Prosessen med å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et segment minner om en fascinerende flytur rundt et objekt (en graf av en funksjon) på et helikopter med skyting fra en langdistansekanon på bestemte punkter og valg mellom disse punktene veldig spesielle poeng for kontrollskudd. Poeng velges på en bestemt måte og i henhold til bestemte regler. Etter hvilke regler? Vi vil snakke om dette videre.
Hvis funksjonen y = f(x)
kontinuerlig på intervallet [ en, b] , så når den på dette segmentet minst
Og høyeste verdier
. Dette kan enten skje i ekstreme punkter eller på slutten av segmentet. Derfor å finne minst
Og de største verdiene av funksjonen
, kontinuerlig på segmentet [ en, b] , må du beregne verdiene i alt kritiske punkter og i enden av segmentet, og velg deretter den minste og største av dem.
La, for eksempel, det er nødvendig å bestemme maksimalverdien av funksjonen f(x) på segmentet [ en, b] . For å gjøre dette, finn alle de kritiske punktene som ligger på [ en, b]
.
kritisk punkt
kalles punktet der funksjon definert, og henne derivat er enten null eller eksisterer ikke. Deretter bør du beregne verdiene til funksjonen på kritiske punkter. Og til slutt bør man sammenligne verdiene til funksjonen på kritiske punkter og i enden av segmentet ( f(en) Og f(b) ). Det største av disse tallene vil være den største verdien av funksjonen på intervallet
[en, b]
.
Problemet med å finne de minste verdiene av funksjonen
.
Vi ser etter de minste og største verdiene av funksjonen sammen
Eksempel 1. Finn de minste og største verdiene til en funksjon 
på segmentet [-1, 2]
.
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen. Lik den deriverte til null () og få to kritiske poeng: og . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, er det nok å beregne verdiene ved enden av segmentet og ved punktet , siden punktet ikke tilhører segmentet [-1, 2] . Disse funksjonsverdiene er følgende: , , . Det følger at minste funksjonsverdi(merket med rødt på grafen nedenfor), lik -7, nås ved høyre ende av segmentet - ved punktet , og størst(også rød på grafen), er lik 9,- ved det kritiske punktet .
Hvis funksjonen er kontinuerlig i et bestemt intervall og dette intervallet ikke er et segment (men er for eksempel et intervall; forskjellen mellom et intervall og et segment: grensepunktene til intervallet er ikke inkludert i intervallet, men grensepunkter for segmentet er inkludert i segmentet), så blant verdiene til funksjonen kan det hende at det ikke er den minste og største. Så, for eksempel, funksjonen som er avbildet i figuren nedenfor er kontinuerlig på ]-∞, +∞[ og har ikke den største verdien.
Men for ethvert intervall (lukket, åpent eller uendelig), gjelder følgende egenskap for kontinuerlige funksjoner.
Eksempel 4. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet [-1, 3]
.
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som den deriverte av kvotienten:
.
Vi likestiller den deriverte til null, som gir oss en kritisk punkt: . Den tilhører intervallet [-1, 3] . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
La oss sammenligne disse verdiene. Konklusjon: lik -5/13, på punktet og den største verdien lik 1 på punktet.
Vi fortsetter å søke etter de minste og største verdiene for funksjonen sammen
Det er lærere som, når det gjelder å finne de minste og største verdiene av en funksjon, ikke gir elevene eksempler som er mer kompliserte enn de som nettopp er vurdert, det vil si de der funksjonen er et polynom eller en brøk, telleren og nevneren som er polynomer. Men vi vil ikke begrense oss til slike eksempler, siden det blant lærere er elskere av å få studenter til å tenke fullt ut (tabell over derivater). Derfor vil logaritmen og den trigonometriske funksjonen bli brukt.
Eksempel 6. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet
.
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som derivat av produktet :
Vi likestiller den deriverte til null, som gir ett kritisk punkt: . Den tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
Resultatet av alle handlinger: funksjonen når minimumsverdien, lik 0, ved et punkt og ved et punkt og den største verdien lik e², på punktet.
Eksempel 7. Finn de minste og største verdiene til en funksjon 
på segmentet .
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen:
Lik den deriverte med null:
Det eneste kritiske punktet tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
Konklusjon: funksjonen når minimumsverdien, lik , ved punktet og den største verdien, lik , ved punktet .
Ved anvendte ekstreme problemer reduseres som regel å finne de minste (største) funksjonsverdiene til å finne minimum (maksimum). Men det er ikke selve minima eller maksima som er av større praktisk interesse, men verdiene til argumentet de oppnås ved. Når du løser anvendte problemer, oppstår en ekstra vanskelighet - sammenstillingen av funksjoner som beskriver fenomenet eller prosessen som vurderes.
Eksempel 8 En tank med en kapasitet på 4, med form som et parallellepipedum med firkantet bunn og åpen på toppen, må fortinnes. Hva bør dimensjonene på tanken være for å dekke den med minst mulig materiale?
Løsning. La x- base side h- tank høyde, S- overflaten uten dekke, V- volumet. Overflatearealet til tanken uttrykkes med formelen, dvs. er en funksjon av to variabler. Å uttrykke S som en funksjon av en variabel bruker vi det faktum at , hvorfra . Erstatter det funnet uttrykket h inn i formelen for S:
La oss undersøke denne funksjonen for et ekstremum. Den er definert og differensierbar overalt i ]0, +∞[ og
.
Vi likestiller den deriverte til null () og finner det kritiske punktet. I tillegg, ved , eksisterer ikke den deriverte, men denne verdien er ikke inkludert i definisjonsdomenet og kan derfor ikke være et ekstremumpunkt. Så, - det eneste kritiske punktet. La oss sjekke det for tilstedeværelsen av et ekstremum ved å bruke det andre tilstrekkelige tegnet. La oss finne den andre deriverte. Når den andre deriverte er større enn null (). Dette betyr at når funksjonen når et minimum 
. Fordi dette minimum - det eneste ytterpunktet for denne funksjonen, det er dens minste verdi. Så siden av bunnen av tanken skal være lik 2 m, og dens høyde.
Eksempel 9 Fra avsnitt EN, som ligger på jernbanelinjen, til punktet MED, i avstand fra den l, varer skal transporteres. Kostnaden for å transportere en vektenhet per avstandsenhet med jernbane er lik , og med motorvei er den lik . Til hvilket punkt M linjer jernbane en motorvei bør bygges slik at transport av varer fra EN V MED var den mest økonomiske AB jernbane antas å være rett)?
Hvordan finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment?
For dette vi følger den velkjente algoritmen:
1
. Vi finner ODZ-funksjoner.
2
. Finne den deriverte av en funksjon
3
. Lik den deriverte med null
4
. Vi finner intervallene der den deriverte beholder fortegnet, og fra dem bestemmer vi intervallene for økning og reduksjon av funksjonen:
Hvis på intervallet I den deriverte av funksjonen 0" title="f^(primtall)(x)>0">, то функция !} øker over dette intervallet.
Hvis på intervallet I den deriverte av funksjonen, så funksjonen avtar over dette intervallet.
5
. Vi finner maksimum og minimum poeng for funksjonen.
I funksjonen maksimumspunkt, den deriverte endrer fortegn fra "+" til "-".
I minimumspunktet for funksjonenderiverte endrer fortegn fra "-" til "+".
6
. Vi finner verdien av funksjonen i enden av segmentet,
- så sammenligner vi verdien av funksjonen i enden av segmentet og ved maksimumspunktene, og velg den største av dem hvis du trenger å finne den største verdien av funksjonen
- eller vi sammenligner verdien av funksjonen i enden av segmentet og ved minimumspunktene, og velg den minste av dem hvis du trenger å finne den minste verdien av funksjonen
Men avhengig av hvordan funksjonen oppfører seg på intervallet, kan denne algoritmen reduseres betydelig.
Vurder funksjonen 
. Grafen til denne funksjonen ser slik ut:
La oss se på noen eksempler på å løse problemer fra åpen bank oppdrag for
1 . Oppgave B15 (#26695)
På kuttet.
1. Funksjonen er definert for alle reelle verdier av x
Åpenbart har denne ligningen ingen løsninger, og den deriverte er positiv for alle verdier av x. Derfor øker funksjonen og får den største verdien i høyre ende av intervallet, det vil si ved x=0.
Svar: 5.
2
. Oppgave B15 (nr. 26702)
Finn den største verdien av en funksjon 
på segmentet.
1.ODZ funksjon title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Den deriverte er null ved , men på disse punktene endrer den ikke fortegn:
Derfor, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} øker og tar den største verdien i høyre ende av intervallet, kl.
For å gjøre det klart hvorfor den deriverte ikke endrer fortegn, transformerer vi uttrykket for den deriverte som følger:
Tittel="y^(primtall)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Svar: 5.
3 . Oppgave B15 (#26708)
Finn den minste verdien av funksjonen på intervallet.
1. ODZ-funksjoner: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
La oss plassere røttene til denne ligningen på en trigonometrisk sirkel.
Intervallet inneholder to tall: og
La oss sette opp skiltene. For å gjøre dette bestemmer vi tegnet til den deriverte ved punktet x=0: 
. Når du passerer gjennom punktene og den deriverte skifter fortegn.
La oss skildre endringen av tegn til den deriverte av funksjonen på koordinatlinjen:
Åpenbart er punktet et minimumspunkt (hvor den deriverte endrer fortegn fra "-" til "+"), og for å finne den minste verdien av funksjonen på intervallet, må du sammenligne verdiene til funksjonen ved minimumspunktet og i venstre ende av segmentet,.
I denne artikkelen vil jeg snakke om algoritme for å finne den største og minste verdien funksjon, minimum og maksimum poeng.
Fra teorien vil vi definitivt trenge derivattabell Og differensieringsregler. Det er alt i denne tavlen:
Algoritme for å finne de største og minste verdiene.
Jeg synes det er lettere å forklare spesifikt eksempel. Ta i betraktning:
Eksempel: Finn den største verdien av funksjonen y=x^5+20x^3–65x på segmentet [–4;0].
Trinn 1. Vi tar den deriverte.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Steg 2 Finne ekstreme punkter.
ekstremum punkt vi navngir slike punkter der funksjonen når sin maksimums- eller minimumsverdi.
For å finne ekstremumpunktene, er det nødvendig å likestille den deriverte av funksjonen til null (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Nå løser vi denne biquadratiske ligningen og røttene som er funnet er våre ekstremumpunkter.
Jeg løser slike ligninger ved å erstatte t = x^2, så 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Reduser ligningen med 5, vi får: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Vi gjør omvendt erstatning x^2 = t:
X_(1 og 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 og 4) = ±sqrt(-13) (vi ekskluderer, det kan ikke være negative tall under roten, med mindre vi selvfølgelig snakker om komplekse tall)
Totalt: x_(1) = 1 og x_(2) = -1 - dette er våre ekstremumpunkter.
Trinn 3 Bestem den største og minste verdien.
Substitusjonsmetode.
I tilstanden fikk vi segmentet [b][–4;0]. Punktet x=1 er ikke inkludert i dette segmentet. Så vi vurderer det ikke. Men i tillegg til punktet x=-1, må vi også vurdere venstre og høyre grenser til segmentet vårt, det vil si punktene -4 og 0. For å gjøre dette, erstatter vi alle disse tre punktene i den opprinnelige funksjonen. Legg merke til at den opprinnelige er den som er gitt i tilstanden (y=x^5+20x^3–65x), noen begynner å erstatte inn i den deriverte...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Dette betyr at maksimalverdien til funksjonen er [b]44 og den nås ved punktene [b]-1, som kalles funksjonens maksimumspunkt på segmentet [-4; 0].
Vi bestemte oss og fikk svar, vi er flotte, du kan slappe av. Men stopp! Synes du ikke det er for komplisert å telle y(-4) på en eller annen måte? Under forhold med begrenset tid er det bedre å bruke en annen metode, jeg kaller det slik:
Gjennom intervaller med konstanthet.
Disse hullene finnes for den deriverte av funksjonen, det vil si for vår bikvadratiske ligning.
Jeg gjør det på følgende måte. Jeg tegner en retningslinje. Jeg setter punktene: -4, -1, 0, 1. Til tross for at 1 ikke er inkludert i det gitte segmentet, bør det likevel noteres for å kunne bestemme konstansintervallene korrekt. La oss ta et tall som er mange ganger større enn 1, la oss si 100, mentalt erstatte det med vår biquadratiske ligning 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Selv uten å telle noe, blir det åpenbart at ved punktet 100 funksjonen har plusstegn. Dette betyr at for intervaller fra 1 til 100 har den et plusstegn. Når du passerer gjennom 1 (vi går fra høyre til venstre), vil funksjonen endre fortegn til minus. Når den passerer gjennom punktet 0, vil funksjonen beholde sitt fortegn, siden dette kun er grensen til segmentet, og ikke roten til ligningen. Ved passering gjennom -1 vil funksjonen igjen endre fortegn til pluss.
Fra teorien vet vi at hvor den deriverte av funksjonen er (og vi tegnet dette for det) skifter fortegn fra pluss til minus (punkt -1 i vårt tilfelle) funksjon når sitt lokale maksimum (y(-1)=44 som beregnet tidligere) på dette segmentet (dette er logisk veldig tydelig, funksjonen har sluttet å øke, siden den nådde sitt maksimum og begynte å avta).
Følgelig, hvor den deriverte av funksjonen skifter fortegn fra minus til pluss, oppnådd lokalt minimum av en funksjon. Ja, ja, vi fant også det lokale minimumspunktet, som er 1, og y(1) er minimumsverdien til funksjonen på intervallet, la oss si fra -1 til +∞. Vær oppmerksom på at dette kun er et LOKALT MINIMUM, det vil si et minimum på et bestemt segment. Siden den faktiske (globale) minimumsfunksjonen vil nå et sted der, i -∞.
Etter min mening er den første metoden enklere teoretisk, og den andre er enklere når det gjelder aritmetiske operasjoner, men mye vanskeligere når det gjelder teori. Tross alt, noen ganger er det tilfeller der funksjonen ikke endrer fortegn når den går gjennom roten av ligningen, og du kan faktisk bli forvirret med disse lokale, globale maksima og minima, selv om du uansett må mestre det godt hvis du planlegger å gå inn på et teknisk universitet (og for hva annet å gi profileksamen og løse dette problemet). Men øvelse og bare øvelse vil lære deg hvordan du løser slike problemer en gang for alle. Og du kan trene på nettsiden vår. Her .
Hvis du har spørsmål, eller noe er uklart, sørg for å spørre. Jeg vil gjerne svare deg, og gjøre endringer, tillegg til artikkelen. Husk at vi lager denne siden sammen!
Populær i kategorien:
Årsaker til blåmerker under øynene Evig blåmerker under øynene
lese
Årsaker til opprørene: Reformer og transformasjoner av Peter I ble utført ...
lese
Kazan Higher Military Command School Kazan Higher...
lese
Hovedstadiene i de baltiske statenes historie: dannelsen av politisk...
lese
Topp
på segmentet. 
