hjem › Motor › Invers trigonometrisk funksjon derivat kalkulator. Regler for beregning av derivater

Invers trigonometrisk funksjon derivat kalkulator. Regler for beregning av derivater

Avledet beregning er en av de viktigste operasjonene i differensialregning. Nedenfor er en tabell for å finne deriverte av enkle funksjoner. For mer komplekse differensieringsregler, se andre leksjoner:

Tabell over deriverte av eksponentielle og logaritmiske funksjoner

Bruk de gitte formlene som referanseverdier. De vil hjelpe til med å løse differensialligninger og problemer. På bildet, i tabellen over derivater av enkle funksjoner, er det et "jukseark" med hovedtilfellene for å finne derivatet i en form som er forståelig for bruk, ved siden av er det forklaringer for hvert tilfelle.

Derivater av enkle funksjoner

1. Den deriverte av et tall er null
с´ = 0
Eksempel:
5' = 0

Forklaring:
Den deriverte viser hastigheten med hvilken verdien av funksjonen endres når argumentet endres. Siden tallet ikke endres på noen måte under noen forhold, er endringshastigheten alltid null.

2. Derivat av en variabel lik en
x' = 1

Forklaring:
Med hver økning av argumentet (x) med én, øker verdien av funksjonen (beregningsresultatet) med samme beløp. Dermed er endringshastigheten for verdien av funksjonen y = x nøyaktig lik endringshastigheten til verdien av argumentet.

3. Den deriverte av en variabel og en faktor er lik denne faktoren
сx´ = с
Eksempel:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Forklaring:
I dette tilfellet, hver gang funksjonsargumentet ( X) dens verdi (y) vokser inn Med en gang. Dermed er endringshastigheten for verdien av funksjonen i forhold til endringshastigheten til argumentet nøyaktig lik verdien Med.

Hvorfra følger det
(cx + b)" = c
det vil si at differensialen til den lineære funksjonen y=kx+b er lik helningen til den rette linjen (k).

4. Modulo-deriverte av en variabel er lik kvotienten til denne variabelen til dens modul
|x|"= x / |x| forutsatt at x ≠ 0
Forklaring:
Siden den deriverte av variabelen (se formel 2) er lik én, skiller den deriverte av modulen seg bare ved at verdien av endringshastigheten til funksjonen endres til det motsatte når du krysser opprinnelsespunktet (prøv å tegne en graf av funksjonen y = |x| og se selv. Dette er nøyaktig verdi og returnerer uttrykket x / |x| Når x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vil si at med negative verdier av variabelen x, med hver økning i endringen i argumentet, reduseres verdien av funksjonen med nøyaktig samme verdi, og med positive verdier, tvert imot, øker den, men med nøyaktig samme verdi.

5. Potensderivert av en variabel er lik produktet av antallet av denne potensen og variabelen i potensen, redusert med én
(x c)"= cx c-1, forutsatt at x c og cx c-1 er definert og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
For å huske formelen:
Ta eksponenten til variabelen "ned" som en multiplikator, og reduser deretter selve eksponenten med én. For eksempel, for x 2 - var to foran x, og så ga den reduserte kraften (2-1 = 1) oss bare 2x. Det samme skjedde for x 3 - vi senker trippelen, reduserer den med en, og i stedet for en kube har vi en firkant, det vil si 3x 2 . Litt "uvitenskapelig", men veldig lett å huske.

6.Fraksjonsderivat 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Eksempel:
Siden en brøk kan representeres som å heve til en negativ potens
(1/x)" = (x -1)", så kan du bruke formelen fra regel 5 i derivattabellen
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Fraksjonsderivat med en variabel av vilkårlig grad i nevneren
(1/x c)" = - c / x c+1
Eksempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. rotderivat(derivert av variabel under kvadratrot)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x)" = (x 1/2)" slik at du kan bruke formelen fra regel 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat av en variabel under en rot av en vilkårlig grad
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

