rumah › Macam-macam › Cari luas rajah satah. Kamiran pasti

Cari luas rajah satah. Kamiran pasti

Sekarang kita beralih kepada pertimbangan aplikasi kalkulus kamiran. Dalam pelajaran ini, kami akan menganalisis tugas biasa dan paling biasa. mengira luas rajah rata menggunakan kamiran pasti. Akhir sekali, semua yang mencari makna dalam matematik yang lebih tinggi - semoga mereka menemuinya. Anda tidak pernah tahu. Dalam kehidupan sebenar, anda perlu menganggarkan kotej musim panas dengan fungsi asas dan mencari kawasannya menggunakan kamiran tertentu.

Untuk berjaya menguasai bahan, anda mesti:

1) Memahami kamiran tak tentu sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Oleh itu, dummies harus terlebih dahulu membaca pelajaran tidak.

2) Dapat menggunakan formula Newton-Leibniz dan mengira kamiran pasti. Buat hangat hubungan mesra dengan kamiran pasti boleh didapati di halaman Kamiran pasti. Contoh penyelesaian. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, oleh itu, pengetahuan dan kemahiran melukis anda juga akan menjadi isu yang mendesak. Sekurang-kurangnya, seseorang mesti boleh membina garis lurus, parabola dan hiperbola.

Mari kita mulakan dengan trapezoid melengkung. Trapezoid melengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh graf bagi beberapa fungsi y = f(x), paksi OX dan garisan x = a; x = b.

Luas trapezoid melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu

Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik. Pada pelajaran Kamiran pasti. Contoh penyelesaian kami berkata kamiran pasti ialah nombor. Dan kini tiba masanya untuk menyatakan yang lain fakta yang berguna. Dari sudut geometri, kamiran pasti ialah LUAS. Itu dia, kamiran pasti (jika wujud) secara geometri sepadan dengan luas beberapa rajah. Pertimbangkan kamiran pasti

Integrasi

mentakrifkan lengkung pada satah (ia boleh dilukis jika dikehendaki), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.

Contoh 1

, , , .

Ini adalah pernyataan tugas biasa. Perkara yang paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.

Apabila membina pelan tindakan, saya mengesyorkan susunan berikut: pada mulanya adalah lebih baik untuk membina semua baris (jika ada) dan sahaja Kemudian- parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Teknik pembinaan mengikut arah boleh didapati di bahan rujukan Graf dan sifat fungsi asas. Di sana anda juga boleh mencari bahan yang sangat berguna berkaitan dengan pelajaran kami - cara membina parabola dengan cepat.

Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.

Mari buat lukisan (perhatikan bahawa persamaan y= 0 menentukan paksi OX):

Kami tidak akan menetas trapezoid curvilinear, jelas di sini kawasan apa dalam soalan. Penyelesaiannya berterusan seperti ini:

Pada selang [-2; 1] graf fungsi y = x 2 + 2 terletak atas paksiOX, Itulah sebabnya:

Jawapan: .

Siapa yang mengalami kesukaran mengira kamiran pasti dan menggunakan formula Newton-Leibniz

rujuk kuliah Kamiran pasti. Contoh penyelesaian. Selepas tugas selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. DALAM kes ini"Dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, kira-kira 9 akan ditaip, nampaknya benar. Agak jelas bahawa jika kita mempunyai, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Jika jawapannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.

Contoh 2

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis xy = 4, x = 2, x= 4 dan paksi OX.

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid curvilinear terletak bawah gandarOX?

Contoh 3

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y = e-x, x= 1 dan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Jika trapezoid melengkung sepenuhnya di bawah gandar OX , maka luasnya boleh didapati dengan formula:

Dalam kes ini:

Perhatian! Kedua-dua jenis tugas tidak boleh dikelirukan:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah, kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y = 2x – x 2 , y = -x.

Penyelesaian: Mula-mula anda perlu membuat lukisan. Apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Cari titik persilangan parabola y = 2x – x 2 dan lurus y = -x. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:

Jadi had bawah integrasi a= 0, had atas penyepaduan b= 3. Selalunya lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "sendiri". Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had integrasi (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Kami kembali kepada tugas kami: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan kemudian parabola. Mari buat lukisan:

Kami mengulangi bahawa dalam pembinaan yang tepat, had penyepaduan paling kerap didapati "secara automatik".

Dan sekarang formula kerja:

Jika pada segmen [ a; b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama beberapa fungsi berterusan g(x), maka kawasan angka yang sepadan boleh didapati dengan formula:

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi penting carta mana yang DI ATAS(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu dari 2 x – x 2 mesti ditolak - x.

Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini:

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola y = 2x – x 2 atas dan lurus y = -x dari bawah.

Pada segmen 2 x – x 2 ≥ -x. Mengikut formula yang sepadan:

Jawapan: .

Malah, formula sekolah untuk luas trapezium melengkung pada separuh satah bawah (lihat contoh No. 3) ialah kes istimewa formula

Sejak paksi OX diberikan oleh persamaan y= 0, dan graf fungsi g(x) terletak di bawah paksi OX, Itu

Dan kini beberapa contoh untuk penyelesaian bebas

Contoh 5

Contoh 6

Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis

Semasa menyelesaikan masalah untuk mengira kawasan menggunakan kamiran tertentu, insiden lucu kadang-kadang berlaku. Lukisan itu dibuat dengan betul, pengiraan adalah betul, tetapi, kerana tidak berhati-hati, ... mendapati luas angka yang salah.

Contoh 7

Mari kita melukis dahulu:

Rajah yang kawasannya perlu kita cari dilorekkan dengan warna biru.(berhati-hati melihat keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh kurangnya perhatian, mereka sering memutuskan bahawa mereka perlu mencari kawasan angka yang berlorek dalam warna hijau!

Contoh ini juga berguna kerana di dalamnya kawasan angka dikira menggunakan dua kamiran pasti. sungguh:

1) Pada segmen [-1; 1] di atas gandar OX graf adalah lurus y = x+1;

2) Pada segmen di atas paksi OX graf hiperbola terletak y = (2/x).

Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:

Jawapan:

Contoh 8

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Mari kita membentangkan persamaan dalam bentuk "sekolah".

dan lakukan lukisan garisan:

Ia boleh dilihat dari lukisan bahawa had atas kami adalah "baik": b = 1.

Tetapi apakah had yang lebih rendah? Sudah jelas bahawa ini bukan integer, tetapi apa?

Mungkin, a=(-1/3)? Tetapi di manakah jaminan bahawa lukisan itu dibuat dengan ketepatan yang sempurna, ia mungkin ternyata begitu a=(-1/4). Bagaimana jika kita tidak mendapat graf dengan betul?

Dalam kes sedemikian, seseorang itu perlu menghabiskan masa tambahan dan memperhalusi had penyepaduan secara analitik.

Cari titik persilangan graf

Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan:

Oleh itu, a=(-1/3).

Penyelesaian selanjutnya adalah remeh. Perkara utama ialah jangan keliru dalam penggantian dan tanda. Pengiraan di sini bukanlah yang paling mudah. Pada segmen

, ,

mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Sebagai kesimpulan pelajaran, kami akan mempertimbangkan dua tugas yang lebih sukar.

Contoh 9

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Penyelesaian: Lukiskan rajah ini dalam lukisan.

Untuk lukisan titik demi titik, anda perlu tahu penampilan sinusoid. Secara umum, adalah berguna untuk mengetahui graf semua fungsi asas, serta beberapa nilai sinus. Mereka boleh didapati dalam jadual nilai fungsi trigonometri . Dalam sesetengah kes (contohnya, dalam kes ini), ia dibenarkan untuk membina lukisan skematik, di mana graf dan had penyepaduan mesti dipaparkan secara prinsip dengan betul.

Tiada masalah dengan had penyepaduan di sini, mereka mengikut terus dari syarat:

- "x" berubah dari sifar kepada "pi". Kami membuat keputusan selanjutnya:

Pada segmen, graf fungsi y= dosa 3 x terletak di atas paksi OX, Itulah sebabnya:

(1) Anda boleh melihat bagaimana sinus dan kosinus disepadukan dalam kuasa ganjil dalam pelajaran Kamiran bagi fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.

(2) Kami menggunakan identiti trigonometri asas dalam bentuk

(3) Mari kita tukar pembolehubah t= cos x, kemudian: terletak di atas paksi , jadi:

Catatan: perhatikan bagaimana kamiran tangen dalam kubus diambil, di sini akibat identiti trigonometri asas digunakan

Sebenarnya, untuk mencari luas angka, anda tidak memerlukan begitu banyak pengetahuan tentang kamiran tak tentu dan pasti. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, jadi pengetahuan dan kemahiran melukis anda akan menjadi isu yang lebih relevan. Dalam hal ini, adalah berguna untuk menyegarkan semula ingatan graf fungsi asas utama, dan, sekurang-kurangnya, dapat membina garis lurus, dan hiperbola.

Trapezoid lengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh paksi, garis lurus, dan graf bagi fungsi selanjar pada segmen yang tidak berubah tanda pada selang ini. Biarkan angka ini terletak tidak kurang absis:

Kemudian luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu. Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik.

Dari segi geometri, kamiran pasti ialah LUAS.

Itu dia, kamiran pasti (jika wujud) sepadan secara geometri dengan luas beberapa rajah. Sebagai contoh, pertimbangkan kamiran pasti . Kamiran dan mentakrifkan lengkung pada satah yang terletak di atas paksi (mereka yang ingin melengkapkan lukisan), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas biasa. Pertama dan detik genting penyelesaian - membina lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.

Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita buat lukisan (perhatikan bahawa persamaan mentakrifkan paksi):

Pada segmen, graf fungsi terletak atas paksi, Itulah sebabnya:

Jawapan:

Selepas tugas selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - dengan baik, kira-kira 9 akan ditaip, nampaknya benar. Agak jelas bahawa jika kita mempunyai, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka, jelas sekali, kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Jika jawapannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.

Contoh 3

Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari buat lukisan:

Jika trapezoid melengkung terletak bawah gandar(atau sekurang-kurangnya tidak lebih tinggi paksi yang diberikan), maka luasnya boleh didapati dengan formula:

Dalam kes ini:

Perhatian! Jangan mengelirukan kedua-dua jenis tugas:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah, kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis , .

Penyelesaian: Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan garis. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:

Oleh itu, had bawah penyepaduan, had atas penyepaduan.

Sebaiknya jangan gunakan kaedah ini jika boleh..

Ia adalah lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "dengan sendirinya". Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had integrasi (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.

Kami kembali kepada tugas kami: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan kemudian parabola. Mari buat lukisan:

Dan kini formula kerja: Jika terdapat beberapa fungsi berterusan pada selang lebih besar daripada atau sama beberapa fungsi berterusan, kemudian luas rajah, carta-terhad daripada fungsi dan garis lurus ini , , boleh didapati dengan formula:

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, dan, secara kasarnya, penting carta mana yang DI ATAS(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada

Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini:

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Contoh 4

Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , , , .

Penyelesaian: Mari buat lukisan dahulu:

Rajah yang kawasannya perlu kita cari dilorekkan dengan warna biru.(berhati-hati melihat keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh kurangnya perhatian, "gangguan" sering berlaku, yang anda perlukan untuk mencari kawasan angka yang berlorek dengan warna hijau!

Contoh ini juga berguna kerana di dalamnya kawasan angka dikira menggunakan dua kamiran pasti.

sungguh:

1) Pada segmen di atas paksi terdapat graf garis lurus;

2) Pada segmen di atas paksi ialah graf hiperbola.

Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:

Bagaimana untuk memasukkan formula matematik di tapak?

Jika anda perlu menambah satu atau dua formula matematik pada halaman web, maka cara paling mudah untuk melakukan ini adalah seperti yang diterangkan dalam artikel: formula matematik mudah dimasukkan ke dalam tapak dalam bentuk gambar yang Wolfram Alpha jana secara automatik. Selain kesederhanaan, kaedah universal ini akan membantu meningkatkan keterlihatan tapak dalam enjin carian. Ia telah berfungsi untuk masa yang lama (dan saya fikir ia akan berfungsi selama-lamanya), tetapi ia sudah ketinggalan zaman.

Jika anda sentiasa menggunakan formula matematik di tapak anda, maka saya syorkan anda menggunakan MathJax, perpustakaan JavaScript khas yang memaparkan notasi matematik dalam pelayar web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.

Terdapat dua cara untuk mula menggunakan MathJax: (1) menggunakan kod mudah, anda boleh menyambungkan skrip MathJax ke tapak anda dengan cepat, yang akan dimuatkan secara automatik dari pelayan jauh pada masa yang betul (senarai pelayan); (2) muat naik skrip MathJax dari pelayan jauh ke pelayan anda dan sambungkannya ke semua halaman tapak anda. Kaedah kedua adalah lebih kompleks dan memakan masa dan akan membolehkan anda mempercepatkan pemuatan halaman tapak anda, dan jika pelayan MathJax induk menjadi tidak tersedia buat sementara waktu atas sebab tertentu, ini tidak akan menjejaskan tapak anda sendiri dalam apa jua cara. Walaupun kelebihan ini, saya memilih kaedah pertama, kerana ia lebih mudah, lebih cepat dan tidak memerlukan kemahiran teknikal. Ikuti contoh saya, dan dalam masa 5 minit anda akan dapat menggunakan semua ciri MathJax di tapak web anda.

Anda boleh menyambungkan skrip perpustakaan MathJax dari pelayan jauh menggunakan dua pilihan kod yang diambil dari tapak web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:

Salah satu daripada pilihan kod ini perlu disalin dan ditampal ke dalam kod halaman web anda, sebaik-baiknya di antara teg Dan atau betul-betul selepas tag . Mengikut pilihan pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlahankan halaman kurang. Tetapi pilihan kedua secara automatik menjejaki dan memuatkan versi terkini MathJax. Jika anda memasukkan kod pertama, maka ia perlu dikemas kini secara berkala. Jika anda menampal kod kedua, maka halaman akan dimuatkan dengan lebih perlahan, tetapi anda tidak perlu sentiasa memantau kemas kini MathJax.

Cara paling mudah untuk menyambungkan MathJax ialah dalam Blogger atau WordPress: dalam panel kawalan tapak, tambahkan widget yang direka untuk memasukkan kod JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua kod beban di atas ke dalamnya dan letakkan widget lebih dekat dengan permulaan templat (by the way, ini tidak perlu sama sekali , kerana skrip MathJax dimuatkan secara tidak segerak). Itu sahaja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML dan anda sudah bersedia untuk membenamkan formula matematik ke dalam halaman web anda.

Mana-mana fraktal dibina mengikut peraturan tertentu, yang digunakan secara konsisten dalam bilangan kali yang tidak terhad. Setiap masa itu dipanggil lelaran.

Algoritma lelaran untuk membina span Menger agak mudah: kubus asal dengan sisi 1 dibahagikan dengan satah selari dengan mukanya kepada 27 kubus yang sama. Satu kiub pusat dan 6 kiub bersebelahan dengannya di sepanjang muka dikeluarkan daripadanya. Ternyata satu set yang terdiri daripada 20 baki kiub yang lebih kecil. Melakukan perkara yang sama dengan setiap kiub ini, kami mendapat satu set yang terdiri daripada 400 kiub yang lebih kecil. Meneruskan proses ini selama-lamanya, kami mendapat span Menger.

Kami mula mempertimbangkan proses sebenar mengira kamiran berganda dan membiasakan diri dengan makna geometrinya.

Kamiran berganda secara berangka sama dengan luas angka rata (wilayah integrasi). ini bentuk paling ringkas kamiran berganda apabila fungsi dua pembolehubah adalah sama dengan satu: .

Mari kita pertimbangkan dahulu masalah dalam Pandangan umum. Sekarang anda akan terkejut betapa mudahnya ia sebenarnya! Mari kita hitung luas angka rata yang dibatasi oleh garis. Untuk kepastian, kami menganggap bahawa pada selang . Luas angka ini secara berangka sama dengan:

Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan:

Mari pilih cara pertama untuk memintas kawasan:

Oleh itu:

Dan segera helah teknikal yang penting: kamiran lelaran boleh dipertimbangkan secara berasingan. Pertama kamiran dalam, kemudian kamiran luar. Kaedah ini sangat disyorkan untuk pemula dalam teko topik.

1) Kira kamiran dalaman, manakala kamiran dijalankan ke atas pembolehubah "y":

Kamiran tak tentu di sini adalah yang paling mudah, dan kemudian formula Newton-Leibniz yang cetek digunakan, dengan satu-satunya perbezaan yang had penyepaduan bukan nombor, tetapi fungsi. Mula-mula, kami menggantikan had atas ke dalam "y" (fungsi antiderivatif), kemudian had bawah

2) Hasil yang diperoleh dalam perenggan pertama mesti digantikan ke dalam kamiran luar:

Notasi yang lebih padat untuk keseluruhan penyelesaian kelihatan seperti ini:

Formula yang terhasil - ini betul-betul formula kerja untuk mengira luas angka rata menggunakan kamiran pasti "biasa"! Lihat pelajaran Mengira luas menggunakan kamiran pasti, ada dia di setiap masa!

Itu dia, masalah pengiraan luas menggunakan kamiran berganda sedikit berbeza daripada masalah mencari luas menggunakan kamiran pasti! Malah, mereka adalah satu dan sama!

Sehubungan itu, tiada kesulitan harus timbul! Saya tidak akan mempertimbangkan banyak contoh, kerana anda, sebenarnya, telah berulang kali menghadapi masalah ini.

Contoh 9

Penyelesaian: Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan:

Mari kita pilih urutan pelayaran rantau berikut:

Di sini dan di bawah, saya tidak akan membincangkan cara melintasi kawasan kerana perenggan pertama sangat terperinci.

Oleh itu:

Seperti yang telah saya nyatakan, adalah lebih baik bagi pemula untuk mengira kamiran berulang secara berasingan, saya akan mematuhi kaedah yang sama:

1) Pertama, menggunakan formula Newton-Leibniz, kita berurusan dengan kamiran dalaman:

2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama digantikan ke dalam kamiran luar:

Titik 2 sebenarnya mencari luas rajah rata menggunakan kamiran pasti.

Jawapan:

Inilah tugas yang bodoh dan naif.

Contoh yang ingin tahu untuk penyelesaian bebas:

Contoh 10

Dengan menggunakan kamiran berganda, hitung luas rajah satah yang dibatasi oleh garis , ,

Contoh Sampel memuktamadkan penyelesaian pada akhir pelajaran.

Dalam Contoh 9-10, adalah lebih menguntungkan untuk menggunakan cara pertama untuk memintas kawasan, pembaca yang ingin tahu, dengan cara itu, boleh menukar susunan pintasan dan mengira kawasan dengan cara kedua. Jika anda tidak membuat kesilapan, maka, secara semula jadi, nilai kawasan yang sama diperolehi.

Tetapi dalam beberapa kes, cara kedua untuk memintas kawasan adalah lebih berkesan, dan sebagai kesimpulan kursus nerd muda, mari kita lihat beberapa lagi contoh mengenai topik ini:

Contoh 11

Menggunakan kamiran berganda, hitung luas rajah satah yang dibatasi oleh garis.

Penyelesaian: kami menantikan dua parabola dengan angin yang bertiup di sebelahnya. Tidak perlu tersenyum, perkara yang serupa dalam pelbagai kamiran sering ditemui.

Apakah cara paling mudah untuk membuat lukisan?

Mari kita wakili parabola sebagai dua fungsi:
- cawangan atas dan - cawangan bawah.

Begitu juga, bayangkan parabola sebagai bahagian atas dan bawah cawangan.

Seterusnya, pemacu plot demi titik, menghasilkan angka yang begitu pelik:

Luas rajah dikira menggunakan kamiran berganda mengikut formula:

Apa yang berlaku jika kita memilih cara pertama untuk memintas kawasan itu? Pertama, kawasan ini perlu dibahagikan kepada dua bahagian. Dan kedua, kita akan melihat gambar sedih ini: . Kamiran, sudah tentu, bukan tahap super-kompleks, tetapi ... ada pepatah matematik lama: sesiapa yang mesra dengan akar tidak memerlukan set-off.

Oleh itu, daripada salah faham yang diberikan dalam keadaan, kami menyatakan fungsi songsang:

Fungsi songsang V contoh ini mempunyai kelebihan bahawa mereka segera menetapkan seluruh parabola tanpa sebarang daun, acorn, dahan dan akar.

Mengikut kaedah kedua, laluan kawasan adalah seperti berikut:

Oleh itu:

Seperti yang mereka katakan, rasai perbezaannya.

1) Kami berurusan dengan kamiran dalaman:

Kami menggantikan hasilnya ke dalam kamiran luar:

Penyepaduan ke atas pembolehubah "y" tidak sepatutnya memalukan, jika terdapat huruf "zyu" - adalah bagus untuk disepadukan di atasnya. Walaupun yang membaca perenggan kedua pelajaran Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi, dia tidak lagi mengalami sedikit rasa malu dengan penyepaduan ke atas "y".

Juga perhatikan langkah pertama: integrand adalah genap, dan segmen integrasi adalah simetri kira-kira sifar. Oleh itu, segmen boleh dibelah dua, dan hasilnya boleh digandakan. Teknik ini mengulas secara terperinci dalam pelajaran Kaedah Berkesan pengiraan kamiran pasti.

Apa yang perlu ditambah…. Semua!

Jawapan:

Untuk menguji teknik integrasi anda, anda boleh cuba mengira . Jawapannya sepatutnya sama.

Contoh 12

Menggunakan kamiran berganda, hitung luas rajah satah yang dibatasi oleh garis

Ini adalah contoh buat sendiri. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa jika anda cuba menggunakan cara pertama untuk memintas kawasan itu, maka angka itu tidak lagi akan dibahagikan kepada dua, tetapi kepada tiga bahagian! Dan, dengan itu, kita mendapat tiga pasang kamiran berulang. Kadang-kadang ia berlaku.

Kelas induk telah berakhir, dan tiba masanya untuk beralih ke peringkat grandmaster - Bagaimana untuk mengira kamiran berganda? Contoh penyelesaian. Saya akan cuba untuk tidak menjadi gila dalam artikel kedua =)

Semoga anda berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2:Penyelesaian: Lukiskan satu kawasan pada lukisan:

Mari kita pilih urutan pelayaran rantau berikut:

Oleh itu:
Mari kita beralih ke fungsi songsang:

Oleh itu:
Jawapan:

Contoh 4:Penyelesaian: Mari kita beralih ke fungsi langsung:

Mari kita laksanakan lukisan:

Mari kita ubah susunan rentas kawasan:

Jawapan:

Penyelesaian.

Momen pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan.

Mari buat lukisan:

Persamaan y=0 menetapkan paksi-x;

- x=-2 Dan x=1 - lurus, selari dengan paksi OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola yang cabangnya diarahkan ke atas, dengan bucu pada titik (0;2).

Komen. Untuk membina parabola, cukup untuk mencari titik persilangannya dengan paksi koordinat, i.e. meletakkan x=0 cari persilangan dengan paksi OU dan memutuskan yang sesuai persamaan kuadratik, cari persilangan dengan paksi Oh .

Puncak parabola boleh didapati menggunakan formula:

Anda boleh melukis garisan dan titik demi titik.

Pada selang [-2;1] graf fungsi y=x 2 +2 terletak atas paksi lembu , Itulah sebabnya:

Jawapan: S \u003d 9 unit persegi

Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid curvilinear terletak bawah gandar Oh?

b) Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan paksi koordinat.

Penyelesaian.

Jom buat lukisan.

Jika trapezoid melengkung sepenuhnya di bawah gandar Oh , maka luasnya boleh didapati dengan formula:

Jawapan: S=(e-1) unit persegi" 1.72 unit persegi

Perhatian! Jangan mengelirukan kedua-dua jenis tugas:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah.

dengan) Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Penyelesaian.

Mula-mula anda perlu membuat lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Cari titik persilangan parabola dan langsung Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal.

Kami menyelesaikan persamaan:

Jadi had bawah integrasi a=0 , had atas penyepaduan b=3 .

Kami membina garisan yang diberikan: 1. Parabola - bucu pada titik (1;1); persimpangan paksi Oh - mata(0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - pembahagi dua sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan g(x), maka luas angka yang sepadan boleh didapati dengan formula: .

Dan tidak kira di mana angka itu berada - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi adalah penting carta mana yang LEBIH TINGGI (berbanding dengan carta lain), dan yang mana satu di BAWAH. Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada

Ia adalah mungkin untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "dengan sendirinya". Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had integrasi (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional).