Unsur utama segitiga abc. Apakah pembahagi bagi segi tiga: sifat yang berkaitan dengan nisbah bidang

Di antara banyak mata pelajaran sekolah menengah terdapat seperti "geometri". Secara tradisinya dipercayai bahawa pengasas sains sistematik ini adalah orang Yunani. Hari ini, geometri Yunani dipanggil asas, kerana dialah yang memulakan kajian bentuk paling mudah: satah, garis, dan segi tiga. Kami akan memberi tumpuan kepada yang terakhir, atau lebih tepat pada pembahagi dua angka ini. Bagi mereka yang sudah terlupa, pembahagi dua segi tiga ialah segmen pembahagi dua salah satu sudut segi tiga, yang membahagikannya kepada separuh dan menyambungkan bucu ke titik yang terletak di sebelah bertentangan.

Pembahagi dua segi tiga mempunyai beberapa sifat yang perlu anda ketahui semasa menyelesaikan masalah tertentu:

• Pembahagi dua sudut ialah lokus titik yang sama jarak dari sisi yang bersebelahan dengan sudut.
• Pembahagi dua dalam segi tiga membahagikan sisi bertentangan sudut kepada segmen yang berkadar dengan sisi bersebelahan. Sebagai contoh, diberi segi tiga MKB, di mana pembahagi dua muncul dari sudut K, menyambungkan bucu sudut ini dengan titik A pada sisi bertentangan MB. Setelah menganalisis sifat ini dan segi tiga kami, kami mempunyai MA/AB=MK/KB.
• Titik di mana pembahagi dua bagi ketiga-tiga sudut segitiga bersilang ialah pusat bulatan yang tertera dalam segi tiga yang sama.
• Tapak pembahagi dua satu sudut luar dan dua sudut dalam berada pada garis yang sama, dengan syarat pembahagi dua sudut luar tidak selari dengan sisi bertentangan segi tiga.
• Jika dua pembahagi dua daripada satu maka ini

Perlu diingatkan bahawa jika tiga pembahagi dua diberikan, maka membina segitiga menggunakan mereka, walaupun dengan bantuan kompas, adalah mustahil.

Selalunya, apabila menyelesaikan masalah, pembahagi bagi segi tiga tidak diketahui, tetapi perlu untuk menentukan panjangnya. Untuk menyelesaikan masalah sedemikian, adalah perlu untuk mengetahui sudut yang dibahagikan dengan pembahagi dua bahagian, dan sisi yang bersebelahan dengan sudut ini. Dalam kes ini, panjang yang dikehendaki ditakrifkan sebagai nisbah hasil darab sisi yang bersebelahan dengan sudut dan kosinus sudut dibahagikan separuh kepada jumlah sisi yang bersebelahan dengan sudut. Sebagai contoh, diberi segi tiga yang sama MKB. Pembahagi dua meninggalkan sudut K dan memotong sisi bertentangan MB di titik A. Sudut dari mana pembahagi dua itu meninggalkannya dilambangkan dengan y. Sekarang mari kita tulis semua yang dikatakan dalam perkataan dalam bentuk formula: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jika nilai sudut dari mana pembahagi dua segi tiga itu keluar tidak diketahui, tetapi semua sisinya diketahui, maka untuk mengira panjang pembahagi dua kita akan menggunakan pembolehubah tambahan, yang akan kita panggil separuh perimeter dan menandakan dengan huruf P: P=1/2*(MK+KB+MB). Selepas itu, kami akan membuat beberapa perubahan pada formula sebelumnya, mengikut mana panjang pembahagi dua ditentukan, iaitu, dalam pengangka pecahan kami meletakkan dua kali hasil darab panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut oleh semiperimeter. dan hasil bagi, di mana panjang sisi ketiga ditolak daripada separuh perimeter. Kami membiarkan penyebut tidak berubah. Dalam bentuk formula, ia akan kelihatan seperti ini: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Pembelah dua bagi segi tiga sama kaki, bersama-sama dengan sifat sepunya, mempunyai beberapa ciri tersendiri. Mari kita ingat apa itu segitiga. Dalam segitiga sedemikian, dua sisi adalah sama, dan sudut yang bersebelahan dengan tapak adalah sama. Ia berikutan bahawa pembahagi dua yang menurun ke sisi segi tiga sama kaki adalah sama antara satu sama lain. Di samping itu, pembahagi dua yang diturunkan ke tapak adalah kedua-dua ketinggian dan median pada masa yang sama.

Sudut pedalaman segitiga dipanggil pembahagi bagi segi tiga.
Pembahagi dua sudut bagi segi tiga juga difahamkan sebagai segmen antara bucunya dan titik persilangan pembahagi dua dengan sisi bertentangan segi tiga.
Teorem 8. Tiga pembahagi dua segi tiga bersilang pada satu titik.
Sesungguhnya, pertimbangkan dahulu titik Р persilangan dua pembahagi dua, contohnya, AK 1 dan VC 2. Titik ini adalah sama jauh dari sisi AB dan AC, kerana ia terletak pada pembahagi dua sudut A, dan sama jauh dari sisi AB dan BC, sebagai kepunyaan pembahagi dua sudut B. Oleh itu, ia adalah sama jauh dari sisi AC dan BC dan dengan itu tergolong dalam pembahagi pembahagi ketiga SK 3 , iaitu pada titik P ketiga-tiga pembahagi dua bersilang.
Sifat pembahagi dua sudut dalam dan luar segi tiga
Teorem 9. Pembahagi dua sudut pedalaman segitiga membahagikan sisi bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan.
Bukti. Pertimbangkan segi tiga ABC dan pembahagi dua sudutnya B. Mari kita lukis garis lurus CM melalui bucu C, selari dengan pembahagi dua BK, sehingga ia bersilang pada titik M sebagai lanjutan sisi AB. Oleh kerana VC ialah pembahagi bagi sudut ABC, maka ∠ ABK=∠ KBC. Selanjutnya, ∠ ABK=∠ VMS, sebagai sudut sepadan pada garis selari, dan ∠ KBC=∠ VCM, sebagai sudut bersilang pada garis selari. Oleh itu ∠ VCM=∠ VMS, dan oleh itu segi tiga VMS ialah sama kaki, maka BC=VM. Menurut teorem pada garis selari yang bersilang dengan sisi sudut, kita mempunyai AK: K C=AB:VM=AB:BC, yang diperlukan untuk dibuktikan.
Teorem 10 Pembahagi dua sudut luar B segi tiga ABC mempunyai sifat yang serupa: segmen AL dan CL dari bucu A dan C ke titik L persilangan pembahagi dua dengan sambungan sisi AC adalah berkadar dengan sisi segi tiga: AL: CL=AB :BC .
Sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya: garis lurus tambahan CM dilukis dalam rajah, selari dengan pembahagi dua BL . Sudut BMC dan BCM adalah sama, yang bermaksud bahawa sisi BM dan BC bagi segi tiga BMC adalah sama. Dari mana kita sampai pada kesimpulan AL:CL=AB:BC.

Teorem d4. (rumus pertama untuk pembahagi dua): Jika dalam segi tiga ABC segmen AL ialah pembahagi dua sudut A, maka AL? = AB AC - LB LC.

Bukti: Biarkan M ialah titik persilangan garis AL dengan bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga ABC (Rajah 41). Sudut BAM adalah sama dengan sudut MAC mengikut konvensyen. Sudut BMA dan BCA adalah sama dengan sudut tersurat berdasarkan kord yang sama. Oleh itu, segi tiga BAM dan LAC adalah serupa dalam dua sudut. Oleh itu, AL: AC = AB: AM. Jadi AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Itu yang perlu dibuktikan. Nota: untuk teorem pada segmen kord bersilang dalam bulatan dan pada sudut tersurat, lihat bulatan topik dan bulatan.

