Formula untuk perbezaan janjang aritmetik. Jumlah sebutan-n pertama suatu janjang aritmetik

Janjang aritmetik namakan urutan nombor (ahli janjang)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan istilah keluli, yang juga dipanggil perbezaan langkah atau kemajuan.

Oleh itu, dengan menetapkan langkah janjang dan sebutan pertamanya, anda boleh mencari mana-mana elemennya menggunakan formula

Sifat sesuatu janjang aritmetik

1) Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari nombor kedua, ialah min aritmetik ahli janjang sebelumnya dan seterusnya

Begitu juga sebaliknya. Jika min aritmetik bagi ahli ganjil (genap) jiran bagi janjang itu adalah sama dengan ahli yang berdiri di antara mereka, maka jujukan nombor ini ialah janjang aritmetik. Dengan penegasan ini adalah sangat mudah untuk menyemak sebarang urutan.

Juga dengan sifat janjang aritmetik, formula di atas boleh digeneralisasikan kepada yang berikut

Ini mudah untuk disahkan jika kita menulis syarat di sebelah kanan tanda sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam masalah.

2) Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik dikira dengan formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah janjang aritmetik, ia amat diperlukan dalam pengiraan dan agak biasa dalam situasi kehidupan yang mudah.

3) Jika anda perlu mencari bukan keseluruhan jumlah, tetapi sebahagian daripada jujukan bermula dari ahli ke-knya, maka formula jumlah berikut akan berguna dalam diri anda

4) Adalah menarik minat praktikal untuk mencari jumlah n ahli suatu janjang aritmetik bermula dari nombor k. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Mengenai ini bahan teori berakhir dan kami meneruskan untuk menyelesaikan masalah praktikal biasa.

Contoh 1. Cari sebutan keempat puluh janjang aritmetik 4;7;...

Penyelesaian:

Mengikut syarat, kita ada

Tentukan langkah kemajuan

Menurut formula yang terkenal, kita dapati sebutan keempat puluh janjang itu

Contoh2. Janjang aritmetik diberikan oleh ahli ketiga dan ketujuhnya. Cari sebutan pertama janjang itu dan hasil tambah sepuluh.

Penyelesaian:

Kami menulis unsur-unsur janjang yang diberikan mengikut formula

Kita tolak persamaan pertama daripada persamaan kedua, sebagai hasilnya kita dapati langkah janjang

Nilai yang ditemui digantikan ke dalam mana-mana persamaan untuk mencari sebutan pertama janjang aritmetik

Hitung hasil tambah sepuluh sebutan pertama janjang itu

Tanpa menggunakan pengiraan yang rumit, kami menemui semua nilai yang diperlukan.

Contoh 3. Janjang aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu ahlinya. Cari sebutan pertama janjang itu, hasil tambah 50 sebutannya bermula daripada 50, dan hasil tambah 100 yang pertama.

Penyelesaian:

Mari kita tulis formula untuk unsur keseratus janjang itu

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati sebutan ke-50 janjang itu

Mencari hasil tambah bahagian janjang itu

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah janjang itu ialah 250.

Contoh 4

Cari bilangan ahli janjang aritmetik jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Penyelesaian:

Kami menulis persamaan dari segi sebutan pertama dan langkah janjang dan mentakrifkannya

Kami menggantikan nilai yang diperolehi ke dalam formula jumlah untuk menentukan bilangan sebutan dalam jumlah itu

Membuat penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadratik

Daripada dua nilai yang ditemui, hanya nombor 8 yang sesuai untuk keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan sebutan pertama janjang itu ialah 111.

Contoh 5

selesaikan persamaan

1+3+5+...+x=307.

Penyelesaian: Persamaan ini ialah jumlah janjang aritmetik. Kami menulis sebutan pertamanya dan mencari perbezaan janjangnya

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari peringkat rendah hingga agak kukuh.

Pertama, mari kita berurusan dengan maksud dan formula jumlah. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah adalah semudah merendahkan. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua ahlinya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak ... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula menjimatkan.

Formula jumlahnya mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan menjelaskan banyak perkara.

