Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen. Bagaimana untuk mencari nilai terkecil sesuatu fungsi
Nilai terbesar (paling kecil) bagi fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima bagi ordinat dalam selang yang dipertimbangkan.
Untuk mencari yang terbesar atau nilai terkecil fungsi yang diperlukan:
- Semak mata pegun yang termasuk dalam segmen yang diberikan.
- Kira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun dari langkah 3
- Pilih daripada hasil yang diperolehi nilai terbesar atau terkecil.
Untuk mencari mata maksimum atau minimum, anda perlu:
- Cari terbitan bagi fungsi $f"(x)$
- Cari titik pegun dengan menyelesaikan persamaan $f"(x)=0$
- Memfaktorkan terbitan bagi suatu fungsi.
- Lukis garis koordinat, letakkan titik pegun di atasnya dan tentukan tanda terbitan dalam selang yang diperoleh, menggunakan tatatanda klausa 3.
- Cari mata maksimum atau minimum mengikut peraturan: jika pada satu titik derivatif berubah tanda dari tambah ke tolak, maka ini akan menjadi titik maksimum (jika dari tolak ke tambah, maka ini akan menjadi titik minimum). Dalam amalan, adalah mudah untuk menggunakan imej anak panah pada selang: pada selang di mana terbitan positif, anak panah dilukis ke atas dan sebaliknya.
Jadual terbitan beberapa fungsi asas:
| Fungsi | Derivatif |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-dosa2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Peraturan asas pembezaan
1. Terbitan jumlah dan perbezaan adalah sama dengan terbitan bagi setiap sebutan
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Cari terbitan bagi fungsi $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Terbitan jumlah dan perbezaan adalah sama dengan terbitan bagi setiap sebutan
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Terbitan produk.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Cari terbitan $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Terbitan hasil bagi
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Cari terbitan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi luaran dan terbitan fungsi dalaman
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Cari titik minimum bagi fungsi $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Cari ODZ bagi fungsi: $x+11>0; x>-11$
2. Cari terbitan bagi fungsi $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Cari titik pegun dengan menyamakan terbitan kepada sifar
$(2x+21)/(x+11)=0$
Pecahan adalah sifar jika pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar
$2x+21=0; x≠-11$
4. Lukis garis koordinat, letakkan titik pegun di atasnya dan tentukan tanda terbitan dalam selang yang diperoleh. Untuk melakukan ini, kami menggantikan ke dalam derivatif sebarang nombor dari kawasan paling kanan, sebagai contoh, sifar.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Pada titik minimum, tanda derivatif berubah daripada tolak kepada tambah, oleh itu, mata $-10.5$ ialah titik minimum.
Jawapan: $-10.5$
Cari nilai tertinggi fungsi $y=6x^5-90x^3-5$ pada selang $[-5;1]$
1. Cari terbitan bagi fungsi $y′=30x^4-270x^2$
2. Samakan terbitan kepada sifar dan cari titik pegun
$30x^4-270x^2=0$
Mari kita ambil faktor sepunya $30x^2$ daripada kurungan
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Tetapkan setiap faktor sama dengan sifar
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Pilih titik pegun yang tergolong dalam segmen $[-5;1]$ yang diberikan
Mata pegun $x=0$ dan $x=-3$ sesuai untuk kita
4. Kira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun dari item 3
Selalunya dalam fizik dan matematik ia diperlukan untuk mencari nilai terkecil sesuatu fungsi. Bagaimana untuk melakukan ini, kami akan memberitahu sekarang.
Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi: arahan
- Untuk mengira nilai terkecil bagi fungsi berterusan pada selang tertentu, anda perlu mengikuti algoritma ini:
- Cari terbitan bagi suatu fungsi.
- Cari pada segmen tertentu titik di mana terbitan adalah sama dengan sifar, serta semua titik kritikal. Kemudian ketahui nilai-nilai fungsi pada titik-titik ini, iaitu, selesaikan persamaan di mana x sama dengan sifar. Ketahui nilai mana yang paling kecil.
- Ketahui apakah nilai fungsi pada titik akhir. Tentukan nilai terkecil bagi fungsi pada titik ini.
