Pythagoras trippel og deres antall. Moderne vitenskapsintensive teknologier Primetall som en del av pythagoras trippel

"Regionalt utdanningssenter"

Metodisk utvikling

Bruke pythagoras trippel i løsning

geometriske problemer og trigonometriske oppgaver BRUK

Kaluga, 2016

Introduksjon

Pythagoras teorem er en av de viktigste og, kan man til og med si, den viktigste teoremet innen geometri. Dens betydning ligger i det faktum at de fleste av geometriens teoremer kan utledes fra den eller med dens hjelp. Pythagoras teoremet er også bemerkelsesverdig ved at det i seg selv slett ikke er åpenbart. For eksempel kan egenskapene til en likebenet trekant sees direkte på tegningen. Men uansett hvordan du ser på en rettvinklet trekant, vil du aldri se at det er et så enkelt forhold mellom sidene: a2+b2=c2. Det var imidlertid ikke Pythagoras som oppdaget teoremet som bærer navnet hans. Det var kjent enda tidligere, men kanskje bare som et faktum utledet fra målinger. Antagelig visste Pythagoras dette, men fant bevis.

Det finnes et uendelig antall naturlige tall a, b, c, som tilfredsstiller forholdet a2+b2=c2.. De kalles Pythagoras tall. I følge Pythagoras teorem kan slike tall tjene som lengdene på sidene til en eller annen rettvinklet trekant – vi vil kalle dem Pythagoras trekanter.

Målet med arbeidet:å studere muligheten og effektiviteten av å bruke pythagoras trippel for å løse problemer i et skolematematikkkurs, USE-oppgaver.

Ut fra formålet med arbeidet, følgende oppgaver:

Å studere historien og klassifiseringen til pythagoras trippel. Analyser oppgaver ved hjelp av pytagoreiske trippel som er tilgjengelig i skolebøkene og finnes i kontroll- og målemateriellet til eksamen. Vurder effektiviteten av å bruke Pythagoras trippel og deres egenskaper for å løse problemer.

Studieobjekt: Pythagoras trippel av tall.

Studieemne: oppgaver fra skolekurset i trigonometri og geometri, der pytagoreiske trippel brukes.

Forskningens relevans. Pythagoras trippel brukes ofte i geometri og trigonometri, å vite at de vil eliminere feil i beregninger og spare tid.

II. Hoveddel. Løse problemer ved å bruke pythagoras trippel.

2.1. Tabell over trippel av Pythagoras tall (ifølge Perelman)

Pythagoras tall har formen en= m n, , hvor m og n er noen coprime oddetall.

Pythagoras tall har en rekke interessante funksjoner:

Ett av "benene" må være et multiplum av tre.

Ett av "benene" må være et multiplum av fire.

Et av de pytagoreiske tallene må være et multiplum av fem.

Boken "Underholdende algebra" inneholder en tabell over pythagoras trippel som inneholder tall opp til hundre, som ikke har felles faktorer.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Shustrovs klassifisering av Pythagoras trippel.

Shustrov oppdaget følgende mønster: hvis alle pytagoreiske trekanter er delt inn i grupper, er følgende formler gyldige for det odde benet x, partall y og hypotenusen z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, der N er tallet på familien og n er ordningen til trekanten i familien.

Ved å erstatte i formelen i stedet for N og n eventuelle positive heltall, fra ett, kan du få alle de viktigste pythagoras-trippelene av tall, så vel som multipler av en bestemt type. Du kan lage en tabell over alle Pythagoras trippel for hver familie.

2.3. Planimetrioppgaver

La oss vurdere problemer fra ulike lærebøker om geometri og finne ut hvor ofte pythagoras trippel finnes i disse oppgavene. Trivielle problemer med å finne det tredje elementet i tabellen over Pythagoras trippel vil ikke bli vurdert, selv om de også finnes i lærebøker. La oss vise hvordan vi reduserer løsningen av et problem hvis data ikke er uttrykt med naturlige tall til pythagoras trippel.

Tenk på oppgaver fra en lærebok i geometri for klasse 7-9.

№ 000. Finn hypotenusen til en rettvinklet trekant EN=, b=.

Løsning. Multipliser lengdene på beina med 7, vi får to elementer fra den pytagoreiske trippel 3 og 4. Det manglende elementet er 5, som vi deler på 7. Svar.

№ 000. Finn BC i rektangel ABCD hvis CD=1.5, AC=2.5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Løsning. La oss løse rettvinklet trekant ACD. Vi multipliserer lengdene med 2, vi får to elementer fra Pythagoras trippel 3 og 5, det manglende elementet er 4, som vi deler på 2. Svar: 2.

Når du løser neste tall, sjekk forholdet a2+b2=c2 det er helt valgfritt, det er nok å bruke pythagoras tall og deres egenskaper.

№ 000. Finn ut om en trekant er rettvinklet hvis sidene er uttrykt med tall:

a) 6,8,10 (Pythagorean trippel 3,4,5) - ja;

Ett av bena i en rettvinklet trekant må være delelig med 4. Svar: nei.

c) 9,12,15 (Pythagorean trippel 3,4,5) - ja;

d) 10,24,26 (Pythagorean trippel 5,12,13) ​​- ja;

Et av de pytagoreiske tallene må være et multiplum av fem. Svar: nei.

g) 15, 20, 25 (Pythagorean trippel 3,4,5) - ja.

Av de trettini oppgavene i denne delen (Pythagorean-setningen) løses tjueto muntlig ved hjelp av pytagoreiske tall og kunnskap om deres egenskaper.

Vurder problem #000 (fra "Tilleggsoppgaver"-delen):

Finn arealet av firkant ABCD der AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Oppgaven er å sjekke forholdet a2+b2=c2 og bevise at den gitte firkanten består av to rette trekanter (det omvendte teoremet). Og kunnskapen om Pythagoras trippel: 3, 4, 5 og 5, 12, 13, eliminerer behovet for beregninger.

La oss gi løsninger på flere oppgaver fra en lærebok om geometri for 7.-9.

