Titik ekstrem bagi fungsi f x. Apakah ekstrem fungsi: titik kritikal maksimum dan minimum

Melepasi ketaksamaan ini kepada had sebagai Δ x→ 0 dan mengambil kira bahawa terbitan f "(x 0) wujud, dan oleh itu had di sebelah kiri tidak bergantung pada bagaimana Δ x→ 0, kita dapat: untuk Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 dan pada Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Sejak f" (x 0) mentakrifkan nombor, maka kedua-dua ketaksamaan ini hanya serasi jika f" (x 0) = 0.

Teorem terbukti menyatakan bahawa titik maksimum dan minimum hanya boleh berada di antara nilai-nilai hujah yang mana terbitannya hilang.

Kami telah mempertimbangkan kes apabila fungsi mempunyai derivatif di semua titik segmen tertentu. Apa yang berlaku apabila derivatif tidak wujud? Pertimbangkan contoh.

y =|x |.

Fungsi tersebut tidak mempunyai terbitan pada satu titik x=0 (pada ketika ini, graf fungsi tidak mempunyai tangen yang pasti), tetapi pada ketika ini fungsi mempunyai minimum, kerana y(0)=0, dan untuk semua x ≠ 0y > 0.

Oleh itu, daripada contoh yang diberikan dan teorem yang dirumuskan adalah jelas bahawa fungsi boleh mempunyai ekstrem hanya dalam dua kes: 1) pada titik di mana terbitan wujud dan sama dengan sifar; 2) pada titik di mana derivatif tidak wujud.

Namun, jika pada satu ketika x 0 kita tahu itu f"(x 0 ) =0, maka tidak boleh disimpulkan daripada ini bahawa pada titik itu x 0 fungsi mempunyai ekstrem.

Sebagai contoh.

Tetapi titik x=0 bukan titik ekstrem, kerana di sebelah kiri titik ini nilai fungsi terletak di bawah paksi lembu, dan di atas di sebelah kanan.

Nilai hujah daripada domain fungsi, yang mana terbitan fungsi itu hilang atau tidak wujud, dipanggil titik kritikal .

Ia berikutan daripada perkara di atas bahawa titik ekstrem fungsi adalah antara titik kritikal, dan, bagaimanapun, tidak setiap titik kritikal ialah titik ekstrem. Oleh itu, untuk mencari ekstrem fungsi, anda perlu mencari semua titik kritikal fungsi, dan kemudian memeriksa setiap titik ini secara berasingan untuk maksimum dan minimum. Untuk ini, teorem berikut berfungsi.

Teorem 2. (Sesuatu keadaan yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem.) Biarkan fungsi itu berterusan pada beberapa selang yang mengandungi titik kritikal x 0 , dan boleh dibezakan pada semua titik selang ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri x 0). Jika, apabila melepasi dari kiri ke kanan melalui titik ini, derivatif bertukar tanda dari tambah kepada tolak, kemudian pada titik x = x 0 fungsi mempunyai maksimum. Jika, apabila melalui x 0 dari kiri ke kanan, derivatif bertukar tanda dari tolak ke tambah, maka fungsi mempunyai minimum pada ketika ini.

Justeru, jika

f"(x)>0 pada x <x 0 dan f"(x)< 0 pada x > x 0, kemudian x 0 - titik maksimum;

Bukti. Mari kita anggap bahawa apabila melalui x 0, tanda perubahan terbitan daripada tambah kepada tolak, i.e. untuk semua x dekat dengan tujuan x 0 f "(x)> 0 untuk x< x 0 , f"(x)< 0 untuk x > x 0 . Mari kita gunakan teorem Lagrange kepada perbezaan f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), di mana c terletak di antara x Dan x 0 .

biarlah x< x 0 . Kemudian c< x 0 dan f "(c)> 0. sebab tu f "(c)(x-x 0)< 0 dan, oleh itu,

f(x) - f(x 0 )< 0, iaitu f(x)< f(x 0 ).

biarlah x > x 0 . Kemudian c> x 0 dan f"(c)< 0. Bermakna f "(c)(x-x 0)< 0. sebab tu f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Oleh itu, untuk semua nilai x cukup dekat dengan x 0 f(x) < f(x 0 ) . Dan ini bermakna bahawa pada titik itu x 0 fungsi mempunyai maksimum.

Bahagian kedua teorem minimum dibuktikan dengan cara yang sama.

Mari kita jelaskan maksud teorem ini dalam rajah. biarlah f"(x 1 ) =0 dan untuk mana-mana x, cukup dekat dengan x 1, ketidaksamaan

f"(x)< 0 pada x< x 1 , f "(x)> 0 pada x > x 1 .

Kemudian ke kiri titik x 1 fungsi semakin meningkat, dan berkurangan di sebelah kanan, oleh itu, apabila x = x 1 fungsi pergi daripada meningkat kepada menurun, iaitu, ia mempunyai maksimum.

Begitu juga, seseorang boleh mempertimbangkan mata x 2 dan x 3 .

Secara skematik, semua perkara di atas boleh digambarkan dalam gambar:

Peraturan untuk mengkaji fungsi y=f(x) untuk ekstrem

Cari skop fungsi f(x).

Cari terbitan pertama bagi suatu fungsi f"(x) .

Tentukan titik kritikal, untuk ini:

cari punca sebenar persamaan f"(x) =0;

cari semua nilai x di bawahnya derivatif f"(x) tidak wujud.

Tentukan tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik genting. Memandangkan tanda terbitan kekal malar di antara dua titik genting, ia memadai untuk menentukan tanda terbitan pada mana-mana satu titik di sebelah kiri dan pada satu titik di sebelah kanan titik genting.

Kira nilai fungsi pada titik ekstrem.

Sebelum mempelajari cara mencari extrema fungsi, adalah perlu untuk memahami apa itu extremum. Takrifan ekstrem yang paling umum ialah ia merupakan nilai terkecil atau terbesar bagi fungsi yang digunakan dalam matematik pada set garis nombor atau graf tertentu. Di tempat di mana minimum adalah, extremum minimum muncul, dan di mana maksimum adalah, extremum maksimum muncul. Juga dalam disiplin seperti analisis matematik, ekstrem tempatan sesuatu fungsi dibezakan. Sekarang mari kita lihat bagaimana untuk mencari extremums.

Keterlaluan dalam matematik adalah antara ciri terpenting bagi sesuatu fungsi, ia menunjukkan nilai terbesar dan terkecilnya. Extrema ditemui terutamanya pada titik kritikal fungsi yang ditemui. Perlu diingat bahawa ia adalah pada titik ekstrem bahawa fungsi secara radikal mengubah arahnya. Jika kita mengira derivatif titik ekstrem, maka, mengikut takrifan, ia mestilah sama dengan sifar atau ia akan tiada sepenuhnya. Oleh itu, untuk mengetahui cara mencari extremum fungsi, anda perlu melakukan dua tugasan berurutan:

• cari derivatif untuk fungsi yang perlu ditentukan oleh tugasan;
• cari punca-punca persamaan.

Urutan mencari ekstrem

1. Tuliskan fungsi f(x) yang diberikan. Cari terbitan tertib pertamanya f "(x). Samakan ungkapan yang terhasil kepada sifar.
2. Sekarang anda perlu menyelesaikan persamaan yang ternyata. Penyelesaian yang terhasil akan menjadi punca persamaan, serta titik kritikal bagi fungsi yang ditakrifkan.
3. Sekarang kita menentukan titik kritikal yang mana (maksimum atau minimum) adalah punca yang ditemui. Langkah seterusnya, selepas kita mengetahui cara mencari titik ekstrem bagi suatu fungsi, ialah mencari terbitan kedua bagi fungsi yang dikehendaki f "(x). Ia akan menjadi perlu untuk menggantikan nilai titik kritikal yang ditemui. ke dalam ketaksamaan tertentu dan kemudian hitung apa yang berlaku. Jika ini berlaku, terbitan kedua ternyata lebih besar daripada sifar pada titik kritikal, maka ia akan menjadi titik minimum, dan sebaliknya ia akan menjadi titik maksimum.
4. Ia kekal untuk mengira nilai fungsi awal pada titik maksimum dan minimum fungsi yang diperlukan. Untuk melakukan ini, kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam fungsi dan mengira. Walau bagaimanapun, perlu diperhatikan bahawa jika titik kritikal ternyata maksimum, maka ekstrem akan menjadi maksimum, dan jika ia adalah minimum, maka ia akan menjadi minimum dengan analogi.

Algoritma untuk mencari ekstrem

Untuk meringkaskan pengetahuan yang diperoleh, mari kita buat algoritma ringkas tentang cara mencari titik ekstrem.

1. Kami mencari domain bagi fungsi yang diberikan dan selangnya, yang menentukan dengan tepat pada selang apa fungsi itu berterusan.
2. Kami mencari terbitan bagi fungsi f "(x).
3. Kami mengira titik kritikal bagi persamaan y = f (x).
4. Kami menganalisis perubahan arah fungsi f (x), serta tanda terbitan f "(x) di mana titik genting memisahkan domain takrifan fungsi ini.
5. Sekarang kita tentukan sama ada setiap titik pada graf adalah maksimum atau minimum.
6. Kami mencari nilai fungsi pada titik yang ekstrem.
7. Kami menetapkan hasil kajian ini - keterlaluan dan selang monotonisitas. Itu sahaja. Sekarang kita telah mempertimbangkan cara mencari ekstrem pada sebarang selang waktu. Sekiranya anda perlu mencari ekstrem pada selang tertentu fungsi, maka ini dilakukan dengan cara yang sama, hanya sempadan kajian yang dilakukan semestinya diambil kira.

Jadi, kami telah mempertimbangkan cara mencari titik ekstrem bagi sesuatu fungsi. Dengan bantuan pengiraan mudah, serta pengetahuan tentang mencari derivatif, anda boleh mencari mana-mana ekstrem dan mengiranya, serta menetapkannya secara grafik. Mencari keterlaluan adalah salah satu bahagian matematik yang paling penting, baik di sekolah dan di institusi pendidikan tinggi, oleh itu, jika anda belajar cara menentukannya dengan betul, maka pembelajaran akan menjadi lebih mudah dan lebih menarik.

Daripada artikel ini, pembaca akan mengetahui tentang nilai kefungsian yang melampau, serta tentang ciri penggunaannya dalam amalan. Kajian tentang konsep sedemikian amat penting untuk memahami asas matematik yang lebih tinggi. Topik ini adalah asas kepada kajian yang lebih mendalam tentang kursus ini.

Bersentuhan dengan

Apakah yang melampau?

Dalam kursus sekolah, banyak definisi konsep "ekstrem" diberikan. Artikel ini bertujuan untuk memberi pemahaman yang paling mendalam dan jelas tentang istilah tersebut bagi mereka yang jahil tentang isu tersebut. Jadi, istilah ini difahami sejauh mana selang fungsi memperoleh nilai minimum atau maksimum pada set tertentu.

Extremum ialah nilai minimum fungsi dan maksimum pada masa yang sama. Terdapat titik minimum dan titik maksimum, iaitu nilai ekstrem argumen pada graf. Sains utama di mana konsep ini digunakan:

• statistik;
• kawalan mesin;
• ekonometrik.

Titik ekstrem memainkan peranan penting dalam menentukan jujukan fungsi tertentu. Sistem koordinat pada graf pada tahap terbaik menunjukkan perubahan dalam kedudukan melampau bergantung pada perubahan dalam kefungsian.

Ekstrim fungsi terbitan

Terdapat juga perkara seperti "derivatif". Ia adalah perlu untuk menentukan titik ekstrem. Adalah penting untuk tidak mengelirukan mata minimum atau maksimum dengan nilai terbesar dan terkecil. Ini adalah konsep yang berbeza, walaupun ia mungkin kelihatan serupa.

Nilai fungsi adalah faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Derivatif tidak terbentuk daripada nilai, tetapi secara eksklusif dari kedudukannya yang melampau dalam satu susunan atau yang lain.

Derivatif itu sendiri ditentukan berdasarkan data titik ekstrem, dan bukan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah-sekolah Rusia, garis antara kedua-dua konsep ini tidak dilukis dengan jelas, yang mempengaruhi pemahaman topik ini secara umum.

Sekarang mari kita pertimbangkan perkara sedemikian sebagai "ekstrem yang tajam". Sehingga kini, terdapat nilai minimum akut dan nilai maksimum akut. Takrifan diberikan mengikut klasifikasi Rusia bagi titik kritikal sesuatu fungsi. Konsep titik ekstrem adalah asas untuk mencari titik kritikal pada carta.

Untuk menentukan konsep sedemikian, teorem Fermat digunakan. Ia adalah yang paling penting dalam kajian titik ekstrem dan memberikan gambaran yang jelas tentang kewujudan mereka dalam satu bentuk atau yang lain. Untuk memastikan keterlaluan, adalah penting untuk mewujudkan keadaan tertentu untuk menurun atau meningkat pada carta.

Untuk menjawab dengan tepat soalan "bagaimana untuk mencari titik maksimum", anda mesti mengikut peruntukan ini:

1. Mencari kawasan definisi yang tepat pada carta.
2. Cari terbitan bagi fungsi dan titik ekstrem.
3. Selesaikan ketaksamaan piawai untuk domain hujah.
4. Dapat membuktikan di mana fungsi titik pada graf ditakrifkan dan berterusan.

Perhatian! Pencarian titik genting bagi sesuatu fungsi hanya boleh dilakukan jika terdapat terbitan sekurang-kurangnya tertib kedua, yang dipastikan oleh bahagian tinggi kehadiran titik ekstrem.

Syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi

Agar ekstrem wujud, adalah penting bahawa terdapat kedua-dua titik minimum dan titik maksimum. Sekiranya peraturan ini dipatuhi hanya sebahagiannya, maka syarat kewujudan ekstrem dilanggar.

Setiap fungsi dalam mana-mana kedudukan mesti dibezakan untuk mengenal pasti makna baharunya. Adalah penting untuk memahami bahawa kes apabila titik hilang bukanlah prinsip utama untuk mencari titik yang boleh dibezakan.

Ekstrem yang tajam, serta fungsi minimum, adalah aspek yang sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematik menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, adalah penting untuk merujuk kepada nilai jadual untuk menentukan fungsi.

Titik ekstrem fungsi ialah titik dalam domain fungsi di mana nilai fungsi mengambil nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik ini dipanggil extrema (minimum dan maksimum) fungsi.

Definisi. titik x1 skop fungsi f(x) dipanggil titik maksimum fungsi , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar daripada nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di sebelah kanan dan kirinya (iaitu, ketidaksamaan f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definisi. titik x2 skop fungsi f(x) dipanggil titik minimum fungsi, jika nilai fungsi pada titik ini kurang daripada nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di sebelah kanan dan kirinya (iaitu, ketaksamaan f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Dalam kes ini, fungsi dikatakan mempunyai pada titik x2 minimum.

Katakan maksudnya x1 - titik maksimum fungsi f(x). Kemudian dalam selang sehingga x1 fungsi bertambah, jadi terbitan fungsi lebih besar daripada sifar ( f "(x) > 0 ), dan dalam selang selepas x1 fungsi semakin berkurangan, jadi derivatif fungsi kurang daripada sifar ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Marilah kita juga menganggap bahawa perkara itu x2 - titik minimum fungsi f(x). Kemudian dalam selang sehingga x2 fungsi itu berkurangan dan terbitan bagi fungsi itu kurang daripada sifar ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 fungsi semakin meningkat dan terbitan bagi fungsi itu lebih besar daripada sifar ( f "(x) > 0 ). Dalam kes ini juga pada titik x2 terbitan bagi fungsi itu adalah sifar atau tidak wujud.

Teorem Fermat (kriteria yang diperlukan untuk kewujudan ekstrem fungsi). Jika titik x0 - titik ekstrem fungsi f(x), maka pada ketika ini terbitan bagi fungsi tersebut adalah sama dengan sifar ( f "(x) = 0 ) atau tidak wujud.

Definisi. Titik di mana terbitan fungsi sama dengan sifar atau tidak wujud dipanggil titik kritikal .

Contoh 1 Mari kita pertimbangkan fungsi.

Pada titik itu x= 0 terbitan fungsi adalah sama dengan sifar, oleh itu, titik x= 0 ialah titik kritikal. Walau bagaimanapun, seperti yang boleh dilihat pada graf fungsi, ia meningkat dalam keseluruhan domain definisi, jadi titik x= 0 bukan titik ekstrem bagi fungsi ini.

Oleh itu, syarat bahawa terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar atau tidak wujud adalah syarat yang diperlukan untuk ekstrem, tetapi tidak mencukupi, kerana contoh fungsi lain boleh diberikan yang mana syarat ini dipenuhi, tetapi fungsi tidak mempunyai ekstrem pada titik yang sepadan. sebab tu mesti mempunyai petunjuk yang mencukupi, yang memungkinkan untuk menilai sama ada terdapat ekstrem pada titik kritikal tertentu dan yang mana - maksimum atau minimum.