S n ialah hasil tambah suatu janjang aritmetik. Hasil penambahan semua ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ia penting. Tambah tepat Semua ahli dalam satu baris, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan lima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. nombor terakhir barisan. Bukan nama yang sangat biasa, tetapi, apabila digunakan pada jumlahnya, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n ialah nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan ahli yang ditambah.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Pengisian soalan: jenis ahli yang akan terakhir, jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?

Untuk jawapan yang yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan ... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah tertentu yang terhad cuma tak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira jenis kemajuan yang diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: dengan satu siri nombor, atau dengan formula ahli ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya ... Tetapi tiada apa-apa, dalam contoh di bawah kami akan mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan untuk jumlah janjang aritmetik.

Pertama sekali, maklumat yang berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan untuk jumlah janjang aritmetik ialah penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Pengarang tugasan menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup hanya untuk menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertama.

Syabas. Mudah.) Untuk menentukan jumlah mengikut formula, apa yang kita perlu tahu? Ahli Pertama a 1, terma akhir a n, ya nombor penggal terakhir n.

Mana nak dapat nombor ahli terakhir n? Ya, di tempat yang sama, dalam keadaan! Ia mengatakan cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, berapa nombornya terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n kita akan gantikan ke dalam formula a 10, tetapi sebaliknya n- sepuluh. Sekali lagi, bilangan ahli terakhir adalah sama dengan bilangan ahli.

Ia masih perlu ditentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira dengan formula sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukannya? Lawati pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tiada apa-apa.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Kami mendapati maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Ia kekal untuk menggantikannya, dan mengira:

Itu sahaja yang ada. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 \u003d 2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertama.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai mana-mana ahli dengan nombornya. Kami sedang mencari penggantian mudah:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ia kekal untuk menggantikan semua unsur dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n cuma gantikan formula sebutan ke-n, kita dapat:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapat formula baharu untuk jumlah ahli janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, tidak ada keperluan penggal ke- a n. Dalam sesetengah tugas, formula ini banyak membantu, ya ... Anda boleh ingat formula ini. Dan anda boleh menarik baliknya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n mesti diingat dalam semua cara.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.

Bagaimana! Tiada ahli pertama, tiada terakhir, tiada kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan menarik keluar dari syarat semua elemen hasil tambah janjang aritmetik. Apakah nombor dua digit - kita tahu. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) perkara terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya ...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi sama rata dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya hanya dengan tiga. Jika 2, atau 4, ditambah pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi akan dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik kepada timbunan: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apa yang akan menjadi nombor n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut ... Nombor - mereka sentiasa berturut-turut, dan ahli kami melompat ke atas tiga teratas. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh melukis janjang, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan sebutan dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang bertimbang rasa. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika formula digunakan untuk masalah kita, kita mendapat bahawa 99 adalah ahli ketiga puluh perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk mengira jumlah dari keadaan masalah:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yang tinggal ialah aritmetik asas. Gantikan nombor dalam formula dan hitung:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Janjang aritmetik diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula jumlah dan ... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlahnya dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, tentu saja, melukis keseluruhan perkembangan berturut-turut, dan meletakkan ahli dari 20 hingga 34. Tetapi ... entah bagaimana ia ternyata bodoh dan untuk masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari pecahkan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya kepada jumlah ahli bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahawa untuk mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Adakah kita bermula?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada keadaan tugas:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengiranya mengikut formula sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Tiada apa yang tinggal. Kurangkan jumlah 19 sebutan daripada jumlah 34 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat ciri yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira apa, nampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" sedemikian sering menyelamatkan teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kita telah mengkaji masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah untuk jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula sebutan ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari, ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah bagi 24 sebutan pertama.

Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, teka-teki seperti itu sering dijumpai di GIA.

7. Vasya menyimpan wang untuk Percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling dikasihi (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Luangkan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih pada setiap hari berikutnya daripada pada hari sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah ia sukar?) Formula tambahan daripada tugasan 2 akan membantu.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Apabila belajar algebra dalam sekolah pendidikan am(Gred 9) salah seorang topik penting ialah kajian jujukan berangka, yang merangkumi janjang - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan janjang aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah janjang aritmetik?