Oppgave 156 (h). Bena i en rettvinklet trekant er 9 og 40. Finn medianen trukket til hypotenusen.

Løsning . Medianen trukket til hypotenusen er lik halvparten av den. Pythagoras trippel er 9,40 og 41. Derfor er medianen 20,5.

Oppgave 156 (i). Sidene i trekanten er: EN= 13 cm, b= 20 cm og høyde hс = 12 cm Finn basen Med.

Oppgave (KIM BRUK). Finn radiusen til en sirkel innskrevet i en spiss trekant ABC hvis høyden BH er 12 og det er kjent at synd A=,sin C \u003d forlot "\u003e

Løsning. Vi løser rektangulær ∆ ASC: sin A=, BH=12, derav AB=13,AK=5 (pytagoreisk trippel 5,12,13). Løs rektangulær ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagorean trippel 3,4,5).Radien finnes ved formelen r === 4. Svar.4.

2.4. Pythagoras trippel i trigonometri

Den trigonometriske hovedidentiteten er et spesialtilfelle av Pythagoras teorem: sin2a + cos2a = 1; (a/c)2+ (b/c)2=1. Derfor løses noen trigonometriske oppgaver enkelt muntlig ved hjelp av pythagoras trippel.

Problemer der det kreves å finne verdiene til andre trigonometriske funksjoner fra en gitt verdi av en funksjon kan løses uten å kvadrere og trekke ut en kvadratrot. Alle oppgaver av denne typen i skolelæreboken i algebra (10-11) Mordkovich (nr. 000-nr. 000) kan løses muntlig, med bare kunnskap om noen få pytagoreiske trippel: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . La oss vurdere løsningene på to problemer.

nr. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Løsning. Pythagoras trippel: 3, 4, 5. Derfor er cos t = -3/5; tg t = -4/3,

nr. 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Løsning. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pythagoras trippel 5,12,13. Gitt tegnene får vi sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Kontroll- og målemateriell for eksamen

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) synd (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) kontroller gyldigheten av likheten:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Løsning. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Konklusjon

I geometriske oppgaver må du ofte løse rette trekanter, noen ganger flere ganger. Etter å ha analysert oppgavene til skolebøker og BRUK-materiell, kan vi konkludere med at trillinger hovedsakelig brukes: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; som er enkle å huske. Ved løsning av noen trigonometriske oppgaver tar den klassiske løsningen ved hjelp av trigonometriske formler og et stort antall utregninger tid, og kunnskap om pytagoreiske trippel vil eliminere feil i utregninger og spare tid for å løse vanskeligere oppgaver på eksamen.

Bibliografisk liste

1. Algebra og begynnelsen av analysen. 10-11 klassetrinn. På 2 timer Del 2. En oppgavebok for utdanningsinstitusjoner / [og andre]; utg. . - 8. utgave, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : jeg vil.

2. Perelman algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 s.

3. Roganovsky: Proc. For 7-9 celler. med en dyp studiet av matematikk allmenndannelse. skole fra russisk lang. læring, - 3. utg. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: ill.

4. Matematikk: Leser om historie, metodikk, didaktikk. / Komp. . - M.: Forlag til URAO, 2001. - 384 s.

5. Tidsskrift "Matematikk i skolen" nr. 1, 1965.

6. Kontroll- og målemateriell for eksamen.

7. Geometri, 7-9: Proc. for utdanningsinstitusjoner / osv. - 13. utg. - M .: Utdanning, 2003. – 384 s. : jeg vil.

8. Geometri: Proc. for 10-11 celler. gj.sn. skole /, etc. - 2. utg. - M .: Utdanning, 1993, - 207 s.: ill.

Perelman algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 s.

Tidsskrift "Matematikk i skolen" nr. 1, 1965.

Geometri, 7-9: Proc. for utdanningsinstitusjoner / osv. - 13. utg. - M .: Utdanning, 2003. – 384 s. : jeg vil.

Roganovsky: Proc. For 7-9 celler. med en dyp studiet av matematikk allmenndannelse. skole fra russisk lang. læring, - 3. utg. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: ill.

Algebra og begynnelsen av analysen. 10-11 klassetrinn. På 2 timer Del 2. En oppgavebok for utdanningsinstitusjoner / [og andre]; utg. . - 8. utgave, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : ill., s.18.

Belotelov V.A. Pythagoras trippel og deres antall // Encyclopedia of the Nesterovs

Denne artikkelen er et svar til en professor - en pincher. Se, professor, hvordan de gjør det i landsbyen vår.

Nizhny Novgorod-regionen, Zavolzhye.

Kunnskap om algoritmen for å løse diofantiske ligninger (ADDE) og kunnskap om polynomprogresjoner er nødvendig.

IF er et primtall.

MF er et sammensatt tall.

La det være et oddetall N. For et hvilket som helst oddetall, bortsett fra ett, kan du skrive en ligning.

p 2 + N \u003d q 2,

hvor р + q = N, q – р = 1.

For eksempel, for tallene 21 og 23, vil ligningene være, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Hvis N er primtall, er denne ligningen unik. Hvis tallet N er sammensatt, er det mulig å komponere lignende ligninger for antall par av faktorer som representerer dette tallet, inkludert 1 x N.

La oss ta tallet N = 45,-

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Jeg drømte, men er det mulig, ved å klamre meg til denne forskjellen mellom IF og MF, å finne en metode for identifisering.

La oss introdusere notasjonen;

La oss endre den nedre ligningen, -

N \u003d i 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

La oss gruppere verdiene til N i henhold til kriteriet i - a, dvs. la oss lage et bord.

Tallene N ble oppsummert i en matrise, -

Det var for denne oppgaven jeg måtte forholde meg til progresjonene til polynomer og deres matriser. Alt viste seg å være forgjeves - PCh-forsvaret er kraftig holdt. La oss legge inn en kolonne i tabell 1, hvor i - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Igjen. Tabell 2 ble oppnådd som et resultat av et forsøk på å løse problemet med å identifisere IF og MF. Det følger av tabellen at for et hvilket som helst tall N er det like mange ligninger av formen a 2 + N \u003d i 2, inn i hvor mange par av faktorer tallet N kan deles, inkludert faktoren 1 x N. I tillegg til tallene N \u003d ℓ 2, hvor

ℓ - FC. For N = ℓ 2, hvor ℓ er IF, er det en unik ligning p 2 + N = q 2 . Hvilket tilleggsbevis kan vi snakke om hvis tabellen viser mindre faktorer fra par av faktorer som danner N, fra en til ∞. Vi skal plassere bord 2 i en kiste, og gjemme kista i et skap.

La oss gå tilbake til emnet som står i tittelen på artikkelen.

Denne artikkelen er et svar til en professor - en pincher.

Jeg ba om hjelp - jeg trengte en rekke tall som jeg ikke fant på Internett. Jeg møtte spørsmål som "for hva?", "Men vis meg metoden." Spesielt var det et spørsmål om serien av pythagoras trippel er uendelig, "hvordan bevise det?". Han hjalp meg ikke. Se, professor, hvordan de gjør det i landsbyen vår.

La oss ta formelen til Pythagoras trippel, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

La oss passere gjennom ARDU.

Tre situasjoner er mulige:

I. x er et oddetall,

y er et partall

z er et partall.

Og det er en betingelse x > y > z.

II. x er et oddetall

y er et partall

z er et oddetall.

x > z > y.

III.x - et partall,

y er et oddetall

z er et oddetall.

x > y > z.

La oss starte med I.

La oss introdusere nye variabler

Bytt inn i ligning (1).

La oss avbryte med den mindre variabelen 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2.

La oss redusere variabelen 2β – 2γ med en mindre med samtidig introduksjon av en ny parameter ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Da er 2α - 2β = x - y - 1.

Ligning (2) vil ha formen –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

La oss kvadrere det -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU gir gjennom parameterne forholdet mellom seniorleddene i ligningen, så vi fikk ligning (3).

Det er ikke solid å forholde seg til valg av løsninger. Men for det første er det ingen steder å gå, og for det andre trengs flere av disse løsningene, og vi kan gjenopprette et uendelig antall løsninger.

For ƒ = 1, k = 1, har vi x – y = 1.

Med ƒ = 12, k = 16, har vi x - y = 9.

Med ƒ = 4, k = 32, har vi x - y = 25.

Du kan plukke den opp lenge, men til slutt vil serien ta formen -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Vurder alternativ II.

La oss introdusere nye variabler i ligning (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Vi reduserer med en mindre variabel 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

La oss redusere med den mindre variabelen 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z og substituer inn i ligning (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Med ƒ = 3, k = 4, har vi x - z = 2.

Med ƒ = 8, k = 14, har vi x - z = 8.

Med ƒ = 3, k = 24, har vi x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

La oss tegne en trapes -

La oss skrive en formel.

hvor n=1, 2,...∞.

Case III vil ikke bli beskrevet - det er ingen løsninger der.

For tilstand II vil settet med trippel være som følger:

Ligning (1) er presentert som x 2 = z 2 + y 2 for klarhet.

For tilstand I vil settet med trippel være som følger:

Totalt er det malt 9 søyler med trippel, fem trippel i hver. Og hver av de presenterte kolonnene kan skrives opp til ∞.

Som et eksempel, vurder trippelene til den siste kolonnen, der x - y \u003d 81.

For verdiene til x skriver vi en trapes, -

La oss skrive formelen

For verdiene til skriver vi en trapes, -

La oss skrive formelen

For verdiene til z skriver vi en trapes, -

La oss skrive formelen

Hvor n = 1 ÷ ∞.

Som lovet flyr en serie trillinger med x - y = 81 til ∞.

Det var et forsøk for tilfeller I og II å konstruere matriser for x, y, z.

Skriv ut de fem siste kolonnene med x fra de øverste radene og bygg en trapes.

Det fungerte ikke, og mønsteret skulle være kvadratisk. For å lage alt i openwork, viste det seg at det var nødvendig å kombinere kolonne I og II.

I tilfelle II blir mengdene y, z igjen byttet om.

Vi klarte å slå sammen av én grunn – kortene passet godt i denne oppgaven – vi var heldige.

Nå kan du skrive matriser for x, y, z.

La oss ta fra de fem siste kolonnene i x-verdien fra de øverste radene og bygge en trapes.

Alt er bra, du kan bygge matriser, og la oss starte med en matrise for z.

Jeg løper til skapet etter en kiste.

Totalt: I tillegg til én, deltar hvert oddetall på den numeriske aksen i dannelsen av pytagoreiske trippel med et like antall par av faktorer som danner dette tallet N, inkludert faktoren 1 x N.

Tallet N \u003d ℓ 2, hvor ℓ - IF, danner en pytagoreisk trippel, hvis ℓ er MF, er det ingen trippel på faktorene ℓхℓ.

La oss bygge matriser for x, y.

La oss starte med matrisen for x. For å gjøre dette, vil vi trekke på det koordinatnettet fra problemet med å identifisere IF og MF.

Nummereringen av vertikale rader normaliseres av uttrykket

La oss fjerne den første kolonnen, fordi

Matrisen vil ha formen -

La oss beskrive de vertikale radene, -

La oss beskrive koeffisientene ved "a", -

La oss beskrive de gratis medlemmene, -

La oss lage en generell formel for "x", -

Hvis vi gjør en lignende jobb for "y", får vi -

Du kan nærme deg dette resultatet fra den andre siden.

La oss ta ligningen,

og 2 + N = i 2.

La oss endre det litt -

N \u003d i 2 - a 2.

La oss kvadrere det -

N 2 \u003d i 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Til venstre og høyre side av ligningen, legg til i størrelsesorden 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d i 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Og endelig -

(i 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pythagoras trippel er sammensatt som følger:

Tenk på et eksempel med tallet N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

De vertikale kolonnene i tabell 2 er nummerert med verdier i -a, mens de vertikale kolonnene i tabell 3 er nummerert med verdier x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

La oss lage tre ligninger.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Faktorer 3 og 39 er ikke relativt primtall, så en trippel viste seg med en faktor 9.

La oss skildre det ovennevnte skrevet i generelle symboler, -

I dette arbeidet tredobler alt, inkludert et eksempel for beregning av Pythagoras med tallet

N = 117, knyttet til den minste faktoren i - a. Eksplisitt diskriminering i forhold til faktoren i + a. La oss rette opp denne urettferdigheten - vi skal komponere tre likninger med en faktor i + a.

La oss gå tilbake til spørsmålet om identifikasjon av IF og MF.

Mange ting har blitt gjort i denne retningen, og i dag har følgende tanke kommet gjennom hendene - det er ingen identifikasjonsligning, og det er ikke noe slikt som å bestemme faktorene.

Anta at vi har funnet relasjonen F = a, b (N).

Det er en formel

Du kan bli kvitt i formelen F fra i og du får en homogen likning av n-te grad med hensyn til a, dvs. F = a(N).

For enhver grad n av denne ligningen er det et tall N med m par av faktorer, for m > n.

Og som en konsekvens må en homogen ligning av grad n ha m røtter.

Ja, dette kan ikke være.

I denne artikkelen ble tallene N vurdert for ligningen x 2 = y 2 + z 2 når de er i ligningen på stedet z. Når N er i stedet for x, er dette en annen oppgave.

Med vennlig hilsen Belotelov V.A.

Deretter vurderer vi de velkjente metodene for å generere effektive pytagoreiske trippel. Elevene til Pythagoras var de første som utviklet en enkel måte å generere pythagoras trippel, ved å bruke en formel hvis deler representerer en pythagoras trippel:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Hvor m- uparet, m>2. Egentlig,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

En lignende formel ble foreslått av den gamle greske filosofen Platon:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Hvor m- hvilket som helst nummer. Til m= 2,3,4,5 genereres følgende tripletter:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Som du kan se, kan ikke disse formlene gi alle mulige primitive trippel.

Tenk på følgende polynom, som er dekomponert til en sum av polynomer:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Derav følgende formler for å oppnå primitive trippel:

en = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Disse formlene genererer tripler der gjennomsnittstallet avviker fra det største med nøyaktig én, det vil si at ikke alle mulige tripler genereres også. Her er de første trippelene: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

For å bestemme hvordan man genererer alle primitive trippel, må man undersøke egenskapene deres. Først, hvis ( a,b,c) er en primitiv trippel, altså en Og b, b Og c, EN Og c— må være coprime. La en Og b er delt inn i d. Deretter en 2 + b 2 er også delelig med d. Henholdsvis c 2 og c skal deles inn i d. Det vil si at det ikke er en primitiv trippel.

For det andre blant tallene en, b den ene må være paret og den andre uparet. Faktisk, hvis en Og b- paret, da Med vil bli paret, og tallene kan deles på minst 2. Hvis de begge er uparrede, kan de representeres som 2 k+1 til 2 l+1, hvor k,l- noen tall. Deretter en 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, dvs. Med 2, samt en 2 + b 2 har en rest av 2 når delt på 4.

La Med- hvilket som helst tall, altså Med = 4k+Jeg (Jeg=0,…,3). Deretter Med 2 = (4k+Jeg) 2 har en rest på 0 eller 1 og kan ikke ha en rest på 2. Dermed en Og b kan ikke kobles fra hverandre, altså en 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 og resten Med 2 x 4 skal være 1, noe som betyr at Med skal være oppkoblet.

Slike krav til elementene i Pythagoras trippel tilfredsstilles av følgende tall:

en = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Hvor m Og n er coprime med forskjellige paringer. For første gang ble disse avhengighetene kjent fra verkene til Euclid, som levde 2300 r. tilbake.

La oss bevise gyldigheten av avhengigheter (2). La EN- dobbelt så b Og c- uparet. Deretter c + b Jeg c − b- par. De kan representeres som c + b = 2u Og c − b = 2v, Hvor u,v er noen heltall. Derfor

en 2 = Med 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Og derfor ( en/2) 2 = UV.

Det kan bevises ved selvmotsigelse u Og v er coprime. La u Og v- er delt inn i d. Deretter ( c + b) Og ( c − b) er delt inn i d. Og derfor c Og b skal deles inn i d, og dette motsier betingelsen for den pythagoras trippel.

Fordi UV = (en/2) 2 og u Og v coprime, det er lett å bevise det u Og v må være kvadrater av noen tall.

Så det er positive heltall m Og n, slik at u = m 2 og v = n 2. Deretter

EN 2 = 4UV = 4m 2 n 2 så
EN = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Fordi b> 0, da m > n.

Det gjenstår å vise det m Og n har forskjellige sammenkoblinger. Hvis m Og n- paret, da u Og v må pares, men dette er umulig, siden de er coprime. Hvis m Og n- ikke paret, altså b = m 2 − n 2 og c = m 2 + n 2 ville være sammenkoblet, noe som er umulig fordi c Og b er coprime.

Dermed må enhver primitiv pytagoreisk trippel tilfredsstille betingelser (2). Samtidig tallene m Og n kalt generere tall primitive trillinger. La oss for eksempel ha en primitiv pythagoras trippel (120,119,169). I dette tilfellet

EN= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25, og c = 144+25=169,

Hvor m = 12, n= 5 - genererer tall, 12 > 5; 12 og 5 er coprime og av forskjellige paringer.

Det kan bevises at tallene m, n formler (2) gir en primitiv pythagoras trippel (a,b,c). Egentlig,

EN 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Det er ( en,b,c) er en pytagoreisk trippel. La oss bevise det mens en,b,c er coprimtall ved selvmotsigelse. La disse tallene deles på s> 1. Siden m Og n ha forskjellige paringer, da b Og c- uparet, altså s≠ 2. Fordi R deler b Og c, Det R må dele 2 m 2 og 2 n 2 , noe som er umulig pga s≠ 2. Derfor m, n er coprime og en,b,c er også coprime.

Tabell 1 viser alle primitive Pythagoras trippel generert av formler (2) for m≤10.

Tabell 1. Primitive Pythagoras trippel for m≤10

m	n	en	b	c	m	n	en	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analyse av denne tabellen viser tilstedeværelsen av følgende serie med mønstre:

• eller en, eller b deles på 3;
• ett av tallene en,b,c er delelig med 5;
• Antall EN er delelig med 4;
• arbeid en· b er delelig med 12.

I 1971 foreslo de amerikanske matematikerne Teigan og Hedwin så lite kjente parametere for en rettvinklet trekant som høyden (høyden) for å generere trillinger h = c− b og overskudd (suksess) e = en + b − c. I fig.1. disse mengdene er vist på en bestemt rettvinklet trekant.

Figur 1. Rettvinklet trekant og dens vekst og overskudd

Navnet "overflødig" er avledet fra det faktum at dette er den ekstra avstanden som må passeres langs trekantens ben fra ett toppunkt til det motsatte, hvis du ikke går langs diagonalen.

Gjennom overskudd og vekst kan sidene av den pytagoreiske trekanten uttrykkes som:

e 2 e 2
en = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Ikke alle kombinasjoner h Og e kan tilsvare pythagoras trekanter. For en gitt h mulige verdier e er produktet av et eller annet tall d. Dette nummeret d kalles vekst og refererer til h på følgende måte: d er det minste positive heltall hvis kvadrat er delelig med 2 h. Fordi e flere d, så skrives det som e = kd, Hvor k er et positivt heltall.

Ved hjelp av par ( k,h) kan du generere alle Pythagoras trekanter, inkludert ikke-primitive og generaliserte, som følger:

(dk) 2 (dk) 2
en = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Dessuten er en trippel primitiv hvis k Og h er coprime og hvis h =± q 2 kl q- uparet.
Dessuten vil det være nøyaktig en pytagoreisk trippel hvis k> √2 h/d Og h > 0.

Å finne k Og h fra ( en,b,c) gjør følgende:

• h = c − b;
• skrive ned h Hvordan h = pq 2, hvor s> 0 og slikt som ikke er et kvadrat;
• d = 2pq Hvis s- uparet og d = pq, hvis p er paret;
• k = (en − h)/d.

For eksempel, for trippelen (8,15,17) vi har h= 17−15 = 2 1, altså s= 2 og q = 1, d= 2, og k= (8 − 2)/2 = 3. Så denne trippelen er gitt som ( k,h) = (3,2).

For trippelen (459,1260,1341) har vi h= 1341 − 1260 = 81, altså s = 1, q= 9 og d= 18, derfor k= (459 − 81)/18 = 21, så koden til denne trippelen er ( k,h) = (21, 81).

Spesifisere trippel med h Og k har en rekke interessante egenskaper. Parameter k er lik

k = 4S/(dP), (5)

Hvor S = ab/2 er arealet av trekanten, og P = en + b + c er dens omkrets. Dette følger av likestillingen eP = 4S, som kommer fra Pythagoras teorem.

For en rettvinklet trekant e er lik diameteren til sirkelen som er innskrevet i trekanten. Dette kommer av at hypotenusen Med = (EN − r)+(b − r) = en + b − 2r, Hvor r er sirkelens radius. Herfra h = c − b = EN − 2r Og e = en − h = 2r.

Til h> 0 og k > 0, k er ordinært antall trillinger en-b-c i en sekvens av pytagoreiske trekanter med økende h. Fra tabell 2, som viser flere alternativer for trillinger generert av par h, k, kan det sees at med økende k sidene i trekanten øker. I motsetning til klassisk nummerering, nummerering i par h, k har en høyere orden i sekvenser av trillinger.

Tabell 2. Pythagoras trippel generert av parene h, k.

h	k	en	b	c	h	k	en	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Til h > 0, d tilfredsstiller ulikheten 2√ h ≤ d ≤ 2h, hvor den nedre grensen er nådd kl s= 1, og den øvre, kl q= 1. Derfor verdien d med hensyn til 2√ h er et mål på hvor mye h langt fra kvadratet av et eller annet tall.

Egenskaper

Siden ligningen x 2 + y 2 = z 2 homogen, når multiplisert x , y Og z for det samme tallet får du en annen pythagoras trippel. Pythagoras trippel kalles primitiv, hvis det ikke kan oppnås på denne måten, det vil si - relativt primtall.

Eksempler

Noen pytagoreiske trippel (sortert i stigende rekkefølge etter maksimalt antall, primitive er uthevet):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Basert på egenskapene til Fibonacci-tall, kan du lage dem, for eksempel, slike pythagoreiske trippel:

.

Historie

Pythagoras trippel har vært kjent i svært lang tid. I arkitekturen til gamle mesopotamiske gravsteiner finner man en likebenet trekant som består av to rektangulære med sider på 9, 12 og 15 alen. Pyramidene til farao Snefru (XXVII århundre f.Kr.) ble bygget ved hjelp av trekanter med sider på 20, 21 og 29, samt 18, 24 og 30 titalls egyptiske alen.

se også

Linker

• E. A. Gorin Potenser til primtall i pythagoras trippel // Matematisk utdanning. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se hva "pytagoreiske tall" er i andre ordbøker:

Tredobler av naturlige tall slik at en trekant hvis sidelengder er proporsjonale (eller lik) med disse tallene er rettvinklet, f.eks. trippel av tall: 3, 4, 5... Stor encyklopedisk ordbok

Trippel av naturlige tall slik at en trekant hvis sidelengder er proporsjonale (eller lik) med disse tallene er rektangulær, for eksempel en trippel av tall: 3, 4, 5. * * * PYTAGORANTALL PYTHAGORATALL, trippeltall av naturlige tall, f.eks. at ... ... encyklopedisk ordbok

Tredobler av naturlige tall slik at en trekant hvis sidelengder er proporsjonale (eller lik) med disse tallene er en rettvinklet trekant. I følge teoremet, den inverse av Pythagoras teorem (se Pythagoras teorem), for dette er det nok at de ... ...

Tripletter av positive heltall x, y, z som tilfredsstiller ligningen x2+y 2=z2. Alle løsninger av denne ligningen, og følgelig alle P.p., uttrykkes med formlene x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, hvor a, b er vilkårlige positive heltall (a>b). P. h ... Matematisk leksikon

Tredobler av naturlige tall slik at en trekant, hvor lengdene på sidene er proporsjonale (eller like) med disse tallene, er rektangulær, for eksempel. trippel av tall: 3, 4, 5... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

I matematikk er pytagoreiske tall (pythagoras trippel) en tuppel av tre heltall som tilfredsstiller den pytagoreiske relasjonen: x2 + y2 = z2. Innhold 1 Egenskaper 2 Eksempler ... Wikipedia

Krøllete tall er det generelle navnet på tall knyttet til en bestemt geometrisk figur. Dette historiske konseptet går tilbake til pytagoreerne. Antagelig oppsto uttrykket "kvadrat eller kube" fra krøllete tall. Innhold ... ... Wikipedia

Krøllete tall er det generelle navnet på tall knyttet til en bestemt geometrisk figur. Dette historiske konseptet går tilbake til pytagoreerne. Det finnes følgende typer krøllete tall: Lineære tall er tall som ikke dekomponeres i faktorer, det vil si deres ... ... Wikipedia

- "Pi-paradokset" er en spøk om emnet matematikk, som var i sirkulasjon blant studenter frem til 80-tallet (faktisk før massedistribusjonen av mikrokalkulatorer) og var assosiert med den begrensede nøyaktigheten av å beregne trigonometriske funksjoner og ... ... Wikipedia

- (gresk aritmetika, fra aritmys tall) vitenskapen om tall, først og fremst av naturlige (positive heltall) tall og (rasjonelle) brøker, og operasjoner på dem. Besittelse av et tilstrekkelig utviklet konsept av et naturlig tall og evnen til å ... ... Stor sovjetisk leksikon

Bøker

• Arkimedean sommer, eller historien til samfunnet av unge matematikere. Binært tallsystem, Bobrov Sergey Pavlovich. Binært tallsystem, "Tower of Hanoi", riddertrekk, magiske firkanter, aritmetisk trekant, krøllete tall, kombinasjoner, sannsynlighetsbegrep, Möbius-stripe og Klein-flaske...

» Æret professor i matematikk ved University of Warwick, en velkjent popularisator av vitenskapen Ian Stewart, dedikert til tallenes rolle i menneskehetens historie og relevansen av deres studier i vår tid.

Pythagoras hypotenuse

Pythagoras trekanter har rett vinkel og heltallssider. I den enkleste av dem har den lengste siden en lengde på 5, resten er 3 og 4. Det er 5 vanlige polyedre totalt. En femtegradsligning kan ikke løses med femtegradsrøtter - eller noen andre røtter. Gitter i planet og i tredimensjonalt rom har ikke en fem-lobes rotasjonssymmetri; derfor er slike symmetrier også fraværende i krystaller. Imidlertid kan de være i gitter i firdimensjonalt rom og i interessante strukturer kjent som kvasikrystaller.

Hypotenus av den minste pythagoras trippel

Pythagoras teorem sier at den lengste siden av en rettvinklet trekant (den beryktede hypotenusen) korrelerer med de to andre sidene av denne trekanten på en veldig enkel og vakker måte: kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til den andre. to sider.

Tradisjonelt kaller vi denne teoremet etter Pythagoras, men historien er faktisk ganske vag. Leiretavler tyder på at de gamle babylonerne kjente Pythagoras teorem lenge før Pythagoras selv; oppdagerens herlighet ble brakt til ham av den matematiske kulten til pytagoreerne, hvis tilhengere mente at universet var basert på numeriske mønstre. Gamle forfattere tilskrev pytagoreerne - og dermed Pythagoras - en rekke matematiske teoremer, men vi har faktisk ingen anelse om hva slags matematikk Pythagoras selv var engasjert i. Vi vet ikke engang om pytagoreerne kunne bevise Pythagoras teorem eller om de bare trodde det var sant. Eller, mer sannsynlig, hadde de overbevisende data om sannheten, som likevel ikke ville vært nok for det vi anser som bevis i dag.

Bevis for Pythagoras

Det første kjente beviset for Pythagoras teoremet finnes i Euklids grunnstoffer. Dette er et ganske komplisert bevis ved å bruke en tegning som viktorianske skolebarn umiddelbart ville gjenkjenne som "pytagoreiske bukser"; tegningen minner virkelig om underbukser som tørker på et tau. Bokstavelig talt hundrevis av andre bevis er kjent, hvorav de fleste gjør påstanden mer åpenbar.

// Ris. 33. Pythagorasbukser

Et av de enkleste bevisene er et slags matematisk puslespill. Ta en hvilken som helst rettvinklet trekant, lag fire kopier av den og samle dem inne i firkanten. Med én legging ser vi en firkant på hypotenusen; med den andre - firkanter på de to andre sidene av trekanten. Det er tydelig at arealene i begge tilfeller er like.

// Ris. 34. Venstre: kvadrat på hypotenusen (pluss fire trekanter). Høyre: summen av kvadratene på de to andre sidene (pluss de samme fire trekantene). Fjern nå trekantene

Disseksjonen av Perigal er et annet puslespill som bevis.

// Ris. 35. Disseksjon av Perigal

Det er også et bevis på teoremet ved å bruke stablingsruter på planet. Kanskje det var slik pytagoreerne eller deres ukjente forgjengere oppdaget denne teoremet. Hvis du ser på hvordan den skrå firkanten overlapper de to andre rutene, kan du se hvordan du skjærer den store firkanten i biter og deretter sette dem sammen til to mindre firkanter. Du kan også se rettvinklede trekanter, der sidene gir dimensjonene til de tre involverte rutene.

// Ris. 36. Bevis ved asfaltering

Det er interessante bevis som bruker lignende trekanter i trigonometri. Minst femti forskjellige bevis er kjent.

Pythagoras trillinger

I tallteori ble Pythagoras teorem kilden til en fruktbar idé: å finne heltallsløsninger på algebraiske ligninger. En pytagoreisk trippel er et sett med heltall a, b og c slik at

Geometrisk definerer en slik trippel en rettvinklet trekant med heltallssider.

Den minste hypotenusen til en pythagoras trippel er 5.

De to andre sidene av denne trekanten er 3 og 4. Her

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Den nest største hypotenusen er 10 fordi

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Imidlertid er dette i hovedsak den samme trekanten med doble sider. Den nest største og virkelig forskjellige hypotenusen er 13, for hvilket

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euklid visste at det fantes et uendelig antall forskjellige variasjoner av pythagoras trippel, og han ga det som kan kalles en formel for å finne dem alle. Senere tilbød Diophantus av Alexandria en enkel oppskrift, i utgangspunktet den samme som euklidisk.

Ta hvilke som helst to naturlige tall og beregn:

deres doble produkt;

forskjellen på rutene deres;

summen av kvadratene deres.

De tre resulterende tallene vil være sidene av den pytagoreiske trekanten.

Ta for eksempel tallene 2 og 1. Regn ut:

dobbelt produkt: 2 × 2 × 1 = 4;

forskjell på kvadrater: 22 - 12 = 3;

summen av kvadrater: 22 + 12 = 5,

og vi fikk den berømte 3-4-5 trekanten. Hvis vi tar tallene 3 og 2 i stedet, får vi:

dobbelt produkt: 2 × 3 × 2 = 12;

forskjell på kvadrater: 32 - 22 = 5;

summen av kvadrater: 32 + 22 = 13,

og vi får den neste kjente trekanten 5 - 12 - 13. La oss prøve å ta tallene 42 og 23 og få:

dobbelt produkt: 2 × 42 × 23 = 1932;

forskjell på kvadrater: 422 - 232 = 1235;

summen av kvadrater: 422 + 232 = 2293,

ingen har noen gang hørt om trekanten 1235-1932-2293.

Men disse tallene fungerer også:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Det er en annen funksjon i den diofantiske regelen som allerede er antydet: etter å ha mottatt tre tall, kan vi ta et annet vilkårlig tall og multiplisere dem alle med det. Dermed kan en 3-4-5 trekant gjøres om til en 6-8-10 trekant ved å multiplisere alle sider med 2, eller til en 15-20-25 trekant ved å multiplisere alt med 5.

Hvis vi bytter til algebraspråket, har regelen følgende form: la u, v og k være naturlige tall. Deretter en rettvinklet trekant med sider

2kuv og k (u2 - v2) har en hypotenusa

Det finnes andre måter å presentere hovedideen på, men de koker alle ned til den som er beskrevet ovenfor. Denne metoden lar deg få alle Pythagoras trippel.

Vanlige polyedre

Det er nøyaktig fem vanlige polyedre. Et vanlig polyeder (eller polyeder) er en tredimensjonal figur med et begrenset antall flate flater. Fasetter konvergerer med hverandre på linjer kalt kanter; kanter møtes i punkter som kalles toppunkter.

Kulminasjonen av de euklidiske "prinsippene" er beviset på at det bare kan være fem regulære polyedre, det vil si polyedre der hver flate er en regulær polygon (like sider, like vinkler), alle flater er identiske, og alle toppunkter er omgitt med et likt antall flater med lik avstand. Her er fem vanlige polyedre:

tetraeder med fire trekantede flater, fire hjørner og seks kanter;

kube, eller sekskant, med 6 firkantede flater, 8 hjørner og 12 kanter;

oktaeder med 8 trekantede flater, 6 topper og 12 kanter;

dodekaeder med 12 femkantede flater, 20 hjørner og 30 kanter;

icosahedron med 20 trekantede flater, 12 hjørner og 30 kanter.

// Ris. 37. Fem vanlige polyedre

Vanlige polyedre kan også finnes i naturen. I 1904 publiserte Ernst Haeckel tegninger av bittesmå organismer kjent som radiolarier; mange av dem er formet som de samme fem vanlige polyedre. Kanskje korrigerte han imidlertid naturen litt, og tegningene gjenspeiler ikke fullt ut formen til spesifikke levende vesener. De tre første strukturene er også observert i krystaller. Du vil ikke finne et dodekaeder og et ikosaeder i krystaller, selv om uregelmessige dodekaeder og ikosaeder noen ganger kommer over der. Ekte dodekaeder kan fremstå som kvasikrystaller, som er som krystaller på alle måter, bortsett fra at atomene deres ikke danner et periodisk gitter.

// Ris. 38. Tegninger av Haeckel: radiolarier i form av vanlige polyedere

// Ris. 39. Utviklingen av vanlige polyedre

Det kan være interessant å lage modeller av vanlige polyeder ut av papir ved først å kutte ut et sett med sammenkoblede ansikter - dette kalles en polyeder-sveip; skanningen brettes langs kantene og de tilsvarende kantene limes sammen. Det er nyttig å legge til et ekstra område for lim til en av kantene på hvert slikt par, som vist i fig. 39. Hvis det ikke er en slik plattform, kan du bruke teip.

Ligning av femte grad

Det er ingen algebraisk formel for å løse ligninger av 5. grad.

Generelt ser ligningen av den femte graden slik ut:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problemet er å finne en formel for å løse en slik likning (den kan ha opptil fem løsninger). Erfaring med å håndtere kvadratiske og kubiske ligninger, samt ligninger av fjerde grad, tilsier at en slik formel også bør eksistere for ligninger av femte grad, og i teorien bør røttene til femte, tredje og andre grad vises i det. Igjen kan man trygt anta at en slik formel, hvis den eksisterer, vil vise seg å være veldig, veldig komplisert.

Denne antagelsen viste seg til slutt å være feil. Det finnes faktisk ingen slik formel; i det minste er det ingen formel bestående av koeffisientene a, b, c, d, e og f, sammensatt ved hjelp av addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, samt å ta røtter. Dermed er det noe helt spesielt med 5-tallet. Årsakene til denne uvanlige oppførselen til de fem er veldig dype, og det tok mye tid å finne ut av dem.

Det første tegnet på et problem var at uansett hvor hardt matematikere prøvde å finne en slik formel, uansett hvor smarte de var, mislyktes de alltid. I noen tid trodde alle at årsakene ligger i formelens utrolige kompleksitet. Det ble antatt at ingen rett og slett kunne forstå denne algebraen riktig. Men over tid begynte noen matematikere å tvile på at en slik formel i det hele tatt eksisterte, og i 1823 klarte Niels Hendrik Abel å bevise det motsatte. Det finnes ingen slik formel. Kort tid etter fant Évariste Galois en måte å finne ut om en ligning av en eller annen grad - 5., 6., 7., generelt hvilken som helst - er løsbar ved å bruke denne typen formel.

Konklusjonen fra alt dette er enkel: tallet 5 er spesielt. Du kan løse algebraiske ligninger (ved å bruke n-te røtter for forskjellige verdier av n) for potensene 1, 2, 3 og 4, men ikke for potensene 5. Det er her det åpenbare mønsteret slutter.

Ingen er overrasket over at potenslikninger større enn 5 oppfører seg enda verre; spesielt er den samme vanskeligheten knyttet til dem: det er ingen generelle formler for løsningen deres. Dette betyr ikke at ligningene ikke har noen løsninger; Det betyr heller ikke at det er umulig å finne veldig presise tallverdier for disse løsningene. Det handler om begrensningene til tradisjonelle algebraverktøy. Dette minner om umuligheten av å tredele en vinkel med en linjal og et kompass. Det er et svar, men de oppførte metodene er ikke tilstrekkelige og lar deg ikke bestemme hva det er.

Krystallografisk begrensning

Krystaller i to og tre dimensjoner har ikke 5-stråles rotasjonssymmetri.

Atomene i en krystall danner et gitter, det vil si en struktur som gjentas periodisk i flere uavhengige retninger. For eksempel gjentas mønsteret på tapetet langs rullens lengde; i tillegg gjentas det vanligvis i horisontal retning, noen ganger med et skifte fra ett stykke tapet til det neste. I hovedsak er tapetet en todimensjonal krystall.

Det er 17 varianter av tapetmønstre på flyet (se kapittel 17). De er forskjellige i typene symmetri, det vil si i måtene å stivt skifte mønsteret slik at det ligger nøyaktig på seg selv i sin opprinnelige posisjon. Symmetritypene inkluderer spesielt ulike varianter av rotasjonssymmetri, hvor mønsteret skal roteres gjennom en viss vinkel rundt et bestemt punkt – symmetriens sentrum.

Rekkefølgen på symmetrien til rotasjonen er hvor mange ganger du kan rotere kroppen til en hel sirkel slik at alle detaljene i bildet går tilbake til sine opprinnelige posisjoner. For eksempel er en 90° rotasjon 4. ordens rotasjonssymmetri*. Listen over mulige typer rotasjonssymmetri i krystallgitteret peker igjen på det uvanlige med tallet 5: det er ikke der. Det finnes varianter med rotasjonssymmetri av 2., 3., 4. og 6. orden, men ingen tapetmønster har 5. ordens rotasjonssymmetri. Det er heller ingen rotasjonssymmetri av orden større enn 6 i krystaller, men det første bruddet på sekvensen skjer fortsatt ved tallet 5.

Det samme skjer med krystallografiske systemer i tredimensjonalt rom. Her gjentar gitteret seg i tre uavhengige retninger. Det er 219 forskjellige typer symmetri, eller 230 hvis vi betrakter speilrefleksjonen av mønsteret som en egen versjon av det - dessuten er det i dette tilfellet ingen speilsymmetri. Igjen observeres rotasjonssymmetrier av orden 2, 3, 4 og 6, men ikke 5. Dette faktum kalles den krystallografiske begrensningen.

I firedimensjonalt rom eksisterer gitter med 5. ordens symmetri; generelt, for gitter med tilstrekkelig høy dimensjon, er enhver forhåndsbestemt rekkefølge av rotasjonssymmetri mulig.

// Ris. 40. Krystallgitter av bordsalt. Mørke kuler representerer natriumatomer, lyse kuler representerer kloratomer.

Kvasikrystaller

Mens 5. ordens rotasjonssymmetri ikke er mulig i 2D- og 3D-gitter, kan den eksistere i litt mindre vanlige strukturer kjent som kvasikrystaller. Ved å bruke Keplers skisser oppdaget Roger Penrose flate systemer med en mer generell type femdobbelt symmetri. De kalles kvasikrystaller.

Kvasikrystaller finnes i naturen. I 1984 oppdaget Daniel Shechtman at en legering av aluminium og mangan kan danne kvasikrystaller; Til å begynne med hilste krystallografer budskapet hans med en viss skepsis, men senere ble oppdagelsen bekreftet, og i 2011 ble Shechtman tildelt Nobelprisen i kjemi. I 2009 oppdaget et team av forskere ledet av Luca Bindi kvasikrystaller i et mineral fra det russiske Koryak-høylandet - en blanding av aluminium, kobber og jern. I dag kalles dette mineralet icosahedrite. Ved å måle innholdet av ulike oksygenisotoper i mineralet med et massespektrometer, viste forskerne at dette mineralet ikke har sin opprinnelse på jorden. Den ble dannet for rundt 4,5 milliarder år siden, på et tidspunkt da solsystemet nettopp var i ferd med å dukke opp, og tilbrakte mesteparten av tiden sin i asteroidebeltet, i bane rundt solen, inntil en slags forstyrrelse endret sin bane og brakte den til slutt til jorden.

// Ris. 41. Venstre: ett av to kvasikrystallinske gitter med nøyaktig femdobbelt symmetri. Høyre: Atommodell av en ikosaedrisk aluminium-palladium-mangan kvasikrystall