Teorem (kriteria pertama yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Titik kritikal x0 f(x), jika derivatif fungsi berubah tanda apabila melalui titik ini, dan jika tanda berubah dari "tambah" kepada "tolak", maka titik maksimum, dan jika dari "tolak" kepada "tambah", maka titik minimum .

Jika dekat titik x0 , di sebelah kiri dan di sebelah kanannya, terbitan mengekalkan tandanya, ini bermakna fungsi itu sama ada hanya berkurangan atau hanya meningkat dalam beberapa kejiranan titik x0 . Dalam kes ini, pada titik itu x0 tidak ada yang melampau.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem fungsi, anda perlu melakukan perkara berikut :

1. Cari terbitan bagi suatu fungsi.
2. Samakan terbitan kepada sifar dan tentukan titik kritikal.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandakan titik kritikal pada paksi berangka dan tentukan tanda terbitan fungsi dalam selang yang terhasil. Jika tanda derivatif berubah daripada "tambah" kepada "tolak", maka titik kritikal ialah titik maksimum, dan jika daripada "tolak" kepada "tambah", maka titik kritikal ialah titik minimum.
4. Kira nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2 Cari ekstrem fungsi .

Penyelesaian. Mari cari terbitan fungsi:

Samakan derivatif kepada sifar untuk mencari titik kritikal:

.

Oleh kerana untuk sebarang nilai "x" penyebutnya tidak sama dengan sifar, maka kita samakan pengangka dengan sifar:

Mendapat satu titik kritikal x= 3 . Kami menentukan tanda terbitan dalam selang yang dibatasi oleh titik ini:

dalam julat dari tolak infiniti hingga 3 - tanda tolak, iaitu, fungsi berkurangan,

dalam julat dari 3 hingga tambah infiniti - tanda tambah, iaitu, fungsi meningkat.

Iaitu, titik x= 3 ialah titik minimum.

Cari nilai fungsi pada titik minimum:

Oleh itu, titik ekstrem fungsi ditemui: (3; 0) , dan ia ialah titik minimum.

Teorem (kriteria kedua yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi). Titik kritikal x0 ialah titik ekstrem bagi fungsi f(x), jika terbitan kedua bagi fungsi pada titik ini tidak sama dengan sifar ( f ""(x) ≠ 0 ), lebih-lebih lagi, jika terbitan kedua lebih besar daripada sifar ( f ""(x) > 0 ), maka titik maksimum, dan jika terbitan kedua kurang daripada sifar ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada satu titik x0 kedua-dua terbitan pertama dan kedua lenyap, maka pada ketika ini adalah mustahil untuk menilai kehadiran ekstrem berdasarkan tanda kedua yang mencukupi. Dalam kes ini, anda perlu menggunakan kriteria pertama yang mencukupi untuk extremum fungsi.

Catatan 2. Kriteria kedua yang mencukupi untuk ekstrem fungsi juga tidak boleh digunakan apabila terbitan pertama tidak wujud pada titik pegun (maka terbitan kedua juga tidak wujud). Dalam kes ini, ia juga perlu menggunakan kriteria pertama yang mencukupi untuk ekstrem fungsi.

Sifat tempatan ekstrema fungsi

Daripada takrifan di atas, ia menunjukkan bahawa ekstrem bagi sesuatu fungsi adalah bersifat setempat - ini adalah nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi itu berbanding dengan nilai terdekat.

Katakan anda mempertimbangkan pendapatan anda dalam jangka masa satu tahun. Jika pada bulan Mei anda memperoleh 45,000 rubel, dan pada bulan April 42,000 rubel dan pada bulan Jun 39,000 rubel, maka pendapatan Mei adalah maksimum fungsi pendapatan berbanding dengan nilai terdekat. Tetapi pada bulan Oktober anda memperoleh 71,000 rubel, pada bulan September 75,000 rubel, dan pada bulan November 74,000 rubel, jadi pendapatan Oktober adalah minimum fungsi pendapatan berbanding dengan nilai berdekatan. Dan anda boleh melihat dengan mudah bahawa maksimum antara nilai April-Mei-Jun adalah kurang daripada minimum September-Oktober-November.