Untuk memahami perkara ini, adalah perlu untuk memberikan definisi perkembangan yang sedang dipertimbangkan, serta memberikan formula asas yang akan digunakan selanjutnya dalam menyelesaikan masalah.

Aritmetik atau merupakan satu set nombor rasional tersusun, setiap ahlinya berbeza daripada yang sebelumnya dengan beberapa nilai tetap. Nilai ini dipanggil perbezaan. Iaitu, mengetahui mana-mana ahli siri nombor tersusun dan perbezaannya, anda boleh memulihkan keseluruhan janjang aritmetik.

Mari kita ambil contoh. Urutan nombor seterusnya ialah janjang aritmetik: 4, 8, 12, 16, ..., kerana perbezaan dalam kes ini ialah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi set nombor 3, 5, 8, 12, 17 tidak lagi boleh dikaitkan dengan jenis perkembangan yang dipertimbangkan, kerana perbezaannya bukan nilai tetap (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formula Penting

Kami kini memberikan formula asas yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan janjang aritmetik. Biarkan a n menandakan ahli ke-n bagi jujukan, dengan n ialah integer. Mari kita nyatakan perbezaannya huruf latin d. Maka ungkapan berikut adalah benar:

1. Untuk menentukan nilai sebutan ke-n, formula adalah sesuai: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan hasil tambah n sebutan pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami mana-mana contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian dalam gred 9, cukup untuk mengingati kedua-dua formula ini, kerana sebarang masalah jenis yang sedang dipertimbangkan dibina berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahawa perbezaan janjang ditentukan oleh formula: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Mencari Ahli Tidak Dikenali

Kami memberikan contoh mudah janjang aritmetik dan formula yang mesti digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu mencari lima sebutan di dalamnya.

Ia sudah mengikuti daripada syarat masalah bahawa 4 istilah pertama diketahui. Yang kelima boleh ditakrifkan dalam dua cara:

1. Kita kira perbezaan dahulu. Kami mempunyai: d = 8 - 10 = -2. Begitu juga, seseorang boleh mengambil mana-mana dua istilah lain berdiri di sebelah satu sama lain. Contohnya, d = 4 - 6 = -2. Oleh kerana diketahui bahawa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita dapat: a 5 \u003d a 4 + d. Kami menggantikan nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Kaedah kedua juga memerlukan pengetahuan tentang perbezaan janjang yang dipersoalkan, jadi anda perlu terlebih dahulu menentukannya, seperti yang ditunjukkan di atas (d = -2). Mengetahui bahawa sebutan pertama a 1 = 10, kita menggunakan formula untuk n nombor jujukan. Kami mempunyai: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Menggantikan n = 5 ke dalam ungkapan terakhir, kita dapat: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang anda lihat, kedua-dua penyelesaian membawa kepada hasil yang sama. Ambil perhatian bahawa dalam contoh ini perbezaan d janjang adalah negatif. Urutan sedemikian dipanggil menurun kerana setiap sebutan berturut-turut adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Contoh #2: perbezaan kemajuan

Sekarang mari kita rumitkan sedikit tugasan, berikan contoh cara mencari perbezaan janjang aritmetik.

Adalah diketahui bahawa dalam beberapa janjang algebra sebutan pertama adalah sama dengan 6, dan sebutan ke-7 adalah sama dengan 18. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan jujukan ini kepada sebutan ke-7.

Mari kita gunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami menggantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu nombor a 1 dan 7, kami ada: 18 \u003d 6 + 6 * d. Daripada ungkapan ini, anda boleh mengira perbezaan dengan mudah: d = (18 - 6) / 6 = 2. Oleh itu, bahagian pertama masalah telah dijawab.

Untuk memulihkan urutan kepada ahli ke-7, anda harus menggunakan definisi janjang algebra, iaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Akibatnya, kami memulihkan keseluruhan urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Marilah kita merumitkan lagi keadaan masalah. Sekarang anda perlu menjawab soalan bagaimana untuk mencari janjang aritmetik. Kita boleh memberikan contoh berikut: dua nombor diberikan, sebagai contoh, 4 dan 5. Ia adalah perlu untuk membuat janjang algebra supaya tiga sebutan lagi sesuai antara ini.

Sebelum mula menyelesaikan masalah ini, adalah perlu untuk memahami tempat yang akan diduduki oleh nombor yang diberikan dalam perkembangan masa depan. Oleh kerana akan ada tiga lagi istilah di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami meneruskan tugas yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk istilah ke-n, kami menggunakan formula, kami mendapat: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Daripada: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini, perbezaan bukanlah nilai integer, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk janjang algebra kekal sama.

Sekarang mari tambahkan perbezaan yang ditemui pada 1 dan pulihkan ahli perkembangan yang hilang. Kami mendapat: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u. yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh #4: Ahli pertama kemajuan

Kami terus memberikan contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, nombor pertama janjang algebra diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah jenis yang berbeza: biarkan dua nombor diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Ia adalah perlu untuk mencari dari nombor apa jujukan ini bermula.

Formula yang telah digunakan setakat ini menganggap pengetahuan tentang a 1 dan d. Tiada apa-apa yang diketahui tentang nombor ini dalam keadaan masalah. Walau bagaimanapun, mari kita tulis ungkapan untuk setiap istilah yang kita mempunyai maklumat: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana terdapat 2 kuantiti yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah dikurangkan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear.

Sistem yang ditentukan adalah paling mudah untuk diselesaikan jika anda menyatakan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ungkapan yang terhasil. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kita dapat: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana daripada 2 ungkapan di atas untuk 1 . Sebagai contoh, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Jika terdapat keraguan tentang hasilnya, anda boleh menyemaknya, sebagai contoh, tentukan ahli ke-43 perkembangan, yang dinyatakan dalam syarat. Kami mendapat: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ralat kecil adalah disebabkan fakta bahawa pembundaran kepada perseribu telah digunakan dalam pengiraan.

Contoh #5: Jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan penyelesaian untuk jumlah janjang aritmetik.

Biarkan janjang berangka bagi bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, iaitu, secara berurutan menambah semua nombor, yang akan dilakukan oleh komputer sebaik sahaja seseorang menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah itu boleh diselesaikan secara mental jika anda memberi perhatian bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah janjang algebra, dan perbezaannya ialah 1. Menggunakan formula untuk jumlah, kita dapat: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Adalah pelik untuk diperhatikan bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian", kerana pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, masih pada usia hanya 10 tahun, dapat menyelesaikannya dalam fikirannya dalam beberapa saat. Budak itu tidak tahu formula untuk jumlah janjang algebra, tetapi dia perasan bahawa jika anda menambah pasangan nombor yang terletak di tepi jujukan, anda sentiasa mendapat keputusan yang sama, iaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan kerana jumlah ini akan menjadi tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawapan yang betul, sudah cukup untuk mendarab 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah sebutan dari n hingga m

Satu lagi contoh biasa jumlah janjang aritmetik adalah seperti berikut: diberikan satu siri nombor: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari jumlah sebutannya dari 8 hingga 14.

Masalah diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan mencari istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak cukup susah payah. Walau bagaimanapun, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan kaedah kedua, yang lebih universal.

Ideanya ialah untuk mendapatkan formula bagi jumlah janjang algebra antara sebutan m dan n, dengan n > m ialah integer. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Oleh kerana n > m, adalah jelas bahawa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermakna jika kita mengambil perbezaan antara jumlah ini, dan menambah istilah a m kepadanya (dalam kes mengambil perbezaan, ia ditolak daripada jumlah S n), maka kita mendapat jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Ia adalah perlu untuk menggantikan formula untuk a n dan a m ke dalam ungkapan ini. Kemudian kita dapat: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula yang terhasil agak rumit, walau bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kes kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Menggantikan nombor ini, kita mendapat: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat daripada penyelesaian di atas, semua masalah adalah berdasarkan pengetahuan ungkapan untuk sebutan ke-n dan formula untuk jumlah set sebutan pertama. Sebelum anda mula menyelesaikan mana-mana masalah ini, adalah disyorkan agar anda membaca syarat dengan teliti, memahami dengan jelas apa yang anda ingin cari, dan kemudian meneruskan penyelesaiannya.

Petua lain ialah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam kes ini kebarangkalian untuk membuat kesilapan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti pada formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan berpecah tugas biasa ke dalam subtugas yang berasingan (dalam kes ini cari dahulu sebutan a n dan a m).

Sekiranya terdapat keraguan tentang keputusan yang diperoleh, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana untuk mencari janjang aritmetik, didapati. Sebaik sahaja anda memikirkannya, ia tidak begitu sukar.

IV Yakovlev | Bahan tentang matematik | MathUs.ru

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah sejenis jujukan khas. Oleh itu, sebelum mentakrifkan janjang aritmetik (dan kemudian geometri), kita perlu membincangkan secara ringkas konsep penting urutan nombor.

Susulan

Bayangkan peranti pada skrin yang beberapa nombor dipaparkan satu demi satu. Katakan 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Set nombor sedemikian hanyalah contoh urutan.

Definisi. Urutan berangka ialah satu set nombor di mana setiap nombor boleh diberikan nombor unik (iaitu, dimasukkan ke dalam surat-menyurat dengan nombor asli tunggal)1. Nombor dengan nombor n dipanggil ahli ke- urutan.

Jadi, dalam contoh di atas, nombor pertama mempunyai nombor 2, yang merupakan ahli pertama jujukan, yang boleh dilambangkan dengan a1 ; nombor lima mempunyai nombor 6 yang merupakan ahli kelima jujukan, yang boleh dilambangkan a5 . Secara umum, ahli ke-n suatu jujukan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dsb.).

Situasi yang sangat mudah ialah apabila ahli ke-n bagi jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula an = 2n 3 menentukan urutan: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n mentakrifkan jujukan: 1; 1; 1; 1; : : :

Tidak setiap set nombor adalah urutan. Jadi, segmen bukan urutan; ia mengandungi ¾terlalu banyak¿ nombor untuk dinomborkan semula. Set R bagi semua nombor nyata juga bukan urutan. Fakta ini dibuktikan dalam perjalanan analisis matematik.

Janjang aritmetik: definisi asas

Sekarang kita bersedia untuk menentukan janjang aritmetik.

Definisi. Janjang aritmetik ialah jujukan di mana setiap sebutan (bermula dari yang kedua) adalah sama dengan jumlah sebutan sebelumnya dan beberapa nombor tetap (dipanggil perbezaan janjang aritmetik).

Sebagai contoh, urutan 2; 5; 8; sebelas; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 2 dan beza 3. Urutan 7; 2; 3; 8; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 7 dan beza 5. Urutan 3; 3; 3; : : : ialah janjang aritmetik dengan beza sifar.

Takrif setara: Jujukan an dipanggil janjang aritmetik jika perbezaan an+1 an ialah nilai malar (tidak bergantung pada n).

Janjang aritmetik dikatakan meningkat jika perbezaannya positif, dan menurun jika perbezaannya negatif.

1 Dan berikut ialah definisi yang lebih ringkas: jujukan ialah fungsi yang ditakrifkan pada set nombor asli. Sebagai contoh, urutan nombor nyata ialah fungsi f: N! R.

Secara lalai, jujukan dianggap tidak terhingga, iaitu, mengandungi bilangan nombor yang tidak terhingga. Tetapi tiada siapa yang peduli untuk mempertimbangkan urutan terhingga juga; sebenarnya, sebarang set nombor terhingga boleh dipanggil urutan terhingga. Sebagai contoh, urutan akhir 1; 2; 3; 4; 5 terdiri daripada lima nombor.

Formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik

Adalah mudah untuk memahami bahawa janjang aritmetik ditentukan sepenuhnya oleh dua nombor: sebutan pertama dan perbezaan. Oleh itu, persoalan timbul: bagaimana, mengetahui sebutan pertama dan perbezaan, mencari sebutan arbitrari bagi janjang aritmetik?

Tidak sukar untuk mendapatkan formula yang dikehendaki bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Biarkan an

janjang aritmetik dengan beza d. Kami ada:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Khususnya, kami menulis:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dan kini menjadi jelas bahawa formula untuk a ialah:
an = a1 + (n 1)d:

Tugasan 1. Dalam janjang aritmetik 2; 5; 8; sebelas; : : : cari rumus sebutan ke-n dan hitung sebutan keseratus.

Penyelesaian. Menurut formula (1) kita mempunyai:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda janjang aritmetik

sifat sesuatu janjang aritmetik. Dalam janjang aritmetik an untuk sebarang

Dalam erti kata lain, setiap ahli janjang aritmetik (bermula dari yang kedua) ialah min aritmetik ahli jiran.

	Bukti. Kami ada:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

iaitu yang dikehendaki.

Secara umumnya, janjang aritmetik a memenuhi kesamaan

a n = a n k+ a n+k

untuk sebarang n > 2 dan sebarang k semula jadi< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata formula (2) bukan sahaja perlu tetapi juga syarat yang mencukupi untuk satu jujukan menjadi janjang aritmetik.

Tanda janjang aritmetik. Jika kesamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka urutan an ialah janjang aritmetik.

Bukti. Mari kita tulis semula formula (2) seperti berikut:

a na n 1= a n+1a n:

Ini menunjukkan bahawa beza an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya bermakna urutan an ialah janjang aritmetik.

Sifat dan tanda janjang aritmetik boleh dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kemudahan, kami akan melakukan ini untuk tiga nombor (ini adalah situasi yang sering berlaku dalam masalah).

Pencirian janjang aritmetik. Tiga nombor a, b, c membentuk janjang aritmetik jika dan hanya jika 2b = a + c.

Masalah 2. (Universiti Negara Moscow, Fakulti Ekonomi, 2007) Tiga nombor 8x, 3 x2 dan 4 dalam susunan yang ditentukan membentuk janjang aritmetik yang semakin berkurangan. Cari x dan tuliskan perbezaan janjang ini.

Penyelesaian. Dengan sifat janjang aritmetik, kita mempunyai:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jika x = 1, maka janjang menurun sebanyak 8, 2, 4 diperoleh dengan perbezaan 6. Jika x = 5, maka janjang meningkat sebanyak 40, 22, 4 diperolehi; kes ini tidak berjaya.

Jawapan: x = 1, bezanya ialah 6.

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Legenda mengatakan bahawa pernah guru memberitahu kanak-kanak untuk mencari jumlah nombor dari 1 hingga 100 dan duduk membaca surat khabar dengan senyap. Namun, dalam beberapa minit, seorang budak lelaki berkata bahawa dia telah menyelesaikan masalah itu. Ia adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, kemudiannya salah seorang ahli matematik terhebat dalam sejarah.

Idea Gauss kecil adalah ini. biarlah

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Mari kita tulis jumlah ini dalam susunan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambah dua formula ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap sebutan dalam kurungan adalah bersamaan dengan 101, dan jumlahnya terdapat 100 sebutan sedemikian. Oleh itu

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan idea ini untuk mendapatkan formula jumlah

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Pengubahsuaian berguna bagi formula (3) diperoleh dengan menggantikan formula bagi sebutan ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

		2a1 + (n 1)d

Tugasan 3. Cari hasil tambah semua nombor tiga digit positif yang boleh dibahagi dengan 13.

Penyelesaian. Nombor tiga digit yang merupakan gandaan 13 membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama 104 dan beza 13; Sebutan ke-n janjang ini ialah:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita ketahui berapa ramai ahli yang terkandung dalam perkembangan kita. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan ketidaksamaan:

sebuah 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Jadi terdapat 69 ahli dalam perkembangan kami. Menurut formula (4) kita dapati jumlah yang diperlukan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2