Desigualdades fracionárias com módulo no denominador. Equações e desigualdades com módulo

Hoje, amigos, não haverá meleca nem sentimentalismo. Em vez disso, enviarei você, sem fazer perguntas, para a batalha contra um dos oponentes mais formidáveis ​​do curso de álgebra do 8º ao 9º ano.

Sim, você entendeu tudo corretamente: estamos falando de desigualdades com módulo. Veremos quatro técnicas básicas com as quais você aprenderá a resolver cerca de 90% desses problemas. E os 10% restantes? Bem, falaremos sobre eles em uma lição separada. :)

Porém, antes de analisar qualquer uma das técnicas, gostaria de lembrar dois fatos que você já precisa saber. Caso contrário, você corre o risco de não entender o material da lição de hoje.

O que você já precisa saber

O Capitão Obviedade parece sugerir que para resolver desigualdades com módulo você precisa saber duas coisas:

1. Como as desigualdades são resolvidas;
2. O que é um módulo?

Vamos começar com o segundo ponto.

Definição do Módulo

Tudo é simples aqui. Existem duas definições: algébrica e gráfica. Para começar - algébrico:

Definição. O módulo de um número $x$ é o próprio número, se não for negativo, ou o número oposto a ele, se o $x$ original ainda for negativo.

Está escrito assim:

\[\esquerda| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Em termos simples, um módulo é um “número sem menos”. E é nesta dualidade (em alguns lugares você não precisa fazer nada com o número original, mas em outros você tem que remover algum tipo de sinal de menos) que reside toda a dificuldade para os alunos iniciantes.

Há também uma definição geométrica. Também é útil saber, mas iremos abordá-lo apenas em casos complexos e alguns casos especiais, onde a abordagem geométrica é mais conveniente do que a algébrica (spoiler: hoje não).

Definição. Deixe o ponto $a$ ser marcado na reta numérica. Então o módulo $\left| x-a \right|$ é a distância do ponto $x$ ao ponto $a$ nesta linha.

Se você fizer um desenho, obterá algo assim:

Definição de módulo gráfico

De uma forma ou de outra, da definição de um módulo segue imediatamente sua propriedade chave: o módulo de um número é sempre uma quantidade não negativa. Este fato será um fio condutor que atravessa toda a nossa narrativa de hoje.

Resolvendo desigualdades. Método de intervalo

Agora vamos examinar as desigualdades. Existem muitos deles, mas nossa tarefa agora é ser capaz de resolver pelo menos o mais simples deles. Aquelas que se reduzem a desigualdades lineares, bem como ao método intervalar.

Tenho duas grandes lições sobre esse assunto (aliás, muito, MUITO úteis - recomendo estudá-las):

1. Método intervalar para desigualdades (assista principalmente ao vídeo);
2. As desigualdades racionais fracionárias são uma lição muito extensa, mas depois dela você não terá mais dúvidas.

Se você sabe de tudo isso, se a frase “vamos passar da desigualdade para a equação” não faz você ter uma vaga vontade de se bater contra a parede, então você está pronto: bem-vindo ao inferno, ao tema principal da lição. :)

1. Desigualdades da forma “Módulo é menor que função”

Este é um dos problemas mais comuns com módulos. É necessário resolver uma inequação da forma:

\[\esquerda| porra certo | \ltg\]

As funções $f$ e $g$ podem ser qualquer coisa, mas geralmente são polinômios. Exemplos de tais desigualdades:

\[\begin(alinhar) & \left| 2x+3 \direita| \ltx+7; \\ & \esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita|+3\esquerda(x+1 \direita) \lt 0; \\ & \esquerda| ((x)^(2))-2\esquerda| x \direita|-3 \direita| \lt 2. \\\fim(alinhar)\]

Todos eles podem ser resolvidos literalmente em uma linha de acordo com o seguinte esquema:

\[\esquerda| porra certo | \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \certo, certo)\]

É fácil perceber que nos livramos do módulo, mas em troca obtemos uma dupla desigualdade (ou, o que dá no mesmo, um sistema de duas desigualdades). Mas esta transição leva em conta absolutamente todos os problemas possíveis: se o número sob o módulo for positivo, o método funciona; se negativo, ainda funciona; e mesmo com a função mais inadequada no lugar de $f$ ou $g$, o método ainda funcionará.

Naturalmente, surge a pergunta: não poderia ser mais simples? Infelizmente, não é possível. Este é o objetivo do módulo.