Secara umumnya, fungsi mungkin mempunyai beberapa ekstrem pada selang waktu, dan ia mungkin ternyata bahawa mana-mana minimum fungsi itu lebih besar daripada maksimum. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan dalam rajah di atas, .

Iaitu, seseorang tidak sepatutnya berfikir bahawa maksimum dan minimum fungsi adalah, masing-masing, nilai maksimum dan minimum pada keseluruhan segmen yang sedang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi mempunyai nilai terbesar hanya berbanding dengan nilai-nilai yang ada pada semua titik yang cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil hanya berbanding dengan nilai tersebut. bahawa ia mempunyai pada semua titik yang cukup hampir dengan titik minimum.

Oleh itu, kita boleh memperhalusi konsep titik ekstrem bagi fungsi yang diberikan di atas dan memanggil mata minimum mata minimum tempatan, dan mata maksimum - mata maksimum tempatan.

Kami sedang mencari ekstrem fungsi bersama-sama

Contoh 3

Penyelesaian Fungsi ditakrifkan dan berterusan pada garis nombor bulat. Derivatifnya juga wujud pada keseluruhan garis nombor. Oleh itu, dalam kes ini hanya mereka yang , iaitu, , dari mana dan . Titik kritikal dan bahagikan keseluruhan domain fungsi kepada tiga selang kemonotonan: . Kami memilih satu titik kawalan dalam setiap satu daripadanya dan mencari tanda terbitan pada ketika ini.

Untuk selang, titik rujukan boleh: kita dapati . Mengambil mata dalam selang, kita mendapat , dan mengambil mata dalam selang, kita mempunyai . Jadi, dalam selang dan , dan dalam selang . Mengikut tanda pertama yang mencukupi bagi suatu ekstrem, tiada ekstrem pada titik (kerana terbitan mengekalkan tandanya dalam selang ), dan fungsi mempunyai minimum pada titik (kerana derivatif menukar tanda dari tolak kepada tambah apabila lulus melalui titik ini). Cari nilai yang sepadan bagi fungsi: , dan . Dalam selang, fungsi berkurangan, kerana dalam selang ini , dan dalam selang ia meningkat, kerana dalam selang ini.

Untuk menjelaskan pembinaan graf, kita dapati titik persilangannya dengan paksi koordinat. Apabila kita memperoleh persamaan yang puncanya dan, iaitu, dua titik (0; 0) dan (4; 0) graf fungsi itu ditemui. Menggunakan semua maklumat yang diterima, kami membina graf (lihat pada permulaan contoh).

Contoh 4 Cari ekstrem fungsi dan bina grafnya.

Domain fungsi ialah keseluruhan garis nombor, kecuali titik, i.e. .

Untuk memendekkan kajian, kita boleh menggunakan fakta bahawa fungsi ini adalah genap, kerana . Oleh itu, grafnya adalah simetri tentang paksi Oy dan kajian hanya boleh dilakukan untuk selang waktu .

Mencari terbitan dan titik kritikal fungsi:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi mengalami rehat pada ketika ini, jadi ia tidak boleh menjadi titik ekstrem.

Oleh itu, fungsi yang diberikan mempunyai dua titik kritikal: dan . Dengan mengambil kira pariti fungsi, kami hanya menyemak titik dengan tanda kedua yang mencukupi bagi ekstrem. Untuk melakukan ini, kami mencari derivatif kedua dan tentukan tandanya di : kita dapat . Sejak dan , maka ialah titik minimum fungsi, manakala .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang graf fungsi, mari kita ketahui kelakuannya pada sempadan domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan x kepada sifar di sebelah kanan, dan x kekal positif; sama bermaksud aspirasi x kepada sifar di sebelah kiri, dan x kekal negatif). Oleh itu, jika , maka . Seterusnya, kita dapati

,

mereka. jika , maka .

Graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi. Gambar adalah pada permulaan contoh.

Kami terus mencari extremum fungsi bersama-sama

Contoh 8 Cari ekstrem bagi fungsi itu.

Penyelesaian. Cari domain bagi fungsi tersebut. Oleh kerana ketidaksamaan mesti berlaku, kita memperoleh daripada .

Mari cari terbitan pertama bagi fungsi tersebut:

Mari cari titik kritikal fungsi tersebut.