Contoh janjang geometri. Sentiasa berada dalam mood

Janjang geometri, bersama-sama dengan aritmetik, ialah siri nombor penting yang dipelajari dalam kursus algebra sekolah di darjah 9. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan penyebut janjang geometri, dan cara nilainya mempengaruhi sifatnya.

Definisi janjang geometri

Sebagai permulaan, kami memberikan definisi siri nombor ini. Janjang geometri ialah satu siri nombor rasional yang dibentuk dengan mendarab unsur pertamanya secara berturut-turut dengan nombor tetap yang dipanggil penyebut.

Sebagai contoh, nombor dalam siri 3, 6, 12, 24, ... adalah janjang geometri, kerana jika kita darab 3 (elemen pertama) dengan 2, kita dapat 6. Jika kita darab 6 dengan 2, kita dapat 12, dan seterusnya.

Ahli-ahli jujukan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i ialah integer yang menunjukkan nombor unsur dalam siri itu.

Takrifan janjang di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an = bn-1 * a1, dengan b ialah penyebutnya. Mudah untuk menyemak formula ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapat a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita sekali lagi sampai kepada takrifan siri nombor yang sedang dipertimbangkan. Penaakulan yang sama boleh diteruskan untuk nilai yang besar n.

Penyebut bagi janjang geometri

Nombor b sepenuhnya menentukan watak keseluruhan siri nombor itu. Penyebut b boleh menjadi positif, negatif, atau lebih besar daripada atau kurang daripada satu. Semua pilihan di atas membawa kepada urutan yang berbeza:

• b > 1. Terdapat siri nombor rasional yang semakin meningkat. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 adalah negatif, maka keseluruhan jujukan akan meningkat hanya modulo, tetapi berkurangan dengan mengambil kira tanda nombor.
• b = 1. Selalunya kes sedemikian tidak dipanggil janjang, kerana terdapat siri biasa nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlah

Sebelum meneruskan pertimbangan masalah khusus menggunakan penyebut jenis janjang yang sedang dipertimbangkan, formula penting harus diberikan untuk jumlah n unsur pertamanya. Formulanya ialah: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri jika anda mempertimbangkan urutan rekursif ahli perkembangan. Juga ambil perhatian bahawa dalam formula di atas, adalah cukup untuk mengetahui hanya unsur pertama dan penyebut untuk mencari jumlah bilangan sebutan sewenang-wenangnya.

Urutan menurun tanpa had

Di atas adalah penjelasan tentang apa itu. Sekarang, mengetahui formula untuk Sn, mari kita gunakannya pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung kepada sifar apabila dinaikkan kepada kuasa besar, iaitu, b∞ => 0 jika -1

Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan sentiasa positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda hasil tambah janjang geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda unsur pertamanya a1.

Sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa masalah, di mana kita akan menunjukkan cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh kepada nombor tertentu.

Nombor tugas 1. Pengiraan unsur yang tidak diketahui bagi janjang dan jumlahnya

Diberi janjang geometri, penyebut janjang itu ialah 2, dan unsur pertamanya ialah 3. Apakah sebutan ke-7 dan ke-10nya, dan apakah hasil tambah tujuh unsur awalnya?

Keadaan masalahnya agak mudah dan melibatkan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira unsur dengan nombor n, kita menggunakan ungkapan an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita dapat: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk ahli ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kami menggunakan formula yang terkenal untuk jumlah dan menentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri. Kami ada: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Nombor tugas 2. Menentukan jumlah unsur arbitrari janjang

Biarkan -2 ialah penyebut bagi janjang eksponen bn-1 * 4, dengan n ialah integer. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.

Masalah yang ditimbulkan tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan formula yang diketahui. Ia boleh diselesaikan dengan 2 cara berbeza. Demi kesempurnaan, kami persembahkan kedua-duanya.

Kaedah 1. Ideanya mudah: anda perlu mengira dua jumlah yang sepadan bagi sebutan pertama, dan kemudian tolak yang lain daripada satu. Kira jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita mengira jumlah yang banyak: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahawa dalam ungkapan terakhir, hanya 4 istilah telah disimpulkan, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut keadaan masalah. Akhirnya, kita ambil perbezaan: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Kaedah 2. Sebelum menggantikan nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula untuk jumlah di antara sebutan m dan n bagi siri berkenaan. Kami bertindak dengan cara yang sama seperti dalam kaedah 1, hanya kami bekerja terlebih dahulu dengan perwakilan simbolik jumlah. Kami mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda boleh menggantikan nombor yang diketahui ke dalam ungkapan yang terhasil dan mengira keputusan akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Nombor tugas 3. Apakah penyebutnya?

Biarkan a1 = 2, cari penyebut janjang geometri, dengan syarat jumlah tak terhingganya ialah 3, dan diketahui bahawa ini ialah siri nombor yang semakin berkurangan.

Mengikut keadaan masalah, tidak sukar untuk meneka formula yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah kemajuan yang semakin berkurangan. Kami mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebut: b = 1 - a1 / S∞. Ia kekal untuk menggantikan nilai yang diketahui dan mendapatkan nombor yang diperlukan: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 atau -0.333 (3). Kita boleh menyemak keputusan ini secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk jenis urutan ini, modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang anda lihat, |-1 / 3|

Nombor tugas 4. Memulihkan satu siri nombor

Biarkan 2 elemen siri nombor diberikan, contohnya, ke-5 bersamaan dengan 30 dan ke-10 bersamaan dengan 60. Ia adalah perlu untuk memulihkan keseluruhan siri daripada data ini, dengan mengetahui bahawa ia memenuhi sifat janjang geometri.

Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti menulis ungkapan yang sepadan untuk setiap ahli yang diketahui terlebih dahulu. Kami mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang kita bahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita dapat: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita tentukan penyebut dengan mengambil punca darjah kelima nisbah ahli yang diketahui daripada keadaan masalah, b = 1.148698. Kami menggantikan nombor yang terhasil ke dalam salah satu ungkapan untuk unsur yang diketahui, kami dapat: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Oleh itu, kita telah menemui apakah penyebut janjang bn, dan janjang geometri bn-1 * 17.2304966 = an, dengan b = 1.148698.

Di manakah janjang geometri digunakan?

Sekiranya tiada aplikasi siri berangka ini dalam amalan, maka kajiannya akan dikurangkan kepada kepentingan teori semata-mata. Tetapi terdapat aplikasi sedemikian.

3 contoh yang paling terkenal disenaraikan di bawah:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang tangkas tidak dapat mengejar kura-kura yang perlahan, diselesaikan menggunakan konsep urutan nombor yang semakin berkurangan.
• Jika bijirin gandum diletakkan pada setiap sel papan catur supaya 1 biji diletakkan pada sel pertama, 2 - pada sel ke-2, 3 - pada ke-3, dan seterusnya, maka 18446744073709551615 bijirin akan diperlukan untuk mengisi semua sel papan!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk menyusun semula cakera dari satu batang ke batang lain, perlu melakukan operasi 2n - 1, iaitu, bilangannya meningkat secara eksponen daripada bilangan cakera n digunakan.

Janjang geometri tidak kurang pentingnya dalam matematik berbanding dalam aritmetik. Janjang geometri ialah urutan nombor b1, b2,..., b[n] setiap ahli seterusnya yang diperoleh dengan mendarab yang sebelumnya dengan nombor tetap. Nombor ini, yang juga mencirikan kadar pertumbuhan atau penurunan perkembangan, dipanggil penyebut janjang geometri dan menandakan

Untuk tugas yang lengkap janjang geometri, sebagai tambahan kepada penyebut, adalah perlu untuk mengetahui atau menentukan sebutan pertamanya. Untuk nilai positif penyebut, janjang ialah jujukan monoton, dan jika jujukan nombor ini menurun secara monoton dan meningkat secara monoton apabila. Kes apabila penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam amalan, kerana kita mempunyai urutan nombor yang sama, dan penjumlahan mereka tidak menarik minat praktikal

Istilah umum janjang geometri dikira mengikut formula

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri ditentukan oleh formula

Mari kita pertimbangkan penyelesaian masalah janjang geometri klasik. Mari kita mulakan dengan yang paling mudah untuk difahami.

Contoh 1. Sebutan pertama janjang geometri ialah 27, dan penyebutnya ialah 1/3. Cari enam sebutan pertama suatu janjang geometri.

Penyelesaian: Kami menulis keadaan masalah dalam borang

Untuk pengiraan, kami menggunakan formula untuk ahli ke-n suatu janjang geometri

Berdasarkan itu, kami dapati ahli perkembangan yang tidak diketahui

Seperti yang anda lihat, mengira terma janjang geometri tidak sukar. Perkembangan itu sendiri akan kelihatan seperti ini

Contoh 2. Tiga ahli pertama janjang geometri diberikan: 6; -12; 24. Cari penyebut dan sebutan ketujuh.

Penyelesaian: Kami mengira penyebut janjang geometri berdasarkan takrifannya

Kami mendapat janjang geometri berselang-seli yang penyebutnya ialah -2. Sebutan ketujuh dikira dengan formula

Pada tugas ini diselesaikan.

Contoh 3. Janjang geometri diberikan oleh dua ahlinya . Cari sebutan kesepuluh bagi janjang itu.

Penyelesaian:

Mari kita tulis nilai yang diberikan melalui formula

Mengikut peraturan, adalah perlu untuk mencari penyebut, dan kemudian mencari nilai yang dikehendaki, tetapi untuk sebutan kesepuluh kita ada

Formula yang sama boleh diperolehi berdasarkan manipulasi mudah dengan data input. Kami membahagikan penggal keenam siri dengan yang lain, hasilnya kami dapat

Jika nilai yang terhasil didarab dengan sebutan keenam, kita mendapat yang kesepuluh

Oleh itu, untuk masalah sedemikian, dengan bantuan transformasi mudah menjadi cara cepat anda boleh mencari penyelesaian yang betul.

Contoh 4. Janjang geometri diberikan oleh formula berulang

Cari penyebut janjang geometri dan hasil tambah enam sebutan pertama.

Penyelesaian:

Kami menulis data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan

Ungkapkan penyebut dengan membahagikan persamaan kedua dengan yang pertama

Cari sebutan pertama janjang daripada persamaan pertama

Hitung lima sebutan berikut untuk mencari hasil tambah janjang geometri itu

Jika setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n , kemudian mereka mengatakan bahawa diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan berangka ialah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil ahli pertama urutan , nombor a 2 — ahli kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan sebagainya. Nombor a n dipanggil ahli ke- urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua ahli jiran a n Dan a n +1 urutan ahli a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), A a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda mesti menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan diberikan dengan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 Dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli jujukan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh ahli pertama urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad Dan tidak berkesudahan .

Urutan dipanggil muktamad jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan dipanggil tidak berkesudahan jika ia mempunyai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

urutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan dipanggil amaran , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ialah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ialah urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurangan dengan peningkatan bilangan, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonik, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - beberapa nombor.

Oleh itu, perbezaan antara ahli seterusnya dan sebelumnya bagi sesuatu yang diberikan janjang aritmetik sentiasa tetap:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menetapkan janjang aritmetik, cukup untuk menentukan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 3, d = 4 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaan d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh suatu janjang aritmetik

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

◄

Perhatikan bahawa n -ahli ke atas sesuatu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

Untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah ahli janjang aritmetik ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik, kesamaan adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sebab

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n ahli janjang aritmetik adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dengan bilangan sebutan:

Daripada ini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika perlu untuk menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu janjang aritmetik diberikan, maka kuantitinya a 1 , a n, d, n DanS n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

• Jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
• Jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
• Jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

janjang geometri urutan dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nombor.

Oleh itu, nisbah bagi sebutan seterusnya janjang geometri ini kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menetapkan janjang geometri, cukup untuk menentukan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n -istilah ke- boleh didapati dengan formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh suatu janjang geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelumnya dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua salah satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan penegasan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahawa n sebutan ke- janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana istilah sebelumnya b k , yang mana ia sudah memadai untuk menggunakan formula

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

Untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua mana-mana ahli janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab ahli janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri, kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

secara eksponen

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sebab

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= n.b. 1

Perhatikan bahawa jika kita perlu menjumlahkan terma

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

Sebagai contoh,

secara eksponen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu janjang geometri diberi, maka kuantitinya b 1 , b n, q, n Dan S n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotonisitas :

• perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan q> 1;

b 1 < 0 Dan 0 < q< 1;

• Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 Dan q> 1.

Jika q< 0 , maka janjang geometri adalah berselang seli: sebutan bernombor ganjilnya mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan bernombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri berselang-seli bukanlah monotonik.

Produk pertama n sebutan janjang geometri boleh dikira dengan formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang daripada 1 , itu dia

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ini sesuai dengan kes ini

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya adalah berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menjumlahkan yang pertama n syarat perkembangan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Aritmetik dan janjang geometri berkait rapat. Mari kita pertimbangkan hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . — janjang aritmetik dengan beza 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut q , Itu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄

Mari kita pertimbangkan satu siri.

7 28 112 448 1792...

Jelas sekali bahawa nilai mana-mana unsurnya betul-betul empat kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Jadi siri ini adalah satu perkembangan.

Janjang geometri ialah jujukan nombor tak terhingga ciri utama iaitu nombor seterusnya diperoleh daripada nombor sebelumnya dengan mendarab dengan beberapa nombor tertentu. Ini dinyatakan oleh formula berikut.

a z +1 =a z q, dengan z ialah nombor bagi elemen yang dipilih.

Sehubungan itu, z ∈ N.

Tempoh apabila janjang geometri dipelajari di sekolah ialah darjah 9. Contoh akan membantu anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan formula ini, penyebut janjang boleh didapati seperti berikut:

Baik q mahupun b z boleh menjadi sifar. Selain itu, setiap elemen janjang tidak boleh sama dengan sifar.

Sehubungan itu, untuk mengetahui nombor seterusnya dalam siri, anda perlu mendarab yang terakhir dengan q.

Untuk menentukan janjang ini, anda mesti menentukan elemen dan penyebutnya yang pertama. Selepas itu, adalah mungkin untuk mencari mana-mana istilah berikutnya dan jumlahnya.

Varieti

Bergantung kepada q dan a 1, janjang ini dibahagikan kepada beberapa jenis:

• Jika kedua-dua a 1 dan q lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian ialah janjang geometri yang meningkat dengan setiap elemen seterusnya. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| kurang daripada satu, iaitu, pendaraban dengannya bersamaan dengan pembahagian, maka janjang dengan keadaan yang serupa ialah janjang geometri menurun. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar daripada satu, q kurang.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti berikut:

6 2 2/3 ... - mana-mana unsur adalah 3 kali lebih besar daripada unsur yang mengikutinya.

• Pembolehubah tanda. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3 , q = -2 - kedua-dua parameter adalah kurang daripada sifar.

Kemudian urutannya boleh ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Formula

Untuk kegunaan mudah janjang geometri, terdapat banyak formula:

• Formula ahli ke-z. Membolehkan anda mengira elemen di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.

Contoh:q = 3, a 1 = 4. Ia diperlukan untuk mengira unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah unsur pertama yang nombornya ialah z. Membolehkan anda mengira jumlah semua elemen urutan sehinggaa zinklusif.

Sejak (1-q) berada dalam penyebut, maka (1 - q)≠ 0, maka q tidak sama dengan 1.

Nota: jika q=1, maka janjang itu akan menjadi satu siri nombor berulang tak terhingga.

Jumlah janjang geometri, contoh:a 1 = 2, q= -2. Kira S 5 .

Penyelesaian:S 5 = 22 - pengiraan mengikut formula.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:a 1 = 2 , q= 0.5. Cari jumlahnya.

Penyelesaian:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa sifat:

• sifat ciri. Jika syarat berikut dilakukan untuk mana-manaz, maka siri nombor yang diberikan ialah janjang geometri:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Juga, kuasa dua sebarang nombor janjang geometri ditemui dengan menambah kuasa dua mana-mana dua nombor lain dalam siri tertentu, jika jaraknya sama dari unsur ini.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Di manatialah jarak antara nombor-nombor ini.

• elemenberbeza dalam qsekali.
• Logaritma unsur janjang juga membentuk janjang, tetapi sudah menjadi aritmetik, iaitu, setiap satu daripadanya lebih besar daripada yang sebelumnya dengan nombor tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu janjang geometri, contoh dengan penyelesaian untuk gred 9 boleh membantu.

• syarat:a 1 = 3, a 3 = 48. Cariq.

Penyelesaian: setiap elemen berikutnya adalah lebih besar daripada elemen sebelumnya dalamq sekali.Ia perlu untuk menyatakan beberapa unsur melalui yang lain menggunakan penyebut.

Oleh itu,a 3 = q 2 · a 1

Apabila menggantikanq= 4

• syarat:a 2 = 6, a 3 = 12. Kira S 6 .

Penyelesaian:Untuk melakukan ini, cukup untuk mencari q, elemen pertama dan menggantikannya ke dalam formula.

a 3 = q· a 2 , oleh itu,q= 2

a 2 = q a 1,sebab tu a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Cari unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian: untuk melakukan ini, cukup untuk menyatakan unsur keempat melalui penyebut pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh permohonan:

• Pelanggan bank membuat deposit dalam jumlah 10,000 rubel, di bawah terma yang setiap tahun pelanggan akan menambah 6% daripadanya kepada jumlah prinsipal. Berapakah jumlah wang yang akan berada dalam akaun selepas 4 tahun?

Penyelesaian: Jumlah awal ialah 10 ribu rubel. Jadi, setahun selepas pelaburan, akaun akan mempunyai jumlah yang sama dengan 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Sehubungan itu, jumlah dalam akaun selepas setahun lagi akan dinyatakan seperti berikut:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali ganda. Ini bermakna bahawa untuk mencari jumlah dana dalam akaun selepas 4 tahun, cukup untuk mencari elemen keempat perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama bersamaan dengan 10 ribu, dan penyebutnya sama dengan 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Contoh tugas untuk mengira jumlah:

Dalam pelbagai masalah, janjang geometri digunakan. Contoh untuk mencari jumlah boleh diberikan seperti berikut:

a 1 = 4, q= 2, hitungS5.

Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya ke dalam formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Hitung hasil tambah enam unsur pertama.

Penyelesaian:

Geom. kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah q kali lebih besar daripada yang sebelumnya, iaitu, untuk mengira jumlah, anda perlu mengetahui elemena 1 dan penyebutq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Begitu juga, kita perlu mencaria 1 , mengetahuia 2 Danq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Janjang geometri ialah jujukan berangka, sebutan pertamanya bukan sifar, dan setiap sebutan berikutnya adalah sama dengan sebutan sebelumnya yang didarab dengan nombor bukan sifar yang sama.

Konsep janjang geometri

Janjang geometri ditandakan dengan b1,b2,b3, …, bn, … .

Nisbah mana-mana sebutan ralat geometri kepada sebutan sebelumnya adalah sama dengan nombor yang sama, iaitu, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ini mengikuti terus daripada takrifan janjang aritmetik. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri. Biasanya penyebut janjang geometri dilambangkan dengan huruf q.

Jumlah janjang geometri tak terhingga untuk |q|<1

Satu cara untuk menetapkan janjang geometri ialah menetapkan sebutan pertamanya b1 dan penyebut ralat geometri q. Contohnya, b1=4, q=-2. Kedua-dua keadaan ini memberikan janjang geometri 4, -8, 16, -32, … .

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka janjang itu ialah jujukan monoton. Contohnya, jujukan, 2, 4,8,16,32, ... ialah jujukan meningkat secara monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut q=1 dalam ralat geometri, maka semua ahli janjang geometri akan sama antara satu sama lain. Dalam kes sedemikian, perkembangan itu dikatakan sebagai urutan yang tetap.

Agar urutan berangka (bn) menjadi janjang geometri, adalah perlu bahawa setiap ahlinya, bermula dari kedua, menjadi min geometri bagi ahli jiran. Iaitu, perlu memenuhi persamaan berikut
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sebarang n>0, dengan n tergolong dalam set nombor asli N.

Sekarang mari letakkan (Xn) - janjang geometri. Penyebut bagi janjang geometri q, dengan |q|∞).
Jika kita sekarang menyatakan dengan S jumlah janjang geometri tak terhingga, maka formula berikut akan berlaku:
S=x1/(1-q).

Pertimbangkan contoh mudah:

Cari hasil tambah bagi suatu janjang geometri tak terhingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Untuk mencari S, kita menggunakan formula untuk jumlah janjang aritmetik tak terhingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.