Kubus empat dimensi. Cybercube - langkah pertama ke dimensi keempat

Evolusi otak manusia berlaku dalam ruang tiga dimensi. Oleh itu, sukar untuk kita membayangkan ruang dengan dimensi lebih besar daripada tiga. Sebenarnya, otak manusia tidak dapat membayangkan objek geometri yang mempunyai lebih daripada tiga dimensi. Dan pada masa yang sama, kita boleh dengan mudah membayangkan objek geometri dengan dimensi bukan sahaja tiga, tetapi juga dengan dimensi dua dan satu.

Perbezaan dan analogi antara ruang satu dimensi dan dua dimensi, dan perbezaan dan analogi antara ruang dua dimensi dan tiga dimensi membolehkan kita membuka sedikit skrin misteri yang memagar kita daripada ruang dimensi yang lebih tinggi. Untuk memahami cara analogi ini digunakan, pertimbangkan objek empat dimensi yang sangat mudah - hiperkubus, iaitu, kubus empat dimensi. Biarkan, untuk kepastian, katakan kita ingin menyelesaikan masalah tertentu, iaitu mengira bilangan muka segi empat sama kubus empat dimensi. Semua pertimbangan di bawah akan menjadi sangat longgar, tanpa sebarang bukti, semata-mata dengan analogi.

Untuk memahami bagaimana hypercube dibina daripada kubus biasa, seseorang mesti melihat bagaimana kubus biasa dibina daripada segi empat sama biasa. Untuk keaslian pembentangan bahan ini, kami di sini akan memanggil SubCube persegi biasa (dan kami tidak akan mengelirukannya dengan succubus).

Untuk membina kubus daripada subkubus, adalah perlu untuk memanjangkan subkubus dalam arah yang berserenjang dengan satah subkubus dalam arah dimensi ketiga. Pada masa yang sama, subkubus akan tumbuh dari setiap sisi subkubus awal, iaitu muka sisi dua dimensi kubus, yang akan mengehadkan isipadu tiga dimensi kubus dari empat sisi, dua berserenjang dengan setiap arah dalam satah subkubus. Dan di sepanjang paksi ketiga baharu, terdapat juga dua subkubus yang mengehadkan isipadu tiga dimensi kubus. Ini ialah muka dua dimensi di mana subkubus kita pada asalnya terletak dan muka dua dimensi kubus di mana subkubus datang pada penghujung pembinaan kubus.

Perkara yang baru anda baca dinyatakan dengan terperinci yang berlebihan dan dengan banyak penjelasan. Dan bukan sembarangan. Sekarang kita akan melakukan helah sedemikian, kita akan menggantikan beberapa perkataan dalam teks sebelumnya secara rasmi dengan cara ini:
kiub -> hypercube
subkiub -> kubus
satah -> isipadu
ketiga -> keempat
2D -> 3D
empat -> enam
tiga dimensi -> empat dimensi
dua -> tiga
kapal terbang -> ruang

Akibatnya, kami mendapat teks yang bermakna berikut, yang tidak lagi kelihatan terlalu terperinci.

Untuk membina hiperkubus daripada kubus, anda perlu meregangkan kubus ke arah yang berserenjang dengan isipadu kubus ke arah dimensi keempat. Pada masa yang sama, kubus akan tumbuh dari setiap sisi kubus asal, iaitu muka tiga dimensi sisi hiperkubus, yang akan mengehadkan isipadu empat dimensi hiperkubus daripada enam sisi, tiga berserenjang dengan setiap arah dalam ruang kubus. Dan di sepanjang paksi keempat yang baharu, terdapat juga dua kiub yang mengehadkan isipadu empat dimensi hiperkubus. Ini ialah muka tiga dimensi di mana kubus kita terletak pada asalnya dan muka tiga dimensi hiperkubus, di mana kubus itu datang pada penghujung pembinaan hiperkubus.

Mengapa kami begitu pasti bahawa kami telah menerima penerangan yang betul tentang pembinaan hypercube? Ya, kerana dengan penggantian kata-kata rasmi yang sama, kita mendapat penerangan tentang pembinaan kubus daripada penerangan pembinaan segi empat sama. (Semak sendiri.)

Kini jelas bahawa jika kubus tiga dimensi lain harus tumbuh dari setiap sisi kubus, maka muka mesti tumbuh dari setiap tepi kubus awal. Secara keseluruhan, kubus mempunyai 12 tepi, yang bermaksud bahawa akan terdapat tambahan 12 muka baharu (subkubus) untuk 6 kubus yang mengehadkan isipadu empat dimensi di sepanjang tiga paksi ruang tiga dimensi. Dan terdapat dua lagi kiub yang mengehadkan isipadu empat dimensi ini dari bawah dan dari atas di sepanjang paksi keempat. Setiap kubus ini mempunyai 6 muka.

Secara keseluruhan kita mendapat bahawa hiperkubus mempunyai 12+6+6=24 muka persegi.

Gambar berikut menunjukkan struktur logik hiperkubus. Ia seperti unjuran hiperkubus ke ruang tiga dimensi. Dalam kes ini, bingkai tiga dimensi tulang rusuk diperolehi. Dalam rajah, sudah tentu, anda melihat unjuran bingkai ini juga pada satah.

Pada bingkai ini, kiub dalam adalah, seolah-olah, kiub awal dari mana pembinaan bermula dan yang mengehadkan isipadu empat dimensi hiperkubus di sepanjang paksi keempat dari bawah. Kami meregangkan kiub awal ini ke atas sepanjang paksi dimensi keempat dan ia masuk ke dalam kiub luar. Jadi kiub luar dan dalam daripada rajah ini mengehadkan hiperkubus sepanjang paksi dimensi keempat.

Dan di antara dua kiub ini, 6 lagi kiub baharu kelihatan, yang bersentuhan dengan dua yang pertama oleh muka biasa. Enam kiub ini mengehadkan hiperkubus kami di sepanjang tiga paksi ruang tiga dimensi. Seperti yang anda lihat, ia bukan sahaja bersentuhan dengan dua kiub pertama, iaitu dalaman dan luaran pada bingkai tiga dimensi ini, tetapi ia masih bersentuhan antara satu sama lain.

Anda boleh mengira terus dalam rajah dan pastikan hypercube itu benar-benar mempunyai 24 muka. Tetapi inilah persoalannya. Bingkai hypercube 3D ini dipenuhi dengan lapan kiub 3D tanpa sebarang jurang. Untuk membuat hypercube sebenar daripada unjuran 3D hypercube ini, adalah perlu untuk memusingkan bingkai ini ke dalam supaya kesemua 8 kiub mengehadkan volum 4D.

Ia dilakukan seperti ini. Kami menjemput seorang penduduk ruang empat dimensi untuk melawat dan memintanya membantu kami. Ia mengambil kiub dalam rangka kerja ini dan mengalihkannya ke arah dimensi keempat, yang berserenjang dengan ruang 3D kami. Kami dalam ruang tiga dimensi kami melihatnya seolah-olah keseluruhan bingkai dalaman telah hilang dan hanya bingkai kiub luar yang tinggal.

Seterusnya, pembantu 4D kami menawarkan untuk membantu di hospital bersalin untuk kelahiran tanpa rasa sakit, tetapi wanita hamil kami takut dengan prospek bayi hilang begitu sahaja dari perut dan berakhir di ruang 3D yang selari. Oleh itu, empat rangkap ditolak dengan sopan.

Dan kami tertanya-tanya sama ada beberapa kiub kami tersangkut apabila bingkai hypercube dipusingkan ke dalam. Lagipun, jika beberapa kiub tiga dimensi yang mengelilingi hiperkiub menyentuh jiran mereka pada bingkai, adakah mereka juga akan menyentuh muka yang sama jika yang empat dimensi memusingkan bingkai ke dalam.

Mari kita kembali kepada analogi dengan ruang dimensi yang lebih rendah. Bandingkan imej rangka wayar hiperkubus dengan unjuran kubus 3D pada satah yang ditunjukkan dalam gambar berikut.

Penduduk ruang dua dimensi membina rangka kerja unjuran kiub pada satah di atas satah dan menjemput kami, penduduk tiga dimensi, untuk mengubah rangka kerja ini ke dalam. Kami mengambil empat bucu segi empat sama dalam dan menggerakkannya berserenjang dengan satah. Pada masa yang sama, penduduk dua dimensi melihat kehilangan lengkap keseluruhan bingkai dalaman, dan mereka hanya mempunyai bingkai segi empat sama luar. Dengan operasi sedemikian, semua petak yang bersentuhan dengan tepinya terus bersentuhan seperti sebelumnya dengan tepi yang sama.

Oleh itu, kami berharap skema logik hiperkubus juga tidak akan dilanggar apabila bingkai hiperkubus dipusingkan ke dalam, dan bilangan muka persegi hiperkubus tidak akan meningkat dan akan kekal bersamaan dengan 24. Ini, sudah tentu, adalah tiada bukti sama sekali, tetapi semata-mata tekaan dengan analogi.

Selepas semuanya dibaca di sini, anda boleh melukis rangka kerja logik kubus lima dimensi dengan mudah dan mengira bilangan bucu, tepi, muka, kubus dan hiperkiub yang ada padanya. Tak susah pun.

Jika anda peminat filem Avengers, perkara pertama yang terlintas di fikiran anda apabila anda mendengar perkataan "Tesseract" ialah kapal Infinity Stone telus berbentuk kiub yang mengandungi kuasa tanpa had.

Bagi peminat Marvel Universe, Tesseract ialah kiub biru bercahaya yang digilai orang bukan sahaja dari Bumi, malah planet lain. Itulah sebabnya semua Avengers telah bersatu untuk melindungi Gunders daripada kuasa yang sangat merosakkan Tesseract.

Walau bagaimanapun, apa yang perlu dikatakan ialah: Tesseract ialah konsep geometri sebenar, lebih khusus, bentuk yang wujud dalam 4D. Ia bukan sekadar kiub biru dari The Avengers... ia adalah konsep sebenar.

Tesseract ialah objek dalam 4 dimensi. Tetapi sebelum kita menerangkannya secara terperinci, mari kita mulakan dari awal.

Apakah "pengukuran"?

Semua orang pernah mendengar istilah 2D dan 3D, masing-masing mewakili objek dua dimensi atau tiga dimensi ruang. Tetapi apakah ukuran ini?

Dimensi hanyalah arah yang boleh anda tuju. Contohnya, jika anda melukis garisan pada sekeping kertas, anda boleh pergi ke kiri/kanan (paksi-x) atau atas/bawah (paksi-y). Jadi kami katakan kertas itu adalah dua dimensi kerana anda hanya boleh berjalan dalam dua arah.

Terdapat rasa mendalam dalam 3D.

Sekarang, dalam dunia sebenar, selain dua arah yang dinyatakan di atas (kiri/kanan dan atas/bawah), anda juga boleh pergi "masuk/keluar". Akibatnya, rasa kedalaman ditambah dalam ruang 3D. Oleh itu kami berkata demikian kehidupan sebenar 3 dimensi.

Titik boleh mewakili 0 dimensi (kerana ia tidak bergerak ke mana-mana arah), garis mewakili 1 dimensi (panjang), segi empat sama mewakili 2 dimensi (panjang dan lebar), dan kubus mewakili 3 dimensi (panjang, lebar dan tinggi). ).

Ambil kiub 3D dan gantikan setiap muka (yang kini berbentuk segi empat sama) dengan kiub. Dan juga! Bentuk yang anda dapat ialah tesseract.

Apakah tesseract?

Ringkasnya, tesseract ialah kubus dalam ruang 4 dimensi. Anda juga boleh mengatakan bahawa ini adalah persamaan 4D bagi sebuah kiub. Ini adalah bentuk 4D di mana setiap muka adalah kiub.

Unjuran 3D bagi tesseract yang melakukan putaran berganda mengelilingi dua satah ortogon.
Imej: Jason Hise

Berikut ialah cara mudah untuk mengkonsepkan dimensi: segi empat sama adalah dua dimensi; jadi setiap sudutnya mempunyai 2 garisan memanjang daripadanya pada 90 darjah antara satu sama lain. Kubus adalah 3D, jadi setiap sudutnya mempunyai 3 garisan yang keluar daripadanya. Begitu juga, tesseract ialah bentuk 4D, jadi setiap sudut mempunyai 4 garisan memanjang daripadanya.

Mengapa sukar untuk membayangkan tesseract?

Oleh kerana kita sebagai manusia telah berkembang untuk memvisualisasikan objek dalam tiga dimensi, apa sahaja yang masuk ke dalam dimensi tambahan seperti 4D, 5D, 6D, dsb. tidak bermakna bagi kita. rasa hebat kerana kita tidak dapat membayangkan mereka sama sekali. Otak kita tidak dapat memahami dimensi ke-4 dalam ruang. Kita tidak boleh memikirkannya.

Walau bagaimanapun, hanya kerana kita tidak dapat menggambarkan konsep ruang berbilang dimensi tidak bermakna ia tidak boleh wujud.

19 September 2009
Tesseract (dari bahasa Yunani lain τέσσερες ἀκτῖνες - empat sinar) - hiperkubus empat dimensi - analog kubus dalam ruang empat dimensi.

Imej ialah unjuran (perspektif) kubus empat dimensi kepada ruang tiga dimensi.

Menurut Kamus Oxford, perkataan "tesseract" dicipta dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853-1907) dalam bukunya " era baru pemikiran". Kemudian, beberapa orang memanggil angka yang sama "tetracube".

Geometri

Tesseract biasa dalam ruang empat dimensi Euclidean ditakrifkan sebagai badan cembung mata (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, ia boleh diwakili sebagai set berikut:

Tesseract dihadkan oleh lapan hyperplanes, persilangannya dengan tesseract itu sendiri mentakrifkan muka tiga dimensinya (iaitu kiub biasa). Setiap pasangan muka 3D yang tidak selari bersilang untuk membentuk muka 2D (segi empat sama), dan seterusnya. Akhir sekali, tesseract mempunyai 8 muka 3D, 24 2D, 32 tepi dan 16 bucu.

Penerangan Popular

Mari cuba bayangkan bagaimana hypercube akan kelihatan tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada garisan - kami memilih segmen AB dengan panjang L. Pada satah dua dimensi pada jarak L dari AB, kami melukis segmen DC selari dengannya dan menyambungkan hujungnya. Dapatkan segi empat sama ABCD. Mengulangi operasi ini dengan satah, kita mendapat kubus tiga dimensi ABCDHEFG. Dan dengan mengalihkan kubus dalam dimensi keempat (berserenjang dengan tiga yang pertama) dengan jarak L, kita mendapat hiperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi segi empat sama dua dimensi ABCD, segi empat sama ialah sisi kubus ABCDHEFG, yang seterusnya, akan menjadi sisi hiperkubus empat dimensi. Segmen garis lurus mempunyai dua titik sempadan, segi empat sama mempunyai empat bucu, dan kubus mempunyai lapan. Oleh itu, dalam hiperkubus empat dimensi, akan terdapat 16 bucu: 8 bucu kubus asal dan 8 bucu beralih dalam dimensi keempat. Ia mempunyai 32 tepi - 12 setiap satu memberikan kedudukan awal dan akhir kubus asal, dan 8 lagi tepi "melukis" lapan bucunya yang telah berpindah ke dimensi keempat. Penalaran yang sama boleh dilakukan untuk muka hypercube. Dalam ruang dua dimensi, ia adalah satu (persegi itu sendiri), kubus mempunyai 6 daripadanya (dua muka dari segi empat sama yang digerakkan dan empat lagi akan menerangkan sisinya). Hiperkubus empat dimensi mempunyai 24 muka segi empat sama - 12 segi empat sama kubus asal dalam dua kedudukan dan 12 segi empat sama dari dua belas tepinya.

Dengan cara yang sama, kita boleh meneruskan penaakulan untuk hiperkubus dengan bilangan dimensi yang lebih besar, tetapi lebih menarik untuk melihat bagaimana hiperkubus empat dimensi akan kelihatan bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Marilah kita gunakan untuk ini kaedah analogi yang sudah biasa.

Tesseract terbongkar

Mari kita ambil kiub wayar ABCDHEFG dan lihat dengan sebelah mata dari sisi muka. Kita akan melihat dan boleh melukis dua petak pada satah (muka dekat dan jauhnya), disambungkan dengan empat garisan - tepi sisi. Begitu juga, hiperkubus empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan kelihatan seperti dua "kotak" padu yang dimasukkan ke dalam satu sama lain dan disambungkan dengan lapan tepi. Dalam kes ini, "kotak" itu sendiri - muka tiga dimensi - akan ditayangkan ke ruang "kita", dan garisan yang menghubungkannya akan meregang dalam dimensi keempat. Anda juga boleh cuba membayangkan kiub bukan dalam unjuran, tetapi dalam imej spatial.

Sama seperti kubus tiga dimensi dibentuk oleh segi empat sama yang dianjakkan dengan panjang muka, kubus yang dianjak ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Ia dihadkan oleh lapan kiub, yang pada masa hadapan akan kelihatan seperti beberapa cantik angka kompleks. Bahagiannya, yang tinggal di ruang "kami", dilukis garisan padat, dan perkara yang masuk ke ruang hiper adalah bertitik. Hiperkubus empat dimensi itu sendiri terdiri daripada bilangan kubus yang tidak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi boleh "dipotong" menjadi segi empat sama rata yang tidak terhingga.

Dengan memotong enam muka kubus tiga dimensi, seseorang boleh menguraikannya menjadi angka rata- sapuan. Ia akan mempunyai segi empat sama pada setiap sisi muka asal, ditambah satu lagi - muka bertentangan dengannya. Perkembangan tiga dimensi bagi hiperkubus empat dimensi akan terdiri daripada kubus asal, enam kubus yang "tumbuh" daripadanya, ditambah satu lagi - "hipermuka" akhir.

Sifat-sifat tesseract adalah lanjutan daripada sifat-sifat tersebut bentuk geometri dimensi yang lebih rendah menjadi ruang empat dimensi.

unjuran

kepada ruang dua dimensi

Struktur ini sukar dibayangkan, tetapi mungkin untuk menayangkan tesseract ke dalam ruang 2D atau 3D. Selain itu, unjuran pada satah memudahkan untuk memahami lokasi bucu hiperkubus. Dengan cara ini, imej boleh diperoleh yang tidak lagi mencerminkan hubungan ruang dalam tesseract, tetapi yang menggambarkan struktur pautan puncak, seperti dalam contoh berikut:


kepada ruang tiga dimensi

Unjuran tesseract ke ruang tiga dimensi ialah dua kiub tiga dimensi bersarang, bucu yang sepadan dengannya disambungkan oleh segmen. Kiub dalam dan luar mempunyai saiz yang berbeza dalam ruang 3D, tetapi dalam ruang 4D ia adalah kiub yang sama. Untuk memahami kesamaan semua kiub tesseract, model berputar tesseract telah dicipta.



Enam piramid terpotong di sepanjang tepi tesseract ialah imej enam kiub yang sama.
pasangan stereo

Pasangan stereo tesseract digambarkan sebagai dua unjuran ke ruang tiga dimensi. Penggambaran tesseract ini direka bentuk untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat supaya setiap mata melihat hanya satu daripada imej ini, timbul gambar stereoskopik yang menghasilkan semula kedalaman tesseract.

Tesseract terbongkar

Permukaan tesseract boleh dibentangkan kepada lapan kiub (sama seperti bagaimana permukaan kubus boleh dilipat menjadi enam segi empat sama). Terdapat 261 penyingkapan tesseract yang berbeza. Pembukaan tesseract boleh dikira dengan memplot sudut bersambung pada graf.

Tesseract dalam seni

Dalam Edwine A. Abbott's New Plain, hypercube ialah narator.
Dalam satu episod The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy mencipta hypercube empat dimensi yang serupa dengan kotak lipatan dari Glory Road Heinlein 1963.
Robert E. Heinlein telah menyebut hiperkubus dalam sekurang-kurangnya tiga cerita fiksyen sains. Dalam The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) (1940), beliau menyifatkan rumah yang dibina sebagai terbentang tesseract.
Dalam novel Glory Road karya Heinlein, hidangan bersaiz besar digambarkan lebih besar di bahagian dalam berbanding di luar.
Cerpen Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" menerangkan mainan pendidikan untuk kanak-kanak dari masa depan yang jauh, sama dalam struktur dengan tesseract.
Dalam novel oleh Alex Garland (1999), istilah "tesseract" digunakan untuk pembukaan tiga dimensi hypercube empat dimensi, bukannya hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang direka untuk menunjukkan bahawa sistem pengecaman harus lebih luas daripada yang boleh dikenali.
Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada lapan orang yang tidak dikenali yang terperangkap dalam "hypercube", atau rangkaian kiub yang bersambung.
Siri TV Andromeda menggunakan penjana tesseract sebagai alat konspirasi. Mereka terutamanya bertujuan untuk mengawal ruang dan masa.
Lukisan "Crucifixion" (Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali (1954)
Buku komik Nextwave menggambarkan kenderaan yang merangkumi 5 zon tesseract.
Dalam album Voivod Nothingface, salah satu lagu dipanggil "In my hypercube".
Dalam novel Route Cube karya Anthony Pierce, salah satu bulan orbit IDA dipanggil tesseract yang telah dimampatkan kepada 3 dimensi.
Dalam siri "Sekolah" Lubang hitam"" dalam musim ketiga terdapat episod "Tesseract". Lucas menekan butang rahsia dan sekolah mula terbentuk seperti tesseract matematik.
Istilah "tesseract" dan istilah "tesse" yang berasal daripadanya terdapat dalam cerita Madeleine L'Engle "Wrinkle of Time"

Dalam geometri hypercube- Ini n-analogi dimensi bagi segi empat sama ( n= 2) dan kubus ( n= 3). Ini ialah rajah cembung tertutup, terdiri daripada kumpulan garis selari yang terletak di tepi bertentangan rajah, dan bersambung antara satu sama lain pada sudut tepat.

Angka ini juga dikenali sebagai tesseract(tesseract). Tesseract adalah kepada kubus kerana kubus adalah kepada segi empat sama. Secara lebih formal, tesseract boleh digambarkan sebagai politop empat dimensi cembung biasa (politope) yang sempadannya terdiri daripada lapan sel padu.

Menurut Kamus Inggeris Oxford, perkataan "tesseract" dicipta pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton dan digunakan dalam bukunya A New Era of Thought. Perkataan itu terbentuk daripada bahasa Yunani "τεσσερες ακτινες" ("empat sinar"), adalah dalam bentuk empat paksi koordinat. Di samping itu, dalam beberapa sumber, angka yang sama dipanggil tetracube(tetrakube).

n-hypercube dimensi juga dipanggil n-kubus.

Titik ialah hiperkubus dimensi 0. Jika anda mengalihkan titik dengan unit panjang, anda mendapat segmen unit panjang - hiperkubus dimensi 1. Selanjutnya, jika anda mengalihkan segmen dengan unit panjang ke arah yang berserenjang ke arah segmen, anda mendapat kubus - hiperkubus dimensi 2. Mengalihkan segi empat sama dengan unit panjang ke arah yang berserenjang dengan satah segi empat sama, kubus diperoleh - hiperkubus dimensi 3. Proses ini boleh digeneralisasikan kepada sebarang bilangan dimensi. Sebagai contoh, jika anda mengalihkan kubus dengan unit panjang dalam dimensi keempat, anda mendapat tesseract.

Keluarga hypercubes adalah salah satu daripada beberapa polyhedra biasa yang boleh diwakili dalam mana-mana dimensi.

Unsur hiperkubus

Dimensi hypercube n mempunyai 2 n"sisi" (garisan satu dimensi mempunyai 2 mata; segi empat sama dua dimensi - 4 sisi; kubus tiga dimensi - 6 muka; tesseract empat dimensi - 8 sel). Bilangan bucu (titik) hiperkubus ialah 2 n(contohnya, untuk kubus - 2 3 bucu).