No entanto, chega de filosofar. Vamos resolver alguns problemas:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| 2x+3 \direita| \ltx+7\]

Solução. Então, temos diante de nós uma desigualdade clássica da forma “o módulo é menor” - não há nem mesmo nada para transformar. Trabalhamos de acordo com o algoritmo:

\[\begin(alinhar) & \left| porra certo | \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \esquerda| 2x+3 \direita| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Não se apresse em abrir os parênteses precedidos de “menos”: é bem possível que pela pressa você cometa um erro ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

O problema foi reduzido a duas desigualdades elementares. Observemos suas soluções em retas numéricas paralelas:

Intersecção de muitos

A intersecção desses conjuntos será a resposta.

Resposta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita|+3\esquerda(x+1 \direita) \lt 0\]

Solução. Essa tarefa é um pouco mais difícil. Primeiro, vamos isolar o módulo movendo o segundo termo para a direita:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \lt -3\esquerda(x+1 \direita)\]

Obviamente, temos novamente uma desigualdade da forma “o módulo é menor”, ​​então nos livramos do módulo usando o algoritmo já conhecido:

\[-\esquerda(-3\esquerda(x+1 \direita) \direita) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\esquerda(x+1 \direita)\]

Agora atenção: alguém vai dizer que sou meio tarado com todos esses parênteses. Mas deixe-me lembrá-lo mais uma vez que nosso principal objetivo é resolva corretamente a inequação e obtenha a resposta. Mais tarde, quando você tiver dominado perfeitamente tudo o que é descrito nesta lição, você mesmo poderá pervertê-lo como desejar: abrir parênteses, adicionar sinais de menos, etc.

Para começar, simplesmente nos livraremos do duplo menos à esquerda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\esquerda(x+1 \direita)\]

Agora vamos abrir todos os colchetes na dupla desigualdade:

Vamos passar para a dupla desigualdade. Desta vez os cálculos serão mais sérios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinhar)\direita.\]

Ambas as desigualdades são quadráticas e podem ser resolvidas pelo método intervalar (por isso digo: se você não sabe o que é isso, é melhor não assumir módulos ainda). Vamos passar para a equação da primeira desigualdade:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\esquerda(x+5 \direita)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fim(alinhar)\]

Como você pode ver, a saída é uma equação quadrática incompleta, que pode ser resolvida de forma elementar. Agora vamos examinar a segunda desigualdade do sistema. Lá você terá que aplicar o teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \esquerda(x-3 \direita)\esquerda(x+2 \direita)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fim(alinhar)\]

Marcamos os números resultantes em duas linhas paralelas (separadas para a primeira desigualdade e separadas para a segunda):

Novamente, como estamos resolvendo um sistema de desigualdades, estamos interessados ​​na interseção dos conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Esta é a resposta.

Resposta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Acho que depois desses exemplos o esquema de solução fica extremamente claro:

1. Isole o módulo movendo todos os outros termos para o lado oposto da inequação. Assim obtemos uma desigualdade da forma $\left| porra certo | \ltg$.
2. Resolva esta desigualdade livrando-se do módulo de acordo com o esquema descrito acima. Em algum momento será necessário passar da dupla desigualdade para um sistema de duas expressões independentes, cada uma das quais já pode ser resolvida separadamente.
3. Por fim, resta cruzar as soluções dessas duas expressões independentes - e pronto, obteremos a resposta final.

Existe um algoritmo semelhante para desigualdades do seguinte tipo, quando o módulo é maior que a função. No entanto, existem alguns “mas” sérios. Falaremos sobre esses “mas” agora.

2. Desigualdades da forma “Módulo é maior que função”

Eles se parecem com isto:

\[\esquerda| porra certo | \gtg\]

Semelhante ao anterior? Parece. Mesmo assim, esses problemas são resolvidos de uma maneira completamente diferente. Formalmente, o esquema é o seguinte:

\[\esquerda| porra certo | \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Em outras palavras, consideramos dois casos:

1. Primeiro, simplesmente ignoramos o módulo e resolvemos a inequação usual;
2. Então, em essência, expandimos o módulo com o sinal de menos e depois multiplicamos ambos os lados da inequação por −1, enquanto eu tenho o sinal.

Neste caso, as opções são combinadas com um colchete, ou seja, Temos diante de nós uma combinação de dois requisitos.

Observe novamente: este não é um sistema, mas uma totalidade, portanto na resposta os conjuntos são combinados em vez de se cruzarem. Esta é uma diferença fundamental em relação ao ponto anterior!

Em geral, muitos estudantes ficam completamente confusos com sindicatos e interseções, então vamos resolver esse assunto de uma vez por todas:

• "∪" é um sinal de união. Na verdade, esta é uma letra estilizada “U”, que veio da língua inglesa e é uma abreviatura de “Union”, ou seja, “Associações”.
• "∩" é o sinal de interseção. Essa porcaria não veio de lugar nenhum, simplesmente apareceu como um contraponto ao “∪”.

Para ficar ainda mais fácil de lembrar, basta desenhar as pernas nessas placas para fazer óculos (só não me acuse agora de promover o vício em drogas e o alcoolismo: se você está estudando seriamente esta lição, então já é um viciado em drogas):

Diferença entre interseção e união de conjuntos

Traduzido para o russo, isso significa o seguinte: a união (totalidade) inclui elementos de ambos os conjuntos, portanto não é de forma alguma menor que cada um deles; mas a interseção (sistema) inclui apenas os elementos que estão simultaneamente no primeiro conjunto e no segundo. Portanto, a intersecção dos conjuntos nunca é maior que os conjuntos de origem.

Então ficou mais claro? Isso é ótimo. Vamos passar à prática.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| 3x+1 \direita| \gt 5-4x\]

Solução. Procedemos de acordo com o esquema:

\[\esquerda| 3x+1 \direita| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ certo.\]

Resolvemos cada desigualdade na população:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante na reta numérica e depois os combinamos:

União de conjuntos

É bastante óbvio que a resposta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Resposta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \gtx\]

Solução. Bem? Nada - tudo é igual. Passamos de uma desigualdade com módulo para um conjunto de duas desigualdades:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fim(alinhar) \direita.\]

Resolvemos todas as desigualdades. Infelizmente, as raízes não serão muito boas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fim(alinhar)\]

A segunda desigualdade também é um pouco selvagem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fim(alinhar)\]

Agora você precisa marcar esses números em dois eixos - um eixo para cada desigualdade. Porém, você precisa marcar os pontos na ordem correta: quanto maior o número, mais o ponto se move para a direita.

E aqui uma configuração nos espera. Se tudo estiver claro com os números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (os termos no numerador do primeiro fração são menores que os termos no numerador do segundo, então a soma também é menor), com os números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ também não haverá dificuldades (o número positivo obviamente é mais negativo), então com o último par nem tudo fica tão claro. Qual é maior: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? A colocação dos pontos nas retas numéricas e, de fato, a resposta dependerão da resposta a esta pergunta.

Então vamos comparar:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Isolamos a raiz, obtivemos números não negativos em ambos os lados da desigualdade, então temos o direito de elevar ambos os lados ao quadrado:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Eu acho que é óbvio que $4\sqrt(13) \gt 3$, então $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, os pontos finais nos eixos serão colocados assim:

Um caso de raízes feias

Deixe-me lembrá-lo de que estamos resolvendo um conjunto, então a resposta será uma união, não uma intersecção de conjuntos sombreados.

Resposta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \direita)$

Como você pode ver, nosso esquema funciona muito bem tanto para problemas simples quanto para problemas muito difíceis. O único “ponto fraco” nesta abordagem é que você precisa comparar corretamente os números irracionais (e acredite: estes não são apenas raízes). Mas uma lição separada (e muito séria) será dedicada às questões de comparação. E seguimos em frente.

3. Desigualdades com “caudas” não negativas

Agora chegamos à parte mais interessante. Estas são desigualdades da forma:

\[\esquerda| porra certo | \gt\esquerda| certo|\]

De modo geral, o algoritmo do qual falaremos agora é correto apenas para o módulo. Funciona em todas as desigualdades onde existem expressões não negativas garantidas à esquerda e à direita:

O que fazer com essas tarefas? Apenas lembra-te:

Nas desigualdades com “caudas” não negativas, ambos os lados podem ser elevados a qualquer potência natural. Não haverá restrições adicionais.

Em primeiro lugar, estaremos interessados ​​​​na quadratura - ela queima módulos e raízes:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\esquerda(\sqrt(f) \direita))^(2))=f. \\\fim(alinhar)\]

Só não confunda isso com tirar a raiz de um quadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\esquerda| f \certo|\ne f\]

Inúmeros erros foram cometidos quando um aluno se esqueceu de instalar um módulo! Mas esta é uma história completamente diferente (estas são, por assim dizer, equações irracionais), então não entraremos nisso agora. Vamos resolver melhor alguns problemas:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| x+2 \direita|\ge \esquerda| 1-2x \direita|\]

Solução. Notemos imediatamente duas coisas:

1. Esta não é uma desigualdade estrita. Os pontos na reta numérica serão perfurados.
2. Ambos os lados da desigualdade são obviamente não negativos (esta é uma propriedade do módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Portanto, podemos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado para nos livrar do módulo e resolver o problema usando o método de intervalo usual:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\esquerda(x+2 \direita))^(2))\ge ((\esquerda(2x-1 \direita))^(2)). \\\fim(alinhar)\]

Na última etapa, trapaceei um pouco: mudei a sequência dos termos, aproveitando a uniformidade do módulo (na verdade, multipliquei a expressão $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ direita)\direita)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando o método de intervalo. Vamos passar da desigualdade para a equação:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fim(alinhar)\]

Marcamos as raízes encontradas na reta numérica. Mais uma vez: todos os pontos estão sombreados porque a desigualdade original não é estrita!

Livrar-se do sinal do módulo

Deixe-me lembrá-los para aqueles que são especialmente teimosos: pegamos os sinais da última desigualdade, que foi anotada antes de passarmos para a equação. E pintamos as áreas exigidas na mesma desigualdade. No nosso caso é $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, está tudo acabado agora. O problema está resolvido.

Resposta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+x+1 \direita|\le \esquerda| ((x)^(2))+3x+4 \direita|\]

Solução. Fazemos tudo igual. Não vou comentar - basta olhar a sequência de ações.

Esquadre:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \direita| \direita))^(2)); \\ & ((\esquerda(((x)^(2))+x+1 \direita))^(2))\le ((\esquerda(((x)^(2))+3x+4 \direita))^(2)); \\ & ((\esquerda(((x)^(2))+x+1 \direita))^(2))-((\esquerda(((x)^(2))+3x+4 \ direita))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \direita)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Seta para a direita x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

Existe apenas uma raiz na reta numérica:

A resposta é um intervalo inteiro

Resposta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Uma pequena nota sobre a última tarefa. Como observou com precisão um dos meus alunos, ambas as expressões submodulares nesta desigualdade são obviamente positivas, de modo que o sinal do módulo pode ser omitido sem prejudicar a saúde.

Mas este é um nível de pensamento completamente diferente e uma abordagem diferente - pode ser condicionalmente chamado de método das consequências. Sobre isso - em uma lição separada. Agora vamos passar para a parte final da lição de hoje e dar uma olhada em um algoritmo universal que sempre funciona. Mesmo quando todas as abordagens anteriores eram impotentes. :)

4. Método de enumeração de opções

E se todas essas técnicas não ajudarem? Se a desigualdade não pode ser reduzida a caudas não negativas, se é impossível isolar o módulo, se em geral há dor, tristeza, melancolia?

Então entra em cena a “artilharia pesada” de toda a matemática – o método da força bruta. Em relação às desigualdades com módulo fica assim:

1. Escreva todas as expressões submodulares e iguale-as a zero;
2. Resolva as equações resultantes e marque as raízes encontradas em uma reta numérica;
3. A reta será dividida em vários trechos, dentro dos quais cada módulo possui um sinal fixo e, portanto, é revelado de forma única;
4. Resolva a desigualdade em cada seção (você pode considerar separadamente os limites das raízes obtidos na etapa 2 - para confiabilidade). Combine os resultados - esta será a resposta. :)

Então, como? Fraco? Facilmente! Só por muito tempo. Vejamos na prática:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| x+2 \direita| \lt \esquerda| x-1 \direita|+x-\frac(3)(2)\]

Solução. Essa porcaria não se resume a desigualdades como $\left| porra certo | \ltg$, $\esquerda| porra certo | \gt g$ ou $\esquerda| porra certo | \lt \esquerda| g \right|$, então agimos com antecedência.

Escrevemos expressões submodulares, igualamos-as a zero e encontramos as raízes:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fim(alinhar)\]

No total, temos duas raízes que dividem a reta numérica em três seções, dentro das quais cada módulo é revelado de forma única:

Particionando a reta numérica por zeros de funções submodulares

Vejamos cada seção separadamente.

1. Seja $x \lt -2$. Então ambas as expressões submodulares são negativas e a desigualdade original será reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\fim(alinhar)\]

Temos uma limitação bastante simples. Vamos cruzá-lo com a suposição inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, a variável $x$ não pode ser simultaneamente menor que -2 e maior que 1,5. Não há soluções nesta área.

1.1. Consideremos separadamente o caso limítrofe: $x=-2$. Vamos apenas substituir esse número na desigualdade original e verificar: é verdade?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \esquerda| -3\direita|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

É óbvio que a cadeia de cálculos nos levou a uma desigualdade incorreta. Portanto, a desigualdade original também é falsa e $x=-2$ não está incluído na resposta.

2. Seja agora $-2 \lt x \lt 1$. O módulo da esquerda já abrirá com um “mais”, mas o da direita ainda abrirá com um “menos”. Nós temos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fim(alinhar)\]

Novamente cruzamos com o requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

E, novamente, o conjunto de soluções está vazio, uma vez que não existem números menores que -2,5 e maiores que -2.

2.1. E novamente um caso especial: $x=1$. Substituímos na desigualdade original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \esquerda| 3\direita| \lt \esquerda| 0\direita|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

Semelhante ao “caso especial” anterior, o número $x=1$ claramente não está incluído na resposta.

3. A última parte da linha: $x \gt 1$. Aqui todos os módulos são abertos com um sinal de mais:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

E novamente cruzamos o conjunto encontrado com a restrição original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Finalmente! Encontramos um intervalo que será a resposta.

Resposta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, uma observação que pode salvá-lo de erros estúpidos ao resolver problemas reais:

Soluções para desigualdades com módulos geralmente representam conjuntos contínuos na reta numérica - intervalos e segmentos. Pontos isolados são muito menos comuns. E ainda menos frequentemente acontece que o limite da solução (o final do segmento) coincide com o limite do intervalo em consideração.

Consequentemente, se os limites (os mesmos “casos especiais”) não forem incluídos na resposta, então as áreas à esquerda e à direita destes limites quase certamente não serão incluídas na resposta. E vice-versa: a fronteira entrou na resposta, o que significa que algumas áreas ao seu redor também serão respostas.

Tenha isso em mente ao revisar suas soluções.

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Quanto mais uma pessoa entende, mais forte é seu desejo de compreender

Tomás de Aquino

O método do intervalo permite resolver qualquer equação que contenha um módulo. A essência deste método é dividir o eixo numérico em várias seções (intervalos), e o eixo precisa ser dividido pelos zeros das expressões nos módulos. Então, em cada uma das seções resultantes, cada expressão submodular é positiva ou negativa. Portanto, cada um dos módulos pode ser aberto com um sinal de menos ou com um sinal de mais. Após essas etapas, resta resolver cada uma das equações simples resultantes no intervalo em consideração e combinar as respostas obtidas.

Vejamos esse método usando um exemplo específico.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Vamos encontrar os zeros das expressões nos módulos. Para fazer isso, precisamos igualá-los a zero e resolver as equações resultantes.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Coloque os pontos resultantes na ordem necessária na linha de coordenadas. Eles dividirão o eixo inteiro em quatro seções.

3) Determinemos em cada uma das seções resultantes os sinais das expressões nos módulos. Para fazer isso, substituímos neles quaisquer números dos intervalos que nos interessam. Se o resultado do cálculo for um número positivo, colocamos “+” na tabela, e se o número for negativo, colocamos “–”. Isso pode ser representado assim:

4) Agora vamos resolver a equação em cada um dos quatro intervalos, revelando os módulos com os sinais indicados na tabela. Então, vamos dar uma olhada no primeiro intervalo:

Intervalo I (-∞; -3). Nele, todos os módulos são abertos com um sinal “-”. Obtemos a seguinte equação:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Vamos apresentar termos semelhantes, primeiro abrindo os parênteses na equação resultante:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

A resposta recebida não está incluída no intervalo considerado, não sendo necessário escrevê-la na resposta final.

Intervalo II [-3; -1). Neste intervalo da tabela existem sinais “–”, “–”, “+”. É exatamente assim que abrimos os módulos da equação original:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Vamos simplificar abrindo os colchetes:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Vamos apresentar semelhantes na equação resultante:

x = 6/5. O número resultante não pertence ao intervalo em consideração, portanto não é a raiz da equação original.

Intervalo III [-1; 2). Expandimos os módulos da equação original com os sinais que aparecem na terceira coluna da figura. Nós temos:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Vamos nos livrar dos parênteses e mover os termos que contêm a variável x para o lado esquerdo da equação, e aqueles que não contêm x para o certo. Terá:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

O número 2 não está incluído no intervalo em consideração.

Intervalo IV)