rumah › Sistem bahan api › Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi daripada persamaan. Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi dua pembolehubah dalam kawasan tertutup

Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi daripada persamaan. Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi dua pembolehubah dalam kawasan tertutup

Satu tugas kecil dan agak mudah seumpamanya yang berfungsi sebagai talian hayat untuk pelajar terapung. Secara semula jadi, alam mengantuk pada pertengahan bulan Julai, jadi sudah tiba masanya untuk berehat dengan komputer riba di pantai. Dimainkan pada awal pagi sinaran matahari teori agar tidak lama lagi memberi tumpuan kepada amalan, yang, walaupun didakwa ringan, mengandungi serpihan kaca di dalam pasir. Dalam hal ini, saya mengesyorkan dengan teliti mempertimbangkan beberapa contoh halaman ini. Untuk menyelesaikan tugas praktikal, anda perlu boleh cari derivatif dan memahami bahan artikel Selang monotoni dan ekstrem bagi sesuatu fungsi.

Pertama, secara ringkas tentang perkara utama. Dalam pelajaran tentang kesinambungan fungsi Saya memberikan definisi kesinambungan pada satu titik dan kesinambungan pada selang waktu. Tingkah laku teladan fungsi pada segmen dirumuskan serupa. Suatu fungsi adalah selanjar pada suatu segmen jika:

1) ia berterusan pada selang;
2) berterusan pada satu titik di sebelah kanan dan pada titik itu dibiarkan.

Perenggan kedua berkaitan dengan apa yang dipanggil kesinambungan unilateral berfungsi pada satu titik. Terdapat beberapa pendekatan untuk definisinya, tetapi saya akan berpegang pada baris yang dimulakan lebih awal:

Fungsi adalah berterusan pada satu titik di sebelah kanan, jika ia ditakrifkan pada titik tertentu dan had sebelah kanannya bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu: . Ia berterusan pada titik itu dibiarkan, jika ditakrifkan pada titik tertentu dan had sebelah kirinya adalah sama dengan nilai pada titik itu:

Bayangkan bahawa titik-titik hijau adalah paku yang dilekatkan pada gelang getah ajaib:

Mental ambil garis merah di tangan anda. Jelas sekali, tidak kira sejauh mana kita meregangkan graf ke atas dan ke bawah (di sepanjang paksi), fungsi itu akan tetap kekal terhad- lindung nilai di atas, lindung nilai di bawah dan produk kami meragut dalam paddock. Oleh itu, fungsi berterusan pada segmen adalah terhad padanya. Dalam perjalanan analisis matematik, fakta yang kelihatan mudah ini dinyatakan dan dibuktikan dengan teliti Teorem pertama Weierstrass.... Ramai orang marah kerana kenyataan asas dibuktikan dengan membosankan dalam matematik, tetapi terdapat makna penting. Katakan penduduk tertentu Zaman Pertengahan terry menarik graf ke langit melebihi had keterlihatan, ini telah dimasukkan. Sebelum penciptaan teleskop, fungsi terhad di angkasa tidak jelas sama sekali! Sesungguhnya, bagaimana anda tahu apa yang menanti kita di luar ufuk? Lagipun, sekali Bumi dianggap rata, jadi hari ini teleportasi biasa pun memerlukan bukti =)

mengikut teorem Weierstrass kedua, berterusan pada segmenfungsi mencapainya tepi atas tepat dan dia tepi bawah tepat .

Nombor juga dipanggil nilai maksimum fungsi pada segmen dan dilambangkan dengan , dan nombor - nilai minimum fungsi pada segmen bertanda .

Dalam kes kami:

Catatan : secara teori, rekod adalah perkara biasa .

Secara kasarnya, nilai tertinggi terletak di mana titik tinggi grafik, dan yang terkecil - di mana titik terendah.

Penting! Seperti yang telah dinyatakan dalam artikel mengenai ekstrem fungsi, nilai terbesar bagi fungsi tersebut Dan nilai fungsi terkecil – TIDAK SAMA, Apa fungsi maksimum Dan fungsi minimum. Jadi, dalam contoh ini, nombor adalah minimum fungsi, tetapi bukan nilai minimum.