applikasjon

Løsningen av derivatet til nettstedet for å konsolidere materialet dekket av studenter og skolebarn. Å beregne den deriverte av en funksjon på noen få sekunder er ikke vanskelig hvis du bruker vår online problemløsningstjeneste. Hver tredje student vil kunne gi en detaljert analyse for et grundig studium i en praktisk leksjon. Ofte blir vi kontaktet av avdelingen til den relevante avdelingen for å fremme matematikk i utdanningsinstitusjonene i landet. Hvordan, i dette tilfellet, for ikke å nevne løsningen av den deriverte online for et lukket rom med numeriske sekvenser. Mange velstående individer har lov til å uttrykke sin forvirring. Men i mellomtiden sitter ikke matematikere stille og jobber hardt. Endringen i inngangsparametere i henhold til lineære karakteristikker vil bli akseptert av derivatkalkulatoren hovedsakelig på grunn av supremaen til de synkende posisjonene til kubene. Resultatet er uunngåelig som overflate. Som innledende data eliminerer online-derivatet behovet for å ta unødvendige skritt. Bortsett fra fiktive lekser. I tillegg til at det å løse derivater på nett er et nødvendig og viktig aspekt ved å lære matematikk, husker elevene ofte ikke tidligere problemer. Eleven, som en lat skapning, forstår dette. Men studenter er morsomme mennesker! Enten gjør det i henhold til reglene, eller så kan den deriverte av funksjonen i et skråplan gi akselerasjon til et materialpunkt. La oss rette vektoren til den synkende romlige strålen et sted. I det ønskede svaret ser det ut til å finne den deriverte å være en abstrakt teoretisk retning på grunn av ustabiliteten til det matematiske systemet. Tenk på et forhold mellom tall som en sekvens av ubrukte alternativer. Kommunikasjonskanalen ble etterfylt med den femte linjen langs den synkende vektoren fra punktet for den lukkede bifurkasjonen av kuben. På planet av buede rom fører løsning av den deriverte på nettet oss til en konklusjon som fikk planetens største hjerner til å tenke i forrige århundre. I hendelsesforløpet fra matematikkfeltet ble fem grunnleggende viktige faktorer som bidrar til å forbedre plasseringen av valg av en variabel brakt til den offentlige diskusjonen. Så loven for poeng sier at online-derivatet ikke beregnes i detalj i alle tilfeller, bare et lojalt fremadskridende øyeblikk kan være et unntak. Varselet brakte oss til en ny runde med utvikling. Vi trenger et resultat. I linjen med den matematiske skråningen som passerer under overflaten, er kalkulatoren for modusderivatene i området for skjæringspunktet mellom produktene på bøyesettet. Det gjenstår å analysere differensieringen av funksjonen på dets uavhengige punkt nær epsilon-området. Dette kan alle se i praksis. Som et resultat vil det være noe å bestemme seg for i neste fase av programmeringen. Studenten trenger den nettbaserte derivativet som alltid, uavhengig av de imaginære studiene som praktiseres. Det viser seg at nettløsningen av den deriverte funksjonen multiplisert med en konstant ikke endrer den generelle bevegelsesretningen til materialpunktet, men karakteriserer hastighetsøkningen i en rett linje. I denne forstand vil det være nyttig å bruke vår derivatkalkulator og beregne alle verdiene til en funksjon på hele settet med definisjonen. Det er bare ikke nødvendig å studere kraftbølgene til gravitasjonsfeltet. I intet tilfelle vil den elektroniske derivatløsningen vise tilten til den utgående strålen, men bare i sjeldne tilfeller, når det virkelig er nødvendig, kan universitetsstudenter forestille seg dette. Vi undersøker rektor. Verdien til den minste rotoren er forutsigbar. Påfør på resultatet linjene som ser til høyre, langs hvilke ballen er beskrevet, men den elektroniske kalkulatoren for derivater er grunnlaget for tall med spesiell styrke og ikke-lineær avhengighet. Matematikkprosjektrapport er klar. Personlige egenskaper forskjellen mellom de minste tallene og den deriverte av funksjonen langs y-aksen vil bringe konkaviteten til den samme funksjonen til høyden. Det er en retning - det er en konklusjon. Det er lettere å omsette teori i praksis. Det foreligger forslag fra studenter om tidspunkt for studiestart. Trenger en lærers svar. Igjen, som i forrige posisjon, er det matematiske systemet ikke regulert på grunnlag av en handling som vil bidra til å finne den deriverte. I likhet med den nedre semi-lineære versjonen vil den elektroniske deriverte i detalj angi identifiseringen av løsningen iht. degenerert betinget lov. Bare legg frem ideen om å beregne formler. Lineær differensiering av en funksjon avviser sannheten til løsningen ved ganske enkelt å legge ut irrelevante positive variasjoner. Betydningen av sammenligningstegnene vil bli sett på som et kontinuerlig brudd på funksjonen langs aksen. Dette er viktigheten av den mest bevisste konklusjonen, ifølge studenten, der den elektroniske derivativet er noe annet enn et lojalt eksempel på matematisk analyse. Radiusen til en buet sirkel i det euklidiske rommet ga tvert imot kalkulatoren for derivater en naturlig representasjon av utvekslingen av avgjørende problemer for stabilitet. Den beste metoden er funnet. Det var lettere å nivåere oppgaven. La anvendeligheten av den uavhengige differanseandelen føre til løsningen av derivatene online. Løsningen roterer rundt x-aksen, og beskriver figuren til en sirkel. Det er en vei ut, og den er basert på forskning som er teoretisk støttet av universitetsstudenter, som alle lærer av, og selv i disse øyeblikkene er det en avledning av funksjonen. Vi fant en vei for fremgang og elevene bekreftet det. Vi har råd til å finne den deriverte uten å gå utover en unaturlig tilnærming til å transformere det matematiske systemet. Det venstre proporsjonaltegnet vokser eksponentielt som den matematiske representasjonen av den elektroniske derivatkalkulatoren på grunn av den ukjente omstendigheten til lineære faktorer på den uendelige y-aksen. Matematikere over hele verden har bevist eksklusiviteten til produksjonsprosessen. Det er en minste firkant i en sirkel i henhold til beskrivelsen av teorien. Igjen, den elektroniske derivativet vil utdype vår gjetning om hva som kan ha påvirket den teoretisk raffinerte oppfatningen i utgangspunktet. Det var meninger av en annen karakter enn rapporten vi analyserte. Separat oppmerksomhet skjer kanskje ikke med studenter ved våre fakulteter, men bare ikke til smarte og avanserte matematikere der differensieringen av en funksjon bare er en unnskyldning. Den mekaniske betydningen av derivatet er veldig enkel. Løftekraften beregnes som en online-derivert for de nedoverskrånende jevne rom i tid. Åpenbart er derivatkalkulatoren en streng prosess for å beskrive problemet med degenerasjonen av en kunstig transformasjon som en amorf kropp. Den første deriverte snakker om en endring i bevegelsen til et materiell punkt. Tredimensjonalt rom er åpenbart observert i sammenheng med spesialtrente teknologier for å løse derivater på nettet, faktisk er det i hvert kollokvium om emnet matematisk disiplin. Den andre deriverte karakteriserer endringen i hastigheten til et materialpunkt og bestemmer akselerasjonen. Meridiantilnærmingen basert på bruk av en affin transformasjon tar den deriverte av en funksjon på et punkt fra definisjonsdomenet til denne funksjonen til et nytt nivå. En online kalkulator av derivater kan ikke være uten tall og symbolsk notasjon i noen tilfeller ved det riktige kjørbare øyeblikket, bortsett fra det transformerbare arrangementet av ting i oppgaven. Overraskende nok er det en andre akselerasjon av et materialpunkt, dette karakteriserer endringen i akselerasjon. Om kort tid vil vi begynne å studere løsningen av derivatet på nett, men så snart en viss milepæl i kunnskap er nådd, vil studenten vår stoppe denne prosessen. Den beste måten å bygge nettverk på er å chatte live om et matematisk emne. Det er prinsipper som ikke under noen omstendigheter må brytes, uansett hvor vanskelig oppgaven er. Det er nyttig å finne den deriverte online i tide og uten feil. Dette vil føre til en ny plassering av det matematiske uttrykket. Systemet er stabilt. Den fysiske betydningen av derivatet er ikke like populær som den mekaniske. Det er usannsynlig at noen husker hvordan den online-deriverte i detalj på planet viste omrisset av linjene til funksjonen til normalen fra trekanten ved siden av x-aksen. Mennesket fortjener en stor rolle i forrige århundres forskning. La oss utføre i tre elementære stadier differensieringen av funksjonen på punkter, både fra definisjonsdomenet og i det uendelige. Vil være skriftlig bare i studieretningen, men kan ta plassen til hovedvektoren i matematikk og tallteori, så snart det som skjer vil knytte den elektroniske derivatkalkulatoren til oppgaven. Det vil være en grunn, men det vil være en grunn til å lage en ligning. Det er veldig viktig å huske på alle inngangsparametrene. Det beste blir ikke alltid tatt på strak arm, bak dette ligger en kolossal mengde arbeid fra de beste hodene som visste hvordan online-derivatet beregnes i verdensrommet. Siden den gang har konveksitet blitt ansett som en egenskap ved en kontinuerlig funksjon. Likevel er det bedre å først sette oppgaven med å løse derivater online på kortest mulig tid. Dermed vil løsningen være komplett. I tillegg til de uoppfylte normene anses ikke dette tilstrekkelig. I utgangspunktet foreslår nesten hver student å legge frem en enkel metode for hvordan den deriverte av en funksjon forårsaker en kontroversiell vekstalgoritme. I retning av den stigende strålen. Dette gir mening som en generell posisjon. Tidligere markerte de begynnelsen på fullføringen av en spesifikk matematisk handling, men i dag vil det være omvendt. Kanskje løsningen av den deriverte på nettet vil reise problemet igjen, og vi vil godta en felles mening om bevaring av den under diskusjonen av lærermøtet. Vi håper på forståelse fra alle sider av møtedeltakerne. Den logiske betydningen er inneholdt i beskrivelsen av kalkulatoren for derivater i resonansen til tall om sekvensen av presentasjonen av tanken på problemet, som ble besvart i forrige århundre av verdens store vitenskapsmenn. Det vil hjelpe å trekke ut en kompleks variabel fra det konverterte uttrykket og finne den deriverte på nettet for å utføre en massiv handling av samme type. Sannheten er mye bedre enn gjetting. Den minste verdien i trenden. Resultatet vil ikke vente lenge på seg når du bruker en unik tjeneste for den mest nøyaktige plasseringen, som det er en online derivat for i detalj. Indirekte, men til poenget, som en klok mann sa, ble en online derivatkalkulator laget på forespørsel fra mange studenter fra forskjellige byer i fagforeningen. Hvis det er en forskjell, hvorfor bestemme seg to ganger. Den gitte vektoren ligger på samme side som normalen. I midten av forrige århundre ble differensieringen av en funksjon på ingen måte oppfattet slik den er i dag. Takket være utviklingen som pågår, har nettmatematikk dukket opp. Over tid glemmer elevene å gi kreditt til matematiske disipliner. Løsningen av den deriverte på nett vil utfordre oppgaven vår, rettmessig basert på anvendelse av teori, støttet av praktisk kunnskap. Vil gå utover den eksisterende verdien av presentasjonsfaktoren og skrive formelen i en eksplisitt form for funksjonen. Det hender at du trenger å finne derivatet online akkurat nå uten å bruke noen kalkulator, men du kan alltid ty til studentens triks og fortsatt bruke en slik tjeneste som et nettsted. Dermed vil eleven spare mye tid på å kopiere eksempler fra en kladdebok til et endelig skjema. Hvis det ikke er noen motsetninger, bruk trinnvise løsningstjeneste for slike komplekse eksempler.