Kuantiti m-hiperkubus dimensi pada sempadan n-kubus sama

Sebagai contoh, pada sempadan hypercube terdapat 8 kiub, 24 petak, 32 tepi dan 16 bucu.

Unsur-unsur hiperkubus

n-kubus	Nama	Puncak (0 muka)	Hujung (1 muka)	hujung (2 muka)	sel (3 muka)	(4 muka)	(5 muka)	(6 muka)	(7 muka)	(8 muka)
0-kubus	titik	1
1-kubus	Segmen garisan	2	1
2-kubus	Segi empat	4	4	1
3-kubus	kiub	8	12	6	1
4-kubus	tesseract	16	32	24	8	1
5-kubus	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kubus	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kubus	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubus	Okterak	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubus	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Unjuran satah

Pembentukan hypercube boleh diwakili dengan cara berikut:

• Dua titik A dan B boleh disambungkan untuk membentuk segmen garis AB.
• Dua segmen selari AB dan CD boleh disambungkan untuk membentuk segi empat sama ABCD.
• Dua segi empat sama ABCD dan EFGH boleh dicantumkan untuk membentuk kubus ABCDEFGH.
• Dua kubus selari ABCDEFGH dan IJKLMNOP boleh disambungkan untuk membentuk hiperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP.

Struktur yang terakhir tidak mudah untuk dibayangkan, tetapi adalah mungkin untuk menggambarkan unjurannya pada dua atau tiga dimensi. Selain itu, unjuran pada satah 2D boleh menjadi lebih berguna dengan menyusun semula kedudukan bucu yang diunjurkan. Dalam kes ini, imej boleh diperolehi yang tidak lagi mencerminkan hubungan ruang unsur-unsur dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur sambungan bucu, seperti dalam contoh di bawah.

Ilustrasi pertama menunjukkan bagaimana tesseract dibentuk secara prinsip dengan mencantumkan dua kiub. Skim ini serupa dengan skema untuk mencipta kubus daripada dua segi empat sama. Rajah kedua menunjukkan bahawa semua tepi tesseract mempunyai panjang yang sama. Skim ini juga terpaksa mencari kiub yang bersambung antara satu sama lain. Dalam rajah ketiga, bucu tesseract terletak mengikut jarak sepanjang muka berbanding dengan titik bawah. Skim ini menarik kerana ia digunakan sebagai skema asas untuk topologi rangkaian penyambung pemproses dalam mengatur pengkomputeran selari: jarak antara mana-mana dua nod tidak melebihi 4 panjang tepi, dan terdapat banyak cara yang berbeza untuk mengimbangi beban.

Hypercube dalam seni

Hypercube telah muncul dalam fiksyen sains sejak 1940, apabila Robert Heinlein, dalam cerita "The House That Teal Built" ("And He Built a Crooked House"), menggambarkan sebuah rumah yang dibina dalam bentuk tesseract terbentang. Dalam cerita, ini Selanjutnya, rumah ini dilipat, bertukar menjadi tesseract empat dimensi. Selepas itu, hypercube muncul dalam banyak buku dan novel.

Cube 2: Hypercube ialah kira-kira lapan orang yang terperangkap dalam rangkaian hypercube.

Lukisan Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 oleh Salvador Dali menggambarkan Yesus disalibkan pada imbasan tesseract. Lukisan ini boleh dilihat di Muzium Seni (Metropolitan Museum of Art) di New York.

Kesimpulan

Hypercube ialah salah satu objek empat dimensi yang paling mudah, sebagai contoh anda boleh melihat semua kerumitan dan keanehan dimensi keempat. Dan apa yang kelihatan mustahil dalam tiga dimensi adalah mungkin dalam empat, sebagai contoh, angka mustahil. Jadi, sebagai contoh, bar segitiga mustahil dalam empat dimensi akan disambungkan pada sudut tepat. Dan angka ini akan kelihatan seperti ini dari semua sudut pandangan, dan tidak akan diputarbelitkan, tidak seperti pelaksanaan segitiga mustahil dalam ruang tiga dimensi (lihat Rajah.