- Bandingkan data yang diterima dengan nilai terkecil. Semakin kecil nombor yang diterima akan menjadi nilai terkecil bagi fungsi tersebut.
Ambil perhatian bahawa sekiranya fungsi pada segmen tidak mempunyai titik terkecil, ini bermakna ia bertambah atau berkurang pada segmen ini. Oleh itu, nilai terkecil hendaklah dikira pada segmen terhingga fungsi.
Dalam semua kes lain, nilai fungsi dikira mengikut algoritma yang diberikan. Pada setiap langkah algoritma, anda perlu menyelesaikan yang mudah persamaan linear dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan lukisan untuk mengelakkan kesilapan.
Bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen separuh terbuka? Pada separuh terbuka atau tempoh terbuka fungsi, nilai terkecil harus dijumpai seperti berikut. Pada titik akhir nilai fungsi, hitung had satu sisi fungsi. Dalam erti kata lain, selesaikan persamaan di mana titik cenderung diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, di mana a dan b ialah nama titik kritikal.
Sekarang anda tahu cara mencari nilai terkecil bagi sesuatu fungsi. Perkara utama ialah melakukan semua pengiraan dengan betul, tepat dan tanpa kesilapan.
Proses mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen adalah mengingatkan penerbangan yang menarik mengelilingi objek (graf fungsi) pada helikopter dengan tembakan dari meriam jarak jauh pada titik tertentu dan memilih daripada mata ini mata yang sangat istimewa untuk tembakan kawalan. Mata dipilih dengan cara tertentu dan mengikut peraturan tertentu. Dengan peraturan apa? Kami akan bercakap tentang ini lebih lanjut.
Jika fungsi y = f(x) berterusan pada selang [ a, b] , kemudian ia sampai pada segmen ini paling kurang Dan nilai tertinggi . Ini sama ada boleh berlaku dalam titik melampau atau di hujung segmen. Oleh itu, untuk mencari paling kurang Dan nilai terbesar fungsi , berterusan pada selang [ a, b] , anda perlu mengira nilainya dalam semua titik kritikal dan di hujung segmen, dan kemudian pilih yang terkecil dan terbesar.
Biarkan, sebagai contoh, ia diperlukan untuk menentukan nilai maksimum fungsi f(x) pada segmen [ a, b] . Untuk melakukan ini, cari semua titik kritikalnya terletak pada [ a, b] .
titik kritikal dipanggil titik di mana fungsi yang ditakrifkan, dan dia terbitan sama ada sifar atau tidak wujud. Kemudian anda harus mengira nilai fungsi pada titik kritikal. Dan, akhirnya, seseorang harus membandingkan nilai fungsi dalam titik kritikal dan di hujung segmen ( f(a) Dan f(b) ). Yang terbesar daripada nombor ini ialah nilai terbesar bagi fungsi pada selang [a, b] .
Masalah mencari nilai terkecil bagi fungsi tersebut .
Kami sedang mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi bersama-sama
Contoh 1. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi 
pada segmen [-1, 2]
.
Penyelesaian. Kami mencari terbitan bagi fungsi ini. Samakan terbitan kepada sifar () dan dapatkan dua titik kritikal: dan . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen tertentu, cukup untuk mengira nilainya di hujung segmen dan pada titik , kerana titik itu tidak tergolong dalam segmen [-1, 2] . Nilai fungsi ini adalah seperti berikut: , , . Ia berikutan itu nilai fungsi terkecil(ditandakan dengan warna merah pada graf di bawah), sama dengan -7, dicapai di hujung kanan segmen - pada titik , dan terhebat(juga merah pada graf), adalah sama dengan 9, - pada titik kritikal .
Jika fungsi berterusan dalam selang tertentu dan selang ini bukan segmen (tetapi, sebagai contoh, selang; perbezaan antara selang dan segmen: titik sempadan selang tidak termasuk dalam selang, tetapi titik sempadan segmen dimasukkan ke dalam segmen), maka di antara nilai fungsi mungkin tidak ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, sebagai contoh, fungsi yang digambarkan dalam rajah di bawah adalah berterusan pada ]-∞, +∞[ dan tidak mempunyai nilai terbesar.
Walau bagaimanapun, untuk sebarang selang (tertutup, terbuka atau tidak terhingga), sifat berikut bagi fungsi berterusan dipegang.
Contoh 4. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen [-1, 3] .
Penyelesaian. Kami mendapati terbitan fungsi ini sebagai terbitan hasil bagi:
.
Kami menyamakan derivatif kepada sifar, yang memberi kami satu titik kritikal: . Ia tergolong dalam selang [-1, 3] . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:
Mari kita bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai yang paling besar sama dengan 1 pada titik .
Kami terus mencari nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi bersama-sama
Terdapat guru yang, dalam topik mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi, tidak memberikan pelajar contoh yang lebih rumit daripada yang baru dipertimbangkan, iaitu, mereka yang fungsinya adalah polinomial atau pecahan, pengangka. dan penyebutnya ialah polinomial. Tetapi kita tidak akan mengehadkan diri kita kepada contoh sedemikian, kerana di kalangan guru terdapat pencinta membuat pelajar berfikir sepenuhnya (jadual derivatif). Oleh itu, logaritma dan fungsi trigonometri akan digunakan.
Contoh 6. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen .
Penyelesaian. Kami mendapati terbitan fungsi ini sebagai derivatif produk :
Kami menyamakan derivatif kepada sifar, yang memberikan satu titik kritikal: . Ia tergolong dalam segmen. Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:
Hasil daripada semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada satu titik dan pada satu titik dan nilai yang paling besar sama dengan e², pada titik itu.
Contoh 7. Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi 
pada segmen .
Penyelesaian. Kami mencari terbitan fungsi ini:
Samakan terbitan kepada sifar:
Satu-satunya titik kritikal adalah kepunyaan segmen . Untuk mencari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi pada segmen tertentu, kami mencari nilainya di hujung segmen dan pada titik kritikal yang ditemui:
Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , pada titik dan nilai yang paling besar, sama dengan , pada titik .
Dalam masalah ekstrem yang digunakan, mencari nilai fungsi terkecil (terbesar), sebagai peraturan, dikurangkan kepada mencari minimum (maksimum). Tetapi bukan minima atau maxima itu sendiri yang mempunyai kepentingan praktikal yang lebih besar, tetapi nilai-nilai hujah di mana ia dicapai. Apabila menyelesaikan masalah yang digunakan, kesukaran tambahan timbul - penyusunan fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.
Contoh 8 Sebuah tangki berkapasiti 4, mempunyai bentuk selari dengan tapak segi empat sama dan terbuka di bahagian atas, mesti ditindas. Apakah dimensi tangki yang sepatutnya untuk menutupnya dengan bahan yang paling sedikit?
Penyelesaian. biarlah x- bahagian asas h- ketinggian tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- isipadunya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan formula, i.e. ialah fungsi dua pembolehubah. Untuk menyatakan S sebagai fungsi satu pembolehubah, kita menggunakan fakta bahawa , dari mana . Menggantikan ungkapan yang ditemui h ke dalam formula untuk S:
Mari kita periksa fungsi ini untuk ekstrem. Ia ditakrifkan dan boleh dibezakan di mana-mana dalam ]0, +∞[ , dan
.
Kami menyamakan terbitan kepada sifar () dan mencari titik kritikal. Di samping itu, pada , terbitan tidak wujud, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan oleh itu tidak boleh menjadi titik ekstrem. Jadi, - satu-satunya titik kritikal. Mari kita semak untuk kehadiran ekstrem menggunakan tanda mencukupi kedua. Mari cari terbitan kedua. Apabila terbitan kedua lebih besar daripada sifar (). Ini bermakna apabila fungsi mencapai minimum 
. Kerana ini minimum - satu-satunya ekstrem fungsi ini, ia adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi pangkalan tangki hendaklah sama dengan 2 m, dan ketinggiannya.