Definisjon. La funksjonen $y = f(x) $ være definert i et eller annet intervall som inneholder punktet $x_0 $ innenfor. La oss øke $\Delta x $ til argumentet for ikke å forlate dette intervallet. Finn den tilsvarende økningen av funksjonen $\Delta y $ (når du går fra punktet $x_0 $ til punktet $x_0 + \Delta x $) og komponer relasjonen $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Hvis det er en grense for denne relasjonen ved $\Delta x \rightarrow 0 $, kalles den angitte grensen avledet funksjon$y=f(x) $ ved punktet $x_0 $ og angi $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolet y brukes ofte for å betegne den deriverte. Merk at y" = f(x) er en ny funksjon, men naturlig assosiert med funksjonen y = f(x), definert på alle punktene x der grensen ovenfor eksisterer . Denne funksjonen kalles slik: deriverte av funksjonen y \u003d f (x).

Den geometriske betydningen av derivatet består av følgende. Hvis en tangent som ikke er parallell med y-aksen kan trekkes til grafen til funksjonen y \u003d f (x) i et punkt med abscissen x \u003d a, så uttrykker f (a) helningen til tangenten:
$k = f"(a)$

Siden $k = tg(a) $, er likheten $f"(a) = tg(a) $ sann.

Og nå tolker vi definisjonen av derivatet i form av omtrentlige likheter. La funksjonen $y = f(x) $ ha en derivert i et bestemt punkt $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyr at nær punktet x, den omtrentlige likheten $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, dvs. $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Den meningsfulle betydningen av den oppnådde omtrentlige likheten er som følger: økningen av funksjonen er "nesten proporsjonal" med økningen av argumentet, og proporsjonalitetskoeffisienten er verdien av den deriverte ved et gitt punkt x. For eksempel, for funksjonen $y = x^2 $ er den omtrentlige likheten $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ sann. Hvis vi nøye analyserer definisjonen av den deriverte, vil vi finne at den inneholder en algoritme for å finne den.

La oss formulere det.

Hvordan finne den deriverte av funksjonen y \u003d f (x) ?

1. Fiks verdien $x $, finn $f(x) $
2. Øk $x $ argument $\Delta x $, flytt til et nytt punkt $x+ \Delta x $, finn $f(x+ \Delta x) $
3. Finn funksjonsøkningen: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Komponer relasjonen $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grensen er den deriverte av funksjonen ved x.

Hvis funksjonen y = f(x) har en derivert i punktet x, kalles den differensierbar i punktet x. Prosedyren for å finne den deriverte av funksjonen y \u003d f (x) kalles differensiering funksjoner y = f(x).

La oss diskutere følgende spørsmål: hvordan er kontinuiteten og differensierbarheten til en funksjon på et punkt relatert?

La funksjonen y = f(x) være differensierbar i punktet x. Deretter kan en tangent trekkes til grafen til funksjonen i punktet M (x; f (x)), og husk at stigningen til tangenten er lik f "(x). En slik graf kan ikke "bryte" ved punktet M, dvs. funksjonen må være kontinuerlig ved x.

Det var resonnement «på fingrene». La oss presentere et mer strengt argument. Hvis funksjonen y = f(x) er differensierbar ved punktet x, så vil den omtrentlige likheten $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ være null, så er $\Delta y $ ) vil også ha en tendens til null, og dette er betingelsen for kontinuiteten til funksjonen i et punkt.

Så, hvis en funksjon er differensierbar i et punkt x, så er den også kontinuerlig i det punktet.

Det motsatte er ikke sant. For eksempel: funksjon y = |x| er kontinuerlig overalt, spesielt i punktet x = 0, men tangenten til grafen til funksjonen i "fellespunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis det på et tidspunkt er umulig å tegne en tangent til funksjonsgrafen, er det ingen derivert på dette punktet.

Et eksempel til. Funksjonen $y=\sqrt(x) $ er kontinuerlig på hele tallinjen, inkludert i punktet x = 0. Og tangenten til grafen til funksjonen eksisterer på et hvilket som helst punkt, inkludert i punktet x = 0 Men på dette tidspunktet sammenfaller tangenten med y-aksen, det vil si at den er vinkelrett på abscisseaksen, dens ligning har formen x \u003d 0. Det er ingen helning for en slik rett linje, noe som betyr at \ ( f "(0) \) eksisterer heller ikke

Så vi ble kjent med en ny egenskap til en funksjon - differensieringsevne. Hvordan kan du fortelle om en funksjon er differensierbar fra grafen til en funksjon?

Svaret er faktisk gitt ovenfor. Hvis det på et tidspunkt kan trekkes en tangent til grafen til en funksjon som ikke er vinkelrett på x-aksen, så er funksjonen på dette punktet differensierbar. Hvis tangenten til grafen til funksjonen på et tidspunkt ikke eksisterer eller den er vinkelrett på x-aksen, er funksjonen på dette tidspunktet ikke differensierbar.

Differensieringsregler

Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når du utfører denne operasjonen, må du ofte jobbe med kvotienter, summer, produkter av funksjoner, samt med "funksjoner av funksjoner", det vil si komplekse funksjoner. Ut fra definisjonen av den deriverte kan vi utlede differensieringsregler som letter dette arbeidet. Hvis C er et konstant tall og f=f(x), g=g(x) er noen differensierbare funksjoner, så er følgende sanne differensieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sammensatt funksjonsderiverte:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabell over derivater av noen funksjoner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Første nivå

Funksjonsderivat. Omfattende veiledning (2019)

Se for deg en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien, og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:

Aksen er et visst nivå på null høyde, i livet bruker vi havnivå som det.

Går vi framover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (beveger seg langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (beveger seg langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva kan denne verdien være? Veldig enkelt: hvor mye vil høyden endres når man beveger seg en viss avstand fremover. Faktisk, på forskjellige deler av veien, når vi beveger oss fremover (langs abscissen) en kilometer, vil vi stige eller falle et annet antall meter i forhold til havnivået (langs ordinaten).

Vi betegner fremgang fremover (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte i matematikk som et prefiks som betyr "endring". Det vil si - dette er en endring i størrelse, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelse.

Viktig: uttrykket er en enkelt enhet, én variabel. Du bør aldri rive av "delta" fra "x" eller noen annen bokstav! Det er for eksempel.

Så vi har gått fremover, horisontalt, videre. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til en funksjon, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi går videre stiger vi høyere.

Det er lett å beregne verdien: hvis vi i begynnelsen var i høyden, og etter flytting var vi i høyden, da. Hvis sluttpunktet viste seg å være lavere enn startpunktet, vil det være negativt - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

Tilbake til "steepness": dette er en verdi som indikerer hvor mye (bratt) høyden øker når man beveger seg fremover per enhetsavstand:

Anta at på en del av stien, når du går frem med km, stiger veien opp med km. Da er brattheten på dette stedet lik. Og hvis veien sank med km ved fremskritt med m? Da er helningen lik.

Tenk nå på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av seksjonen en halv kilometer til toppen, og slutten - en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.

Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Mye kan endre seg bare noen få mil unna. Mindre områder må vurderes for et mer tilstrekkelig og nøyaktig estimat av brattheten. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg en meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt skli gjennom den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I det virkelige liv er det mer enn nok å måle avstand til nærmeste millimeter. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor var konseptet uendelig liten, det vil si at modulo-verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at verdien er uendelig liten, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er lik null! Men veldig nærme det. Dette betyr at den kan deles inn i.

Konseptet motsatt til uendelig lite er uendelig stort (). Du har sannsynligvis allerede støtt på det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er større i modul enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med størst mulig tall, multipliserer du det med to og du får enda mer. Og uendelighet er enda mer enn det som skjer. Faktisk er uendelig stor og uendelig liten omvendt til hverandre, det vil si at, og omvendt: at.

Nå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et uendelig lite segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig liten forskyvning vil også høydeendringen være uendelig liten. Men la meg minne deg på at uendelig liten ikke betyr lik null. Hvis du deler uendelige tall med hverandre, kan du få et helt ordinært tall, for eksempel. Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig dobbelt så stor som en annen.

Hvorfor alt dette? Veien, brattheten ... Vi skal ikke på rally, men vi lærer matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet med et derivat

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved en uendelig inkrement av argumentet.

Øke i matematikk kalles endring. Hvor mye argumentet () har endret seg når man beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og betegnet med Hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg fremover langs aksen med en avstand kalles funksjonsøkning og er merket.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et slag fra øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her, når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Men er den deriverte lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Høyden endres faktisk ikke i det hele tatt. Så med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er null for enhver.

La oss ta eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet på motsatte sider av toppunktet på en slik måte at høyden på endene viser seg å være den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at høydeforskjellen i endene er lik null (pleier ikke, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppen øker funksjonen, og til høyre reduseres den. Som vi allerede har funnet ut tidligere, når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (fordi veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor må det være mellom negative og positive verdier. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for dalen (området der funksjonen avtar til venstre og øker til høyre):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til en verdi. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har han (argumentet) nå blitt til? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, går funksjonen dit: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

Finn økningen til funksjonen i et punkt med en økning av argumentet lik.
Det samme for en funksjon på et punkt.

Løsninger:

På forskjellige punkter, med samme økning av argumentet, vil økningen av funksjonen være forskjellig. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt har sin egen (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien på forskjellige punkter er forskjellig). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon kalles en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Og - i noen grad: .

Det enkleste tilfellet er når eksponenten er:

La oss finne dens deriverte på et punkt. Husk definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er funksjonsøkningen?

Økning er. Men funksjonen til enhver tid er lik argumentet. Derfor:

Den deriverte er:

Den deriverte av er:

b) Vurder nå den kvadratiske funksjonen (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av et annet begrep:

Så vi har en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller dekomponer hele uttrykket i faktorer ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv på en av de foreslåtte måtene.

Så jeg fikk følgende:

Og la oss huske det igjen. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

(2)

Du kan formulere regelen med ordene: "graden føres frem som en koeffisient, og avtar deretter med".

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjoner:

(på to måter: ved formelen og ved å bruke definisjonen av den deriverte - ved å telle økningen av funksjonen);

. Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er det? Og hvor er graden?", Husk emnet" "!
Ja, ja, roten er også en grad, bare en brøkdel:.
Så kvadratroten vår er bare en potens med en eksponent:
.
Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:
Hvis det på dette tidspunktet ble uklart igjen, gjenta emnet "" !!! (omtrent en grad med negativ indikator)
. Nå eksponenten:
Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
;
.
Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
.
. Kombinasjon av tidligere saker: .

trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Når uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året av instituttet (og for å komme dit må du bestå eksamen godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - punkteres punktet på grafen. Men jo nærmere verdien, jo nærmere er funksjonen. Dette er selve "strever".

I tillegg kan du sjekke denne regelen med en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på eksamen ennå.

Så la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere er verdien av forholdet.

a) Tenk på en funksjon. Som vanlig finner vi økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""):.

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så, for uendelig liten, er den også uendelig liten: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig liten verdi kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får følgende regel: den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabell") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, da de brukes oftest.

Øve på:

Finn den deriverte av en funksjon i et punkt;
Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

Først finner vi den deriverte i en generell form, og deretter erstatter vi verdien i stedet:
;
.
Her har vi noe som ligner på en kraftfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
normal visning:
.
Ok, nå kan du bruke formelen:
.
.
. Eeeeeee….. Hva er det????

Ok, du har rett, vi vet fortsatt ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en slik funksjon i matematikk, hvis deriverte for enhver er lik verdien av selve funksjonen for den samme. Den kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen - en konstant - er en uendelig desimalbrøk, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", og det er derfor det er angitt med en bokstav.

Så regelen er:

Det er veldig lett å huske.

Vel, vi vil ikke gå langt, vi vil umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hva er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen et tall:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles en "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

Finn den deriverte av funksjonen.
Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Eksponenten og den naturlige logaritmen er funksjoner som er unikt enkle når det gjelder den deriverte. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Differensieringsregler

Hvilke regler? Nok et nytt begrep, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Bare og alt. Hva er et annet ord for denne prosessen? Ikke proizvodnovanie... Matematikkens differensial kalles selve inkrementet til funksjonen ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av tegnet til den deriverte.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La, eller lettere.

Eksempler.

Finn deriverte av funksjoner:

på punktet;
på punktet;
på punktet;
på punktet.

Løsninger:

(den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Derivat av et produkt

Alt er likt her: vi introduserer en ny funksjon og finner dens økning:

Derivat:

Eksempler:

Finn deriverte av funksjoner og;
Finn den deriverte av en funksjon i et punkt.

Løsninger:

Derivert av eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenten (har du glemt hva det er ennå?).

Så hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å bringe funksjonen vår til en ny base:

For å gjøre dette bruker vi en enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av eksponenten: Som den var, gjenstår det, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn deriverte av funksjoner:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives på en enklere form. Derfor, i svaret er det igjen i denne formen.

Derivert av en logaritmisk funksjon

Her er det likt: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig fra logaritmen med en annen base, for eksempel:

Vi må bringe denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Bare nå i stedet for vil vi skrive:

Nevneren viste seg å være bare en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Den deriverte er veldig enkel:

Derivater av de eksponentielle og logaritmiske funksjonene finnes nesten aldri i eksamen, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en buetangens. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om logaritmen virker vanskelig for deg, les emnet "Logarithms" og alt ordner seg), men i form av matematikk betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg en liten transportør: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Det viser seg en slik sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de motsatte trinnene i omvendt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først finner vi cosinus til et tall, og deretter kvadrerer vi det resulterende tallet. Så, de gir oss et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, gjør den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en annen handling med det som skjedde som et resultat av den første.

Vi kan godt gjøre de samme handlingene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet:. Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Et viktig trekk ved komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Med andre ord, En kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Den siste handlingen vi gjør vil kalles "ekstern" funksjon, og handlingen som ble utført først - hhv "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern:

Svar: Separasjonen av indre og ytre funksjoner ligner veldig på å endre variabler: for eksempel i funksjonen

Hva vil vi gjøre først? Først beregner vi sinusen, og først da hever vi den til en terning. Så det er en intern funksjon, ikke en ekstern.
Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.

vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladen vår - se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. For det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Alt ser ut til å være enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(bare ikke prøv å redusere nå! Ingenting er tatt ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at det er en kompleks funksjon på tre nivåer her: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker fortsatt ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokolade i en omslag). og med et bånd i en koffert). Men det er ingen grunn til å være redd: uansett vil vi "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger - som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen: