Ludwig Boltzmann: Pencapaian peribadi. Pemalar Boltzmann

Pelan:

pengenalan

• 1 Hubungan antara suhu dan tenaga
• 2 Definisi entropi
Nota

pengenalan

pemalar Boltzmann (k atau k B) ialah pemalar fizik yang mentakrifkan hubungan antara suhu dan tenaga. Dinamakan sempena ahli fizik Austria Ludwig Boltzmann, yang membuat sumbangan besar kepada fizik statistik, di mana pemalar ini memainkan peranan penting. Nilai eksperimennya dalam sistem SI ialah

J/K .

Nombor dalam kurungan menunjukkan ralat piawai dalam digit terakhir nilai kuantiti. Pemalar Boltzmann boleh didapati daripada definisi suhu mutlak dan pemalar fizikal lain. Walau bagaimanapun, pengiraan pemalar Boltzmann menggunakan prinsip pertama adalah terlalu rumit dan tidak boleh dilaksanakan dengan keadaan pengetahuan semasa. Dalam sistem semula jadi unit Planck, unit semula jadi suhu diberikan supaya pemalar Boltzmann adalah sama dengan kesatuan.

Pemalar gas sejagat ditakrifkan sebagai hasil darab pemalar Boltzmann dan nombor Avogadro, R = kN A. Pemalar gas lebih mudah apabila bilangan zarah diberikan dalam mol.

1. Hubungan antara suhu dan tenaga

Dalam gas ideal homogen pada suhu mutlak T, tenaga bagi setiap darjah kebebasan translasi adalah sama, seperti berikut daripada taburan Maxwell kT/ 2 . Pada suhu bilik (300 K) tenaga ini ialah J, atau 0.013 eV. Dalam gas ideal monatomik, setiap atom mempunyai tiga darjah kebebasan sepadan dengan tiga paksi ruang, yang bermaksud bahawa setiap atom mempunyai tenaga sebanyak .

Mengetahui tenaga haba, kita boleh mengira purata halaju kuasa dua atom, yang berkadar songsang dengan punca kuasa dua jisim atom. Purata halaju kuasa dua akar pada suhu bilik berbeza dari 1370 m/s untuk helium hingga 240 m/s untuk xenon. Dalam kes gas molekul keadaan menjadi lebih rumit, contohnya gas diatomik sudah mempunyai kira-kira lima darjah kebebasan.

2. Definisi entropi

Entropi sistem termodinamik ditakrifkan sebagai logaritma semula jadi bagi bilangan keadaan mikro yang berbeza Z, sepadan dengan keadaan makroskopik tertentu (contohnya, keadaan dengan jumlah tenaga tertentu).

S = k ln Z.

Faktor perkadaran k dan merupakan pemalar Boltzmann. Ini adalah ungkapan yang mentakrifkan hubungan antara mikroskopik ( Z) dan keadaan makroskopik ( S), menyatakan idea utama mekanik statistik.

Nota

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Pemalar Fizikal Asas - Penyenaraian Lengkap

muat turun
Abstrak ini adalah berdasarkan artikel dari Wikipedia Rusia. Penyegerakan selesai 07/10/11 01:04:29
Abstrak yang serupa:

Pemalar Boltzmann, yang merupakan pekali bersamaan dengan k = 1.38 · 10 - 23 J K, adalah sebahagian daripada sejumlah besar formula dalam fizik. Ia mendapat namanya daripada ahli fizik Austria, salah seorang pengasas teori kinetik molekul. Mari kita rumuskan definisi pemalar Boltzmann:

Definisi 1

Pemalar Boltzmann ialah pemalar fizik yang digunakan untuk menentukan hubungan antara tenaga dan suhu.

Ia tidak boleh dikelirukan dengan pemalar Stefan-Boltzmann, yang dikaitkan dengan sinaran tenaga daripada badan pepejal sepenuhnya.

Terdapat pelbagai kaedah untuk mengira pekali ini. Dalam artikel ini kita akan melihat dua daripadanya.

Mencari pemalar Boltzmann melalui persamaan gas ideal

Pemalar ini boleh didapati menggunakan persamaan yang menerangkan keadaan gas ideal. Ia boleh ditentukan secara eksperimen bahawa memanaskan sebarang gas daripada T 0 = 273 K hingga T 1 = 373 K membawa kepada perubahan tekanannya daripada p 0 = 1.013 10 5 P a hingga p 0 = 1.38 10 5 P a . Ini adalah percubaan yang agak mudah yang boleh dilakukan walaupun hanya dengan udara. Untuk mengukur suhu, anda perlu menggunakan termometer, dan tekanan - manometer. Adalah penting untuk diingat bahawa bilangan molekul dalam mol mana-mana gas adalah lebih kurang sama dengan 6 · 10 23, dan isipadu pada tekanan 1 atm adalah sama dengan V = 22.4 liter. Dengan mengambil kira semua parameter ini, kita boleh meneruskan pengiraan pemalar Boltzmann k:

Untuk melakukan ini, kami menulis persamaan dua kali, menggantikan parameter keadaan ke dalamnya.

Mengetahui hasilnya, kita boleh mencari nilai parameter k:

Mencari pemalar Boltzmann melalui formula gerakan Brownian

Untuk kaedah pengiraan kedua, kita juga perlu menjalankan eksperimen. Untuk melakukan ini, anda perlu mengambil cermin kecil dan menggantungnya di udara menggunakan benang elastik. Mari kita andaikan bahawa sistem cermin-udara berada dalam keadaan stabil (keseimbangan statik). Molekul udara mengenai cermin, yang pada dasarnya berkelakuan seperti zarah Brownian. Walau bagaimanapun, dengan mengambil kira keadaan terampainya, kita boleh melihat getaran putaran di sekeliling paksi tertentu bertepatan dengan ampaian (benang terarah menegak). Sekarang mari kita arahkan pancaran cahaya ke permukaan cermin. Walaupun dengan pergerakan kecil dan putaran cermin, pancaran yang dipantulkan di dalamnya akan berubah dengan ketara. Ini memberi kita peluang untuk mengukur getaran putaran objek.

Menandakan modulus kilasan sebagai L, momen inersia cermin berbanding paksi putaran sebagai J, dan sudut putaran cermin sebagai φ, kita boleh menulis persamaan ayunan bentuk berikut:

Tolak dalam persamaan dikaitkan dengan arah momen daya kenyal, yang cenderung untuk mengembalikan cermin ke kedudukan keseimbangan. Sekarang mari kita darab kedua-dua belah dengan φ, integrasikan hasilnya dan dapatkan:

Persamaan berikut ialah undang-undang pemuliharaan tenaga, yang akan dipenuhi untuk getaran ini (iaitu, tenaga keupayaan akan berubah menjadi tenaga kinetik dan sebaliknya). Kita boleh menganggap getaran ini sebagai harmoni, oleh itu:

Apabila memperoleh salah satu formula sebelum ini, kami menggunakan hukum pengagihan seragam tenaga ke atas darjah kebebasan. Jadi kita boleh menulisnya seperti ini:

Seperti yang telah kita katakan, sudut putaran boleh diukur. Jadi, jika suhu adalah lebih kurang 290 K, dan modulus kilasan L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 · 10 - 6, maka kita boleh mengira nilai pekali yang kita perlukan seperti berikut:

Oleh itu, mengetahui asas-asas gerakan Brown, kita boleh mencari pemalar Boltzmann dengan mengukur makroparameter.

Nilai pemalar Boltzmann

Kepentingan pekali yang dikaji ialah ia boleh digunakan untuk mengaitkan parameter dunia mikro dengan parameter yang menggambarkan dunia makro, contohnya, suhu termodinamik dengan tenaga gerakan translasi molekul:

Pekali ini termasuk dalam persamaan tenaga purata molekul, keadaan gas ideal, teori kinetik gas, taburan Boltzmann-Maxwell dan lain-lain lagi. Pemalar Boltzmann juga diperlukan untuk menentukan entropi. Ia memainkan peranan penting dalam kajian semikonduktor, sebagai contoh, dalam persamaan yang menerangkan pergantungan kekonduksian elektrik pada suhu.

Contoh 1

keadaan: hitung tenaga purata molekul gas yang terdiri daripada molekul N-atom pada suhu T, mengetahui bahawa semua darjah kebebasan teruja dalam molekul - putaran, translasi, getaran. Semua molekul dianggap sebagai isipadu.

Penyelesaian

Tenaga diagihkan sama rata ke atas darjah kebebasan untuk setiap darjahnya, yang bermaksud bahawa darjah ini akan mempunyai tenaga kinetik yang sama. Ia akan sama dengan ε i = 1 2 k T . Kemudian untuk mengira tenaga purata kita boleh menggunakan formula:

ε = i 2 k T , dengan i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l mewakili jumlah darjah kebebasan putaran translasi. Huruf k menandakan pemalar Boltzmann.

Mari kita teruskan untuk menentukan bilangan darjah kebebasan molekul:

m p o s t = 3, m υ r = 3, yang bermaksud m k o l = 3 N - 6.

i = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6 ; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Jawapan: di bawah keadaan ini, tenaga purata molekul akan sama dengan ε = 3 N - 3 k T.

Contoh 2

keadaan: ialah campuran dua gas ideal yang ketumpatannya dalam keadaan normal bersamaan dengan p. Tentukan apakah kepekatan satu gas dalam campuran itu, dengan syarat kita mengetahui jisim molar kedua-dua gas μ 1, μ 2.

Penyelesaian

Pertama, mari kita mengira jumlah jisim campuran.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

Parameter m 01 menandakan jisim molekul satu gas, m 02 – jisim molekul yang lain, n 2 – kepekatan molekul satu gas, n 2 – kepekatan kedua. Ketumpatan campuran ialah ρ.

Sekarang daripada persamaan ini kita menyatakan kepekatan gas pertama:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01 ; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

Mari kita gantikan nilai yang sama yang terhasil:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Oleh kerana kita mengetahui jisim molar gas, kita boleh mencari jisim molekul gas pertama dan kedua:

m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.

Kita juga tahu bahawa campuran gas berada dalam keadaan normal, i.e. tekanan ialah 1 a t m, dan suhu ialah 290 K. Ini bermakna kita boleh mempertimbangkan masalah itu selesai.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Menurut undang-undang Stefan-Boltzmann, ketumpatan sinaran hemisfera integral E 0 bergantung hanya pada suhu dan berubah secara berkadar dengan kuasa keempat suhu mutlak T:

Pemalar Stefan–Boltzmann σ 0 ialah pemalar fizik yang termasuk dalam undang-undang yang menentukan ketumpatan isipadu sinaran haba keseimbangan bagi jasad yang benar-benar hitam:

Dari segi sejarah, undang-undang Stefan-Boltzmann telah dirumuskan sebelum undang-undang sinaran Planck, yang mana ia berikut sebagai akibatnya. Undang-undang Planck menetapkan pergantungan kepada ketumpatan fluks spektrum sinaran E 0 pada panjang gelombang λ dan suhu T:

di mana λ – panjang gelombang, m; Dengan=2.998 10 8 m/s – kelajuan cahaya dalam vakum; T– suhu badan, K;
h= 6.625 ×10 -34 J×s – pemalar Planck.

Pemalar fizikal k, sama dengan nisbah pemalar gas sejagat R=8314J/(kg×K) kepada nombor Avogadro N.A.=6.022× 10 26 1/(kg×mol):

Bilangan konfigurasi sistem yang berbeza daripada N zarah bagi set nombor tertentu n i(bilangan zarah dalam i-keadaan yang mana tenaga e i sepadan) adalah berkadar dengan nilai:

Magnitud W terdapat beberapa cara pengagihan N zarah mengikut aras tenaga. Jika hubungan (6) adalah benar, maka ia dianggap bahawa sistem asal mematuhi statistik Boltzmann. Set nombor n i, di mana nombor W maksimum, berlaku paling kerap dan sepadan dengan pengedaran yang paling berkemungkinan.

Kinetik fizikal– teori mikroskopik proses dalam sistem tidak seimbang secara statistik.

Perihalan sebilangan besar zarah boleh berjaya dijalankan menggunakan kaedah probabilistik. Untuk gas monatomik, keadaan set molekul ditentukan oleh koordinatnya dan nilai unjuran halaju pada paksi koordinat yang sepadan. Secara matematik, ini diterangkan oleh fungsi taburan, yang mencirikan kebarangkalian zarah berada dalam keadaan tertentu:

ialah jangkaan bilangan molekul dalam isipadu d d yang koordinatnya berada dalam julat dari hingga +d, dan halajunya berada dalam julat dari hingga +d.

Jika tenaga potensi purata masa interaksi molekul boleh diabaikan berbanding dengan tenaga kinetiknya, maka gas itu dipanggil ideal. Gas ideal dipanggil gas Boltzmann jika nisbah laluan bebas molekul dalam gas ini kepada saiz ciri aliran L sudah tentu, i.e.

kerana panjang laluan adalah berkadar songsang nd 2(n ialah ketumpatan berangka 1/m 3, d ialah diameter molekul, m).

Saiz

dipanggil H-Fungsi Boltzmann untuk isipadu unit, yang dikaitkan dengan kebarangkalian mengesan sistem molekul gas dalam keadaan tertentu. Setiap keadaan sepadan dengan bilangan tertentu mengisi sel ruang-halaju enam dimensi di mana ruang fasa molekul yang sedang dipertimbangkan boleh dibahagikan. Mari kita nyatakan W kebarangkalian bahawa terdapat molekul N 1 dalam sel pertama ruang yang sedang dipertimbangkan, N 2 dalam sel kedua, dsb.

Sehingga pemalar yang menentukan asal kebarangkalian, hubungan berikut adalah sah:

,

di mana – Fungsi H bagi kawasan ruang A diduduki oleh gas. Daripada (9) jelas bahawa W Dan H saling berkaitan, i.e. perubahan dalam kebarangkalian keadaan membawa kepada evolusi yang sepadan bagi fungsi H.

Prinsip Boltzmann mewujudkan hubungan antara entropi S sistem fizikal dan kebarangkalian termodinamik W dia menyatakan:

(diterbitkan mengikut penerbitan: Kogan M.N. Dynamics of a rarefied gas. - M.: Nauka, 1967.)

Pandangan umum CUBE:

di manakah daya jisim disebabkan oleh kehadiran pelbagai medan (graviti, elektrik, magnet) yang bertindak pada molekul; J– kamiran perlanggaran. Istilah persamaan Boltzmann inilah yang mengambil kira perlanggaran molekul antara satu sama lain dan perubahan sepadan dalam halaju zarah yang berinteraksi. Kamiran perlanggaran ialah kamiran lima dimensi dan mempunyai struktur berikut:

Persamaan (12) dengan kamiran (13) diperolehi untuk perlanggaran molekul di mana tiada daya tangen timbul, i.e. zarah yang berlanggar dianggap licin sempurna.

Semasa interaksi, tenaga dalaman molekul tidak berubah, i.e. molekul-molekul ini diandaikan sebagai anjal sempurna. Kami menganggap dua kumpulan molekul yang mempunyai halaju dan sebelum berlanggar antara satu sama lain (perlanggaran) (Rajah 1), dan selepas perlanggaran, masing-masing, halaju dan . Perbezaan dalam kelajuan dipanggil kelajuan relatif, i.e. . Adalah jelas bahawa untuk perlanggaran kenyal yang licin . Fungsi pengedaran f 1 ", f", f 1 , f huraikan molekul kumpulan yang sepadan selepas dan sebelum perlanggaran, i.e. ; ; ; .

nasi. 1. Perlanggaran dua molekul.

(13) termasuk dua parameter yang mencirikan lokasi molekul berlanggar secara relatif antara satu sama lain: b dan ε; b– jarak sasaran, i.e. jarak terkecil yang akan didekati oleh molekul tanpa adanya interaksi (Rajah 2); ε dipanggil parameter sudut perlanggaran (Rajah 3). Integrasi berakhir b dari 0 hingga ¥ dan dari 0 hingga 2p (dua kamiran luar dalam (12)) meliputi seluruh satah interaksi daya berserenjang dengan vektor

nasi. 2. Lintasan molekul.

nasi. 3. Pertimbangan interaksi molekul dalam sistem koordinat silinder: z, b, ε

Persamaan kinetik Boltzmann diperolehi di bawah andaian dan andaian berikut.

1. Adalah dipercayai bahawa terutamanya perlanggaran dua molekul berlaku, i.e. peranan perlanggaran tiga atau lebih molekul secara serentak adalah tidak penting. Andaian ini membolehkan kita menggunakan fungsi pengedaran zarah tunggal untuk analisis, yang di atas dipanggil fungsi pengedaran. Mengambil kira perlanggaran tiga molekul membawa kepada keperluan untuk menggunakan fungsi pengedaran dua zarah dalam kajian. Oleh itu, analisis menjadi jauh lebih rumit.

2. Andaian huru-hara molekul. Ia dinyatakan dalam fakta bahawa kebarangkalian untuk mengesan zarah 1 pada titik fasa dan zarah 2 pada titik fasa adalah bebas antara satu sama lain.

3. Perlanggaran molekul dengan sebarang jarak hentaman adalah sama berkemungkinan, i.e. fungsi taburan tidak berubah pada diameter interaksi. Perlu diingatkan bahawa elemen yang dianalisis mestilah kecil supaya f dalam elemen ini tidak berubah, tetapi pada masa yang sama supaya turun naik relatif ~ tidak besar. Potensi interaksi yang digunakan dalam mengira kamiran perlanggaran adalah simetri sfera, i.e. .

Pengagihan Maxwell-Boltzmann

Keadaan keseimbangan gas diterangkan oleh taburan Maxwellian mutlak, yang merupakan penyelesaian tepat bagi persamaan kinetik Boltzmann:

di mana m ialah jisim molekul, kg.

Taburan Maxwellian tempatan umum, atau dipanggil taburan Maxwell-Boltzmann:

dalam kes apabila gas bergerak secara keseluruhan dengan kelajuan dan pembolehubah n, T bergantung kepada koordinat
dan masa t.

Dalam medan graviti Bumi, penyelesaian tepat bagi persamaan Boltzmann menunjukkan:

di mana n 0 = ketumpatan di permukaan bumi, 1/m3; g– pecutan graviti, m/s 2 ; h– ketinggian, m Formula (16) ialah penyelesaian tepat bagi persamaan kinetik Boltzmann sama ada dalam ruang tanpa had atau dengan kehadiran sempadan yang tidak melanggar taburan ini, manakala suhu juga mesti kekal malar.

Halaman ini telah direka oleh Puzina Yu.Yu. dengan sokongan Yayasan Rusia untuk Penyelidikan Asas - projek No. 08-08-00638.

Dilahirkan pada tahun 1844 di Vienna. Boltzmann adalah perintis dan perintis dalam sains. Karya dan penyelidikannya sering tidak dapat difahami dan ditolak oleh masyarakat. Walau bagaimanapun, dengan perkembangan fizik selanjutnya, karya beliau telah diiktiraf dan seterusnya diterbitkan.

Minat saintifik saintis itu meliputi bidang asas seperti fizik dan matematik. Sejak 1867, beliau bekerja sebagai guru di beberapa institusi pengajian tinggi. Dalam penyelidikannya, beliau menegaskan bahawa ini adalah disebabkan oleh kesan huru-hara molekul pada dinding kapal di mana ia berada, manakala suhu secara langsung bergantung pada kelajuan pergerakan zarah (molekul), dengan kata lain, pada mereka. Oleh itu, semakin tinggi kelajuan zarah ini bergerak, semakin tinggi suhu. Pemalar Boltzmann dinamakan sempena saintis Austria yang terkenal. Dialah yang membuat sumbangan yang tidak ternilai kepada pembangunan fizik statik.

Makna fizikal kuantiti tetap ini

Pemalar Boltzmann mentakrifkan hubungan antara suhu dan tenaga. Dalam mekanik statik ia memainkan peranan utama yang utama. Pemalar Boltzmann adalah sama dengan k=1.3806505(24)*10 -23 J/K. Nombor dalam kurungan menunjukkan ralat nilai yang dibenarkan berbanding dengan digit terakhir. Perlu diingat bahawa pemalar Boltzmann juga boleh diperoleh daripada pemalar fizikal lain. Walau bagaimanapun, pengiraan ini agak rumit dan sukar dilakukan. Mereka memerlukan pengetahuan yang mendalam bukan sahaja dalam bidang fizik, tetapi juga

(k atau k B) ialah pemalar fizik yang mentakrifkan hubungan antara suhu dan tenaga. Dinamakan sempena ahli fizik Austria Ludwig Boltzmann, yang membuat sumbangan besar kepada fizik statistik, di mana ini menjadi kedudukan penting. Nilai eksperimennya dalam sistem SI ialah

Nombor dalam kurungan menunjukkan ralat piawai dalam digit terakhir nilai kuantiti. Pada dasarnya, pemalar Boltzmann boleh didapati daripada takrifan suhu mutlak dan pemalar fizikal lain (untuk melakukan ini, anda perlu dapat mengira suhu titik tiga air dari prinsip pertama). Tetapi menentukan pemalar Boltzmann menggunakan prinsip pertama adalah terlalu rumit dan tidak realistik dengan perkembangan semasa pengetahuan dalam bidang ini.
Pemalar Boltzmann ialah pemalar fizik yang berlebihan jika anda mengukur suhu dalam unit tenaga, yang sering dilakukan dalam fizik. Ia, sebenarnya, hubungan antara kuantiti yang jelas - tenaga dan darjah, yang maknanya telah berkembang secara sejarah.
Definisi entropi
Entropi sistem termodinamik ditakrifkan sebagai logaritma semula jadi bagi bilangan keadaan mikro berbeza Z sepadan dengan keadaan makroskopik tertentu (contohnya, keadaan dengan jumlah tenaga tertentu).

Faktor perkadaran k dan merupakan pemalar Boltzmann. Ungkapan ini, yang mentakrifkan hubungan antara ciri mikroskopik (Z) dan makroskopik (S), menyatakan idea utama (pusat) mekanik statistik.