Putaran kubus empat dimensi. Untuk semua orang dan segala-galanya

Evolusi otak manusia berlaku dalam ruang tiga dimensi. Oleh itu, sukar untuk kita membayangkan ruang dengan dimensi lebih besar daripada tiga. Sebenarnya, otak manusia tidak dapat membayangkan objek geometri yang mempunyai lebih daripada tiga dimensi. Dan pada masa yang sama, kita boleh dengan mudah membayangkan objek geometri dengan dimensi bukan sahaja tiga, tetapi juga dengan dimensi dua dan satu.

Perbezaan dan analogi antara ruang satu dimensi dan dua dimensi, dan perbezaan dan analogi antara ruang dua dimensi dan tiga dimensi membolehkan kita membuka sedikit skrin misteri yang memagar kita daripada ruang dimensi yang lebih tinggi. Untuk memahami cara analogi ini digunakan, pertimbangkan objek empat dimensi yang sangat mudah - hiperkubus, iaitu, kubus empat dimensi. Biarkan, untuk kepastian, katakan kita ingin menyelesaikan masalah tertentu, iaitu mengira bilangan muka segi empat sama kubus empat dimensi. Semua pertimbangan di bawah akan menjadi sangat longgar, tanpa sebarang bukti, semata-mata dengan analogi.

Untuk memahami bagaimana hypercube dibina daripada kubus biasa, seseorang mesti melihat bagaimana kubus biasa dibina daripada segi empat sama biasa. Untuk keaslian pembentangan bahan ini, kami di sini akan memanggil SubCube persegi biasa (dan kami tidak akan mengelirukannya dengan succubus).

Untuk membina kubus daripada subkubus, adalah perlu untuk memanjangkan subkubus dalam arah yang berserenjang dengan satah subkubus dalam arah dimensi ketiga. Pada masa yang sama, subkubus akan tumbuh dari setiap sisi subkubus awal, iaitu muka sisi dua dimensi kubus, yang akan mengehadkan isipadu tiga dimensi kubus dari empat sisi, dua berserenjang dengan setiap arah dalam satah subkubus. Dan di sepanjang paksi ketiga baharu, terdapat juga dua subkubus yang mengehadkan isipadu tiga dimensi kubus. Ini ialah muka dua dimensi di mana subkubus kita pada asalnya terletak dan muka dua dimensi kubus di mana subkubus datang pada penghujung pembinaan kubus.

Perkara yang baru anda baca dinyatakan dengan terperinci yang berlebihan dan dengan banyak penjelasan. Dan bukan sembarangan. Sekarang kita akan melakukan helah sedemikian, kita akan menggantikan beberapa perkataan dalam teks sebelumnya secara rasmi dengan cara ini:
kiub -> hypercube
subkiub -> kubus
satah -> isipadu
ketiga -> keempat
2D -> 3D
empat -> enam
tiga dimensi -> empat dimensi
dua -> tiga
kapal terbang -> ruang

Akibatnya, kami mendapat teks yang bermakna berikut, yang tidak lagi kelihatan terlalu terperinci.

Untuk membina hiperkubus daripada kubus, anda perlu meregangkan kubus ke arah yang berserenjang dengan isipadu kubus ke arah dimensi keempat. Pada masa yang sama, kubus akan tumbuh dari setiap sisi kubus asal, iaitu muka tiga dimensi sisi hiperkubus, yang akan mengehadkan isipadu empat dimensi hiperkubus daripada enam sisi, tiga berserenjang dengan setiap arah dalam ruang kubus itu. Dan di sepanjang paksi keempat yang baharu, terdapat juga dua kiub yang mengehadkan isipadu empat dimensi hiperkubus. Ini ialah muka tiga dimensi di mana kubus kita terletak pada asalnya dan muka tiga dimensi hiperkubus, di mana kubus itu datang pada penghujung pembinaan hiperkubus.

Mengapa kami begitu pasti bahawa kami telah menerima penerangan yang betul tentang pembinaan hypercube? Ya, kerana dengan penggantian kata-kata rasmi yang sama, kita mendapat penerangan tentang pembinaan kubus daripada penerangan pembinaan segi empat sama. (Semak sendiri.)

Kini jelas bahawa jika kubus tiga dimensi lain harus tumbuh dari setiap sisi kubus, maka muka mesti tumbuh dari setiap tepi kubus awal. Secara keseluruhan, kubus mempunyai 12 tepi, yang bermaksud bahawa akan terdapat tambahan 12 muka baharu (subkubus) untuk 6 kubus yang mengehadkan isipadu empat dimensi di sepanjang tiga paksi ruang tiga dimensi. Dan terdapat dua lagi kiub yang mengehadkan isipadu empat dimensi ini dari bawah dan dari atas di sepanjang paksi keempat. Setiap kubus ini mempunyai 6 muka.

Secara keseluruhan kita mendapat bahawa hiperkubus mempunyai 12+6+6=24 muka persegi.

Gambar berikut menunjukkan struktur logik hiperkubus. Ia seperti unjuran hiperkubus ke ruang tiga dimensi. Dalam kes ini, bingkai tiga dimensi tulang rusuk diperolehi. Dalam rajah, sudah tentu, anda melihat unjuran bingkai ini juga pada satah.