By the way, apa yang berlaku di luar segmen? Ya, walaupun banjir, dalam konteks masalah yang sedang dipertimbangkan, ini tidak menarik minat kita langsung. Tugas itu hanya melibatkan mencari dua nombor dan itu sahaja!

Selain itu, penyelesaiannya adalah analitikal semata-mata, oleh itu, tidak perlu melukis!

Algoritma terletak di permukaan dan mencadangkan dirinya dari angka di atas:

1) Cari nilai fungsi dalam titik kritikal, yang tergolong dalam segmen ini.

Dapatkan satu lagi hadiah: tidak perlu menyemak keadaan yang mencukupi untuk ekstrem, kerana, seperti yang ditunjukkan, kehadiran minimum atau maksimum belum terjamin apakah nilai minimum atau maksimum. Fungsi demonstrasi mencapai maksimum dan, dengan kehendak takdir, nombor yang sama adalah nilai terbesar fungsi pada selang . Tetapi, sudah tentu, kebetulan seperti itu tidak selalu berlaku.

Jadi, pada langkah pertama, lebih cepat dan lebih mudah untuk mengira nilai fungsi pada titik kritikal kepunyaan segmen, tanpa mengganggu sama ada mereka mempunyai extrema atau tidak.

2) Kami mengira nilai fungsi di hujung segmen.

3) Antara nilai fungsi yang terdapat dalam perenggan 1 dan 2, kami memilih yang terkecil dan paling banyak nombor besar, tulis jawapan.

Kami duduk di pantai laut biru dan memukul tumit di air cetek:

Contoh 1

Cari yang terbesar dan nilai terkecil berfungsi pada selang waktu

Penyelesaian:
1) Kira nilai fungsi pada titik kritikal kepunyaan segmen ini:

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik kritikal kedua:

2) Kira nilai fungsi di hujung segmen:

3) Keputusan "Bold" diperoleh dengan eksponen dan logaritma, yang merumitkan perbandingannya dengan ketara. Atas sebab ini, kami akan mempersenjatai diri kami dengan kalkulator atau Excel dan mengira nilai anggaran, tidak lupa bahawa:

Sekarang semuanya jelas.

Jawab:

Contoh pecahan-rasional untuk penyelesaian bebas:

Contoh 6

Cari nilai maksimum dan minimum fungsi pada segmen

Nilai terbesar (paling kecil) bagi fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima bagi ordinat dalam selang yang dipertimbangkan.

Untuk mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi, anda perlu:

Semak mata pegun yang termasuk dalam segmen yang diberikan.
Kira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun dari langkah 3
Pilih daripada hasil yang diperolehi nilai terbesar atau terkecil.

Untuk mencari mata maksimum atau minimum, anda perlu:

Cari terbitan bagi fungsi $f"(x)$
Cari titik pegun dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
Memfaktorkan terbitan bagi suatu fungsi.
Lukis garis koordinat, letakkan titik pegun di atasnya dan tentukan tanda terbitan dalam selang yang diperoleh, menggunakan tatatanda klausa 3.
Cari mata maksimum atau minimum mengikut peraturan: jika pada satu titik derivatif berubah tanda dari tambah ke tolak, maka ini akan menjadi titik maksimum (jika dari tolak ke tambah, maka ini akan menjadi titik minimum). Dalam amalan, adalah mudah untuk menggunakan imej anak panah pada selang: pada selang di mana terbitan positif, anak panah dilukis ke atas dan sebaliknya.

Jadual terbitan beberapa fungsi asas:

Fungsi	Derivatif
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-dosa2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Peraturan asas pembezaan

1. Terbitan jumlah dan perbezaan adalah sama dengan terbitan bagi setiap sebutan

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Cari terbitan bagi fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Terbitan jumlah dan perbezaan adalah sama dengan terbitan bagi setiap sebutan

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Terbitan produk.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Cari terbitan $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Terbitan hasil bagi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Cari terbitan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi luaran dan terbitan fungsi dalaman

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Cari titik minimum bagi fungsi $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Cari ODZ bagi fungsi: $x+11>0; x>-11$

2. Cari terbitan bagi fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Cari titik pegun dengan menyamakan terbitan kepada sifar

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pecahan adalah sifar jika pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar

$2x+21=0; x≠-11$

4. Lukis garis koordinat, letakkan titik pegun di atasnya dan tentukan tanda terbitan dalam selang yang diperoleh. Untuk melakukan ini, kami menggantikan ke dalam derivatif sebarang nombor dari kawasan paling kanan, sebagai contoh, sifar.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Pada titik minimum, tanda derivatif berubah daripada tolak kepada tambah, oleh itu, mata $-10.5$ ialah titik minimum.

Jawapan: $-10.5$

Cari nilai maksimum bagi fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada segmen $[-5;1]$

1. Cari terbitan bagi fungsi $y′=30x^4-270x^2$

2. Samakan terbitan kepada sifar dan cari titik pegun

$30x^4-270x^2=0$

Mari kita ambil faktor sepunya $30x^2$ daripada kurungan

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Tetapkan setiap faktor sama dengan sifar

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pilih titik pegun yang tergolong dalam segmen $[-5;1]$ yang diberikan

Mata pegun $x=0$ dan $x=-3$ sesuai untuk kita

4. Kira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun dari item 3

Apakah ekstrem bagi suatu fungsi dan apakah syarat yang diperlukan untuk ekstremum?

Extremum fungsi ialah maksimum dan minimum fungsi.

Syarat yang diperlukan untuk maksimum dan minimum (ekstrem) fungsi adalah seperti berikut: jika fungsi f(x) mempunyai ekstrem pada titik x = a, maka pada titik ini terbitan adalah sama ada sifar, atau tak terhingga, atau tidak tidak wujud.

Syarat ini perlu, tetapi tidak mencukupi. Terbitan pada titik x = a boleh lenyap, pergi ke infiniti, atau tidak wujud tanpa fungsi mempunyai ekstrem pada ketika ini.

Apakah syarat yang mencukupi untuk ekstrem fungsi (maksimum atau minimum)?

Syarat pertama:

Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) mempunyai maksimum

Jika, dalam jarak yang mencukupi dengan titik x = a, terbitan f?(x) adalah negatif di sebelah kiri a dan positif di sebelah kanan a, maka pada titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) mempunyai minimum dengan syarat bahawa fungsi f(x) adalah selanjar di sini.

Sebaliknya, anda boleh menggunakan syarat mencukupi kedua untuk extremum fungsi:

Biarkan pada titik x = dan terbitan pertama f? (x) lenyap; jika terbitan kedua f??(а) adalah negatif, maka fungsi f(x) mempunyai maksimum pada titik x = a, jika ia positif, maka minimum.

Apakah titik kritikal fungsi dan bagaimana untuk mencarinya?

Ini ialah nilai hujah fungsi di mana fungsi mempunyai ekstrem (iaitu maksimum atau minimum). Untuk mencarinya, anda perlu cari terbitan fungsi f?(x) dan, menyamakannya dengan sifar, selesaikan persamaan f?(x) = 0. Punca-punca persamaan ini, serta titik-titik di mana terbitan fungsi ini tidak wujud, adalah titik kritikal, iaitu, nilai-nilai hujah yang mungkin terdapat ekstrem . Mereka boleh dikenal pasti dengan mudah dengan melihat graf terbitan: kami berminat dengan nilai hujah di mana graf fungsi bersilang dengan paksi absis (paksi lembu) dan nilai di mana graf mengalami pecah.

Sebagai contoh, mari kita cari ekstrem parabola.

Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivatif fungsi: y?(x) = 6x + 2

Kami menyelesaikan persamaan: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

DALAM kes ini titik genting ialah x0=-1/3. Ia adalah untuk nilai hujah ini yang mempunyai fungsi melampau. Untuk mendapatkannya cari, kami menggantikan nombor yang ditemui dalam ungkapan untuk fungsi dan bukannya "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Bagaimana untuk menentukan maksimum dan minimum fungsi, i.e. nilai terbesar dan terkecilnya?

Jika tanda derivatif berubah daripada "tambah" kepada "tolak" apabila melalui titik kritikal x0, maka x0 ialah titik maksimum; jika tanda derivatif berubah daripada tolak kepada tambah, maka x0 ialah titik minimum; jika tanda tidak berubah, maka pada titik x0 tidak ada maksimum atau minimum.

Untuk contoh yang dipertimbangkan:

Kami mengambil nilai arbitrari hujah di sebelah kiri titik kritikal: x = -1

Apabila x = -1, nilai terbitan ialah y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (iaitu, tanda tolak).

Sekarang kita mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kanan titik kritikal: x = 1

Untuk x = 1, nilai terbitan ialah y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (iaitu, tanda tambah).

Seperti yang anda lihat, apabila melalui titik kritikal, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah. Ini bermakna pada nilai kritikal x0 kita mempunyai titik minimum.

Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada selang waktu(pada segmen) ditemui dengan prosedur yang sama, hanya mengambil kira fakta bahawa, mungkin, tidak semua titik kritikal akan terletak dalam selang waktu yang ditentukan. Titik kritikal yang berada di luar selang mesti dikecualikan daripada pertimbangan. Jika terdapat hanya satu titik kritikal di dalam selang, ia akan sama ada mempunyai maksimum atau minimum. Dalam kes ini, untuk menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi, kami juga mengambil kira nilai fungsi pada hujung selang.

Sebagai contoh, mari cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tersebut

y (x) \u003d 3 dosa (x) - 0.5x

pada selang waktu:

Jadi terbitan bagi fungsi tersebut ialah

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Kami menyelesaikan persamaan 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

Kami mencari titik kritikal pada selang [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (tidak termasuk dalam selang)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (tidak termasuk dalam selang)

Kami mencari nilai fungsi pada nilai kritikal hujah:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Ia boleh dilihat bahawa pada selang [-9; 9] fungsi mempunyai nilai terbesar pada x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

dan yang terkecil - pada x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Pada selang [-6; -3] kita hanya mempunyai satu titik kritikal: x = -4.88. Nilai fungsi pada x = -4.88 ialah y = 5.398.

Kami mencari nilai fungsi pada hujung selang:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Pada selang [-6; -3] kita mempunyai nilai terbesar bagi fungsi tersebut

y = 5.398 pada x = -4.88

nilai terkecil ialah

y = 1.077 pada x = -3

Bagaimana untuk mencari titik infleksi graf fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?

Untuk mencari semua titik infleksi garis y \u003d f (x), anda perlu mencari derivatif kedua, samakannya dengan sifar (selesaikan persamaan) dan uji semua nilai x yang mana derivatif kedua adalah sifar , tidak terhingga atau tidak wujud. Jika, apabila melalui salah satu nilai ini, derivatif kedua berubah tanda, maka graf fungsi mempunyai infleksi pada ketika ini. Jika ia tidak berubah, maka tidak ada perubahan.

Punca-punca persamaan f ? (x) = 0, serta kemungkinan titik ketakselanjaran fungsi dan terbitan kedua, bahagikan domain fungsi itu kepada beberapa selang. Kecembungan pada setiap selangnya ditentukan oleh tanda terbitan kedua. Jika terbitan kedua pada satu titik pada selang yang dikaji adalah positif, maka garis y = f(x) adalah cekung ke atas di sini, dan jika ia negatif, maka ke bawah.

Bagaimana untuk mencari ekstrem fungsi dua pembolehubah?

Untuk mencari extrema fungsi f(x, y), boleh dibezakan dalam kawasan tugasannya, anda perlukan:

1) cari titik kritikal, dan untuk ini, selesaikan sistem persamaan

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) bagi setiap titik kritikal P0(a;b), siasat sama ada tanda perbezaan itu kekal tidak berubah

untuk semua titik (x; y) cukup hampir dengan P0. Jika perbezaan mengekalkan tanda positif, maka pada titik P0 kita mempunyai minimum, jika negatif, maka maksimum. Jika perbezaan tidak mengekalkan tandanya, maka tidak ada ekstrem pada titik Р0.

Begitu juga, extrema fungsi ditentukan untuk bilangan argumen yang lebih besar.

Mengenai Apakah Shrek Forever After?
Kartun: Shrek Forever Selepas Tahun keluaran: Tayangan Perdana 2010 (Rusia): 20 Mei 2010 Negara: Amerika Syarikat Pengarah: Michael Pitchel Skrip: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: komedi keluarga, fantasi, pengembaraan Laman web rasmi: www.shrekforeverafter.com plot bagal

Bolehkah saya menderma darah semasa haid?
Doktor tidak mengesyorkan menderma darah semasa haid, kerana. kehilangan darah, walaupun tidak dalam jumlah yang ketara, penuh dengan penurunan paras hemoglobin dan kemerosotan dalam kesejahteraan wanita. Semasa prosedur derma darah, keadaan dengan kesejahteraan boleh menjadi lebih teruk sehingga penemuan pendarahan. Oleh itu, wanita hendaklah mengelak daripada menderma darah semasa haid. Dan sudah pada hari ke-5 selepas mereka selesai

Berapa kcal / jam yang digunakan semasa mencuci lantai
Jenis aktiviti fizikal Penggunaan tenaga, kcal/j Memasak 80 Berpakaian 30 Memandu 50 Membersihkan debu 80 Makan 30 Berkebun 135 Menyeterika 45 Mengemas katil 130 Membeli-belah 80 Kerja sedentari 75 Memotong kayu 300 Mencuci lantai 130 Seks 100-150 Menari aerobik intensiti rendah

Apakah maksud perkataan "penyangak"?
Penyangak ialah pencuri yang terlibat dalam pencurian kecil-kecilan, atau penyangak yang terdedah kepada muslihat penipuan. Pengesahan definisi ini terkandung dalam kamus etimologi Krylov, yang menurutnya perkataan "penipu" dibentuk daripada perkataan "penipu" (pencuri, penipu), serupa dengan kata kerja &la

Apakah nama cerita terakhir yang diterbitkan oleh saudara Strugatsky
Sedikit cerita Arkady dan Boris Strugatsky "Mengenai isu cyclotation" pertama kali diterbitkan pada April 2008 dalam antologi fiksyen sains "Noon. XXI century" (tambahan kepada majalah "Vokrug sveta", diterbitkan di bawah editorial Boris Strugatsky). Penerbitan itu didedikasikan untuk ulang tahun ke-75 Boris Strugatsky.

Mana boleh baca cerita peserta program Work And Travel USA
Work and Travel USA (kerja dan melancong di AS) ialah program pertukaran pelajar yang popular di mana anda boleh menghabiskan musim panas di Amerika, bekerja secara sah dalam sektor perkhidmatan dan melancong. Sejarah program Kerja & Perjalanan adalah sebahagian daripada program Cultural Exchange Pro pertukaran antara kerajaan

Telinga. Rujukan masakan dan sejarah Selama lebih daripada dua setengah abad, perkataan "ukha" telah digunakan untuk menamakan sup atau rebusan ikan segar. Tetapi ada masanya perkataan ini ditafsirkan dengan lebih luas. Mereka menandakan sup - bukan sahaja ikan, tetapi juga daging, kacang dan juga manis. Jadi dalam dokumen sejarah - "

Portal maklumat dan merekrut Superjob.ru - portal merekrut Superjob.ru berfungsi pasaran Rusia pengambilan dalam talian sejak tahun 2000 dan merupakan peneraju di antara sumber yang menawarkan pencarian pekerjaan dan perjawatan. Lebih daripada 80,000 resume pakar dan lebih daripada 10,000 kekosongan ditambah ke pangkalan data tapak setiap hari.

Apa itu motivasi
Definisi motivasi Motivasi (dari lat. moveo - I move) - dorongan untuk bertindak; proses dinamik pelan fisiologi dan psikologi yang mengawal tingkah laku manusia, menentukan hala tuju, organisasi, aktiviti dan kestabilannya; keupayaan manusia untuk memenuhi keperluannya melalui tenaga kerja. Motivac

Siapa Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, nama sebenarnya - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; lahir 24 Mei 1941) ialah seorang penulis lagu Amerika yang - menurut tinjauan pendapat oleh majalah Rolling Stone - adalah yang kedua (

Bagaimana untuk mengangkut tumbuhan dalaman
Selepas pembelian tumbuhan dalaman, tukang kebun berhadapan dengan tugas menghantar bunga eksotik yang dibeli tanpa cedera. Mengetahui peraturan asas untuk membungkus dan mengangkut tumbuhan dalaman akan membantu menyelesaikan masalah ini. Tumbuhan mesti dibungkus untuk diangkut atau diangkut. Tidak kira betapa pendek jarak tumbuhan dibawa, ia boleh rosak, ia boleh kering, dan pada musim sejuk & m

Apakah ekstrem bagi suatu fungsi dan apakah syarat yang diperlukan untuk ekstremum?

Extremum fungsi ialah maksimum dan minimum fungsi.

Syarat ini perlu, tetapi tidak mencukupi. Terbitan pada titik x = a boleh lenyap, pergi ke infiniti, atau tidak wujud tanpa fungsi mempunyai ekstrem pada ketika ini.

Apakah syarat yang mencukupi untuk ekstrem fungsi (maksimum atau minimum)?

Syarat pertama:

Sebaliknya, anda boleh menggunakan syarat mencukupi kedua untuk extremum fungsi:

Biarkan pada titik x = dan terbitan pertama f? (x) lenyap; jika terbitan kedua f??(а) adalah negatif, maka fungsi f(x) mempunyai maksimum pada titik x = a, jika ia positif, maka minimum.

Apakah titik kritikal fungsi dan bagaimana untuk mencarinya?

Sebagai contoh, mari kita cari ekstrem parabola.

Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivatif fungsi: y?(x) = 6x + 2

Kami menyelesaikan persamaan: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Dalam kes ini, titik kritikal ialah x0=-1/3. Ia adalah untuk nilai hujah ini yang mempunyai fungsi melampau. Untuk mendapatkannya cari, kami menggantikan nombor yang ditemui dalam ungkapan untuk fungsi dan bukannya "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Bagaimana untuk menentukan maksimum dan minimum fungsi, i.e. nilai terbesar dan terkecilnya?

Untuk contoh yang dipertimbangkan:

Kami mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kiri titik kritikal: x = -1

Apabila x = -1, nilai terbitan ialah y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (iaitu, tanda tolak).

Sekarang kita mengambil nilai arbitrari argumen di sebelah kanan titik kritikal: x = 1

Untuk x = 1, nilai terbitan ialah y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (iaitu, tanda tambah).

Seperti yang anda lihat, apabila melalui titik kritikal, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah. Ini bermakna pada nilai kritikal x0 kita mempunyai titik minimum.

Sebagai contoh, mari cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tersebut

y (x) \u003d 3 dosa (x) - 0.5x

pada selang waktu:

Jadi terbitan bagi fungsi tersebut ialah

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Kami menyelesaikan persamaan 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

Kami mencari titik kritikal pada selang [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (tidak termasuk dalam selang)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (tidak termasuk dalam selang)

Kami mencari nilai fungsi pada nilai kritikal hujah:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Ia boleh dilihat bahawa pada selang [-9; 9] fungsi mempunyai nilai terbesar pada x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

dan yang terkecil - pada x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Pada selang [-6; -3] kita hanya mempunyai satu titik kritikal: x = -4.88. Nilai fungsi pada x = -4.88 ialah y = 5.398.

Kami mencari nilai fungsi pada hujung selang:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Pada selang [-6; -3] kita mempunyai nilai terbesar bagi fungsi tersebut

y = 5.398 pada x = -4.88

nilai terkecil ialah

y = 1.077 pada x = -3

Bagaimana untuk mencari titik infleksi graf fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?

Bagaimana untuk mencari ekstrem fungsi dua pembolehubah?

Untuk mencari extrema fungsi f(x, y), boleh dibezakan dalam kawasan tugasannya, anda perlukan:

1) cari titik kritikal, dan untuk ini, selesaikan sistem persamaan

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) bagi setiap titik kritikal P0(a;b), siasat sama ada tanda perbezaan itu kekal tidak berubah

Begitu juga, extrema fungsi ditentukan untuk bilangan argumen yang lebih besar.

Bagaimana untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen?

Untuk ini kami mengikuti algoritma yang terkenal:

1 . Kami dapati fungsi ODZ.

2 . Mencari terbitan bagi suatu fungsi

3 . Samakan terbitan kepada sifar

4 . Kami mencari selang di mana derivatif mengekalkan tandanya, dan daripadanya kami menentukan selang peningkatan dan penurunan fungsi:

Jika pada selang I terbitan bagi fungsi 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat sepanjang selang ini.

Jika pada selang I terbitan bagi fungsi , maka fungsi itu berkurangan sepanjang selang ini.

5 . Kita dapati titik maksimum dan minimum fungsi.

DALAM titik maksimum fungsi, derivatif bertukar tanda daripada "+" kepada "-".

DALAM titik minimum fungsitanda perubahan terbitan daripada "-" kepada "+".

6 . Kami mencari nilai fungsi di hujung segmen,

kemudian kita membandingkan nilai fungsi di hujung segmen dan pada titik maksimum, dan pilih yang terbesar jika anda perlu mencari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
atau kita bandingkan nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik minimum, dan pilih yang terkecil jika anda perlu mencari nilai terkecil bagi fungsi tersebut

Walau bagaimanapun, bergantung pada cara fungsi berfungsi pada selang waktu, algoritma ini boleh dikurangkan dengan ketara.

Pertimbangkan fungsinya . Graf fungsi ini kelihatan seperti ini:

Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian masalah daripada bank terbuka tugasan untuk

1 . Tugasan B15 (#26695)

Pada potongan.

1. Fungsi ditakrifkan untuk semua nilai sebenar x

Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, dan derivatifnya adalah positif untuk semua nilai x. Oleh itu, fungsi meningkat dan mengambil nilai terbesar di hujung kanan selang, iaitu, pada x=0.

Jawapan: 5.

2 . Tugas B15 (No. 26702)

Cari nilai terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen.

1.fungsi ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivatif adalah sifar pada , bagaimanapun, pada titik ini ia tidak mengubah tanda:

Oleh itu, tajuk="3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di hujung kanan selang, pada .

Untuk menjelaskan mengapa derivatif tidak menukar tanda, kami mengubah ungkapan untuk terbitan seperti berikut:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Jawapan: 5.

3 . Tugasan B15 (#26708)

Cari nilai terkecil bagi fungsi pada selang .

1. Fungsi ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Mari letakkan punca-punca persamaan ini pada bulatan trigonometri.

Selang mengandungi dua nombor: dan

Mari letak papan tanda. Untuk melakukan ini, kita tentukan tanda terbitan pada titik x=0: . Apabila melalui titik dan tanda perubahan terbitan.

Mari kita gambarkan perubahan tanda terbitan fungsi pada garis koordinat:

Jelas sekali, titik itu adalah titik minimum (di mana derivatif berubah tanda dari "-" ke "+"), dan untuk mencari nilai terkecil fungsi pada selang waktu, anda perlu membandingkan nilai fungsi pada titik minimum dan di hujung kiri segmen, .

Popular dalam kategori: