Entri ditandakan "contoh tentang sifat ijazah dengan eksponen semula jadi". Kuasa atau persamaan eksponen

Formula kuasa digunakan dalam proses mengurangkan dan memudahkan ungkapan kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Nombor c ialah n-kuasa ke- bagi suatu nombor a Bila:

Operasi dengan ijazah.

1. Mendarab darjah dengan asas yang sama, penunjuknya menambah:

a ma n = a m + n .

2. Dalam pembahagian darjah dengan asas yang sama, penunjuk mereka ditolak:

3. Darjah hasil darab 2 atau lebih faktor adalah sama dengan darab darjah faktor ini:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Darjah pecahan adalah sama dengan nisbah darjah dividen dan pembahagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Meningkatkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan:

(am) n = a m n .

Setiap formula di atas adalah betul dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Sebagai contoh. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah dividen dan pembahagi punca:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, cukup untuk menaikkan nombor akar kepada kuasa ini:

4. Jika kita meningkatkan darjah akar dalam n sekali dan pada masa yang sama naikkan kepada n kuasa ke adalah nombor akar, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan darjah akar dalam n akar pada masa yang sama n darjah ke- dari nombor radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Ijazah dengan eksponen negatif. Darjah nombor dengan eksponen bukan positif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan darjah nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak eksponen bukan positif:

Formula a m:a n = a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m> n, tetapi juga pada m< n.

Sebagai contoh. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kepada formula a m:a n = a m - n menjadi adil pada m=n, anda memerlukan kehadiran darjah sifar.

Darjah dengan eksponen sifar. Kuasa mana-mana nombor bukan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

Sebagai contoh. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata A ke tahap m/n, anda perlu mengekstrak akarnya n darjah ke- m kuasa ke nombor ini A.

Jelas sekali, nombor dengan kuasa boleh ditambah seperti kuantiti lain , dengan menambahkannya satu persatu dengan tandanya.

Jadi, hasil tambah a 3 dan b 2 ialah a 3 + b 2 .
Hasil tambah a 3 - b n dan h 5 -d 4 ialah a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kemungkinan kuasa yang sama bagi pembolehubah yang sama boleh ditambah atau dikurangkan.

Jadi, hasil tambah 2a 2 dan 3a 2 ialah 5a 2 .

Ia juga jelas bahawa jika kita mengambil dua petak a, atau tiga petak a, atau lima petak a.

Tetapi ijazah pelbagai pembolehubah Dan pelbagai darjat pembolehubah yang sama, mesti ditambah dengan menambahkannya pada tandanya.

Jadi, hasil tambah a 2 dan a 3 ialah hasil tambah a 2 + a 3 .

Adalah jelas bahawa kuasa dua a, dan kubus a, bukanlah dua kali ganda kuasa dua a, tetapi dua kali ganda kubus a.

Hasil tambah a 3 b n dan 3a 5 b 6 ialah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Penolakan kuasa dijalankan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali tanda-tanda subtrahend mesti diubah sewajarnya.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3j 2 b 6 - 4j 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Penggandaan kuasa

Nombor dengan kuasa boleh didarab seperti kuantiti lain dengan menulisnya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda darab di antaranya.

Jadi, hasil darab a 3 dengan b 2 ialah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasilnya contoh terakhir boleh dipesan dengan menambah pembolehubah seperti.
Ungkapan tersebut akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa nombor (pembolehubah) dengan kuasa, kita dapat melihat bahawa jika mana-mana dua daripadanya didarab, maka hasilnya adalah nombor (pembolehubah) dengan kuasa yang sama dengan jumlah darjah istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 ialah kuasa hasil pendaraban, bersamaan dengan 2 + 3, jumlah kuasa sebutan.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor seberapa banyak kuasa n ialah;

Dan a m , diambil sebagai faktor seberapa kerap darjah m bersamaan dengan;

sebab tu, kuasa dengan asas yang sama boleh didarab dengan menambah eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Darab (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawapan: x 4 - y 4.
Darab (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Peraturan ini juga benar untuk nombor yang eksponennya ialah - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini boleh ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b didarab dengan a - b, hasilnya akan menjadi 2 - b 2: iaitu

Hasil darab hasil tambah atau beza dua nombor adalah sama dengan hasil tambah atau beza kuasa duanya.

Jika jumlah dan beza dua nombor dinaikkan kepada segi empat sama, hasilnya akan sama dengan jumlah atau perbezaan nombor ini dalam keempat ijazah.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembahagian kuasa

Nombor dengan kuasa boleh dibahagikan seperti nombor lain dengan menolak pembahagi, atau dengan meletakkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibahagikan dengan b 2 ialah a 3 .

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibahagikan dengan 3 kelihatan seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tetapi ini sama dengan 2 . Dalam satu siri nombor
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
sebarang nombor boleh dibahagikan dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan beza penunjuk nombor boleh bahagi.

Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, eksponennya ditolak..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Iaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Iaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Peraturan ini juga sah untuk nombor dengan negatif nilai darjah.
Hasil pembahagian a -5 dengan a -3 ialah a -2 .
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ia adalah perlu untuk menguasai pendaraban dan pembahagian kuasa dengan baik, kerana operasi sedemikian digunakan secara meluas dalam algebra.

Contoh penyelesaian contoh dengan pecahan yang mengandungi nombor dengan kuasa

1. Kurangkan eksponen dalam $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawapan: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangkan eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawapan: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangkan eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa kepada penyebut biasa.
a 2 .a -4 ialah -2 pengangka pertama.
a 3 .a -3 ialah 0 = 1, pengangka kedua.
a 3 .a -4 ialah a -1 , pengangka sepunya.
Selepas dipermudahkan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangkan eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa kepada penyebut yang sama.
Jawapan: 2a 3 / 5a 7 dan 5a 5 / 5a 7 atau 2a 3 / 5a 2 dan 5/5a 2.

5. Darab (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Darab (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Darab b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bahagikan sebuah 4 /y 3 dengan sebuah 3 /y 2 . Jawapan: a/y.

9. Bahagikan (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/j.

Tahap pertama

Ijazah dan sifatnya. Panduan yang komprehensif (2019)

Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukan mereka? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari semua tentang ijazah, kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda Kehidupan seharian baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, mengetahui ijazah akan membawa anda lebih dekat penghantaran berjaya OGE atau USE dan untuk memasuki universiti idaman anda.

Jom... (Jom!)

Nota PENTING! Jika bukannya formula yang anda lihat omong kosong, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PERTAMA

Eksponen adalah operasi matematik yang sama seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan segala-galanya dalam bahasa manusia dengan sangat contoh mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap satu mempunyai dua botol cola. Berapa banyak cola? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis dengan cara yang berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian menghasilkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual darab. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Dan apakah helah pengiraan rumit lain yang dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Sekiranya anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor ini kepada kuasa kelima. Sebagai contoh, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima adalah. Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian dalam fikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Untuk melakukan ini, anda hanya perlu ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ia akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa gelaran kedua dipanggil segi empat sama nombor, dan yang ketiga kiub? Apakah maksudnya? sangat soalan yang baik. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan segi empat sama atau kuasa kedua nombor.

Bayangkan kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam itu terletak di halaman rumah anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi ... kolam tanpa dasar! Ia adalah perlu untuk menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan dasar kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menusuk jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika jubin anda adalah meter demi meter, anda memerlukan kepingan. Mudah sahaja... Tetapi di manakah anda melihat jubin sedemikian? Jubin akan agak menjadi cm dengan cm. Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda". Kemudian anda perlu membiak. Jadi, di satu sisi bahagian bawah kolam, kami akan memuatkan jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Mendarab dengan, anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa kami mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apakah maksudnya? Oleh kerana nombor yang sama didarab, kita boleh menggunakan teknik eksponen. (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabkannya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkan kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga ralat yang lebih sedikit dalam pengiraan Untuk peperiksaan, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh hingga darjah kedua akan menjadi (). Atau anda boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut adalah tugas untuk anda, kira berapa banyak petak pada papan catur menggunakan petak nombor itu ... Di satu sisi sel dan di sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan, atau ... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tidak dijangka, bukan?) Lukiskan kolam: saiz bawah satu meter dan dalam satu meter dan cuba kira berapa banyak kiub berukuran satu meter dengan satu meter akan memasuki anda. kolam.

Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga... Berapa banyak yang berlaku? Tak sesat ke? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Jadi itu! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya ... Dan apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh menggunakan ijazah. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus adalah sama. Ia ditulis seperti ini:

Kekal sahaja menghafal jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah telah dicipta oleh kasut dan orang yang licik untuk menyelesaikan masalah mereka. masalah hidup, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh satu juta lagi untuk setiap juta. Iaitu, setiap juta anda pada awal setiap tahun berganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda kini duduk dan "mengira dengan jari", maka anda adalah seorang yang sangat rajin dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua kali dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya sekali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan anda mempunyai pertandingan dan orang yang mengira lebih cepat akan mendapat berjuta-juta ini ... Adakah patut mengingati darjah nombor, apa pendapat anda?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh dua lagi untuk setiap juta. Ia hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain ... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kuasa keempat ialah sejuta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa, anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang perlu anda ketahui tentangnya.

Terma dan konsep...supaya tidak terkeliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Apa pendapat kamu, apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ini ialah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah? Lebih mudah lagi ialah nombor yang berada di bahagian bawah, di pangkal.

Ini gambar untuk anda pasti.

Baik dan dalam Pandangan umum untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik ... Ijazah dengan asas "" dan eksponen "" dibaca sebagai "kepada darjah" dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan penunjuk semula jadi

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan item: satu, dua, tiga ... Apabila kita mengira item, kita tidak mengatakan: "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh". Kami tidak menyebut "satu pertiga" atau "sifar koma lima persepuluh" sama ada. Ini bukan nombor semula jadi. Pada pendapat anda, apakah nombor ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ini adalah apabila tiada apa-apa. Dan apakah maksud nombor negatif ("tolak")? Tetapi ia dicipta terutamanya untuk menandakan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan ialah nombor rasional. Bagaimana mereka muncul, adakah anda fikir? Sangat ringkas. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka tidak mempunyai nombor semula jadi yang mencukupi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional… Menarik, bukan?

Terdapat juga nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Pendek kata, pecahan perpuluhan tak terhingga. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, maka anda mendapat nombor tidak rasional.

Ringkasan:

Mari kita tentukan konsep darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

1. Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
2. Untuk kuasa dua nombor adalah dengan mendarabnya dengan sendiri:
3. Untuk menduakan nombor adalah dengan mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Untuk menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi adalah dengan mendarab nombor itu dengan sendirinya:
.

Sifat ijazah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat apa yang ada Dan ?

A-priory:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah faktor kepada faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah darjah nombor dengan eksponen, iaitu: , yang diperlukan untuk dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti sebab sama!
Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. iaitu -kuasa ke- bagi suatu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarabkan dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa nombor ke-:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Ijazah dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam darjah dari penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan apakah tanda (" " atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred ke-6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh amalan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita tidak memberi perhatian kepada darjah kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom kita tengok program darjah 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus pendaraban yang disingkatkan, iaitu perbezaan kuasa dua! Kita mendapatkan:

Kami dengan teliti melihat penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika mereka ditukar, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

keseluruhan kami menamakan nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda "") dan nombor.

integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu:

Seperti biasa, kita bertanya kepada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Pertimbangkan beberapa kuasa dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor dengan, dan mendapat sama seperti -. Apakah nombor yang mesti didarabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari kita ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor hingga darjah sifar, ia mestilah sama. Jadi apakah kebenaran ini? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita bukan sahaja boleh membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Mari pergi lebih jauh. Selain nombor asli dan nombor, integer termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu darjah negatif, mari kita lakukan perkara yang sama seperti kali terakhir: kita darab beberapa nombor biasa dengan yang sama dalam darjah negatif:

Dari sini sudah mudah untuk menyatakan yang dikehendaki:

Sekarang kita melanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama asas tidak boleh nol:(kerana mustahil untuk dibahagi).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis tugas untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombor itu menakutkan, tetapi pada peperiksaan anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar cara menanganinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, lebih-lebih lagi.

Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang ingat peraturan "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke bagi nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama.

Iaitu, punca darjah ke ialah operasi songsang bagi eksponen: .

Ternyata begitu. Jelas sekali ini kes istimewa boleh dipanjangkan: .

Sekarang tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperolehi dengan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Ingat peraturan: sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak akar darjah genap daripada nombor negatif!

Dan ini bermakna bahawa nombor sedemikian tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu, ungkapan itu tidak masuk akal.

Bagaimana pula dengan ekspresi?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor itu boleh diwakili sebagai pecahan terkecil yang lain, contohnya, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, dan ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi sebaik sahaja kami menulis penunjuk dengan cara yang berbeza, kami sekali lagi mendapat masalah: (iaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi kalau:

• - nombor asli;
• ialah integer;

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh amalan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang - yang paling sukar. Sekarang kita akan menganalisis darjah dengan eksponen yang tidak rasional.

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti darjah dengan eksponen rasional, kecuali

Sesungguhnya, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Sebagai contoh, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali;

...kuasa sifar- ini adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu bilangan;

...eksponen integer negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar bagaimana untuk menyelesaikan contoh sedemikian :))

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan ijazah ke ijazah:

Sekarang lihat markah. Adakah dia mengingatkan anda tentang apa-apa? Kami ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami membawa pecahan dalam eksponen kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-duanya biasa. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP MAJU

Definisi ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

• — asas ijazah;
• - eksponen.

Darjah dengan eksponen semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Kuasa dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

ereksi kepada kuasa sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana mustahil untuk dibahagi).

Sekali lagi tentang nulls: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Ijazah dengan eksponen rasional

• - nombor asli;
• ialah integer;

Contoh:

Sifat ijazah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

A-priory:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini, produk berikut diperoleh:

Tetapi mengikut definisi, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti mempunyai asas yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

Satu lagi nota penting: peraturan ini - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun saya tidak patut menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kita susun semula seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa ke-- nombor:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:!

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya indeks ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam darjah dari semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan apakah tanda (" " atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred ke-6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya, tanda akan berubah. Anda boleh merumuskan peraturan mudah ini:

1. malah ijazah, - nombor positif.
2. Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
3. nombor positif kepada mana-mana kuasa adalah nombor positif.
4. Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika anda ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, yang bermaksud bahawa asas adalah kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya kepada satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum dibongkar peraturan terakhir Mari kita lihat beberapa contoh.

Kira nilai ungkapan:

Penyelesaian :

Jika kita tidak memberi perhatian kepada darjah kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom kita tengok program darjah 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus pendaraban yang disingkatkan, iaitu perbezaan kuasa dua!

Kita mendapatkan:

Kami dengan teliti melihat penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika ia diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ia kelihatan seperti ini:

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama! Ia tidak boleh digantikan dengan menukar hanya satu tolak yang tidak menyenangkan kepada kami!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita hendak membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan mudahkan:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - apakah rupanya? Ini tidak lain hanyalah takrifan operasi pendaraban: jumlah ternyata menjadi pengganda. Iaitu, mengikut takrifan, kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis darjah dengan penunjuk yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini betul-betul sama seperti untuk ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali; nombor hingga darjah sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan dirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu, hasilnya hanya "penyediaan nombor" tertentu, iaitu nombor; darjah dengan penunjuk negatif integer - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ia adalah objek matematik semata-mata yang telah dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

1)

2)

3)

Jawapan:

1. Ingat rumus perbezaan kuasa dua. Jawapan: .
2. Kami membawa pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan, atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kita dapat, contohnya: .
3. Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu integer dan positif).

Ijazah dengan eksponen rasional

darjah, penunjuknya ialah nombor negatif dan pecahan.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

eksponen yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat ijazah

Ciri-ciri darjah.

• Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
• Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
• Nombor positif kepada sebarang kuasa ialah nombor positif.
• Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
• Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA ADA PERKATAAN...

Bagaimana anda menyukai artikel itu? Beritahu saya dalam komen di bawah jika anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda dengan sifat kuasa.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dengan peperiksaan anda!

Eksponen digunakan untuk memudahkan menulis operasi darab nombor dengan sendiri. Sebagai contoh, daripada menulis, anda boleh menulis 4 5 (\gaya paparan 4^(5))(Penjelasan tentang peralihan sedemikian diberikan dalam bahagian pertama artikel ini). Kuasa memudahkan untuk menulis ungkapan atau persamaan yang panjang atau kompleks; juga, kuasa ditambah dan ditolak dengan mudah, menghasilkan penyederhanaan ungkapan atau persamaan (contohnya, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\gaya paparan 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Catatan: jika anda perlu menyelesaikan persamaan eksponen (dalam persamaan sedemikian, yang tidak diketahui adalah dalam eksponen), baca.

Langkah-langkah

Menyelesaikan masalah mudah dengan kuasa

Darabkan asas eksponen dengan sendirinya beberapa kali sama dengan eksponen. Jika anda perlu menyelesaikan masalah dengan eksponen secara manual, tulis semula eksponen sebagai operasi pendaraban, di mana asas eksponen didarab dengan sendirinya. Sebagai contoh, diberikan ijazah 3 4 (\gaya paparan 3^(4)). Dalam kes ini, asas darjah 3 mesti didarab dengan sendirinya 4 kali: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\gaya paparan 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lain:

Pertama, darab dua nombor pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\gaya paparan 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4*4*4*4*4). Jangan risau - proses pengiraan tidak begitu rumit seperti yang kelihatan pada pandangan pertama. Mula-mula darabkan dua empat kali pertama, dan kemudian gantikannya dengan hasilnya. seperti ini:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\gaya paparan 4*4=16)

1. Darabkan hasil (16 dalam contoh kita) dengan nombor seterusnya. Setiap keputusan seterusnya akan meningkat secara berkadar. Dalam contoh kami, darabkan 16 dengan 4. Seperti ini:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\gaya paparan 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\gaya paparan 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Teruskan darab hasil darab dua nombor pertama dengan nombor seterusnya sehingga anda mendapat jawapan akhir. Untuk melakukan ini, darab dua nombor pertama, dan kemudian darabkan hasilnya dengan nombor seterusnya dalam urutan. Kaedah ini sah untuk mana-mana ijazah. Dalam contoh kami, anda sepatutnya mendapat: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\gaya paparan 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Selesaikan masalah berikut. Semak jawapan anda dengan kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\gaya paparan 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Pada kalkulator, cari kunci berlabel "exp", atau " x n (\displaystyle x^(n))", atau "^". Dengan kunci ini anda akan menaikkan nombor kepada kuasa. Tidak mustahil untuk mengira secara manual darjah dengan eksponen besar (contohnya, darjah 9 15 (\gaya paparan 9^(15))), tetapi kalkulator boleh mengatasi tugas ini dengan mudah. Dalam Windows 7, kalkulator standard boleh ditukar kepada mod kejuruteraan; untuk melakukan ini, klik "Lihat" -\u003e "Kejuruteraan". Untuk bertukar kepada mod biasa, klik "Lihat" -\u003e "Biasa".

   • Semak jawapan yang diterima menggunakan enjin carian (Google atau Yandex). Menggunakan kekunci "^" pada papan kekunci komputer, masukkan ungkapan ke dalam enjin carian, yang akan memaparkan jawapan yang betul serta-merta (dan mungkin mencadangkan ungkapan yang serupa untuk kajian).

   Penambahan, penolakan, pendaraban kuasa

   1. Anda boleh menambah dan menolak kuasa hanya jika ia mempunyai asas yang sama. Jika anda perlu menambah kuasa dengan asas dan eksponen yang sama, maka anda boleh menggantikan operasi tambah dengan operasi pendaraban. Sebagai contoh, diberikan ungkapan 4 5 + 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)). Ingat bahawa ijazah 4 5 (\gaya paparan 4^(5)) boleh diwakili sebagai 1 ∗ 4 5 (\gaya paparan 1*4^(5)); Oleh itu, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(di mana 1 +1 =2). Iaitu, hitung bilangan darjah yang serupa, dan kemudian darabkan darjah tersebut dan nombor ini. Dalam contoh kami, naikkan 4 kepada kuasa kelima, dan kemudian darabkan hasilnya dengan 2. Ingat bahawa operasi tambah boleh digantikan dengan operasi pendaraban, contohnya, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lain:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\gaya paparan 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\gaya paparan 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen mereka ditambah (asas tidak berubah). Sebagai contoh, diberikan ungkapan x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam kes ini, anda hanya perlu menambah penunjuk, meninggalkan asas tidak berubah. Oleh itu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut ialah penjelasan visual tentang peraturan ini:

      Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan. Contohnya, diberi ijazah. Oleh kerana eksponen didarab, maka (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\gaya paparan (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Maksud peraturan ini ialah anda melipatgandakan kuasa (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pada dirinya sendiri lima kali. seperti ini:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Oleh kerana asasnya adalah sama, eksponen hanya menambah: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponen dengan eksponen negatif hendaklah ditukar kepada pecahan (kepada kuasa songsang). Tidak mengapa jika anda tidak tahu apa itu timbal balik. Jika anda diberi ijazah dengan eksponen negatif, sebagai contoh, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), tulis kuasa ini dalam penyebut pecahan (letak 1 dalam pengangka), dan jadikan eksponen positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Berikut adalah contoh lain:

      Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, eksponen mereka ditolak (asas tidak berubah). Operasi bahagi adalah bertentangan dengan operasi darab. Sebagai contoh, diberikan ungkapan 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangkan eksponen dalam penyebut daripada eksponen dalam pengangka (jangan ubah asas). Oleh itu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\gaya paparan (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Ijazah dalam penyebut boleh ditulis seperti berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\gaya paparan 4^(-2)). Ingat bahawa pecahan ialah nombor (kuasa, ungkapan) dengan eksponen negatif.

   4. Di bawah ialah beberapa ungkapan untuk membantu anda mempelajari cara menyelesaikan masalah kuasa. Ungkapan di atas merangkumi bahan yang dibentangkan dalam bahagian ini. Untuk melihat jawapan, hanya serlahkan ruang kosong selepas tanda sama.

   Menyelesaikan masalah dengan eksponen pecahan

   Ijazah dengan eksponen pecahan (contohnya, ) ditukar kepada operasi pengekstrakan akar. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Tidak kira apa nombor dalam penyebut eksponen pecahan. Sebagai contoh, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) ialah punca keempat bagi "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jika eksponen ialah pecahan tak wajar, maka eksponen tersebut boleh diuraikan kepada dua kuasa untuk memudahkan penyelesaian masalah. Tidak ada yang rumit tentang ini - ingatlah peraturan untuk mendarab kuasa. Contohnya, diberi ijazah. Tukarkan eksponen itu menjadi punca yang eksponennya sama dengan penyebut eksponen pecahan, dan kemudian naikkan punca itu kepada eksponen yang sama dengan pengangka bagi eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingat itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Sesetengah kalkulator mempunyai butang untuk mengira eksponen (mula-mula anda perlu memasukkan pangkalan, kemudian tekan butang, dan kemudian masukkan eksponen). Ia dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
   3. Ingat bahawa sebarang nombor adalah sama dengan dirinya dengan kuasa pertama, sebagai contoh, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Selain itu, sebarang nombor yang didarab atau dibahagi dengan satu adalah sama dengan nombor itu sendiri, contohnya, 5 ∗ 1 = 5 (\gaya paparan 5*1=5) Dan 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Ketahui bahawa darjah 0 0 tidak wujud (ijazah sedemikian tidak mempunyai penyelesaian). Apabila anda cuba menyelesaikan ijazah sedemikian pada kalkulator atau pada komputer, anda akan mendapat ralat. Tetapi ingat bahawa sebarang nombor dengan kuasa sifar adalah sama dengan 1, sebagai contoh, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Dalam matematik yang lebih tinggi, yang beroperasi dengan nombor khayalan: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=kosax+isinax), Di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ialah pemalar lebih kurang sama dengan 2.7; a ialah pemalar arbitrari. Bukti kesamarataan ini boleh didapati dalam mana-mana buku teks mengenai matematik yang lebih tinggi.

   Amaran

   • Apabila eksponen meningkat, nilainya sangat meningkat. Oleh itu, jika jawapan itu kelihatan salah kepada anda, sebenarnya ia mungkin menjadi benar. Anda boleh menyemak ini dengan merancang mana-mana fungsi eksponen, sebagai contoh, 2 x .

Salah satu ciri utama dalam algebra, dan sememangnya dalam semua matematik, adalah ijazah. Sudah tentu, pada abad ke-21, semua pengiraan boleh dilakukan pada kalkulator dalam talian, tetapi lebih baik untuk belajar bagaimana melakukannya sendiri untuk perkembangan otak.

Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan isu paling penting mengenai definisi ini. Iaitu, kita akan memahami apa itu secara umum dan apakah fungsi utamanya, apakah sifat yang wujud dalam matematik.

Mari lihat contoh bagaimana pengiraan, apakah formula asas. Kami akan menganalisis jenis kuantiti utama dan bagaimana ia berbeza daripada fungsi lain.

Kami akan memahami cara menyelesaikan pelbagai masalah menggunakan nilai ini. Kami akan menunjukkan dengan contoh bagaimana untuk meningkatkan kepada tahap sifar, tidak rasional, negatif, dsb.

Kalkulator eksponen dalam talian

Apakah darjah suatu nombor

Apakah yang dimaksudkan dengan ungkapan "menaikkan nombor kepada kuasa"?

Darjah n nombor a ialah hasil darab faktor magnitud a n kali berturut-turut.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini:

a n = a * a * a * …a n .

Sebagai contoh:

• 2 3 = 2 dalam langkah ketiga. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 dalam langkah. dua = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 dalam langkah. empat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 dalam 5 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 dalam 4 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Di bawah ialah jadual segi empat sama dan kubus dari 1 hingga 10.

Jadual darjah dari 1 hingga 10

Di bawah ialah keputusan menaikkan nombor semula jadi kepada kuasa positif - "dari 1 hingga 100".

Ch-lo	darjah 2	darjah 3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Sifat ijazah

Apakah ciri bagi fungsi matematik sedemikian? Mari lihat sifat asas.

Para saintis telah menetapkan perkara berikut tanda ciri semua darjah:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Mari kita semak dengan contoh:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sebaliknya 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Begitu juga: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Jika tidak 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Bagaimana jika ia berbeza? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Seperti yang anda lihat, peraturan berfungsi.

Tetapi bagaimana untuk menjadi dengan penambahan dan penolakan? Semuanya mudah. Eksponen pertama dilakukan, dan hanya kemudian penambahan dan penolakan.

Mari lihat contoh:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Tetapi dalam kes ini, anda mesti terlebih dahulu mengira penambahan, kerana terdapat tindakan dalam kurungan: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Bagaimana untuk menghasilkan pengkomputeran dalam lebih kes yang sukar ? Perintahnya adalah sama:

• jika terdapat kurungan, anda perlu bermula dengannya;
• kemudian eksponen;
• kemudian lakukan operasi darab, bahagi;
• selepas tambah, tolak.

Terdapat sifat khusus yang bukan ciri semua darjah:

1. Punca darjah ke-n dari nombor a hingga darjah m akan ditulis sebagai: a m / n .
2. Apabila menaikkan pecahan kepada kuasa: kedua-dua pengangka dan penyebutnya tertakluk kepada prosedur ini.
3. Apabila menaikkan hasil darab nombor yang berbeza kepada kuasa, ungkapan akan sepadan dengan hasil darab nombor ini kepada kuasa yang diberikan. Iaitu: (a * b) n = a n * b n .
4. Apabila menaikkan nombor kepada kuasa negatif, anda perlu membahagikan 1 dengan nombor dalam langkah yang sama, tetapi dengan tanda "+".
5. Jika penyebut pecahan berada dalam kuasa negatif, maka ungkapan ini akan sama dengan hasil darab pengangka dan penyebut dalam kuasa positif.
6. Sebarang nombor dengan kuasa 0 = 1, dan ke langkah. 1 = kepada dirinya sendiri.

Peraturan ini penting dalam kes individu, kami akan mempertimbangkannya dengan lebih terperinci di bawah.

Ijazah dengan eksponen negatif

Apa yang perlu dilakukan dengan tahap negatif, iaitu, apabila penunjuk negatif?

Berdasarkan sifat 4 dan 5(lihat titik di atas) Kesudahannya:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Dan begitu juga sebaliknya:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Bagaimana jika ia adalah pecahan?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Ijazah dengan penunjuk semula jadi

Ia difahami sebagai darjah dengan eksponen sama dengan integer.

Perkara yang perlu diingat:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…dsb.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…dsb.

Juga, jika (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…maka hasilnya akan mempunyai tanda “+”. Jika nombor negatif dinaikkan kepada kuasa ganjil, maka sebaliknya.

Sifat am dan semua tanda-tanda tertentu yang diterangkan di atas juga merupakan ciri-ciri mereka.

Ijazah pecahan

Pandangan ini boleh ditulis sebagai skema: A m / n. Ia dibaca sebagai: punca darjah ke-n bagi nombor A kepada kuasa m.

Dengan penunjuk pecahan, anda boleh melakukan apa sahaja: mengurangkan, mengurai menjadi bahagian, meningkatkan ke tahap yang lain, dsb.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Biarkan α ialah nombor tak rasional dan А ˃ 0.

Untuk memahami intipati ijazah dengan penunjuk sedemikian, Mari lihat pelbagai kes yang mungkin:

• A \u003d 1. Hasilnya akan sama dengan 1. Oleh kerana terdapat aksiom - 1 sama dengan satu dalam semua kuasa;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 ialah nombor rasional;

• 0˂А˂1.

Dalam kes ini, sebaliknya: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 di bawah keadaan yang sama seperti dalam perenggan kedua.

Contohnya, eksponen ialah nombor π. Ia adalah rasional.

r 1 - dalam kes ini ia sama dengan 3;

r 2 - akan sama dengan 4.

Kemudian, untuk A = 1, 1 π = 1.

A = 2, maka 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, kemudian (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Darjah sedemikian dicirikan oleh semua operasi matematik dan sifat khusus yang diterangkan di atas.

Kesimpulan

Mari kita ringkaskan - untuk apa nilai ini, apakah kelebihan fungsi sedemikian? Sudah tentu, pertama sekali, mereka memudahkan kehidupan ahli matematik dan pengaturcara apabila menyelesaikan contoh, kerana mereka membenarkan meminimumkan pengiraan, mengurangkan algoritma, mensistemkan data, dan banyak lagi.

Di mana lagi ilmu ini boleh berguna? Dalam mana-mana kepakaran kerja: perubatan, farmakologi, pergigian, pembinaan, teknologi, kejuruteraan, reka bentuk, dsb.