Pada bingkai ini, kiub dalam adalah, seolah-olah, kiub awal dari mana pembinaan bermula dan yang mengehadkan isipadu empat dimensi hiperkubus di sepanjang paksi keempat dari bawah. Kami meregangkan kiub awal ini ke atas sepanjang paksi dimensi keempat dan ia masuk ke dalam kiub luar. Jadi kiub luar dan dalam daripada rajah ini mengehadkan hiperkubus sepanjang paksi dimensi keempat.

Dan di antara dua kiub ini, 6 lagi kiub baharu kelihatan, yang bersentuhan dengan dua yang pertama oleh muka biasa. Enam kiub ini mengehadkan hiperkubus kami di sepanjang tiga paksi ruang tiga dimensi. Seperti yang anda lihat, ia bukan sahaja bersentuhan dengan dua kiub pertama, iaitu dalaman dan luaran pada bingkai tiga dimensi ini, tetapi ia masih bersentuhan antara satu sama lain.

Anda boleh mengira terus dalam rajah dan pastikan hypercube itu benar-benar mempunyai 24 muka. Tetapi inilah persoalannya. Bingkai hypercube 3D ini dipenuhi dengan lapan kiub 3D tanpa sebarang jurang. Untuk membuat hypercube sebenar daripada unjuran 3D hypercube ini, adalah perlu untuk memusingkan bingkai ini ke dalam supaya kesemua 8 kiub mengehadkan volum 4D.

Ia dilakukan seperti ini. Kami menjemput seorang penduduk ruang empat dimensi untuk melawat dan memintanya membantu kami. Ia mengambil kiub dalam rangka kerja ini dan mengalihkannya ke arah dimensi keempat, yang berserenjang dengan ruang 3D kami. Kami dalam ruang tiga dimensi kami melihatnya seolah-olah keseluruhan bingkai dalaman telah hilang dan hanya bingkai kubus luar yang tinggal.

Seterusnya, pembantu 4D kami menawarkan untuk membantu di hospital bersalin untuk kelahiran tanpa rasa sakit, tetapi wanita hamil kami takut dengan prospek bayi hilang begitu sahaja dari perut dan berakhir di ruang 3D yang selari. Oleh itu, empat rangkap ditolak dengan sopan.

Dan kami tertanya-tanya sama ada sesetengah kiub kami tersangkut apabila bingkai hypercube dipusingkan ke dalam. Lagipun, jika beberapa kiub tiga dimensi yang mengelilingi hiperkiub menyentuh jiran mereka pada bingkai, adakah mereka juga akan menyentuh muka yang sama jika yang empat dimensi memusingkan bingkai ke dalam.

Mari kita kembali kepada analogi dengan ruang dimensi yang lebih rendah. Bandingkan imej rangka wayar hiperkubus dengan unjuran kubus 3D pada satah yang ditunjukkan dalam gambar berikut.

Penduduk ruang dua dimensi membina rangka kerja unjuran kiub pada satah di atas satah dan menjemput kami, penduduk tiga dimensi, untuk mengubah rangka kerja ini ke dalam. Kami mengambil empat bucu segi empat sama dalam dan gerakkannya berserenjang dengan satah. Pada masa yang sama, penduduk dua dimensi melihat kehilangan lengkap keseluruhan bingkai dalaman, dan mereka hanya mempunyai bingkai segi empat sama luar. Dengan operasi sedemikian, semua petak yang bersentuhan dengan tepinya terus bersentuhan seperti sebelumnya dengan tepi yang sama.

Oleh itu, kami berharap skema logik hiperkubus juga tidak akan dilanggar apabila bingkai hiperkubus dipusingkan ke dalam, dan bilangan muka persegi hiperkubus tidak akan meningkat dan akan kekal bersamaan dengan 24. Ini, sudah tentu, adalah tiada bukti sama sekali, tetapi semata-mata tekaan dengan analogi.

Selepas semuanya dibaca di sini, anda boleh melukis rangka kerja logik kubus lima dimensi dengan mudah dan mengira bilangan bucu, tepi, muka, kubus dan hiperkiub yang ada padanya. Tak susah pun.

Alam semesta empat dimensi, atau empat koordinat, sama tidak memuaskannya dengan tiga. Boleh dikatakan bahawa kita tidak mempunyai semua data yang diperlukan untuk membina alam semesta, kerana ketiga-tiga koordinat fizik lama, mahupun empat koordinat yang baru tidak mencukupi untuk menggambarkan, Jumlah pelbagai fenomena di alam semesta.

Pertimbangkan dalam susunan "kiub" pelbagai dimensi.

Kubus satu dimensi pada garis lurus ialah ruas. Dua dimensi - segi empat sama. Sempadan dataran terdiri daripada empat titik - puncak Dan empat segmen - tulang rusuk. Oleh itu, segi empat sama mempunyai dua jenis unsur pada sempadannya: titik dan segmen. Sempadan kubus tiga dimensi mengandungi unsur tiga jenis: bucu - terdapat 8 daripadanya, tepi (segmen) - terdapat 12 daripadanya dan muka (segi empat sama) - terdapat 6 daripadanya. Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai muka segi empat sama dua dimensi ABCD, segi empat sama ialah sisi kubus ABCDHEFG, yang seterusnya akan menjadi sisi empat -hiperkubus dimensi.

Oleh itu, dalam hiperkubus empat dimensi, akan terdapat 16 bucu: 8 bucu kubus asal dan 8 bucu beralih dalam dimensi keempat. Ia mempunyai 32 tepi - 12 setiap satu memberikan kedudukan awal dan akhir kubus asal, dan 8 lagi tepi "melukis" lapan bucunya yang telah berpindah ke dimensi keempat. Penalaran yang sama boleh dilakukan untuk muka hypercube. Dalam ruang dua dimensi, ia adalah satu (persegi itu sendiri), kubus mempunyai 6 daripadanya (dua muka dari segi empat sama yang digerakkan dan empat lagi akan menerangkan sisinya). Hiperkubus empat dimensi mempunyai 24 muka segi empat sama - 12 segi empat sama kubus asal dalam dua kedudukan dan 12 segi empat sama dari dua belas tepinya.

Dimensi kubus	Dimensi Sempadan
2 persegi
4 tesseract

Koordinat dalamruang empat dimensi.

Titik pada garis lurus ditakrifkan sebagai nombor, titik pada satah sebagai pasangan nombor, titik dalam ruang tiga dimensi sebagai tiga nombor. Oleh itu, adalah wajar untuk membina geometri ruang empat dimensi dengan mentakrifkan titik ruang khayalan ini sebagai empat nombor.

Muka dua dimensi bagi kubus empat dimensi ialah satu set titik yang mana dua daripada mana-mana koordinat boleh mengambil pelbagai nilai dari 0 hingga 1, dan dua yang lain adalah malar (sama dengan 0 atau 1).

muka 3D Kubus empat dimensi ialah satu set titik yang mana tiga koordinat mengambil semua nilai yang mungkin dari 0 hingga 1, dan satu adalah malar (sama dengan 0 atau 1).

Pembangunan kiub pelbagai dimensi.

Kami mengambil segmen, meletakkan segmen pada semua sisi dan melampirkan satu lagi pada mana-mana, dalam kes ini, pada segmen yang betul.

Kami mendapat imbasan segi empat sama.

Kami mengambil segi empat sama, letakkan segi empat sama pada semua sisi, pasangkan satu lagi pada mana-mana, dalam kes ini, ke segi empat yang lebih rendah.

Ini ialah kiub 3D.

kubus empat dimensi

Kami mengambil kiub, letakkan kiub pada semua sisi, pasangkan satu lagi pada mana-mana, dalam kiub bawah yang diberikan.

Membuka Kiub 4D

Cuba kita bayangkan kubus empat dimensi diperbuat daripada dawai dan seekor semut duduk di bucu (1;1;1;1), maka semut itu perlu merangkak di sepanjang rusuk dari satu bucu ke bucu yang lain.

Soalan: berapa banyak tepi yang dia perlu merangkak untuk sampai ke bucu (0;0;0;0)?

Sepanjang 4 tepi, iaitu, bucu (0; 0; 0; 0) ialah bucu tertib ke-4, melalui 1 tepi ia boleh sampai ke bucu yang mempunyai salah satu koordinat 0, ini ialah bucu bagi Tertib pertama, melepasi 2 tepi ia boleh sampai ke bucu di mana terdapat 2 sifar, ini adalah bucu susunan ke-2, terdapat 6 bucu sedemikian, melalui 3 tepi, ia akan jatuh ke bucu dengan 3 koordinat sifar, ini adalah bucu daripada urutan ketiga.

Terdapat kiub lain dalam ruang multidimensi. Sebagai tambahan kepada tesseract, anda boleh membina kiub dengan sejumlah besar dimensi. Model kubus lima dimensi ialah penteract.Penteract mempunyai 32 bucu, 80 tepi, 80 muka, 40 kubus dan 10 teserak.

Artis, pengarah, pengukir, saintis mewakili kiub multidimensi dengan cara yang berbeza. Berikut adalah beberapa contoh:

Ramai penulis fiksyen sains menerangkan tesseract dalam karya mereka. Sebagai contoh, Robert Anson Heinlein (1907–1988) menyebut hiperkubus dalam sekurang-kurangnya tiga cerita bukan fiksyennya. Dalam The House of Four Dimensions, beliau menyifatkan rumah yang dibina sebagai terbentang tesseract.

Plot Cube 2 berpusat pada lapan orang yang tidak dikenali yang terperangkap dalam hypercube.

« Penyaliban" oleh Salvador Dali 1954 (1951). Surrealisme Dali sedang mencari titik hubungan antara realiti kita dan dunia lain, khususnya, dunia 4 dimensi. Oleh itu, di satu pihak, ia adalah menakjubkan, dan, sebaliknya, tidak menghairankan bahawa angka geometri kubus yang membentuk salib Kristian adalah imej imbasan 3 dimensi kubus 4 dimensi atau tesseract. .

Pada 21 Oktober, sebuah arca yang luar biasa dipanggil Octacub telah dilancarkan di Jabatan Matematik Universiti Negeri Pennsylvania. Ia adalah imej objek geometri empat dimensi dalam ruang tiga dimensi. Menurut pengarang arca itu, Profesor Adrian Okneanu, demikian susuk tubuh yang cantik tiada perkara sedemikian di dunia, sama ada secara maya atau fizikal, walaupun unjuran tiga dimensi bagi rajah empat dimensi telah dibuat sebelum ini.

Secara umum, ahli matematik mudah beroperasi dengan objek empat, lima dan lebih multidimensi, tetapi adalah mustahil untuk menggambarkannya dalam ruang tiga dimensi. Octacub, seperti semua angka sedemikian, tidak benar-benar empat dimensi. Ia boleh dibandingkan dengan peta - unjuran permukaan tiga dimensi dunia pada helaian kertas rata.

Unjuran tiga dimensi rajah empat dimensi diperoleh Oknean menggunakan kaedah stereografi jejari menggunakan komputer. Pada masa yang sama, simetri angka empat dimensi asal telah dipelihara. Arca itu mempunyai 24 bucu dan 96 muka. Dalam ruang empat dimensi, muka rajah adalah lurus, tetapi dalam unjuran ia melengkung. Sudut antara muka unjuran tiga dimensi dan rajah asal adalah sama.

Octacube diperbuat daripada keluli tahan karat di bengkel kejuruteraan Pennsylvania State University. Arca itu dipasang di bangunan yang telah diubah suai yang dinamakan sempena McAllister dari Fakulti Matematik.

Ruang multidimensi menarik minat ramai saintis, seperti Rene Descartes, Hermann Minkowski. Pada masa kini, terdapat peningkatan pengetahuan mengenai topik ini. Ia membantu ahli matematik, penyelidik dan pencipta zaman kita untuk mencapai matlamat mereka dan memajukan sains. Satu langkah ke ruang multidimensi adalah satu langkah ke era kemanusiaan baharu yang lebih maju.

τέσσαρες ἀκτίνες - empat rasuk) - 4-dimensi hypercube- analog dalam ruang 4 dimensi.

Imej ialah unjuran () kubus empat dimensi pada ruang tiga dimensi.

Generalisasi kubus kepada kes dengan lebih daripada 3 dimensi dipanggil hypercube atau (en: mengukur polytopes). Secara formal, hypercube ditakrifkan sebagai empat segmen yang sama.

Artikel ini terutamanya menerangkan 4 dimensi hypercube, dipanggil tesseract.

Penerangan Popular

Mari cuba bayangkan bagaimana rupa hypercube itu tanpa meninggalkan tiga dimensi kami.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada garisan - kami memilih AB panjang L. Pada "ruang" dua dimensi pada jarak L dari AB, kami melukis segmen DC selari dengannya dan menyambungkan hujungnya. Dapatkan segi empat sama ABCD. Mengulangi operasi ini dengan satah, kita mendapat kubus tiga dimensi ABCDHEFG. Dan dengan mengalihkan kubus dalam dimensi keempat (berserenjang dengan tiga yang pertama!) Dengan jarak L, kita mendapat hiperkubus.

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai muka segi empat sama dua dimensi ABCD, segi empat sama ialah sisi kubus ABCDHEFG, yang seterusnya akan menjadi sisi hiperkubus empat dimensi. Segmen garis lurus mempunyai dua titik sempadan, segi empat sama mempunyai empat bucu, dan kubus mempunyai lapan. Oleh itu, dalam hiperkubus empat dimensi, akan terdapat 16 bucu: 8 bucu kubus asal dan 8 bucu beralih dalam dimensi keempat. Ia mempunyai 32 tepi - 12 setiap satu memberikan kedudukan awal dan akhir kubus asal, dan 8 lagi tepi "melukis" lapan bucunya yang telah berpindah ke dimensi keempat. Penalaran yang sama boleh dilakukan untuk muka hypercube. Dalam ruang dua dimensi, ia adalah satu (persegi itu sendiri), kubus mempunyai 6 daripadanya (dua muka dari segi empat sama yang digerakkan dan empat lagi akan menerangkan sisinya). Hiperkubus empat dimensi mempunyai 24 muka segi empat sama - 12 segi empat sama kubus asal dalam dua kedudukan dan 12 segi empat sama dari dua belas tepinya.

Dengan cara yang sama, kita boleh meneruskan penaakulan untuk hiperkubus dengan bilangan dimensi yang lebih besar, tetapi lebih menarik untuk melihat bagaimana bagi kita, penduduk ruang tiga dimensi, ia akan kelihatan seperti hiperkubus empat dimensi. Marilah kita gunakan untuk ini kaedah analogi yang sudah biasa.

Mari kita ambil kiub wayar ABCDHEFG dan lihat dengan sebelah mata dari sisi muka. Kita akan melihat dan boleh melukis dua petak pada satah (muka dekat dan jauhnya), disambungkan dengan empat garisan - tepi sisi. Begitu juga, hiperkubus empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan kelihatan seperti dua "kotak" padu yang dimasukkan ke dalam satu sama lain dan disambungkan dengan lapan tepi. Dalam kes ini, "kotak" itu sendiri - muka tiga dimensi - akan ditayangkan ke ruang "kita", dan garisan yang menghubungkannya akan meregang dalam dimensi keempat. Anda juga boleh cuba membayangkan kiub bukan dalam unjuran, tetapi dalam imej spatial.

Sama seperti kubus tiga dimensi dibentuk oleh segi empat sama yang dianjakkan dengan panjang muka, kubus yang dianjak ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Ia dihadkan oleh lapan kiub, yang pada masa akan datang akan kelihatan seperti angka yang agak kompleks. Bahagiannya, yang tinggal di ruang "kami", dilukis garisan padat, dan perkara yang masuk ke ruang hiper adalah bertitik. Hiperkubus empat dimensi itu sendiri terdiri daripada bilangan kubus yang tidak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi boleh "dipotong" menjadi segi empat sama rata yang tidak terhingga.

Dengan memotong lapan muka kubus tiga dimensi, seseorang boleh menguraikannya menjadi angka rata- sapuan. Ia akan mempunyai segi empat sama pada setiap sisi muka asal, ditambah satu lagi - muka bertentangan dengannya. Perkembangan tiga dimensi bagi hiperkubus empat dimensi akan terdiri daripada kubus asal, enam kubus yang "tumbuh" daripadanya, ditambah satu lagi - "hipermuka" akhir.

Sifat-sifat tesseract adalah lanjutan daripada sifat-sifat tersebut bentuk geometri dimensi yang lebih kecil kepada ruang 4 dimensi yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Mari kita mulakan dengan menerangkan apa itu ruang empat dimensi.

Ini adalah ruang satu dimensi, iaitu, hanya paksi OX. Mana-mana titik di atasnya dicirikan oleh satu koordinat.

Sekarang mari kita lukis paksi OY berserenjang dengan paksi OX. Jadi kami mendapat ruang dua dimensi, iaitu satah XOY. Mana-mana titik di atasnya dicirikan oleh dua koordinat - abscissa dan ordinat.

Mari kita lukis paksi OZ berserenjang dengan paksi OX dan OY. Anda akan mendapat ruang tiga dimensi di mana mana-mana titik mempunyai abscissa, ordinat dan applicate.

Adalah logik bahawa paksi keempat, OQ, harus berserenjang dengan paksi OX, OY dan OZ pada masa yang sama. Tetapi kita tidak boleh membina paksi sedemikian dengan tepat, dan oleh itu ia kekal hanya untuk cuba membayangkannya. Setiap titik dalam ruang empat dimensi mempunyai empat koordinat: x, y, z dan q.

Sekarang mari kita lihat bagaimana kubus empat dimensi itu muncul.

Gambar menunjukkan angka ruang satu dimensi - garis.

Jika anda membuat terjemahan selari garis ini di sepanjang paksi OY, dan kemudian menyambungkan hujung yang sepadan bagi dua baris yang terhasil, anda mendapat segi empat sama.

Begitu juga, jika kita membuat terjemahan selari bagi segi empat sama sepanjang paksi OZ dan menyambungkan bucu yang sepadan, kita mendapat kubus.

Dan jika kita membuat terjemahan selari kubus di sepanjang paksi OQ dan menyambungkan bucu dua kubus ini, maka kita akan mendapat kubus empat dimensi. By the way, ia dipanggil tesseract.

Untuk melukis kubus pada satah, anda memerlukannya projek. Secara visual ia kelihatan seperti ini:

Bayangkan bahawa di udara di atas permukaan tergantung model rangka wayar kiub, iaitu, seolah-olah "diperbuat daripada wayar", dan di atasnya - mentol lampu. Jika anda menghidupkan mentol lampu, surih bayang kiub dengan pensel, dan kemudian matikan mentol, maka unjuran kubus akan ditunjukkan pada permukaan.

Mari kita beralih kepada sesuatu yang lebih rumit. Lihat sekali lagi pada lukisan dengan mentol lampu: seperti yang anda lihat, semua sinaran menumpu pada satu titik. Ia dikenali sebagai titik lenyap dan digunakan untuk membina unjuran perspektif(dan kadangkala selari, apabila semua sinar selari antara satu sama lain. Hasilnya ialah tiada deria isipadu, tetapi ia lebih ringan, dan jika titik lenyap cukup jauh dari objek yang diunjurkan, maka perbezaan antara ini dua unjuran hampir tidak ketara). Untuk mengunjurkan titik tertentu pada satah tertentu menggunakan titik lenyap, anda perlu melukis garis melalui titik lenyap dan titik yang diberikan, dan kemudian cari titik persilangan garis yang terhasil dan satah. Dan untuk memproyeksikan lebih banyak lagi angka kompleks, katakan, kubus, anda perlu menayangkan setiap bucunya, dan kemudian menyambungkan titik yang sepadan. Perlu diingatkan bahawa algoritma unjuran ruang-ke-subruang boleh digeneralisasikan kepada 4D->3D, bukan hanya 3D->2D.

Seperti yang saya katakan, kita tidak dapat membayangkan dengan tepat rupa paksi OQ, dan begitu juga tesseract. Tetapi kita boleh mendapatkan idea terhad mengenainya jika kita menayangkannya pada kelantangan dan kemudian melukisnya pada skrin komputer!

Sekarang mari kita bercakap tentang unjuran tesseract.

Di sebelah kiri ialah unjuran kubus ke atas satah, dan di sebelah kanan ialah tesseract ke volum. Mereka agak serupa: unjuran kubus kelihatan seperti dua segi empat sama, kecil dan besar, satu di dalam satu sama lain, dengan bucu sepadan yang disambungkan dengan garisan. Dan unjuran tesseract kelihatan seperti dua kiub, kecil dan besar, satu di dalam satu lagi, dan bucu yang sepadan disambungkan. Tetapi kita semua telah melihat kubus itu, dan kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa kedua-dua segi empat sama kecil dan yang besar, dan empat trapezoid di atas, di bawah, di sebelah kanan dan kiri petak kecil, sebenarnya adalah segi empat sama, lebih-lebih lagi, mereka adalah sama. Begitu juga dengan Tesseract. Dan kubus besar, dan kubus kecil, dan enam piramid terpotong di sisi kubus kecil - ini semua adalah kubus, dan ia adalah sama.

Program saya bukan sahaja boleh melukis unjuran tesseract pada volum, tetapi juga memutarkannya. Mari lihat bagaimana ini dilakukan.

Pertama, saya akan memberitahu anda apa itu putaran selari dengan satah.

Bayangkan kubus itu berputar mengelilingi paksi OZ. Kemudian setiap bucunya menerangkan bulatan di sekeliling paksi OZ.

Bulatan ialah rajah rata. Dan satah setiap bulatan ini adalah selari antara satu sama lain, dan dalam kes ini ia selari dengan satah XOY. Iaitu, kita boleh bercakap bukan sahaja tentang putaran di sekeliling paksi OZ, tetapi juga tentang putaran selari dengan satah XOY. Seperti yang anda lihat, untuk titik yang berputar selari dengan paksi XOY, hanya abscissa dan ordinat berubah, manakala aplikasi kekal tidak berubah Dan, sebenarnya, kita boleh bercakap tentang putaran di sekeliling garis lurus hanya apabila kita berurusan dengan ruang tiga dimensi. Dalam 2D ​​semuanya berputar di sekitar titik, dalam 4D semuanya berputar di sekitar satah, dalam ruang 5D kita bercakap tentang putaran di sekeliling volum. Dan jika kita boleh membayangkan putaran di sekeliling titik, maka putaran di sekeliling satah dan isipadu adalah sesuatu yang tidak dapat difikirkan. Dan jika kita bercakap tentang putaran selari dengan satah, maka dalam mana-mana ruang n-dimensi titik boleh berputar selari dengan satah.

Ramai di antara anda mungkin pernah mendengar tentang matriks putaran. Dengan mendarab satu titik dengannya, kita mendapat titik yang diputar selari dengan satah dengan sudut phi. Untuk ruang dua dimensi, ia kelihatan seperti ini:

Cara mendarab: x titik diputar dengan sudut phi = kosinus sudut phi*x titik asal tolak sinus sudut phi*y titik asal;
y titik diputar oleh sudut phi=sinus sudut phi*x titik asal ditambah kosinus sudut phi*y titik asal.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, di mana Xa dan Ya ialah absis dan ordinat bagi titik yang hendak diputar, Xa` dan Ya` ialah absis dan ordinat bagi titik yang telah diputar.

Untuk ruang tiga dimensi, matriks ini digeneralisasikan seperti berikut:

Putaran selari dengan satah XOY. Seperti yang anda lihat, koordinat Z tidak berubah, tetapi hanya X dan Y yang berubah.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (pada asasnya Za`=Za)

Putaran selari dengan satah XOZ. Tiada yang baru,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (sebenarnya, Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

Dan matriks ketiga.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (pada asasnya Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

Dan untuk dimensi keempat, mereka kelihatan seperti ini:


Saya rasa anda sudah faham apa yang perlu didarabkan, jadi saya tidak akan melukisnya lagi. Tetapi saya perhatikan bahawa ia melakukan perkara yang sama seperti matriks untuk berputar selari dengan satah dalam ruang tiga dimensi! Kedua-dua itu dan yang ini hanya menukar ordinat dan aplikasi, dan koordinat yang lain tidak disentuh, oleh itu ia boleh digunakan dalam kes tiga dimensi, hanya mengabaikan koordinat keempat.

Tetapi dengan formula unjuran, tidak semuanya begitu mudah. Tidak kira berapa banyak saya membaca forum, tiada kaedah unjuran yang sesuai dengan saya. Selari tidak sesuai dengan saya, kerana unjuran tidak akan kelihatan tiga dimensi. Dalam beberapa formula unjuran, untuk mencari titik, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan (dan saya tidak tahu bagaimana untuk mengajar komputer untuk menyelesaikannya), saya hanya tidak memahami yang lain ... Secara umum, saya memutuskan untuk menghasilkan cara saya sendiri. Pertimbangkan untuk ini unjuran 2D->1D.

pov bermaksud "Point of view" (point of view), ptp bermaksud "Point to project" (point to be projected), dan ptp` ialah titik yang dikehendaki pada paksi OX.

Sudut povptpB dan ptpptp`A adalah sama seperti yang sepadan (garis putus-putus selari dengan paksi OX, garis povptp adalah secant).
X ptp` adalah sama dengan x ptp tolak panjang segmen ptp`A. Segmen ini boleh didapati daripada segi tiga ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangen sudut ptpptp`A. Kita boleh mencari tangen ini daripada segi tiga povptpB: tangen sudut ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Jawapan: Xptp`=Xptp-Yptp/tangen sudut ptpptp`A.

Saya tidak menerangkan algoritma ini secara terperinci di sini, kerana terdapat banyak kes khas di mana formula berubah sedikit. Siapa yang peduli - lihat dalam kod sumber program, semuanya ditulis dalam komen.

Untuk mengunjurkan satu titik dalam ruang tiga dimensi ke atas satah, kami hanya mempertimbangkan dua satah - XOZ dan YOZ, dan menyelesaikan masalah ini untuk setiap satu daripadanya. Dalam kes ruang empat dimensi, adalah perlu untuk mempertimbangkan sudah tiga satah: XOQ, YOQ dan ZOQ.

Dan akhirnya, mengenai program itu. Ia berfungsi seperti ini: mulakan enam belas bucu tesseract -> bergantung pada arahan yang dimasukkan oleh pengguna, putarkannya -> projek ke volum -> bergantung pada arahan yang dimasukkan oleh pengguna, putar unjurannya -> projek ke satah -> melukis.

Unjuran dan putaran saya tulis sendiri. Mereka berfungsi mengikut formula yang baru saya terangkan. Pustaka OpenGL melukis garisan dan juga mencampurkan warna. Dan koordinat bucu tesseract dikira dengan cara ini:

Koordinat puncak garisan berpusat pada asalan dan panjang 2 - (1) dan (-1);
- "-" - segi empat sama - "-" - dan tepi panjang 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) dan (-1; -1);
- " - " - kiub - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Seperti yang anda lihat, segi empat sama ialah satu garis di atas paksi OY dan satu garis di bawah paksi OY; kubus ialah satu segi empat sama di hadapan satah XOY, dan satu di belakangnya; tesseract ialah satu kubus di sisi lain isipadu XOYZ, dan satu di bahagian ini. Tetapi lebih mudah untuk melihat pergantian unit dan unit tolak ini jika ia ditulis dalam lajur

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Dalam lajur pertama, satu dan tolak satu silih berganti. Dalam lajur kedua, pertama terdapat dua tambah, kemudian dua tolak. Dalam ketiga - empat tambah satu, dan kemudian empat tolak satu. Ini adalah bahagian atas kubus. Tesseract mempunyai dua kali lebih banyak daripada mereka, dan oleh itu adalah perlu untuk menulis kitaran untuk mengisytiharkannya, jika tidak, sangat mudah untuk dikelirukan.

Program saya juga tahu cara melukis anaglyph. Pemilik gembira cermin mata 3D boleh menonton gambar stereoskopik. Tidak ada yang rumit dalam melukis gambar, ia hanya melukis dua unjuran pada satah, untuk mata kanan dan kiri. Tetapi program ini menjadi lebih visual dan menarik, dan yang paling penting - memberikan gambaran yang lebih baik tentang dunia empat dimensi.

Fungsi yang kurang penting - menyerlahkan salah satu muka dalam warna merah, supaya anda dapat melihat dengan lebih baik selekoh, serta kemudahan kecil - melaraskan koordinat titik "mata", meningkatkan dan mengurangkan kelajuan putaran.

Arkibkan dengan program, kod sumber dan arahan untuk digunakan.

Dalam geometri hypercube- Ini n-analogi dimensi bagi segi empat sama ( n= 2) dan kubus ( n= 3). Ini ialah rajah cembung tertutup, terdiri daripada kumpulan garis selari yang terletak di tepi bertentangan rajah, dan bersambung antara satu sama lain pada sudut tepat.

Angka ini juga dikenali sebagai tesseract(tesseract). Tesseract adalah kepada kubus kerana kubus adalah kepada segi empat sama. Secara lebih formal, tesseract boleh digambarkan sebagai politop empat dimensi cembung biasa (politope) yang sempadannya terdiri daripada lapan sel padu.

Menurut Kamus Inggeris Oxford, perkataan "tesseract" dicipta pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton dan digunakan dalam bukunya A New Era of Thought. Perkataan itu terbentuk daripada bahasa Yunani "τεσσερες ακτινες" ("empat sinar"), adalah dalam bentuk empat paksi koordinat. Di samping itu, dalam beberapa sumber, angka yang sama dipanggil tetracube(tetrakube).

n-hypercube dimensi juga dipanggil n-kubus.

Titik ialah hiperkubus dimensi 0. Jika anda mengalihkan titik dengan unit panjang, anda mendapat segmen unit panjang - hiperkubus dimensi 1. Selanjutnya, jika anda mengalihkan segmen dengan unit panjang ke arah yang berserenjang ke arah segmen, anda mendapat kubus - hiperkubus dimensi 2. Mengalihkan segi empat sama dengan unit panjang ke arah yang berserenjang dengan satah segi empat sama, kubus diperoleh - hiperkubus dimensi 3. Proses ini boleh digeneralisasikan kepada sebarang bilangan dimensi. Sebagai contoh, jika anda mengalihkan kubus dengan unit panjang dalam dimensi keempat, anda mendapat tesseract.

Keluarga hypercubes adalah salah satu daripada beberapa polyhedra biasa yang boleh diwakili dalam mana-mana dimensi.

Unsur hiperkubus

Dimensi hypercube n mempunyai 2 n"sisi" (garisan satu dimensi mempunyai 2 mata; segi empat sama dua dimensi - 4 sisi; kubus tiga dimensi - 6 muka; tesseract empat dimensi - 8 sel). Bilangan bucu (titik) hiperkubus ialah 2 n(contohnya, untuk kubus - 2 3 bucu).

Kuantiti m-hiperkubus dimensi pada sempadan n-kubus sama

Sebagai contoh, pada sempadan hypercube terdapat 8 kiub, 24 petak, 32 tepi dan 16 bucu.

Unsur-unsur hiperkubus

n-kubus	Nama	Puncak (0 muka)	Hujung (1 muka)	hujung (2 muka)	sel (3 muka)	(4 muka)	(5 muka)	(6 muka)	(7 muka)	(8 muka)
0-kubus	titik	1
1-kubus	Segmen garisan	2	1
2-kubus	Segi empat	4	4	1
3-kubus	kiub	8	12	6	1
4-kubus	tesseract	16	32	24	8	1
5-kubus	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kubus	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kubus	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubus	Okterak	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubus	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Unjuran satah

Pembentukan hypercube boleh diwakili dengan cara berikut:

• Dua titik A dan B boleh disambungkan untuk membentuk segmen garis AB.
• Dua segmen selari AB dan CD boleh disambungkan untuk membentuk segi empat sama ABCD.
• Dua segi empat sama ABCD dan EFGH boleh dicantumkan untuk membentuk kubus ABCDEFGH.
• Dua kubus selari ABCDEFGH dan IJKLMNOP boleh disambungkan untuk membentuk hiperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP.

Struktur yang terakhir tidak mudah untuk dibayangkan, tetapi adalah mungkin untuk menggambarkan unjurannya pada dua atau tiga dimensi. Selain itu, unjuran pada satah 2D boleh menjadi lebih berguna dengan menyusun semula kedudukan bucu yang diunjurkan. Dalam kes ini, imej boleh diperolehi yang tidak lagi mencerminkan hubungan ruang unsur-unsur dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur sambungan bucu, seperti dalam contoh di bawah.

Ilustrasi pertama menunjukkan bagaimana tesseract dibentuk secara prinsip dengan mencantumkan dua kiub. Skim ini serupa dengan skema untuk mencipta kubus daripada dua segi empat sama. Rajah kedua menunjukkan bahawa semua tepi tesseract mempunyai panjang yang sama. Skim ini juga terpaksa mencari kiub yang bersambung antara satu sama lain. Dalam rajah ketiga, bucu tesseract terletak mengikut jarak sepanjang muka berbanding dengan titik bawah. Skim ini menarik kerana ia digunakan sebagai skema asas untuk topologi rangkaian penyambung pemproses dalam mengatur pengkomputeran selari: jarak antara mana-mana dua nod tidak melebihi 4 panjang tepi, dan terdapat banyak cara yang berbeza untuk mengimbangi beban.

Hypercube dalam seni

Hypercube telah muncul dalam fiksyen sains sejak 1940, apabila Robert Heinlein, dalam cerita "The House That Teal Built" ("And He Built a Crooked House"), menggambarkan sebuah rumah yang dibina dalam bentuk tesseract terbentang. Dalam cerita, ini Selanjutnya, rumah ini dilipat, bertukar menjadi tesseract empat dimensi. Selepas itu, hypercube muncul dalam banyak buku dan novel.

Cube 2: Hypercube ialah kira-kira lapan orang yang terperangkap dalam rangkaian hypercube.

Lukisan Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 oleh Salvador Dali menggambarkan Yesus disalibkan pada imbasan tesseract. Lukisan ini boleh dilihat di Muzium Seni (Metropolitan Museum of Art) di New York.

Kesimpulan

Hypercube ialah salah satu objek empat dimensi yang paling mudah, sebagai contoh anda boleh melihat semua kerumitan dan keanehan dimensi keempat. Dan apa yang kelihatan mustahil dalam tiga dimensi adalah mungkin dalam empat, sebagai contoh, angka mustahil. Jadi, sebagai contoh, bar segitiga mustahil dalam empat dimensi akan disambungkan pada sudut tepat. Dan angka ini akan kelihatan seperti ini dari semua sudut pandangan, dan tidak akan diputarbelitkan, tidak seperti pelaksanaan segitiga mustahil dalam ruang tiga dimensi (lihat Rajah.