромб бол бүх талууд тэнцүү параллелограмм юм. Тиймээс параллелограммын бүх шинж чанарыг өвлөн авдаг. Тухайлбал:

• Ромбын диагональууд нь харилцан перпендикуляр байна.
• Ромбын диагональууд нь түүний дотоод өнцгийн биссектрис юм.

Эсрэг талуудын нийлбэр тэнцүү байх тохиолдолд л дугуйг дөрвөлжин хэлбэрээр бичиж болно.
Тиймээс ямар ч ромб дээр тойрог бичиж болно. Бичсэн тойргийн төв нь ромбын диагональуудын огтлолцлын төвтэй давхцдаг.
Ромб дээрх бичээстэй тойргийн радиусыг хэд хэдэн аргаар илэрхийлж болно

1 арга зам. Ромб хэлбэрээр бичээстэй тойргийн радиусыг өндрөөр дамжуулна

Ромбын өндөр нь бичээстэй тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь бичээстэй тойргийн диаметр ба ромбын өндрөөс үүссэн тэгш өнцөгтийн шинж чанараас гардаг - тэгш өнцөгтийн эсрэг талууд тэнцүү байна.

Тиймээс ромб доторх бичээстэй тойргийн радиусын өндрийн хувьд томъёо:

Арга 2. Диагональуудаар дамжсан ромб хэлбэрээр бичээстэй тойргийн радиус

Ромбын талбайг бичээстэй тойргийн радиусаар илэрхийлж болно
, Хаана Р- ромбын периметр. Периметр нь дөрвөн өнцөгтийн бүх талуудын нийлбэр гэдгийг мэдэж байгаа тул бид байна P= 4×a.Дараа нь
Гэхдээ ромбын талбай нь диагональуудын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна
Талбайн томьёоны баруун гар талыг тэгшитгэвэл бид дараах тэгшитгэлтэй болно
Үүний үр дүнд бид диагональуудаар дамжуулан ромб дахь бичээстэй тойргийн радиусыг тооцоолох томъёог олж авдаг.

Диагональууд нь мэдэгдэж байгаа бол ромб дотор бичсэн тойргийн радиусыг тооцоолох жишээ
Диагональуудын урт нь 30 см ба 40 см байх нь мэдэгдэж байгаа бол ромб дотор бичсэн тойргийн радиусыг ол.
Болъё A B C D-Тэгвэл ромб А.С.Тэгээд Б.Дтүүний диагональууд. AC= 30 см ,БД=40 см
Гол нь байя ТУХАЙ– нь ромб дээр бичээсний төв юм A B C Dтойрог, дараа нь энэ нь мөн диагональуудын огтлолцлын цэг болж, тэдгээрийг хагасаар хуваана.


ромбын диагональууд зөв өнцгөөр огтлолцдог тул гурвалжин AOBтэгш өнцөгт. Дараа нь Пифагорын теоремоор
, өмнө нь олж авсан утгыг томъёонд орлуулна

AB= 25 см
Ромбусын хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын өмнө гаргаж авсан томъёог ашигласнаар бид олж авна.

3 арга зам. m ба n хэрчмүүдээр дамжсан ромб доторх бичээстэй тойргийн радиус

Цэг Ф– тойргийн ромбын хажуу талтай холбогдох цэг нь түүнийг сегмент болгон хуваана А.Ф.Тэгээд Б.Ф.. Болъё AF =m, BF=n.
Цэг О– ромбын диагональуудын огтлолцлын төв ба түүн дотор бичигдсэн тойргийн төв.
Гурвалжин AOB– тэгш өнцөгт, учир нь ромбын диагональууд зөв өнцгөөр огтлолцдог.
, учир нь нь тойргийн шүргэгч цэг рүү татсан радиус юм. Тиймээс OF- гурвалжны өндөр AOBгипотенуз руу. Дараа нь А.Ф.Тэгээд BFгипотенуз руу хөлний төсөөлөл.
Гипотенуз хүртэл бууруулсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь хөлний гипотенуз хүртэлх проекцын дундаж пропорциональ байна.

Сегментээр дамжсан ромб доторх бичээстэй тойргийн радиусын томъёо нь тойргийн шүргэгч цэг нь ромбын талыг хуваах эдгээр сегментүүдийн үржвэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Гурвалжинд сийлсэн тойргийг авч үзье (Зураг 302). Түүний төв O нь гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрисын огтлолцол дээр байрладаг гэдгийг санаарай. O-г ABC гурвалжны оройтой холбосон OA, OB, OC сегментүүд нь гурвалжинг гурван гурвалжинд хуваана.