Contoh 9 Daripada perenggan A, terletak di laluan kereta api, ke titik DENGAN, pada jarak darinya l, barang mesti diangkut. Kos mengangkut unit berat per unit jarak dengan kereta api adalah sama dengan , dan melalui lebuh raya ia adalah sama dengan . Ke tahap mana M garisan kereta api sebuah lebuh raya perlu dibina supaya pengangkutan barang dari A V DENGAN adalah yang paling menjimatkan AB jalan kereta api diandaikan lurus)?
Kajian tentang objek analisis matematik seperti fungsi adalah sangat penting. maksudnya dan dalam bidang sains yang lain. Sebagai contoh, dalam analisis ekonomi sentiasa perlu menilai tingkah laku fungsi keuntungan, iaitu untuk menentukan maksimumnya maksudnya dan membangunkan strategi untuk mencapainya.
Arahan
Kajian tentang sebarang tingkah laku hendaklah sentiasa dimulakan dengan mencari domain definisi. Biasanya, mengikut keadaan masalah tertentu, ia diperlukan untuk menentukan yang terbesar maksudnya fungsi sama ada di seluruh kawasan ini, atau pada selang tertentu dengan sempadan terbuka atau tertutup.
Berdasarkan , yang terbesar ialah maksudnya fungsi y(x0), di mana bagi mana-mana titik domain takrifan ketaksamaan y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) dipenuhi. Secara grafik, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika anda menyusun nilai hujah di sepanjang paksi abscissa, dan fungsi itu sendiri di sepanjang paksi ordinat.
Untuk menentukan yang terbesar maksudnya fungsi, ikut algoritma tiga langkah. Ambil perhatian bahawa anda mesti boleh bekerja dengan satu sisi dan , serta mengira derivatif. Jadi, biarkan beberapa fungsi y(x) diberikan dan ia dikehendaki mencari terbesarnya maksudnya pada beberapa selang dengan nilai sempadan A dan B.
Ketahui sama ada selang ini berada dalam skop fungsi. Untuk melakukan ini, anda perlu mencarinya, dengan mempertimbangkan semua sekatan yang mungkin: kehadiran pecahan dalam ungkapan, punca kuasa dua dan lain-lain. Domain definisi ialah set nilai hujah yang mana fungsi itu masuk akal. Tentukan sama ada selang yang diberi ialah subset daripadanya. Jika ya, teruskan ke langkah seterusnya.
Cari terbitan fungsi dan selesaikan persamaan yang terhasil dengan menyamakan terbitan kepada sifar. Oleh itu, anda akan mendapat nilai mata pegun yang dipanggil. Nilai jika sekurang-kurangnya satu daripadanya tergolong dalam selang A, B.
Pertimbangkan perkara ini pada peringkat ketiga, gantikan nilainya ke dalam fungsi. Lakukan langkah tambahan berikut bergantung pada jenis selang waktu. Jika terdapat segmen bentuk [A, B], titik sempadan dimasukkan dalam selang, ini ditunjukkan oleh kurungan. Kira Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika selang terbuka ialah (A, B), nilai sempadan ditebuk, i.e. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan had sebelah untuk x→A dan x→B. Selang gabungan bentuk [A, B) atau (A, B), satu daripada sempadannya adalah miliknya, satu lagi tidak. Cari had sebelah kerana x cenderung kepada nilai tertusuk, dan gantikan satu lagi ke dalam fungsi Selang dua belah tak terhingga (-∞, +∞) atau selang tak terhingga satu sisi dalam bentuk: , (-∞, B) Untuk had sebenar A dan B, teruskan mengikut prinsip yang telah diterangkan dan untuk tak terhingga , cari had untuk x→-∞ dan x→+∞, masing-masing.
Tugas pada peringkat ini
Nilai terbesar dan terkecil fungsi
Nilai terbesar fungsi dipanggil terbesar, nilai terkecil adalah terkecil dari semua nilainya.
Fungsi mungkin hanya mempunyai satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak mempunyai nilai sama sekali. Mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan adalah berdasarkan sifat berikut bagi fungsi ini:
1) Jika dalam beberapa selang (terhingga atau tidak terhingga) fungsi y=f(x) adalah berterusan dan mempunyai hanya satu ekstrem, dan jika ini adalah maksimum (minimum), maka ia akan menjadi nilai terbesar (terkecil) fungsi dalam selang ini.
2) Jika fungsi f(x) berterusan pada beberapa segmen , maka ia semestinya mempunyai nilai terbesar dan terkecil pada segmen ini. Nilai ini dicapai sama ada di titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau di sempadan segmen ini.
Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil pada segmen, disyorkan untuk menggunakan skema berikut:
1. Cari terbitan.
2. Cari titik genting bagi fungsi di mana =0 atau tidak wujud.
3. Cari nilai fungsi pada titik kritikal dan di hujung segmen dan pilih daripadanya f maks terbesar dan f min terkecil.
Apabila menyelesaikan masalah yang digunakan, khususnya masalah pengoptimuman, masalah mencari nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) fungsi pada selang X adalah penting. Untuk menyelesaikan masalah sedemikian, seseorang harus, berdasarkan keadaan , pilih pembolehubah bebas dan nyatakan nilai yang dikaji melalui pembolehubah ini. Kemudian cari nilai maksimum atau minimum yang dikehendaki bagi fungsi yang terhasil. Dalam kes ini, selang perubahan pembolehubah bebas, yang boleh terhingga atau tidak terhingga, juga ditentukan daripada keadaan masalah.
Contoh. Tangki, yang mempunyai bentuk selari segi empat tepat dengan bahagian bawah persegi, terbuka di bahagian atas, mesti di dalam tin dengan timah. Apa yang sepatutnya menjadi dimensi tangki dengan kapasiti 108 liter. air supaya kos tinningnya paling sedikit?
Penyelesaian. Kos menyalut tangki dengan timah akan menjadi yang paling rendah jika, untuk kapasiti tertentu, permukaannya adalah minimum. Nyatakan dengan dm - sisi tapak, b dm - ketinggian tangki. Maka luas S permukaannya adalah sama dengan
DAN 
Hubungan yang terhasil mewujudkan hubungan antara luas permukaan tangki S (fungsi) dan sisi tapak a (argumen). Kami menyiasat fungsi S untuk ekstrem. Cari terbitan pertama, samakan dengan sifar dan selesaikan persamaan yang terhasil:
Oleh itu a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Contoh. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi 
di antara.
Penyelesaian: Fungsi yang ditentukan adalah berterusan pada keseluruhan paksi nombor. Derivatif fungsi
Derivatif pada dan pada . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik ini:
.
Nilai fungsi di hujung selang yang diberikan adalah sama dengan . Oleh itu, nilai terbesar bagi fungsi ialah pada , nilai terkecil bagi fungsi itu ialah pada .
Soalan untuk pemeriksaan diri
1. Merumuskan peraturan L'Hopital untuk pendedahan ketidakpastian borang . Senaraikan pelbagai jenis ketidakpastian yang mana peraturan L'Hospital boleh digunakan.
2. Merumus tanda-tanda peningkatan dan penurunan fungsi.
3. Tentukan maksimum dan minimum fungsi.
4. Merumus syarat yang diperlukan untuk kewujudan ekstrem.
5. Apakah nilai hujah (titik apa) yang dipanggil kritikal? Bagaimana untuk mencari mata ini?
6. Apakah tanda-tanda yang mencukupi tentang kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi? Gariskan skema untuk mengkaji fungsi bagi ekstrem menggunakan terbitan pertama.
7. Gariskan skema untuk mengkaji fungsi bagi ekstrem menggunakan terbitan kedua.
8. Takrifkan kecembungan, lekuk lengkung.
9. Apakah titik lentur bagi graf fungsi? Nyatakan cara mencari titik ini.
10. Merumuskan tanda-tanda kecembungan dan lekuk lengkung yang perlu dan mencukupi pada segmen tertentu.
11. Takrifkan asimtot bagi lengkung. Bagaimana untuk mencari asimtot menegak, mendatar dan serong bagi graf fungsi?
12. Negeri skim umum mengkaji fungsi dan pembinaan grafnya.
13. Merumuskan peraturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada selang tertentu.
