rumah › Sistem bahan api › Buat janjang aritmetik bagi perbezaan itu. Janjang aritmetik - urutan nombor

Buat janjang aritmetik bagi perbezaan itu. Janjang aritmetik - urutan nombor

Kalkulator dalam talian.
Penyelesaian janjang aritmetik.
Diberi: a n , d, n
Cari: a 1

Program matematik ini mencari $a_1$ janjang aritmetik berdasarkan nombor yang ditentukan pengguna $a_n, d $ dan $n $.
Nombor $a_n$ dan $d $ boleh ditentukan bukan sahaja sebagai integer, tetapi juga sebagai pecahan. Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan dalam bentuk pecahan perpuluhan (\ (2.5 \)) dan dalam bentuk pecahan sepunya($-5\frac(2)(7) $).

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses mencari penyelesaian.

Kalkulator dalam talian ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah pendidikan am sebagai persediaan untuk kerja kawalan dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh melaksanakan anda latihan sendiri dan/atau melatih adik-adik lelaki atau perempuan mereka, manakala tahap pendidikan dalam bidang tugas yang perlu diselesaikan ditingkatkan.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan nombor, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan nombor

Nombor $a_n$ dan $d $ boleh ditentukan bukan sahaja sebagai integer, tetapi juga sebagai pecahan.
Nombor $n$ hanya boleh menjadi integer positif.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Bahagian integer dan pecahan dalam pecahan perpuluhan boleh dipisahkan sama ada dengan titik atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh memasukkan perpuluhan seperti 2.5 atau seperti 2.5

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Input:
Keputusan: $-\frac(2)(3) $

Bahagian integer dipisahkan daripada pecahan oleh ampersand: &
Input:
Keputusan: $-1\frac(2)(3) $

Masukkan nombor a n , d, n Cari 1

Didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Anda telah melumpuhkan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
JavaScript mesti didayakan untuk penyelesaian muncul.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan anda beratur.
Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, kemudian anda boleh menulis mengenainya dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Urutan angka

Penomboran sering digunakan dalam amalan harian. pelbagai barangan untuk menunjukkan pesanan mereka. Sebagai contoh, rumah di setiap jalan bernombor. Di perpustakaan, langganan pembaca dinomborkan dan kemudian disusun mengikut susunan nombor yang ditetapkan dalam kabinet fail khas.

Dalam bank simpanan, dengan nombor akaun peribadi penyimpan, anda boleh mencari akaun ini dengan mudah dan melihat jenis deposit yang ada. Biarkan ada deposit a1 rubles pada akaun No 1, deposit a2 rubles pada akaun No. 2, dll. Ternyata turutan berangka
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
di mana N ialah nombor semua akaun. Di sini, setiap nombor asli n dari 1 hingga N diberikan nombor a n .

Matematik juga belajar urutan nombor tak terhingga:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Nombor a 1 dipanggil ahli pertama urutan, nombor a 2 - ahli kedua bagi urutan itu, nombor a 3 - ahli ketiga urutan itu dan lain-lain.
Nombor a n dipanggil ahli ke- (nth) bagi jujukan, dan nombor asli n ialahnya nombor.

Contohnya, dalam jujukan petak nombor asli 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... dan 1 = 1 ialah ahli pertama bagi jujukan itu; dan n = n 2 ialah ahli ke- urutan; a n+1 = (n + 1) 2 ialah (n + 1)th (en tambah pertama) ahli jujukan. Selalunya urutan boleh ditentukan oleh formula sebutan ke-nnya. Sebagai contoh, formula $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ memberikan urutan $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

Janjang aritmetik

Tempoh setahun adalah lebih kurang 365 hari. Lagi nilai sebenar sama dengan $365\frac(1)(4) $ hari, jadi setiap empat tahun ralat satu hari terkumpul.

Untuk mengambil kira ralat ini, satu hari ditambahkan pada setiap tahun keempat, dan tahun yang memanjang dipanggil tahun lompat.

Sebagai contoh, dalam alaf ketiga, tahun lompat ialah 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Dalam urutan ini, setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama 4. Urutan sedemikian dipanggil janjang aritmetik.

Definisi.
Urutan berangka a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... dipanggil janjang aritmetik, jika untuk semua semula jadi n kesaksamaan
$a_(n+1) = a_n+d, $
di mana d ialah beberapa nombor.

Ia mengikuti daripada formula ini bahawa a n+1 - a n = d. Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Mengikut definisi janjang aritmetik, kita mempunyai:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
di mana
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, di mana $n>1 $

Oleh itu, setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik bagi dua anggota yang bersebelahan dengannya. Ini menerangkan nama janjang "aritmetik".

Ambil perhatian bahawa jika a 1 dan d diberikan, maka baki sebutan janjang aritmetik boleh dikira menggunakan formula rekursif a n+1 = a n + d. Dengan cara ini, tidak sukar untuk mengira beberapa istilah pertama janjang, bagaimanapun, sebagai contoh, untuk 100, banyak pengiraan akan diperlukan. Biasanya, formula istilah ke-n digunakan untuk ini. Mengikut takrifan janjang aritmetik
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
dan lain-lain.
sama sekali,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
kerana penggal ke- janjang aritmetik diperoleh daripada sebutan pertama dengan menambah (n-1) kali nombor d.
Formula ini dipanggil formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik.

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Mari kita cari hasil tambah semua nombor asli dari 1 hingga 100.
Kami menulis jumlah ini dalam dua cara:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Kami menambah kesamaan ini istilah demi istilah:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Terdapat 100 istilah dalam jumlah ini.
Oleh itu, 2S = 101 * 100, dari mana S = 101 * 50 = 5050.

Pertimbangkan sekarang janjang aritmetik sewenang-wenangnya
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Biarkan S n ialah hasil tambah n sebutan pertama janjang ini:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Kemudian hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik ialah
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

Oleh kerana $a_n=a_1+(n-1)d $, kemudian menggantikan a n dalam formula ini, kita mendapat formula lain untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersatu dan ujian OGE dalam talian Permainan, teka-teki Pembinaan graf fungsi Kamus Ejaan Bahasa Rusia Kamus slanga belia Direktori sekolah Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universiti Rusia Senarai tugas

Atau aritmetik - ini adalah jenis urutan berangka tersusun, sifat-sifatnya dipelajari dalam kursus algebra sekolah. Artikel ini membincangkan secara terperinci persoalan bagaimana mencari jumlah janjang aritmetik.

Apakah perkembangan ini?

Sebelum meneruskan pertimbangan soalan (bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik), adalah wajar memahami apa yang akan dibincangkan.

Sebarang urutan nombor nyata yang diperoleh dengan menambah (menolak) beberapa nilai daripada setiap nombor sebelumnya dipanggil janjang algebra (aritmetik). Takrifan ini, diterjemahkan ke dalam bahasa matematik, mengambil bentuk:

Di sini i ialah nombor ordinal bagi unsur siri a i . Oleh itu, mengetahui hanya satu nombor awal, anda boleh memulihkan keseluruhan siri dengan mudah. Parameter d dalam formula dipanggil perbezaan janjang.

Ia boleh ditunjukkan dengan mudah bahawa kesamaan berikut berlaku untuk siri nombor yang sedang dipertimbangkan:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Iaitu, untuk mencari nilai unsur n-th mengikut tertib, tambahkan perbezaan d kepada unsur pertama a 1 n-1 kali.

Berapakah jumlah janjang aritmetik: formula

Sebelum memberikan formula untuk jumlah yang ditunjukkan, ia patut dipertimbangkan yang mudah kes istimewa. Memandangkan janjang nombor asli dari 1 hingga 10, anda perlu mencari jumlahnya. Oleh kerana terdapat beberapa istilah dalam janjang (10), adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah secara langsung, iaitu, jumlahkan semua elemen mengikut tertib.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Perlu mempertimbangkan satu perkara yang menarik: kerana setiap istilah berbeza dari yang seterusnya dengan nilai yang sama d \u003d 1, maka penjumlahan berpasangan yang pertama dengan yang kesepuluh, yang kedua dengan yang kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama . sungguh:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang anda lihat, terdapat hanya 5 daripada jumlah ini, iaitu, tepat dua kali kurang daripada bilangan elemen dalam siri. Kemudian mendarabkan bilangan jumlah (5) dengan hasil setiap jumlah (11), anda akan sampai kepada hasil yang diperoleh dalam contoh pertama.

Jika kita umumkan hujah-hujah ini, kita boleh menulis ungkapan berikut:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahawa tidak perlu sama sekali menjumlahkan semua elemen dalam satu baris, cukup untuk mengetahui nilai a 1 dan yang terakhir a n , dan juga jumlah nombor istilah n.

Adalah dipercayai bahawa Gauss mula-mula memikirkan kesamaan ini apabila dia mencari penyelesaian kepada masalah yang ditetapkan oleh guru sekolahnya: untuk menjumlahkan 100 integer pertama.

Jumlah unsur dari m hingga n: formula

Formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya menjawab persoalan bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik (elemen pertama), tetapi selalunya dalam tugas adalah perlu untuk menjumlahkan satu siri nombor di tengah-tengah janjang. Bagaimana hendak melakukannya?

Cara paling mudah untuk menjawab soalan ini adalah dengan mempertimbangkan contoh berikut: biarlah perlu untuk mencari jumlah sebutan dari b hingga ke n. Untuk menyelesaikan masalah, segmen tertentu dari m hingga n janjang harus diwakili sebagai siri nombor baharu. Dalam apa-apa perwakilan m-th sebutan a m akan menjadi yang pertama, dan a n akan bernombor n-(m-1). Dalam kes ini, menggunakan formula standard untuk jumlah, ungkapan berikut akan diperolehi:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Contoh penggunaan formula

Mengetahui cara mencari jumlah janjang aritmetik, adalah wajar mempertimbangkan contoh mudah menggunakan formula di atas.

Di bawah ialah urutan berangka, anda harus mencari jumlah ahlinya, bermula dari ke-5 dan berakhir dengan ke-12:

Nombor yang diberikan menunjukkan bahawa perbezaan d adalah sama dengan 3. Menggunakan ungkapan untuk elemen ke-n, anda boleh mencari nilai ahli ke-5 dan ke-12 janjang itu. Kesudahannya:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Mengetahui nilai nombor pada penghujung janjang algebra yang sedang dipertimbangkan, dan juga mengetahui nombor mana dalam siri yang mereka duduki, anda boleh menggunakan formula untuk jumlah yang diperoleh dalam perenggan sebelumnya. Dapatkan:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Perlu diingat bahawa nilai ini boleh diperoleh secara berbeza: pertama, cari jumlah 12 elemen pertama menggunakan formula piawai, kemudian hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan formula yang sama, dan kemudian tolak yang kedua daripada jumlah pertama. .

Apa titik utama formula?

Formula ini membolehkan anda mencari mana-mana DENGAN NOMBORNYA" n" .

Sudah tentu, anda perlu tahu istilah pertama a 1 dan perbezaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini, anda tidak boleh menulis perkembangan tertentu.

Tidak cukup untuk menghafal (atau menipu) formula ini. Ia perlu untuk mengasimilasikan intipatinya dan menggunakan formula dalam pelbagai masalah. Ya, dan jangan lupa pada masa yang tepat, ya ...) Bagaimana tidak lupa- Saya tidak tahu. Dan di sini bagaimana untuk mengingati Jika perlu, saya akan memberi anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran hingga akhir.)

Jadi, mari kita berurusan dengan formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik.

Apakah formula secara umum - kita bayangkan.) Apakah janjang aritmetik, nombor ahli, perbezaan janjang - dinyatakan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Cuba lihat jika anda belum membacanya. Semuanya mudah di sana. Ia kekal untuk memikirkan apa ahli ke-.

kemajuan dalam Pandangan umum boleh ditulis sebagai satu siri nombor:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- menandakan sebutan pertama suatu janjang aritmetik, a 3- ahli ketiga a 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita berminat dengan penggal kelima, katakan kita sedang bekerjasama a 5, jika seratus dua puluh - daripada a 120.