AOV, VOS, SOA. Эдгээр гурвалжин бүрийн өндөр нь радиустай тэнцүү тул тэдгээрийн талбайг дараах байдлаар илэрхийлнэ

S гурвалжны талбай нь эдгээр гурван талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

гурвалжны хагас периметр хаана байна. Эндээс

Бичсэн тойргийн радиус нь гурвалжны талбайн хагас периметрийн харьцаатай тэнцүү байна.

Гурвалжны тойргийн томьёог олж авахын тулд бид дараах саналыг нотолно.

Теорем а: Аливаа гурвалжинд тал нь хүрээлэгдсэн тойргийн диаметрийг эсрэг талын өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Дурын ABC гурвалжин ба түүний эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийг авч үзье, түүний радиусыг R гэж тэмдэглэнэ (Зураг 303). Гурвалжны хурц өнцөгийг А гэж үзье. Тойргийн OB, OS радиусыг зурж, гурвалжны төвөөс О-оос BC тал руу перпендикуляр ОК-ыг буулгая. Гурвалжны а өнцгийг BC нумын хагасаар хэмждэг ба BOC өнцөг нь төв өнцөг болохыг анхаарна уу. Эндээс харахад . Тиймээс RNS гурвалжны зөв гурвалжнаас бид , эсвэл -ийг олдог бөгөөд энэ нь бидэнд нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Өгөгдсөн зураг. 303 ба үндэслэл нь гурвалжны хурц өнцгийн тохиолдлыг хэлнэ; Зөв ба мохоо өнцгийн тохиолдлуудын нотолгоог хийхэд хялбар байх болно (уншигч өөрөө үүнийг хийх болно), гэхдээ та синусын теоремыг (218.3) ашиглаж болно. Хаанаас ирсэн байх ёстой болохоор

Синусын теоремыг мөн бичдэг. хэлбэр

ба тэмдэглэгээний маягттай (218.3) харьцуулалт нь өгдөг

Хязгаарлагдмал тойргийн радиус нь гурвалжны гурван талын үржвэрийг түүний дөрөв дахин талбайтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Даалгавар. Хэрэв тойрог болон тойрог нь тус тус радиустай бол ижил өнцөгт гурвалжны талуудыг ол.

Шийдэл. Гурвалжны бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг илэрхийлсэн томьёог бичье.

Хажуу ба суурьтай тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд талбайг томъёогоор илэрхийлнэ

эсвэл бутархайг тэгээс өөр хүчин зүйлээр бууруулбал бид байна

-тай харьцуулахад квадрат тэгшитгэлд хүргэдэг

Энэ нь хоёр шийдэлтэй:

R эсвэл R-ийн аль нэг тэгшитгэлийн илэрхийлэлд орлуулснаар бид асуудлынхаа хоёр хариултыг олох болно.

Дасгал

1. Тэгш өнцгийн оройгоос татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр, гипотенузыг харьцаагаар хуваана. Хөл тус бүрийн гипотенузтай харьцуулсан харьцааг ол.

2. Тойрог тойруулан хүрээлэгдсэн ижил өнцөгт трапецын суурь нь a ба b-тэй тэнцүү байна. Тойргийн радиусыг ол.

3. Хоёр тойрог гадна талдаа хүрнэ. Тэдний нийтлэг шүргэгч нь төвүүдийн шугам руу 30 ° өнцгөөр налуу байна. Шүргэх цэгүүдийн хоорондох шүргэгч хэрчмийн урт 108 см.Тойргуудын радиусыг ол.

4. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь a ба b-тэй тэнцүү. Талууд нь зөв өнцгийн оройноос татсан гурвалжны өндөр ба медиан, тэдгээрийн гипотенузтай огтлолцох цэгүүдийн хоорондох гипотенузын сегмент болох гурвалжны талбайг ол.

5. Гурвалжны талууд нь 13, 14, 15. Тэдгээрийн тус бүрийн нөгөө хоёр дээрх проекцийг ол.

6. Гурвалжны тал ба өндөр нь мэдэгдэж байна b ба c талуудыг ол.

7. Гурвалжны хоёр тал ба медиан нь мэдэгдэж байна.Гурвалжны гурав дахь талыг ол.

8. Гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь өгөгдсөн: Битлэгдсэн ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.

9. a, b, c гурвалжны талууд мэдэгдэж байна. Гурвалжны талуудтай бичээстэй тойргийн контактын цэгүүдээр ямар сегментүүдэд хуваагддаг вэ?