Teorem d5. (rumus kedua untuk pembahagi dua): Dalam segi tiga ABC dengan sisi AB=a, AC=b dan sudut A sama dengan 2? dan pembahagi dua l, kesamaan berlaku:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Bukti: Biarkan ABC ialah segi tiga yang diberi, AL pembahagi duanya (Rajah 42), a=AB, b=AC, l=AL. Kemudian S ABC = S ALB + S ALC . Oleh itu absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin? cos? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Teorem telah terbukti.

Apakah pembahagi dua sudut bagi segitiga? Untuk soalan ini, sesetengah orang mempunyai tikus yang terkenal berlari-lari di sudut dan membahagikan sudut dua. "Jika jawapannya mesti "dengan humor", maka mungkin ia betul. Tetapi dari sudut pandangan saintifik, jawapan kepada soalan ini sepatutnya berbunyi seperti ini: bermula di bahagian atas sudut dan membahagikan yang kedua kepada dua bahagian yang sama. Dalam geometri, angka ini juga dianggap sebagai segmen pembahagi dua sehingga ia bersilang dengan sisi bertentangan segitiga. Ini bukan pendapat yang salah. Dan apa lagi yang diketahui tentang pembahagi dua sudut, selain definisinya?

Seperti mana-mana lokus titik, ia mempunyai ciri tersendiri. Yang pertama adalah bukan tanda, tetapi teorem yang boleh dinyatakan secara ringkas seperti berikut: "Jika sisi bertentangan dibahagikan kepada dua bahagian oleh pembahagi dua, maka nisbahnya akan sepadan dengan nisbah sisi yang besar. segi tiga."

Sifat kedua yang ada padanya: titik persilangan pembahagi dua semua sudut dipanggil insenter.

Tanda ketiga: pembahagi dua sudut dalaman dan dua sudut luaran segitiga bersilang di tengah salah satu daripada tiga bulatan yang tertulis di dalamnya.

Sifat keempat pembahagi dua sudut segitiga ialah jika setiap daripadanya adalah sama, maka yang terakhir ialah sama kaki.

Tanda kelima juga melibatkan segi tiga sama kaki dan merupakan garis panduan utama untuk pengecamannya dalam lukisan oleh pembahagi dua, iaitu: dalam segi tiga sama kaki, ia serentak bertindak sebagai median dan ketinggian.

Pembahagi dua sudut boleh dibina menggunakan kompas dan garis lurus:

Peraturan keenam mengatakan bahawa adalah mustahil untuk membina segitiga menggunakan yang terakhir hanya dengan pembahagi dua yang tersedia, sama seperti mustahil untuk membina penggandaan kubus, segi empat sama bulatan dan triseksi sudut dengan cara ini. Tegasnya, ini adalah semua sifat pembahagi bagi sudut segi tiga.

Jika anda membaca perenggan sebelumnya dengan teliti, maka mungkin anda berminat dengan satu frasa. "Apakah keratan tiga sudut?" - anda pasti akan bertanya. Trisector adalah sedikit serupa dengan pembahagi dua, tetapi jika anda melukis yang terakhir, maka sudut akan dibahagikan kepada dua bahagian yang sama, dan apabila membina trisection, menjadi tiga. Sememangnya, pembahagi dua sudut lebih mudah diingat, kerana bahagian tiga tidak diajar di sekolah. Tetapi demi kesempurnaan, saya akan memberitahu anda mengenainya.

Trisektor, seperti yang saya katakan, tidak boleh dibina hanya dengan kompas dan pembaris, tetapi ia boleh dibuat menggunakan peraturan Fujita dan beberapa lengkung: siput Pascal, kuadratik, konkoid Nicomedes, bahagian kon,

Masalah pada bahagian triseksi sudut cukup mudah diselesaikan dengan bantuan nevsis.

Dalam geometri, terdapat teorem pada trisektor sudut. Ia dipanggil teorem Morley (Morley). Dia menyatakan bahawa titik persilangan trisektor di tengah setiap sudut akan menjadi bucu

Segitiga hitam kecil di dalam yang besar akan sentiasa sama sisi. Teorem ini ditemui oleh saintis British Frank Morley pada tahun 1904.

Berikut ialah berapa banyak yang boleh anda pelajari tentang pembahagian sudut: trisektor dan pembahagi dua sudut sentiasa memerlukan penjelasan terperinci. Tetapi di sini banyak definisi telah diberikan yang belum saya dedahkan: Siput Pascal, Conchoid Nicomedes, dll. Tidak syak lagi, lebih banyak boleh ditulis tentang mereka.

SIFAT BISEKTOR

Sifat pembahagi dua: Dalam segi tiga, pembahagi dua bahagian yang bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan bahagian yang bersebelahan.

Pembahagi dua sudut luar Pembahagi dua sudut luar segitiga memotong pelanjutan sisinya pada satu titik, jarak dari mana ke hujung sisi ini masing-masing berkadar, dengan sisi bersebelahan segi tiga. C B A D

Formula panjang pembahagian dua:

Formula untuk mencari panjang segmen di mana pembahagi dua bahagian membahagi sisi bertentangan segitiga

Formula untuk mencari nisbah panjang segmen di mana pembahagi dua dibahagikan dengan titik persilangan pembahagi dua bahagian.

Masalah 1. Salah satu pembahagi dua segi tiga dibahagikan dengan titik persilangan pembahagi dua bahagian dalam nisbah 3:2, mengira dari bucu. Cari perimeter segi tiga jika panjang sisi segi tiga yang dilukis pembahagi dua ini ialah 12 cm.

Penyelesaian Kami menggunakan formula untuk mencari nisbah panjang segmen di mana pembahagi dua dibahagikan dengan titik persilangan pembahagi dua dalam segi tiga: 30. Jawapan: P = 30cm.

Tugasan 2 . Pembelah dua BD dan CE ∆ ABC bersilang pada titik O. AB=14, BC=6, AC=10. Cari O D .

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula untuk mencari panjang pembahagi dua: Kami mempunyai: BD = BD = = Mengikut formula nisbah segmen di mana pembahagi dua dibahagikan dengan titik persilangan pembahagi dua: l = . 2 + 1 = 3 bahagian semua.

ini bahagian 1  OD = Jawapan: OD =

Masalah Dalam ∆ ABC, pembahagi dua AL dan BK dilukis. Cari panjang segmen KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. Dalam ∆ ABC, pembahagi dua AD dilukis, dan melalui titik D ialah garis lurus yang selari dengan AC dan bersilang AB pada titik E. Cari nisbah kawasan ∆ ABC dan ∆ BDE , jika AB = 5, AC = 7. Cari pembahagi dua sudut akut bagi segi tiga tegak dengan kaki 24 cm dan 18 cm. Pembelah dua dalam segi tiga tepat sudut akut membahagikan kaki bertentangan kepada segmen 4 dan 5 cm panjang. Tentukan luas segi tiga.

5. Dalam segi tiga sama kaki, tapak dan sisi masing-masing ialah 5 dan 20 cm. Cari pembahagi dua sudut pada tapak segi tiga itu. 6. Cari pembahagi bagi sudut tegak segitiga yang kakinya sama a dan b. 7. Hitung panjang pembahagi dua sudut A bagi segi tiga ABC dengan panjang sisi a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Cari nisbah pembahagian pembahagi dua sudut pedalaman pada titik persilangannya.

Jawapan: Jawapan: Jawapan: Jawapan: Jawapan: Jawapan: Jawapan: Jawapan: Jawapan: Jawapan: AP = 6 AP = 10 lihat KL = CP =

Pembelah dua bagi segi tiga ialah konsep geometri biasa yang tidak menyebabkan banyak kesukaran dalam pembelajaran. Mengetahui tentang sifatnya, banyak masalah boleh diselesaikan tanpa banyak kesukaran. Apa itu pembahagi dua? Kami akan cuba membiasakan pembaca dengan semua rahsia garis matematik ini.

Bersentuhan dengan

Intipati konsep

Nama konsep itu berasal dari penggunaan perkataan dalam bahasa Latin, yang bermaksud "bi" - dua, "sectio" - potong. Mereka secara khusus menunjuk kepada makna geometri konsep - memecahkan ruang antara sinar kepada dua bahagian yang sama.

Pembahagi dua segi tiga ialah segmen yang berasal dari bahagian atas rajah, dan hujung yang satu lagi diletakkan pada sisi yang terletak bertentangan dengannya, sambil membahagikan ruang kepada dua bahagian yang sama.

Ramai guru untuk menghafal cepat bersekutu konsep matematik oleh pelajar menggunakan istilah yang berbeza, yang dipaparkan dalam ayat atau persatuan. Sudah tentu, definisi ini disyorkan untuk kanak-kanak yang lebih tua.

Bagaimanakah garisan ini ditanda? Di sini kita bergantung pada peraturan untuk menetapkan segmen atau sinar. Jika kita bercakap tentang penetapan pembahagi dua sudut rajah segi tiga, maka ia biasanya ditulis sebagai segmen, yang hujungnya adalah bucu dan titik persilangan dengan sisi bertentangan bucu. Lebih-lebih lagi, permulaan penunjukan ditulis tepat dari atas.

Perhatian! Berapakah bilangan pembahagi dua segi tiga mempunyai? Jawapannya jelas: seberapa banyak terdapat bucu - tiga.

Hartanah

Selain definisi, buku teks sekolah seseorang boleh menemui tidak begitu banyak sifat konsep geometri ini. Sifat pertama pembahagi dua segi tiga, yang diperkenalkan kepada pelajar sekolah, ialah pusat bertulis, dan yang kedua, yang berkaitan secara langsung dengannya, ialah perkadaran segmen. Intinya adalah ini:

1. Walau apa pun garis pemisah, terdapat titik di atasnya pada jarak yang sama dari sisi, yang membentuk ruang antara sinar.
2. Untuk menulis bulatan dalam angka segi tiga, adalah perlu untuk menentukan titik di mana segmen ini akan bersilang. Ini adalah titik tengah bulatan.
3. Bahagian sisi segi tiga angka geometri, di mana garis pemisahnya membahagi, ialah berkadar dengan sisi yang membentuk sudut.

Kami akan cuba membawa ciri-ciri yang lain ke dalam sistem dan membentangkan fakta tambahan yang akan membantu untuk lebih memahami kebaikan konsep geometri ini.

Panjang

Salah satu jenis tugas yang menyukarkan murid sekolah ialah mencari panjang pembahagi dua sudut segi tiga. Pilihan pertama, di mana panjangnya terletak, mengandungi data berikut:

• saiz ruang antara sinar, dari bahagian atasnya segmen yang diberikan muncul;
• panjang sisi yang membentuk sudut ini.

Untuk menyelesaikan masalah formula digunakan, maksudnya ialah untuk mencari nisbah hasil dua kali ganda nilai sisi yang membentuk sudut, dengan kosinus separuhnya, kepada jumlah sisi.

Mari lihat contoh khusus. Katakan kita diberi angka ABC, di mana segmen dilukis dari sudut A dan bersilang sisi BC pada titik K. Kami menandakan nilai A oleh Y. Berdasarkan ini, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Versi kedua masalah, di mana panjang pembahagi bagi segi tiga ditentukan, mengandungi data berikut:

• nilai semua sisi rajah diketahui.

Apabila menyelesaikan masalah jenis ini, pada mulanya tentukan semiperimeter. Untuk melakukan ini, tambahkan nilai semua sisi dan bahagikan kepada separuh: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Seterusnya, kami menggunakan formula pengiraan, yang digunakan untuk menentukan panjang segmen ini dalam masalah sebelumnya. Ia hanya perlu membuat beberapa perubahan pada intipati formula mengikut parameter baharu. Jadi, adalah perlu untuk mencari nisbah punca dua kali darjah kedua daripada hasil darab panjang sisi yang bersebelahan dengan bahagian atas, kepada separuh perimeter dan perbezaan antara separuh perimeter dan panjang sisi bertentangan dengan hasil tambah sisi yang membentuk sudut. Iaitu, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Perhatian! Untuk memudahkan penguasaan bahan, anda boleh merujuk kepada yang terdapat di Internet cerita komik, menceritakan tentang "pengembaraan" baris ini.