Bagaimana untuk menentukan secara umum mana-mana ahli janjang aritmetik, s mana-mana nombor? Sangat ringkas! seperti ini:

a n

Itulah yang berlaku ahli ke-n suatu janjang aritmetik. Di bawah huruf n semua nombor ahli disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apakah rekod sedemikian memberi kita? Cuba fikir, bukannya nombor, mereka menulis surat ...

Tatatanda ini memberi kita alat yang berkuasa untuk bekerja dengan janjang aritmetik. Menggunakan tatatanda a n, kita boleh cari dengan cepat mana-mana ahli mana-mana janjang aritmetik. Dan banyak tugas untuk diselesaikan dalam perkembangan. Anda akan melihat lebih jauh.

Dalam formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- ahli pertama janjang aritmetik;

n- nombor ahli.

Formula memautkan parameter utama sebarang perkembangan: a n ; a 1; d Dan n. Di sekeliling parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.

Formula istilah ke-n juga boleh digunakan untuk menulis janjang tertentu. Sebagai contoh, dalam masalah boleh dikatakan bahawa perkembangan diberikan oleh syarat:

a n = 5 + (n-1) 2.

Masalah sedemikian boleh mengelirukan ... Tidak ada siri, tidak ada perbezaan ... Tetapi, membandingkan keadaan dengan formula, mudah untuk mengetahui bahawa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.

Dan ia boleh menjadi lebih marah!) Jika kita mengambil keadaan yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka kurungan dan berikan yang serupa? Kami mendapat formula baharu:

an = 3 + 2n.

ini Hanya bukan umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak perangkapnya. Sesetengah orang berpendapat bahawa penggal pertama adalah tiga. Walaupun pada hakikatnya ahli pertama adalah lima ... Lebih rendah sedikit kita akan bekerja dengan formula yang diubah suai.

Dalam tugas untuk kemajuan, terdapat satu lagi notasi - a n+1. Ini, anda rasa, sebutan "n tambah pertama" bagi janjang itu. Maksudnya mudah dan tidak berbahaya.) Ini adalah ahli janjang, bilangan yang lebih besar daripada nombor n demi satu. Sebagai contoh, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk a n penggal kelima, kemudian a n+1 akan menjadi ahli keenam. Dan lain-lain.

Selalunya sebutan a n+1 berlaku dalam formula rekursif. Jangan takut dengan perkataan yang mengerikan ini!) Ini hanyalah satu cara untuk menyatakan istilah janjang aritmetik melalui yang sebelumnya. Katakan kita diberi janjang aritmetik dalam bentuk ini, menggunakan formula berulang:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - melalui yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana untuk mengira dengan segera, katakan penggal kedua puluh, a 20? Tetapi tidak mungkin!) Walaupun penggal ke-19 tidak diketahui, penggal ke-20 tidak boleh dikira. Ini ialah perbezaan asas antara formula rekursif dan formula sebutan ke-n. Rekursif berfungsi hanya melalui sebelumnya sebutan, dan rumus sebutan ke-n - melalui pertama dan membenarkan terus cari mana-mana ahli dengan nombornya. Tidak mengira keseluruhan siri nombor mengikut tertib.

Dalam janjang aritmetik, formula rekursif dengan mudah boleh diubah menjadi formula biasa. Kira sepasang sebutan berturut-turut, hitung bezanya d, cari, jika perlu, istilah pertama a 1, tulis formula dalam bentuk biasa, dan kerjakan dengannya. Dalam GIA, tugas seperti itu sering dijumpai.

Penggunaan formula anggota ke-n suatu janjang aritmetik.

Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung formula. Pada akhir pelajaran sebelumnya terdapat masalah:

Diberi janjang aritmetik (a n). Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Masalah ini boleh diselesaikan tanpa sebarang formula, hanya berdasarkan maksud janjang aritmetik. Tambah, ya tambah ... Satu atau dua jam.)

Dan mengikut formula, penyelesaian akan mengambil masa kurang dari satu minit. Anda boleh masanya.) Kami membuat keputusan.

Syarat menyediakan semua data untuk menggunakan formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ia masih untuk dilihat apa n. Tiada masalah! Kita perlu mencari a 121. Di sini kami menulis:

Sila ambil perhatian! Daripada indeks n nombor tertentu muncul: 121. Yang agak logik.) Kami berminat dengan ahli janjang aritmetik nombor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi kami n. Ia adalah maksud ini n= 121 kita akan menggantikan lebih jauh ke dalam formula, dalam kurungan. Gantikan semua nombor dalam formula dan hitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu sahaja yang ada. Secepat seseorang dapat mencari ahli lima ratus sepuluh, dan seribu tiga, mana-mana. Kami meletakkan sebaliknya n nombor yang dikehendaki dalam indeks huruf " a" dan dalam kurungan, dan kami pertimbangkan.

Biar saya ingatkan anda intipati: formula ini membolehkan anda mencari mana-mana sebutan janjang aritmetik DENGAN NOMBORNYA" n" .

Jom selesaikan masalah dengan lebih bijak. Katakan kita mempunyai masalah berikut:

Cari sebutan pertama janjang aritmetik (a n) jika a 17 =-2; d=-0.5.

Jika anda mempunyai sebarang kesulitan, saya akan mencadangkan langkah pertama. Tuliskan rumus bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik! Ya Ya. Tulis tangan, betul-betul dalam buku nota anda:

a n = a 1 + (n-1)d

Dan sekarang, melihat huruf formula, kami memahami data apa yang kami ada dan apa yang hilang? Tersedia d=-0.5, ada ahli ketujuh belas ... Semuanya? Jika anda fikir itu sahaja, maka anda tidak boleh menyelesaikan masalah, ya ...

Kami juga mempunyai nombor n! Dalam keadaan a 17 =-2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah kedua-dua nilai ahli ketujuh belas (-2) dan nombornya (17). Itu. n=17."Perkara kecil" ini sering tergelincir melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "perkara kecil", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Walaupun ... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita boleh menggantikan data kita dengan bodoh ke dalam formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Oh ya, a 17 kami tahu ia -2. Baiklah, mari kita masukkan:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Itu, pada dasarnya, adalah semua. Ia kekal untuk menyatakan sebutan pertama janjang aritmetik daripada formula, dan mengira. Anda mendapat jawapannya: a 1 = 6.

Teknik sedemikian - menulis formula dan hanya menggantikan data yang diketahui - banyak membantu dalam tugasan mudah. Nah, anda mesti, sudah tentu, dapat menyatakan pembolehubah daripada formula, tetapi apa yang perlu dilakukan!? Tanpa kemahiran ini, matematik tidak boleh dipelajari sama sekali ...

Satu lagi masalah popular:

Cari beza janjang aritmetik (a n) jika a 1 =2; a 15 =12.

Apa yang kita buat? Anda akan terkejut, kami menulis formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Pertimbangkan apa yang kita tahu: a 1 =2; a 15 =12; dan (sorotan istimewa!) n=15. Jangan ragu untuk menggantikan dalam formula:

12=2 + (15-1)d

Mari kita buat aritmetik.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ini adalah jawapan yang betul.

Jadi, tugasan a n , a 1 Dan d memutuskan. Ia kekal untuk belajar bagaimana untuk mencari nombor:

Nombor 99 ialah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 =12; d=3. Cari nombor ahli ini.

Kami menggantikan kuantiti yang diketahui ke dalam formula sebutan ke-n:

a n = 12 + (n-1) 3

Pada pandangan pertama, terdapat dua kuantiti yang tidak diketahui di sini: a n dan n. Tetapi a n ialah beberapa ahli janjang dengan nombor itu n... Dan ahli kemajuan ini kami tahu! Ini 99. Kami tidak tahu nombornya. n, jadi nombor ini juga perlu dicari. Gantikan sebutan janjang 99 ke dalam formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami menyatakan dari formula n, kami fikir. Kami mendapat jawapannya: n=30.

Dan kini masalah mengenai topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan sama ada nombor 117 akan menjadi ahli janjang aritmetik (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita tulis semula formulanya. Apa, tiada pilihan? Hm... Kenapa kita perlukan mata?) Adakah kita nampak ahli pertama perkembangan? Kita lihat. Ini ialah -3.6. Anda boleh menulis dengan selamat: a 1 \u003d -3.6. Beza d boleh ditentukan dari siri? Ia mudah jika anda tahu perbezaan janjang aritmetik:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Ya, kami melakukan perkara yang paling mudah. Ia kekal untuk berurusan dengan nombor yang tidak diketahui n dan nombor yang tidak dapat difahami 117. Dalam masalah sebelum ini, sekurang-kurangnya diketahui bahawa ia adalah istilah janjang yang diberikan. Tetapi di sini kita tidak tahu bahawa ... Bagaimana untuk menjadi!? Nah, bagaimana untuk menjadi, bagaimana untuk menjadi... Hidupkan Kemahiran kreatif!)

Kami andaikan bahawa 117 adalah, selepas semua, ahli kemajuan kita. Dengan nombor yang tidak dikenali n. Dan, sama seperti dalam masalah sebelum ini, mari kita cuba mencari nombor ini. Itu. kami menulis formula (ya-ya!)) dan menggantikan nombor kami:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Sekali lagi kami nyatakan dari formulan, kita mengira dan mendapat:

Aduh! Nombor itu ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan nombor pecahan dalam janjang tidak boleh. Apakah kesimpulan yang kita buat? Ya! Nombor 117 tidak ahli kemajuan kami. Ia berada di antara ahli ke-101 dan ke-102. Jika nombor itu ternyata semula jadi, i.e. integer positif, maka nombor itu akan menjadi ahli janjang dengan nombor yang ditemui. Dan dalam kes kami, jawapan kepada masalah itu ialah: Tidak.

Tugas berdasarkan versi sebenar GIA:

Janjang aritmetik diberikan dengan syarat:

a n \u003d -4 + 6.8n

Cari sebutan pertama dan sebutan kesepuluh bagi janjang itu.

Di sini perkembangan ditetapkan dengan cara yang luar biasa. Beberapa jenis formula ... Ia berlaku.) Walau bagaimanapun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik! Dia juga membenarkan cari mana-mana ahli janjang itu mengikut nombornya.

Kami sedang mencari ahli pertama. Orang yang berfikir. bahawa sebutan pertama tolak empat, adalah tersilap maut!) Kerana formula dalam masalah diubah suai. Sebutan pertama janjang aritmetik di dalamnya tersembunyi. Tiada apa-apa, kami akan mencarinya sekarang.)

Sama seperti dalam tugas-tugas sebelumnya, kami menggantikan n=1 ke dalam formula ini:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

Di sini! Penggal pertama ialah 2.8, bukan -4!

Begitu juga, kami sedang mencari penggal kesepuluh:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Itu sahaja yang ada.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca sehingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Katakan, dalam situasi pertempuran sukar GIA atau Peperiksaan Negeri Bersatu, anda terlupa formula berguna ahli ke-n bagi janjang aritmetik. Sesuatu terlintas di fikiran, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Sama ada n di sana, atau n+1, atau n-1... Macam mana nak jadi!?

Tenang! Formula ini mudah diperolehi. Tidak terlalu ketat, tetapi sudah pasti cukup untuk keyakinan dan keputusan yang tepat!) Untuk kesimpulannya, cukup untuk mengingati makna asas janjang aritmetik dan mempunyai beberapa minit masa. Anda hanya perlu melukis gambar. Untuk kejelasan.

Kami melukis paksi berangka dan menandakan yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dsb. ahli. Dan perhatikan perbezaannya d antara ahli. seperti ini:

Kami melihat gambar dan berfikir: apakah istilah kedua bersamaan? Kedua satu d:

a 2 =a 1 + 1 d

Apakah penggal ketiga? Ketiga penggal bersamaan penggal pertama tambah dua d.

a 3 =a 1 + 2 d

Adakah anda faham? Saya tidak meletakkan beberapa perkataan dalam huruf tebal secara percuma. Okay, satu langkah lagi.)

Apakah penggal keempat? Keempat penggal bersamaan penggal pertama tambah tiga d.

a 4 =a 1 + 3 d

Sudah tiba masanya untuk menyedari bahawa bilangan jurang, i.e. d, Sentiasa kurang satu daripada bilangan ahli yang anda cari n. Iaitu, sehingga bilangannya n, bilangan jurang kehendak n-1. Jadi, formulanya ialah (tiada pilihan!):

a n = a 1 + (n-1)d

Secara umumnya, gambar visual sangat membantu dalam menyelesaikan banyak masalah dalam matematik. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sukar untuk melukis gambar, maka ... hanya formula!) Di samping itu, formula istilah ke-n membolehkan anda menyambungkan seluruh senjata matematik yang berkuasa kepada penyelesaian - persamaan, ketidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak boleh meletakkan gambar dalam persamaan...

Tugas untuk keputusan bebas.

Untuk memanaskan badan:

1. Dalam janjang aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Cari 3 .

Petunjuk: mengikut gambar, masalah diselesaikan dalam 20 saat ... Mengikut formula, ternyata lebih sukar. Tetapi untuk menguasai formula, ia lebih berguna.) Dalam Bahagian 555, masalah ini diselesaikan dengan gambar dan formula. Rasai kelainannya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam janjang aritmetik (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Cari sebuah 3 .

Apa, keengganan untuk melukis gambar?) Masih! Ia lebih baik dalam formula, ya ...

3. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari sebutan seratus dua puluh lima janjang ini.

Dalam tugasan ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tetapi mengira sehingga penggal seratus dua puluh lima... Tidak semua orang boleh melakukan pencapaian seperti itu.) Tetapi formula penggal ke-n adalah dalam kuasa semua orang!

4. Diberi janjang aritmetik (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Cari nombor sebutan positif terkecil bagi janjang itu.

5. Mengikut keadaan tugasan 4, cari jumlah ahli negatif terkecil dan negatif terbesar bagi janjang itu.

6. Hasil darab sebutan kelima dan kedua belas bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat ialah -2.5, dan hasil tambah sebutan ketiga dan kesebelas ialah sifar. Cari 14 .

Bukan tugas yang paling mudah, ya ...) Di sini kaedah "pada jari" tidak akan berfungsi. Anda perlu menulis formula dan menyelesaikan persamaan.

Jawapan (bercelaru):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Terjadi? Bagus!)

Tidak semuanya berjaya? berlaku. By the way, dalam tugasan terakhir terdapat satu perkara yang halus. Perhatian semasa membaca masalah akan diperlukan. Dan logik.

Penyelesaian kepada semua masalah ini dibincangkan secara terperinci dalam Bahagian 555. Dan elemen fantasi untuk keempat, dan momen halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk menyelesaikan sebarang masalah untuk formula istilah ke-n - semuanya dicat. saya syorkan.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Ya, ya: janjang aritmetik bukan mainan untuk anda :)

Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, maka bukti topi dalaman memberitahu saya bahawa anda masih tidak tahu apa itu janjang aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke perniagaan.

Sebagai permulaan, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set nombor:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apakah persamaan kesemua set ini? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap satu lebih daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara nombor bersebelahan sudah sama dengan lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, terdapat akar secara umum. Walau bagaimanapun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, manakala $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. dalam kes ini setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).

Jadi: semua jujukan tersebut hanya dipanggil janjang aritmetik. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Urutan nombor di mana setiap seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama dipanggil janjang aritmetik. Jumlah perbezaan nombor dipanggil perbezaan janjang dan paling kerap dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ ialah janjang itu sendiri, $d$ ialah perbezaannya.

Dan hanya beberapa kenyataan penting. Pertama, kemajuan dianggap sahaja teratur urutan nombor: mereka dibenarkan untuk dibaca dengan ketat mengikut urutan yang ditulis - dan tidak ada yang lain. Anda tidak boleh menyusun semula atau menukar nombor.

Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas merupakan janjang aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah kemajuan yang tidak terhingga. Elipsis selepas empat, seolah-olah, membayangkan bahawa agak banyak nombor pergi lebih jauh. Tidak terhingga banyak, contohnya. :)

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan semakin meningkat dan menurun. Kita telah melihat peningkatan - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut ialah contoh perkembangan menurun:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi yang lain, saya fikir, anda faham. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baharu:

Definisi. Janjang aritmetik dipanggil:

meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada yang sebelumnya;

menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Di samping itu, terdapat urutan yang dipanggil "pegun" - ia terdiri daripada nombor berulang yang sama. Contohnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu soalan yang tinggal: bagaimana untuk membezakan kemajuan yang semakin meningkat daripada yang semakin berkurangan? Nasib baik, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda nombor $d$, i.e. perbezaan perkembangan:

Jika $d \gt 0$, maka janjang itu meningkat;
Jika $d \lt 0$, maka kemajuan itu jelas berkurangan;
Akhirnya, terdapat kes $d=0$ — dalam kes ini keseluruhan janjang dikurangkan kepada urutan pegun nombor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...), dsb.

Mari cuba kira perbezaan $d$ untuk tiga janjang menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil mana-mana dua elemen bersebelahan (contohnya, yang pertama dan kedua) dan tolak daripada nombor di sebelah kanan, nombor di sebelah kiri. Ia akan kelihatan seperti ini:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang anda lihat, dalam ketiga-tiga kes perbezaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita mengetahui lebih kurang definisinya, sudah tiba masanya untuk mengetahui cara perkembangan diterangkan dan sifat yang dimilikinya.

Ahli perkembangan dan formula berulang

Oleh kerana unsur-unsur jujukan kami tidak boleh ditukar ganti, ia boleh dinomborkan:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \kanan$\]

Elemen individu set ini dipanggil ahli janjang. Mereka ditunjukkan dengan cara ini dengan bantuan nombor: ahli pertama, ahli kedua, dan seterusnya.

Di samping itu, seperti yang telah kita ketahui, ahli jiran perkembangan dikaitkan dengan formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Anak panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ringkasnya, untuk mencari sebutan $n$th bagi janjang, anda perlu mengetahui sebutan $n-1$th dan perbezaan $d$. Formula sedemikian dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda boleh mencari sebarang nombor, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya, semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula yang lebih rumit yang mengurangkan sebarang pengiraan kepada sebutan pertama dan perbezaan:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemui formula ini sebelum ini. Mereka suka memberikannya dalam semua jenis buku rujukan dan reshebnik. Dan dalam mana-mana buku teks yang masuk akal mengenai matematik, ia adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya cadangkan anda berlatih sedikit.

Tugas nombor 1. Tuliskan tiga sebutan pertama janjang aritmetik $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Penyelesaian. Jadi, kita tahu sebutan pertama $((a)_(1))=8$ dan perbezaan janjang $d=-5$. Mari kita gunakan formula yang baru diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Jawapan: (8; 3; -2)

Itu sahaja! Perhatikan bahawa perkembangan kami semakin berkurangan.

Sudah tentu, $n=1$ tidak boleh digantikan - kita sudah tahu istilah pertama. Walau bagaimanapun, dengan menggantikan unit, kami memastikan bahawa walaupun untuk penggal pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, semuanya bermuara kepada aritmetik cetek.

Tugas nombor 2. Tulis tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika sebutan ketujuhnya ialah −40 dan sebutan ketujuh belasnya ialah −50.

Penyelesaian. Kami menulis keadaan masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \betul.\]

Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Dan sekarang kita perhatikan bahawa jika kita menolak persamaan pertama dari persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), kita mendapat ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Sama seperti itu, kami mendapati perbezaan kemajuan! Ia kekal untuk menggantikan nombor yang ditemui dalam mana-mana persamaan sistem. Sebagai contoh, dalam yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, mengetahui sebutan pertama dan perbezaannya, ia masih perlu mencari sebutan kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

sedia! Masalah selesai.

Jawapan: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat ingin tahu bagi janjang yang kami temui: jika kita mengambil sebutan $n$th dan $m$th dan menolaknya antara satu sama lain, kami mendapat perbezaan janjang itu didarab dengan nombor $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Simple tapi sangat harta yang berguna, yang pasti anda perlu tahu - dengan bantuannya anda boleh mempercepatkan penyelesaian banyak masalah dalam perkembangan dengan ketara. Berikut adalah contoh utama ini:

Tugas nombor 3. Sebutan kelima janjang aritmetik ialah 8.4, dan sebutan kesepuluhnya ialah 14.4. Cari sebutan kelima belas janjang ini.

Penyelesaian. Oleh kerana $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kami perlu mencari $((a)_(15))$, kami perhatikan berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita ada:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Jawapan: 20.4

Itu sahaja! Kami tidak perlu mengarang mana-mana sistem persamaan dan mengira sebutan pertama dan perbezaan - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan satu lagi jenis masalah - pencarian ahli negatif dan positif perkembangan. Bukan rahsia lagi bahawa jika janjang meningkat, manakala sebutan pertamanya negatif, maka lambat laun istilah positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat perkembangan yang semakin berkurangan lambat laun akan menjadi negatif.

Pada masa yang sama, tidak mungkin untuk mencari detik ini "di dahi", menyusun unsur-unsur secara berurutan. Selalunya, masalah direka bentuk sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui formula, pengiraan akan mengambil beberapa helaian - kami hanya akan tertidur sehingga kami menemui jawapannya. Oleh itu, kami akan cuba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas nombor 4. Berapa banyak sebutan negatif dalam janjang aritmetik -38.5; -35.8; …?

Penyelesaian. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, yang mana kita akan segera mencari perbezaannya:

Perhatikan bahawa perbezaannya adalah positif, jadi perkembangannya semakin meningkat. Penggal pertama adalah negatif, jadi sememangnya pada satu ketika kita akan tersandung pada nombor positif. Satu-satunya persoalan ialah bila ini akan berlaku.

Mari cuba cari: berapa lama (iaitu, sehingga nombor asli $n$) negatif istilah itu dikekalkan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\maks ))=15. \\ \end(align)\]

Baris terakhir memerlukan penjelasan. Jadi kita tahu bahawa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sebaliknya, hanya nilai integer nombor yang sesuai dengan kita (lebih-lebih lagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi nombor yang dibenarkan terbesar adalah tepat $n=15$, dan dalam kes tidak 16.

Tugas nombor 5. Dalam janjang aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Cari nombor sebutan positif pertama bagi janjang ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama seperti yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah jiran diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita boleh mencari perbezaan janjang dengan mudah:

Di samping itu, mari kita cuba untuk menyatakan sebutan kelima dari segi yang pertama dan perbezaan menggunakan formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mengetahui pada titik mana dalam urutan nombor positif kami akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Anak panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Penyelesaian integer minimum bagi ketaksamaan ini ialah nombor 56.

Sila ambil perhatian bahawa dalam tugasan terakhir semuanya telah dikurangkan kepada ketidaksamaan yang ketat, jadi pilihan $n=55$ tidak sesuai dengan kami.

Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama-tama, mari kita pelajari satu lagi sifat janjang aritmetik yang sangat berguna, yang akan menjimatkan banyak masa dan sel yang tidak sama pada masa hadapan. :)

Min aritmetik dan inden sama

Pertimbangkan beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari cuba tandakan mereka pada garis nombor:

Ahli janjang aritmetik pada garis nombor

Saya secara khusus menyatakan ahli sewenang-wenangnya $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan sebarang $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dsb. Kerana peraturan, yang sekarang saya akan beritahu anda, berfungsi sama untuk mana-mana "segmen".

Dan peraturannya sangat mudah. Mari kita ingat formula rekursif dan tuliskannya untuk semua ahli yang ditanda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Walau bagaimanapun, persamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Nah, jadi apa? Tetapi hakikat bahawa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini bersamaan dengan $d$. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - ia juga dikeluarkan daripada $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama bersamaan dengan $2d$. Anda boleh meneruskan selama-lamanya, tetapi gambar menggambarkan maksud dengan baik

Ahli-ahli perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apakah maknanya bagi kita? Ini bermakna anda boleh mencari $((a)_(n))$ jika nombor jiran diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang mengagumkan: setiap ahli janjang aritmetik adalah sama dengan min aritmetik ahli jiran! Selain itu, kita boleh menyimpang dari $((a)_(n))$ kami ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan formulanya tetap betul:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita boleh mencari beberapa $((a)_(150))$ dengan mudah jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, kerana $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, nampaknya fakta ini tidak memberi kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak tugasan "diasah" khas untuk penggunaan min aritmetik. Tengoklah:

Tugas nombor 6. Cari semua nilai $x$ supaya nombor $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ ialah ahli berturut-turut bagi janjang aritmetik (dalam susunan tertentu).

Penyelesaian. Oleh kerana nombor ini adalah ahli janjang, keadaan min aritmetik dipenuhi untuk mereka: unsur pusat $x+1$ boleh dinyatakan dalam sebutan unsur jiran:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ia ternyata klasik persamaan kuadratik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawapannya.

Jawapan: -3; 2.

Tugas nombor 7. Cari nilai $$ supaya nombor $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk janjang aritmetik (dalam susunan itu).

Penyelesaian. Sekali lagi, kami menyatakan istilah tengah dari segi min aritmetik bagi istilah jiran:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Satu lagi persamaan kuadratik. Dan sekali lagi dua punca: $x=6$ dan $x=1$.

Jawapan: 1; 6.

Jika dalam proses menyelesaikan masalah anda mendapat beberapa nombor yang kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang ketepatan jawapan yang ditemui, maka terdapat helah hebat yang membolehkan anda menyemak: adakah kami menyelesaikan masalah dengan betul?

Katakan dalam masalah 6 kita mendapat jawapan -3 dan 2. Bagaimanakah kita boleh menyemak bahawa jawapan ini betul? Mari kita pasangkannya ke dalam keadaan asal dan lihat apa yang berlaku. Biar saya ingatkan anda bahawa kita mempunyai tiga nombor ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang sepatutnya membentuk janjang aritmetik. Gantikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Kami mendapat nombor -54; −2; 50 yang berbeza dengan 52 sudah pasti merupakan janjang aritmetik. Perkara yang sama berlaku untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Sekali lagi janjang, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu diselesaikan dengan betul. Mereka yang mahu boleh menyemak tugas kedua sendiri, tetapi saya akan katakan dengan segera: semuanya betul di sana juga.

Secara umum, semasa menyelesaikan tugasan terakhir, kami terjumpa yang lain fakta menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga nombor adalah seperti yang kedua adalah purata yang pertama dan terakhir, maka nombor ini membentuk janjang aritmetik.

Pada masa hadapan, memahami kenyataan ini akan membolehkan kita "membina" secara literal perkembangan yang diperlukan berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "pembinaan" sedemikian, kita harus memberi perhatian kepada satu lagi fakta, yang secara langsung mengikuti apa yang telah dipertimbangkan.

Pengumpulan dan jumlah unsur

Mari kita kembali ke garis nombor semula. Kami perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak ahli lain:

6 elemen yang ditanda pada garis nombor

Mari cuba nyatakan "ekor kiri" dalam sebutan $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam sebutan $((a)_(k))$ dan $ d$. Ia sangat mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sekarang ambil perhatian bahawa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Ringkasnya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen janjang, yang secara keseluruhannya adalah sama dengan beberapa nombor $S$, dan kemudian kita mula melangkah dari unsur-unsur ini ke arah yang bertentangan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah unsur yang akan kita temui juga akan sama$S$. Ini boleh diwakili dengan terbaik secara grafik:

Inden yang sama memberikan jumlah yang sama

Kefahaman fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah secara lebih asas tahap tinggi kerumitan daripada yang dibincangkan di atas. Sebagai contoh, ini:

Tugas nombor 8. Tentukan beza janjang aritmetik di mana sebutan pertama ialah 66, dan hasil darab sebutan kedua dan kedua belas adalah terkecil yang mungkin.

Penyelesaian. Mari kita tulis semua yang kita tahu:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Jadi, kita tidak tahu perbezaan janjang $d$. Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian akan dibina di sekeliling perbezaan, kerana produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ boleh ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya telah mengambil faktor sepunya 11 daripada kurungan kedua. Oleh itu, hasil darab yang dikehendaki ialah fungsi kuadratik berkenaan dengan pembolehubah $d$. Oleh itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafnya akan menjadi parabola dengan cawangan ke atas, kerana jika kita membuka kurungan, kita mendapat:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, pekali pada sebutan tertinggi ialah 11 - ini nombor positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

graf fungsi kuadratik - parabola
Sila ambil perhatian: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada puncaknya dengan abscissa $((d)_(0))$. Sudah tentu, kita boleh mengira absis ini mengikut skema standard (terdapat formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi lebih munasabah untuk ambil perhatian bahawa bucu yang dikehendaki terletak pada simetri paksi parabola, jadi titik $((d)_(0))$ adalah sama jarak dari punca persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Itulah sebabnya saya tidak tergesa-gesa untuk membuka kurungan: dalam bentuk asal, akarnya sangat, sangat mudah dicari. Oleh itu, absis adalah sama dengan min aritmetik bagi nombor −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nombor yang ditemui? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil(Dengan cara ini, kami tidak mengira $((y)_(\min ))$ - kami tidak perlu melakukan ini). Pada masa yang sama, nombor ini ialah perbezaan janjang awal, i.e. kami jumpa jawapannya. :)

Jawapan: -36

Tugas nombor 9. Masukkan tiga nombor antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ supaya bersama-sama dengan nombor yang diberi ia membentuk satu janjang aritmetik.

Penyelesaian. Sebenarnya, kita perlu membuat urutan lima nombor, dengan yang pertama dan nombor terakhir sudah diketahui. Nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ambil perhatian bahawa nombor $y$ ialah "tengah" jujukan kami - ia adalah sama jarak dari nombor $x$ dan $z$, dan daripada nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari nombor $x$ dan $z$ kita masuk masa ini kita tidak dapat $y$, maka keadaannya berbeza dengan penghujung janjang. Ingat maksud aritmetik:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari nombor yang tinggal. Ambil perhatian bahawa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru ditemui. sebab tu

Berhujah sama, kita dapati nombor yang tinggal:

sedia! Kami menjumpai ketiga-tiga nombor. Mari kita tuliskannya dalam jawapan mengikut susunan yang harus disisipkan di antara nombor asal.

Jawapan: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nombor 10. Di antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang, bersama-sama dengan nombor yang diberikan, membentuk janjang aritmetik, jika diketahui bahawa jumlah nombor pertama, kedua, dan terakhir daripada nombor yang dimasukkan ialah 56.

Penyelesaian. Tugas yang lebih sukar, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui min aritmetik. Masalahnya ialah kita tidak tahu berapa banyak nombor yang perlu dimasukkan. Oleh itu, untuk kepastian, kami mengandaikan bahawa selepas memasukkan akan ada tepat $n$ nombor, dan yang pertama daripadanya ialah 2, dan yang terakhir ialah 42. Dalam kes ini, janjang aritmetik yang dikehendaki boleh diwakili sebagai:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa nombor $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh daripada nombor 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain , iaitu . ke tengah urutan. Dan ini bermakna

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tetapi ungkapan di atas boleh ditulis semula seperti ini:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita boleh mencari perbezaan janjang dengan mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Anak panah kanan d=5. \\ \end(align)\]

Ia kekal hanya untuk mencari ahli yang tinggal:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai ke hujung kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhan, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugasan teks dengan janjang

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang agak mudah. Nah, yang mudah: bagi kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan belum membaca apa yang ditulis di atas, tugasan ini mungkin kelihatan seperti isyarat. Walau bagaimanapun, tugas-tugas sebegitu tepat yang ditemui dalam OGE dan USE dalam matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Tugas nombor 11. Pasukan itu menghasilkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka menghasilkan 14 bahagian lebih banyak daripada yang sebelumnya. Berapakah bahagian yang dihasilkan oleh briged pada bulan November?

Penyelesaian. Jelas sekali, bilangan bahagian, dicat mengikut bulan, akan menjadi janjang aritmetik yang semakin meningkat. Dan:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ialah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh itu, 202 bahagian akan dikeluarkan pada bulan November.

Tugas nombor 12. Bengkel penjilidan buku mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan setiap bulan ia mengikat 4 buku lagi daripada bulan sebelumnya. Berapakah bilangan buku yang diikat oleh bengkel itu pada bulan Disember?

Penyelesaian. Semuanya sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Disember ialah bulan ke-12 yang terakhir dalam tahun ini, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ini jawapannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Disember.

Nah, jika anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam janjang aritmetik. Anda boleh pergi dengan selamat pelajaran seterusnya, di mana kita akan mengkaji formula jumlah kemajuan, serta akibat penting dan sangat berguna daripadanya.

Jika setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n , kemudian mereka mengatakan bahawa diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan berangka ialah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil ahli pertama urutan , nombor a 2 — ahli kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan sebagainya. Nombor a n dipanggil ahli ke-n bagi urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua ahli jiran a n Dan a n +1 urutan ahli a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), A a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda mesti menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan diberikan dengan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 Dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli jujukan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh ahli pertama urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad Dan tidak berkesudahan .

Urutan dipanggil muktamad jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan dipanggil tidak berkesudahan jika ia mempunyai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

urutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan dipanggil amaran , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ialah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ialah urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurangan dengan peningkatan bilangan, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonik, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - beberapa nombor.

Oleh itu, perbezaan antara ahli seterusnya dan sebelumnya bagi janjang aritmetik yang diberikan sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menetapkan janjang aritmetik, cukup untuk menentukan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 3, d = 4 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaan d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh suatu janjang aritmetik

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

a n=	a n-1 + a n+1
	2

setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Perhatikan bahawa n -ahli ke atas sesuatu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

Untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

a n=	a n-k +a n+k
	2

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah ahli janjang aritmetik ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik, kesamaan adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kerana

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n ahli janjang aritmetik adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dengan bilangan sebutan:

Daripada ini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika perlu untuk menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu janjang aritmetik diberikan, maka kuantitinya a 1 , a n, d, n DanS n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

Jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
Jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
Jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

janjang geometri urutan dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nombor.

Oleh itu, nisbah bagi sebutan seterusnya janjang geometri ini kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menetapkan janjang geometri, cukup untuk menentukan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n -istilah ke- boleh didapati dengan formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh suatu janjang geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelumnya dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua salah satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan penegasan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahawa n sebutan ke- janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana istilah sebelumnya b k , yang mana ia sudah memadai untuk menggunakan formula

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

Untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua mana-mana anggota janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab ahli janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri, kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

secara eksponen

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kerana

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= n.b. 1

Perhatikan bahawa jika kita perlu menjumlahkan terma

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

secara eksponen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika diberi janjang geometri, kemudian kuantiti b 1 , b n, q, n Dan S n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotonisitas :

perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan q> 1;

b 1 < 0 Dan 0 < q< 1;

Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 Dan q> 1.

Jika q< 0 , maka janjang geometri adalah berselang seli: sebutan bernombor ganjilnya mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan bernombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri berselang-seli bukanlah monotonik.

Produk pertama n sebutan janjang geometri boleh dikira dengan formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang daripada 1 , itu dia

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ini sesuai dengan kes ini

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya adalah berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menjumlahkan yang pertama n syarat perkembangan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula